数学---辽宁省大连市瓦房店高中2016-2017学年高一(下)期末试卷(理)(解析版)

辽宁省大连市瓦房店高中2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，3，4} B．{4} C．{1，2，4} D．{0，2，4}2．（5分）已知l，m为直线，α为平面，l∥α，m⊂α，则l与m之间的关系是（）A．平行B．垂直C．异面D．平行或异面3．（5分）设x1，x2，…，x n的平均数为，标准差是s，则另一组数2x1﹣3，2x2﹣3，…，2x n﹣3的平均数和标准差分别是（）A．2，4s B．2﹣3，4s C．2﹣3，2s D．2，s4．（5分）幂函数f（x）=（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．1或25．（5分）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为（）A．B． C．D．且6．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b7．（5分）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列．”则下列说法错误的是（）A．该金锤中间一尺重3斤B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍C．该金锤的重量为15斤D．该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤8．（5分）在区间[0，π]上随机取一实数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若a cos B+b cos A=c sin C，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A．49850 B．49900 C．49800 D．4995011．（5分）已知sinα﹣sinβ=1﹣，cosα﹣cosβ=，则cos（α﹣β）=（）A．﹣B．﹣ C．D．12．（5分）已知函数f（x）=cos2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，）C．（0，] D．（0，]∪[，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为．14．（5分）与向量=（3，4）垂直且模长为2的向量为．15．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为．16．（5分）三角形ABC中，BC=4，且sin AcotB+cos A=，则三角形ABC面积最大值为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知．（1）求tan x；（2）求的值．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2b cos A．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．19．（12分）2017年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此瓦房店市高级中学高三年级数学组特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[50，60），[60，70），…，[90，100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）；（2）若高三年级共有700名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE∥面APD；（2）证明BE⊥CD；（3）求三棱锥P﹣BDE的体积．21．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=7，S9=27．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程；（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k2=﹣2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．【参考答案】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．D【解析】全集U={x∈N|x≤4}={0，1，2，3，4}∵A={0，1，3}，B={1，3，4}，∴A∩B={1，3}，∴∁U（A∩B）={0，2，4}，故选D．2．D【解析】∵l，m为直线，α为平面，l∥α，m⊂α，∴由线面平行的性质定理得l与m平行或异面．故选D．3．C【解析】设x1，x2，…，x n的平均数为，标准差是s，则另一组数2x1﹣3，2x2﹣3，…，2x n﹣3的平均数为，标准差为=2s．故选C．4．C【解析】∵幂函数f（x）=（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，∴，解得m=2．故选C．5．D【解析】向量，，且，即x≠，•=2x﹣21，那么：向量，夹角的余弦值为＜0即2x﹣21＜0，解得：x，∴x且x≠，故选D．6．C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选C.7．B【解析】由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则d=，∴，a1+a5=6，．∴S5=15．∴A正确，B错误，C正确，D正确．故选B．8．A【解析】由题意，在区间[0，π]上满足事件“”的x范围是[]∪[]，由几何概型的公式得到所求概率为；故选A．9．C【解析】由正弦定理可知a cos B+b cos A=2R sin A cos B+2R sin B cos A=2R sin（A+B）=2R sin C=2R sin C•sin C∴sin C=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选C.10．A【解析】根据题意，得；[x]表示不超过x的最大整数，且[]=[50.4]=50；所以，该程序框图运行后输出的结果中是39个0与40个1，40个2，40个3，…，40个49，0.4×4+1=17个50的和；所以输出的结果为S=40××49+（0.4×40+1）×50=49850．故选A．11．D【解析】∵sinα﹣sinβ=1﹣，cosα﹣cosβ=，∴（cosα﹣cosβ）2=，（sinα﹣sinβ）2=﹣．两式相加，得2﹣2cos（α﹣β）=2﹣．∴cos（α﹣β）=．故选D．12．D【解析】函数f（x）=cos2+sinωx﹣=cosωx+sinωx=sin（ωx+），可得T=≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得ω∈（0，]∪[，]．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．10【解析】样本间隔为80÷5=16，∵42=16×2+10，∴该样本中产品的最小编号为10，故答案为10．14．（，﹣）或（﹣，）【解析】设所求向量为（x，y），则3x+4y=0且=2，联立解得或故答案为（，﹣）或（﹣，）15．96+4（﹣1）π【解析】由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2；∴该正方体的平面面积为6×42﹣π×22=96﹣4π；又圆锥体的侧面面积为π×2×2=4π．∴该几何体的表面积为96﹣4π+4π=96+4（﹣1）π．故答案为96+4（﹣1）π．16．4【解析】三角形ABC中，sin AcotB+cos A=，可得：，即，由正弦定理可得：c=．BC=4，可得a=4．由余弦定理得：（b）2=a2+b2﹣4a•b cos C，即2b2+16b cos C﹣16=0，即b2+8b cos C﹣8=0∴cos C=，∴sin2C=1﹣cos2C=﹣，∵S△ABC=b•a sin C=×4b sin C=2b sin C，∴（S△ABC）2=4b2sin2C=4b2（﹣）=5b2﹣4﹣b4=96﹣（b2﹣40）2．当b2=40，即b=2时，三角形ABC面积取得最大值∴（S△ABC）2max=96，∴三角形ABC的面积的最大值为4．故答案为4．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（1）由题意可得：，∴，∴．（2）=====．18．解：（1）∵2c﹣a=2b cos A，∴根据正弦定理，得2sin C﹣sin A=2sin B cos A，∵A+B=π﹣C，可得sin C=sin（A+B）=sin B cos A+cos B sin A，∴代入上式，得2sin B cos A=2sin B cos A+2cos B sin A﹣sin A，化简得（2cos B﹣1）sin A=0∵A是三角形的内角可得sin A＞0，∴2cos B﹣1=0，解得cos B=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）∴a+c≤4，∴a+c的最大值为4．19．解：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为1﹣0.1﹣0.3﹣0.3﹣0.1=0.2，故x=0.02．故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为：（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74（分）．由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数在第3组中．设中位数为t分，则有（t﹣70）×0.03=0.1，所以，即所求的中位数为（或写成）分．（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，由以上样本的频率，可以估计高三年级700名学生中成绩不低于70分的人数为700×0.6=420．（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1．记成绩在[70，80）这组的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80，90）这组的2名学生分别为d，e，成绩在[90，100]这组的1名学生为f，则从中任抽取3人的所有可能结果为：（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，b，f），（a，c，d），（a，c，e），（a，c，f），（a，d，e），（a，d，f），（a，e，f），（b，c，d），（b，c，e），（b，c，f），（b，d，e），（b，d，f），（b，e，f），（c，d，e），（c，d，f），（c，e，f），（d，e，f）共20种．其中后两组中没有人被抽到的可能结果为（a，b，c），只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为．20．（1）证明：取PD中点F，连接AF，EF，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴∵，∴EF∥AB，EF=AB∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF，又BE⊄面P AD，AF⊂面P AD∴BE∥面P AD，（2）证明：由P A⊥面ABCD，DC⊂面ABCD，∴P A⊥DC．，∴，∴AF⊥DC，且AF∥BE，∴BE⊥CD；（3）解：∵点E为棱PC的中点，P A⊥底面ABCD，∴．21．解：（1）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=7，S9=27．可得a1+2d=7，9a1+36d=27，解得a1=11，d=﹣2，∴a n=﹣2n+13；（2）因为a n=﹣2n+13，所以，a6=1，a7=﹣1，当n≤6且n∈N*时，T n=a1+a2+…+，当n≥7且n∈N*时，T n=（a1+a2+…+a6）﹣（a7+a8+…+a n）=n2﹣12n+72，综上，22．解：（1）∵圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2=0相切，∴圆心O到直线的距离d==2=r，∴圆O的方程为x2+y2=4；（2）若直线l的斜率不存在，直线l为x=1，此时直线l截圆所得弦长为2，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线为y﹣=k（x﹣1），即3kx﹣3y+﹣3k=0，由题意知，圆心到直线的距离为d==1，解得：k=﹣，此时直线l为x+y﹣2=0，则所求的直线为x=1或x+y﹣2=0；（3）由题意知，A（﹣2，0），设直线AB：y=k1（x+2），与圆方程联立得：，消去y得：（1+k12）x2+4k12x+（4k12﹣4）=0，∴x A•x B=，∴x B=，y B=，即B（，），∵k1k2=﹣2，用代替k2得：C（，），∴直线BC方程为y﹣=（x﹣），即y﹣=（x﹣）（k12≠2），整理得：y=x+=（x+）（k12≠2），则直线BC定点（﹣，0）．。