第二章 第一节 课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共5个小题，每小题5分，满分25分)
1．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射
到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.
答案：C
2．下列各组函数中表示同一函数的是( )
A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2
B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3
C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2 (x ＞0)－x 2 (x ＜0) D ．f (x )＝x 2－1x －1
与g (t )＝t ＋1(t ≠1) 解析：A 中定义域不同，B 中解析式不同，C 中定义域不同．
答案：D
3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋1 (x ≤0)，－2x (x >0)，使函数值为5的x 的值是( ) A ．－2 B ．2或－52
C ．2或－2
D ．2或－2或－52
解析：由题意有x 2＋1＝5，得x ＝±2，又x ≤0，
所以x ＝－2；
或－2x ＝5，得x ＝－52
，又x >0，舍去． 答案：A
4．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x ⊗2)－2
的解析式为 ( )
A ．f (x )＝4－x 2
x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]
B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C ．f (x )＝－x 2－4x
，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2
x
，x ∈[－2,0)∪(0,2] 解析：∵2⊕x ＝4－x 2，
x ⊗2＝(x －2)2＝|x －2|，
∴f (x )＝4－x 2
|x －2|－2
. 又其定义域为{x |－2≤x ＜0或0＜x ≤2}，
∴f (x )＝－4－x 2
x
，x ∈[－2,0)∪(0,2]． 答案：D
5．某地一年内的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图
所示，已知该年的平均气温为10℃.令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温， C (t )与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是( )
解析：C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，所以起点和Q (t )气温一样；又已知该年的平均气温为10℃，所以t ＝12时，C (12)＝10℃；t ＝6时，C (6)接近0，再由C (t )在[6,12]上逐渐上升，再慢慢下降至10℃知选A.
答案：A
二、填空题(共4个小题，每小题5分，满分20分)
6．已知f (x －1x )＝x 2＋1x
2，则函数f (3)＝________. 解析：∵f (x －1x )＝x 2＋1x
2＝(x －1x )2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.
答案：11
7．下列对应中，是从集合A 到集合B 的映射的是________．
(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1
； (2)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ⎪⎪
b ＝1n ，n ∈N *，f ：a →b ＝1a ；
(3)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝x ；
(4)A ＝{平面α内的矩形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：作矩形的外接圆．
解析：(1)当x ＝－1时，y 值不存在，所以不是映射．
(2)A ，B 两集合分别用列举法表述为A ＝{2,4,6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1，12，13，14，…，由对应法则f ：a →b ＝1a
知是映射． (3)不是映射，如A 中元素1有两个象±1.
(4)是映射．
答案：(2)(4)
8．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |
)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________． 解析：根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，
则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .
答案：f (x )＝－log 2x (x ＞0)
9．设函数f (x )(x ∈N)表示x 除以2的余数，函数g (x )(x ∈N)表示x 除以3的余数，则对任意的x ∈N ，给出以下式子：
①f (x )≠g (x )；②g (2x )＝2g (x )；③f (2x )＝0；④f (x )＋f (x ＋3)＝1.
其中正确的式子编号是________．(写出所有符合要求的式子编号)
解析：当x 是6的倍数时，可知f (x )＝g (x )＝0，所以①不正确；容易得到当x ＝2时，g (2x )＝g (4)＝1，而2g (x )＝2g (2)＝4，所以g (2x )≠2g (x )，故②错误；当x ∈N 时，2x 一定是偶数，所以f (2x )＝0正确；当x ∈N 时，x 和x ＋3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f (x )和f (x ＋3)中有一个为0、一个为1，所以f (x )＋f (x ＋3)＝1正确．
答案：③④
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．若函数f (x )＝
x ax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式． 解：由f (2)＝1得22a ＋b
＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b
－1)＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，
又因方程有唯一解，∴1－b a ＝0，
解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12
， ∴f (x )＝2x x ＋2
. 11．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －1，x >0，2－x ，x <0. (1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值；
(2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．
解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，
∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.
(2)当x >0时，g (x )＝x －1，
故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；
当x <0时，g (x )＝2－x ，
故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；
∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0. 当x >1或x <－1时，f (x )>0，
故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；
当－1<x <1时，f (x )<0，
故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.
∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1. 12．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
(2)为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：(1)依题意，本年度每辆摩托车的成本为1＋x (万元)，而出厂价为1.2×(1＋0.75x )(万元)，销售量为
1 000×(1＋0.6x )(辆)．
故利润y ＝[1.2×(1＋0.75x )－(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )，
整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．
(2)要保证本年度利润比上一年有所增加，
则y －(1.2－1)×1 000>0，
即－60x 2＋20x ＋200－200>0，即3x 2－x <0.
解得0<x <13
，适合0<x <1. 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0<x <13
.。