5.6-二次函数的图像与一元二次方程
5.6二次函数的图象与一元二次方程
探究一
x2 2x 3 0
当x为何时,y=0?
M
N
x=-1, x=3 x=-1, x= 3 2
1
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探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. y （1） y = 2x2＋x－3 （2） y = 4x2 －4x +1
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6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿， (0，－5) 与x轴交于点
(5/2，0) (－1，0)
.
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1 = －2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标
【过程与方法】
经历探索二次函数与一元二次方程的关系 的过程，体会方程与函数之间的联系。
【情感态度与价值观】
通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数， 讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会 数形结合思想。
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教学重难点
二次函数与一元二次方程之间的关系。 利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。 一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位 置关系的联系，数形结合思想的运用。 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
o
y =a（x－x1）（x－ x 1）
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y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。
因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。
四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。
二次函数的图像与一元二次方程
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.例如， 已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作 解一元二次方程-x2+4x=3 (即x2 -4x+3=0).
反过来，解方程x2-4x+3=0， 又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2 ，则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1，0)，(x2，0).
时间？
20 h
(2)解方程
20=20t-5t2，
O
2
t
t2-4t+4=0，
t1=t2=2 .
当球飞行2秒时，它的高度为20 m.
吗
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行
时间？
Hale Waihona Puke 20.5 h（3）解方程
20.5=20t+5t2，
O
t
t2-4t+4 .1 = 0 .
你能结合图形指
因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无 实数根. 出为什么球不能
知识归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程
ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相 等的实数根
b 2-4ac > 0
二次函数与一元二次方程ppt课件
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
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(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
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2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
数学
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3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
数学
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▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
数学
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2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
《二次函数的图像与一元二次方程》教案
5.6二次函数的图像与一元二次方程教材分析：这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况.这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法.教学设想：本节课主要采用自主学习与小组交流两种学习方式，在整节课的教学过程中，要注意循序渐进的认知规律．以前已经学习了一次函数与一元一次不等式的关系和解一元二次方程的代数方法，对旧知识的复习为本节课的学习奠定基础．学习目标：知识与技能：1.经历图象法求解一元二次方程近似值的过程，并体验用图象法解一元二次方程．2.利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似值，提高科学估算的能力．过程与方法：经历利用二次函数的图象求出一元二次方程的近似解的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力．情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用．学习重难点：重点：正确运用函数的图象求出一元二次方程的近似值.难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型.课前准备教具准备教师准备PPT课件教学过程：引入新课：问题：比较二次函数的表达式y=x²-2x-3与一元二次方程x²-2x-3=0，你能说出二者之间有什么关系吗？(4)一元二次方程x²-2x-3=0的实根与二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴的交点的横坐标有什么关系？(5)通过以上探索活动，你发现一元二次方程x²-x+1/4=0与二次函数y=x²-x+1/4的图像有什么关系？(6)一般的，如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么该方程的实根与二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的公共点的横坐标有什么关系？归纳总结：如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实数根；反之，如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根．【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.例题讲解：例2.利用二次函数的图象讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根．解:(1)画出二次函数y=x2-2x+3的图象如图.(2)由于图象与x轴没有公共点，所以一元二次方程x2-2x+3=0 没有实根．【设计意图】：通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.当堂检测：1．如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=＿＿＿2．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0根的情况是( ) A．有两个同号的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．已知抛物线y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)抛物线与x轴有两个公共点？(2)抛物线与x轴只有一个公共点？(3)抛物线与x轴没有公共点？4．根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )A．3< x < 3.23 B．3.23 < x < 3.24C．3.24 <x< 3.25 D．3.25 <x< 3.265．你能利用二次函数的图象解一元二次方程 x2+2x-10=0的根吗？(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.课堂小结:二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0关系：△=b²-4ac≥0 一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点△=b²-4ac ＜0一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有交点作业:课本 P.49第1,2题板书设计:5.6二次函数的图像与一元二次方程引入新课：归纳总结：例1例2。
《二次函数的图像与一元二次方程》课件二次函数的图像与一元二次方程
02
通过解一元二次方程，可以找到抛物线与x轴的交点，进而确定
函数图像与坐标轴的交点。
判断函数图像的对称性
03
一元二次方程的对称性和抛物线图像的对称性密切相关，可以
通过方程的性质判断图像的对称性。
二次函数图像与一元二次方程在实际问题中的应用
解决几何问题
在几何问题中，经常需要 利用二次函数图像和一元 二次方程来解决面积、体 积和角度等问题。
《二次函数的图像与一元二 次方程》课件二次函数的图 像与一元二次方程
汇报人： 2023-12-23
目录
• 二次函数图像的基本概念 • 一元二次方程的基本概念 • 二次函数图像与一元二次方程
的关系 Байду номын сангаас 实际应用案例分析
01
二次函数图像的基本概念
二次函数图像的形状
01
02
03
开口方向
根据二次项系数a的正负 判断，a>0向上开口， a<0向下开口。
公式法是通过一元二次方程的根 的公式来求解，即 $x = frac{-b
pm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
因式分解法是将一元二次方程化 为两个一次方程，然后求解。
一元二次方程的根的性质
01
02
03
04
一元二次方程的根的性质包括 根的和、根的积和判别式。
根的和是指方程的两个根的和 等于方程的一次项系数除以二 次项系数所得的商的相反数。
实例
例如，在建筑设计中，需要计算支撑结构的受力分布，可以利用一元二次方程来求解。同 时，通过绘制二次函数图像，可以直观地观察到受力分布的情况，有助于更好地进行结构 设计。
THANKS
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初中数学 一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系
初中数学一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系一元二次方程的根与二次函数的图像之间存在着密切的关系。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
而二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
下面我们将详细说明一元二次方程的根与二次函数的图像之间的关系：1. 根的性质与图像的交点：一元二次方程的根表示方程在x轴上的解，即方程的解与x轴的交点。
而二次函数的图像表示了函数在平面上的走势，其中与x轴的交点即为函数的零点。
因此，一元二次方程的根与二次函数的图像在x轴上的交点是相对应的。
例如，考虑一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。
通过求解该方程，我们可以得到两个根x = 1 和x = 3。
与之对应的二次函数y = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点也是1和3。
2. 根的数量与图像的形状：一元二次方程的根的数量与二次函数的图像的形状之间存在着关系。
具体而言，根的数量与二次函数的图像与x轴的交点的数量相对应。
a) 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，对应的二次函数的图像与x轴有两个交点，即图像开口向上或向下，并且与x轴交点处的y值分别大于0和小于0。
b) 当一元二次方程有两个相等的实数根时，对应的二次函数的图像与x轴有一个交点，即图像开口向上或向下，并且与x轴交点处的y值等于0。
c) 当一元二次方程没有实数根时，对应的二次函数的图像与x轴没有交点，即图像开口向上或向下，并且与x轴永远不相交。
例如，考虑一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。
根据判别式D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4大于0，我们可以判断该方程有两个不相等的实数根。
与之对应的二次函数y = x^2 - 4x + 3的图像开口向上，并且与x轴的交点处的y值分别大于0。
3. 根的位置与图像的顶点：一元二次方程的根的位置与二次函数的图像的顶点之间存在着关系。
《二次函数的图像与一元二次方程》
《二次函数的图像与一元二次方程》汇报人：2023-12-13•二次函数图像的基本概念•二次函数图像的特性•一元二次方程的解法目录•二次函数与一元二次方程的关系•实际应用案例01二次函数图像的基本概念二次函数顶点对称轴开口方向定义与性质01020304一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。
二次函数图像的最低点或最高点，坐标为$(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$。
二次函数图像的垂直平分线，方程为$x = -\frac{b}{2a}$。
由$a$的正负决定，$a > 0$时向上开口，$a < 0$时向下开口。
在坐标系上标出若干个点，用平滑的曲线连接这些点。
描点法配方法函数计算器法将二次函数化为顶点式，确定顶点和对称轴，再根据开口方向绘制图像。
使用函数计算器计算二次函数的值，在坐标系上标出这些点，再用平滑的曲线连接。
030201图像的绘制方法将二次函数图像沿$x$轴平移，左加右减。
例如，$y = ax^2 + bx + c$向左平移$m$个单位得到$y = a(x+m)^2 + bx + c$。
横向平移将二次函数图像沿$y$轴平移，上加下减。
例如，$y = ax^2 + bx + c$向上平移$n$个单位得到$y = ax^2 + bx + c+n$。
纵向平移图像的变换与平移02二次函数图像的特性总结词：开口方向详细描述：二次函数$y=ax^2+bx+c$的开口方向由系数a决定。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
开口方向与a的关系顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴详细描述二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a})$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。
判别式与图像交点总结词判别式与图像交点详细描述判别式$\Delta=b^2-4ac$用于判断一元二次方程的根的情况。
《二次函数的图像与一元二次方程》课件二次函数的图像与一元二次方程
习题答案
根据图像，我们可以 得出以下结论
该函数与 $x$ 轴的交 点坐标为 $(3,0)$ 和 $(1,0)$
该函数与 $y$ 轴的交 点坐标为 $(0,-3)$
根据图像，该函数的 最小值为当 $x=1$ 时，$y=-2$，最大 值为当 $x=3$ 时， $y=0$
当 $x=3$ 时，$y$ 取得最大值 $0$；当 $x=1$ 时，$y$ 取得 最小值 $-2$。
从方程观点看二次函数
二次函数是特殊的一元二次方程。
$y = ax^{2} + bx + c$可以看作一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$的解集。
当$a > 0$时，抛物线开口向上，有最小值；当$a < 0$时，抛物线开口向下，有 最大值。
二次函数与一元二次方程的实践应用
利用二次函数解决利润问题。
03
一元二次方程
一元二次方程的基本形式
ax²+bx+c=0 a≠0，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项
一元二次方程的解法
直接开平方法 因式分解法
公式法
一元二次方程根的判别式
Δ=b²-4ac 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 当Δ＜0时，方程没有实数根
利用一元二次方程解决面积问 题。
利用一元二次方程解决生活中 的其他问题。
05
习题及解答
习题
求出该函数与 $x$ 轴的交点坐标
根据图像指出该函数的最值
请同学们画出二次函数 $y=x^22x-3$ 的图像，并根据图像回答 下列问题
求出该函数与 $y$ 轴的交点坐标
回答下列问题：当 $x$ 取何值时 ，$y$ 取得最大值？最小值？
5.6二次函数的图象与一元二次方程学历案
5.6 二次函数的图象与一元二次方程 学历案 学习目标：1. 通过新知探究1，能说出二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点和一元二次方程02=++c bx ax 的关系；2. 通过经历用图象法求一元二次方程的近似解的过程，会用图象法求一元二次方程的近似解；3. 通过探究例2，能根据二次函数的系数，判断它的图象与x 轴的位置关系.学习重点：用图象法解一元二次方程、二次函数图象与x 轴的位置关系学习难点：用图象法求一元二次方程的近似解学习过程：一、复习回顾1.一次函数y ＝x ＋2的图象与x 轴的交点为（ ）一元一次方程x ＋2＝0的根为 2.一次函数y ＝－3x ＋6的图象与x 轴的交点为（ ）一元一次方程－3x ＋6＝0的根为思考：一元一次方程kx ＋b ＝0的根与一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点有什么关系？3. 一元二次方程=++c bx ax 20的根的判别式∆ = .方程根的情况是：当∆﹥0 时，方程当∆=0时，方程当∆﹤0时，方程二、新知探究观察抛物线y =x 2-2x -3，思考下面的问题：（1）抛物线与x 轴有几个公共点？交点的坐标分别是什么？（2）当函数y = x 2-2x -3的函数值是0时，x 取什么值？（3）一元二次方程x 2-2x -3=0有没有根？如果有根，解方程求出的根是什么？（4）一元二次方程x 2-2x -3=0的根和抛物线y = x 2-2x -3与x 轴的公共点的横坐标有什么关系？（5）你能猜想一元二次方程ax2+bx +c =0的实数根和抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴公共点的横坐标的关系吗？结论：抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根.如果一元二次方程 ax 2+bx +c =0 有实根，那么二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根；反之，如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方ax 2+bx +c =0的实根.跟踪练习：1如图是y =x 2-3x -4的图像，回答问题：（1）二次函数图像与x 轴交点坐标为（2）当x= 时，函数y=x2-3x-4的值为0新知探究2：例1：利用二次函数图象求一元二次方程x2-3x-2=0的近似解（精确到0.1）解：（1）画抛物线y=x2-3x-2.（3）观察图象，找出图象与x轴的公共点，可以发现，在3与4之间以及-1与0之间各有一个根.先求-1和0x-1 -0.5 0y 2 -0.25 -2由于当x=-1时，y= 2 ，当x=-0.5时，y=-0.25，所以当y=0 时，x在-1和-0.5之间，也就是方程的根在 -1和 -0.5之间.再将-1和-0.5之间分为5等份，每个分点作为x值列表如下：x-1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5y 2 1.51 1.04 0.59 0.16 -0.25可以发现，这个根在-0.5和-0.6之间.由于本题要求精确到0.1，所以可以将x=-0.5或x=-0.6看作二次方程x2-3x-2=0的根的近似值.x 3.0 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0y-2 -0.25 0.16 0.59 1.04 1.51 2可以发现，方程的另一根在3.5和3.6之间，所以可以将x=3.5 或x=3.6 看作二次方程x2-3x-2=0的根的近似值.例2：当m取何值时，抛物线y=mx2+3x-1与x轴有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？跟踪练习：1.判断下列二次函数与x轴是否有公共点，如果有，有几个？（1）y=-4x2+4x-1 （2）y=x2+x+2 （3）y=x2-3x-42.抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )A.m＜2 B．m＞2 C.0＜m≤2 D．m＜－2三、拓展延伸观察抛物线y=x2-2x+3（1）当y＞0时，求x的取值范围；（2）当y小于0时，求x的取值范围变式1：当x2-2x-3＞3时，求x的取值范围变式2：若关于x的一元二次方程x2-2x-3=m无实根，求m的取值范围四、课堂小结说一说本节课你有哪些收获.五、当堂检测：1. 根据下列表格的对应值，判断方程=++c bx ax 20（0≠a ，a,b,c 为常数）一个解的范围是（ ）A.3<x <<3.23B.3.23<x <3.24C.3.24<x <3.25D.3.25<x <3.262. 已知抛物线12-x -x y =与x 轴的一个交点为（m ,0），则代数式20202+m -m 的值为（ ）.A.2018B.2019C.2020D.20213.如图，抛物线2ax y =与直线c bx y +=的两个交点坐标分别为A （-2,4），B （1,1），则方程c bx ax +=2的解是____________.4.二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示.（1）不求a,b,c 的值，写出方程=++c bx ax 20的两个根；（2）当x 取何值时，y ＞0？由此写出不等式c bx ax ++2＞0的解集；（3）不用待定系数法，写出二次函数的表达式.六、中考链接（2020 杭州）在平面直角坐标系中，已知函数4,2,123222++=++=++=cx x y bx x y ax x y 1，其中a ，b ，c 是正实数，且满足ac b =2，设函数321y y y ，，的图象与x 轴的交点个数分别为321,,M M M 则（ ）A.若M 1=2，M 2=2，则M 3=0B.若M 1=1，M 2=0，则M 3=0C.若M 1=0，M 2=2，则M 3=0D.若M 1=0，M 2=0，则M 3=0。
二次函数与一元二次方程的关系课件
有两个解 有1个解 没有解
△>0 △=0 △<0
y
y
y
x1 x2
O x0
O A Bx
AxO
x
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程axBiblioteka +bx+c=0的根关系
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
和x轴的交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的
y
方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2
与A、B的坐标有什么联系？
1
2x
结论：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。
二、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数
y ax2 bx c
一元二次方程 令y=0
ax2+bx+c=0
根的判断 △=b2-4ac
与x轴的两个交点 与x轴的1个交点 与x轴的没有交点
判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有两个相异的实数根 b2-4ac>0
有一个交点 有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac<0
三、基础训练
例1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相
交，求出交点的坐标。 （2）y=-3x2+5x-2
解：a= -3, b= 5, c= -2
（1）y=6x2-2x+1
Δ= b2-4ac
解：a= 6, b=-2, c=1. Δ= b2-4ac
= 52 -4×(-3)×(-2) = 25 -24 = 1 >0
初中数学九年级下册课件：5.6 二次函数的图象与一元二次方程
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,12×1×
−
������ 4
=12×1×|am2+am|,
所以m=-12或m=−1−2 2或m=−1+2 2.
二次函数与一元二次方程有什么关系？如何应 用二次函数的图象解一元二次方程或不等式问 题？
5.6 二次函数的图象与一元二次 方程
学习目标
1.探索抛物线与x轴的交点横坐标和一元 二次方程的根的关系，体会方程与函数的 密切关系; 2.学会用图象法求一元二次方程近似根。
观察抛物线y=x2-2x-3，思考下面的问 题：
（1）抛物线与x轴有几个公共点？
..
公共点的坐标分别是什么？
抛物线与x轴有两个公共点（-。1,0)，（3。,0）。
y=ax2+bx+c与x轴的交点的坐标为
.
3.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围
是
.
4.二次函数y=-x2+4x-6的图象与x轴的交点的情况是
.
1.(1)✕ (2)✕ (3)√ 2.(-1,0),(6,0) 3.k≥-74且k≠0 4.没有交点
已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两实根x1,x2满足0<x1<1<x2<2, 求k的取值范围.
������−
2������+1 2
2-���4���,所以点C的坐标为
2������+1 2
,−
������ 4
.
当y=0时,a(x-m)2-a(x-m)=0,解得x1=m,x2=m+1.所以AB=1.
当△ABC的面积等于1时,有12×1×
二次函数的图像及一元二次方程与二次函数的关系
第十五讲二次函数的图像与性质二次函数 y ax2bx c 图象的画法1、二次函数的表示方法：1.一般式： y ax2bx c 〔 a ，b， c 为常数，a0 〕；2.顶点式： y a( x h )2k 〔 a ， h ， k 为常数，a0 〕；五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a(x h)2k ，y ax2bx c= a(x2b ca x2b b2(b2ca( xb24ac b2 x)x( ))a)4aa a a2a2a2a由此可见函数 y ax 2bx c 的图像与函数y ax 2的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
2、二次函数y ax2bx c 的图像特征〔1〕二次函数y ax 2bx c ( a≠0)的图象是一条抛物线；3、二次函数 y ax2bx c 的性质1. 当a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．2a2a4a 当 x b时， y 随x的增大而减小；2a当 x b时， y 随x的增大而增大；2a当 x b时， y 有最小值4acb2．2a4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a 当 x b时， y 随x的增大而增大；2a当 x b时， y 随x的增大而减小；2ab时， y 有最大值4ac2当 x b．2a4a3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；y 轴交点的纵坐标为负．⑶当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．例1 函数 y= x2 -2x -3 ,〔1〕把它写成y a(x m) 2k 的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的（2〕写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；（3〕求出图象与坐标轴的交点坐标；（4〕画出函数图象的草图；( 5 ) 设图像交x 轴于 A、 B 两点，交y 轴于 P 点，求△ APB 的面积；〔6〕根据图象草图，说出x 取哪些值时，①y=0;②y<0;③y>0.例 2、求抛物线y 1 x23x5的对称轴和顶点坐标。
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问题：比较二次函数的表达式y=x² -2x-3与一元二次方程x² 2x-3=0 ，你能说出二者之间有什么关系吗？
(4)一元二次方程x² -2x-3=0的实根与二次函数y=x² -2x-3的图 像与x轴的交点的横坐标有什么关系？
(5)通过以上探索活动，你发现一元二次方程x² -x+1/4=0与 二次函数y=x² -x+1/4的图像有什么关系？
必做题：习题5.6 选做题：习题5.6 4题、5题 6题
同学们, 再见!
Hale Waihona Puke 小结二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程 ax²+bx+c=0关系：
△=b²-4ac≥0 一元二次方程ax²+bx+c=0有 实数根 抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交 点 △=b²-4ac ＜0 一元二次方程ax²+bx+c=0无 实数根 抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有交点
作业题
学以致用
挑战自我
已知抛物线y=ax²+bx+c ，当a、b、c 满足什么条件时， (1)抛物线与x轴有两个公共点？ a ≠0且 b²-4ac＞0 (2)抛物线与x轴只有一个公共点？ a ≠0且 b²-4ac=0 (3)抛物线与x轴没有公共点？ a ≠0且 b²-4ac ＜0
我要成功
1、求二次函数y=2x² -4x-1的图像与x轴的公共点的 坐标 2、利用二次函数的图像求一元二次方程x² -8x+6=0 的近似解？（精确到0.1） 3、判断下列二次函数的图像与x轴是否有公共点， 如果有，有几个公共点？ (1) y=-1/4x² +4x-1 (2) y=x² +x+2 (3) y=x² -3x-4
学习目标
1、经历探究二次函数y=ax²+bx+c和一元 二次方程ax²+bx+c=0关系的过程，掌握 二次函数和一元二次方程的关系 2、能利用二次函数图像讨论一元二次方 程的实数根，反过来利用一元二次方程 的实数根讨论二次函数图像与x轴交点 3、进一步体会数形结合思想和函数与方 程思想的综合运用，感知数学美
y=x² -x+1/4
你知道吗？
(6)一般的，如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么该 方程的实根与二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的公共点的 横坐标有什么关系？
我总结我快乐
如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根， 那么二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有 公共点，且公共点的横坐标是这个一元 二次方程的实数根；反之，如果二次函 数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，那 么公共点的横坐标就是一元二次方程 ax²+bx+c=0的实数根。