2019-2020年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积,共线,向量结合的问题教学案文
2019-2020年高考数学二轮复习第二篇核心知识回扣2.5解析几何课件文
a
【易错易混提醒】
1.易忽视直线方程的几种形式的限制条件,如根据直线
在两轴上的截距相等设方程时,忽视截距为0的情况,直
接设为
=1;再如,过定点P(x0,y0)的直线往往忽视
斜率不存在的情况直接设为y-y0=k(x-x0)等.
x＋ y aa
2.易误认为两圆相切为两圆外切,忽视两圆内切的情况 导致漏解. 3.满足|PF1|+|PF2|=2a的点P的轨迹不一定是椭圆.当 2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,点P的轨 迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,点P的轨迹不存在.
4.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程,尤其是 方程中a,b,c三者之间的关系,导致计算错误. 5.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时,易忽 视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.
6.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组
有实数解,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是
否为零,判别式Δ ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的 关系解决问题时,必须先有“判别式Δ ≥0”;在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ >0” 下进行.
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
6.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系 (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e=
c
(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e=a
(完整版)高中数学解析几何知识点总结大全
③对于 A1A2 B1B2 0 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用
起来更方便． ④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜 率有可能不存在。 四、两直线的交角
注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x x0 ；
2.斜截式：若已知直线在 y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为 b ，斜率为 k ，则直
线方程： y kx b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为： y kx
注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
b a
；|
PPo
|
|t|
；
a2 b2
点 P1 , P2 对应的参数为 t1 , t2 ，则| P1P2 |
| t1 t2 | ； a2 b2
x
y
x0 y0
t t
cos sin
（
t
为参数）其中方向向量为
(c
os
,
sin
)
，
t 的几何意义为| PPo
| ；斜
率为 tan ；倾斜角为 (0 ) 。
产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意：①当 B 0 时，将直线 Ax By 0 向上平移，则 z Ax By 的值越来越大； 直线 Ax By 0 向下平移，则 z Ax By 的值越来越小；
②当 B 0 时，将直线 Ax By 0 向上平移，则 z Ax By 的值越来越小； 直线 Ax By 0 向下平移，则 z Ax By 的值越来越大；
二轮专题复习——解析几何
二轮专题复习——解析几何一．专题内容分析解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略：核心量的选择：常见的几何关系与几何特征的代数化：①线段的中点：坐标公式②线段的长：弦长公式；解三角形③三角形面积： 21底×高，正弦定理面积公式④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征代数运算：设参、消参重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．三．典型例题分析1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 边形APQM 为梯形？若存在，求出点P解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =.设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06AP y k =，114MQ y k x =-,∴01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2yy x =-， 由点M 在直线PB 上，则011(2)2y y x =-② ①②联立，0101(2)264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得1x =又由点M 在椭圆上，211143y +=，所以132y =±，即3(1,)2M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±.解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+.由(2)4y k x x =+⎧⎨=⎩，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==.∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由223(2)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消y ，得2222(121)484840k x k x k +-+-=.又(2,0)B , 所以212482121k x k +=+，即212242121k x k -=+，∴112123(2)121ky k x k -=-=+.∴22224212(,)121121k k M k k --++.由APMQ k k =可得22212612124264121kk k k k -+=--+， 解得12k =±, ∴3(1,)2M ±，(4,3)P ±，解法3：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k = . 显然直线MB 存在斜率且斜率不为0，∴设直线MB 方程为2x ty =+(0)t ≠.24x ty x =+⎧⎨=⎩由，得2(4,)P t .∴2163APt k t ==，由22234120x ty x y =+⎧⎨+-=⎩得22(34)120t y ty ++=， 设11(,)M x y ，又因为(2,0)B ，∴121234ty t -=+， ∴211268234t x ty t -+=+=+，即2226812(,)3434t tM t t -+-++.由APMQ k k =，所以22212134683434tt t t t -+=-+-+，解得23t =±解法4：假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, 所以||1||2BM BP =. 过点M 作M H AB ⊥于H ，则有||||BH BQ =∴||1BH =，∴(1,0)H ，即11x =，代入椭圆方程，求得∴(4,3)P ±.2.（东城区2016.4理科）已知抛物线2:2(C y px p =>x 轴）过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为p -．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：2OD OM>.备注：以抛物线为背景，核心变量的选择（直线方程的不同形式）；几何特征翻译代数关系（先转化再翻译）解：（Ⅰ）因为直线AB 过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，(,0)2PF ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB （不垂直x 轴）的方程可设为()(0)2py k x k =-≠． 所以2112(0)y px p =>，2222y px =． 因为直线OA 与OB 的斜率之积为p -， 所以1212y y p x x =-． 所以221212()y y p x x =，得 124x x =． ……4分 由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 消y 得22222(2)04k p k x k p p x -++= 其中 22222(2)0k p p k p k =+->V所以2124p x x =， 21222k P P x x k ++=． 所以4p =，抛物线2:8C y x =． ……8分 （Ⅱ）设0033(,),(,)M x y P x y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2201222122(2)()22k P P k x x x k k ++=+==，004(2)y k x k =-=. 所以直线OD 的斜率为02022op y kk x k ==+. 直线OD 的方程为222op ky k x x k ==+代入抛物线2:8C y x =的方程， 得22322(2)k x k +=.所以23(2)x k x =+.因为 20k >, 所以23(2)2OD x k OMx ==+>. ……13分 3.（东城区2018.5文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆C 在y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线ABABF的周长为定值．解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）①当AB 垂直于x 轴时，可得 4AF BF AB ++=． ②当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的方程为m kx y +=． 因为原点O 到直线AB=223(1)m k =+．由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，即222(34)8120k x kmx k +++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834km x x k -+=+，21221234k x x k=+．所以12|||AB x x =-====24||||34m k k =+． 因为A ,B 在y 轴右侧，所以0mk <，所以24||34mkAB k=-+． 22222111122111(1)(1)3(1)41124(2)42.x AF x y x x x x =-+=-+-=-+=-又所以11||22AF x =-，同理21||22BF x =-． 所以121||||4()2AF BF x x +=-+221844()423434km kmk k -=-=+++． 所以2244||||||443434km kmAF BF AB k k ++=+-=++．综上，△ABF 的周长等于椭圆C 的长轴长4．解法2：作OH AB ⊥于H ，所以||OH =所以2222222211111||||||33(1)344x x AH OA OH x y x =-=+-=+--=，即1||2x AH =， 同理2|B |2x H =， 所以121||||||()2AB AH BH x x =+=+， 又11||22AF x =-，同理21||22BF x =-． 所以．1212111||||||22()4222AF BF AB x x x x ++=-+-++= 综上，△ABF 的周长等于椭圆C 的长轴长4．解析几何选择填空题练习：1.（2018年全国3卷）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是原点．过2F作C 一条渐近线的垂线，垂足为P．若1|||PF OP = ，则C 的离心率为（ ）2分析：由题可知22||,||PF b OF c == ，所以||PO a =， 在2Rt POF ∆中，222||cos ||PF bPF O OF c∠== ， 又在12PF F ∆中，2222121212|PF ||FF |||cos 22|PF ||FF |PF PF O +-∠=⋅，=，所以b c = 所以223c a =，所以离心率ce a==.故选C. 解法二：过左焦点作渐近线的垂线，垂足为Q ，利用直角三角形勾股定理建立关系，可求。
高考二轮数学考点突破复习：解析几何
2019年高考二轮数学考点突破复习：解析几何2019年高考二轮数学考点突破复习：解析几何解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容.高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的16%.近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用；考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识；二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力.1.2019年高考试题预测纵观近年高考解析几何试题的课程特点和高考命题的发展趋势，下列内容仍是今后高考的重点内容.(1)直线斜率的概念及其计算，直线方程的五种形式；两条直线平行与垂直的条件及其判断，两条直线所成的角和点到直线的距离公式；线性规划的意义及其简单应用.(2)圆的标准方程、一般方程、参数方程的概念、性质及其应用.(3)椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程.“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
高考数学重点难点知识点有哪些
高考数学重点难点知识点有哪些高考数学重点难点知识点空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
高中数学重点知识总结简单随机抽样的定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
简单随机抽样的特点：(1)用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为(2)简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等;(3)简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础.(4)简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样简单抽样常用方法：(1)抽签法：先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N)，并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号;第二步，选定开始的数字;高考数学必考知识点归纳导数是微积分中的重要基础概念。
2024年高考数学第二轮复习备考建议及策略
2024年高考数学第二轮复习备考建议及策略2024年高考数学第二轮复习备考建议及策略随着高考的临近，数学第二轮复习也进入了关键阶段。
在这一轮复习中，我们需要把握复习的重点和难点，制定有效的复习策略，提高复习效率。
本文将结合多年高考数学复习经验，为同学们提供一些实用的备考建议和策略。
一、明确复习目标，把握重点难点在第二轮复习阶段，我们需要明确复习目标，了解考试大纲和命题趋势，把握重点和难点。
通过对历年高考数学试题的分析，我们可以总结出以下重点知识点和难点：函数与导数、数列与极限、向量与空间几何、概率与统计、解析几何等。
针对这些重点和难点，我们需要制定有针对性的复习计划。
二、制定复习计划，提高复习效率制定复习计划是提高复习效率的关键。
我们可以按照以下步骤制定复习计划：1、梳理知识点：将重点知识点和难点进行梳理，形成知识框架。
2、制定计划：根据知识框架和复习进度，制定每周的复习计划，包括每天的复习内容和时间安排。
3、分配时间：根据知识点的重要性和难度，合理分配复习时间，确保每个知识点都能得到充分复习。
4、制定个性化复习方案：根据自身情况，制定个性化的复习方案，突破自己的薄弱环节。
三、强化基础训练，巩固基础知识高考数学考试注重基础知识的考查，因此，在第二轮复习中，我们需要强化基础训练，巩固基础知识。
具体方法包括：1、复习课本：回归课本，加强对基本概念、公式、公理、定理等基础知识的理解和记忆。
2、做题训练：选择基础题目进行做题训练，加深对知识点的理解和应用。
3、总结归纳：将做题过程中遇到的问题和难点进行总结归纳，找出自己的知识盲点和薄弱环节，及时进行弥补。
四、注重解题方法，提高解题能力高考数学考试不仅考查基础知识，还注重考查学生的解题能力和数学思维。
因此，在第二轮复习中，我们需要注重解题方法的学习和提高。
具体方法包括：1、学习解题方法：掌握常见的解题方法和技巧，如分类讨论、数形结合、归纳法、反证法等。
2、做题实践：选择中等难度的题目进行做题实践，锻炼自己的解题能力和数学思维。
高三数学二轮复习微专题 ——解析几何中的线段长度问题
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高三数学二轮复习微专题
——解析几何中的线段长度问题
■田荣成
在近几年高考及模拟试题中较多的出现线段长度（共线向 量）的问题。线段的长度问题常用的方法是两点间距离公式、 弦长公式。但对一些特殊的线段长度问题若仍然采用通法去 求解，则计算量成倍增加，费时费力，学生的畏难情绪油然而 生，大多中途放弃，能坚持算下去的少数学生中也极少有人能 算出正确答案。所以要攻克解析几何这座堡垒，一方面要坚持 培养学生的计算能力，另一方面也要重视条件转化方法的选 择，提升思维量，降低计算量，否则就把学生引入了“苦算”的汪 洋大海中去了。
（作者单位：河北省唐山市滦南县第一中学）
考点聚焦
123
称此方法为化斜为“平竖”法。在得到两交点的坐标关系后，可
用弦长公式求解 HG 长。
分别过 H, G 点作 H1, G1 垂直于 y 轴，垂足为 H1, G1。
因为 HH1 ∥ EO ∥ GG1
所以
|HE| |EG|
=
|H1O| |OG1|
=
3
H
本文拟从一道较常见的模拟试题入手，从五个不同的角度 介绍破解策略，供读者参考，希望能给读者一点启发。
x2 y2 【例】已知椭圆C：8 +4 = 1，过左焦点 E 的直线与椭圆 C 交于 G, H 两点，且 HE = 3 EG，试求此时弦长 HG。 何使【用分条析件】H本E题=中3 E出G现，以三及条如线何段表H示E，所EG求，问HG题的HG长的度长，那度么呢如？ 【分方析法：1此】向题量中的的坐条标件法HE = 3 EG 是以向量形式给出的，所 以很容易想到向量的坐标法，在上述方法求出 H, G 点坐标后 可以用两点间距离公式求出 HG 长。
三、解题步骤 针对七选五这一题型，我建议以下解题步骤：1. 通读全文， 了解文章大意，明白上下文的逻辑。2. 浏览选项，并抓住选项 中的关键词语，做到心中有数。3. 详读段落，先易后难各个击 破，注重上下文的联系。4. 复读检查，攻克难点，注重上下文意 义关联。5. 研究两个多余选项，确定排除干扰。另外，在解题 过程中要牢记八字方针：空前空后，先易后难。 结语：通过以上分析，我们不难发现七选五题型并不像我 们想象得那么难，每一个空的设置都符合考试大纲的要求。由 此看出，高考题中的七选五是有答题模板的，只要我们掌握以 上解题技巧和方法，多练习高考真题，这一题型是可以拿高分 甚至满分的，毕竟把简单练到极致就会成功！ 参考文献 ［1］胡小力，赖丽燕 . 新课改背景下的英语试卷分析［D］. 中国考试（研究版），2009. ［2］邓景鸿，彭桂华 . 全面破解高考英语阅读七选五［D］. 高考金刊，2016.
19年数学高考大题知识点
19年数学高考大题知识点数学一直是高考中的一门重要科目，对于考生来说，掌握数学的基本知识和解题技巧是取得好成绩的关键。
本文将针对2019年数学高考大题中的一些知识点进行详细论述，希望能帮助广大考生更好地备战。
一、平面向量平面向量是高考数学中的重要内容之一，涉及到向量的表示、运算、共线、垂直等多个方面的知识点。
在2019年数学高考大题中，平面向量的应用较多。
首先，我们来讨论平面向量的表示和运算。
平面向量一般用字母加上箭头表示，如向量AB记作→AB。
向量可以进行加法、减法和乘法运算。
加法运算遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点连在一起，将两个向量的终点连在一起，连接起始点和终止点，所得到的向量即为两个向量的和。
减法运算可视为加法运算的逆运算，即将被减数加上减向量的负向量。
向量与标量的乘法是指用一个实数来放大或缩小向量的长度。
其次，我们关注平面向量的共线和垂直。
两个非零向量共线的充要条件是它们的方向相同或相反；两个非零向量垂直的充要条件是它们的内积为零。
二、几何证明几何证明是高考数学中的另一重要内容，要求考生具备一定的几何知识和推理能力。
通过几何证明，可以深入理解几何定理和性质，拓宽数学思维。
在2019年的数学高考大题中，几何证明的题目较多，涉及到平行线、相似三角形、圆等几何概念。
在几何证明中，需要应用到的知识点有：等腰三角形的性质、直角三角形的性质、两角平分线的性质等等。
考生在备考过程中，要熟练掌握这些几何知识点，结合定理使用灵活。
三、数列与数学归纳法数列是高考数学中的重要考点之一，对于考生来说，了解数列的基本概念、计算方法以及性质是必不可少的。
数列中的重要概念包括等差数列、等比数列、递推公式等。
在2019年数学高考大题中，数列的应用较多，包括求和、推导递推公式等。
对于这些题目，考生需要熟练掌握数列的求和公式，对于等差数列和等比数列应用不同的求和公式。
数学归纳法是解决数列问题的一种重要思想方法，可以通过归纳证明来推导出数列的通项公式。
2020高考数学二轮备考策略及注意事项
模拟试题商榷点1——核心知识考查不均衡
模拟试题商榷点2——核心知识考查不均衡
三角函数的图象与性质 零考查
模拟试题商榷点2——核心知识考查不均衡
数学文化、五育并举 零考查
概率知识零考查
模拟试题商榷点3——关键条件漏注
n N
模拟试题商榷点4——条件标错位置
模拟试题商榷点5——知识超标
模拟试题商榷点6——选择题压轴压不住
措施二：结合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ际，制定策略
二轮备考怎么复习？
主干知识
专题 思想方法
答题模板
题型分类
考题 方法技巧
刷题突破
专题整合类
专题划分
知识整合
对点训练
考点精讲
题型突破
思维升华
专题整合类
重构了知识体系，尤其是主干知识体系构 优点 建的很牢固，方法系统归纳，有利于中等
生成绩的提升
（1）注重通性通法的考查，淡化了特殊的解题技巧，以全国Ⅰ卷理科为例： 1,2,3,5,7,8,9,10,13,14等都是很常规的考法，注重基础知识的积累与应用；
（2）增加了很多开放性和探索性问题设问，考查学生的学科素养，例如：全国Ⅰ卷 理科T4，T21；Ⅱ卷理科T4、T13、T21；Ⅲ卷理科T3、T17、T20等
一、选择题、填空题的命题特点
(一)考查排列、组合的应用,以考查两个计数原理和排列、组合的应用为主, 难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现.
(二)考查二项式定理的应用,以考查运用二项式定理求特定项、求项数和二项式 定理性质的应用为主,难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现.
(三)考查随机事件的概率,以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主,难 度中等,常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现,随 机事件的频率与概率题目往往以解答题的形式出现,互斥事件、对立事件的概念 及概率题目常常以选择、填空题的形式出现.
2019-2020年高考数学二轮复习-二十九-概率作业专练2-文
2019-2020年高考数学二轮复习二十九概率作业专练2 文A. B. C. D.1.随机变量X的概率分布列为，() 其中为常数，则的值为（）A. B. C. D.2.某机械加工零件由两道工序组成，第一道的废品率为a，第二道的废品率为b，假定这道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A. B. C. D.3.用红.黄.蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，3个矩形颜色都不同的概率是( ）A. B. C. D.4.先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( )A. B. C. D.5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则log2X Y＝1的概率为( ).A. B. C. D.6.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).A.至少有1个白球；都是白球B.至少有1个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；恰有2个白球D.至少有一个白球；都是红球7.下列四种说法：①命题“若或，则”的否命题是“若或，则”；②四面体的外接球球心在棱上，且，，则在外接球球面上.两点间的球面距离是；③若，则复数在复平面内对应的点位于第三象限；④在某项测量中，测量结果服从正态分布（）.若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为0.4；其中说法正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个8.设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（）A. B. C. D. 一、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）9.在边长为2的正方形内部任取一点，则满足的概率为______ _；10.设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程+px+1=O有实数根的概率为____________．11.某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）12.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.二、解答题（本大题共2小题，共24分）13. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联（1）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一当女生的概率．（3）为了研究喜欢打篮球是否与性别有关，计算出K2≈8．333，你有多大的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？14.某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。
高考数学面积知识点总结
高考数学面积知识点总结数学是高考中的一门重要科目，而数学中的面积是一个常见的知识点。
在高考中，面积所占的比例也相对较大。
本文将对高考数学中常见的面积知识点进行总结，以帮助广大考生更好地备考。
1. 平面图形的面积计算平面图形的面积计算是高考中最基本的面积知识点之一。
常见的平面图形包括矩形、正方形、三角形、圆等。
下面分别介绍这些图形的面积计算公式和计算方法：- 矩形的面积计算公式为：面积=长×宽。
当矩形为正方形时，面积计算公式简化为：面积=边长×边长。
- 三角形的面积计算公式为：面积=(底边长×高)/2。
其中，底边长为底边的长度，高为从底边到垂直于底边的线段的长度。
- 圆的面积计算公式为：面积=π×半径×半径。
其中，π为一个常数，约等于3.14159。
2. 多边形的面积计算除了矩形、正方形和三角形之外，还有一些多边形的面积计算比较常见。
这些多边形包括梯形、菱形和正多边形等。
下面分别介绍这些图形的面积计算公式和计算方法：- 梯形的面积计算公式为：面积=(上底+下底)×高/2。
其中，上底和下底分别为梯形的两个平行边的长度，高为从上底到下底的垂直距离。
- 菱形的面积计算公式为：面积=对角线1×对角线2/2。
其中，对角线1和对角线2为菱形的两条对角线的长度。
- 正多边形的面积计算公式为：面积=(边长×边长×n)/(4×tan(π/n))。
其中，边长为正多边形的边长，n为正多边形的边数，π为一个常数，约等于3.14159。
3. 曲线图形的面积计算除了平面图形和多边形之外，还有一些曲线图形的面积计算比较常见。
这些图形包括扇形和求积分所得到的曲线图形的面积。
下面分别介绍这两种图形的面积计算方法：- 扇形的面积计算公式为：面积=(圆心角/360度)×π×半径×半径。
其中，圆心角为扇形所对应的圆心角的度数，半径为扇形的半径。
新课标版高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积共线向量结合的问题测试卷理
解析几何中的面积，共线，向量结合的问题（一）选择题（12*5=60分）1．【河北省廊坊市2018届模拟】若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则(为坐标原点）的值是（）A. B. C. 3 D.【答案】D2．【福建省厦门市2018届期末】中，，是双曲线的左、右焦点，点在上，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，点在双曲线的右支上．设的中点为，由得，所以，由双曲线的定义得．在中，，∴，即，整理得．选D．3．【河南省安阳市2018届第一次模拟】已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由知此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴，∴是直角三角形，即，设，则，∴，故选A．4．【黑龙江省牡丹江市2018届期末】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设右焦点为，连接,因为,所以当直线过右焦点时，的周长最大.由椭圆定义知周长的最大值为，所以，把代入椭圆方程得，所以此时的面积，故选A.5．【百校联盟2018届一月联考】根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为36万千米，月球轨道上点与椭圆两焦点构成的三角形面积约为 (万千米)2，，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B．选B．。
2019年高考数学热点重点难点专题透析 专题6 解析几何
专题6解析几何一、直线和圆1.如何判断两条直线平行与垂直?(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有k1=k2⇔l1∥l2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行.(2)两条直线垂直若两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则k1·k2=-1⇔l1⊥l2,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.2.如何判断直线与圆的位置关系?设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.3.如何判断圆与圆的位置关系?设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:4.如何求直线与圆相交得到的弦长?(1)几何法,直线被圆截得的半弦长,弦心距d和圆的半径r构成直角三角形,即r2=+d2;(2)代数法,联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x或y的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=|x1-x2|=·-或|AB|=·|y1-y2|=·-.二、圆锥曲线1.椭圆的标准方程怎么求?几何性质有哪些?+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)2.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些?(a>0,b>0)(a>0,b>0)3.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?p的几何意义:焦点F到准线l的距离三、直线与圆锥曲线的位置关系1.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系?判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即消去y,得ax2+bx+c=0.(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离.(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.如何求圆锥曲线的弦长?设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=·-=·|y1-y2|=·-.3.直线与圆锥曲线相交时,弦中点坐标与直线的斜率是什么关系?试用点差法进行推导.椭圆:设直线l斜率为k,直线l与椭圆+=1交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,AB中点为P(x0,y0).则+=1,+=1,两式相减整理得:-=-,即k=-.-同理:双曲线中有k=.1.直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所下降,其中两条直线的平行与垂直,点到直线的距离,两点间的距离是命题的热点.圆与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆的方程,直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切、相交.2.圆锥曲线主要考查的问题(1)圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,这部分是每年必考内容,虽然大纲降低了对双曲线的要求,但在选择题中仍然会考查双曲线.圆锥曲线可单独考查,也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查,突出考查学生的运算能力和转化思想.(2)直线与圆锥曲线的位置关系:此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,通常从圆锥曲线的概念入手,从不同角度考查,或探究平分面积的线、平分线段的点(线),或探究使其解析式成立的参数是否存在.(3)圆锥曲线的参数范围、最值问题:该考向多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数、方程、不等式、向量等知识交汇,形成轨迹、范围、弦长、面积等问题.从近几年高考情形来看,该类专题在高考中占的比例大约为20%,一般是一个解答题和两个小题,难度比例适当.一、选择题和填空题的命题特点(一)考查直线与圆的方程,难度中等,主要考查圆的方程、直线与圆相交形成的弦长、直线与圆相切或相交的有关问题.1.(2018·全国Ⅰ卷·文T15改编)直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,当|AB|=2时,k= .解析▶圆的标准方程为x2+(y+1)2=4,其圆心为(0,-1),半径为2,设圆心到直线kx-y+1=0的距离为d,则d=.因为|AB|=2-=2-=2,所以d=,所以=,所以k=±1.答案▶±12.(2018·全国Ⅲ卷·文T8改编)已知A(-2,0),B(0,-2),则圆(x-2)2+y2=2上一点P到AB所在直线距离的取值范围是().A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]解析▶根据题意得AB所在的直线方程为x+y+2=0,则圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离d==2.又因为半径r=,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为2+=3,最小值为2-=,故选C.答案▶ C(二)考查圆锥曲线的概念与标准方程,难度中等,主要考查圆锥曲线的定义、代入法求轨迹方程以及待定系数法求标准方程.3.(2018·北京卷·文T12改编)若双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,则a=.解析▶因为a>0,根据题意,双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,所以a=4.答案▶ 44.(2018·天津卷·文T7改编)已知双曲线-=1(a>0,b>0) 的渐近线方程为y=±x,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1,d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析▶由题意可得图象,如图,CD是双曲线的一条渐近线y=x,即bx-ay=0,右焦点为F(c,0),且AC⊥CD,BD ⊥CD,EF⊥CD,所以四边形ABCD是梯形.又因为F是AB的中点,所以EF==3,得EF==b,所以b=3.又=,所以a=,故双曲线的方程为-=1,故选A.答案▶ A(三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心率、范围、对称性、渐近线、准线等性质.5.(2018·全国Ⅰ卷·文T4改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(2,0),离心率为,则C的标准方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析▶因为椭圆焦点在x轴上,且c=2,离心率e==,解得a=2,所以b=2,故C的标准方程为+=1,故选C.答案▶ C6.(2018·全国Ⅲ卷·文T10改编)已知点(4,0)到双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线的距离为2,则C的离心率为().A.B.2C.D.2解析▶由题意可知双曲线的一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,故点(4,0)到C的渐近线的距离d==2,整理可得a=b,故双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e===,故选A.答案▶ A(四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与取值范围问题.7.(2017·全国Ⅰ卷·文T12改编)已知椭圆C:+=1离心率的取值范围为,则m的取值范围为().A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)解析▶ 当0<m<3时,焦点在x 轴上,则 = - ≥ ,∴ ≤ ,即 ≤ ,得0<m ≤1;当m>3时,焦点在y 轴上,则 = - ≥,∴ ≤ ,即≤ ,得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A .答案▶ A8.(2017·全国Ⅱ卷·文T5改编)已知双曲线C : -=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,实轴长大于2,则双曲线C 的离心率的取值范围是( ).A .( ,+∞)B .( ,2)C .(1, )D .(1,2)解析▶ 由题意知,b=1,a>1,则e2= = =1+.因为a>1,所以1<1+<2,则1<e< ,故选C .答案▶ C二、解答题的命题特点圆锥曲线的综合试题一般为第20题,是全国卷中的压轴题,难度较大,综合性强,题型变化灵活,能考查学生的数学综合能力,是出活题、考能力的代表.由于向量、导数等内容的充实,圆锥曲线试题逐渐向多元化、交汇型发展,试题既保证突出运用坐标法研究图形几何性质,考查解析几何的基本能力的同时,又聚焦于轨迹、参数的取值范围、定值、定点和最值问题的动态变化探究,考查解析几何的核心素养.主要题型有点的轨迹与曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的最值与取值范围、定点与定值问题等.主要命题方向:(一)用坐标法判断图形的几何性质1.(2018·全国Ⅱ卷·文T20)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k>0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=8. (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解析▶ (1)由题意得F (1,0),l 的方程为y=k (x-1)(k>0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由 - 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x 2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l 的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则 -- 解得 或 -因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.2.(2017·全国Ⅱ卷·T20)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C : +y 2=1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足 = . (1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x=-3上,且 · =1,证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.解析▶ (1)设P (x ,y ),M (x 0,y 0),则N (x 0,0), =(x-x 0,y ), =(0,y 0). 由= 得x 0=x ,y 0= y. 因为M (x 0,y 0)在C上,所以 +=1.因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.(2)由题意知F (-1,0). 设Q (-3,t ),P (m ,n ),则 =(-3,t ), =(-1-m ,-n ), · =3+3m-tn , =(m ,n ), =(-3-m ,t-n ). 由 · =1得-3m-m 2+tn-n 2=1. 又由(1)知m 2+n 2=2,故3+3m-tn=0. 所以 · =0,即 ⊥. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. (二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围)3.(2018·北京卷·文T20)已知椭圆M : +=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2 .斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆M 的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若C ,D 和点Q -共线,求k.解析▶ (1)由题意得解得 所以椭圆M 的方程为 +y 2=1. (2)设直线l 的方程为y=x+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由得4x 2+6mx+3m 2-3=0, 所以x 1+x 2=-,x 1x 2= -.所以|AB|= - -= -= - =-. 当m=0,即直线l 过原点时,|AB|最大,最大值为 . (3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意得 +3 =3, +3=3.直线PA 的方程为y=(x+2). 由 得[(x 1+2)2+3 ]x 2+12 x+12 -3(x 1+2)2=0. 设C (x C ,y C ), 所以x C +x 1=-= -. 所以x C = - -x 1=- -.所以y C =(x C +2)=.设D (x D ,y D ), 同理得x D =- -,y D = . 记直线CQ ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ , 则k CQ -k DQ = -- ---- -=4(y 1-y 2-x 1+x 2). 因为C ,D ,Q 三点共线, 所以k CQ -k DQ =0.故y 1-y 2=x 1-x 2. 所以直线l 的斜率k=- -=1.(三)求证图形的几何性质中一些几何量的相等问题4.(2018·全国Ⅲ卷·文T20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C : + =1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m>0).(1)证明:k<-.(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且 + + =0.证明:2| |=| |+||. 解析▶ (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 + =1, +=1.两式相减得 - + -=0,由 - -=k 得 +·k=0.由题设知=1, =m ,于是k=-.由题设可知点M 在椭圆内部,所以 + <1,解得0<m<,故k<-.(2)由题意得F (1,0),设P (x 3,y 3), 则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0. 又点P 在C 上,所以m=,从而P - ,||=. 于是| |= -= - -=2-.同理||=2-. 所以| |+| |=4- (x 1+x 2)=3, 故2| |=| |+||. 5.(2018·全国Ⅰ卷·文T20)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.解析▶ (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,代入抛物线方程可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2),所以直线BM 的方程为y= x+1或y=- x-1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线, 所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k (x-2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由 - 得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2= ,y 1y 2=-4. 直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN = + = . ①将x 1= +2,x 2=+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)==-=0.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.1.圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、范围、对称性、渐近线、准线等.这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线方程.对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲线的几何性质并灵活应用,是解题的关键.3.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题,综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的关系式,再利用题设条件化简、变形求得定值.(3)求某条线段长度为定值.利用长度公式求得关系式,再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得定值.5.(1)解决是否存在常数(或定点)的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.(2)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.17直线方程与圆的方程1.已知三点A(1,-2),B(a,-1),C(-b, 0)共线,则+(a>0,b>0)的最小值为().A.11B.10C.6D.4解析▶由题意知,k AB=k BC,所以2a+b=1,所以+=3++=3+(2a+b)=3+4++≥7+2=11,当且仅当a=,b=时等号成立,故选A.答案▶ A2.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是().A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=4解析▶设所求圆的圆心为(a,b),则--所以所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4,故选D.答案▶ D3.若圆x2+y2+4x-2y-a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2,则实数a=().A.±2B.-2C.±4D.4解析▶圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=5+a2,则圆心坐标为(-2,1),半径r=.所以圆心到直线x+y+5=0的距离为=2.由1+(2)2=5+a2,得a=±2,故选A.答案▶ A4.已知AB为圆C:x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为.解析▶圆心C(0,1),设∠PCA=α,|PC|=m,则|PA|2=m2+1-2m cos α,|PB|2=m2+1-2m cos(π-α)=m2+1+2m cos α,∴|PA|2+|PB|2=2m2+2.又点C到直线y=x-1的距离d=--=,即m的最小值为,∴|PA|2+|PB|2的最小值为2()2+2=6.答案▶ 6【例1】已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(m+5)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析▶若l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×2,解得m=-1或m=-7,经检验,当m=-1时,l1与l2重合,∴m=-7,故“l1∥l2”是“m<-1”的充分不必要条件,故选A.答案▶ A(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.设a∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析▶若两条直线平行,则=≠-,解得a2=1,且a≠-1,所以a=1,即“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的充要条件,故选C.【例2】若圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是().A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0解析▶设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|,故圆的方程为x2+(y-b)2=b2.∵点(3,1)在圆上,∴9+(1-b)2=b2,解得b=5.∴圆的方程为x2+y2-10y=0,故选B.答案▶ B确定圆心位置的方法:(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是().A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1解析▶设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则-解得-因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.【例3】若直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是().A.x=0B.y=1C.x+y-1=0D.x-y+1=0解析▶依题意,直线l:y=kx+1过定点P(0,1),圆C:x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4,故圆心为C(1,0),半径r=2,则易知定点P(0,1)在圆内,由圆的性质可知当PC⊥l时,此时直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长最短.因为k PC=--=-1,所以直线l的斜率k=1,即直线l的方程是x-y+1=0,故选D.答案▶ D如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2-过点(2,0)引直线l与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积取最大值时,直线l的斜率为.解析▶由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,当△AOB 面积取最大值时,OA⊥OB,此时圆心O到直线l的距离d=1,由点到直线的距离公式得d==1,∴k=±.±【例4】已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B为切点,C 是圆心,则四边形PACB面积的最小值是().A.B.2C.D.2解析▶圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1.根据对称性可知,四边形PACB的面积为2S△APC=2××|PA|×r=|PA|=-,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,当|PC|最小时,圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离d=--==2,所以四边形PACB面积的最小值为-=-=,故选C.答案▶ C解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为().A.6B.C.8D.解析▶如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,此时△ABP的面积最小.直线AB的方程为+-=1,即3x-4y-12=0,圆心C(0,1)到直线AB的距离d=---=,|AB|=5,所以△ABP面积的最小值为×5×-=,故选B.答案▶ B一、选择题1.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是().A.-1<k<B.-1<k<C.k<-1或k>D.k<-1或k>解析▶设直线l的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-.由-3<1-<3,得k<-1或k>,故选D.答案▶ D2.已知圆C:(x-a)2+y2=1与抛物线y2=-4x的准线相切,则a的值是().A.0B.2C.0或1D.0或2解析▶圆心坐标为(a,0),准线方程为x=1,所以|a-1|=1,解得a=0或a=2,故选D.答案▶ D3.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是().A.2B.8C.D.解析▶直线方程6x+my-14=0可化为3x+y-7=0,所以两条平行直线之间的距离d=--=2,故选A.答案▶ A4.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是().A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4解析▶AB的垂直平分线为y=x,直线y=x与x+y-2=0的交点是(1,1),即圆的圆心坐标为(1,1),故半径r=---=2,故选C.答案▶ C5.若过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为().A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0解析▶由过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,得点(3,1)在圆上,代入可得r2=5,圆的方程为(x-1)2+y2=5,则得过点(3,1)的切线方程为(x-1)(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7=0,故选B.答案▶ B6.已知过原点的直线l与圆C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B,且线段AB的中点D的坐标为(2,则弦长|AB|为().A.2B.3C.4D.5解析▶圆C:x2+y2-6x+5=0,整理得其标准方程为(x-3)2+y2=4,∴圆C的圆心坐标为(3,0),半径为2.∵线段AB的中点为D(2,),∴|CD|==,∴|AB|=2|AD|=2-=2,故选A.答案▶ A7.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,则圆O2的方程为().A.(x-2)2+(y-1)2=6B.(x-2)2+(y-1)2=22C.(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22D.(x-2)2+(y-1)2=36或(x-2)2+(y-1)2=32解析▶设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0),因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0,所以圆心O1到直线AB的距离d=-.由d2+22=6,得-=2,所以r2-14=±8,r2=6或r2=22.故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22,故选C.答案▶ C8.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),若p:1≤r≤3;q:圆C上至多有3个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p 是q的().A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析▶ 圆心C (1,0)到直线x- y+3=0的距离d=-=2,当r=1时,圆上恰有一个点到直线的距离为1;当1<r<3时,圆上有两个点到直线的距离为1;当r=3时,圆上有三个点到直线的距离为1.所以p ⇒q.若圆C 上不存在点到直线的距离为1,则0<r<1,所以q ⇒/ p ,所以p 是q 的充分不必要条件,故选A .答案▶ A9.已知圆E 经过A (0,1),B (2,0),C (0,-1)三点,且圆心在x 轴的正半轴上,则圆E 的标准方程为( ).A . - +y 2=B . +y 2=C . - +y 2=D . - +y 2=解析▶ 根据题意,设圆E 的圆心坐标为(a ,0)(a>0),半径为r , 所以 - - 解得故圆E 的标准方程为 -+y 2=,故选C . 答案▶ C10.已知直线l :x+y-1=0被圆O :x 2+y 2=r 2(r>0)所截得的弦长为 ,交点为M ,N ,且直线l':(1+2m )x+(m-1)y-3m=0过定点P ,若PM ⊥PN ,则|MN|的取值范围为( ). A .[2- ,2+ ] B .[2- ,2+ ] C .[ - , + ] D .[ - , + ]解析▶ 由题意知,2 -= ,解得r=2. 因为直线l':(1+2m )x+(m-1)y-3m=0, 所以点P 的坐标为(1,1).设MN 的中点为Q (x ,y ),则OM 2=OQ 2+MQ 2=OQ 2+PQ 2,即4=x 2+y 2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得 - + - =,所以点Q 的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为-.又|MN|=2|PQ|,所以|MN|的取值范围为[ - , + ],故选D .答案▶ D 二、填空题11.已知点A (-2,0),P 为圆C :(x+4)2+y 2=16上任意一点,若在x 轴上存在点B 满足2|PA|=|PB|,则点B 的坐标为 .解析▶ 设B (a ,0),P (x ,y ),则2 = - - ,整理得到3x 2+3y 2+(16+2a )x+16-a 2=0.又P (x ,y )在圆C :(x+4)2+y 2=16上,则x 2+y 2+8x=0,从而 -解得a=4.故点B 的坐标为(4,0).答案▶ (4,0)12.已知圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-4)2=1,过动点P (a ,b )分别作圆C 1、圆C 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点),若PM=PN ,则 - 的最小值是 .解析▶ 在Rt △PMC 1与Rt △PNC 2中,PM=PN ,MC 1=NC 2=1,所以Rt △PMC 1与Rt △PNC 2全等,所以PC 1=PC 2,则点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上,根据C 1(0,0),C 2(2,4)可求得其垂直平分线的方程为x+2y-5=0.因为-表示P(a,b),Q(5,-1)两点间的距离,所以最小值就是点Q到x+2y-5=0的距离,利用点到直线的距离公式可求出最小值为.答案▶三、解答题13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),A为椭圆C的右顶点,以A为圆心的圆A与直线y=x相交于P,Q两点,且·=0,=3,求椭圆C的标准方程和圆A的方程.解析▶设T为线段PQ的中点,连接AT,则AT⊥PQ.∵·=0,即AP⊥AQ,∴|AT|=|PQ|.又=3,则|OT|=|PQ|,∴=,即=.由c=,得a2=4,b2=1,故椭圆C的标准方程为+y2=1.又|AT|2+|OT|2=a2=4,则|AT|2+4|AT|2=4,|AT|=,r=|AP|=,故圆A的方程为(x-2)2+y2=.18圆锥曲线的标准方程与几何性质1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是().A.-1B.2-C.-1D.2-解析▶根据题意,设F(c,0),又由△OAF是等边三角形,得A.因为点A在椭圆上,所以+=1. ①又a2=b2+c2,②联立①②,解得c=(-1)a,则其离心率e==-1,故选A.答案▶ A2.直线l:x-2y-5=0过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1解析▶对于直线l,令y=0,得x=5,即c=5.又=,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为-=1,故选A.答案▶ A3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为().A.B.C.D.解析▶设P(x0,y0),因为抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,|PM|=9,根据抛物线的定义,可得x0=8,所以y0=±4.又点P在第一象限,所以P(8,4),所以k PF=,故选C.答案▶ C4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为().A.2B.3C.6D.8解析▶设P(x0,y0),则+=1,即=3-.又F(-1,0),所以·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.因为x0∈[-2,2],所以(·)max=6,故选C.答案▶ C【例1】已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是().A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线的右支解析▶因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以F2M=2ON=2.因为点P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即点P的轨迹是双曲线的右支,故选D.答案▶ D求轨迹方程的常用方法:一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF2的中点在y轴上,则|PF2|是|PF1|的().A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析▶设线段PF2的中点为D,则|OD|=|PF1|,OD∥PF1,OD⊥x轴,∴PF1⊥x轴,∴|PF1|===.又∵|PF1|+|PF2|=4,∴|PF2|=4-=,∴|PF2|是|PF1|的7倍,故选A.【例2】已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是().A.-y2=1B.-=1C.x2-=1D.-=1解析▶由题意可得-解得∴双曲线C的标准方程是x2-=1,故选C.答案▶ C渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程.已知双曲线-=1的离心率为,且双曲线与抛物线x2=-4y的准线交于A,B两点,S△ABO=,则双曲线的实轴长为().A.B.2 C.2D.4解析▶因为抛物线的方程为x2=-4y,所以准线方程为y=.因为S△ABO=,所以×2×|x A|×=,所以x A=±1,所以A(1,)或A(-1,).因为双曲线-=1的离心率为,所以a=b,所以-=1,故a=,因此双曲线的实轴长为2,故选C.【例3】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若|OM|=|MF1|=|OP|,则椭圆E的离心率为().A. B.C.-1D.解析▶因为|OM|=|MF1|=|OP|,所以∠F1PO=30°, ∠MF1F2=60°,连接MF2 ,则可得三角形MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中,易知MF1=c,MF2=c,则c+c=2a,所以离心率e===-1,故选C.答案▶ C求离心率一般有以下几种方法:①直接求出a,c,从而求出e;②构造a,c的齐次式,求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.本题中,根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系,从而找出a,c之间的关系,求出离心率e.过双曲线-=1(a>b>0)的左焦点F作某一渐近线的垂线,分别与两条渐近线相交于A,B两点,若=,则双曲线的离心率为().A.B.2 C.D.解析▶因为a>b>0,所以交点A,B在F的两侧.由=及角平分线定理知==.由AB⊥AO知cos∠AOB==,所以∠AOB=60°,∠AOF=30°,据此可知渐近线的方程为y=±x,而双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,故=,则双曲线的离心率e==,故选A.【例4】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为().A.B.C.D.1解析▶设P,由题意知F,显然当y0<0时,不符合题意,故y0>0,则=+=+=+(-)=+=,可得k OM==≤=,当且仅当=2p2,即y0=p时取等号,故选C.答案▶ C解题时一定要注意分析条件,根据条件|PM|=2|MF|,利用向量的运算可知M,从而写出直线的斜率的表达式,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题.如图,圆O与离心率为的椭圆T:+=1(a>b>0)相切于点M(0,1),过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,两条直线与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合).若P 为椭圆上任意一点,记点P到两条直线的距离分别为d1,d2,则+的最大值是().A.4B.5C.D.解析▶易知椭圆T的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=1.设P(x0,y0),因为l1⊥l2,所以+=PM2=+(y0-1)2.又因为+=1,所以+=4-4+(y0-1)2=-3+.因为-1≤y0≤1,所以当y0=-时,+取得最大值,此时点P的坐标为-,故选C.答案▶ C一、选择题1.抛物线y=4x2的准线方程为().A.y=-1B.y=1C.y=D.y=-解析▶将y=4x2化为x2=y,则该抛物线的准线方程为y=-,故选D.答案▶ D2.已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m=().A.6B.C.4D.2解析▶由焦点在x轴上的椭圆+=1,可得a=,c=-.由离心率为可得-=,解得m=4,故选C.答案▶ C3.已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则椭圆的方程为().A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+y2=1解析▶由题意可设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1.又离心率e==,解得a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1,故选A.答案▶ A4.已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是().A.-B.-C.-D.-解析▶设正方形ABCD的边长为2m,因为椭圆的焦点在正方形的内部,所以m>c.又正方形的四个顶点都在椭圆+=1上,所以+=1>+=e2+-=e2+-,所以e4-3e2+1>0,所以e2<-=-,所以0<e<-,故选B.答案▶ B5.以F(p>0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2-y2=2相交于M,N两点,若△MNF为正三角形,则抛物线C的标准方程为().A.y2=2xB.y2=4xC.x2=4yD.x2=2y解析▶将y=代入双曲线x2-y2=2中,可得x=±.∵△MNF为正三角形,∴p=×2.∵p>0,∴p=2,∴抛物线C的方程为x2=4y,故选C.答案▶ C6.设F是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的点,圆x2+y2=与直线PF交于A,B两点,若A,B是线段PF的两个三等分点,则椭圆C的离心率为().A.B.C.D.解析▶如图,取AB的中点H,设椭圆另一个焦点为E,连接PE,OH,OA.且H是AB的中点,∴OH⊥AB.∵A,B三等分线段PF,∴设|OH|=d,则|PE|=2d,|PF|=2a-2d,|AH|=-,于是在Rt△OHA中,|OA|2=|OH|2+|AH|2,解得a=5d.于是在Rt△OHF中,|FH|=a,|OH|=a,|OF|=c,由|OF|2=|OH|2+|FH|2,化简得17a2=25c2,则=.即椭圆C的离心率为.故选D.。
2021-2022年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积,共线,向量结合的问题教学案理
2021年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积，共线，向量结合的问题教学案理1解析几何中的面积问题解析几何中某些问题,可以通过三角形面积的等量关系去解.研究方法:先选定一个易于计算面积的几何图形,再用不同方法计算同一图形面积,得到一个面积等式;或是用一图形面积等于其它图形面积的和或差.在教学时,适当讲解此法,是开拓学生思路,提高数学教学质量的有效手段之一.例1【西南名校联盟高三xx年元月考试】已知抛物线上的两个动点，的横坐标，线段的中点坐标为，直线与线段的垂直平分线相交于点.（1）求点的坐标；（2）求的面积的最大值.思路分析：（1）根据题设条件可求出线段的斜率，进而求出线段的垂直平分线方程，联立直线与线段的垂直平分线方程，即可求出点的坐标；（2）联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理及弦长公式求出线段的长，再求出点到直线的距离，即可求出的表达式，再构造新函数，即可求出最大值.设， ()232561625616h t t t t =⨯+--， 则 ， 令得 (舍去)， ，由于时， ， 单调递增，时， ， 单调递减，∴当时， 取得最大值，即的面积取得最大值， 23116161625616256164333⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 点评：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围2解析几何中的共线问题解析几何中的共线问题的处理方法，常利用向量共线定理来证，即先设出向量的坐标，利用题中给出的关系，证明坐标交叉积的差等于零即可. 正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关解析几何的问题转化为向量问题.三点共线是解析几何中常见问题之一，根据向量共线的充要条件，只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系，向量法解决共线问题更简单明了.例2已知点的坐标为是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且.（1）求证: 点共线;（2）若，当时，求动点的轨迹方程.思路分析：(1)要证三点共线，只要证即可，设()()()2211221212,,,,,0,0A t t B t t t t t t ≠≠≠ ，由可得，代入两向量平行的条件即可证；(2) 设动点,则()(),,1,OQ x y CQ x y ==-，由即列出方程即可.点评：本题考查向量的坐标运算与数量积、抛物线的标准方程与几何性质与轨迹方程的求法，属中档题；求轨迹方程有直接法、相关点法、定义法、参数法等多种方法，当题目给出等量关系时，可用直接法，本题就是用直接法求解的.3解析几何中的与向量结合问题平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点.基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力.由于向量既能体现"形"的直观位置特征，又具有"数"的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带.而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.例3【西藏拉萨市xx 届第一次模拟】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若的顶点、在椭圆上，所在的直线斜率为，所在的直线斜率为，若，求的最大值．思路分析：(1)根据椭圆长轴与短轴的关系列出一个方程，再根据椭圆过已知点列出一个方程，解方程组求出a,b,写出椭圆的标准方程;(2)由于OA和OB的斜率乘积为定值，因此OA的斜率为，则OB的斜率可表示为，分别把射线OA、OB的方程与椭圆的方程联立，求出A、B两点的横坐标，得出两点的横坐标的积，根据OA、OB方程得出A、B两点的纵坐标的积，从表示出数量积,再利用基本不等式求出最值.点评：求椭圆的标准方程一般采用待定系数法,列方程组解方程求出a,b;(2) 本题为斜率乘积为，是一种常见的典型考题，根据OA和OB的斜率乘积为定值，可以减元，用OA的斜率表示OB的斜率，分别把射线OA、OB的方程与椭圆的方程联立，求出A、B两点的横坐标，根据OA、OB方程得出A、B两点的纵坐标，从表示出数量积,再利用基本不等式求出最值.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及到向量，就用点的坐标来表示.综合以上三类问题，平面解析几何中计算多边形的面积的方法是把多边形分为若干三角形.计算出每一个三角形的面积而后加起来.有规则的图形和不规则的图形,常将问题转化到三角形、圆、特殊四边形中,应用相关面积公式求解,有时要综合考虑问题,将不规则图形转化到规则图形中求解. 研究圆锥曲线中三角形的面积时通常采用分割的方法把要求面积的三角形分成两个同底的三角形，根据韦达定理求.解析几何中平行、共线问题，求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.利用向量夹角的坐标形式解题，求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解.向量数量积，求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，将向量形式转化为代数形式.垂直向量，求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题.。
高考数学二轮复习难点2-9解析几何中的面积共线向量结合的问题测试卷文
【2019最新】精选高考数学二轮复习难点2-9解析几何中的面积共线向量结合的问题测试卷文（一）选择题（12*5=60分）1．【河北省××市2018届模拟】若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则 (为坐标原点）的值是（ ）214y x =A B 、OA OB ⋅O A. B. C. 3 D. 3434-3- 【答案】D2．【福建省××市2018届期末】中， ， 是双曲线的左、右焦点，点在上，若，则的离心率为（ ）ABC ∆23B π∠=,A B E C E ()0BA BC AC +⋅=E111+ 【答案】D【解析】由题意得，点在双曲线的右支上．设的中点为，由得，C ACD ()0BA BC AC +⋅=BD AC ⊥所以，由双曲线的定义得．在中， ，∴，即，整理得．选D ．2BA BC c ==222CA CB a c a =+=+ABD ∆,3BD AD ABD π⊥∠=sin32AD a cABcπ+==2a c c +=c e a ==3．【河南省××市2018届第一次模拟】已知分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且（为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（ ）12,F F 22221(0)x y a b a b+=>>P ()110PF OF OP ⋅+=O 122PF PF =63-65- 【答案】A【解析】以为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由知此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴，∴是直角三角形，即，设，则，∴，故选A ． 1,OF OP ()110PF OF OP ⋅+=1OP OF =12F PF ∆12PF PF ⊥2PF x=c e a ===4．【黑龙江省××市2018届期末】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点， ，当的周长最大时， 的面积是（ ）22154x y +=F x a =M NFMN FMNA. B. C. D. 5555【答案】A5．【百校联盟2018届一月联考】根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为36万千米，月球轨道上点与椭圆两焦点构成的三角形面积约为 (万千米)2， ，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）P 12,F F 12PF F 123F PF π∠=A. B. C. D. 222213614x y +=2221384036x y +=⨯2221484836x y +=⨯2221483624x y +=⨯ 【答案】B【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为．由椭圆的定义和余弦定理可得焦点三角形的面积，解得．由于地球的近地点为36，所以．∵，∴，∴．故所求的标准方程为．选B ． 22221(0)x y a b a b +=>>22tan 6S b π===24036b =⨯36a c -=()()2224036b a c a c a c =-=+-=⨯40a c +=38a =2221384036x y +=⨯ 6．【××市××区2018届期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点间的距离为2，动点与， 距离之比为，当不共线时， 面积的最大值是k 0k >1k ≠,A B P A B ,,P A B PAB ∆A. B. C. D. 【答案】A7．【湖南省××市2018届模拟卷一】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为 （ ）2:8C y x =F x K A C AK =AFK A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，则在，有，从.在中， ，从而，又，从而，故， ，选C.A 2x =-E AE AF AK ==Rt AEK ∆45AKE ∠=︒45AKF ∠=︒AKF ∆sin sin sin AF AK AKF AFK AFK ==∠∠∠sin 1AFK ∠=()0,AFK π∠∈2AFK π∠=4AF p ==14482AFK S ∆=⨯⨯=8．【江西省K12联盟2018届质检】已知双曲线的左、右焦点分别为、，存在过原点的直线交双曲线左右两支分别于、两点，满足且，则该双曲线的离心率是（ ）22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F A B 220F A F B ⋅=222FA F B a ⋅=A. B. C. D. 32【答案】B9．【江西省2018届1月联考】已知双曲线： 的离心率为，左右焦点分别为， ，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（ ）C 22221x y a b-=(0,0)a b >>21F 2F A C 12AF F ∆10a 12AF F ∆ A. B. C. D.22230a 215a 【答案】B【解析】点在双曲线上，不妨设点在双曲线右支上，所以，又的周长为.得.解得.双曲线的离心率为，所以，得.所以.A C A C 122AF AF a -=12AF F ∆1212122c 10?AF AF F F AF AF a++=++=1210?2c AF AF a +=-126,4AF a c AF a c =-=-C 22ca=2c a =122,AF c AF c == 所以，所以为等腰三角形.边上的高为.112AF F F =12AF F ∆2AF 2==12AF F ∆的面积为.故选B.2221151151522c c AF c === 10. 【吉林省普通中学2018届第二次调研联考】 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是F 2y x =,A B x ·6OAOB=O ABO ∆AFO ∆1S 2S 124S S +A. B. C. D. 6132【答案】B11．【河南省××市2018届第一次质检】设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于， 两点，与抛物线的准线相交于， ，则与的面积之比（ ）24y x =F )MA B C 3BF =BCF ACFBCF ACFS S=A. B. C. D. 34455667【答案】D【解析】画出抛物线的图象如图所示．由抛物线方程，得焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x=−1．过点作准线的垂线，垂足分别为．由消去y 整理得，设，则．由条件知，24y x =24y x =,A B ,EN (2{4y k x y x=-=()22224+5=0k x x k -+()()1122,,,A x y B x y 125x x =213BF BN x ==+=∴．∴，∴．∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴．选D ．22x =152x =1712AE x =+=67BCFACF BC BN S S AC AE ∆∆=== 12．【安徽省××市2018届第五次月考】已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，线段与轴的交点为， 为坐标原点，若与四边形的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于（ ）12,F F 22221(0)x y a b a b +=>>P 122F PF π∠=1PF y Q O 1F OQ ∆2OF PQA. B. C. D. 2314- 【答案】C（二）填空题（4*5=20分）13. 【四川省××市2018届期中】 已知F 是曲线的右焦点，P 是C 的左支上一点.A(0, ),当周长最小时，该三角形的面积为__________．22C 18y x +=：APF【答案】14．【河南省2018届12月联考】一条斜率为2的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于， 两点， ， 在轴上的射影分别为， ，若梯形的面积为，则__________．22(0)y px p =>F A B A B y D CABCD p =【答案】【解析】设 ，抛物线焦点，直线AB 的方程为 ，联立，得 ，所以则所以所以 所以 .()()1122,,,A x y B x y ,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22{ 22p y x y px⎛⎫=- ⎪⎝⎭=22460x px p -+=212123+,,24p p x x x x =⋅=12-,x x p ==12-,y y =()()121211+22ABCDS AD BC CD x x y y =+⋅=⋅-==梯形p =15．【广东省中山一中2018届第五次统测】已知椭圆方程为， 、为椭圆上的两个焦点，点在上且.则三角形的面积为_________．C 221168x y +=1F 2F P C 123F PF π∠=12F PF【答案】 【解析】由可得， ，设，由椭圆的定义可得， ① ，由余弦定理得， ② 由 ①平方-②可得， ，故答案为.221168x y +=2222216,8,8a b c a b ==∴=-=1122,PF t PF t ==128t t +=2212122cos6032t t t t +-⋅=12323t t =12132836023PF F S sin ∆∴=⨯⨯=16．【河南省××市2018届第一次质检】已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为________.2222:1x y C a b-=F F M N 73FM FN =【答案】y x =(三)解答题（4*10=40分）17．【湖南师范大学附属中学2018届11月月考】已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.C 22221(0)x y a b a b +=>>12（Ⅰ）求椭圆的方程；C（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点、，求四边形面积的最大值.A B M 4x =AM BM 、P Q APBQ18. 【福建省××市2018届期中】已知椭圆： 的右焦点为，点在椭圆上，且与轴交点恰为中点.G 22221x y a b +=F P ⎛- ⎝⎭PF y PF （1）求椭圆的方程；G（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点和．求四边形的面积的最小值．F G ,A C ,B D ABCD19. 【河南省中原名校2018届第五次联考】已知椭圆的左右焦点分别为， 若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点．()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F P 124PF PF +=C 31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()4,0R l C ,E F （1）求椭圆的方程；C（2）若点是点在轴上的垂足，延长交椭圆于，求证： 三点共线．E 'E x EE 'C N 2,N F F20. 【湖南师范大学附属中学2018届月考（五）】如图，已知曲线，曲线的左右焦点是， ，且就是的焦点，点是与的在第一象限内的公共点且，过的直线分别与曲线、交于点和．21:4C y x =22222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 2F 1C P 1C 2C 253PF =2F l 1C 2C ,A B ,M N （Ⅰ）求点的坐标及的方程；P 2C（Ⅱ）若与面积分别是、，求的取值范围．1F AB ∆1F MN ∆1S 2S 12S S，综上有的取值范围是．1243AB S S MN ==12S S 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围． 解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0． 整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程． 解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。
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2019-2020年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积，共线，向量结合的
问题教学案文
圆锥曲线是解析几何部分的核心内容,以计算量大、方法灵活、技巧性强著称,既是中学数学的重点、难点,也是历年高考的热点,常以压轴题的形式出现.而直线与圆锥曲线的位置关系,集中交汇了解析几何中直线与圆锥曲线的内容, 特别是解析几何中的面积，共线，向量结合的问题是圆锥曲线综合题，解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 1解析几何中的面积问题
解析几何中某些问题,可以通过三角形面积的等量关系去解.研究方法:先选定一个易于计算面积的几何图形,再用不同方法计算同一图形面积,得到一个面积等式;或是用一图形面积等于其它图形面积的和或差.在教学时,适当讲解此法,是开拓学生思路,提高数学教学质量的有效手段之一.
例1【西南名校联盟高三2018年元月考试】已知抛物线2
:8C y x =上的两个动点()11,A x y ， ()22,B x y 的横坐标12x x ≠，线段AB 的中点坐标为()2,M m ，直线:6l y x =-与线段AB 的垂直平分线相交于点Q .
（1）求点Q 的坐标；
（2）求AQB ∆的面积的最大值.
思路分析：（1）根据题设条件可求出线段AB 的斜率，进而求出线段AB 的垂直平分线方程，联立直线
:6l y x =-与线段AB 的垂直平分线方程，即可求出点Q 的坐标；
（2）联立直线AB 与抛物线C 的方程，结合韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长，再求出点Q 到直线AB 的距离，即可求出AQB S
的表达式，再构造新函数，即可求出最大值.
设()2016m t =∈，， ()232561625616h t t t t =⨯+--， 则()2
256323h t t t =--' ()()31616t t =-++， 令()0h t '=得16t =- (舍去)， 163t =，由于1603t <<时， ()0h t '>， ()h t 单调递增，16163
t ≤<时， ()0h t '≤， ()h t 单调递减，∴当2163m t ==时， ()h t 取得最大值，即AQB 的面积取得最大值，
故AQB = 点评：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
2解析几何中的共线问题
解析几何中的共线问题的处理方法，常利用向量共线定理来证，即先设出向量的坐标，利用题中给出的关系，证明坐标交叉积的差等于零即可. 正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关解析几何的问题转化为向量问题.三点共线是解析几何中常见问题之一，根据向量共线的充要条件，只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系，向量法解决共线问题更简单明了.
例2已知点C 的坐标为()1,0,,A B 是抛物线2
y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB =. （1）求证: 点,,A C B 共线;
（2）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB =时，求动点Q 的轨迹方程. 思路分析：(1)要证三点,,A B C 共线，只要证AC BC 即可，设()()
()2211221212,,,,,0,0A t t B t t t t t t ≠≠≠ ，由0OA OB =可得121t t =-，代入两向量平行的条件即可证AC BC ；(2) 设动点(),Q x y ,则()(),,1,OQ x y CQ x y ==-，由OQ CQ ⊥即0OQ CQ =列出方程即可.
点评：本题考查向量的坐标运算与数量积、抛物线的标准方程与几何性质与轨迹方程的求法，属中档题；求轨迹方程有直接法、相关点法、定义法、参数法等多种方法，当题目给出等量关系时，可用直接法，本题就是用直接法求解的.
3解析几何中的与向量结合问题
平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点.基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力.由于向量既能体现"形"的直观位置特征，又具有"数"的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带.而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.
例3【西藏拉萨市2018届第一次模拟】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
倍，且过
点(．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若OAB ∆的顶点A 、B 在椭圆上， OA 所在的直线斜率为1k ， OB 所在的直线斜率为2k ，若
2
122b k k a
⋅=-，求OA OB ⋅的最大值． 思路分析：(1)根据椭圆长轴与短轴的关系列出一个方程，再根据椭圆过已知点列出一个方程，解方程组求出a,b,写出椭圆的标准方程;(2)由于OA 和OB 的斜率乘积为定值，因此OA 的斜率为1k ，则OB 的斜率可表示为1
12k -，分别把射线OA 、OB 的方程与椭圆的方程联立，求出A 、B 两点的横坐标，得出两点的横坐标的积，根据OA 、OB 方程得出A 、B 两点的纵坐标的积，从表示出数量积OA OB ⋅,再利用基本不等式求出最值
.
点评：求椭圆的标准方程一般采用待定系数法,列方程组解方程求出a,b;(2) 本题为斜率乘积为2
2b a
-，是一种常见的典型考题，根据OA 和OB 的斜率乘积为定值，可以减元，用OA 的斜率表示OB 的斜率，分别把射线OA 、OB 的方程与椭圆的方程联立，求出A 、B 两点的横坐标，根据OA 、OB 方程得出A 、B 两点的纵坐标，从表示出数量积OA OB ⋅,再利用基本不等式求出最值.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及到向量，就用点的坐标来表示.
综合以上三类问题，平面解析几何中计算多边形的面积的方法是把多边形分为若干三角形.计算出每一个三角形的面积而后加起来.有规则的图形和不规则的图形,常将问题转化到三角形、圆、特殊四边形中,应用相关面积公式求解,有时要综合考虑问题,将不规则图形转化到规则图形中求解. 研究圆锥曲线中三角形的面积时通常采用分割的方法把要求面积的三角形分成两个同底的三角形，根据韦达定理求12y y -.解析几何中平行、共线问题，求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.利用向量夹角的坐标形式解题，求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解.向量数量积，求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，将向量形式转化为代数形式.垂直向量，求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“0=⋅⇔⊥b a b a ”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题.。