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中考数学专题复习旋转类几何变换测试题试卷

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中考数学专题《初中数学 旋转》综合检测试卷附答案

中考数学专题《初中数学 旋转》综合检测试卷附答案

中考数学专题《初中数学 旋转》综合检测试卷附答案一、旋转1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB=42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜23）m =6或m 173． 【解析】试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （2，0），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （220）代入可得a =12-，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()2142y x m =--，由()22142142y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(428020280m m m ⎧-->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （22，0），设抛物线的解析式为24y ax=+，把A （22，0）代入可得a =12-，∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+．（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()2142y x m =--，由21421(42x y x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(428020280m m m ⎧-->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解得2＜m ＜22，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22． （3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m 173或173（舍弃），∴m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP′N是正方形．综上所述：m=6或m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．2．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH3；（3）EG2＝AG2+CE2．【解析】【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．（2）IH3．只要证明△IJF是等边三角形即可．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ， ∴∠EDO ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ， ∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ， ∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ， ∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形． ②∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠EBD ， ∵EB ＝ED ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∴∠ABD ＝2∠ADB ， ∵∠ABD +∠ADB ＝90°， ∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°， ∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°， ∴∠EBF ＝60°． （2）结论：IH＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°， ∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ， ∴∠JDH ＝∠FGH ， 在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ， ∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ， ∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ， ∴BE ＝IM ＝BF ， ∵∠MEJ ＝∠B ＝60°， ∴△MEJ 是等边三角形， ∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60° 在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ， ∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°， ∴∠MIJ +∠BIF ＝120°， ∴∠JIF ＝60°， ∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°， ∴∠FIH ＝30°， ∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°， ∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴∠ADF +∠EDC ＝45°， ∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ， 在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ， ∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ， ∴∠ECM ＝90° ∴EC 2+CM 2＝EM 2， ∵EG ＝EM ，AG ＝CM ， ∴GE 2＝AG 2+CE 2． 【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.3．已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，设CE ＝a ，CF ＝b ． （1）如图1，当a ＝42时，求b 的值；（2）当a ＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b 的值；（3）如图3，请直接写出∠EAF 绕点A 旋转的过程中a 、b 满足的关系式．【答案】（1）422）b ＝8；（3）ab ＝32． 【解析】试题分析：（1）由正方形ABCD 的边长为4，可得AC ＝2 ，∠ACB ＝45°． 再CE ＝a ＝2∠CAE ＝∠AEC ，从而可得∠CAF 的度数，既而可得 b=AC ； （2）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得； （3）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得.试题解析：（1）∵正方形ABCD 的边长为4，∴AC ＝2，∠ACB ＝45°． ∵CE ＝a ＝2∴∠CAE ＝∠AEC ＝452︒＝22.5°，∴∠CAF ＝∠EAF －∠CAE ＝22.5°，∴∠AFC ＝∠ACD －∠CAF ＝22.5°，∴∠CAF ＝∠AFC ，∴b=AC ＝CF ＝42（2）∵∠FAE ＝45°，∠ACB ＝45°，∴∠FAC ＋∠CAE ＝45°，∠CAE ＋∠AEC ＝45°，∴∠FAC＝∠AEC．又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CFEC CA=，∴42442=，∴CF＝8，即b＝8．（3）ab＝32．提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CFEC CA=，∴4242a=，∴ab＝32．4．如图l，在AABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.(1)连接PB，PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.【答案】（1）①补图见解析；②；（2）【解析】（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，；（2）证明：如图所示，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小由旋转可得，△AMN≌△APB，∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，∴∠CBN=90°在Rt△ABC中，易得∴在Rt△BCN中，“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.5．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，固定等边△AOB 不动，让扇形COD 绕点O 逆时针旋转，线段AC 、BD 也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°） （1）当OC ∥AB 时，旋转角α＝ 度；发现：（2）线段AC 与BD 有何数量关系，请仅就图2给出证明． 应用：（3）当A 、C 、D 三点共线时，求BD 的长．拓展：（4）P 是线段AB 上任意一点，在扇形COD 的旋转过程中，请直接写出线段PC 的最大值与最小值．【答案】（1）60或240；(2) AC=BD ，理由见解析；（313+1131-4）PC 的最大值=3，PC 的最小值31． 【解析】分析：（1）如图1中，易知当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°．（2）结论：AC =BD ．只要证明△AOC ≌△BOD 即可． （3）在图3、图4中，分别求解即可．（4）如图5中，由题意，点C 在以O 为圆心，1为半径的⊙O 上运动，过点O 作OH ⊥AB 于H ，直线OH 交⊙O 于C ′、C ″，线段CB 的长即为PC 的最大值，线段C ″H 的长即为PC 的最小值．易知PC 的最大值=3，PC 的最小值31．详解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠AOB =∠COD =60°，∴当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°． 故答案为60或240；（2）结论：AC =BD ，理由如下：如图2中，∵∠COD =∠AOB =60°，∴∠COA =∠DOB ．在△AOC 和△BOD 中，OA OBCOA DOB CO OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC =BD ；（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=12，OH=32．在Rt△AOH中，AH=22OA OH-=132，∴BD=AC=CH+AH=1132+．如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．易知AC=BD=AH﹣CH=131-．综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为1312+或1312-；（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．6．如图1，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重合），以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC，∠BAC=90°，连接BE、CD．（1）在图1中，若AC=AB，AE=AD，现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图2，那么线段BE．CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；（2）在图1中，若CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图3，连接BD、CE．①求证：△ABE∽△ACD；②计算：BD2+CE2的值．【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170．【解析】【分析】（1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△BAE≌△CAD，即可解决问题；（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD．②由①得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90°，即DG⊥BE，根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算．【详解】（1）结论：BE=CD，BE⊥CD．理由：设BE与AC的交点为点F，BE与CD的交点为点G，如图2．∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．在△CAD 和△BAE 中，∵AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD ≌△BAE ，∴CD =BE ，∠ACD =∠ABE ．∵∠BFA =∠CFG ，∠BFA +∠ABF =90°，∴∠CFG +∠ACD =90°，∴∠CGF =90°，∴BE ⊥CD ． （2）①设AE 与CD 于点F ，BE 与DC 的延长线交于点G ，如图3．∵∠CABB =∠EAD =90°，∴∠CAD =∠BAE ．∵CA =3，AB =5，AD =6，AE =10，∴AEAB =ADAC=2，∴△ABE ∽△ACD ； ②∵△ABE ∽△ACD ，∴∠AEB =∠CDA ．∵∠AFD =∠EFG ，∠AFD +∠CDA =90°，∴∠EFG +∠AEB =90°，∴∠DGE =90°，∴DG ⊥BE ，∴∠AGD =∠BGD =90°，∴CE 2=CG 2+EG 2，BD 2=BG 2+DG 2，∴BD 2+CE 2=CG 2+EG 2+BG 2+DG 2． ∵CG 2+BG 2=CB 2，EG 2+DG 2=ED 2，∴BD 2+CE 2=CB 2+ED 2=CA 2+AB 2+AD 2+AD 2=170．【点睛】本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．7．如图1，菱形ABCD ，AB 4=，ADC 120∠=o ，连接对角线AC 、BD 交于点O ，()1如图2，将AOD V 沿DB 平移，使点D 与点O 重合，求平移后的A'BO V 与菱形ABCD重合部分的面积．()2如图3，将A'BO V 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E'，交BC 于点F ，①求证：BE'BF 2+=； ②求出四边形OE'BF 的面积．【答案】()() 13?2①证明见解析3② 【解析】 【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形，进而判断出△EOB 是等边三角形，即可得出结论； (2)先判断出 ≌△OBF ，再利用等式的性质即可得出结论； (3)借助①的结论即可得出结论． 【详解】()1Q 四边形为菱形，ADC 120∠=o ，ADO 60∠∴=o ，ABD ∴V 为等边三角形，DAO 30∠∴=o ，ABO 60∠=o ，∵AD//A′O ， ∴∠A′OB=60°，EOB ∴V 为等边三角形，边长OB 2=，∴重合部分的面积：343⨯=，()2①在图3中，取AB 中点E ，由()1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60°， ∴∠EOE′=∠BOF ，又∵EO=BO ，∴∠OEE′=∠OBF=60°， ∴△OEE′≌△OBF ， ∴EE′=BF ，∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2；②由①知，在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF，∴S△OEE′=S△OBF，∴S四边形OE′BF =OEBS3=V.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.8．把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图①），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1) BH=CK;(2) 存在，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时BH 的长度为．【解析】（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=12x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512，代入得出方程12x2-3x+9=512×12×6×6，求出即可．解：（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：连接OC，由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，∵AC=BC，O为AB中点，∠ACB=90°，∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，∴∠CGB=90°=∠KGH，∴都减去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，在△CGK和△BGH中∵，∴△CGK≌△BGH（ASA），∴CK=BH，即BH=CK；四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512的位置．设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB﹣BH=6﹣x，∴S△CHK=12CH×CK=3x﹣12x2，∴S△GHK=S四边形CKGH﹣S△CKH=9﹣（3x﹣12x2）=12x2﹣3x+9，∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512，∴12x2﹣3x+9=512×12×6×6，解得136x=236x=（经检验，均符合题意）．∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512的位置，此时x的值为36±．“点睛”本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目．9．已知：如图1，将两块全等的含30º角的直角三角板按图所示的方式放置，∠BAC=∠B1A1C=30°，点B，C，B1在同一条直线上．（1）求证：AB=2BC（2）如图２，将△ABC绕点Ｃ顺时针旋转α°（0＜α＜180），在旋转过程中，设AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．当α等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．（3）如图3，当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如图所示的位置，使AB∥CB1，AB与A1C 交于点D，试说明A1D=CD．【答案】（1）证明见解析（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直.（3）理由见解析【解析】试题分析：(1)由等边三角形的性质得AB=BB1，又因为BB1=2BC，得出AB=2BC;(2) 利用AB与A1B1垂直得∠A1ED=90°，则∠A1DE=90°-∠A1=60°，根据对顶角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA1=90°-∠A1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；(3)由于AB∥CB1，∠ACB1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=12AC，再根据旋转的性质得AC=A1C，所以CD=12A1C，则A1D=CD．试题解析：（1）∵△ABB1是等边三角形；∴AB=BB1∵BB1=2BC∴AB=2BC（2）解：当AB与A1B1垂直时，∠A1ED=90°，∴∠A1DE=90°-∠A1=90°-30°=60°，∵∠B=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACA1=90°-60°=30°，即当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直.（3）∵AB∥CB1，∠ACB1=90°，∴∠CDB=90°，即CD是△ABC的高，设BC=a，AC=b，则由（1）得AB=2a，A1C=b，∵1122ABC S BC AC AB CD ∆=⨯=⨯， 即11222ab a CD =⨯⨯ ∴12CD b =，即CD=12A 1C ， ∴A 1D=CD.【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．10．已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD ．探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.【答案】（1）；（2）；（3）当∠ACB=120°时，CD 有最大值是a+b.【解析】 【分析】（1）a=b=3，且∠ACB=60°，△ABC 是等边三角形，且CD 是等边三角形的高线的2倍，据此即可求解；（2）a=b=6，且∠ACB=90°，△ABC 是等腰直角三角形，且CD 是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；（3）以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E ．连接AE ，CE ，当点E 、A 、C 在一条直线上时，CD 有最大值，CD=CE=a+b ． 【详解】（1）∵a=b=3，且∠ACB=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴OC=， ∴CD=3；（2）3；（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD．当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE＜AE+AC=a+b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b；只有当∠ACB=120°时，∠CAE=180°，即A、C、E在一条直线上，此时AE最大∴∠ACB=120°，因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解CD有最大值的条件，是解题的关键．11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．12．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+36226EHEB m+==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，13．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，2+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．考点：旋转与三角形的综合题.14．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．【答案】（1）BE=DF；（2）四边形BC1DA是菱形．【解析】【分析】（1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF（2）根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形．【详解】（1）解：BE=DF．理由如下：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，在△ABE和△C1BF中，∴△ABE≌△C1BF，∴BE=BF（2）解：四边形BC1DA是菱形．理由如下：∵AB=BC=2，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠A1=∠C1=30°，∵∠ABA1=∠CBC1=30°，∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB=BC1，∴四边形BC1DA是菱形【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．15．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值。

中考数学复习《旋转》专题训练--附带参考答案

中考数学复习《旋转》专题训练--附带参考答案

中考数学复习《旋转》专题训练--附带参考答案一、选择题1．下列四个图形中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）A． B． C． D．2．点(3，−2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(3，−2)B．(−3，2)C．(−3，−2)D．(2，−3)3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'，使CC'∥AB，若∠CAB＝70°，则旋转角的度数是（）A．35°B．40°C．50°D．70°5．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．如图，在△ABC中∠BAC=138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC 边上，且AB′=CB′，则∠C的度数为（）A．14°B．15°C．16°D．17°7．如图所示，在长方形ABCD中，AC是对角线.将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF位置，H是EG的中点.若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A．2√5B．√41C．2√10D．√218．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上AB⊥x轴AB=CB= 2，OA=OC，∠AOC=60°将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（）A．(−3，√3)B．(3，−√3)C．(−√3，1)D．(1，−√3)二、填空题9．已知M（a，3）和N（-4，b）关于原点对称，则a+b＝．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE=．11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，E在同一条直线上AB=1，BC=2则AD=.12．如图所示，将四边形ABCD绕顶点A按顺时针方向旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为cm.13．如图，△AOB与△OOD关于点O成中心对称，已知∠BAO=90°，AB=4，AO=3，则AD的长为三、解答题14．在△ABC中∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．（1）旋转中心是．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．15．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状．并说明理由．16．如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)根据题意，解答下列问题．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点M(1，0)顺时针旋转90°得到△A2B2C2；（3）连接CC1，CC2和C1C2，直接写出△CC1C2的面积．17．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE.（1）如图1，若AB=4，CE=2求BE的长；（2）如图2，若AB>DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α(0°<α<120°)，连接BD、AE交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 18．如图①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′，旋转角为α．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）如图②，G为BC中点，且0°<α<90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．参考答案1．B2．B3．B4．B5．B6．A7．B8．B9．110．75°11．√712．32π13．2√1314．（1）A（2）解：∵在△ABC中∠B+∠ACB=30°∴∠BAC=180°−（∠B+∠BAC）=150°∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合∴△ABC≅△ADE∴∠BAC=∠DAE=150°，AB=AD=4∴∠BAE=360°−∠BAC−∠DAE=60°∵C是AD的中点∴AC=CD=2∵△ABC≅△ADE∴AE=AC=2∴∠BAE=60°，AE=2．15．（1）证明：∵由旋转可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°∵AB⊥BC∴∠ABC＝90°∴∠ABD＝90°-60°＝30°，∠DBE＝60°-30°＝30°∴∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°在△BDE和△BCE中{BD=BC∠DBE=∠CBEBE=BE∴△BDE≌△BCE．（SAS）．（2）解：结论：四边形ABDE是菱形．理由：∵△BDE≌△BCE∴DE＝CE∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC∴AB＝EB＝DE＝AD∴四边形ABED是菱形．16．（1）解：∵△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)∴A1、B1、C1三点的坐标依次为(2，−3)，(5，−2)△A1B1C1即为所求作；（2）解：∵△ABC绕点M(1，0)顺时针旋转90°得到△A2B2C2 A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)∴A2、B2、C2三点的坐标依次为(4，3)，(3，6)，(2，2)△A2B2C2即为所求作；（3）解：417．（1）解：如图，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H∵△ABC与△DCE均为等边三角形∴AB=BC=4，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ECH=180°−∠ACB−∠DCE=60°∴∠CEH=30°∴CH=12CE=1∴EH=√CE2−CH2=√3∵BH=BC+CH=5在Rt△BEH中BE=√BH2+EH2=√25+3=2√7；（2）解：BO=AO+CO，理由如下：如图，过点C作CP⊥AE于P，CF⊥BD于F，在BO上截取OH=OC，连接CH∵△ABC与△DCE均为等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=∠ACE在△BCD和△ACE中{BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE∴△BCD≌△ACE(SAS)∴∠CBD=∠CAE，AE=BD，S△ACE=S△BCD∴12×AE⋅CP=12×BD⋅CF∴CP=CF又∵CP⊥AE，CF⊥BD∴OC平分∠BOE∵∠ABC+∠BAC=120°∴∠ABO+∠CBO+∠BAC=120°∴∠ABO+∠CAO+∠BAC=120°∴∠AOB=60°∴∠BOE=120°∵OC平分∠BOE∴∠BOC=∠EOC=60°∵HO=CO∴△CHO是等边三角形∴CH=HO=CO，∠HCO=60°=∠ACB∴∠BCH=∠ACO在△BCH和△ACO中{∠CBD=∠CAE BC=AC∠BCH=∠ACO∴△BCH≌△ACO(ASA)∴BH=AO∴BO=BH+OH=AO+CO.18．（1）解：根据题意得：CE=1，CD′=2∴在Rt△CED′中∠CD′E=30°∵矩形CDEF，CD∥EF∴∠α=∠CD′E=30°；（2）证明：∵G为BC中点∴CG=1∴CG=CE∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α在△GCD′和△E′CD中∵{CD′=CD∠GCD=∠DCE′CG=CE′∴△GCD′≌△E′CD(SAS)∴GD′=E′D；（3）135°或315°。

专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)

专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)

《中考压轴题》专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题一、选择题1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为A ．22-B ．32C ．31-D ．12.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，453）D ．（163，43）3.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为A．30°B．60°C．90°D．150°6.如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．122π+B．12π+C．1π+D．3-7.如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3二、填空题1.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于.2.如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．6.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）7.如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．8.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是．=上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。

中考数学专题训练-旋转模型几何变换三种模型手拉手-半角-对角互补

中考数学专题训练-旋转模型几何变换三种模型手拉手-半角-对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】（2013北京中考）在ABC△中，AB AC=，BACα∠=（060α︒<<︒），将线段BC 绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，15060BCE ABE∠=︒∠=︒，，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC∠=︒，求α的值．真题演练知识关联图【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例1】 （14年海淀期末）已知四边形和四边形都是正方形 ，且．（1）如图，连接、．求证：；（2）如图，如果正方形，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，． ①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．ABCD CEFG AB CE >1BG DG BG DE =2ABCD CEFG C CG BD ∥BG BD =BDE ∠CEFG【例2】 （2014年西城一模） 四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（30题）一 、单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中 55BAC ∠=︒ 将ABC 逆时针旋转(055),αα︒<<︒得到ADE DE 交AC 于F ．当40α=︒时 点D 恰好落在BC 上 此时AFE ∠等于（ ）A ．80︒B ．85︒C ．90︒D ．95︒2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE 点B C 的对应点分别是点D E 且点E 在BC 的延长线上 连接BD 则，下列结论一定正确的是（ ）A ．CAE BED ∠=∠B ．AB AE =C ．ACE ADE ∠=∠D ．CE BD =3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 把ADE 以A 为中心顺时针旋转 点M 为射线BD CE 的交点．若3AB 1AD =．以下结论： ①BD CE = ①BD CE ⊥ ①当点E 在BA 的延长线上时 33MC -=①在旋转过程中 当线段MB 最短时 MBC 的面积为12． 其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC 90ACB ∠=︒ 2AB = 点C 是矩形ECGF 与ABC 的公共顶点 且1CE = 3CG = 点D 是CB 延长线上一点 且2CD =．连接BG DF 在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中 当线段BG 达到最长和最短时 线段DF 对应的长度分别为m 和n 则，mn的值为（ ）A ．2B ．3C 10D 13二 填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE 的顶点C 为旋转中心 按顺时针方向旋转 使得新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，正五边ABCDE 旋转的度数至少为______°．6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO 为BAC ∠的平分线 且50BAC ∠=︒ 将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C ''' 且100OAC '∠=︒则，四边形ABOC 旋转的角度是______．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = D 是AB 上一点 且2AD = 过点D 作DE BC ∥交AC 于E 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线12C C 、分别是函数2(0),(0,0)ky x y k x x x=-<=>>的图像 边长为6的正ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上 顶点B C 在x 轴上（B 在C 的左侧） 现将ABC 绕原点O 顺时针旋转 当点B 在曲线1C 上时 点A 恰好在曲线2C 上则，k 的值为__________．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段8AB = 点C 是线段AB 上的动点 将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD 连接CD 在AB 的上方作Rt DCE ∆ 使90,30DCE E ∠=∠= 点F 为DE 的中点 连接AF 当AF 最小时 BCD ∆的面积为___________．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为_______．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在ABC 中 35C ∠=︒ 将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒ 旋转后的点B 落在BC 上 点B 的对应点为D 连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线则，α=________．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 3cm AB = =60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转 得到AB C ''△ 若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上则，点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,3,1ACB AC BC ∠=︒== 将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒ 得到AB C ''△．连接BB ' 交AC 于点D 则，ADDC的值为________．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰ABC 120A ∠=︒ 2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒ 得到A BC ''△ 延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______． 15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板ABC 和DEF 中90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起 边BC 与EF 重合 CD 与AB 相交于点G （如图1） 此时线段CG 的长是___________ 现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2）边EF 与AB 相交于点H 连结DH 在旋转0︒到60︒的过程中 线段DH 扫过的面积是___________．三 解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．17．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1 一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起 M N 分别是斜边DE AB 的中点 2,4DE AB ==．(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周 请直接写出点M N 距离的最大值和最小值(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2） 求MN 的长．18．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1 ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将ABC 向下平移3个单位长度得到111A B C △ 画出111A B C △ (2)将ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到222A B C △ 画出222A B C △ (3)在（2）的运动过程中请计算出ABC 扫过的面积．19．（2023·辽宁·统考中考真题）在Rt ABC ∆中 90°ACB ∠= CA CB = 点O 为AB 的中点 点D 在直线AB 上（不与点,A B 重合） 连接CD 线段CD 绕点C 逆时针旋转90° 得到线段CE 过点B 作直线l BC ⊥ 过点E 作EF l ⊥ 垂足为点F 直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时 请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系 (2)如图，当点D 在线段AB 上时 求证：2CG BD BC +=(3)连接DE CDE 的面积记为1S ABC 的面积记为2S 当:1:3EF BC =时 请直接写出12S S 的值．20．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后 刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达AB C ''△的位置 那么可以得到：AB AB '=AC AC '= BC B C ''= BAC B AC ''∠=∠ ABC AB C ''∠=∠ ACB AC B ''∠=∠（ ）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中 即“变”中蕴含着“不变” 这是我们解决图形旋转的关键 故数学就是一门哲学． 【问题解决】（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________（2）如图，小王将一个半径为4cm 圆心角为60︒的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90︒到达扇形纸板A B C '''的位置．①请在图中作出点O①如果=6cm BB '则，在旋转过程中 点B 经过的路径长为__________ 【问题拓展】小李突发奇想 将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠 一个固定在墙上 使得一边位于水平位置 另一个在弧的中点处固定 然后放开纸板 使其摆动到竖直位置时静止 此时 两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示 请你帮助小李解决这个问题．21．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中（顶点,,,A B C D 按逆时针方向排列） 12,10,AB AD B ==∠为锐角 且4sin 5B =．(1)如图1 求AB 边上的高CH 的长．(2)P 是边AB 上的一动点 点,C D 同时绕点P 按逆时针方向旋转90︒得点,C D ''． ①如图2 当点C '落在射线CA 上时 求BP 的长． ①当AC D ''△是直角三角形时 求BP 的长．22．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形ABCD 中 点M 在边BC 上 点E 是AM 的中点 连接EDEC ．(1)求证：ED EC =(2)将BE 绕点E 逆时针旋转 使点B 的对应点B '落在AC 上 连接MB '．当点M 在边BC 上运动时（点M 不与B C 重合） 判断CMB '的形状 并说明理由．(3)在（2）的条件下 已知1AB = 当45DEB ∠'=︒时 求BM 的长．23．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】在综合实践活动课上 李老师让同桌两位同学用相同的两块含30︒的三角板开展数学探究活动 两块三角板分别记作ADB 和,90,30A D C ADB A D C B C ∠=∠=︒∠''''=∠=︒△ 设2AB =． 【操作探究】如图1 先将ADB 和A D C ''的边AD A D ''重合 再将A D C ''绕着点A 按顺时针．．．方向旋转 旋转角为()0360αα︒≤≤︒ 旋转过程中ADB 保持不动 连接BC ．(1)当60α=︒时 BC =________ 当22BC = α=________︒ (2)当90α=︒时 画出图形 并求两块三角板重叠部分图形的面积(3)如图2 取BC 的中点F 将A D C ''绕着点A 旋转一周 点F 的运动路径长为________． 24．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O ．在线段AO 上任取一点P （端点除外） 连接PD PB 、．①求证：PD PB =①将线段DP 绕点P 逆时针旋转 使点D 落在BA 的延长线上的点Q 处．当点P 在线段AO 上的位置发生变化时 DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由 ①探究AQ 与OP 的数量关系 并说明理由． （2）[迁移探究]如图2 将正方形ABCD 换成菱形ABCD 且60ABC ∠=︒ 其他条件不变．试探究AQ 与CP 的数量关系 并说明理由．25．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年 法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A B C 求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置 意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明 该点也被称为“费马点”或“托里拆利点” 该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法 请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空 ①处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空 ①处填写角度数 ①处填写该三角形的某个顶点）当ABC 的三个内角均小于120︒时如图1 将APC △绕 点C 顺时针旋转60︒得到A P C '' 连接PP '由60PC P C PCP ''=∠=︒， 可知PCP '△为 ① 三角形 故PP PC '= 又P A PA ''= 故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥由 ① 可知 当B P P ' A 在同一条直线上时 PA PB PC ++取最小值 如图2 最小值为A B ' 此时的P 点为该三角形的“费马点” 且有APC BPC APB ∠=∠=∠= ①已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时 “费马点”为该三角形的某个顶点．如图3 若120BAC ∠≥︒则，该三角形的“费马点”为 ① 点．(2)如图4 在ABC 中 三个内角均小于120︒ 且3430AC BC ACB ==∠=︒，， 已知点P 为ABC 的“费马点” 求PA PB PC ++的值(3)如图5 设村庄A B C 的连线构成一个三角形 且已知4km 23km 60AC BC ACB ==∠=︒，，．现欲建一中转站P 沿直线向A B C 三个村庄铺设电缆 已知由中转站P 到村庄A B C 的铺设成本分别为a 元/km a 元/km 2a 元/km 选取合适的P 的位置 可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a 的式子表示）26．（2023·四川·统考中考真题）如图1 已知线段AB AC 线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转 连接BC 以BC 为边在BC 上方作Rt BDC 且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒ 以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △ 且90AEB ∠=︒ 30EBA ∠=︒ 连接DE 用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是(2)如图2 在(1)的条件下 若DE AB ⊥ 4AB = 2AC = 求BC 的长(3)如图3 若90BCD ∠=︒ 4AB = 2AC = 当AD 的值最大时 求此时tan CBA ∠的值．27．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形 90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒== 连接AD BE 探究ADBE 的位置关系．(1)如图1 当1m =时 直接写出AD BE 的位置关系：____________(2)如图2 当1m ≠时 （1）中的结论是否成立？若成立 给出证明 若不成立 说明理由． 【拓展应用】(3)当3,7,4m AB DE ===时 将CDE 绕点C 旋转 使,,A D E 三点恰好在同一直线上 求BE 的长．28．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图① 把一个含有45︒角的三角尺放在正方形ABCD 中 使45︒角的顶点始终与正方形的顶点C 重合 绕点C 旋转三角尺时 45︒角的两边CM CN 始终与正方形的边AD AB 所在直线分别相交于点M N 连接MN 可得CMN ．【探究一】如图① 把CDM 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBH 同时得到点H 在直线AB 上．求证：CNM CNH ∠=∠【探究二】在图①中 连接BD 分别交CM CN 于点E F ．求证：CEF CNM △∽△【探究三】把三角尺旋转到如图①所示位置 直线BD 与三角尺45︒角两边CM CN 分别交于点E F ．连接AC 交BD 于点O 求EFNM的值．29．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后 进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G 以BG 为边长向外作正方形BEFG 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时 连接DF AC ，相交于点P 小红发现点P 恰为DF 的中点 如图①．针对小红发现的结论 请给出证明（2）小红继续连接EG 并延长与DF 相交 发现交点恰好也是DF 中点P 如图① 根据小红发现的结论 请判断APE 的形状 并说明理由 规律探究：（3）如图① 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α 连接DF 点P 是DF 中点 连接AP EP AEAPE 的形状是否发生改变？请说明理由．30．（2023·贵州·统考中考真题）如图① 小红在学习了三角形相关知识后 对等腰直角三角形进行了探究 在等腰直角三角形ABC 中 ,90CA CB C =∠=︒ 过点B 作射线BD AB ⊥ 垂足为B 点P 在CB 上．(1)【动手操作】如图① 若点P 在线段CB 上 画出射线PA 并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点E 根据题意在图中画出图形 图中PBE ∠的度数为_______度 (2)【问题探究】根据（1）所画图形 探究线段PA 与PE 的数量关系 并说明理由 (3)【拓展延伸】如图① 若点P 在射线CB 上移动 将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点E 探究线段,,BA BP BE 之间的数量关系 并说明理由．参考答案一 单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中 55BAC ∠=︒ 将ABC 逆时针旋转(055),αα︒<<︒得到ADE DE 交AC 于F ．当40α=︒时 点D 恰好落在BC 上 此时AFE ∠等于（ ）A ．80︒B ．85︒C ．90︒D ．95︒【答案】B【分析】根据旋转可得B ADB ADE ∠=∠=∠ 再结合旋转角40α=︒即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：55BAC DAE ∠=∠=︒ AB AD = ①40α=︒①15DAF ∠=︒ 70B ADB ADE ∠=∠=∠=︒ ①85AFE DAF ADE ∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了几何—旋转问题 掌握旋转的性质是关键．2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE 点B C 的对应点分别是点D E 且点E 在BC 的延长线上 连接BD 则，下列结论一定正确的是（ ）A ．CAE BED ∠=∠B ．AB AE =C ．ACE ADE ∠=∠D ．CE BD = 【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意 由旋转的性质可得AB AD = AC AE = BC DE = 故B 选项和D 选项不符合题意=ABC ADE ∠∠=ACE ABCBAC∴=ACE ADEBAC 故C 选项不符合题意=ACB AED =ACB CAECEA=AED CEA BED∴=CAE BED 故A 选项符合题意故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质 熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 把ADE 以A 为中心顺时针旋转 点M 为射线BD CE 的交点．若3AB 1AD =．以下结论： ①BD CE = ①BD CE ⊥ ①当点E 在BA 的延长线上时 33MC -=①在旋转过程中 当线段MB 最短时 MBC 的面积为12．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】证明BAD CAE ≌即可判断① 根据三角形的外角的性质得出① 证明DCM ECA ∠∠∽得出313-= 即可判断① 以A 为圆心 AD 为半径画圆 当CE 在A 的下方与A 相切时 MB 的值最小 可得四边形AEMD 是正方形 在Rt MBC 中22MC BC MB -21 然后根据三角形的面积公式即可判断①．【详解】解：①ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 ①,,90BA CA DA EA BAC DAE ==∠=∠=︒ ①BAD CAE ∠=∠ ①BAD CAE ≌①ABD ACE ∠=∠ BD CE = 故①正确 设ABD ACE α∠=∠= ①45DBC α∠=︒-,①454590EMB DBC BCM DBC BCA ACE αα∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-+︒+=︒ ①BD CE ⊥ 故①正确当点E 在BA 的延长线上时 如图所示①DCM ECA ∠=∠ 90DMC EAC ∠=∠=︒ ①DCM ECA ∠∠∽①MC CDAC EC= ①3AB = 1AD =．①31CD AC AD =-= 222CE AE AC =+= 313-=①33MC -=故①正确 ①如图所示 以A 为圆心 AD 为半径画圆①90BMC ∠=︒ ①当CE 在A 的下方与A 相切时 MB 的值最小 90ADM DAE AEM ∠=∠=∠=︒①四边形AEMD 是矩形 又AE AD =①四边形AEMD 是正方形 ①1MD AE ==①222BD EC AC AE =- ①21MB BD MD =-= 在Rt MBC 中 22MC BC MB -①PB 取得最小值时 222MC AB AC MB +-()2332121+--①)()1112121222BMCSMB MC =⨯==故①正确 故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质 相似三角形的性质 勾股定理 切线的性质 垂线段最短 全等三角形的性质与判定 正方形的性质 熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC 90ACB ∠=︒ 2AB = 点C 是矩形ECGF与ABC 的公共顶点 且1CE = 3CG = 点D 是CB 延长线上一点 且2CD =．连接BG DF 在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中 当线段BG 达到最长和最短时 线段DF 对应的长度分别为m 和n 则，mn的值为（ ）A ．2B ．3C 10D 13【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得1AC BC == 当线段BG 达到最长时 此时点G 在点C 的下方 且BC G 三点共线 求得4BG = 5DG = 根据勾股定理求得26DF = 即26m = 当线段BG 达到最短时 此时点G 在点C 的上方 且B C G 三点共线则，2BG = 1DG = 根据勾股定理求得2DF 即2n = 即可求得13mn【详解】①ABC 为等腰直角三角形 2AB = ①2sin 4521AC BC AB ==⋅︒== 当线段BG 达到最长时 此时点G 在点C 的下方 且B C G 三点共线 如图：则4BG BC CG =+= 5DG DB BG =+=在Rt DGF △中 22225126DF DG GF =++ 即26m =当线段BG 达到最短时 此时点G 在点C 的上方 且B C G 三点共线 如图：则2BG CG BC =-= 1DG BG DB =-=在Rt DGF △中 2222112DF DG GF =++ 即2n = 故26132m n == 故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数 勾股定理等 根据旋转推出线段BG 最长和最短时的位置是解题的关键．二 填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE 的顶点C 为旋转中心 按顺时针方向旋转 使得新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，正五边ABCDE 旋转的度数至少为______°．【答案】72【分析】依据正五边形的外角性质 即可得到DCF ∠的度数 进而得出旋转的角度． 【详解】解：①五边形ABCDE 是正五边形①530726DCF ∠÷=︒=︒①新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，旋转的最小角度是72︒故答案为：72．【点睛】本题主要考查了正多边形 旋转性质 关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO 为BAC ∠的平分线 且50BAC ∠=︒ 将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C ''' 且100OAC '∠=︒则，四边形ABOC 旋转的角度是______．【答案】75︒【分析】根据角平分线的性质可得25BAO OAC ==︒∠∠ 根据旋转的性质可得50BAC B AC ''∠=∠=︒ 25B AO O AC ''''==︒∠∠ 求得75OAO '∠=︒ 即可求得旋转的角度．【详解】①AO 为BAC ∠的平分线 50BAC ∠=︒①25BAO OAC ==︒∠∠①将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C '''①50BAC B AC ''∠=∠=︒ 25B AO O AC ''''==︒∠∠①1002575OAO OAC O AC ''''∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：75︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质 旋转的性质 熟练掌握以上性质是解题的关键．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = D 是AB 上一点 且2AD = 过点D 作DE BC ∥交AC 于E 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．【答案】45【分析】首先根据勾股定理得到2210AC AB BC += 然后证明出ADE ABC △△∽ 得到AD AEAB AC= 进而得到ADABAE AC = 然后证明出ABD ACE ∽ 利用相似三角形的性质求解即可．【详解】①在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = ①2210AC AB BC +①DE BC ∥①90ADE ABC ∠=∠=︒ AED ACB ∠=∠①ADE ABC △△∽ ①ADAEAB AC = ①ADABAE AC =①BAC DAE ∠=∠①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠①BAD CAE ∠=∠①ABD ACE ∽ ①84105BD AB CD AC ===． 故答案为：45．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定 解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线12C C 、分别是函数2(0),(0,0)k y x y k x x x=-<=>>的图像 边长为6的正ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上 顶点B C 在x 轴上（B 在C 的左侧）现将ABC 绕原点O 顺时针旋转 当点B 在曲线1C 上时 点A 恰好在曲线2C 上则，k 的值为__________．【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画AOB 即可） 当点A 在y 轴上 点B C 在x 轴上时 根据ABC 为等边三角形且AO BC ⊥ 可得3OB OA = 过点A B 分别作x 轴垂线构造相似则，BFO OEA ∽ 根据相似三角形的性质得出3AOE S =△ 进而根据反比例函数k 的几何意义 即可求解．【详解】当点A 在y 轴上 点B C 在x 轴上时 连接AOABC 为等边三角形且AO BC ⊥则，30BAO ∠=︒∴tan tan30BAO ∠=︒=3OB OA = 如图所示 过点,A B 分别作x 轴的垂线 交x 轴分别于点,E FAO BO ⊥ 90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒∴90BOF AOE EAO ∠=︒-∠=∠∴BFO OEA ∽ ∴213BFO AOE S OB SOA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴212BFO S -==∴3AOE S =△∴6k =．【点睛】本题考查了反比例函数的性质 k 的几何意义 相似三角形的性质与判定 正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段8AB = 点C 是线段AB 上的动点 将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD 连接CD 在AB 的上方作Rt DCE ∆ 使90,30DCE E ∠=∠= 点F 为DE 的中点 连接AF 当AF 最小时 BCD ∆的面积为___________．3【分析】连接CF BF ， BF ，CD 交于点P 由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF 垂直平分CF 60ABF ∠=︒为定角 可得点F 在射线BF 上运动 当AF BF ⊥时 AF 最小 由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF BF ， BF ，CD 交于点P 如图，①90DCE ∠= 点F 为DE 的中点①FC FD =①30E ∠=①60FDC ∠=︒,①FCD 是等边三角形①60DFC FCD ∠=∠=︒①线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD①BC BD =①FC FD =①BF 垂直平分CF 60ABF ∠=︒①点F 在射线BF 上运动①当AF BF ⊥时 AF 最小此时9030FAB ABF ∠=︒-∠=︒ ①142BF AB == ①1302BFC DFC ∠=∠=︒ ①90FCB BFC ABF ∠=∠+∠=︒①122BC BF == ①112PB BC == ①由勾股定理得223PC BC PB - ①223CD PC == ①11231322BCD S CD PB =⋅=⨯△3【点睛】本题考查了等腰三角形性质 含30度直角三角形的性质 斜边中线性质 勾股定理 线段垂直平分线的判定 勾股定理 旋转的性质 确定点F 的运动路径是关键与难点．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为_______．【答案】90︒或270︒或180︒【分析】连接AC 根据已知条件可得90BAC ∠=︒ 进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接AC 取BC 的中点E 连接AE 如图所示①在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， ①12BE CE BC AB ===①ABE 是等边三角形①60BAE AEB ∠=∠=︒ AE BE =①AE EC = ①1302EAC ECA AEB ∠=∠=∠=︒ ①90BAC ∠=︒①AC CD ⊥如图所示 当点P 在AC 上时 此时90BAP BAC ∠=∠=︒则，旋转角α的度数为90︒当点P 在CA 的延长线上时 如图所示则，36090270α=︒-︒=︒当P 在BA 的延长线上时则，旋转角α的度数为180︒ 如图所示①PA PB CD == PB CD ∥①四边形PACD 是平行四边形①AC AB ⊥①四边形PACD 是矩形①90PDC ∠=︒即PDC △是直角三角形综上所述 旋转角α的度数为90︒或270︒或180︒故答案为：90︒或270︒或180︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定 等边三角形的性质与判定 矩形的性质与判定 旋转的性质 熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在ABC 中 35C ∠=︒ 将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒ 旋转后的点B 落在BC 上 点B 的对应点为D 连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线则，α=________．【答案】1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【分析】如图，AB AD = BAD ∠=α 根据角平分线的定义可得CAD BAD α∠=∠= 根据三角形的外角性质可得35ADB α∠=︒+ 即得35B ADB α∠=∠=︒+ 然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB AD = BAD ∠=α①AD 是BAC ∠的角平分线①CAD BAD α∠=∠=①35ADB C CAD α∠=∠+∠=︒+ AB AD =①35B ADB α∠=∠=︒+则在ABC 中 ①180C CAB B ∠+∠+∠=︒①35235180αα︒++︒+=︒ 解得：1103α⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭故答案为：1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了旋转的性质 等腰三角形的性质 三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识 熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 3cm AB = =60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转 得到AB C ''△ 若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上则，点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．3π【分析】由于AC 旋转到AC ' 故C 的运动路径长是CC '的圆弧长度 根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ' 如图所示．在直角ABC 中 =60B ∠︒则，30C ∠=︒则()2236cm BC AB ==⨯=． ①)22226333cm AC BC AB =--．由旋转性质可知 AB AB '= 又=60B ∠︒①ABB '是等边三角形．①60BAB '∠=︒．由旋转性质知 60CAC '∠=︒．故弧CC '的长度为：()602333cm 3603AC πππ⨯⨯⨯=⨯ 3π【点睛】本题考查了含30︒角直角三角形的性质 勾股定理 旋转的性质 弧长公式等知识点 解题的关键是明确C 点的运动轨迹．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,3,1ACB AC BC ∠=︒== 将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒ 得到AB C ''△．连接BB ' 交AC 于点D 则，AD DC 的值为________．【答案】5【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F 利用勾股定理求得10AB根据旋转的性质可证ABB ' DFB △是等腰直角三角形 可得DF BF = 再由1122ADB SBC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 得=10AD DF 证明AFD ACB 可得DF AF BC AC = 即3AF DF = 再由=10AF DF 求得10=DF 从而求得52AD = 12CD = 即可求解． 【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F①90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC = ①223110AB +①将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△ ①==10AB AB ' 90BAB '∠=︒①ABB '是等腰直角三角形①45ABB '∠=︒又①DF AB ⊥①45FDB ∠=︒①DFB △是等腰直角三角形①DF BF = ①1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ① 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠①AFD ACB ①DF AF BC AC= 即3AF DF = 又①=10AF DF ①10=DF ①105=10=2AD 51=3=22CD - ①52==512AD CD 故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质 等腰三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 三角形的面积 熟练掌握相关知识是解题的关键．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰ABC 120A ∠=︒ 2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒ 得到A BC ''△ 延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______． 【答案】423423+-或【分析】根据题意 先求得23BC = 当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ 过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E 当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒ 过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F 分别画出图形 根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示 过点A 作AM BC ⊥于点M①等腰ABC 120BAC ∠=︒ 2AB =． ①30ABC ACB ∠=∠=︒ ①112AM AB == 223BM CM AB AM =- ①23BC =如图所示 当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ 过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E①120BAC ∠=︒①60DA B '∠=︒ 30A EB '∠=︒在Rt A BE '中 24A E A B ''== 2223BE A E A B ''-= ①等腰ABC 120BAC ∠=︒ 2AB =． ①30ABC ACB ∠=∠=︒①ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ ①45ABA '∠=︒①180********DBE ∠=︒-︒-︒-︒=︒ 1804530105A BD '∠=︒-︒-︒=︒ 在A BD '中 1801806010515D DA B A BD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=''︒, ①D EBD ∠=∠ ①23EB ED ==①423A D A E DE ''=+=+如图所示 当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒ 过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F在BFD △中 45BDF CBC ∠'=∠=︒ ①DF BF =在Rt DC F '中 30C '∠=︒ ①3'DF ①33BC BF BF ==①33DF BF ==①2623DC DF '==-①6232423A D C D A C ''''=-=-=- 综上所述 A D '的长度为423-423+ 故答案为：43-43+【点睛】本题考查了旋转的性质 勾股定理 含30度角的直角三角形的性质 熟练掌握旋转的性质 分类讨论是解题的关键．15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板ABC 和DEF 中90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起 边BC 与EF 重合 CD 与AB 相交于点G （如图1） 此时线段CG 的长是___________ 现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2） 边EF 与AB 相交于点H 连结DH 在旋转0︒到60︒的过程中 线段DH 扫过的面积是___________．【答案】6662 1218318π-【分析】如图1 过点G 作GH BC ⊥于H 根据含30︒直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出3BH GH = GH CH = 然后由12BC =可求出GH 的长 进而可得线段CG 的长 如图2 将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F 1FE 与AB 交于1G 连接1D D 1AD 22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置 作1DN CD ⊥于N 过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M 首先证明1CDD 是等边三角形 点1D 在直线AB 上 然后可得线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积 求出DN 和BM 然后根据线段DH 扫过的面积111121D DBCD DD DBD D D CD D S SS SS=+=-+弓形扇形列式计算即可．【详解】解：如图1 过点G 作GH BC ⊥于H①3045ABC DEF DFE ∠=︒∠=∠=︒， 90GHB GHC ∠=∠=︒ ①3BH GH = GH CH = ①312BC BH CH GH GH =+=+= ①36GH =①()226366662CG GH ===如图2 将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F 1FE 与AB 交于1G 连接1D D 由旋转的性质得：1160E CB DCD ∠=∠=︒ 1CD CD = ①1CDD 是等边三角形①30ABC ∠=︒ ①190CG B ∠=︒ ①112CG BC =①1CE BC =①1112CG CE = 即AB 垂直平分1CE①11CD E 是等腰直角三角形 ①点1D 在直线AB 上连接1AD 22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置 则线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积 ①12BC EF == ①22DC DB === ①1162DC D D == 作1DN CD ⊥于N 则，132ND NC == ①()()222211623236DN D D ND =-=-过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M 则，90M ∠=︒ ①160D DC ∠=︒ 90CDB ∠=︒①118030BDM D DC CDB ∠=︒-∠-∠=︒ ①1322BM BD == ①线段DH 扫过的面积112D DBD D D S S =+弓形111CD DD DBCD D S S S=-+扇形(260621123623236022π⋅=-⨯⨯ 1218318π=-故答案为：6662 1218318π-．【点睛】本题主要考查了旋转的性质 含30︒直角三角形的性质 二次根式的运算 解直角三角形 等边三角形的判定和性质 勾股定理 扇形的面积计算等知识 作出图形 证明点1D 在直线AB 上是本题的突破点 灵活运用各知识点是解题的关键．三 解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明． 【答案】(1)见解析 (2)90AEF ∠=︒ 证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE = 2MDE α∠= 利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠= 可得DE DC = 等量代换得到DM DC =即可（2）延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH 可得DE 是FCH 的中位线 然后求出B ACH ∠∠= 设DM DE m == CD n = 求出2BF m CH == 证明()SAS ABF ACH ≅ 得到AF AH = 再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．。

中考数学《旋转的综合》专项训练附详细答案

中考数学《旋转的综合》专项训练附详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（操作发现）（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2【解析】试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF．理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE 中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE 中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF 中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S 30334+【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD=22=4，AD AC∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=17，5∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-342）=303344-，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+34）=30334+．综上所述，30334-≤S≤30334+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．3．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝°，CD＝；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；（4）若m ＝6，n ＝42，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3）1255；（4）BD=210或21143． 【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CECB CA=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =12n ．故答案为90°，12n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m．故答案为nm． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC nCE AC m==，∴△ACE ∽△BCD ，∴BD BC nAE AC m==．（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB 22AC BC -．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴BD BCAE AC=，∴35=810，∴BD =1255．故答案为1255． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =22AM ME +=57，由（2）可知DB AE =22，∴BD =2114． 故答案为210或21143．点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．4．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （3，0），点B （0，4），把△ABO 绕点A 顺时针旋转，得△AB ′O ′，点B ，O 旋转后的对应点为B ′，O ． （1）如图1，当旋转角为90°时，求BB ′的长； （2）如图2，当旋转角为120°时，求点O ′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OB 上的一点P 旋转后的对应点为P ′，当O ′P +AP ′取得最小值时，求点P ′的坐标．（直接写出结果即可）【答案】（1）52；（2）O'（92，332）；（3）P'（275，635）.【解析】 【分析】（1）先求出AB ．利用旋转判断出△ABB '是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）先判断出∠HAO '=60°，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH ，OH ，即可得出结论；（3）先确定出直线O 'C 的解析式，进而确定出点P 的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）∵A （3，0），B （0，4），∴OA =3，OB =4，∴AB =5，由旋转知，BA =B 'A ，∠BAB '=90°，∴△ABB '是等腰直角三角形，∴BB '=2AB =52；（2）如图2，过点O '作O 'H ⊥x 轴于H ，由旋转知，O 'A =OA =3，∠OAO '=120°，∴∠HAO '=60°，∴∠HO 'A =30°，∴AH =12AO '=32，OH =3AH =33，∴OH =OA +AH =92，∴O '（93322，）；（3）由旋转知，AP =AP '，∴O 'P +AP '=O 'P +AP ．如图3，作A 关于y 轴的对称点C ，连接O 'C 交y 轴于P ，∴O 'P +AP =O 'P +CP =O 'C ，此时，O 'P +AP 的值最小． ∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴C （﹣3，0）． ∵O '（9332，），∴直线O 'C 的解析式为y =3x +33，令x =0，∴y =33，∴P （0，33），∴O 'P '=OP =33，作P 'D ⊥O 'H 于D ． ∵∠B 'O 'A =∠BOA =90°，∠AO 'H =30°，∴∠DP 'O '=30°，∴O 'D =12O 'P '=3310，P 'D =3O 'D =910，∴DH =O 'H ﹣O 'D =63，O 'H +P 'D =275，∴P '（27635，）．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键．5．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．考点：旋转的性质.6．如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG与EF的位置关系并证明；（3）当AB=3，BE=2时，求线段BG的长．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)25.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）先判断出△ADF≌△ABE，进而判断出点C，D，F共线，即可判断出△DFG≌△HEG，得出FG=EG，即可得出结论；（3）先求出正方形的对角线BD，再求出BH，进而求出DH，即可得出HG，求和即可得出结论．【详解】（1）补全图形如图所示，（2）连接DF，由旋转知，AE=AF，∠EAF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD=AB，∠ABC=∠ADC=BAD=90°，∴∠DAF=∠BAE ， ∴△ADF ≌△ABE （SAS ）， ∴DF=BE ，∠ADF=∠ABC=90°， ∴∠ADF+∠ADC=180°， ∴点C ，D ，F 共线， ∴CF ∥AB ，过点E 作EH ∥BC 交BD 于H ， ∴∠BEH=∠BCD=90°，DF ∥EH ， ∴∠DFG=∠HEG ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠CBD=45°， ∴BE=EH ， ∵∠DGF=∠HGE ， ∴△DFG ≌△HEG （AAS ）， ∴FG=EG ∵AE=AF ， ∴AG ⊥EF ；（3）∵BD 是正方形的对角线， ∴，由（2）知，在Rt △BEH 中，， ∴由（2）知，△DFG ≌△HEG ， ∴DG=HG ，∴HG=12，∴BG=BH+HG=2+2=2． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．7．如图1，△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，直线l 经过点C ，AF ⊥l 于点F ，BE ⊥l 于点E ． （1）求证：△ACF ≌△CBE ；（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D 是AB 的中点，连接DE ．若AB =，∠CBE =30°，求DE 的长．【答案】（1）答案见解析；（226+【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△ACF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBE（AAS）；（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△CAF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAF（AAS）；∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF2DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB2∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=12BC=2，BE3CE3∴EF=CE+BE3∴DE223226．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE ∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．。

初三数学旋转试题及答案

初三数学旋转试题及答案

初三数学旋转试题及答案在解答初三数学旋转试题时，我们首先需要理解旋转的概念和性质，然后应用这些知识来解决具体的几何问题。

以下是一些典型的旋转试题及其答案。

1. 题目：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，若将点A绕原点O逆时针旋转90°，求旋转后点A的新坐标。

答案：首先，我们需要知道逆时针旋转90°后，点的坐标变换规则是(x, y)变为(-y, x)。

因此，点A(3,4)旋转后的新坐标为(-4, 3)。

2. 题目：已知三角形ABC，其中∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，边AB的长度为6，边BC的长度为4，求将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的新位置。

答案：由于三角形ABC是一个直角三角形，且∠C=90°，旋转后点A 将位于点B的正上方，且与点B的距离等于AB的长度。

因此，点A的新位置可以通过计算得到，即点A的新坐标为(4, 6)。

3. 题目：在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2, -1)，若将点P绕点Q(1, 2)顺时针旋转45°，求旋转后点P的新坐标。

答案：首先，我们需要计算点P相对于点Q的向量，即(2-1, -1-2)=(1, -3)。

然后，将这个向量顺时针旋转45°，可以通过旋转矩阵来实现。

旋转矩阵为：\[\begin{bmatrix}\cos(-45°) & -\sin(-45°) \\\sin(-45°) & \cos(-45°)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\-\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}\]将向量(1, -3)与旋转矩阵相乘，得到新的向量为(\(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}\), \(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}\))。

中考数学专题复习《图形的旋转》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《图形的旋转》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《图形的旋转》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一．选择题（共5小题）1．如图四边形ABCD中AD∥BC AB⊥BC AD＝2 BC＝3 将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED连AE CE则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．不能确定2．如图平面直角坐标系中点B在第一象限点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°OA＝2 将△AOB绕点O逆时针旋转90°点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1 2+）B．（﹣3）C．（﹣2+）D．（﹣3 ）3．如图平面直角坐标系中点B在第一象限点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣3）B．（﹣3 ）C．（﹣2+）D．（﹣12+）4．如图在正方形ABCD中E是BC边上的一点BE＝4 EC＝8 将正方形边AB沿AE折叠到AF延长EF交DC于G连接AG FC现在有如下4个结论：①∠EAG＝45°②FG＝FC③FC∥AG④S△GFC＝14．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图在正方形ABCD中AB＝6 M是AD边上的一点AM：MD＝1：2．将△BMA 沿BM对折至△BMN连接DN则DN的长是（）A．B．C．3D．二．填空题（共12小题）6．如图△ABC是等边三角形AB＝7 点D是边BC上一点点H是线段AD上点连接BH CH．当∠BHD＝60°∠AHC＝90°时AH＝．7．如图已知点A（0 3）B（4 0）点C在第一象限且AC＝5BC＝10 则直线OC的函数表达式为．8．如图在△ABC中AB＝AC＝5 BC＝4D为边AB上一动点（B点除外）以CD 为一边作正方形CDEF连接BE则△BDE面积的最大值为．9．如图在△ABC中AB＝10 AC＝2∠ACB＝45°D为AB边上一动点（不与点B重合）以CD为边长作正方形CDEF连接BE则△BDE的面积的最大值等于．10．如图正方形ABCD和Rt△AEF AB＝5 AE＝AF＝4 连接BF DE．若△AEF绕点A旋转当∠ABF最大时S△ADE＝．11．如图正方形ABCD和Rt△AEF AB＝13 AE＝AF＝12 连接BF DE．若△AEF绕点A旋转当∠ABF最大时S△ADE＝．12．如图正方形ABCD的边长为2 点E F分别在边AD CD上若∠EBF＝45°则△EDF的周长等于．13．如图在正方形ABCD内作∠EAF＝45°AE交BC于点E AF交CD于点F连接EF过点A作AH⊥EF垂足为H将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG若BE＝2 DF＝3 则AH的长为．14．如图E F是正方形ABCD的边AD上两个动点满足AE＝DF．连接CF交BD于点G连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2 则线段DH长度的最小值是．15．如图E F是正方形ABCD的边AD上的两个动点满足AE＝DF连接CF交BD于点G连接BE交AG于点H．若正方形的边长为 4 则线段DH长度的最小值是．16．如图将边长为6的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E F分别在边AB CD上）使点B落在AD边上的点M处（点M不与A D重合）点C落在点N处MN与CD交于点P连接MB当点M在边AD上移动时有下列结论：①BM＝EF②0＜PF＜3③∠AMB＝∠BMP④△PDM的周长随之改变．其中正确结论的序号是（把你认为正确的结论的序号都填上）．17．如图在矩形ABCD中AB＝3 BC＝5 点E为BC边上一个动点连接AE将线段AE绕点E顺时针旋转90°点A落在点P处当点P在矩形ABCD外部时连接PC PD．若△DPC为直角三角形则BE的长为．三．解答题（共11小题）18．在△ABC中∠ACB＝90°＝m D是边BC上一点将△ABD沿AD折叠得到△AED连接BE．（1）特例发现如图1 当m＝1 AE落在直线AC上时．①求证：∠DAC＝∠EBC②填空：的值为（2）类比探究如图2 当m≠1 AE与边BC相交时在AD上取一点G使∠ACG＝∠BCE CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示）并写出探究过程（3）拓展运用在（2）的条件下当m＝D是BC的中点时若EB•EH＝6 求CG的长．19．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA）∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1 连接AM BN求证：AM＝BN（2）将△MON绕点O顺时针旋转．①如图2 当点M恰好在AB边上时求证：AM2+BM2＝2OM2②当点A M N在同一条直线上时若OA＝4 OM＝3 请直接写出线段AM的长．20．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON）∠AOB＝∠MON ＝90°．（1）如图1：连AM BN求证：△AOM≌△BON（2）若将△MON绕点O顺时针旋转①如图2 当点N恰好在AB边上时求证：BN2+AN2＝2ON2②当点A M N在同一条直线上时若OB＝4 ON＝3 请直接写出线段BN的长．21．如图在四边形ABCD中∠B＝60°∠D＝30°AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数（2）连接BD探究AD BD CD三者之间的数量关系并说明理由（3）若AB＝1 点E在四边形ABCD内部运动且满足AE2＝BE2+CE2求点E运动路径的长度．22．问题发现：如图1 在△ABC中AB＝AC∠BAC＝60°D为BC边上一点（不与点B C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE连接EC则：（1）①∠ACE的度数是②线段AC CD CE之间的数量关系是．拓展探究：（2）如图2 在△ABC中AB＝AC∠BAC＝90°D为BC边上一点（不与点B C 重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE连接EC请写出∠ACE的度数及线段AD BD CD之间的数量关系并说明理由解决问题：（3）如图3 在Rt△DBC中DB＝3 DC＝5 ∠BDC＝90°若点A满足AB＝AC∠BAC＝90°请直接写出线段AD的长度．23．如图在△ABC中∠ACB＝90°∠BAC＝30°AB＝2．若点P是△ABC内一点求P A+PB+PC的最小值．24．已知在△ABC中∠ACB＝30°（1）如图1 当AB＝AC＝2 求BC的值（2）如图2 当AB＝AC点P是△ABC内一点且P A＝2 PB＝PC＝3 求∠APC的度数（3）如图3 当AC＝4 AB＝（CB＞CA）点P是△ABC内一动点则P A+PB+PC 的最小值为．25．已知在△ABC中O为BC边的中点连接AO将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角）得到△EOF连接AE CF．（1）如图1 当∠BAC＝90°且AB＝AC时则AE与CF满足的数量关系是（2）如图2 当∠BAC＝90°且AB≠AC时（1）中的结论是否仍然成立？若成立请写出证明过程若不成立请说明理由．（3）如图3 延长AO到点D使OD＝OA连接DE当AO＝CF＝5 BC＝6时求DE的长．26．如图在正方形ABCD中点E是AB边上一点以DE为边作正方形DEFG DF与BC交于点M延长EM交GF于点H EF与CB交于点N连接CG．（1）求证：CD⊥CG（2）若tan∠MEN＝求的值（3）已知正方形ABCD的边长为1 点E在运动过程中EM的长能否为？请说明理由．27．在正方形ABCD中点E是直线AB上动点以DE为边作正方形DEFG DF所在直线与BC所在直线交于点H连接EH．（1）如图1 当点E在AB边上时延长EH交GF于点M EF与CB交于点N连接CG①求证：CD⊥CG②若tan∠HEN＝求的值（2）当正方形ABCD的边长为4 AE＝1时请直接写出EH的长．28．如图在边长为1的正方形ABCD中动点E F分别在边AB CD上将正方形ABCD沿直线EF折叠使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A D重合）点C落在点N处MN与CD交于点P设BE＝x．（1）当AM＝时求x的值（2）随着点M在边AD上位置的变化△PDM的周长是否发生变化？如变化请说明理由如不变请求出该定值（3）设四边形BEFC的面积为S求S与x之间的函数表达式并求出S的最小值．参考答案一．选择题（共5小题）1．解：如图所示作EF⊥AD交AD延长线于F作DG⊥BC∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED∴∠EDF+∠CDF＝90°DE＝CD又∵∠CDF+∠CDG＝90°∴∠CDG＝∠EDF在△DCG与△DEF中∴△DCG≌△DEF（AAS）∴EF＝CG∵AD＝2 BC＝3∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1∴EF＝1∴△ADE的面积是：×AD×EF＝×2×1＝1．故选：A．2．解：如图作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2 ∠B′A′H＝60°∴∠A′B′H＝30°∴A′H＝A′B′＝1 B′H＝∴OH＝3∴B′（﹣3）故选：B．3．解：如图过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中∵A′B′＝2 ∠B′A′H＝60°∴A′H＝A′B′cos60°＝1 B′H＝A′B′sin60°＝∴OH＝2+1＝3∴B′（﹣3）故选：A．4．解：如图连接DF．∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BC＝CD∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°由翻折可知：AB＝AF∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°BE＝EF＝4 ∠BAE＝∠EAF ∵∠AFG＝∠ADG＝90°AG＝AG AD＝AF∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）∴DG＝FG∠GAF＝∠GAD设GD＝GF＝x∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°故①正确在Rt△ECG中∵EG2＝EC2+CG2∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2∴x＝6∵CD＝BC＝BE+EC＝12∴DG＝CG＝6∴FG＝GC易知△GFC不是等边三角形显然FG≠FC故②错误∵GF＝GD＝GC∴∠DFC＝90°∴CF⊥DF∵AD＝AF GD＝GF∴AG⊥DF∴CF∥AG故③正确∵S△ECG＝×6×8＝24 FG：FE＝6：4＝3：2∴FG：EG＝3：5∴S△GFC＝×24＝故④错误故选：B．5．解：连接AN交BM于点O作NH⊥AD于点H．如图：∵AB＝6 AM：MD＝1：2．∴AM＝2 MD＝4．∵四边形ABCD是正方形．∴BM＝．根据折叠性质AO⊥BM AO＝ON．AM＝MN＝2．∴．∴＝．∴AN＝．∵NH⊥AD．∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．∴．∴．∴．∴．∴DN＝．故选：D．二．填空题（共11小题）6．解：作AE⊥BH于E BF⊥AH于F如图∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC∠BAC＝60°∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°∠BAH+∠CAH＝60°∴∠ABH＝∠CAH在△ABE和△CAH中∴△ABE≌△CAH（AAS）∴BE＝AH AE＝CH∵∠AHE＝∠BHD＝60°∴∠HAE＝∠HBF＝30°∴AH＝2HE AE＝HE BH＝2HF BF＝HF∴AH＝AE＝CH在Rt△AHC中AH2+（AH）2＝AC2＝72解得AH＝2故答案为2．7．解：如图连接AB作CD⊥x轴于点D∴AB＝＝＝5∵AC＝5BC＝10∴AB2+BC2＝52+102＝125＝AC2∴∠ABC＝90°∴∠ABO+∠CBD＝90°∵∠AOB＝∠BDC＝90°∴∠OAB+∠ABO＝90°∴∠OAB＝∠CBD∴△ABO∽△BCD∴即解得：BD＝6 CD＝8则OD＝10∴点C的坐标为（10 8）设直线OC的函数表达式为y＝kx将点C（10 8）代入得：10k＝8 即k＝∴直线OC的函数表达式为y＝x故答案为：y＝x．8．解：过点C作CG⊥BA于点G作EH⊥AB于点H作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5 BC＝4∴BM＝CM＝2∴△AMB∽△CGB∴即∴GB＝8设BD＝x则DG＝8﹣x∵ED＝DC∠EHD＝∠DGC∠HED＝∠GDC∴△EDH≌△DCG（AAS）∴EH＝DG＝8﹣x∴S△BDE＝＝＝当x＝4时△BDE面积的最大值为8．故答案为8．9．解：如图过点E作EM⊥BA于M过点C作CN⊥BA交BA的延长线于N过点A 作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中∵∠AHC＝90°∠ACH＝45°AC＝2∴AH＝CH＝AC•cos45°＝在Rt△ABH中∵∠AHB＝90°AB＝10 AH＝∴BH＝＝＝3∴BC＝BH+CH＝4∵S△ACB＝•BC•AH＝•AB•CN∴CN＝4在Rt△ACN中AN＝＝＝2∴BN＝BA+AN＝12 设BD＝x则DN＝12﹣x∵四边形EFCD是正方形∴DE＝DC∠EDC＝∠EMD＝∠DNC＝90°∴∠EDM+∠ADC＝90°∠ADC+∠DCN＝90°∴∠EDM＝∠DCN∴△EMD≌△DNC（AAS）∴EM＝DN＝12﹣x∴S△DBE＝•BD•EM＝•x•（12﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣6）2+18∵﹣＜0∴当x＝6时△BDE的面积的最大最大值为18．故答案为18．10．解：作DH⊥AE于H如图∵AF＝4 当△AEF绕点A旋转时点F在以A为圆心4为半径的圆上∴当BF为此圆的切线时∠ABF最大即BF⊥AF在Rt△ABF中BF＝＝3∵∠EAF＝90°∴∠BAF+∠BAH＝90°∵∠DAH+∠BAH＝90°∴∠DAH＝∠BAF在△ADH和△ABF中∴△ADH≌△ABF（AAS）∴DH＝BF＝3∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．11．解：过D作DH⊥AE于H如图所示：∵AF＝12∴当△AEF绕点A旋转时点F在以A为圆心12为半径的圆上∴当BF为此圆的切线时∠ABF最大∴BF⊥AF在Rt△ABF中由勾股定理得：BF＝＝＝5∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB∵∠EAF＝90°∴∠BAF+∠BAH＝90°∵∠DAH+∠BAH＝90°∴∠DAH＝∠BAF在△ADH和△ABF中∴△ADH≌△ABF（AAS）∴DH＝BF＝5∴S△ADE＝AE•DH＝×12×5＝30故答案为：30．12．解：∵四边形ABCD为正方形∴AB＝BC∠BAE＝∠C＝90°∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG如图∴BG＝BE CG＝AE∠GBE＝90°∠BAE＝∠C＝90°∴点G在DC的延长线上∵∠EBF＝45°∴∠FBG＝∠EBG﹣∠EBF＝45°∴∠FBG＝∠FBE在△FBG和△EBF中∴△FBG≌△FBE（SAS）∴FG＝EF而FG＝FC+CG＝CF+AE∴EF＝CF+AE∴△DEF的周长＝DF+DE+CF+AE＝CD+AD＝2+2＝4故答案为：4．13．解：由旋转的性质可知：AF＝AG∠DAF＝∠BAG．∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD＝90°．又∵∠EAF＝45°∴∠BAE+∠DAF＝45°．∴∠BAG+∠BAE＝45°．∴∠GAE＝∠F AE．在△GAE和△F AE中∴△GAE≌△F AE．∵AB⊥GE AH⊥EF∴AB＝AH GE＝EF＝5．设正方形的边长为x则EC＝x﹣2 FC＝x﹣3．在Rt△EFC中由勾股定理得：EF2＝FC2+EC2即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝25．解得：x1＝6．x2＝﹣1（舍去）∴AB＝6．∴AH＝6．故答案为：6．14．解：在正方形ABCD中AB＝AD＝CD∠BAD＝∠CDA∠ADG＝∠CDG 在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS）∴∠1＝∠2在△ADG和△CDG中∴△ADG≌△CDG（SAS）∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°∴∠1+∠BAH＝90°∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°取AB的中点O连接OH OD则OH＝AO＝AB＝1在Rt△AOD中OD＝＝＝根据三角形的三边关系OH+DH＞OD∴当O D H三点共线时DH的长度最小最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB AB直径的半圆上运动当O H D三点共线时DH长度最小）故答案为：﹣1．15．解：在正方形ABCD中AB＝AD＝CD∠BAD＝∠CDA∠ADG＝∠CDG在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS）∴∠1＝∠2在△ADG和△CDG中∴△ADG≌△CDG（SAS）∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°∴∠1+∠BAH＝90°∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°取AB的中点O连接OH OD则OH＝AO＝AB＝2在Rt△AOD中OD＝＝2根据三角形的三边关系OH+DH＞OD∴当O D H三点共线时DH的长度最小最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．故答案为：2﹣2．16．解：作FG⊥AB于G如图所示：则∠EGF＝90°GF＝BC＝AB∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝∠A＝90°∴∠ABM+∠AMB＝90°由折叠的性质得：BM⊥EF BE＝ME∠EMN＝∠ABC＝90°∴∠ABM+∠GEF＝∠ABM+∠AMB＝90°∴∠AMB＝∠GEF在△ABM和△GFE中∴△ABM≌△GFE（AAS）∴BM＝EF①正确若点M与A重合则C与D重合P与D重合PF＝3当M与D重合时N与C重合P与C重合EF与AC重合CF＝0 ∵点M不与A D重合∴0＜PF＜3 ②正确∵BE＝ME∴∠ABM＝∠EMB∵∠ABC＝∠EMN＝90°∴∠AMB＝∠BMP③正确设AM＝x则MD＝6﹣x．由折叠性质可知EM＝BE＝6﹣AE在Rt△AEM中AE2+AM2＝EM2即AE2+x2＝（6﹣AE）2整理得：AE2+x2＝36﹣12AE+AE2∴AE＝（36﹣x2）又∵∠EMP＝90°∴∠AME+∠DMP＝90°．∵∠AME+∠AEM＝90°∴∠AEM＝∠DMP．又∵∠A＝∠D∴△PDM∽△MAE．∴＝∴△PDM的周长＝△MAE的周长•＝（6+x）•＝12．∴△PDM的周长保持不变④不正确故答案为：①②③．17．解：①如图1中当∠PDC＝90°时∵∠ADC＝90°∴∠ADC+∠PDC＝180°∴A D P共线∵EA＝EP∠AEP＝90°∴∠EAP＝45°∵∠BAD＝90°∴∠BAE＝45°∵∠B＝90°∴∠BAE＝∠BEA＝45°∴BE＝AB＝3．②如图2中当∠DPC＝90°时作PF⊥BC于F PH⊥CD于H设BE＝x∵∠AEB+∠PEF＝90°∠AEB+∠BAE＝90°∴∠BAE＝∠PEF在△ABE和△EFP中∴△ABE≌△EFP∴EF＝AB＝3 PF＝HC＝BE＝x∴CF＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2∵∠DPH+∠CPH＝90°∠CPH+∠PCH＝90°∴∠DPH＝∠PCH∵∠DHP＝∠PHC∴△PHD∽△CHP∴PH2＝DH•CH∴（x﹣2）2＝x（3﹣x）∴x＝或（舍弃）∴BE＝综上所述当△PDC是直角三角形时BE的值为3或．故答案为3或．三．解答题（共11小题）18．解（1）①如图1 延长AD交BE于F由折叠知∠AFB＝90°＝∠ACB∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°∵∠ADC＝∠BDF∴∠DAC＝∠EBC②由①知∠DAC＝∠EBC∵m＝1∴AC＝BC∵∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（ASA）∴CD＝CE∴＝1故答案为1．（2）如图2 延长AD交BE于F由（1）①知∠DAC＝∠EBC∵∠ACG＝∠BCE∴△ACG∽△BCE∴＝m（3）由折叠知∠AFB＝90°BF＝FE∵点D是BC的中点∴BD＝CD∴DF是△BCE的中位线∴DF∥CE∴∠BEC＝∠BFD＝90°∠AGC＝∠ECG∠GAH＝∠CEA 由（2）知△ACG∽△BCE∴∠AGC＝∠BEC＝90°＝＝2m＝∴＝tan∠GAC＝＝设CG＝x则AG＝x BE＝2x∴AG＝CE∴△AGH≌△ECH（AAS）∴AH＝EH GH＝CH∴GH＝x在Rt△AGH中根据勾股定理得AH＝＝x ∵EB•EH＝6∴2x•x＝6∴x＝或x＝﹣（舍）即CG＝．19．（1）证明：如图1∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB OM＝ON∴△AOM≌△BON（SAS）∴AM＝BN（2）①证明：如图2 连接BN∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB OM＝ON∴△AOM≌△BON（SAS）∴∠MAO＝∠NBO＝45°AM＝BN∴∠MBN＝90°∴MB2+BN2＝MN2∵△MON是等腰直角三角形∴MN2＝2ON2∴AM2+BM2＝2OM2②解：如图3当点N在线段AM上时连接BN设BN＝x由（1）可知△AOM≌△BON可得AM＝BN且AM⊥BN 在Rt△ABN中AN2+BN2＝AB2∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形OA＝4 OM＝3∴MN＝3AB＝4∴（x﹣3）2+x2＝（4）2解得：x＝∴AM＝BN＝如图4当点M在线段AN上时连接BN设BN＝x由（1）可知△AOM≌△BON可得AM＝BN且AM⊥BN 在Rt△ABN中AN2+BN2＝AB2∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形OA＝4 OM＝3∴MN＝3AB＝4∴（x+3）2+x2＝（4）2解得：x＝∴AM＝BN＝综上所述线段AM的长为或．20．（1）证明：如图1中∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOM＝∠BON∵AO＝BO OM＝ON∴△AOM≌△BON（SAS）．（2）①证明：如图2中连接AM．同法可证△AOM≌△BON∴AM＝BN∠OAM＝∠B＝45°∵∠OAB＝∠B＝45°∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°∴MN2＝AN2+AM2∵△MON是等腰直角三角形∴MN2＝2ON2∴NB2+AN2＝2ON2．②如图3﹣1中设OA交BN于J过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON∴AM＝BN∠OAM＝∠OBN∵∠AJN＝∠BJO∴∠ANJ＝∠JOB＝90°∵OM＝ON＝3 ∠MON＝90°OH⊥MN∴MN＝3MH＝HN＝OH＝∴AH＝＝＝∴BN＝AM＝MH+AH＝．如图3﹣2中同法可证AM＝BN＝．21．解：（1）如图1中在四边形ABCD中∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°∠B＝60°∠D＝30°∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．（2）如图2中结论：DB2＝DA2+DC2．理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．∵∠ABC＝∠DBQ＝60°∴∠ABD＝∠CBQ∵AB＝BC DB＝BQ∴△ABD≌△CBQ（SAS）∴AD＝CQ∠A＝∠BCQ∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°∴∠DCQ＝90°∴DQ2＝DC2+CQ2∵CQ＝DA DQ＝DB∴DB2＝DA2+DC2．（3）如图3中连接AC将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR连接RE．则△AER是等边三角形∵EA2＝EB2+EC2EA＝RE EC＝RB∴RE2＝RB2+EB2∴∠EBR＝90°∴∠RAE+∠RBE＝150°∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°∴∠BEC＝150°∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上在⊙O上取一点K连接KB KC OB OC ∵∠K+∠BEC＝180°∴∠K＝30°∠BOC＝60°∵OB＝OC∴△OBC是等边三角形∴OB＝OC＝BC＝1∴点E的运动路径＝＝．22．解：（1）∵在△ABC中AB＝AC∠BAC＝60°∴∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC即∠BAD＝∠CAE在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ACE＝∠B＝60°BD＝CE∴BC＝BD+CD＝EC+CD∴AC＝BC＝EC+CD故答案为：60°AC＝DC+EC（2）BD2+CD2＝2AD2理由如下：由（1）得△BAD≌△CAE∴BD＝CE∠ACE＝∠B＝45°∴∠DCE＝90°∴CE2+CD2＝ED2在Rt△ADE中AD2+AE2＝ED2又AD＝AE∴BD2+CD2＝2AD2（3）作AE⊥CD于E连接AD∵在Rt△DBC中DB＝3 DC＝5 ∠BDC＝90°∴BC＝＝∵∠BAC＝90°AB＝AC∴AB＝AC＝∠ABC＝∠ACB＝45°∵∠BDC＝∠BAC＝90°∴点B C A D四点共圆∴∠ADE＝45°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝DE∴CE＝5﹣DE∵AE2+CE2＝AC2∴AE2+（5﹣AE）2＝17∴AE＝1 AE＝4∴AD＝或AD＝4．23．解：以点A为旋转中心顺时针旋转△APB到△AP′B′旋转角是60°连接BB′PP′如图所示则∠P AP′＝60°AP＝AP′PB＝P′B′∴△APP′是等边三角形∴AP＝PP′∴P A+PB+PC＝PP′+P′B′+PC∵PP′+P′B′+PC≥CB′∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值即P A+PB+PC的最小值就是CB′的值∵∠BAC＝30°∠BAB′＝60°AB＝2∴∠CAB′＝90°AB′＝2 AC＝AB•cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝∴CB′＝＝＝故答案为：．24．解：（1）如图1中作AP⊥BC于P．∵AB＝AC AP⊥BC∴BP＝PC在Rt△ACP中∵AC＝2 ∠C＝30°∴PC＝AC•cos30°＝∴BC＝2PC＝2．（2）如图2中将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC．∵AB＝AC∠C＝30°∴∠BAC＝120°∴P A＝AQ＝2 PB＝QC＝∵∠P AQ＝120°∴PQ＝2∴PQ2+PC2＝QC2∴∠QPC＝90°∵∠APQ＝30°∴∠APC＝30°+90°＝120°．（3）如图3中将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′连接PP′AB′则∠ACB′＝90°．∵P A+PB+PC＝P A+PP′+P′B′∴当A P P′B′共线时P A+PB+PC的值最小最小值＝AB′的长由AB＝AC＝4 ∠C＝30°可得BC＝CB′＝3∴AB′＝＝．故答案为．25．解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中∵AB＝AC∠BAC＝90°OC＝OB ∴OA＝OC＝OB AO⊥BC∵∠AOC＝∠EOF＝90°∴∠AOE＝∠COF∵OA＝OC OE＝OF∴△AOE≌△COF（SAS）∴AE＝CF．（2）结论成立．理由：如图2中∵∠BAC＝90°OC＝OB∴OA＝OC＝OB∵∠AOC＝∠EOF∴∠AOE＝∠COF∵OA＝OC OE＝OF∴△AOE≌△COF（SAS）∴AE＝CF．（3）如图3中由旋转的性质可知OE＝OA∵OA＝OD∴OE＝OA＝OD＝5∴∠AED＝90°∵OA＝OE OC＝OF∠AOE＝∠COF∴＝∴△AOE∽△COF∴＝∵CF＝OA＝5∴＝∴AE＝∴DE＝＝＝．26．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°AD＝CD DE＝DG∴∠ADE＝∠CDG在△ADE和△CDG中∴△ADE≌△CDG（SAS）∴∠A＝∠DCG＝90°∴CD⊥CG（2）解：∵四边形DEFG是正方形∴EF＝GF∠EFM＝∠GFM＝45°在△EFM和△GFM中∴△EFM≌△GFM（SAS）∴EM＝GM∠MEF＝∠MGF在△EFH和△GFN中∴△EFH≌△GFN（ASA）∴HF＝NF∵tan∠MEN＝＝∴GF＝EF＝3HF＝3NF∴GH＝2HF作NP∥GF交EM于P则△PMN∽△HMG△PEN∽△HEF ∴＝＝＝∴PN＝HF∴＝＝＝＝（3）EM的长不可能为理由：假设EM的长为∵点E是AB边上一点且∠EDG＝∠ADC＝90°∴点G在BC的延长线上同（2）的方法得EM＝GM＝∴GM＝在Rt△BEM中EM是斜边∴BM＜∵正方形ABCD的边长为1∴BC＝1∴CM＞∴CM＞GM∴点G在正方形ABCD的边BC上与“点G在BC的延长线上”相矛盾∴假设错误即：EM的长不可能为．27．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°AD＝CD DE＝DG∴∠ADE＝∠CDG在△ADE和△CDG中∴△ADE≌△CDG（SAS）∴∠A＝∠DCG＝90°∴CD⊥CG②如图1 过点N作NP∥DE∵四边形DEFG是正方形∴EF＝GF∠EFH＝∠GFH＝45°且HF＝HF ∴△EFH≌△GFH（SAS）∴EH＝GH∠HEF＝∠HGF∵∠HEF＝∠HGF EF＝GF∠EFM＝∠GFN ∴△EFM≌△GFN（ASA）∴FM＝NF EM＝GN∵tan∠HEN＝＝∴EF＝4MF＝4NF＝GF∴GM＝3MF＝EN＝3NF∴NP∥DE∴△PNE∽△MFE∴∴PN＝MF∵NP∥DE∴＝∴（2）如图1 ∵AD＝4 AE＝1∴DE＝＝＝∴EF＝GF＝∴NF＝EF＝∵GN2＝GF2+NF2∴GN＝∵∴GH＝GN＝∴EH＝GH＝若点E在点A左侧如图2 设AB与DH于点O过点F作FN⊥AB∵∠DEA+∠FEB＝90°∠DEA+∠ADE＝90°∴∠ADE＝∠FEB且∠DAE＝∠FNE＝90°DE＝EF∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1 DA＝EN＝4∴AN＝3 BN＝1∵DA∥NF∴∴ON＝∴BO＝∴AO＝∵DA∥BH∴∴BH＝∴EH＝＝＝如图3 过点F作FN⊥AB于N交BA的延长线于N BA的延长线交FH于M同理可求EH＝如图4 过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N同理可求EH＝28．解：（1）如图在Rt△AEM中AE＝1﹣x EM＝BE＝x AM＝∵AE2+AM2＝EM2∴（1﹣x）2+（）2＝x2∴x＝．（2）△PDM的周长不变为2．理由：设AM＝y则BE＝EM＝x MD＝1﹣y在Rt△AEM中由勾股定理得AE2+AM2＝EM2（1﹣x）2+y2＝x2解得1+y2＝2x∴1﹣y2＝2（1﹣x）∵∠EMP＝90°∠A＝∠D∴Rt△AEM∽Rt△DMP∴＝即＝解得DM+MP+DP＝＝2．∴△DMP的周长为2．（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交EF于O交FH于K．在Rt△AEM中AM＝＝∵B M关于EF对称∴BM⊥EF∴∠KOF＝∠KHB∵∠OKF＝∠BKH∴∠KFO＝∠KBH∵AB＝BC＝FH∠A＝∠FHE＝90°∴△ABM≌△HFE∴EH＝AM＝∴CF＝BH＝x﹣∴S＝（BE+CF）•BC＝（x+x﹣）＝[（）2﹣+1]＝（﹣）2+．当＝时S有最小值＝．。

中考数学总复习《旋转》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《旋转》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《旋转》专项测试卷-附参考答案（测试时间60分钟满分100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共8题，共40分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．菱形B．等边三角形C．平行四边形D．直角三角形2.如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60∘后，得到△ABʹCʹ，且Cʹ为BC的中点，则CʹD:DBʹ=( )A．1:2B．1:2√2C．1:√3D．1:33.如图所示，将一个含30∘角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点Bʹ，若点Bʹ，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是( )A．60∘B．90∘C．120∘D．150∘4.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AʹBʹC，使得点Aʹ恰好落在AB上，则旋转角度为( )A．30∘B．60∘C．90∘D．150∘5.如图，在△ABC中∠C=90∘，AC=4，BC=3将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C 恰好落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( )A．√10B．√8C．3D．2√56.如图，在△ABC中AB=8，AC=6，∠BAC=30∘，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘得到△AB1C1，连接BC1，则下列结论错误的是( )A．AC=AC1B．∠CAC1=60∘C．BC1=12D．AB1=87.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积( )A．由小变大B．由大变小C．始终不变D．先由大变小，然后又由小变大8.如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是( )A．12B．6C．3D．1二、填空题（共5题，共15分）9.如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B在第一象限，将等边△AOB绕点O旋转180∘得到△AʹOBʹ，则点Bʹ的坐标是．10.若点P(m−1,5)与点Q(3,2−n)关于原点成中心对称，则m+n的值是．11.如图，在△ABC中∠BAC=90∘，∠ABC=30∘，AC=2，将△ABC绕点A顺时针旋转α度得到△ADE，点B恰好在DE的延长线上，则α的值为；BD的长为．x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A 12.如图，已知直线y=−43按顺时针方向旋转90∘后得到△AOʹBʹ，则点B的对应点Bʹ的坐标是．13.如图，在△ABC中∠BAC=108∘，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ABʹCʹ．若点Bʹ恰好落在BC边上，且ABʹ=CBʹ，则∠Cʹ的度数为．三、解答题（共3题，共45分）14.在Rt△ABC中∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E．(1) 当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的大小；(2) 若α=60∘时，点F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．15.如图，在△ABC中AB=AC，将△ABC绕点C旋转180∘得到△FEC，连接AE，BF．(1) 试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；(2) 若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；(3) 当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？并说明理由．16.如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针旋转α到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．(1) 求证：△BCF≌△BA1D．(2) 当∠C=α时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由．参考答案1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】B9. 【答案】(−2√3,−2)10. 【答案】511. 【答案】120；612. 【答案】(7,3)13. 【答案】24∘14. 【答案】(1) ∵△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点E恰好在AC上∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30∘，∠DEC=∠ABC=90∘．∵CA=CD×(180∘−30∘)=75∘∴∠CAD=∠CDA=12∴∠ADE=90∘−75∘=15∘．(2) ∵点F是边AC的中点AC．∴BF=12∵∠ACB=30∘AC∴AB=12∴BF=AB．∵△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC，连接AD．∴∠BCE=∠ACD=60∘，CB=CE和DE=AB∴DE=BF，△ACD和△BCE均为等边三角形∴BE=CB．∵点F为△ACD的边AC的中点∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC∴DF=BC∴DF=BE．而BF=DE∴四边形BEDF是平行四边形．15. 【答案】(1) AE与BF平行且相等．理由：∵△ABC绕点C旋转180∘得到△FEC∴△ABC与△FEC关于点C成中心对称∴AC=FC BC=EC∴四边形ABFE是平行四边形∴AE∥BF且AE=BF．(2) ∵AC=FC∴S△ABC=S△BCF=3cm2又∵BC=EC∴S△ABC=S△ACE=3cm2S△ECF=S△BCF=3cm2∴四边形ABFE的面积为4×3=12(cm2)．(3) 当∠ACB=60∘时，四边形ABFE为矩形．理由：∵AB=AC∠ACB=60∘∴∠ABC=∠ACB=60∘.∴△ABC为等边三角形∴BC=AC=FC=EC又∵四边形ABFE为平行四边形∴四边形ABFE为矩形．16. 【答案】(1) ∵△ABC是等腰三角形∴AB=BC∠A=∠C∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C和∠A1BD=∠CBC1．在△BCF与△BA1D中{∠C=∠A1,BC=A1B,∠CBF=∠A1BD,∴△BCF≌△BA1D；(2) 四边形A1BCE是菱形，理由：∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置∴∠A1=∠A∠AED=∠A1BD=α∴∠DEC=180∘−α．∵∠C=α∴∠A1=α∴∠A1BC=360∘−∠A1−∠C−∠A1EC=180∘−α∴∠A1=∠C∠A1BC=∠A1EC∴四边形A1BCE是平行四边形∴A1B=BC∴四边形A1BCE是菱形．。

初三旋转知识测试题及答案

初三旋转知识测试题及答案

初三旋转知识测试题及答案一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点A(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90°后，新的位置坐标是：A. (4,3)B. (-4,3)C. (3,-4)D. (-3,4)2. 一个图形绕某点旋转θ角度后，图形上的点的坐标变化遵循以下哪种规律？A. 坐标不变B. 坐标线性变化C. 坐标成比例变化D. 坐标按照旋转矩阵变化二、填空题3. 若点P(2,3)绕点O(0,0)旋转120°，求点P的新坐标。

____,____。

4. 已知点A(1,1)和点B(4,5)，若点A绕点B旋转30°，求点A的新坐标。

____,____。

三、解答题5. 一个正方形ABCD的顶点坐标分别为A(0,0), B(1,0), C(1,1),D(0,1)。

求正方形绕点A顺时针旋转45°后，各顶点的新坐标。

四、综合题6. 已知三角形PQR，顶点坐标分别为P(-1,2), Q(2,3), R(-3,-1)。

若三角形PQR绕点P旋转60°，求旋转后三角形PQR'的顶点坐标。

答案：一、选择题1. C. (3,-4)2. D. 坐标按照旋转矩阵变化二、填空题3. 点P的新坐标为(-3,3)4. 点A的新坐标为(√3+1, 1-√3)三、解答题5. 正方形绕点A顺时针旋转45°后，各顶点的新坐标为：A'(0,0)B'(√2/2, √2/2)C'(√2/2, 1-√2/2)D'(-√2/2, 1+√2/2)四、综合题6. 三角形PQR'的顶点坐标为：P'(-1,2)Q'(-2,5)R'(-4,-1)结束语：本测试题涵盖了旋转的基本概念、坐标变化规律以及旋转矩阵的应用，旨在帮助学生巩固和检验对旋转知识的理解和掌握。

希望同学们通过练习，能够更深刻地理解旋转的性质和应用。

中考数学总复习《旋转》专项测试卷带答案

中考数学总复习《旋转》专项测试卷带答案

中考数学总复习《旋转》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题(共12题，共36.0分)1．(3分)下列曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 心形线B. 蝴蝶曲线C. 四叶玫瑰线D. 等角螺旋线2．(3分)在直角坐标系中，A（a+b,-2）关于原点对称的点A'（4，a-b），则a,b的值为（）A. a=-1，b=-3 B. a=1，b=3 C. a=0，b=2 D. a=2，b=03．(3分)下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.4．(3分)如图，△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，则下列说法不正确的是（）A. △DAB=△EACB. △D=△BC. AD=ABD.△DEA=△BAC5．(3分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将△ABC 绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′落在反比例函数y=在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是（0，-4）、（-2，0），那么点A′的坐标是（）A. （3，2） B. （，4）C. （2，3）D. （4，）6．(3分)如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若△AOB=15°，则△AOB′的度数是（）A. 60°B. 30°C. 15°D. 45°7．(3分)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论不一定正确的是（）A. △ACD=△EADB. △ABC=△ADCC. △EAC=αD. △EDC=180°-α8．(3分)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC=5，AC=3，则AB′的长为（）A. 5B. 4C. 3D. 29．(3分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上任意一点，将正方形绕点B逆时针旋转90°后，点E的对应点为E'，则点B到线段EE′距离的最小值为（）A. 1B.C. D. 210．(3分)如图，在矩形ABCD中AB=10，BC=8，以CD为直径作△O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与△O相切于点E，则BB1的长为（）A. B. 2C. D.11．(3分)如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，连接EF，P为EF的中点，则下列结论正确的是（）△AE=AF；△EF=2EC；△△DAP=△CFE；△△ADP=45°；△PD△AF．A. △△△B. △△△C. △△△D. △△△12．(3分)如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，△ABC=α（0＜α＜）．现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落在圆周上；第三次，以C为中心，使A落在圆周上．如此旋转直到第100次．那么A点所走过路程的总长度为（）A. 22π（1+sinα）-66αB. 22π（1+sin）-33αC. 22π（+sinα）-66αD. 33π-66α二、填空题(共4题，共12.0分)13．(3分)如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=3，AE=5，△D=90°，则AC=_____．14．(3分)在平面直角坐标系中，点A（-3，2），连接OA，把线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到线段OA′，则点A'的坐标是_____．15．(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____．16．(3分)如图，在菱形ABCD中，△ABC=60°，AB=8，点E为AD边上一点，且AE=2，在BC边上存在一点F，CD边上存在一点G，线段EF平分菱形ABCD的面积，则△EFG周长的最小值为_____．三、解答题(共8题，共72.0分)17．(9分)如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到△A1B2C2，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．18．(9分)如图，已知y=kx和双曲线y=（m＞0），点A（a,b）（a＞0）在双曲线y=上（1）当a=b=2时，△直接写出m值_____△若k=-2，将直线y=kx平移至双曲线y=只有一个交点，求平移后的直线解析式（2）将直线y=kx绕原点O旋转，设旋转后直线与双曲线y=交于B、C两点（点B在第一象限）直线AB、AC分别与x轴交于D、E两点，写出与之间的数量关系？并说明理由．19．(9分)图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．（1）在图1中画出等腰三角形，且点C在格点上．（画出一个即可）（2）在图2中画出以为边的菱形，且点D，E均在格点上．20．(9分)如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．21．(9分)在初中阶段的函数学习中，我们运用了列表、描点、连线的方法画函数图象，并结合图象研究了函数性质．以下是我们研究函数y=2x（|x|-3）性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）如表是该函数部分x,y的对应值，利用表中数据补全该函数图象；x…-4-3-2-101234…y=2x （|x|-3）…-80440-4-408…（2）根据函数图象，下列说法正确的是_____；（填写序号）△该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点△该函数有最大值，没有最小值△若x＜0，则函数值y随x的增大而增大△若关于x的方程2x（|x|-3）=m有两个不相等的实数根，则m=±．（3）方程x（|x|-3）=-2 的根为_____；（4）当时，函数的最大值与最小值的差为5，求t的值．22．(9分)小明与小刚约好下午4：30在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？23．(9分)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2，AB=4．（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．24．(9分)问题提出已知△ABC是等边三角形，将等边三角形ADE（A，D，E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，且平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，连接BE，EF，BF．观察发现（1）如图1，当点E在线段AB上，猜想△BEF的形状_____；探究迁移（2）如图2，当点E不在线段AB上，（1）中猜想的结论是否依然成立，请说明理由；拓展应用（3）若AB=2 ，在△ADE绕着点A旋转的过程中，当EF△AC时，求线段AF的长．参考答案1．【答案】C【解析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．【答案】A【解析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列方程组求解即可．解：△A（a+b,-2）关于原点对称的点A'（4，a-b）△解得故选：A．3．【答案】B【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：B．4．【答案】D【解析】由旋转的意义可得，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度后得到△ADE，此时对应边为：AC=AE，AB=AD，CB=ED，旋转角为△CAE或△BAD，以此逐个进行判断，得出答案．解：由旋转的性质得：对应边为：AC=AE，AB=AD，CB=ED，对应角△B=△D，△DEA=ACB，旋转角为△CAE或△BAD故A、B、C正确，不符合题意；D不正确，符合题意．故选：D．5．【答案】A【解析】根据题意求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得A′的坐标．解：设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0）设直线A′B的解析式为y=kx-4把D（2，0）代入得0=2k-4解得k=2△直线A′B的解析式为y=2x-4由解得或△点A′的坐标是（3，2）故选：A．6．【答案】B【解析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．解：△将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′△△A′OA=45°，△AOB=△A′OB′=15°△△AOB′=△A′OA-△A′OB′=45°-15°=30°故选：B．7．【答案】A【解析】先根据旋转的性质得到△ABC△△DAE，△ABC=△ADE，△BAD=△EAC=α，AB=AD，则可对C选项进行判断；由△ABC△△DAE得到△EAD=△CAB，再根据三角形外角性质得到△ACD＞△CAB，于是可对A选项进行判断；由AB=AD得到△ABC=△ADC，则可对B选项进行判断；由于△EDC=△ADE+△ADC，△ADE=△ABC，则利用等量代换和三角形内角和得到△EDC=180°-α，则可对D选项进行判断．解：△将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE△△ABC△△DAE，△ABC=△ADE，△BAD=△EAC=α，AB=AD，所以C选项不符合题意；△△ABC△△DAE△△EAD=△CAB△△ACD＞△CAB△△ACD＞△EAD，所以A选项符合题意；△AB=AD△△ABC=△ADC，所以B选项不符合题意；△△EDC=△ADE+△ADC而△ADE=△ABC△△EDC=△ABC+△ADC=180°-△BAD=180°-α，所以D选项不符合题意．故选：A．8．【答案】D【解析】先根据旋转的性质得到CB′=CB=5，然后计算CB′-CA即可．解：△△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，点A在边B′C上△CB′=CB=5△AB′=CB′-CA=5-3=2．故选：D．9．【答案】D【解析】连接BE，BE′，EE′，由旋转可得AE′=CE，BE=BE′，△EBE′=90°，△D′AA′=△DCA=45°，证明△BEE′是等腰直角三角形，△A′AC=90°，过点B作BM△EE′于点M，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=EE′，要求BM的最小值，只需求EE′的最小值，设AE=x,则AE′=CE=4-x,根据勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．解：如图，连接BE，BE′，EE′△四边形ABCD是正方形，AB=4△△DAC=△DCA=45°，AC=4由旋转可知：AE′=CE，BE=BE′，△EBE′=90°，△D′AA′=△DCA=45°△△BEE′是等腰直角三角形，△A′AC=90°过点B作BM△EE′于点M△BM=EE′△要求BM的最小值，只需求EE′的最小值设AE=x,则AE′=CE=4-x,在Rt△AEE′中，根据勾股定理得：EE′2=AE2+AE′2△EE′2=x2+（4-x）2=2（x-2）2+16当x=2时，EE′2有最小值，最小值为16此时，EE′=4△BM=EE′=2则点B到线段EE′距离的最小值为2．故选：D．10．【答案】C【解析】连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G△BC于点G，由题意可得：四边形B1EFC为矩形，则EF=B1C=8，由勾股定理可求线段CF的长；由旋转的性质可得：△OCF=△B1CG，则sin△OCF=sin△B1CG=，cos△OCF=cos△B1CG=；利用直角三角形的边角关系可求B1G和CG，最后利用勾股定理可得结论．解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G△BC于点G，如图△边A1B1与△O相切于点E△OE△A1B1．△四边形A1B1C1D1是矩形△A1B1△B1C，B1C△CD1．△四边形B1EFC为矩形．△EF=B1C=8．△CD为△O的直径△OE=DO=OC=AB=5．△OF=EF-OE=3．△A1B1△CD1，OE△A1B1△OF△CD1．△CF==4．由旋转的性质可得：△OCF=△B1CG．△sin△OCF=sin△B1CG=，cos△OCF=cos△B1CG=．△sin△OCF=，cos△OCF=△，．△B1G=，CG=．△BG=BC-CG=．△BB1===．故选：C．11．【答案】C【解析】△根据旋转的性质推即可得AE=AF；△在直角△CEF中，根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”进行判断；△、△点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，所以由圆周角定理进行证明；△利用反证法．利用△的结论推知点P在对角线BD上，所以通过旋转的角度、正方形的性质来证明线段PD与AF不平行．解：△△△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得到△ADF△△ABE△△ADF，△FAE=90°△AE=AF，即△AFE是等腰直角三角形，故△正确；△如图，连接CP．△△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得到△ADF△△ADF=△ABC=90°△△ADF+△ADC=180°△C、D、F在一条直线上△△ECF=90°△当△CFE=30°时，EF=2EC．即EF不一定等于2EC．故△不正确；△△P为EF的中点，AE=AF△△APF=90°．△△APF=△ADF=90°△点A、P、D、F在以AF为直径的圆上△△DAP=△DFP，即△DAP=△CFE，故△正确；△△△AFE是等腰直角三角形△△AEF=AFE=45°．又△点A、P、D、F在以AF为直径的圆上△△ADP=△AFP，即△ADP=△AFE=45°，故△正确；△如图，连接AC、BD交于点O．△△ADP=45°△点P在正方形ABCD的对角线BD上．假设PD△AF．△△PAE=90°，即FA△AE△DP△AE．又△AC△BD△AE与AC重合，这与已知图形相矛盾△PD与AE不平行，故△错误．综上所述，正确的说法有△△△．故选：C．12．【答案】B【解析】探究一个循环中，点A运动两段弧，第一段旋转角是，半径是1，第二段旋转角是，半径是AC=2•sin，进一步得出结果．解：如图△△ABB11和△BB1C2是等边三角形△△AB1B=60°=，△BB1C2=60°=△△AB1C2=△AB1B+△BB1C2=△△AB1A1=△AB1C2-△A1B1C2=△l=△△A1C2A2=△B1C2B=60°=，A1C2=AC=2△l==△33•（）+33×=22π（1+sin）-33α故选：B．13．【答案】2【解析】根据中心对称得出AC=CD，DE=AB=3，根据勾股定理求出AD即可得出AC的长度．解：△△ABC与△DEC关于点C成中心对称△AC=CD，DE=AB=3△AE=5，△D=90°△AD==4△AC=AD=2故答案为：2．14．【答案】（-2，-3）【解析】过点A作AB△x轴于点B，过点A′作A′C△x轴于点C，得到△ABO=△OCA′=90°，推出△OAB+△AOB=90°，根据旋转性质得到OA=OA′，△AOA′=90°，推出△AOB+△A′OC=90°，得到△OAB=△A′OC，推出△OAB△△A′OC，根据A（-3，2），得到AB=2，OB=3，推出A′C=OB=3，OC=AB=2，得到A′（-2，-3）．解：如图，过点A作AB△x轴于点B，过点A′作A′C△x轴于点C则△ABO=△OCA′=90°△△OAB+△AOB=90°△A（-3，2）△AB=2，OB=3由旋转知，OA=OA′，△AOA′=90°△△AOB+△A′OC=90°△△OAB=△A′OC△△OAB△A′OC△（AAS）△A′C=OB=3，OC=AB=2△A′（-2，-3）．故答案为：（-2，-3）．15．【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△DCO【解析】根据旋转变换，平移变换的性质解决问题即可．解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△DCO．故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△DCO．16．【答案】4+2【解析】作E关于CD的对称点M，过M作KT△BC交BC延长线于T，交AD延长线于K，连接FM交DC于G，过A作AH△BC于H，由△ABC=60°，AB=8，得BH=4，AH=4，而AE=2，有DE=6，可得DN=3，EN=3，EM=2EN=6，在Rt△EMK中，KM=EM=3，EK= KE=9，故MT=KT-KM=AH-KM=，根据线段EF平分菱形ABCD的面积和菱形的对称性知CF=AE=2，可证△EFH=△EFT=90°，即可得FM==2，又EF+CG+EG=EF+CG+GM，知当M，G，F共线时，EF+CG+EG，即△EFG周长的最小，从而可得△EFG周长的最小值为4+2．解：作E关于CD的对称点M，过M作KT△BC交BC延长线于T，交AD延长线于K，连接FM交DC于G，过A作AH△BC于H，如图：△△ABC=60°，AB=8△BH=4，AH=4△AE=2△DE=6△△EDN=60°，△END=90°△△DEN=30°，DN=3，EN=3△EM=2EN=6在Rt△EMK中KM=EM=3，EK=KE=9△MT=KT-KM=AH-KM=△线段EF平分菱形ABCD的面积△EF过对称中心由菱形的对称性知CF=AE=2△HF=BC-BH-CF=8-4-2=2△HF=AE△HF△AE，△EHF=90°△四边形HFEA是矩形，EF=AH=4△△EFH=△EFT=90°△四边形EFTK是矩形△FT=EK=9△FM==2△EF+CG+EG=EF+CG+GM△当M，G，F共线时，EF+CG+EG，即△EFG周长的最小此时△EFG周长的最小值即为EF+FM△△EFG周长的最小值为4+2．故答案为：4+2．17．【解析】（1）把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到△△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B1、C1的对应点B2、C2，从而得到△A1B2C2．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A1B2C2为所作．18．【答案】4【解析】（1）△把A（2，2）代入y=即可得到结论；△设平移后的直线为y=-2x+b,解方程组即可得到结论；（2）当点A在直线BC的上方，过A，B，C分别作y轴的垂线，垂足为F，G，H，则OF=b,OG=OH=n,FG=OF-OG=b-n,FH=OF+OH=b+n根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．解：（1）△把A（2，2）代入y=得，m=4故答案为：4；△设平移后的直线为y=-2x+b,△△2x2-bx+4=0△△=（-b）2-4×2×4=0△b=4方程有两个相等的实数根，此时直线y=-2x+b曲线y=只有一个交点△平移后的直线为y=-2x+4；（2）当点A在直线BC的上方，过A，B，C分别作y轴的垂线，垂足为F，G，H 则OF=b,OG=OH=n,FG=OF-OG=b-n,FH=OF+OH=b+n,△AF△x轴△CH△=△=+=2；当A在BC的下方时，同理可求=，=△-=2综上所述，±=2．19．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】利用轴对称图形、中心对称图形的特点画出符合条件的图形即可；【小问1详解】答案不唯一．【小问2详解】【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的特点，熟练掌握特殊三角形与四边形的性质才能准确画出符合条件的图形．20．【解析】本题是图案设计问题，用轴对称和中心对称知识画图，设计图案，要按照题目要求，展开丰富的想象力，答案不唯一．解：如图所示；21．【答案】(1)△△;(2)x=1或2或;【解析】（1）根据作图步骤画出图象即可；（2）根据图像判断各选项的正误即可；（3）根据图像分两种情况解答，△根据图表数据解出x＞0时两根，△根据图像解出x＜0时的根即可；（4）在t值范围内，先求出最大值，再根据题意计算出最小值，将最小值代入方程即可求得a 的值．解：（1）补全图象如图：（2）△该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点，正确；△该函数有最大值，没有最小值，错误，既没有最大值，也没有最小值；△若x＜0，则函数值y随x的增大而增大，错误，当x＜-1.5或x＞1.5时，y随x的增大而增大；△若关于x的方程2x（|x|-3）=m有两个不相等的实数根，则m=±．正确，将x=±代入2x（|x|-3）=m解出m值为±．故答案为：△△；（3）x（|x|-3）=-2 即2x（|x|-3）=-4当x＜0时，2x（-x-3）=-4，整理得x2+3x-2=0，解得x=或x=（舍去）由图表可知，方程的根为x=1或2或．（4）由图象可知当x=-时，函数的最大值是，则符合题意的最小值为-5=-，则有：2t（|t|-3）=-△t＜0△2t（-t-3）=-解得t=或t=（舍去）△t=．22．【解析】利用分针与时针的速度关系，列出方程求出时针走的圆心角的度数，再由时针走1°相当于2分钟，即可求出准确时间．解：分针的速度是时针速度的12倍，设时针走了x°，则分针走了12x°△小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），且时针与分针刚好重合在一起．△12x°-x°=120°，解得x°=°△时针走1°相当于2分钟△时针走过的分钟为°×2=21分．△这时准确的时间为4时21分．23．【解析】（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，由等腰直角三角形的性质，推出CN平分△ACB，CN=AB=×4=2，M1是DE中点，CM1= DE=×2=1，即可求出M、N距离的最小值和最大值；（2）连接CM，CN，作NH△MC交MC延长线于H，由等腰直角三角形的性质推出CN=AB=2，CM=DE=1，由旋转的性质得到△NCH=180°-△MCN=60°，由直角三角形的性质得到CH= CN=1，NH=CH=，由勾股定理即可求出MN==．解：（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2△△ACB是等腰直角三角形N是AB中点△CN平分△ACB CN=AB=×4=2△△DCE是等腰直角三角形△M1是DE中点△CM1=DE=×2=1△M、N距离的最小值是NM1=CN-CM1=2-1=1，M、N距离的最大值是NM2=CN+CM2=2+1=3．（2）连接CM，CN，作NH△MC交MC延长线于H△△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点△CN=AB=2同理：CM=DE=1△△CDE绕顶点C逆时针旋转120°△△MCN=120°△△NCH=180°-△MCN=60°△CH=CN=1△NH=CH=△MH=MC+CH=2△MN==．24．【答案】等边三角形【解析】（1）由△ABC，△ADE是等边三角形，可得△ABC=60°，△AED=60°=△BEF，故△BEF 是等边三角形；（2）延长AD交BC于M，由△ABC，△ADE是等边三角形，得△ABC=60°=△DAE，AB=BC，AD=AE，而平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，有AD=CF，AD△CF，故AE=CF，△BCF=△AMC，从而△BCF=△BAE，即得△BAE△△BCF（SAS），知BE=BF，△ABE=△CBF，即可得△BEF是等边三角形；（3）设直线AC交EF于H，分两种情况：△当EF在BC下方时，求出△FBC=360°-△BFE-△H-△BCH=90°，由勾股定理可得BF===EF，设EH=x,CH=y,可得，解得x=（负值已舍去），y=×+=，故AF=；当EF在BC上方时，同理可得AF==．解：（1）点E在线段AB上时△△ABC，△ADE是等边三角形△△ABC=60°，△AED=60°=△BEF△△BEF是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）当点E不在线段AB上，（1）中的结论依然成立，理由如下：延长AD交BC于M，如图：△△ABC，△ADE是等边三角形△△ABC=60°=△DAE，AB=BC，AD=AE△平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF△AD=CF，AD△CF△AE=CF，△BCF=△AMC△△AMC=△ABC+△BAM=60°+△BAM=△DAE+△BAM=△BAE △△BCF=△BAE在△BAE和△BCF中△△BAE△△BCF（SAS）△BE=BF，△ABE=△CBF△△ABE+△EBC=△CBF+△EBC，即△ABC=△EBF△△ABC=60°△△EBF=60°△△BEF是等边三角形；（3）设直线AC交EF于H，分两种情况：△当EF在BC下方时，如图：由（2）可知△BEF是等边三角形△△BFE=60°，BF=EF△△ACB=60°△△BCH=120°△EF△AC△△H=90°△△FBC=360°-△BFE-△H-△BCH=90°△BF=△平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF △CF=AD=而BC=AB=2△BF==△EF=；设EH=x,CH=y,△FH2+CH2=CF2，EH2+AH2=AE2△△△-△得：3x-4y+=0△y=x+△把△代入△得：+3x+x2+x2+x+=解得x=（负值已舍去）△y=×+=△AF2=FH2+AH2△AF2=（+x）2+（y+2）2=（+）2+（+2）2=△AF=；当EF在BC上方时，如图：同理可得△ABE=360°-△FEB-△H-△BAH=90°△BE===EF设FH=m,AH=n,△EH2+AH2=AE2，FH2+CH2=CF2=AD2△解得（负值已舍去）△AF==；综上所述，AF的值为或．。

中考数学总复习《旋转》专项测试卷-附带参考答案

中考数学总复习《旋转》专项测试卷-附带参考答案

中考数学总复习《旋转》专项测试卷-附带参考答案（测试时间60分钟满分100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（共8题，共40分）1.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100∘，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为( )A．30∘B．40∘C．50∘D．60∘2.下列四个图形中，不是中心对称图形的是( )A．B．C．D．3.如图，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上，若AB=2，BC=4则点C与其对应点C的距离为( )A．6B．8C．2√5D．2√104.如图，在△ABC中∠C=90∘，∠BAC=70∘将△ABC绕点A顺时针旋转70∘，B，C旋转后的对应点分别是Bʹ和Cʹ，连接BBʹ则∠BʹBC的度数是( )A．55∘B．60∘C．70∘D．75∘5.如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60∘后，得到△ABʹCʹ，且Cʹ为BC的中点，则CʹD:DBʹ=( )A．1:2B．1:2√2C．1:√3D．1:36.如图，△AOB绕点O逆时针旋转65∘得到△COD，若∠A=100∘，∠D=50∘则∠BOC的度数是( )A．30∘B．35∘C．45∘D．60∘7.如图所示，在Rt△ABC中AB=AC，D，E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45∘，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90∘后得到△AFB，连接EF，有下列结论：① BE= DC；② ∠BAF=∠DAC；③ ∠FAE=∠DAE；④ BF=DC，其中正确的有( )A．①②③④B．②③C．②③④D．②④8.下列命题是真命题的是( )A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分D．三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等二、填空题（共5题，共15分）9.如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120∘后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120∘，则图中阴影部分的面积为cm2．10.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转20∘，B点落在Bʹ位置，A点落在Aʹ位置，若AC⊥AʹBʹ，则∠BAC的度数是．11.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40∘后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105∘，则∠C的度数是．12.如图，△ABC与△AʹBʹCʹ是全等三角形，那么△AʹBʹCʹ可以看做是由△ABC以O为旋转中心，旋转度形成的．13.如图，在△ABC中AB=AC，直线DE垂直平分AB，把线段AE绕点E顺时针旋转90∘，使点A落在直线DE上的点F处，连接CF，BF线段AC，BF交于点G，如果CF∥AB，那么∠AGB=度．三、解答题（共3题，共45分）14.在直角坐标系中C(2,3)，Cʹ(−4,3)，Cʺ(2,1)，D(−4,1)，A(0,a)，B(a,0)(a>0)．(1) 结合坐标系用坐标填空：点C与Cʹ关于点对称；点C与Cʺ关于点对称；点C与D关于点对称（填写坐标）(2) 设点C关于点(4,2)的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，则a的值是．15.如图，正方形ABCD的边长是3，点P是线段BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90∘得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．(1) 如图，当点P在线段BC上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；(2) 在（1）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．16.在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60∘，得到△BAE，连接ED．(1) 求证：AE∥BC(2) 若BC=5，BD=4求△ADE的周长．参考答案1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】D5. 【答案】A6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】C9. 【答案】410. 【答案】70°11. 【答案】45°12. 【答案】18013. 【答案】10514. 【答案】(1) (−1,3)；(2,2)；(−1,2)(2) 2或515. 【答案】(1) 证△PBA≌△FBC(SAS)∴PA=FC∠PAB=∠FCB∵PA=PE∴PE=FC∵∠FCB+∠BFC=90∘∠EPB+∠APB=90∘∴∠BPE=∠FCB∴EP∥FC∴四边形EPCF的平行四边形．(2) 设BP=BF=x，PC=3−x平行四边形PEFC的面积是S，则S=(3−x)x=−(x−1.5)2+2.25当x=1.5时，S最大是2.25，即BP=1.5时，四边形PCFE的面积最大是2.25．16. 【答案】(1) ∵△ABC为等边三角形∴BA=BC∠ABC=∠C=∠BAC=60∘∵△BCD绕点B逆时针旋转60∘，得到△BAE∴∠BAE=∠BCD=60∘∴∠BAE=∠ABC∴AE∥BC．(2) ∵△BDE是等边三角形∴DE=BD=4，而△BCD绕点B逆时针旋转60∘，得到△BAE ∴AE=CD∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9.。

中考数学总复习《旋转》专项测试题-附参考答案

中考数学总复习《旋转》专项测试题-附参考答案

中考数学总复习《旋转》专项测试题-附参考答案（考试时间：60分钟总分：100分）一、选择题（共8题，共40分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．菱形B．等边三角形C．平行四边形D．直角三角形2.如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60∘后，得到△ABʹCʹ，且Cʹ为BC的中点，则CʹD:DBʹ=( )A．1:2B．1:2√2C．1:√3D．1:33.如图所示，将一个含30∘角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点Bʹ，若点Bʹ，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是( )A．60∘B．90∘C．120∘D．150∘4.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AʹBʹC，使得点Aʹ恰好落在AB上，则旋转角度为( )A．30∘B．60∘C．90∘D．150∘5.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△AʹBʹC，连接AAʹ，若∠1=25∘，则∠BAAʹ的度数是( )A．55∘B．60∘C．65∘D．70∘6.如图，O是正△ABC内一点OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60∘得到线段BOʹ，下列结论：①△BOʹA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60∘得到；②点O与Oʹ的距离为4；③∠AOB=150∘；=6+3√3；④S四边形AOBOʹ√3．⑤S△AOC+S△AOB=6+94其中正确的结论是( )A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤7.如图，边长为8a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是( )a A．4a B．2a C．a D．138.如图，在Rt△ABC中AC=BC=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘，连接BD，则图中阴影部分的面积是( )A．2√3−2B．2√3C．√3−1D．4√3二、填空题（共5题，共15分）9.如图所示，△ABC中∠BAC=33∘，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50∘，对应得到△ABʹCʹ，则∠BʹAC的度数为．10.如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30∘后，得到正方形EFCG，EF交AD于点H．则DH=．11.如图，将边长为2的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形ABʹCʹDʹ，连接BBʹ，BCʹ，在旋转角从0∘到180∘的整个旋转过程中，当BBʹ=BCʹ时，△BBʹCʹ的面积为．12.如图，在等腰△ABC中AB=AC，∠B=30∘．以点B为旋转中心，旋转30∘，点A，C分别落在点Aʹ，Cʹ处，直线AC，AʹCʹ交于点D，那么AD的值为．AC13.如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180∘得到△AʹOBʹ，则点Bʹ的坐标是．三、解答题（共3题，共45分）14．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°，将△ABC绕点C按照顺时针方向旋转m度后得到△DEC，点D刚好落在AB边上，求m的值.15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形的面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．16．如图是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点在小正方形的顶点上，请在图①、②中各画一个凸四边形，使其满足以下要求：（1）请在图①中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）请在图形②中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．参考答案1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】C6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】17°10. 【答案】√311. 【答案】2+√3或2−√312. 【答案】√3−1或2−√313. 【答案】(−2,−2√3)14．【答案】解：∵∠ACB=90°,∠B=30°∴AB=2AC;∠A=60°；由题意得：AC=DC∴△DAC 为等边三角形∴∠ACD=60°∴m=60°.15．【答案】解；（1）如图所示：△A ′BC ′即为所求 ∵AB=√32+22=√13∴BA 边旋转到BA ″位置时所扫过图形的面积为：90π×(√13)2360=13π4（2）如图所示：△A ″B ″C ″∽△ABC ，且相似比为2．16．【答案】解：（1）如图所示：四边形ABCD 即为所求；（2）如图所示：四边形ABCD 即为所求．。

中考数学一轮复习《旋转》专项练习题-带参考答案

中考数学一轮复习《旋转》专项练习题-带参考答案

中考数学一轮复习《旋转》专项练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列几何图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．点关于原点对称的点的坐标是（）A．B．C．D．3．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q4．如图，是由绕点旋转得到的，若，和则旋转角的度数为（）A．80°B．50°C．40°D．10°5．如图，在，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（）A．4 B．2C．3 D．6．如图，已知直线与轴交于点A，点与点A关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为（）．A．3 B．C．D．7．已知正方形的周长为16.E在边上运动，的中点G，绕E顺时针旋转90°得到.当A，C，F在同一条直线上，则的长为（）A．B．C．D．8．如图，等腰的顶角，若将其绕点顺时针旋转，得到，点在边上，交于，连接．有下列结论：①；②四边形是平行四边形；③图中所有的三角形都是等腰三角形；其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题9．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是．10．如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数为．11．如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是.12．如图，在中，将绕点逆时针旋转一定的角度至处，此时点E，D，恰好在同一条直线上，连接，若，则．13．如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若AB=4，MP=1，则的最小值为．三、解答题14．在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给网格中按要求画图和解答下列问题．（1）作出关于点O成中心对称的，并写出点的坐标；（2）作出绕点O逆时针旋转90°的，并写出、和的坐标；（3）写出经过怎样的旋转可直接得到．15．如图，已知点是等边三角形内一点，且PA=6，PB=8，PC=10．（1）在图中画出将绕点逆时针旋转后得到的．（2）求的度数．16．如图，点是内一点，把绕点顺时针旋转得到，且AD=4，BD=3，CD=5.（1）判断的形状，并说明理由；（2）求的度数.17．如图，中，AD＝AE＝3，点B在内，且，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，连接CB，CD，BE．（1）试探究BE与DC的关系；（2）当时，连接BD，求出的面积．18．如图，四边形是正方形，点为内一点，将绕点顺时针旋转得到BF，连接EF、AE、CF，EF与交于点．（1）求证：；（2）若，求的大小．参考答案：1．B2．C3．B4．B5．B6．A7．D8．D9．110．11．50°12．213．14．解：（1）如图，即为所作的图形（2）如图，即为所作的图形，和（3）绕点O顺时针旋转90°，得到．15．（1）解：如图：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA；（2）解：连EP∴BE=BP=8，AE=PC=10，∠PBE=60°∴△BPE为等边三角形∴PE=PB=8，∠BPE=60°在△AEP中，AE=10，AP=6，PE=8∴AE2=PE2+PA2∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°∴∠APB=90°+60°=150°．16．（1）解：是直角三角形理由如下：绕点顺时针旋转得到，和是等边三角形又是直角三角形.（2）解：由（1）得，是等边三角形.17．（1）解：理由如下：延长EB交CD于F，交AD于K，AB绕点A逆时针旋转90°得到AC∵∴∵∴∴（2）解：∴∵如图，此时三点共线，重合，连接BD∵∴∴解得：（负根已舍去）∴18．（1）证明：四边形是正方形，．绕点顺时针旋转得到，．．在和中≌；（2）解：四边形是正方形．绕点顺时针旋转得到，．是的外角。

中考数学总复习《旋转》专项提升练习题-带答案

中考数学总复习《旋转》专项提升练习题-带答案

中考数学总复习《旋转》专项提升练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知点M （2m+1，m-1）与点N 关于原点对称，若点N 在第二象限，则m 的取值（ ）A ．m>1B ．m<-12C ．-12<m<1D ．m<-12或m>1 3．已知点A （-1， √3 ），O 为坐标原点，连接OA.将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转 30° 得到线段 OA ′ ，则点 A′ 的坐标为（ ）A ．(1 ， −√3)B ．(−2 ， √3)C ．(−√3 ， 2)D ．(−√34．如图，四边形ABCD 是正方形，点F ，G 在正方形的边上，点E 在CB 的延长线上，BE=BF=DC ．下列说法正确的是（ ）A ．将△ADG 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABFB ．将△ADG 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABEC ．将△ABE 平移得到△ABFD ．将△ADG 平移得到△ABF5．如图，把一个直角三角板△ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与CB 的延长线上的点E 重合，连接CD ，则∠BDC 的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．30°6．如图，在△ABC中∠BAC=105°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在边BC上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为（）A．19°B．24°C．25°D．26°7．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ABC．使点B恰好落在BC边上，∠BAC＝120°，AB＝CB则∠C的度数为（）A．18°B．20°C．24°D．28°8．如图，以点A为中心，把ΔABC逆时针旋转120∘，得到ΔAB′C′（点B，C的对应点分别为点B′，C′），连接BB′，若AC′//BB′，则∠CAB′的度数为（）A．45°B．60°C．70°D．90°二、填空题9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D’处，那么tan∠BAD’等于.10．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图绕中心旋转n∘后能与原来的图案里合，那么n的最小值是．11．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，过E点作EH⊥CD于H，则EH的长为.12．菱形OCAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O的坐标是（0，0），点A在y轴的正半轴上，点P是菱形对角线的交点，点C坐标是（√3，3）若把菱形OCAB绕点A逆时针旋转90°，则点P的对应点P′的坐标是．13．如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′=100°，则四边形ABOC旋转的角度是．三、解答题14．如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．15．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP＝3，求P'P2的值．16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1cm，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣1，2）、（0，-1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）AC的长等于多少？（2）画出△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1，求A点的对应点A1的坐标。

初中旋转数学测试卷

初中旋转数学测试卷

一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列图形中，旋转中心是原点的是（）。

A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 长方形2. 一个图形绕着它的一个顶点旋转180°，得到的图形是（）。

A. 与原图形全等B. 与原图形相似但不全等C. 与原图形不相似也不全等D. 以上都不对3. 下列关于旋转的说法中，正确的是（）。

A. 旋转后图形的大小和形状都不变B. 旋转后图形的大小和形状都可能改变C. 旋转后图形的大小不变，形状可能改变D. 旋转后图形的大小可能变，形状不变4. 下列图形旋转90°后，与原图形重合的是（）。

A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 长方形5. 下列图形旋转180°后，得到的图形与原图形关于某条直线对称的是（）。

A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 长方形二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个图形绕着它的一个顶点旋转90°，得到的图形与原图形关于（）对称。

7. 下列图形旋转180°后，对应的点为（）。

8. 旋转中心是原点，一个图形绕着它的一个顶点旋转90°，得到的图形与原图形关于（）对称。

9. 一个图形绕着它的一个顶点旋转180°，得到的图形与原图形关于（）对称。

10. 下列图形旋转180°后，得到的图形与原图形重合的是（）。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个等边三角形，其边长为6cm，绕着它的一个顶点旋转90°，求旋转后的图形与原图形的对应边长。

12. 已知一个长方形，长为8cm，宽为4cm，绕着它的一个顶点旋转180°，求旋转后的图形的面积。

13. 已知一个正方形，边长为5cm，绕着它的一个顶点旋转90°，求旋转后的图形与原图形的对应角。

四、附加题（10分）14. 请画出下列图形绕着它的一个顶点旋转90°后的图形，并写出旋转中心、旋转角度和对应点。

中考数学复习《旋转》专项提升训练题-附答案

中考数学复习《旋转》专项提升训练题-附答案

中考数学复习《旋转》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（）A．B．C．D．3．如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边的延长线上，则（）A．B．C．D．4．如图所示，把是直角的绕点按顺时针方向旋转，把点转到点得，则下列结论中，错误的是（）.A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边AB上，则点与点B之间的距离为（）A．4 B．2C．3 D．6．如图，菱形的对角线、交于点O，AC=2，BD=8，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（）A．3 B．4 C．5 D．77．如图，在中，将绕着点A逆时针方向旋转到的位置，点E恰好落在边BC 上，EF与CD交于点M，AB＝6，AD＝8，BE＝2，则CM的长为（）A．2 B．3 C．D．8．如图，已知中，∠BAC=30°，BC=2，AB=4，点D为直线上一动点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、BE，点F在直线上且，则最小值为（）A．1 B．C．2 D．3二、填空题9．如图，与关于点成中心对称，若，则.10．如图，绕着顶点B顺时针旋转得，连结CD，若，∠ABC=30°，则的度数是．11．如图，四边形ABCD为长方形，旋转后能与重合，旋转中心是点；旋转了多少度；连结FC，则是三角形．12．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为．13．如图，将边长为3的菱形绕点A逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点E.若，则的长为.三、解答题14．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，5）、B（-4，1）和C（-1，3）.（1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，作出，并写出点、和的坐标；（2）将绕点O顺时针旋转90°得到，作出，并写出点、和的坐标.15．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将绕点C顺时针方向旋转得到，连结EF，若，求的度数．16．如图,将绕点顺时针旋转得到 ,点恰好落在的延长线上，连接 . 分别交于点交于点 .（1）求的角度;（2）求证： .17．如图，在中，将绕顶点C逆时针旋转角得到，DC交AB于点F，DE分别交AB，BC于点G，H．（1）求证：；（2）当时，试判断四边形AGEC的形状，并说明理由．18．如图，是等腰直角三角形，点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至点，连接交于点 .（1）连接，求证：；（2）当时，判断是什么三角形？并说明理由；（3）在点运动过程中，当是锐角三角形时，求的取值范围.参考答案：1．C2．B3．D4．D5．B6．C7．D8．B9．210．15°11．A；；等腰直角12．413．14．（1）解：所作图形如图所示：（3，3）；（1，-1）；（4，1）；（2）解：所作图形如图所示：（3，-3）；（-1，-1）；（1，-4）.15．解：是旋转得到的图形16．（1）解：由绕顺时针旋转得到又∠AFB=∠ACB=（2）证明：在和中17．（1）证明：∵，∴∵绕顶点C逆时针旋转角a得到∴在和中∴∴；（2）解：四边形AGEC是菱形，理由如下：∵旋转角∴∵∴∵绕顶点C逆时针旋转角a得到∴∴∴，∴四边形AGEC是平行四边形，又∴四边形AGEC是菱形．18．（1）∵是等腰直角三角形∴AC=BC，∠ACB=90°∵将线段绕点顺时针旋转至点∴CD=CE，∠DCE=90°∴∠ACD+∠DCF=∠BCE+∠DCF=90°∴∠ACD=∠BCE∴（SAS）（2）是直角三角形，理由如下：∵，∠HAC=30°∴∠ACD=180°-15°-30°=135°∵∴∠BEC=∠ACD=135°∵将线段绕点顺时针旋转至点∴CD=CE，∠DCE=90°∴△ECD是等腰直角三角形∴∠CED=45°∴∠BEF=135°-45°=90°∴是直角三角形；（3）由（2）得当时，是直角三角形，此时BE⊥EF；如图，当AF⊥BF时，∠EFB=90°∵△ECD是等腰直角三角形，∠CED=45°∴∠ECF=90°-45°=45°故 =∠ECF=∠ACD=45°∵点是线段上的一个动点，故AB不能与BF垂直∴当是锐角三角形时，求的取值范围为15°＜＜45°。

中考数学复习试卷《旋转》水平测试题及答案A卷(1)

中考数学复习试卷《旋转》水平测试题及答案A卷(1)

第23章旋转单元检测（A卷）（满分100分，时间40分钟）一.选择题(每小题4分，共20分)1．下列图不是中心对称图形的是（）A．①③B．②④C．①④ D．②③2．如右图，四边形ABCD是正方形，ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置，连接EF，则ΔAEF的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D4．如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( )A．全等的两个图形是中心对称图形; B．关于中心对称的两个图形全等;C．中心对称图形都是轴对称图形; D．轴对称图形都是中心对称图形.二.填空题(每小题4分，共20分)6．如图，ABC△以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60︒，得AB C''△，则ABB'△是三角形。

FEDCBA第2题第6题第7题7.如图所示，图 (1) 经过变化成图 (2)，图 (2 )经过变化成图 (3)．8.绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形。

小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合。

请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_______________ ．9.如图9，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_____________，图中除△ABC外，还有等边三形是_____________．10.如图2所示,线段AB=4cm,且CD⊥AB于O,则阴影部分的面积是________.三.解答题（共60分）11.（10分）如图，A点坐标为（3，3），将△ABC先向下平移4个单位得△A′B•′C ′，再将△A′B′C′绕点O逆时针旋转180°得△A″B″C″，请你画出△A′B′C′和△A″B″C″，并写出点A″的坐标．12.（10分）（1）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，12AF AB。

中考数学专题《旋转》综合检测试卷附答案

中考数学专题《旋转》综合检测试卷附答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∴FH=FG ，FH ⊥FG ，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ．连接AD ，BE ，两线交于Z ，AD 交BC 于X ，同（1）可证∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形，∴CE=CD ，AC=BC ，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中 AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD ⊥BE ，∵FH ∥AD ，FG ∥BE ，∴FH ⊥FG ，即FH=FG ，FH ⊥FG ，结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．2．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA=6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE．（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m，①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；c）当6＜m＜10时，此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】（1）等边；（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE 是等边三角形．（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD3，∴△BDE的最小周长=CD3；②存在，分四种情况讨论：a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．如图1．在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，AB＋BP＝9，CE＝33，求AB的长．（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC＝4，AB＝8时，根据此图求PA＋PB＋PC的最小值．【答案】⑴①见解析，②AB＝6；⑵7.【解析】分析：（1）①根据题意补全图形即可；②连接BD、CD．根据平移的性质和∠ACB＝90°，得到四边形BCAD是矩形，从而有CD＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝DE ＝9x -， 由勾股定理求解即可；（2）当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转的性质和勾股定理求解即可．详解：（1）①补全图形如图所示；②如图：连接BD 、CD ．∵△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ，∴BC ∥AD 且BC ＝AD ，PB ＝DE ．∵∠ACB ＝90°，∴四边形BCAD 是矩形，∴CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝9x -，DE ＝BP ＝9x -，∵BP ⊥CE ，BP ∥DE ，∴DE ⊥CE ，∴222CE DE CD +=，∴()()222339x x +-=， ∴6x =，即AB ＝6；（2）如图，当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转可得：△AMN ≌△APB ，∴PB ＝MN ．易得△APM 、△ABN 都是等边三角形，∴PA ＝PM ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PM ＋MN ＋PC ＝CN ，∴BN ＝AB ＝8，∠BNA ＝60°，∠PAM ＝60°，∴∠CAN ＝∠CAB ＋∠BAN ＝60°＋60°＝120°，∴∠CBN ＝90°．在Rt △ABC 中，易得：22228443BC AB AC --=∴在Rt △BCN 中，22486447CN BC BN =+=+=点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．4．如图1，ABCD和AEFG是两个能完全重合的平行四边形，现从AB与AE重合时开始，将ABCD固定不动，AEFG绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），AB=a,BC=2a；并发现：如图2，当AEFG旋转到点E落在AD上时，FE的延长线恰好通过点C．探究一:（1）在图2的情形下，求旋转角α的度数；探究二:（2）如图3，当AEFG旋转到点E落在BC上时，EF与AD相交于点M，连接CM，DF，请你判断四边形CDFM的形状，并给予证明；探究三:（3）如图1，连接CF，BF，在旋转过程中△BCF的面积是否存在最大的情形，如果存在，求出最大面积，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）α=120°；（2）四边形CDFM是菱形，证明见解析；（3）存在△BCF的面积最大的情形，S△BCF =332a2.【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质知∠D=∠B，AB=CD=a，可得∠D=∠DEC，由等角对等边知CD=CE，由AE=AB=a，AD=BC=2a，可得DE=CE，即可证得△CDE是等边三角形，∠D=60°，由两直线平行，同位角相等可得∠DAB=120°，即可求得α；（2）由旋转的性质以及∠B=60°，可得△ABE是等边三角形，由平行线的判定以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形ABEM是平行四边形，再由由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；（3）当点F到BC的距离最大时，△BCF的面积最大，由于点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动，故当FG与⊙A相切时，点F到BC的距离最大，过点A作AH⊥BC于点H，连接AF，由题意知∠AFG=90°.由∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，可得AH、AF的值.可求得点F到BC的最大距离.进而求得S△BCF的值.试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，AB=CD=a，∵∠AEF=∠B，∠AEF=∠DEC，∴∠D=∠DEC，∴CD=CE，∵AE=AB=a，AD=BC=2a，∴DE=CE.，∴CD=CE=DE，∴△CDE是等边三角形，∴∠D=60°，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB=180°，∴∠DAB=120°，∴α=120°.；（2）四边形CDFM是菱形.证明：由旋转可得AB=AE，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠BAG=∠BAE+∠GAE=60°+120°=180°，∴点G，A，B在同一条直线上，∴ME ∥AB，BE∥AM，∴四边形ABEM是平行四边形，∴AM=AB=ME，∴CD=DM=MF，∵CD ∥AB∥MF，∴四边形CDFM是平行四边形，∵∠D= 60°，CD=DM，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，∴四边形CDFM是菱形；（3）存在△BCF的面积最大的情形.∵CB的长度不变，∴当点F到BC的距离最大时，△BCF的面积最大.∵点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动，∴当FG与⊙A相切时，点F到BC的距离最大，如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接AF，则∠AFG=90°.∵∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，∴AH=AB×sin60°=3a，AF=AG×sin60°=3 a.∴点F到BC的最大距离为3a+ 3a=33a.∴S△BCF=12×2a×332a=332a2.点睛：此题考查了旋转的洗澡那个会、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，三角形的面积的求法，关键是运用旋转前后，图形的对应边相等、对应角相等的性质解题.5．在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF 分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）【答案】（1）45°；（2）①补图见解析；②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，证明见解析；（3）答案见解析.【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可；（2）依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2，再判断出FM=MN即可；（3）利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，判断出EF=EG，再利用（2）证明即可．解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE=∠BAE=45°，（2）①依题意补全图形，如图1所示，②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB=∠ABD=45°，∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2，∵旋转△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1=45°，∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°，∵∠BAF=DAN，∴∠BAB1+∠BAF=45°，∴∠FAM=45°，∴∠FAM=∠E1AB1，∵AM=AM，AF=AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM=MN，∵FB2+BM2=FM2，∴DN2+BM2=MN2，（3）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴DF=GB，∵正方形ABCD的周长为4AB，△CEF周长为EF+EC+CF，∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，∴4AB=2（EF+EC+CF），∴2AB=EF+EC+CF∵EC=AB﹣BE，CF=AB﹣DF，∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF，∴EF=DF+BE，∵DF=GB，∴EF=GB+BE=GE，由旋转得到AD=AG=AB，∵AM=AM，∴△AEG≌△AEF，∠EAG=∠EAF=45°，和（2）的②一样，得到DN2+BM2=MN2．“点睛”此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全等，判断出（△AFN≌△ANM，得到FM=MM），是解题的关键.6．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．7．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：．【答案】（1）证明见解析（2）BF+EQ=BP （3）BF+BP=EQ【解析】试题分析：（1）EF 与FG 关系为垂直且相等（EF=FG 且EF ⊥FG ）．证明如下： ∵点E 、F 、G 分别是正方形边AD 、AB 、BC 的中点，∴△AEF 和△BGD 是两个全等的等腰直角三角形．∴EF=FG ，∠AFE=∠BFG=45°．∴∠EFG=90°，即EF ⊥FG ．（2）取BC 的中点G ，连接FG ，则由SAS 易证△FQE ≌△FPG ，从而EQ=GP ，因此()EF 2BP EQ =-．（3）同（2）可证△FQE ≌△FPG （SAS ），得EQ=GP ，因此，()()EF GF 2BG 2GP BP 2EQ BP ===-=-．8．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见解析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）303343033444S -+≤≤. 【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO ∠=∠，再根据矩形的性质得CBA OAB ∠=∠.从而BAD CBA ∠=∠，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（Ⅲ）3033430334S -+≤≤.详解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C ∠=∠=︒.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC 中，有222AD AC DC =+，∴22DC AD AC =- 22534=-=.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE ∠=︒.又点D 在线段BE 上，得90ADB ∠=︒.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，∴Rt ADB Rt AOB ≌.②由ADB AOB ≌，得BAD BAO ∠=∠.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB ∠=∠.∴BAD CBA ∠=∠.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t=+-.解得175t=.∴175BH=.∴点H的坐标为17,3 5⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅲ3033430334S-+≤≤点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.。

九年级数学专题复习之《旋转》综合训练卷

九年级数学专题复习之《旋转》综合训练卷

九年级数学专题复习之《旋转》综合训练卷一．选择题（共10小题）1．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰直角三角形D．矩形3．如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（）A．45°B．120°C．135°D．150°6．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′的位置，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，点C′在AD的延长线上，AB′交CD于点E．若AE＝CE＝4，则AC的长为（）A．2B．4C．2D．48．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（）A．2B．5C．2D．39．如图，六边形AEBCFD是中心对称图形．点M，N在面积为8的正方形ABCD的对角线上．若BM＝DN＝1，点E，M关于AB对称，则四边形AGCH的面积为（）A．B．C．D．10．如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（10，8）B．（8，﹣10）C．（﹣10，8）D．（﹣8，10）二．填空题（共10小题）11．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是．12．如图，Rt△BAC，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：（1）这个旋转角＝°；（2）此时，＝．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC，点P为直线AD上一点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，则点A、Q距离的最小值为．14．如图，O是线段AB的中点，OD＝AB＝2，将线段DB绕D点逆时针旋转90°，得线段DC，连接BC，AC，则线段AC的最大值是．15．如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是．16．如图，把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得到△CDE，且AC＝2，那么AE ＝．17．如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，把△ABO绕点，O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为．18．如图，菱形ABCD中，∠BAC＝α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD边上，若要使得PQ＝QD，则α的范围为．19．矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E是BC边上一点，联结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°，点A的对应点记为点F，如果点F在对角线BD上，那么＝．20．如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝．在点D运动过程中，CE的最小值．三．解答题（共10小题）21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，3）．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，面出旋转后的△A2B2C2．22．在下面的正方形网格中按要求作图．（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．23．图①，图②，图③都是由小正方形构成的网格，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影．请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个相邻小正方形涂上阴影：（1）使得6个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，（2）使得6个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，不是轴对称图形．（3）使得6个阴影小正方形组成的图形可以成为正方体的表面展开图．（请将三个小题依次作答在图①，图②，图③中，均只需画出符合条件的一种情形）24．将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别为D、E．（1）若α＝60°，如图1，连接EC，试判断△ACE的形状，并给以证明；（2）若点D恰好落在BC边上，如图2，且点A，B，E在同一条直线上，∠C＝30°，求旋转角α的度数．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C （0，2）．（1）将△ABC绕C点旋转180°，作出旋转后对应的△A1B1C1；（2）平移△ABC到△A2B2C2，使点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣4）；（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则该旋转中心的坐标为．27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O．（1）平移△ABC，使得顶点A与点O重合，得到△DEF，画出△DEF，并说明你是怎样平移的？（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出△GHI．28．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作△ABC的中线BD；（2）在图2中，作△ABC的角平分线BE；（3）在图3中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．29．横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（1，4），B（1，1），C（4，1），D（4，4），E（2，1）都是格点．（1）取格点F，使得BF⊥AE，BF＝AE；（2）将线段BF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FM；（3）用无刻度的直尺在AD上取点N，使得FN＝CF+AN，保留作图痕迹，并直接写出点F，M，N的坐标．30．如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2）．（1）直接写出△ABC的形状；（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A，C的对应点分别为A1，C1，请你完成作图；（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标；（4）作点C1关于BC的对称点D．。

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旋转类几何变化一、几何变换——旋转旋转中的基本图形利用旋转思想构造辅助线⎧⎨⎩（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化二、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三 、 旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．考点一 旋转与最短路程☞考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。

【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．ENMDCB A【例2】 阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。

①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时，点P 既为费马点 解决问题：⑴如图，ABC ∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ∆、ACE ∆，连接CD 、BE 交于点P ，证明：点P 为ABC ∆的费马点。

(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD ++=PEDCBA QA BCDEP⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值考点二 利用旋转求点的坐标☞考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。

【例3】 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90︒后，B 点的坐标为（ ） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)，【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ∆的顶点A 的坐标为(31)，，若将OAB ∆绕点O 逆时针旋转60︒后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________DC BAO yxyxB AO考点三 旋转与勾股定理☞考点说明：在等边三角形与正方形中，常见的一种题型，应重点掌握【例5】 如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是________【例6】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，且123PB PC PA ===，，，求BPC ∠的度数．【例7】 如图点P 是正方形ABCD 内部一点，1PA =2PB =3PC =，则APB ∠= ．考点四 利用旋转的性质解决几何有关的计算☞考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。

【例8】 如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转45︒得到ADE ∆，点E 落在边BC 上，则_______BED ∠=【例9】 如图，将直径为4的半圆AB ，绕点A 逆时针旋转60︒，则阴影部分的面积为【例10】 如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转80︒得到AB C ''∆．若50BAC ∠=︒，则CAB '∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒PCBAPBACABCDPEDCB AB'B AABCB'C'C ．50︒D ．80︒【例11】 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么'CC =_________．【例12】 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，⑴如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为___________；⑵当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是____________(α为锐角时)； ⑶如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG CG =时，求点G 的坐标；考点五 利用旋转的性质解决几何有关的证明☞考点说明：旋转有关的几何变换是中考的热点问题，同时也是中考试题中的重难点所在。

【例13】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【例14】 已知ABC ∆，分别以AB 、BC 、CA 为边向形外作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF⑴如图1，当ABC ∆是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论。

D'C'B'DCB A图①E y x ODC BAαGF 图②Ey xODC B AαCH FED BAFED CBAFEDCBA⑵如图2，当ABC ∆中只有60ACB ∠=︒时，请你证明ABC S ∆与ABD S ∆的和等于BCE S ∆与ACF S ∆的和 【例15】 如图①，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE BC ∥，将ADE ∆绕A 点顺时针旋转一定角度，连结BD 、CE ，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使12DM BD =，12EN CE =，连结AM 、AN 、MN ，得到图③，请解答下列问题：⑴若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN ∠与BAC ∠的数量关系，并证明你的猜想； ⑵若AB k AC =⋅（1k >），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN ∠与BAC ∠的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．【例16】 已知：在ABC ∆中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，BAE BDF ∠=∠，点M 在线段DF 上，ABE DBM ∠=∠． ⑴如图1，当45ABC ∠=︒时，求证：2AE MD =；⑵如图2，当60ABC ∠=︒时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为________⑶在⑵的条件下，延长BM 到P ，使MP BM =，连接CP ，若7AB =，27AE =，求tan ACP∠DBCAE图①DBCA图②EDBCA图③EMNDBCA 图④EM NAEAE的值．【例17】 ⑴如图所示，在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=，120BCD ∠=，证明：BC +DC AC =.⑵ 如图所示，在四边形ABCD 中，AB BC =,60ABC ∠=，P 为四边形ABCD 内部一点，120APD ∠=，证明：PA PD PC BD ++≥.DCBAPDCBA【例18】 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD =BE ，△AMN 是等边三角形．（1）把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD =BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．【例19】 如图1，Rt△ABC ≌Rt△EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段AC 于点M ，K ．（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK _______MK （只填“＞”或“＜”）．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK的值．图1 图2 图3C (F ,K )EDBCAF EM K 图1DBCA FEK图3(M )DBCAF EMK 图4【例20】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图①M NDCBA 图②MND CBA N图③MD CBA（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时QL=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示)【例21】 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =12. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；B CADE FB DEA FCBAC1图2图备图。

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