正方形的计算与证明

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正方形的性质及判定

武威第四中学课堂教学设计提高学生的逻辑思维能力．使学生经历探究正方形的性质与判定的过程，体会探索研究问题的方法，使学生在数学活动中获取成功的体验，增强自信心。

武威第四中学课堂教学设计（续页）一、复习回顾，引入新课1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形） 2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．二、例题分析例1（教材例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点O （如图）．求证：△ABO 、△BCO 、△CDO 、△DAO 是全等的等腰直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AC=BD ， AC ⊥BD ，4．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB 的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．5．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．6．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE 交CD于F，求证：AE=BE+DF．四、课后小结这节课你学习了什么？本节课，我们主要学习了正方形的性质与判定方法:1、有一个角是直角的平行四边形是矩形2、有三个角是直角的四边形是矩形3、对角线相等的平行四边形是矩形分清三种判定方法的条件，正解选择方法进行推理论证。

与正方形有关的计算及证明精选训练题(培优卷)

与正方形有关的计算及证明精选训练题（培优卷）一．选择题1．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014B．（）2015C．（）2015D．（）2014 2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（）A．2B．3C．D．3．如图在一个3×3方格纸上，若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，在该3×3方格纸上最多可画出的正方形的个数是（）A．13B．14C．18D．204．用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A．（1）（2）（5）B．（2）（3）（5）C．（1）（4）（5）D．（1）（2）（3）5．下列说法中错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形二．填空题1．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为；所作的第n个四边形的周长为．2．如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，那么AC＝．3．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，a n，则a n＝．4．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为．5．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1S2（填“＞”、“＜”或“＝”）．6．如图，正方形ABCD的边长为4，MN∥BC分别交AB，CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．三．解答题1．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG＝BD，连接BE，求∠BED的度数．2．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系：；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．3．如图，B是线段AD上一点，在线段AD的同侧作正方形ABCG和正方形BDEF，连接AF，CD．求证：AF＝CD．4．已知点E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，并且保持∠EAF＝45°，请你证明△CEF的周长是一个只与正方形ABCD边长有关的定值．5．如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作EF⊥BE交直线CD于点F，过点F作FG⊥AC交直线AC于点G．（1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．6．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）连接DE，求∠PED的度数．7．如图，已知正方形ABCD，连接其对角线BD．在BC延长线上取一点E，使得BE＝BD，连接DE．过B做DE的垂线，交DE于点O，交AD延长线于点F．（1）求证四边形BEFD是菱形．（2）求∠DPB的度数．8．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE＞CE），连接BE，DE．（1）求证：BE＝DE；（2）过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG＝BF，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．9．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB和图形M，给出如下的定义：若图形M是以AB 为对角线的平行四边形，则称图形M是线段AB的“关联平行四边形”．点A（8，a），点B（2，b），（1）当a＝8，b＝﹣2时，若四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，则点C的坐标是；（2）若四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，求对角线OC的最小值；（3）若线段AB的“关联平行四边形”AOBC是正方形，直接写出点C的坐标．10．在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．（1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ；（2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．11．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．（1）求证：AE＝DF；（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．12．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD 于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．13．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．14．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．15．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝时，矩形AEBD是正方形．16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．（1）求证：OE＝CD；（2）探究：当∠ABC等于多少度时，四边形OCED是正方形？并证明你的结论．17．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．18．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．19．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？20．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，则HR＝．21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．22．已知四边形ABCD，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连接这四个正方形的对角线交点E，F，G，H，得到一个新四边形EFGH．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH（填“是”或“不是”）正方形；（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，则（1）中的结论（填“能”或“不能”）成立；（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由．23．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．24．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．25．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．（1）求证：AP＝AB；（2）若AB＝5，求△ECF的周长．26．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．27．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．。

正方形的性质和判定

正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题第4题第5题第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。

专题：正方形

专题：正方形（1）【板块一】正方形的简单证明和计算题型一正方形的简单证明【例1】如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别为M，N，连接AE．求证：（1）MN＝AE；（2）AE⊥MN．N【例2】如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．（1）求证：①BM＝CN；②CN⊥BM；（2）如图2，若M，N分别在OA，OB的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由．AN 图1 图2题型二正方形的简单计算【例3】点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A ，B 重合），连接PD ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得到线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°A针对练习11.正方形ABCD 中，点E ，F 分别是对角线AC ，BD 上的两个动点，AC ，BD 相交于点O ．（1）如图1，若AE ＝DF ，求证：AF ＝BE ；（2）如图2，若点E 是OC 的中点，DF ＝13BD ，AF 与BE 的延长线交于点G ，求∠G 的度数；（3）若正方形的边长为BE AF 与BE 的夹角为45°时，则DF ＝．G图1 图2 图3专题：正方形（2）【板块二】正方形中的问题题型三正方形中形如a线段关系探究【例1】如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PBAPD ≌△AEB ；②点B 到直线AEEB ⊥ED ；④S△APD＋S △APB ＝12） A ．①③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④E题型四正方形中形如 2a b=c 线段关系探究【例2】如图1，正方形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，且BE =AB ，M ，N 分别为AE ，BC 的中点，MN 交ED 于点H .图 1NECBDA图 2ED C(1)求证:∠HEB =∠HNB ；(2)如图2，过点A 作AP ⊥ED 于点P ，连接BP ，求PE PAPB的值.针对练习21.如图，在正方形ABCD 中，E 为BD 上一点，F 为BC 上一点，且AE =EF ，求证:CF.FBA2.如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一动点(不与点C ，D 重合)，连接AE ，过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，连结EF ，点M 为EF 的中点，连结AC ，BM .FBCD E(1)求证:AE =AF ；(2)当点E 在CD 上运动时(不与C ，D 重合)，CE CFAC的值是否发生变化？ (3)求BMCE的值.3.已知E 是正方形BC 边上一点，F 是CD 边上一点，∠EAF =45°，AE ，AF 分别交BD 于点G ，H . (1)如图1，求证:AE= BE +AB ；(2)如图2，求证:CE .图 2BA EF图 1BA EF专题：正方形（3）【板块三】正方形中线段的和差倍分关系题型五正方形中线段的和差关系【例1】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上一点，EG ⊥AF 于点H ，交CD 于点G ，求证:BE +BF =CG .GBAE【例2】如图，直线MN 经过正方形ABCD 的一个顶点A (不经过顶点B ，C ，D )，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F .线段AF ，CF ，BE 有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择图1、图2中的一种情况给予证明.图 2BA EN K图 1BAFE图 1C CMNM题型六正方形中线段的倍分关系【例3】正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在AB 上，且AF =BE ，DF 交AE 于点H .(1)直按写出线段AE ，DF 的位置及数量关系为____________________；(2)如图1，在HD 上取一点M ，使HM =HA ，点O 为MC 的中点，请写出线段DH 与DO 的数量关系，并证明；(3)如图2，将直线FD 沿射线AE 方向平移，交线段AB 于点N ，交AE 于点I ，交CD 于点K ，若DI =DC ，求ANDK的值.针对练习31.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，点F 在边BC 上，∠BAE =∠AEF .ECBF(1)求证:∠FAE =45°；(2)求BFCF的值.2.如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 的中点，点F 为CD 上一点，且∠1=∠2，求证:AF =BC +CF .FECB专题：正方形（4）【板块四】正方形中的折叠问题题型七正方形中折叠问题【例1】在正方形ABCD 中，E ，F 分别在AD ，BC 上，将正方形沿EF 折叠，使点B 落在CD 上的点H 处，点A 的对应点为点G ，CH 交AD 于点P .(1)如图1，求证，AE +CH = FH ；图 1BAGFH(2)如图2，求证:∠HBP =45°；图 2BGAFH(3)求证:PE + PG + EG =HD .【例2】已知正方形ADCD 的边长是2，点P 沿A →B →C →D 运动，到达点D 停止.(1)如图1，连接PD ，AP ，设点P 运动的距离为x ，请用x 表示△APD 的面积y (直接写出结果)；图 1B A(2)过点D 作DE ⊥AP 于点E .①如图2，点P 在线段BC 上，将△APB 沿AP 翻折得到△APB ′，连接DB ′，求∠B ′DE 的度数；图 2BA P②如图3，连接EC ，若△CDE 是等腰三角形，则DE =_____. ( 直接写出结果)图 3BAP专题：正方形（5）【板块五】构造正方形技巧题型八翻折或旋转三角形构成正方形【例1】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，AE ⊥CD 于点E ，若AE =10，求ABCDS 四边形.EA【例2】如图，四辺形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD =90°，AB =BC +AD ，∠DAC =45°，E 为CD 上一点，∠BAE =45°，若CD =4，求BC 的长和△ABE 的面积.EAB题型九补全图形成正方形【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠ABC =90°，∠BCD =150°，求∠BAD 的度数.DC【例4】如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分別在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE =BK =AG . (1)求证：①DE =DG .②DE ⊥DG ；(2)尺规作图:以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG ；(要求:只保留作图痕迹，不写作法和征明) (3)连接(2)中的KF .猜想并写出四辺形CEFK 是怎样的特殊四辺形.并证明你的猜想；(4)当1CE CBn时，请直接写出ABCD S S 正方形正方形DEFG 的值.图 2图 1BBADDAEKGEKG专题：正方形（6）【板块六】坐标系中的正方形题型十正方形与坐标系的结合【例1】如图，A (1，0)，B (0，3)，以AB 为边作正方形ABCD ，求点C ，D 的坐标.【例2】已知A（a，0），B（b，0），C（a，b），其中a，b21025b b-=-．（1）求点C的坐标和四边形OACB的面积；（2）如图，第四象限的点P（m，n）在射线AB上，且mn＝﹣14，求OP2－OA2的值；（3）如图，D是OC上一点，ED⊥OA于点E，M是CD的中点，连接BE，EM，线段BE交OC于点N，求222ON CMMN+的值．xx（图1）（图2）（图3）针对练习41．如图，A（﹣3，4），四边形OABC为正方形，AB交y轴于点D．（1）求点B的坐标；（2）求点D的坐标．x2．如图，E（﹣2，0），A（0，4），延长EA至点D，使AD＝AE，四边形ADCB为正方形．（1）求点C的坐标；（2）求CE的长．x3．在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，且D （0，2），点E 是线段OB 延长线上的一点，点M 是线段OB 上一动点（不包括点O ，B ），过M 作MN ⊥DM ，交∠CBE 的平分线于点N ．（1）写出点C 的坐标；（2）求证：MD ＝MN ；（3）连接DN 交BC 于点F ，连接FM ．下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN 平分∠FMB ，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．xx（图1）（图2）。

正方形课件初中数学PPT课件

在正方形中，如果知道周长或面积其中一个量，可以推导出另一个量。例如，已知正方形周长为
20cm，可以推导出其边长为 5cm，进而计算出面积为25cm²。
03
正方形判定定理与证明方法
Chapter
判定定理介绍及证明过程
正方形的定义
四边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。
判定定理一
对角线相等的菱形是正方形。
计算方法
测量正方形的一条边长，然后将其平方即可得到面积。
实例演示
以一个边长为5cm的正方形为例，计算其面积。
周长与面积关系探讨
关系一
正方形的周长和面积都与边长有关，边长越大，周长和面积也越
大。
关系二
正方形的周长和面积之间存在一定的比例关系，即周长与边长的比等于面积与边长的平方的比。
关系三
证明
由于菱形的对角线相等且垂直相交，若再加上对角线相等，则四边也相等，从而满足正方形的定义。
判定定理介绍及证明过程
菱形的所有边都相等，若有一个角为直角，则其他三个角也都是直角，满足正方形的定义。
对角线互相垂直且相等，意味着四边形的两组对边分别平行且相等，同时四个角都是直角，因此是正方形。
提交时间和方式
学生需要对自己的学习情况进行自我评价，包括课堂听讲情况、课后作业完成情况、知识点掌握情况等。
学生需要在下节课前将自我评价报告提交给教师，可以采用纸质版或电子版形式提交。
自我评价方式
学生可以采用表格或文字形式进行自我评价，列出自己的优点和不足，并提出改进措施。
THANKS
感谢观看
练习二：已知四边形ABCD中，AB = BC，∠B = 90°， BD = AC，求证：四边形ABCD是正方形。

正方形的性质

空间利用：正方形的形状使其在空间利用上更加高效，可以更好地满足建筑功能需求。
视觉效果：正方形给人以简洁、明快的感觉，能够营造出和谐的视觉效果。文化意义：在某些文化中，正方形代表着公正、平衡和和谐，因此在建筑设计中也有其文化意义。
正方形在日常生活中的应用
建筑学：正方形在建筑设计中有广泛应用，如窗户、门、墙角等。
理等。
构造图形：利用正方形构造各种几何图形，如平行四边形、
菱形等。
解决几何问题：利用正方形的性质解决各种几何问题，如面积计算、周
长计算等。
数学模型：将正方形应用于数学模型中，如坐标系、矩
阵等。
正方形在建筑设计中的应用
稳定性强：正方形具有完美的对称性，在建筑设计中可以提供更好的稳定性。
正方形的性质
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目录
正方形的定义和特征正方形的应用
正方形的性质正方形的历史和发展
01
正方形的定义和特征
正方形的定义
正方形是四边相等且四个角都是直角的四边形。
正方形是特殊的长方形，长方形是矩形的一种。
正方形的对角线相等且互相平分。
正方形的面积等于边长的平方。
到深入研究
文艺复兴：艺术家和数学家共同推动正方形在建筑和绘
画中的应用
现代：正方形在计算机图形、建筑设计等领域的应用更加
广泛
正方形在数学史上的地位和影响
定义：正方形是四边相等、四个角都是直角的四边形
性质：正方形具有稳定性、对称性和均匀性等性质，是几何学中的重要概念之一
历史：正方形作为几何学中的基本图形之一，早在古希腊时期就被研究，并在文艺复兴时期得到了进一步的发展

1.3 正方形的性质与判定(二)

定理:对角线垂直的矩形是正方形
正方形的判定方法：
1、定义判定没有固定方法， 2、对角线相等的菱形是正方形。只要既是矩形又 3、有一个角是直角的菱形是正方形。是菱形就可判定。 4、对角线垂直的矩形是正方形。 5、有一组邻边相等的矩形是正方形。
注意：正方形的
有一组邻边相等且有一个角是直角
第二环节
E
F
A
C
H
D
G
第三环节猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH会有怎样的变化呢？先猜一猜，再证明。原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形,AB=AD ∵ ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形（正方形定义）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形。
证明:对角线相等的菱形是正方形。
已知: 四边形ABCD是菱形, AC=BD
求证: 四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形．（正方形的定义）
已知: 四边形ABCD是矩形, AB=AD 求证: 四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=90° ∵ AB=AD ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）
定理:有一组邻边相等的矩形是正方形。

《正方形》平行四边形(第2课时正方形的判定)

总结词
我们再来看看对角线相等的平行四边形是正方形的例题。假设有一个平行四边形ABCD，其中AC=BD，问这个平行四边形是正方形吗？我们可以证明这个平行四边形有一个角是直角，从而得出这个平行四边形是正方形。
VS
详细描述
首先，我们通过连接对角线AC和BD，证明这个平行四边形有一个角是直角。然后我们进一步证明这个平行四边形的对角线相等，即AC=BD。最后我们得出这个平行四边形是正方形。
THANK S感谢观看
平行四边形判定方面的典型例题解析
总结词
本部分将通过具体的例题，解析平行四边形判定的方法，包括两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形等。
详细描述
首先，我们来看一道基于平行四边形定义的例题。假设有一个四边形ABCD，其中 AD//BC，AB//CD，问这个四边形是平行四边形吗？通过连接对角线AC和BD，我们可以证明这个四边形是平行四边形。然后我们可以进一步证明这个平行四边形的对角线互相平分，从而得出这个四边形是平行四边形。
假设四边形ABCD中，对角线AC与BD相互平分。根据对角线平分的四边形是平行四边形，我们知道四边形ABCD是平行四边形。
正方形与平行四边形判定定理的联系与区别
正方形判定定理的证明比平行四边形的要复杂一些，因为正方形的所有边都相等且所有角都是直角，这个性质在证明其判定定理时需要用到。而平行四边形的判定定理则不需要用到这个性质。
平行四边形判定定理的证明
定理1
证明
定理2
证明
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
假设四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC 。根据等量代换原理，我们知道AB与CD 、AD与BC分别相等。又因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形。

正方形的计算和证明问题

请直接写出点A到BP的距离．
点A到BP的距离为 3 1 2
已知：如图，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN =450，连结MN. (1)若正方形的边长为a，求BM·DN的值；
解：∵BM、DN分别平分正方形的外角， ∴ ∠CBM= ∠CDN =45°． ∴∠ABM= ∠ADN= 135°， ∵∠MAN =45°． ∴∠BAM+ ∠NAD =45°．在△ABM中，∠BAM+∠AMB=180°-135°=45°, ∴∠NAD=∠AMB 在△ABM和△NDA中， ∵∠ABM=∠NDA, ∠NAD=∠AMB ∴△ABM≌△NDA．
正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且 DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH. （3）如图，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段 CK长的最大值．
答案： 3 2 3
正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且 DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH. （2）如图，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（2）结论成立．证明：如图，连接BE．在正方形ABCD中， AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90° ∵ DE=DF， ∴ AF=CE．在△ABF和△CBE中，
∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°，
∴∠ADM=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
MDA NAB DMA ANB AD AB
∴△ADM≌△BAN（AAS），

第三讲正方形的性质与判定

第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。

正方形的计算和证明问题专项练习及答案

与条件“DQ∥y 轴”矛盾， ∴这种情况应舍去。 ②若 EB=EP，则∠PBE=∠BPE=45°。 ∴∠BEP=90°。 ∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC。在△POE 和△ECB 中，
∴△ POE≌△ECB。 ∴OE=BC，OP=EC。[来源:学#科#网 Z#X#X#K] ∴OE=OC。 ∴点 E 与点 C 重合（EC=0）。 ∴点 P 与点 O 重合（PO=0）。 ∵点 B（﹣4，4）， ∴AO=CO=4。此时 t=4。 ③若 BP=BE，在 Rt△BAP 和 Rt△BCE 中，
的垂线，与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 D。BD 与 y 轴交于点 E，连接 PE。设点 P
运动的时间为 t（s）。
（1）∠PBD 的度数为
，点 D 的坐标为
（用 t 表示）；

（2）当 t 为何值时，△PBE 为等腰三角形？（3）探索△POE 的周长是否随时间 t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值。
∵EF⊥GH， ∴AM⊥DN，根据（1）的结论得 AM=DN，所以 EF=GH；（3）解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥CD ∴∠AHO=∠CGO ∵FH∥EG ∴∠FHO=∠EGO ∴∠AHF=∠CGE ∴△AHF∽△CGE
∴ ∵EC=2 ∴AF=1 过 F 作 FP⊥BC 于点 P，根据勾股定理得 EF= ， ∵FH∥EG，
m

∵∠ OEA +∠ OHA ∴∠ OFB +∠ FHG =90 ∴ AE ⊥ BF （3） BH 的最大值为 5 2 3. 解：（1）如图 1，
由题意可得：AP=OQ=1×t=t ∴AO=PQ。 ∵四边形 OABC 是正方形， ∴AO=AB=BC=OC，[来源:学科网] ∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°。 ∵DP⊥BP， ∴∠BPD=90°。 ∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ。 ∵AO=PQ，AO=AB， ∴AB=PQ。在△BAP 和△PQD 中，

正方形证明方法

正方形证明方法
正方形是一种特殊的四边形，它具有四条边相等且四个角均为直角的特点。

在几何学中，我们经常需要证明一个图形是正方形，下面将介绍几种常见的正方形证明方法。

首先，我们来介绍正方形的定义。

正方形是一种特殊的四边形，它具有以下特点，四条边相等，四个角均为直角。

根据这个定义，我们可以利用不同的方法来证明一个图形是正方形。

一种常见的证明方法是利用正方形的对角线相等。

对于一个四边形，如果它的对角线相等，那么我们可以证明这个四边形是正方形。

这是因为正方形的对角线相等是它的特征之一。

我们可以通过计算四边形的对角线长度来证明它是正方形。

另一种证明方法是利用正方形的对边平行且相等。

对于一个四边形，如果它的对边平行且相等，那么我们也可以证明这个四边形是正方形。

这是因为正方形的对边平行且相等也是它的特征之一。

我们可以通过计算四边形的对边长度和判断对边是否平行来证明它是正方形。

此外，我们还可以利用正方形的内角和为360度来证明一个图形是正方形。

对于一个四边形，如果它的内角和为360度，那么我们同样可以证明这个四边形是正方形。

这是因为正方形的内角和为360度也是它的特征之一。

我们可以通过计算四边形的内角和来证明它是正方形。

总之，我们可以利用对角线相等、对边平行且相等、内角和为360度等方法来证明一个图形是正方形。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的证明方法来证明一个图形是正方形。

希望以上内容对您有所帮助，谢谢阅读！。

正方形的性质与计算公式解析

正方形的性质与计算公式解析正方形是一种具有特殊性质的四边形，其性质和计算公式对于几何学和数学有着重要意义。

在本文中，我们将详细解析正方形的性质和计算公式，并探讨其在实际应用中的重要性。

1. 正方形的定义与性质正方形是一种具有以下性质的四边形：- 四条边相等：正方形的四条边长度相等，因此它具有高度的对称性。

- 四个角度均为90度：正方形的每个内角都是90度，因此它是一种特殊的直角四边形。

- 对角线互相垂直且相等：正方形的对角线相互垂直，并且长度相等。

2. 正方形的计算公式正方形的计算公式主要涉及到边长（a）和面积（A）的计算。

- 边长（a）计算公式：正方形的边长即为四条边的长度，可以用任意一条边的长度来表示，故边长计算公式为 a。

- 面积（A）计算公式：正方形的面积可以通过边长来计算，公式为A = a * a，其中 a 表示正方形的边长。

- 周长（P）计算公式：正方形的周长是指正方形的四条边的总长度，公式为 P = 4 * a，其中 a 表示正方形的边长。

3. 正方形的重要性与应用正方形在几何学和数学领域具有重要的应用和意义，主要体现在以下几个方面：- 图形构建：正方形是最常见且最简单的几何图形之一，它在工程设计、建筑、绘画等领域中广泛应用。

正方形的特殊性质使得它能够构建出稳定、对称的结构。

- 面积计算：正方形的面积计算公式简单明了，使得我们能够准确计算正方形的面积。

在实际应用中，比如土地面积的计算、墙壁的面积估算等都可以借助正方形面积计算公式实现。

- 常见几何推理：正方形在几何证明中起到重要的角色。

利用正方形的性质，可以进行诸如证明对角线互相垂直、四个角都为直角等常见几何推理。

- 数学应用：正方形的几何性质也与数学的相关概念密切相关。

比如，正方形为特殊的长方形，而长方形的概念也与代数中的因数分解、多项式展开等问题密切相关。

4. 结论正方形作为一种具有特殊性质的四边形，在几何学和数学方面具有重要的意义和广泛的应用。

证明正方形的方法

证明正方形的方法正方形是一种特殊的四边形，具有很多独特的性质和特征。

证明一个图形是正方形的方法可以采用几何证明和数学推理，下面我们将深入探讨这个问题。

首先，我们来定义正方形。

正方形是一种四边形，具有以下特征：四条边相等，四个内角均为直角，对角线相等且互相垂直。

这些特征是正方形的重要特性，也是我们确定一个图形是否为正方形的基础。

证明一个图形是正方形的方法可以通过多种几何证明以及数学推理来完成。

下面我们将逐步论证。

首先，我们可以通过测量四条边的长度来证明一个图形是否为正方形。

如果一个四边形的四条边长度相等，则这个四边形符合正方形的定义。

我们可以使用尺子或者测量工具来测量四条边的长度，如果它们完全相等，则可以确定这个图形是正方形。

其次，我们可以通过测量对角线的长度来证明一个图形是否为正方形。

根据正方形的定义，对角线相等且互相垂直。

因此，我们可以使用测量工具来测量对角线的长度，如果它们完全相等，则可以确定这个图形是正方形。

除了测量边长和对角线长度，我们还可以通过角度的测量来证明一个图形是正方形。

根据正方形的定义，四个内角均为直角，即90度。

我们可以使用角度测量器或者直角尺来测量四个内角的大小，如果它们均为90度，则可以确定这个图形是正方形。

此外，我们还可以通过图形的对称性来证明一个图形是否为正方形。

正方形具有多种对称性，包括旋转对称、轴对称和中心对称。

通过观察图形的对称性，我们可以确定一个图形是否为正方形。

最后，我们可以通过计算图形的面积和周长来证明一个图形是否为正方形。

正方形的面积可以通过边长的平方来计算，周长可以通过四条边的长度相加来计算。

如果一个图形的面积和周长符合正方形的特征，则可以确定这个图形是正方形。

综上所述，证明一个图形是正方形的方法可以通过测量边长、对角线长度、角度、对称性以及计算面积和周长来完成。

这些方法可以通过几何证明和数学推理来确定一个图形是否为正方形，是一种科学严谨的方法。

通过这些方法，我们可以准确地判断一个图形是否为正方形，这对于几何学的学习和实践具有重要意义。

连接正方形四边中点所得到的新的正方形

文章标题：探秘正方形四边中点连接所得到的新正方形在几何学中，正方形是一种十分特殊的多边形。

它有着相等的边长和四个右角。

当我们思考正方形的性质和特点时，往往会发现一些有趣的现象和规律。

其中之一便是连接正方形四边中点所得到的新的正方形。

在本文中，我们将深入探讨这一主题，从而更好地理解几何学中的基本概念和原理。

1. 正方形四边中点连接现象的发现当我们在一个正方形的四条边上选择中点，并依次连接这些中点，我们会惊讶地发现，所得到的图形竟然也是一个正方形！这种现象为什么会发生呢？这其中是否隐藏着某种深刻的规律？让我们一起来探究其中的奥秘。

2. 确认新正方形的特点为了更好地理解所得到的新正方形，我们需要确认一些其特点。

我们可以通过观察和计算来证明这个新的正方形的边长和面积。

我们可以尝试证明这个新的正方形和原正方形之间是否存在一些特殊的几何关系和相似性。

3. 探究连接现象背后的原理要深入理解连接正方形四边中点所得到的新的正方形，我们需要深入研究其中的原理。

这涉及到几何学中的中点定理、面积比定理等基本概念。

我们还可以探讨一些相关的数学定理和公式，从而更好地解释这一现象背后的数学规律。

4. 个人观点和理解在我看来，连接正方形四边中点所得到的新的正方形是一个十分有趣且具有启发意义的几何现象。

它不仅可以帮助我们更好地理解正方形的特性，也可以激发我们对几何学的兴趣和好奇心。

通过深入学习和探讨这一现象，我们可以更好地理解几何学的基本原理，并从中受益。

总结回顾通过本文的探讨，我们对连接正方形四边中点所得到的新的正方形有了更深入的理解。

从简单的观察和计算开始，我们逐步深入研究了其中的原理和规律。

我们也发现了这一现象背后的奥秘，并对几何学中的一些基本概念有了更深刻的理解。

希望通过这篇文章的阅读，读者们也能对这一主题有所启发，并对几何学的学习产生浓厚的兴趣。

正方体底面积的计算公式字母

正方体底面积的计算公式字母正方体底面积的计算公式字母作为一种基本的几何图形，正方体一直以来都是数学领域中的重要研究对象。

正方体的特点是六个面都是正方形，它的底面是一个正方形，且六个面的边长相等。

对于正方体的各个性质和特点，它的底面积是最为基本和重要的部分之一。

正方体的底面积可以通过一个简单的公式来计算，这个公式用三个字母代表，即A=πr²。

其中，A表示底面积，π表示圆周率，r表示正方形的边长。

下面，我们将从不同角度分别描述一下正方体底面积的计算公式字母。

一、理论证明要理解正方体底面积的计算公式字母，首先需要对三个字母的含义进行解释。

A表示底面积，即正方形底面的面积大小。

π是一个数字，代表圆周率，它是一个无理数，其值约等于3.1415926535。

r则表示正方形的边长。

由于在正方体中，底面是一个正方形，所以底面积就是正方形面积，即A=r²。

二、实际应用正方体底面积的计算公式字母不仅仅是一个理论结果，它在实际应用中也有很多实际的意义。

例如，在建造房屋、制作家具等领域，计算正方体的底面积是很常见的任务。

以制作桌子为例，如果知道桌子的高度和边长，那么就可以通过计算底面积来确定需要购买多少材料。

这种应用领域中，正方体底面积的计算公式字母就能够为计算提供基础。

三、理解拓展正方体底面积的计算公式字母固然重要，但仅仅有这个公式还不足以解决所有问题。

有时需要在计算底面积时考虑多种因素，例如单位转换、无限接近等等。

在这种情况下，需要对计算公式字母进行理解和拓展。

这就要求我们不仅仅要知道A=πr²这个公式，还要对其背后的数学原理和相关知识进行深入了解。

总之，正方体底面积的计算公式字母是数学中非常基本的概念之一，但它不仅仅局限于这个单一的公式。

在实际应用和理论研究中，需要对这个公式进行深入的理解和拓展。

只有这样，才能真正掌握正方体底面积的计算方法，并在实际生活与学术领域中做出更有价值的贡献。

证明正方形的判定

证明正方形的判定正方形是一种特殊的矩形，具有四个相等的内角和四条相等的边长。

在几何学中，证明一个图形是正方形需要满足一定的条件。

本文将从多个角度探讨如何证明一个图形是正方形。

一、证明四边相等证明一个图形是正方形的最基本条件之一是四条边相等。

可采用以下方法进行证明：1.使用尺子或其他工具测量每条边的长度，如果它们都相等，则该图形为正方形。

2.如果已知该图形为菱形（即四个角都是直角），则可以使用勾股定理证明它是正方形。

根据勾股定理，菱形两条对角线互相垂直并且长度相等。

因此，如果已知该菱形两条对角线长度相等，则可以得出该菱形为正方形。

3.如果已知该图形为矩形（即拥有四个直角），则可以使用勾股定理证明它是正方形。

根据勾股定理，矩阵对角线长度相等，因此如果已知该矩阵两条对角线长度相等，则可以得出该矩阵为正方型。

二、证明内角均为90度除了四边相等外，正方形的另一个重要特征是四个内角均为90度。

以下是证明一个图形的内角均为90度的方法：1.使用直角尺确定每个角度是否为90度。

2.如果已知该图形为矩形，则可以通过证明矩阵对角线互相垂直来证明它是正方形。

因为矩阵对角线互相垂直是正方形的必要条件。

3.如果已知该图形为等腰梯形（即拥有两条平行边），则可以通过证明其两个内角之和等于180度来证明它是正方形。

因为正方形四个内角均为90度，所以等腰梯形两个内角之和等于180度时，其必须是正方型。

三、证明对称性另一个证明一个图形为正方形的方法是通过它的对称性。

以下是一些用于证明对称性的方法：1.如果该图形具有四个旋转对称轴，则可以得出该图形为正方型。

因为正方型具有四个旋转对称轴。

2.如果该图像具有4条对称轴，则可以得出该图像为正方型。

因为只有正方型具有4条对称轴。

3.如果该图像中心点与每个顶点距离相等，则可以得出该图像为正方型。

因为正方型具有对称的中心点和相等的边长。

四、证明角平分线互相垂直另一个证明正方形的方法是通过证明角平分线互相垂直。

与正方形有关的计算及证明精选训练题(能力提高卷)

与正方形有关的计算及证明精选训练题（能力提高卷）1．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．2．以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．3．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．4．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，求线段AE的长度．5．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD 于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．6．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AC＝4，BE＝1，直接写出菱形AECF的边长．7．如图，经过正方形ABCD的顶点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1．（2）若∠P AB＝30°，求∠ADF的度数．（3）如图，若45°＜∠P AB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．8．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF＝3，CE＝4，求AP的长．9．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．（1）如图1，若PB＝a，AB＝3a，求线段MN的长度；（2）用等式表示ME、EF、NF之间的数量关系并证明．10．如图，直线l是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线l上取一点P，连接PN，以线段PN为边，在PN上方作正方形NP AB，射线MA交直线l于点C，连接BC．（1）设∠ONP＝α，求∠AMN的度数；（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明．11．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．12．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．（1）当AB＝2时，求GC的长；（2）求证：AE＝EF．13．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．14．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝P A，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．15．已知AP为正方形ABCD外的一条射线，B′为点B关于直线AP的对称点，连接B′D．如图1所示．（1）如果∠BAP＝20°，求∠ADB′的度数的大小．（2）如图2所示，M为射线B′B上一点，且∠BMC＝135°．①求证：BB′＝CM．②求证：CM∥B′D．16．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线CP作垂线，垂足分别为点M，N．（1）补全图形，并求证：DM＝CN；（2）连接OM，ON，判断△OMN的形状并证明．小明在解决问题（2）时遇到了困难，通过向其他同学请教，小明得到了以下建议：建议一：观察现有图形，借助于所证关系线段所在三角形全等的证明来解决问题；建议二：延长MO交BN于点G，借助构造全等三角形来解决问题；如果你是小明，能够顺利的解决以上问题吗？17．如图，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，已知：∠MAN＝30°，AM＝AN，△AMN的面积为1．（1）求∠BAM的度数；（2）求正方形ABCD的边长．18．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点P为线段AC上任意一点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AD于E，PF⊥CD于F，连接EF．（1）△ABP的面积与四边形APFE的面积有何数量关系，并给出证明．（2）线段BP与线段EF有何关系，证明你的结论．19．已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是边AD，CD上的点，且∠MBN＝45°，连接MN．求证：MN＝AM+CN．20．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．求证：BE＝DG．21．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．22．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：（1）CF的长；（2）OF的长．23．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC 的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．（1）若BD＝BF，求BE的长；（2）若∠2＝2∠1，求证：HF＝HE+HD．24．如图，已知正方形ABCD，AC、BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F．（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论．25．已知：在正方形ABCD中，E、G分别是射线CB、DA上的两个动点，点F是CD边上，满足EG⊥BF，（1）如图1，当E、G在CB、DA边上运动时（不与正方形顶点重合），求证：GE＝BF．（2）如图2，在（1）的情况下，连接GF，求证：FG+BE＞BF．（3）如图3，当E、G运动到BC、AD的反向延长线时，请你直接写出FG、BE、BF三者的数量关系（不必写出证明过程）．26．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF ＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF ＝BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE ＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．27．如图，已知，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF．（1）求证：△BEC≌△DFC；（2）若BC+DF＝9，CF＝3，求正方形ABCD的面积．28．如图，正方形ABCD中，点E、F为对角线BD上两点，DE＝BF．（1）四边形AECF是什么四边形？并证明．（2）若EF＝4cm，DE＝BF＝2cm，求四边形AECF的周长．29．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．（1）当OA＝OD时，点D的坐标为，∠POA＝°；（2）当OA＜OD时，求证：OP平分∠DOA；（3）设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是什么？30．如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG 于点F．（1）求证：DE﹣BF＝EF；（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）；（3）若AB＝2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论．31．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．32．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．33．正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点，AH⊥EF交EF于点H，∠EAF＝45°．①求证：EF＝BE+DF；②若AB＝5，求△ECF的周长；③求证：AH＝CD．34．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．35．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC＝8，DE＝6，求EF的长．36．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形37．阅读材料：平面直角坐标系中点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|，其中的“+”是四则运算中的加法，例如点P（1，2）的折线距离[P]＝|1|+|2|＝3．【解决问题】（1）已知点A（﹣2，4），B（+，﹣），直接写出A、B的折线距离[A]，[B]；（2）若点M满足[M]＝2，①当点M在x轴的上方时，且横坐标为整数，求点M的坐标；②正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t﹣1，0），当正方形EFGH上存在点M时，直接写出t的取值范围．38．在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．（1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ；（2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．39．在正方形ABCD中，点P在射线AB上，连结PC，PD，M，N分别为AB，PC中点，连结MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，∠QMB＝°；（2）当点P在线段AB的延长线上时．①依题意补全图；②在点P运动过程中，始终有QP＝QM，请证明这个结论．40．如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，交CD 于点H，G为FH的中点．（1）求证：AE＝CE；（2）猜想线段AE，EG和GF之间的数量关系，并证明．41．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F，若，求BC的长．42．如图，△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC的度数为α，四边形BCDE为正方形．（1）当α＝45°时，求AE的长．（2）当α＝度时，AE的长最大，AE的最大值为．43．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．（1）求证：AE＝DF；（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．44．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边，向外作正方形BCDE，对角线BD，CE交于点O．（1）求证：∠ABO+∠ACO＝180°；（2）连接AO，用等式表示线段AB，AC，AO之间的数量关系，并证明你的结论．45．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数．46．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．。