2019年北京高考文数真题试卷

2019年高考文数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2019•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（ ）A. （-1，1）B. （1，2）C. （-1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）2、（2019•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（ ） A.B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-，所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=，故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）3、（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A.12y x = B. y=2-x C. 12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增；B:指数函数xx 1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减；C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减；D ：反比例函数1y x =，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减；故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）4、（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-； 此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2.故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）5、（2019•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>0a=（ ）A. B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率c e a a===， 故2251,a a =+解得211,42a a ==，故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）6、（2019•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数，若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+，所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件.故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）7、（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ， 根据题意1251.45(26.7)lg2E E ---=, 故122g 25.2510.15E l E =⨯=，所以10.11210E E =； 故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）8、（2019•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+而2sin 22cos 4sin cos 2AOB Sββββ⨯⨯==， ()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PAB S βββββ⨯⨯+==+， 故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S SS βββ=-+=+故答案为：B. 【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.【题型】单选题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2019•北京）已知向量a =（-4.3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m= .【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8.故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）10、（2019•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为 ，最大值为 .【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1.故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）11、（2019•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+= 【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1， 焦点F 到准线l 的距离为2，故圆心为（1,0），半径为2，所以圆的方程为()22-+=；14x y故答案为()22-+=.x y14【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）12、（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=， 故该几何体的体积V=64-24=40.故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）13、（2019•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线，若m α，则l m ⊥；故答案为若②③，则①.【分析】【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）14、（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 .【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，故实际付款（120-x）元，此时李明得到()-⨯，12080%x故()x≤；-⨯≥⨯，解得1512080%1200.7x故最大值为15.故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.【题型】填空题【分值】5【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷） 三、解答题共6小题，共80分.15、（2019•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值： （II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin 2B =， 根据正弦定理，sin sin b cB C =，5sin C=，解得sin 14C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 142B c B C B C ⎛⎫+=+=+-=⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.【题型】解答题 【分值】13【考查类型】中考真题 【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）16、（2019•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列. （I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列，可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++， 解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-； （Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5， 故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.【题型】解答题 【分值】13【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）17、（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（I）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I）据估计，100人中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A、B两种支付方式都使用的人数为400人；（II）该校学生上个月仅使用B支付的共25人，其中支付金额大于；2000的有一人，故概率为125（III）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化.【解析】【分析】（I）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；（II）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；（III）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.【题型】解答题【分值】13【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）18、（2019•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.⊥，【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD为菱形，所以BD AC又因为PA ABCD⊥平面，所以BD PA=，⊥，而PA AC A故BD PAC⊥平面；（Ⅱ）因为60ADC∠=︒，故ADC为等边三角形，ABC∠=︒,所以60而E为CD 的中点，故AE CD⊥,所以AE AB⊥,又因为PA ABCD⊥平面，所以AB PA⊥,因为PA AE A⊥平面,=，所以AB PAE又因为AB PAB⊂平面，所以PAB PAE平面平面；⊥（Ⅲ）存在这样的F，当F为PB的中点时，CF PAE平面；取AB的中点G，连接CF、CG和FG，因为G为AB中点，所以AE与GC平行且相等，故四边形AGCE为平行四边形，所以AE GC,故GC PAE平面在三角形BAP中，F、G分别为BP、BA的中点，所以FG PA,故FG PAE=, 平面,因为GC和FG均在平面CFG内，且GC FG G所以CGF PAE平面.平面平面，故CF PAE【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.【题型】解答题【分值】14【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）19、（2019•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=；（II ）设()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+， 解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++， 将直线y=kx+t 与椭圆方程联立， 得()222124220k x ktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k +-++==++， 故()2121t OM ON t +⋅==-， 解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程；（II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.【题型】解答题 【分值】14【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷） 20、（2019•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程； （II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =， 则1280,3x x ==，因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-， 整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=； （II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6，则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==，故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦，所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤； 构造函数h （x ）=f （x ）-x ，则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==，故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4）， 因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤， 综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤； （Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--， 则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==，故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ， 故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩，故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II）构造函数，要证()-≤≤，只需要证在[-2,4]上x f x x6+g x-≥=（）和()()0f x x6()0=-≤即可，求导数，利用导数确定函h x f x x数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a）的表达式，即可求出M（a）取最小值时相应的a值.【题型】解答题【分值】13【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】北京【试题来源】2019年高考文数真题试卷（北京卷）。