等差数列

(3)× (4)×
)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函
答案：(1)× (2)√
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2．已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10＝ ( )
A．100
C．380
B．210
D．400
解析：因为 a2＝7，a4＝15，所以 d＝4，a1＝3，故 S10＝10×3 1 ＋2×10×9×4＝210.
1.a1＋(n－1)d 2．等差中项
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[想一想]
已知等差数列{an}的第 m 项为 am，公差为 d，则
其第 n 项 an 能否用 am 与 d 表示？ 提示：an＝am＋(n－m)d [判一判] “×”)． (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常 数，则这个数列是等差数列．(×) 判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或
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4．(2013·安徽)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝
－2，则a9＝( A．－6 ) B．－4
C．－2
D．2
解析：根据等差数列的定义和性质可得 ，S 8＝ 4(a 3＋ a 6)，又S 8 ＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.
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(2)(2014· 皖北模拟)已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1，a3， S3－S2 a4 成等比数列，Sn 为{an}的前 n 项和，则 的值为________． S5－S3
[答案]
2
2
[解析] 设公差为 d， 则(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)， 即 a1＋4a1d＋4d2 ＝a1＋3a1d，解得 a1＝－4d(舍去 d＝0)． S3－S2 －4d＋2d a3 ＝ ＝ ＝2. S5－S3 a4＋a5 －4d＋3d－4d＋4d
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(4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，„仍是等差数列，公差为 kd. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. n (7)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝ d. 2 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
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3 个必记结论——等差数列前 n 项和 Sn 的几个结论 (1)若等差数列{an}的项数为偶数 2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝„＝ S奇 an n(an＋an＋1)；②S 偶－S 奇＝nd， ＝ . S偶 an＋1 (2)若等差数列{ an}的项数为奇数 2n＋1， 则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； S奇 n＋1 ② ＝ n . S偶
2m＋k－1＝13， 故 k＋1＝5， m＝5， 所以 k＝4.
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(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式中共涉及到五个量 a1， an，d，n，Sn，若已知其中三个量的值就能求另外两个量的值．应用 na1＋an nn－1 nn－1 an＝a1＋(n－1)d， Sn＝ ， Sn＝na1＋ d， Sn＝nan－ 2 2 2 d 这几个公式的应用，体现了方程思想． (2)a1，d 是等差数列的基本量，用它们表示其他量是解题的基本 思路． (3)等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 及前 n 项和公式 Sn＝ na1＋an nn－1 ＝na1＋ d，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知道其 2 2 中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
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[填一填] ＝ 2n－m
(1) 等差数列 {an} 中，若 a7 ＝ m ， a14 ＝ n ，则 a21 .
(2)在等差数列{an}中，若 a2＋a3＋a10＋a11＝36，则 a5＋a8 ＝ 18 . (3)在等差数列{an}中，若 a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则 3a9 －a13 的值为 40 . (4)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则 S6＝ 24 .
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1 个重要技巧——利用等差数列的性质妙设项 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 a－d，a，a＋d； 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 a－d，a＋d，其余各项 再依据等差数列的定义进行对称设元．
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2 种必明选择——等差数列前 n 项和公式的选择 等差数列前 n 项和公式有两个，如果已知项数 n、首项 a1 和第 n na1＋an 项 an，则利用 Sn＝ ，该公式经常和等差数列的性质结合 2 应用．如果已知项数 n、首项 a1 和公差 d，则利用 Sn＝na1＋ nn－1d ，在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公 2 式结合使用．
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考点二 判定等差数列的方法探究
[调研 2] (1)(2014· 大纲全国)数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2 ＝2an＋1－an＋2. ①设 bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； ②求{an}的通项公式．
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[解析] ①证明：由 an＋2＝2an＋1－an＋2，得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即 bn＋1＝bn＋2. 又 b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列． ②由①，得 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. 即 an＋1－an＝2n－1.
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第二节 等差数列及其前n项和
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[考纲研读 考 纲 解 读
明确考向] 考 情 分 析
•等差数列的通项公式与前 n •理解等差数列的概念． 项和公式是考查重点． •掌握等差数列的通项公式与 •归纳法、累加法、倒序相加 前 n 项和公式． 法、方程思想、运用函数的性 •能在具体的问题情境中识别 质解决等差数列问题是重点， 数列的等差关系， 并能用有关 也是难点． 知识解决相应的问题． •题型以选择题、 填空题为主， •了解等差数列与一次函数的 与其他知识点结合则以解答 关系. 题为主.
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3．等差数列的前 n 项和公式 (1)已知等差数列{an}的首项 a1 和第 n 项 an，则其前 n 项和公式 Sn＝________. (2)已知等差数列{an}的首项 a1 与公差 d，则其前 n 项和公式 Sn ＝________.
a1＋ann (1) 2
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5．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(
)
A．12
C.20
B.16
D.24
解析：由等差数列的性质知，a2＋a10＝a4＋a8＝16，故选B.
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研细核心点 练透经典题
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考点一 等差数列的基本运算与技巧
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(3)在等差数列{an}中，若
am≥0， a1>0，d<0，则满足 am＋1≤0

的项数 m
使得 Sn 取得最大值 Sm； 若 a1<0， d>0， 则满足 am≤0，am＋1≥0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm.
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(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*， 都有 2an
＋1
＝an＋an＋2.(√) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．(√) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次
函数．(×) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．(×)
nn－1 (2)na1＋ d 2
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[填一填] (1)设等差数列{an}的公差 d＝1，前 n 项和为 Sn， S5＝15，则 S10＝ 55 . (2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，公差 d＝2， Sk＋2－Sk＝24，则 k＝ 5 . . (3)已知{an}为等差数列， 若 a3＋a4＋a8＝9， 则 S9 等于 27
[调研1]
A．8
(1)(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝
) B．10
2，S3＝12，则a6等于(
C．12
[答案] [解析] C
D．14
设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝
3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C．
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练练基础
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“”． (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列．( 数列{an}一定是等差数列．( ) ) (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则 nn－1 (3)在等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na1＋ d 中，Sn 一定是 2 关于 n 的二次函数．( 数．( )
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3． 已知等差数列{an}， 则使数列{bn}一定为等差数列的是( A．bn＝－an C．bn＝ an B．bn＝an 1 D．bn＝a n
2
)
解析： 设 { a n } 的公差为 d ， 则对于 A ， { b n } 的公差为－ d ，故选 A．
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网控基础点 提炼命题源
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读读教材
1．等差数列的通项公式 (1)若等差数列{an}的首项是 a1，公差为 d，则其通项公式为 an ＝______________. (2)通项的推广：an＝am＋(n－m)d. 2．等差中项 若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的______________．且 a＋b A＝ . 2
2
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(3)(2013·浙江)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为 Sn，a1＝1，S2·S3＝36. ①求d及Sn； ②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋„＋am＋k＝ 65.
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[解析] ①由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 将 a1＝1 代入上式解得 d＝2 或 d＝－5. 因为 d>0，所以 d＝2，Sn＝n2(n∈N*)． ②由①，得 am＋am＋1＋am＋2＋„＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)， 所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65. 由 m，k∈N*知 2m＋k－1>k＋1>1，
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(4)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用， 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用 方法． (5)数列的通项公式是通项 an 与项数 n 之间的关系，求某一项， 只要将 n 的值代入计算即可， 所以很多递推关系的证明问题都希望能 够转化为利用通项公式求解． 求解数列通项公式的方法有很多， 如公 san 式法、累加法、累乘法、递推法、构造法等，对形如 an＋1＝ 的 tan＋s 递推关系式，可采用构造法求解；对形如 an＋1＝an＋f(n)的递推关系 式，可采用累加法求解．
1 (4)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1＝2，S4＝20，则 S6 ＝ 48 .
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考点 3 等差数列的有关性质 am－an (1)am＝an＋(m－n)d 或 ＝d.(m、n∈N*) m－n (2)在等差数列中，若 p＋q＝m＋n，则有 ap＋aq＝am＋an； 若 2m＝p＋q，则有 ap＋aq＝ 2am (p，q，m，n∈N*)． (3)d>0⇔{an}是递增数列，Sn 有最小值；d<0⇔{an}是递减数 列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．