等差数列的应用

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【思路探究】
(1)可设出 a1 和 d，用前 n 项和公式列方程
组变形求解，也可利用等差数列的性质求解． (2)设项数为 2n＋1，则奇数项有 n＋1 项，偶数项有 n 项， 由奇数项之和与偶数项之和的关系，列式求解．
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●重点难点 重点：等差数列前 n 项和公式的掌握与应用． 难点：灵活运用求和公式解决问题．
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课 标 解 读
1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 2.会求等差数列前n项和的最值问题．(重点、易 错点) 3.能用裂项相消法求和．(难点)
【自主解答】
(1)法一
设{an}的公差为 d，
依据题设和前 n 项和公式有 ma ＋mm－1d＝30， 2 1 2m2m－1 2ma1＋ d＝100， 2 ① ②
m3m－1 ②－①，得 ma1＋ d＝70， 2
3m3m－1 m3m－1 所以 S3m＝3ma1＋ d ＝ 3 ma ＋ d 1 2 2
等差数列{an}中，其前 n 项和为 Sn，则{an}中连续的 n 项和 构成的数列 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成 等差 数列.
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等差数列前n项和Sn的最值
【问题导思】 等差数列的前 n 项和 Sn 与 n 之间是怎样的函数关系呢？
Sn 即数列 n 构成首项为
d a1，公差为2的等差数列．
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Sm S2m S3m 依题中条件知 m 、 2m 、 3m 成等差数列， S2m S3m Sm 所以 2· 2m ＝ 3m ＋ m . 所以 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)设等差数列{an}共 2n＋1 项，公差为 d，则奇数项有 n＋1 项，偶数项有 n 项，中间项是第 n＋1 项，即 an＋1，
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等差数列前n项和的性质
(1)已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m 分别是其前 m， 前 2m，前 3m 项和，若 Sm＝30，S2m＝100，求 S3m. (2)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和 为 33，求这个数列的中间项及项数．
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝44 则 S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝33
∴S 奇－Biblioteka Baidu 偶＝a1＋nd＝an＋1＝11， 即中间项 an＋1＝11.
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又 S2n＋1＝S 奇＋S 偶＝77. 2n＋1a1＋a2n＋1 2n＋1· 2an＋1 ∴ ＝ ＝77 2 2 ∴(2n＋1)×11＝77， ∴2n＋1＝7， 即数列的中间项为 11，这个数列共 7 项．
＝3×70＝210.
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法二
Sm、S2m－Sm、S3m－S2m 成等差数列，
所以 30、70、S3m－100 成等差数列， 所以 2×70＝30＋S3m－100. 所以 S3m＝210. 法三 在等差数列{an}中，
1 Sn d 因为 Sn＝a1n＋2n(n－1)d，所以 n ＝a1＋(n－1)2.
2．过程与方法 通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的 灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感； (2)通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣 与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体 验，产生热爱数学的情感．
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在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19＋a20 的值为( A．9 ) B．12 C．16 D．17
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2．我们知道，a1＋a2＝S2，a3＋a4＝S4－S2，a5＋a6＝S6－S4， 则上述关系可以描述为一个怎样的结论？ 【提示】 也成等差数列．
3．这种结论可以推广吗？ 【提示】 可以推广．
如果{an}是等差数列，那么 S2，S4－S2，S6－S4
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等差数列前 n 项和性质小结： 1．等差数列{an}中，公差为 d，前 k 项的和为 Sk，则 Sk，S2k －Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为 k2d 的等差数列． 2．等差数列{an}中，公差为 d： (1)若共有 2n 项，则 S2n＝n(an＋an＋1)； S 偶－S 奇＝nd；S 偶∶S 奇＝an＋1∶an. (2)若共有 2n＋1 项，则 S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； S 偶－S 奇＝－an＋1；S 偶∶S 奇＝n∶(n＋1)．
【提示】
d d 2 Sn＝2n ＋a1－2n.
当 d≠0 时，Sn 是项数 n 的二次函数且不含常数项， 当 d＝0 时，Sn＝a1n，不是 n 的二次函数．
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(1)若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为 负 项(或 0)，所 以将这些项相加即得 Sn 的最 小 值． (2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为 正 项(或 0)，所 大 以将这些项相加即得 Sn 的最 值．
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等差数列前n项和的性质
【问题导思】 已知等差数列{an}，其前 n 项和为 Sn. 1．a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 成等差数列吗？ 【提示】 a3＋a4＝(a1＋a2)＋4d，a5＋a6＝(a3＋a4)＋4d，
∴(a5＋a6)－(a3＋a4)＝(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d， 即 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 构成等差数列．