等差数列的前项和性质及应用优秀课件

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
3 1 3 1 3 2 d 1 1 1 3 1 1 1 1 0 d
2
2
∴ d=－2
1 Sn13n2n(n1)(2)
n2 14n(n7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
的项的和之比为32:27,则公差为 5 .
例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和 为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则
m= 10 .
例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,
则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
等差数列{an}前n项和的性质
例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知
a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明
理由.
a1+2d=12
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
1 Sn na12n(n1)d
1
性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= － (m+p)
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中
间两项),
S奇
此时有:S偶－S奇= nd , S 偶
an a n1
性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
求a 5 和 a n
b5
bn
.
Tn 4n 27
a 5 6 4 an 14n 6 b 5 6 3 bn 8n 23
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例5.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数
由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为
( C)
A.12 B.13 C.12或13 D.14
2.等差数列{an}前n项和的性质
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
A.63 B.45 C.36 D.27
例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=A( )
A.85 B.145 C.110 D.90
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例3.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 －110 .
等差数列的前项和性质及应用 优秀课件
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
形式1:
Sn
来自百度文库
n（a1 an) 2
形式2S:nn1an（n 21)d
1.将等差数列前n项和公式
Sn na1n(n21)d
看作是一个关于n的函数，这个函数
有什么特点？
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则
Sn=An2+Bn
练习2:
求集合 M { m m 2 n 1 ,n N ,m 6}0
的元素个数，并求这些元素的和.
练习3：已知在等差数列{an}中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.
（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10 （3）求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值
n(122d) n(n1)d
2
dn2 (125d)n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知
24 7
d
3
2d
∴Sn有最大值.
由上得 6 5 12 13 即 6 n 1 3
2d 2
2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和 为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
a a
n
n1
0
0
n
15 2
得
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
dn2 2
(a1
d)n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为
Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值
1.根据等差数列前n项和，求通项公式.
an aS1n Sn1
S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
S 此时有:S偶－S奇= an , S
性质5: { S n } 为等差数列.
奇 偶
n
n
n1
两等差数列前n项和与通项的关系
性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且
前n项的和分别为Sn和Tn,则
a b
n n
S 2n1 T 2n1
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若