江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含精品解析)
江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高一上学期期末考试化学试题(word版)
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2017-2018 学年度江西省寻乌中学上学期期末考试高一化学考生注意:本试卷共30 小题,满分100 分,时量90 分钟,请将所有答案写在答题卡上,答在本试卷上的一律无效。
可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24Al-27 S-32 Cl-35.5 K-39 Ga-40 Mn-55 Fe-56一、选择题(每小题2 分,共50 分,每小题只有一个选项符合题意)1.三位科学家因在“分子机器的设计与合成”领域做出贡献而荣获2016年诺贝尔化学奖。
他们利用原子、分子的组合,制作了最小的分子马达和分子车。
下列说法不正确的是( )A.化学是一门具有创造性的科学,化学的特征是认识分子和制造分子B.化学是在原子、分子的水平上研究物质的一门自然科学C.化学注重理论分析、推理,而不需要做化学实验D.化学家可以在微观层面操纵分子和原子,组装分子材料2.下列分离或提纯物质的方法正确的是()A.用溶解、过滤的方法提纯含有少量BaSO4的BaCO3B.用过滤的方法除去NaCl 溶液中含有的少量淀粉胶体C.用渗析的方法精制Fe(OH)3胶体D.用分液的方法分离水和酒精3.下列各物质中,所含分子数相同的是()A.10gCH4和10gO2B.11.2LN2(标准状况)和11g CO2C.9g H2O 和0.5mol Cl2D.224mL H2(标准状况)和0.1mol N24.各指定粒子数目不等于阿伏加德罗常数值的是()A.1g H2所含的原子个数B.4g 氦气所含的原子个数C.23g 金属Na 全部转变为金属离子时失去的电子个数D.16g O2 所含的分子个数5.下列有关的离子方程式书写正确的是()A.氢氧化钡溶液和稀硫酸反应:Ba2++SO4 2﹣═BaSO4↓B.碳酸钙和醋酸反应:CaCO3+2H+═Ca2++H2O+CO2↑C.铝粉投入到NaOH 溶液中:2Al+2OH-=2AlO -2+H ↑2- -D.Na2CO3溶液中滴加少量的稀盐酸:H++ CO3 2 ═HCO3 6.在澄清透明的强酸性溶液中能大量共存的是()C .K + 、NH + 、OH - 、SO 2-D .Na + 、K + 、AlO - 、Cl -4427.某合作学习小组讨论辨析以下说法:①粗盐和酸雨都是混合物;②天然气和水蒸气都是 可再生能源;③冰和干冰既是纯净物又是化合物;④不锈钢和目前流通的硬币都是合 金;⑤盐 酸和食醋既是化合物又是酸;⑥纯碱和熟石灰都是碱。
江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
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江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】,,则,选B.2.函数的定义域为()A. B. C. D.【答案】C【解析】,解得:且,选C.3.已知,则的大小关系是()A. B. C. D.【答案】C【解析】,,,则,选C.4.已知奇函数是定义在上的减函数,则不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】D【解析】为奇函数,,函数是定义在上的减函数,则,解得:,选D.5.函数的值域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】设,,当时,,当时,,函数的值域是,选B.6.已知函数,若的值域为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,若的值域为,只需取满,当时,,值域为R 符合题意;当时,只需,解得,综上可知.7.已知,设函数的最大值为,最小值为,则的值为()A. 2016B. 4026C. 4027D. 4028【答案】C【解析】在上为增函数,最大值最小值为,,选C.8.集合,则集合与集合之间的关系()A. B. C. D.【答案】A【解析】设,则,说明集合A的元素一定是集合B的元素,则,选A.9.若关于的方程(且)有两个不等实根,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A 【解析】关于的方程(且)有两个不等实根,根据的图象可知只需,解得,选A.10.已知,若,则由构成的包含元素最多的集合的子集个数是( )A. 32B. 16C. 8D. 4 【答案】C 【解析】设,则,则或,由于,取,则,,,,,,,,由构成的包含元素最多有3个,集合的子集个数是个,选C.11.已知函数,若关于的方程有7个不同实数解则( )A.且B.且C.且D.且【答案】A 【解析】 作出函数的图象,令,由图象可知有4个不等实根,时,有3个不相等的实数根,时无实根.题中原方程有且只有7个不等实根,即有两个实根,一根为0,另一根大于零,则,所以选A.【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法,令,先画出函数的图象,根据根的个数判断原方程的根应该有几个,每个根应在哪个区间?问题转化为一元二次方程的根的分布问题,利用一元二次方程的根的分布列不等式,求出参数的取值范围. 12.已知非空集合 ,,,则集合可以是( )A. B.C.D.【答案】B 【解析】,首先,有或,排除A 、C ,由于不等式不宜解答,所以采用排除法,取进行检验,,而,不符合不等式的要求,排除D ,选B.【点睛】解答选择题的方法很多,主要有直接法,特值特例法、排除法,极限法等,有时利用直接法很费力的时候,不妨使用排除法,有时会出现意想不到的效果,但排除法最适宜求范围的问题,因为特值特例反验证还是比较方便使用并受人欢迎的方法.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知关于的函数是幂函数,则__________.【答案】【解析】 关于的函数是幂函数,则. 14.已知函数是偶函数,当时,,则时,__________.【答案】【解析】 函数是偶函数,,当时,,则.15.若满足,满足,则__________.【答案】 【解析】若满足,,又满足,,所以,化简得.16.设,已知,则__________.【答案】【解析】设,则,即 ,, ,同理化简另一部分得:,则,得,为锐角,可得,有.【点睛】有关换元法解题是一种常用的数学方法,换元法包括代数换元和三角换元,代数换元包括平均值换元等其他诸多换元方法,三角换元主要使用圆锥曲线的参数方程,三角换元主要依靠三角公式的运算较方便所采用的换元,需要利用三角公式进行恒等变形,以及利用角的范围求三角函数的最值.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.计算下列各式的值:(1)已知,求的值;(2).【答案】(1)1;(2).【解析】试题分析:对数运算要注意利用对数运算法则,包括积、商、幂的对数运算法则,这些公式既要学会正用,还要学会反着用,指数对数运算还要灵活进行指、对互化.另外值得一提的是要熟练使用对数的换底公式,要掌握最基本的结论,如本题中的的倒数是,类似的结论要灵活应用.试题解析:(1),;(2).18.已知.(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【详解】试题分析:有关集合包含关系求参数问题,首先落实两个集合,解不等式求出两个集合,利用集合包含关系求参数问题,一般在数轴上画出满足条件的集合A、B,根据集合A是集合B的子集,列出符合要求的不等式,注意端点能否取等号,解不等式,求出参数的取值范围.试题解析:(1)∵,.∴则.∵∴或∴实数的取值范围是;(2)当时,即∴.当时,即∵,.∴或即.∴.综上所述:实数的取值范围是.【点睛】利用集合包含关系求参数问题,一般先通过解不等式或方程求出集合,或求函数的定义域或值域落实集合,落实两个集合后,在数轴上画出满足条件的集合A、B,根据集合A是集合B的子集,列出符合要求的不等式,注意端点能否取等号,解不等式,求出参数的取值范围.19.如图,已知底角为的等腰梯形,底边长为12,腰长为,当一条垂直于底边 (垂足为)的直线从左至右移动(与梯形有公共点)时,直线把梯形分成两部分.(1)令,试写出直线右边部分的面积与的函数解析式;(2)在(1)的条件下,令.构造函数①判断函数在上的单调性;②判断函数在定义域内是否具有单调性,并说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析:首先根据题意寻求y 与自变量x的关系,根据x的不同情况求出y与x的函数关系,得出分段函数;根据所求出的函数f(x)的解析式,按照函数g(x)的要求,写出对应的函数g(x)的解析式,研究函数g(x)在(4,8)的单调性,按照分段函数的解析式分段研究函数的单调性.试题解析:(1)过点分别作,垂足分别是.因为等腰梯形的底角为,腰长为,所以,又,所以.当点在上时,即时,;当点在上时,即时,;当点在上时,即时,.所以,函数解析式为(2)①由二次函数的性质可知,函数在上是减函数.②虽然在和单调递减,但是,∴.因此函数在定义域内不具有单调性.【点睛】实际问题要认真读题研究,根据所设的自变量和函数值,寻求y 与自变量x的关系,根据x的不同情况求出y与x的函数关系,得出分段函数;根据所求出的函数f(x)的解析式,按照函数g(x)的要求,写出对应的函数g(x)的解析式,研究函数g(x)在(4,8)的单调性,按照分段函数的解析式分段研究函数的单调性.20.函数对一切实数均有成立,且.(1)求的值;(2)在上存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:本题为抽象函数问题,解决抽象函数的基本方法有两种:一是赋值法,二是“打回原型”,本题第一步采用赋值法,给x,y赋值2和0,得出 f(2)和f(0),求函数的零点只需令y=0,问题转化为方程在某区间内有解,分离参数把问题转化为与在某区间有交点问题,研究函数的单调性与图象得出答案.试题解析:(1)令,则∵∴;(2)令,易得:.在上存在,使得成立,等价于方程在有解.即.设函数.设是上任意两个实数,且,则.由,得,于是,即,所以函数在上是增函数.∴实数的取值范围是.【点睛】本题为抽象函数问题,解决抽象函数的基本方法有两种:一是赋值法,二是“打回原型”,本题第一步采用赋值法,求函数的零点只需令y=0,问题转化为方程在某区间内有解,分离参数把问题转化为两个函数图象在某区间有交点问题,研究函数的单调性与图象得出答案.21.已知函数的定义域是.(1)判断在上的单调性,并证明;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:首先要注意到大家熟知的常用的函数,第一定义域为R,第二这个函数是奇函数,第三它是单增函数,熟悉这3条,本题的第一步就只需按定义去证明了,有了函数的单调性,利用函数的单调性与奇偶性解不等式,利用极值原理求出参数的取值范围.试题解析:(1)因为函数的定义域为,对于函数定义域内的每一个,都有所以,函数是奇函数.设是上任意两个实数,且,则.由,得,即.于是,即.所以函数在上是増函数,且易证函数在上是増函数,且.∵∴函数在上是増函数.(2)等价于,即原条件等价于对任意恒成立,只需要.令,设函数.由函数的单调性可知.∴∴实数的取值范围.【点睛】:首先要注意到大家熟知的常用的函数,第一定义域为R,第二这个函数是奇函数,第三它是单增函数,熟悉这3条,本题的第一步就只需按定义去证明了,这样的函数很多,需要自己多总结,有了函数的单调性,利用函数的单调性与奇偶性解不等式,利用极值原理求出参数的取值范围.22.已知函数.(1)证明:对任意的,函数的图像与直线最多有一个交点;(2)设函数,若函数与函数的图像至少有一个交点,求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:两个函数图象的交点个数问题等价转化后为方程的解的个数讨论问题,针对参数b和两种情况进行讨论,研究图象的交点个数;当研究对数方程时,利用同底对数相等,只需真数大于零且相等,令转化为二次方程的根的分布问题,根据判别式等要求,列不等式求解.试题解析:(1)证明:原问题等价于解的讨论.因为,即.当时,方程无解,即两图像无交点;当时,方程有一解,即两图像有一个交点,得证.(2)函数与函数的图像至少有一个交点,等价于方程至少有一个解.即.设,即方程至少有一个正解.当时,即∵∴不符合题意当时,方程有一个正解,符合题意.当时,即.此时方程有两个不同的正解.综上所述:实数的取值范围是.转化成.利用函数单调性也可以处理.【点睛】本题可归纳到函数零点的问题,函数零点有三种解释,两个函数图象的交点个数问题等价转化后为方程的解的个数讨论问题,针对参数b和两种情况进行讨论,研究图象的交点个数;当研究对数方程时,利用同底对数相等,只需真数大于零且相等,令转化为二次方程的根的分布问题,根据判别式等要求,列不等式求解.。
【精品】2018年江西省赣州市寻乌中学高一上学期期中数学试卷
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2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|(x﹣2)(x+1)<0},B={x∈Z|﹣1≤x≤1},则A∩B=()A.{﹣1,0}B.{0,1}C.{﹣1,0,1}D.{﹣1,2}2.(5分)函数f(x)=的定义域为()A.(0,1) B.(1,2) C.(0,1)∪(1,2)D.(0,2)3.(5分)已知a=0.771.2,b=1.20.77,c=π0,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b4.(5分)已知奇函数f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,则不等式f()+f(2x﹣1)>0的解集是()A.(﹣∞,) B.[﹣,+∞)C.(﹣6,﹣)D.(﹣,)5.(5分)函数f(x)=()x﹣()x﹣1+2(x∈[﹣2,1])的值域是()A.(,10]B.[1,10] C.[1,]D.[,10]6.(5分)已知函数f(x)=log4(ax2﹣4x+a)(a∈R),若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是()A.[0,2]B.(2,+∞)C.(0,2]D.(﹣2,2)7.(5分)已知a>0,设函数f(x)=+x3(x∈[﹣a,a])的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为()A.2016 B.4026 C.4027 D.40288.(5分)集合A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x},则集合A与集合B之间的关系()A.A⊆B B.B⊆A C.B⊊A D.A⊊B9.(5分)若关于x的方程a2﹣2a=|a x﹣1|(a>0且a≠1)有两个不等实根,则实数a的取值范围是()A.(2,+1) B.(,+1)C.(,2)D.(,2)∪(2,+1)10.(5分)已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则由a,b,3b,b2,a﹣2b构成的包含元素最多的集合的子集个数是()A.32 B.16 C.8 D.411.(5分)已知函数g(x)=,若关于x的方程g2(x)﹣ag(x)+b=0有7个不同实数解则()A.a>0且b=0 B.a>0且b>0 C.a=0且b>0 D.a<0且b=012.(5分)已知非空集合A、B,A={x|log(x2﹣2x﹣3)>x2﹣2x﹣9},A⊆B,则集合B可以是()A.(﹣1,0)∪(4,6)B.(﹣2,﹣1)∪(3,4) C.(﹣3,3)D.(﹣3,﹣1)∪(4,6)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知关于x的函数y=(m2﹣3)x2m是幂函数,则m=.14.(5分)若f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x(x﹣2),则当x<0时,f (x)=.15.(5分)若x1满足3x+3x﹣1=7,x2满足3x+3log3(x﹣2)=7,则x1+x2=.16.(5分)设x>0,y>0,已知(﹣x+1)(﹣y+1)=2,则xy﹣2=.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)计算下列各式的值:(1)已知5x=3y=45,求的值;(2)(log38+log94)(log427+log89).18.(12分)已知A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x||x﹣1|<a}.(1)若A⊊B,求实数a的取值范围;(2)若B⊊A,求实数a的取值范围.19.(12分)如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为12,腰长为4,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l把梯形分成两部分.(1)令BF=x(0<x<12),试写出直线右边部分的面积y与x的函数解析式;(2)在(1)的条件下,令y=f(x).构造函数g(x)=.①判断函数g(x)在(4,8)上的单调性;②判断函数g(x)在定义域内是否具有单调性,并说明理由.20.(12分)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)﹣f(y)=(x+2y+2)x成立,且f(2)=12.(1)求f(0)的值;(2)在(1,4)上存在x0∈R,使得f(x0)﹣8=ax0成立,求实数a的取值范围.21.(12分)已知函数的定义域是R.(1)判断f(x)在R上的单调性,并证明;(2)若不等式f(m•3x)+f(3x﹣9x﹣4)<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=log2(2x+1)﹣.(1)证明:对任意的b∈R,函数f(x)=log2(2x+1)﹣的图象与直线y=+b最多有一个交点;(2)设函数g(x)=log4(a﹣2x),若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象至少有一个交点,求实数a的取值范围.2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|(x﹣2)(x+1)<0},B={x∈Z|﹣1≤x≤1},则A∩B=()A.{﹣1,0}B.{0,1}C.{﹣1,0,1}D.{﹣1,2}【解答】解:∵集合A={x|(x﹣2)(x+1)<0}={x|﹣1<x<2},B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1,0,1},∴A∩B={0,1}.故选:B.2.(5分)函数f(x)=的定义域为()A.(0,1) B.(1,2) C.(0,1)∪(1,2)D.(0,2)【解答】解:要使函数f(x)=有意义,则,解得0<x<2且x≠1.∴函数f(x)=的定义域为:(0,1)∪(1,2).故选:C.3.(5分)已知a=0.771.2,b=1.20.77,c=π0,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b【解答】解:∵0<a=0.771.2<0.770=1,b=1.20.77>1.20=1,c=π0=1,∴a<c<b.故选:C.4.(5分)已知奇函数f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,则不等式f()+f(2x﹣1)>0的解集是()A.(﹣∞,) B.[﹣,+∞)C.(﹣6,﹣)D.(﹣,)【解答】解:f(x)是奇函数,所以不等式f()+f(2x﹣1)>0等价于f()>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x),又f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,所以,即,解得﹣<x<,则不等式的解集为(﹣,).故选:D.5.(5分)函数f(x)=()x﹣()x﹣1+2(x∈[﹣2,1])的值域是()A.(,10]B.[1,10] C.[1,]D.[,10]【解答】解:令t=()x(x∈[﹣2,1]),则t∈[,4],f(x)=g(t)=t2﹣2t+2(t∈[,4]),由g(t)=t2﹣2t+2的图象是开口朝上,且以直线t=1为对称轴的抛物线,故当t=1时,函数取最小值1,当t=4时,函数取最大值10,故函数的值域为[1,10],故选:B.6.(5分)已知函数f(x)=log4(ax2﹣4x+a)(a∈R),若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是()A.[0,2]B.(2,+∞)C.(0,2]D.(﹣2,2)【解答】解:函数f(x)=log4(ax2﹣4x+a)(a∈R),f(x)的值域为R,只需保证函数y=ax2﹣4x+a的值域能取到大于等于0的数.当a=0时,函数y值域能取到大于等于0的数,当a≠0时,要使函数y值域能取到大于等于0的数,则需满足,解得:0<a≤2.综上所得:实数a的取值范围是[0,2].故选:A.7.(5分)已知a>0,设函数f(x)=+x3(x∈[﹣a,a])的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为()A.2016 B.4026 C.4027 D.4028【解答】解:函数f(x)=+x3=+x3在[﹣a,a]是增函数∴f(x)的最大值为M=f(a),最小值为N=f(﹣a),M+N═f(a)+f(﹣a)═2016×2+=4032﹣5=4027则M+N的值为4027故选:C.8.(5分)集合A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x},则集合A与集合B之间的关系()A.A⊆B B.B⊆A C.B⊊A D.A⊊B【解答】集合A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x},证明:设:a∈A,则:a=f(a)∴f[f(a)]=f(a)=a∴a∈B即a的元素一定是B的元素.∴A包含于B.故选:A.9.(5分)若关于x的方程a2﹣2a=|a x﹣1|(a>0且a≠1)有两个不等实根,则实数a的取值范围是()A.(2,+1) B.(,+1)C.(,2)D.(,2)∪(2,+1)【解答】解:据题意,函数y=|a x﹣1|(a>0,a≠1)的图象与直线y=a2﹣2a有两个不同的交点.a>1时0<a<1时由图知,0<a2﹣2a<1,所以a∈(2,+1)故选:A.10.(5分)已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则由a,b,3b,b2,a﹣2b构成的包含元素最多的集合的子集个数是()A.32 B.16 C.8 D.4【解答】解:设t=log b a,由a>b>1知t>1,代入log a b+log b a=t+=,即3t2﹣10t+3=0,解得t=3或t=(舍去),所以log b a=3,即a=b3,因为a b=b a,所以b3b=b a,则a=3b=b3,解得b=,a=3,a,b,3b,b2,a﹣2b分别为:;;3;3;;组成集合{,3,3}.它的子集个数为:23=8.故选:C.11.(5分)已知函数g(x)=,若关于x的方程g2(x)﹣ag(x)+b=0有7个不同实数解则()A.a>0且b=0 B.a>0且b>0 C.a=0且b>0 D.a<0且b=0【解答】解:g(x)图象如图:令g(x)=t,由图象可得:g(x)=t>0有4个不相等的根,g(x)=t=0有3个不相等的根,g (x)=t<0没有实数根.∵题中原方程g2(x)﹣ag(x)+b=0有且只有7个不同实数解,∴t2﹣at+b=0有两个实根,且一根为0,一根大于零∴a>0,b=0,故选:A.12.(5分)已知非空集合A、B,A={x|log(x2﹣2x﹣3)>x2﹣2x﹣9},A⊆B,则集合B可以是()A.(﹣1,0)∪(4,6)B.(﹣2,﹣1)∪(3,4) C.(﹣3,3)D.(﹣3,﹣1)∪(4,6)【解答】解:由题意:A={x|log(x2﹣2x﹣3)>x2﹣2x﹣9},∵x2﹣2x﹣3>0,解得:x>3或x<﹣1,又∵log(x2﹣2x﹣3)>x2﹣2x﹣9,解得:﹣2<x<4,∵A⊆B∴集合B=(﹣2,﹣1)∪(3,4)故选:B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知关于x的函数y=(m2﹣3)x2m是幂函数,则m=±2.【解答】解:由幂函数的定义得:m2﹣3=1,解得:m=±2,故答案为:±2.14.(5分)若f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x(x﹣2),则当x<0时,f (x)=x(x+2).【解答】解:对任意x<0,则﹣x>0,∵当x>0时,f(x)=x(x﹣2),∴f(﹣x)=﹣x(﹣x﹣2),∵函数f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x),即f(﹣x)=)=﹣x(﹣x﹣2)=f(x).∴f(x)=x(x+2),(x<0).15.(5分)若x1满足3x+3x﹣1=7,x2满足3x+3log3(x﹣2)=7,则x1+x2=.【解答】解:∵x1满足3x+3x﹣1=7,x2满足3x+3log3(x﹣2)=7,∴=﹣x1=﹣(x1﹣2),log3(x2﹣2)=﹣x2=﹣(x2﹣2).y=与y=log3(x2﹣2)是函数y=3x与y=log3x化为反函数向右平移2个单位得到的,关于y=x﹣2对称,∴x1﹣2+x2﹣2=,化为x1+x2=.故答案为:.16.(5分)设x>0,y>0,已知(﹣x+1)(﹣y+1)=2,则xy﹣2=﹣1.【解答】解:设x=tanα>0,y=tanβ>0,则(﹣x+1)(﹣y+1)=2即为(﹣tanα+1)(﹣tanβ+1)=2,即有(secα﹣tanα+1)(secβ﹣tanβ+1)=2,即•=2,由==,可得•=2,即有(1+tan)(1+tan)=2,即tan+tan=1﹣tan tan,可得tan==1,由α,β为锐角,可得=45°,则α+β=90°,即有xy﹣2=tanαtanβ﹣2=tanαtan(90°﹣α)﹣2=tanαcotα﹣2=1﹣2=﹣1.故答案为:﹣1.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)计算下列各式的值:(1)已知5x=3y=45,求的值;(2)(log38+log94)(log427+log89).【解答】解:(1)∵5x=3y=45,∴x=log545,y=log345,∴;(2)(log38+log94)(log427+log89)=.18.(12分)已知A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x||x﹣1|<a}.(1)若A⊊B,求实数a的取值范围;(2)若B⊊A,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)∵A={x|x2﹣2x﹣3<0}=(﹣1,3)≠∅,B={x||x﹣1|<a}=(1﹣a,1+a),A⊊B,∴B≠∅,a>0,则B=(1﹣a,1+a).∵A⊊B,∴,或∴实数a的取值范围是(2,+∞).(2)当B=∅时,即a≤0,∴B⊊A.当B≠∅时,即a>0∵A=(﹣1,3),B=(1﹣a,1+a),B⊊A.∴,或,a<2.∴0<a<2.综上所述:实数a的取值范围是(﹣∞,2).19.(12分)如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为12,腰长为4,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l把梯形分成两部分.(1)令BF=x(0<x<12),试写出直线右边部分的面积y与x的函数解析式;(2)在(1)的条件下,令y=f(x).构造函数g(x)=.①判断函数g(x)在(4,8)上的单调性;②判断函数g(x)在定义域内是否具有单调性,并说明理由.【解答】解:(1)过点A.D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.∵ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=4cm,∴BG=AG=DH=HC=4cm,又∵BC=12cm,∴AD=GH=4cm,①当点F在BG上时,即x∈(0,4]时,f(x)=32﹣x2;②当点F在GH上时,即x∈(4,8]时,f(x)=8+4(8﹣x)=40﹣4x.③当点F在HC上时,=S梯形ACD﹣S三角形CEF即x∈(8,12)时,y=S五边形ABFEDf(x)=(12﹣x)2,∴函数解析式为f(x)=,(2)g(x)=,①由二次函数的性质可知,函数g(x)在(4,8)上是减函数.②虽然g(x)在(0,4)和(4,8)单调递减,但是g(3.9)=24.395,g(4.1)=44.84,∴g(3.9)<g(4.1).因此函数g(x)在定义域内不具有单调性.20.(12分)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)﹣f(y)=(x+2y+2)x成立,且f(2)=12.(1)求f(0)的值;(2)在(1,4)上存在x0∈R,使得f(x0)﹣8=ax0成立,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)令x=2,y=0,则f(2+0)﹣f(0)=(2+0+2)×2=8.∵f(2)=12,∴f(0)=4.(2)令y=0,易得:f(x)=x2+2x+4.在(1,4)上存在x0∈R,使得f(x0)﹣8=ax0成立,等价于方程x2+2x=4﹣8=ax在(1,4)内有解.即a=x+2﹣,1<x<4.设函数g(x)=x﹣+2(x∈(1,4)).设x1,x2是(1,4)上任意两个实数,且x1<x2,则g(x1)﹣g(x2)=(x1﹣x2).由1<x1<x2<4,得x1﹣x2<0,于是g(x1)﹣g(x2)<0,即g(x1)<g(x2),所以函数g(x)=x﹣+2在(1,4)上是增函数.∴实数a的取值范围是(﹣1,5).21.(12分)已知函数的定义域是R.(1)判断f(x)在R上的单调性,并证明;(2)若不等式f(m•3x)+f(3x﹣9x﹣4)<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)因为函数f(x)的定义域为A,对于函数f(x)定义域内的每一个x,都有所以,函数是奇函数.设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则.由0<x1<x2,得x1﹣x2<0,即.于是f(x 1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以函数在(0,+∞)上是増函数,且f(x)>0易证函数f(x)在(﹣∞,0)上是増函数,且f(x)<0.∵f(0)=0∴函数f(x)在R上是増函数.(2)f(m•3x)+f(3x+1﹣9x﹣4)<0等价于m•3x<﹣3x+1+9x+4,即原条件等价于对任意x∈R恒成立,只需要.令t=3x>0,设函数.由函数g(t)的单调性可知g(t)min=1.∴∴实数m的取值范围(﹣∞,1).22.(12分)已知函数f(x)=log2(2x+1)﹣.(1)证明:对任意的b∈R,函数f(x)=log2(2x+1)﹣的图象与直线y=+b 最多有一个交点;(2)设函数g(x)=log4(a﹣2x),若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象至少有一个交点,求实数a的取值范围.【解答】(1)证明:原问题等价于log2(2x+1)﹣=+b解的讨论.因为2x+1=2x+b,即2x(2b﹣1)=1.﹣﹣(2分)当b≤0时,方程无解,即两图象无交点;﹣﹣(3分)当b>0时,方程有一解,即两图象有一个交点,得证.﹣﹣(4分)(2)函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象至少有一个交点,等价于方程log2(2x+1)﹣=log4(a﹣2x)至少有一个解,即(2x+1)2=2x(a﹣2x).﹣﹣(6分)设u=2x>0,即方程2u2+(2﹣a)u+1=0至少有一个正解.﹣﹣(8分)①当△=(2﹣a)2﹣8=0时,即a=2±2,∵a>2x>0,∴a=2﹣2不符合题意,当a=2+2时,方程有一个正解,符合题意.②当时,即a>2+2,此时方程有两个不同的正解.综上所述:实数a的取值范围是[2+2,+∞).赠送:初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型:图形特征:l运用举例:1. △ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为AP的中点,则MF的最小值为B2.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,则EF+BF的最小值为_________。
江西省赣州市寻乌中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题+PDF版含答案
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a __________.
14.若 cos 75
1 ,则 sin 60 2 __________. 3
15. 已 知 函 数 f x lg x 1 , 实 数 a, b 满 足 : a b, 且f a f
b 1 ,则 b2
3
B. , 0, 4
3
C.
3 3 , 3 3
D. , 0 3
2
10. 设 函 数 f x 是 定 义 在 0, 上 的 单 调 函 数 , 且 对 x 0, 都 有
13 2 4
C.
1 16
D.
1 32
8. 在 ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c,S 表 示 ABC 的 面 积 , 若
S
1 2 2 b c a 2 ,则 A 4
A. 90
B. 60
C. 45
2 2
D. 30 Nhomakorabea9.直线 y kx 3与圆 x 3 y 2 4 相交于 M 、N 两点,若 MN 2 3 ,则 k 的 取值范围是 A. , 0 4
, x R, f x 的 最 小 值 为 2
4, f 0 2 2 ,且相邻两条对称轴之间的距离为 .
(I)当 x
时,求函数 f x 的最大值和最小值; , 2 2 5 , ,且 f x 1,求 cos x 的值. 12 2
x ,直线 y 2 x和x 轴所围成图形的面积为 S,则 S _______.
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一(上)期中化学试卷
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2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一(上)期中化学试卷一、选择题(本题共25小题,每小题2分,共50分.每小题只有一个选项符合题意.)1.(2分)化学与生活、生产密切相关,下列说法正确的是()A.制作宇航员航天服的聚酯纤维不属于新型无机非金属材料B.煤的主要成分为单质碳、苯、二甲苯等,可通过煤的干馏将它们分离C.PM2.5是指粒径在2.5微米以下的颗粒物,其在空气中形成的分散系属于胶体D.为防止中秋月饼等富脂食品氧化变质,常在包装中放入生石灰2.(2分)下列各组物质,前者属于电解质,后者属于非电解质的是()A.NaCl、BaSO4B.铜、二氧化硫C.KOH、蔗糖D.KNO3、硫酸溶液3.(2分)在下列溶液中通入CO2气体至过量,原溶液最终出现浑浊状态的是()A.澄清石灰水B.氢氧化钡溶液C.氯化钙溶液D.饱和碳酸钠溶液4.(2分)在空气中,有下列反应发生:①N2+O2═2NO;②2NO+O2═2NO2;③3NO2+H2O═2HNO3+NO;④2SO2+O2═2SO3;⑤SO3+H2O═H2SO4;⑥SO2+H2O═H2SO3;⑦3O2═2O3.其中属于氧化还原反应的是()A.①②③④B.①②③④⑦C.①②④⑦D.①②③④⑤⑥⑦5.(2分)把0.05mol NaOH固体分别加入下列100mL液体中,溶液的导电性基本不变的是()A.自来水B.0.5mol•L﹣1的盐酸C.0.5mol•L﹣1的醋酸D.0.5mol•L﹣1的氨水6.(2分)下列变化中,必须加入氧化剂才能发生的是()A.SO2→S B.SO32﹣→SO2C.Fe2+→Fe3+D.HCO3﹣→CO32﹣7.(2分)下列事故处理方法正确的是()A.汽油失火时,立即用水灭火B.实验室不小心碰翻酒精灯引起实验桌上洒落的少量酒精起火时,迅速用泡沫灭火器灭火C.浓NaOH溶液溅到皮肤上,立即用水冲洗,然后涂上稀硼酸溶液D.浓硫酸溅到皮肤上,立即用稀NaOH溶液洗涤8.(2分)下列各组离子能大量共存的是()A.Na+、Mg2+、CO32﹣、I﹣B.H+、NO3﹣、Fe2+、Br﹣C.NH4+、K+、SO42﹣、Cl﹣D.Na+、S2﹣、Cu2+、SO32﹣9.(2分)用N A表示阿伏加德罗常数的值,下列叙述正确的是()A.ag C2H4和C3H6的混合物所含原子总数为B.0.5mol/L MgCl2溶液,含有Cl﹣离子数为N AC.10 mL 质量分数为98%的H2SO4,用水稀释至100 mL,H2SO4的质量分数为9.8%D.300 mL 2 mol/L 蔗糖溶液中所含分子数大于0.6N A10.(2分)下列叙述正确的是()A.锥形瓶可用作加热的反应器B.室温下,不能将浓硫酸盛放在铁桶中C.在50mL量筒中配置0.1000mol•L﹣1碳酸钠溶液D.用蒸馏水润湿的试纸测溶液的pH,一定会使结果偏低11.(2分)使用容量瓶配制溶液时,由于操作不当,会引起误差,下列情况会使所配溶液浓度偏低的是()①用天平(使用游码)称量时,被称量物与砝码的位置放颠倒了②有些固体溶解会放热,若未经冷却即转移至容量瓶③溶液转移到容量瓶后,烧杯及玻璃棒未用蒸馏水洗涤④转移溶液前容量瓶内有少量蒸馏水⑤定容时,仰视容量瓶的刻度线⑥定容后摇匀,发现液面降低,又补加少量水,重新达到刻度线.A.①③⑤⑥B.①②⑤⑥C.②③④⑥D.③④⑤⑥12.(2分)在同温、同压条件下,两种物质的量相同的单质气体之间的关系是()①具有相同的密度②具有相同的体积③具有相同的原子数④具有相同的分子数.A.①③B.②④C.①④D.③④13.(2分)在三个体积相同的密闭容器中分别充入Ne、H2、O2三种气体,当它们的温度和密度都相同时,这三种气体的压强(p)从大到小的是()A.p (Ne)>p (H2)>p (O2)B.p (O2)>p (Ne)>p (H2)C.p (H2)>p (O2)>p (Ne)D.p (H2)>p (Ne)>p (O2)14.(2分)下列各组溶液,只要用试管和胶头滴管,不用任何化学试剂就可以鉴别的是()A.HCl 和Na2CO3B.稀H2SO4和NaHCO3C.CaCl2和Na2CO3D.Ba(OH)2和NaHSO415.(2分)在水溶液中能大量共存,且加入过量稀硫酸溶液时,有气体生成的是()A.Na+、Ag+、CO32﹣、Cl﹣B.K+、Ba2+、SO42﹣、Cl﹣C.Na+、K+、CO32﹣、Cl﹣ D.Na+、K+、Cl﹣、SO42﹣16.(2分)离子方程式:BaCO3+2H+═CO2↑+H2O+Ba2+中H+不能代表的物质是()①HCl②H2SO4③HNO3④NaHSO4 ⑤CH3COOH.A.①③B.①④⑤C.②④⑤D.①⑤17.(2分)R、X、Y和Z是四种元素,其常见化合价均为+2价,且X2+与单质R 不反应;X2++Z=X+Z2+;Y+Z2+=Y2++Z.这四种离子的氧化性大小顺序正确的是()A.R2+>X2+>Z2+>Y2+B.X2+>R2+>Y2+>Z2+C.Y2+>Z2+>R2+>X2+D.Z2+>X2+>R2+>Y2+18.(2分)下列离子方程式正确的是()A.向盐酸中滴加氨水:H++OH﹣═H2OB.氯化钙与碳酸氢钾溶液混合:Ca2++CO32﹣═CaCO3↓C.氢氧化铝中和胃酸:Al(OH)3+3H+═Al3++3H2OD.Ca(HCO3)2溶液中加入过量KOH溶液:Ca2++HCO3﹣+OH﹣═CaCO3↓+H2O 19.(2分)下列各组在溶液中的反应,不管反应物的量是多少,都能用同一离子方程式表示的是()A.NaOH 与CO2B.Ba(OH)2与H2SO4C.HC1 与Na2CO3D.NaHCO3与Ca(OH)220.(2分)在KClO3+6HCl(浓)═KCl+3Cl2+3H2O的反应中,当有10mol电子发生转移后,被氧化的氯原子与被还原的氯原子的物质的量之比是()A.1:5 B.5:1 C.6:1 D.1:621.(2分)甲、乙、丙、丁四种易溶于水的物质,分别由NH4+、Ba2+、Mg2+、H+、OH﹣、Cl﹣、HCO3﹣、SO42﹣中的不同阳离子和阴离子各一种组成,已知:①将甲溶液分别与其他三种物质的溶液混合,均有白色沉淀生成;②0.1mol/L乙溶液中c(H+)>0.1mol/L;③向丙溶液中滴入AgNO3溶液有不溶于稀HNO3的白色沉淀生成。
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一数学上期末考试试题
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2017-2018学年度江西省寻乌中学上学期期末考试高一数学第I 卷(共48 分)、选择题:本大题共 12个小题,每小题4分,共48分在每小题给出的四个选项中,只有 项是符合题目要求的1•若集合 A ={x|x :::3}, B 二{x|x .0},则 A B 二()6. 过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) D . 3x y —5=02 0 37. 右 a = 0.3 , b = log 20.3,c = 2 ,则 a,b,c 的大小关系是()A . a ::: c ::: bB . a ::: b ::: cC . b ::: a ::: cD . b ::: c ::: a8. 若函数f (x )=ka -a 」(a .0,a=1)在(-兀'‘二:)上既是奇函数又是增函数,则函数 A . { x | 0 ::: x ::: 3} B . {x | x . 0} C . { x | x ::: 3} D . R2. 已知二是锐角,那么2.二是()A .第一象限角B .第二象限角C .第一或第三象限角D .小 于180 的正角3. 已知UABC 在斜二测画法下的平面直观图 ."■:A B C /-:A B C •是边长为a 的正三角形,那么 在原UABC 的面积为()\3 2 A. --- a 4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球 的表面积是()A . 25 二B . 50C . 125二D .都不对 5.在空间直角坐标系中,点 P (1,3,-5)关于xOy 面对称的点的坐标是() A . ( —1,3, —5) B . (1,—3,5) C . (1,3,5) D . (―1,—3,5)C. 2。
数学---江西省赣州市寻乌二中2018届高三(上)期中试卷(理)(解析版)
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江西省赣州市寻乌二中2018届高三(上)期中数学试卷(理科)一、选择题(60分)1.(5分)已知集合,,则A∩(∁R B)=()A.∅B.C.D.(﹣1,1]2.(5分)已知i为虚数单位,为复数z的共轭复数,若,则=()A.1+i B.1﹣iC.3+i D.3﹣i3.(5分)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币,直径22毫米,面额100元.为了测算图中军旗部分的面积,现向硬币内随机投掷100粒芝麻,已知恰有30粒芝麻落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是()A.B.C.D.4.(5分)设a=,b=,c=lnπ,则()A.c<a<b B.a<c<bC.a<b<c D.b<a<c5.(5分)如图给出的是计算的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是()A.i≤21 B.i≤11 C.i≥21 D.i≥116.(5分)如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.B.7 C.D.7.(5分)函数y=的图象大致为()A.B.C.D.8.(5分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=﹣A cosωx的图象,可以将f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度9.(5分)函数f(x)定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x),若在区间[﹣1,1]上f(x)=,则f(2017)+f(2018)=()A.0 B.1 C.2 D.201810.(5分)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,S n为数列{a n}的前n项和,则的最小值为()A.4 B.3 C.2﹣2 D.211.(5分)已知F1,F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()A.4+2B.﹣1 C.D.12.(5分)设f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有f(x)+xf'(x)>0,则不等式(x+2017)f(x+2017)+f(﹣1)>0的解集为()A.(﹣∞,﹣2017)B.(﹣2018,0)C.(﹣2018,﹣2017)D.(﹣∞,﹣2018)二、填空题(20分)13.(5分)已知向量,,,且,则sin2θ等于.14.(5分)已知函数f(x)=x3+2x,若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线经过圆C:x2+(y﹣a)2=2的圆心,则实数a的值是.15.(5分)已知x,y满足其中,若sin(x+y)的最大值与最小值分别为1,,则实数t的取值范围为.16.(5分)设函数f(x)=x3+(+2)x2﹣2x,(x>0),若对于任意的t∈[1,2],函数f(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,则m的取值范围是为.三、解答题(70分)17.(12分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.(1)求角B的大小;(2)若动点D在△ABC的外接圆上,且点D,B不在AC的同一侧,AC=7,试求△ACD 面积的最大值.18.(12分)如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A市的普及情况,A市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查,并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析,得到下表:(单位:人)(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖的情况与性别有关?(2)①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券,求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率;②将频率视为概率,从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常使用网络外卖的人数为X,求X的数学期望和方差.参考公式:,其中n=a+b+c+d.参考数据:19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,P A=PB=AB=2,点N为AB的中点.,(Ⅰ)证明:AB⊥PC;(Ⅱ)设点M在线段PD上,且PB∥平面MNC,若平面P AB⊥平面ABCD,求二面角M﹣NC﹣P的大小.20.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,A,B分别是椭圆的上顶点、右顶点,原点O到直线AB的距离为.(1)求E的方程;(2)直线l1,l2的斜率均为,直线l1与E相切于点M(点M在第二象限内),直线l2与E相交于P,Q两点,MP⊥MQ,求直线l2的方程.21.(12分)已知函数f(x)=(x2﹣2x)•ln x+ax2+2.(1)当a=﹣1时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)﹣x﹣2,①若函数g(x)有且仅有一个零点时,求a的值;②在①的条件下,若e﹣2<x<e,g(x)≤m,求m的取值范围.选做题.(请从22、23、二道题中任选一题作答)22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为,以O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C2交于P,Q两点,求|OP|•|OQ|的值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣2|+|2x+a|,a∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥5;(2)若存在x0满足f(x0)+|x0﹣2|<3,求a的取值范围.【参考答案】一、选择题1.B【解析】,,∴,∴.故选:B.2.D【解析】设z=a+b i,(a,b∈R),则,∴=3a﹣b i=9﹣i,∴3a=9,b=1,得a=3,b=1.∴z=3+i,则.故选:D.3.C【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为22mm,得半径r=11mm,则圆形金质纪念币的面积为πr2=π×112=121π,∴估计军旗的面积大约是mm2.故选:C.4.C【解析】∵a=<0,0<b=<1,c=lnπ>1,∴a<b<c.故选:C.5.D【解析】∵S=并由流程图中S=S+故循环的初值为1终值为10、步长为1故经过10次循环才能算出S=的值,故i≤10,应不满足条件,继续循环∴当i≥11,应满足条件,退出循环填入“i≥11”.故选D.6.B【解析】如图所示,由已知三视图可知:该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥.∴该多面体的体积V=23﹣﹣=7.故选:B.7.D【解析】令y=f(x)=,∵f(﹣x)==﹣=﹣f(x),∴函数y=为奇函数,∴其图象关于原点对称,可排除A;又当x→0+,y→+∞,故可排除B;当x→+∞,y→0,故可排除C;而D均满足以上分析.故选D.8.B【解析】由图象看出振幅A=1,又,所以T=π,所以ω=2,再由+Φ=π,得Φ=,所以f(x)=sin(2x+),要得到g(x)=﹣A cosωx=﹣cos2x的图象,把f(x)=sin(2x+)中的x变为x﹣,即f(x﹣)=sin[2(x﹣)+]= sin(2x﹣)=﹣cos2x.所以只要将f(x)=sin(2x+)向右平移个单位长度就能得到g(x)的图象.故选B.9.C【解析】∵函数f(x)定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x),在区间[﹣1,1]上f(x)=,∴f(2017)=f(1)=(a﹣2)e,f(2018)=f(0)=2,∵f(1)=f(﹣1)=﹣a+2,∴﹣a+2=(a﹣2)e,解得a=2,∴f(2017)=0,f(2017)+f(2018)=0+2=2.故选:C.10.A【解析】∵a1,a3,a13成等比数列,a1=1,∴a32=a1a13,∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d=2.∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1.S n=n+×2=n2.∴===n+1+﹣2≥2﹣2=4,当且仅当n+1=时取等号,此时n=2,且取到最小值4,故选:A.11.D【解析】依题意可知双曲线的焦点为F1(﹣c,0),F2(c,0),∴F1F2=2c,∴三角形高是c,M(0,c),所以中点N(﹣,c),代入双曲线方程得:=1,整理得:b2c2﹣3a2c2=4a2b2,∵b2=c2﹣a2,∴c4﹣a2c2﹣3a2c2=4a2c2﹣4a4,整理得e4﹣8e2+4=0,求得e2=4±2,∵e>1,∴e=+1,故选D12.C【解析】根据题意,令g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x),又由f(x)+xf'(x)>0,则g′(x)>0,则g(x)在(﹣∞,0)递增,由(x+2017)f(x+2017)+f(﹣1)>0,即(x+2017)f(x+2017)>﹣f(﹣1);得g(x+2017)>g(﹣1),故﹣1<x+2017<0,解得:﹣2018<x<﹣2017,即不等式(x+2017)f(x+2017)+f(﹣1)>0的解集为(﹣2018,﹣2017);故选:C.二、填空题13.【解析】根据题意,量,,,则2﹣=(3sinθ,2),又由,则有3sinθ×(﹣1)=2cosθ,即﹣3sinθ=2cosθ,化简可得,tanθ=﹣,sin2θ=2sinθcosθ===﹣,即sin2θ=;故答案为:.14.﹣2【解析】由f(x)=x3+2x,得f′(x)=3x2+2,∴曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣3=5×(x﹣1),即5x﹣y﹣2=0.又圆C:x2+(y﹣a)2=2的圆心坐标为(0,a),∴﹣a﹣2=0,得a=﹣2.故答案为:﹣2.15.【解析】作出实数x,y满足约束条件对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).令z=x+y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最小,此时z最小.由A(,0),代入目标函数z=x+y得z=.即目标函数z=x+y的最小值为.此时sin(x+y)的最小值为,当直线y=﹣x+z经过点B时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大.由,解得B(,t﹣),代入目标函数z=x+y得z=t﹣.sin(x+y)的最大值与最小值分别为1,,即,解得t∈,故答案为:.16.【解析】f(x)=x3+(+2)x2﹣2x,∵f(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且f′(0)=﹣2,∴,由题意得:对于任意的t∈[1,2],f′(t)<0恒成立,∴,∴﹣<m<﹣9,故答案为:.三、解答题17.解:(1)在△ABC中,∵,∴,由正弦定理,得,又0<C<π,∴sin C≠0,∴,即,又0<B<π,∴.(2)由点D在△ABC的外接圆上,B,D不在AC的同侧,得,在△ACD中,由余弦定理,得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD cos D≥2AD•CD(1﹣cos D)=AD•CD,即49≥AD•CD,当且仅当AD=CD时,取等号.∴△ACD的面积.18.解:(1)由列联表中的数据,计算K2的观测值=;所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下,认为A市使用网络外卖情况与性别有关;(2)①依题意,可知所抽取的5名女网民中,经常使用网络外卖的有(人),偶尔或不用网络外卖的有(人);则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为;②由2×2列联表,可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为,将频率视为概率,即从A市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得,所以;.19.证明:(Ⅰ)连结AC,∵AB=AC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,又点N为AB的中点,∴AB⊥NC,又∵P A=PB,N为AB的中点,∴AB⊥PN,又NC∩PN=N,∴AB⊥平面PNC,又PC⊂平面PNC,∴AB⊥PC.解:(Ⅱ)连结BD交NC于F,连结MF,∵PB∥平面MNC,PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面MNC=MF,∴PB∥MF,由(Ⅰ)知PN⊥AB,又平面P AB⊥平面ABCD,交线是AB,∴PN⊥平面ABCD,以N为原点,分别以NB、NC、NP所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,,0),N(0,0,0),P(0,0,),=(0,,0),=(1,0,﹣),设平面MNC的一个法向量为=(x,y,z),∴PB∥MF,∴,取x=,得=(),由(Ⅰ)知AB⊥平面PNC,则取PNC的一个法向量为=(1,0,0),cos<>==,∴<>=30°,∴二面角M﹣NC﹣P的大小为30°.20.解:(1)∵e==,∴,b=c,△OAB中,|OA|=c,|OB|=c,|AB|=c,∵原点O到直线AB的距离为,∴×=,∴c=1,∴a=,b=1,∴椭圆的方程为=1;(2)设直线l2:y=x+m,代入椭圆方程得x2+mx+m2﹣1=0,(*)△=﹣2m2+4=0,m=或m=﹣(舍去),此时方程(*)的解为x=﹣1,故M(﹣1,).△>0时,﹣<m<.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=﹣m,x1x2=m2﹣1.∴=(x1+1,y1﹣),=(x2+1,y2﹣),∴•=(x1+1,y1﹣)•(x2+1,y2﹣)=x1x2+(m+)(x1+x2)+(m2﹣)=•(m2﹣1)+(m+)(﹣m)+(m2﹣)=m(m﹣),∵MP⊥MQ,∴•=0,∴m(m﹣)=0,∴m=0或m=,∵﹣<m<,∴m=0,∴直线l2的方程:y=x.21.解:(1)当a=﹣1时,f(x)=(x2﹣2x)•ln x﹣x2+2,定义域(0,+∞)∴f′(x)=(2x﹣2)•ln x+(x﹣2)﹣2x.∴f′(1)=﹣3,又f(1)=1,∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程3x+y﹣4=0.(2)①令g(x)=f(x)﹣x﹣2=0则(x2﹣2x)•ln x+ax2+2=x+2,即a=,令h(x)=,则h′(x)=,令t(x)=1﹣x﹣2ln x,则t′(x)=,∵x>0,∴t′(x)<0,∴t(x)在(0,+∞)上是减函数,又∵t(1)=h′(1)=0,∴当0<x<1时,h′(x)>0,当x>1时,h′(x)<0,∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)max=h(1)=1,∴当函数g(x)有且仅有一个零点时a=1,②当a=1时,g(x)=(x2﹣2x)•ln x+x2﹣x,若e﹣2<x<e,g(x)≤m,只需证明g(x)max≤m,∴g′(x)=(x﹣1)(3+2ln x),令g′(x)=0得x=1或x=,又∵e﹣2<x<e,∴函数g(x)在(e﹣2,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,又g()=﹣e﹣3+2,g(e)=2e2﹣3e,∵g()=﹣e﹣3+2<2<2e<2e﹣)=g(e),∴g()<g(e),∴m≥2e2﹣3e.22.解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),转化为普通方程:,即,则C1的极坐标方程为,∵直线C2的方程为,∴直线C2的极坐标方程.(2)设P(ρ1,θ1),Q(ρ2,θ2),将代入,得:ρ2﹣5ρ+3=0,∴ρ1•ρ2=3,∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3.23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣2|+|2x+1|,.由f(x)≥5得x﹣2|+|2x+1|≥5.当x≥2时,不等式等价于x﹣2+2x+1≥5,解得x≥2,所以x≥2;当﹣<x<2时,不等式等价于2﹣x+2x+1≥5,即x≥2,所以此时不等式无解;当x≤﹣时,不等式等价于2﹣x﹣2x﹣1≥5,解得x≤﹣,所以x≤﹣.所以原不等式的解集为(﹣∞,﹣]∪[2,+∞).(2)f(x)+|x﹣2|=2|x﹣2|+|2x+a|=|2x﹣4|+|2x+a|≥|2x+a﹣(2x﹣4)|=|a+4|,因为原命题等价于(f(x)+|x﹣2|)min<3,所以|a+4|<3,所以﹣7<a<﹣1为所求实数a的取值范围.。
【精品】2018年江西省赣州市十四县(市)高一上学期期中数学试卷
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2017-2018学年江西省赣州市十四县(市)高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内)1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={2,3,5},N={4,5},则∁U(M∪N)等于()A.{1,3,5}B.{2,4,6}C.{1,5}D.{1,6}2.(5分)在①1⊆{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}⊆{0,1,2};④∅⊊{0}上述四个关系中,错误的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.(5分)设集合A={x|x+1>0},B={x|x﹣2<0}.则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x>﹣1}B.{x|x≥2}C.{x|x>2或x<﹣1}D.{x|﹣1<x<2} 4.(5分)下列函数中与函数y=x表示同一函数的是()A.y=()2B.y=C.y=D.y=5.(5分)函数y=(2k﹣1)x+b在(﹣∞,+∞)上是减函数,则()A.k B.k C.k D.k6.(5分)已知集合M={y|y=x2﹣1,x∈R},N={x|y=},则M∩N=()A.(﹣1,+∞)B.[﹣1,]C.[,+∞) D.∅7.(5分)下列式子中,成立的是()A.log78<log87 B.1.013.4>1.013.5C.3.50.3<3.40.3 D.log0.44>log0.468.(5分)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2﹣(x﹣1)在同一直角坐标系下的图象大致是()A.B.C.D.9.(5分)已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是()A.﹣3≤a<0 B.﹣3≤a≤﹣2 C.a≤﹣2 D.a<010.(5分)已知f(x)=ax5+bx3+cx﹣8,且f(﹣2)=4,那么f(2)=()A.﹣20 B.10 C.﹣4 D.1811.(5分)函数f(x)对任意正整数m、n满足条件f(m+n)=f(m)•f(n),且f(1)=2,则=()A.4032 B.2016 C.1008 D.2100812.(5分)函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x4m+3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0.则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断二、填空题:(本大题4个小题,每小题5分,共20分,各题答案必须填写在答题卡上)13.(5分)集合A={a﹣2,2a2+5a,12}且﹣3∈A,则a=.14.(5分)已知幂函数y=x m﹣3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则m=.15.(5分)已知全集U={x∈Z|﹣2<x<3},A={﹣1,1},函数f(x)=﹣x2,x ∈(∁U A),则函数f(x)的值域为.16.(5分)下列几个命题:①方程x2+(a﹣3)x+a=0有一个正实根,一个负实根,则a<0;②函数y=+是偶函数,但不是奇函数;③函数f(x)的值域是[﹣2,2],则函数f(x+1)的值域为[﹣3,1];④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a(a∈R)的公共点个数是m,则m的值不可能是1.其中正确的有.三、解答题:(本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|3≤x≤7},B={x|3<2x﹣1<19},求:(1)A∪B(2)(∁R A)∩B.18.(12分)(1)计算:;(2)解方程:.19.(12分)已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1﹣x),(a>0,a≠1).(1)设a=2,函数g(x)的定义域为[﹣15,﹣1],求g(x)的最大值;(2)当0<a<1时,求使f(x)﹣g(x)>0的x的取值范围.20.(12分)乒乓球是我国的国球,在2016年巴西奥运会上尽领风骚,包揽该项目全部金牌,现某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小时6元;乙家按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每张球台90元,超过20小时的部分,每张球台每小时2元,某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时收费为f(x)元(12≤x≤30),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x30),试求f(x)与g(x)的解析式;(2)选择哪家比较合算?为什么?21.(12分)已知函数f(x)=﹣x2+2ax+1﹣a,(1)若a=2,求f(x)在区间[0,3]上的最小值;(2)若f(x)在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.22.(12分)设函数f(x)=ka x﹣a﹣x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)﹣f(x﹣4)>0的解集;(2)若,且g(x)=a2x+a﹣2x﹣4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.2017-2018学年江西省赣州市十四县(市)高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内)1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={2,3,5},N={4,5},则∁U(M∪N)等于()A.{1,3,5}B.{2,4,6}C.{1,5}D.{1,6}【解答】解;∵M={2,3,5},N={4,5}∴M∪N={2,3,4,5}∵U={1,2,3,4,5,6}∴C U(M∪N)={1,6}故选:D.2.(5分)在①1⊆{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}⊆{0,1,2};④∅⊊{0}上述四个关系中,错误的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解答】解:元素属于集合用:∈表示,所以①错误;“∈“表示元素与集合的关系,不表示集合与集合的关系,所以②错误;根据子集的定义,{0,1,2}是自身的子集,空集是任何非空集合的真子集,所以③④正确;所表示的关系中,错误的个数是2.故选:B.3.(5分)设集合A={x|x+1>0},B={x|x﹣2<0}.则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x>﹣1}B.{x|x≥2}C.{x|x>2或x<﹣1}D.{x|﹣1<x<2}【解答】解:由题意A={x|x+1>0}={x|x>﹣1},B={x|x﹣2<0}={x|x<2}.又由图得,阴影部分对应的集合是(C R B)∩A,∴阴影部分表示的集合为{x|x≥2}故选:B.4.(5分)下列函数中与函数y=x表示同一函数的是()A.y=()2B.y=C.y=D.y=【解答】解:C.∵=x,与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样,∴二者是同一函数.故选:C.5.(5分)函数y=(2k﹣1)x+b在(﹣∞,+∞)上是减函数,则()A.k B.k C.k D.k【解答】解:∵函数y=(2k﹣1)x+b在(﹣∞,+∞)上是减函数,∴2k﹣1<0,解得k<.故选:A.6.(5分)已知集合M={y|y=x2﹣1,x∈R},N={x|y=},则M∩N=()A.(﹣1,+∞)B.[﹣1,]C.[,+∞) D.∅【解答】解:集合M={y|y=x2﹣1,x∈R}={y|y≥﹣1},对于,2﹣x2≥0,解得,N={x|},则M∩N=[﹣1,+∞)∩[]=.故选:B.7.(5分)下列式子中,成立的是()A.log78<log87 B.1.013.4>1.013.5C.3.50.3<3.40.3 D.log0.44>log0.46【解答】解:log78>log77=1,log87<log88=1,log78>log87;由y=1.01x在R上递增,可得1.013.4<1.013.5;由y=x0.3在x>0上递增,可得3.50.3>3.40.3;由y=log0.4x在x>0上递减,可得log0.44>log0.46.故选:D.8.(5分)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2﹣(x﹣1)在同一直角坐标系下的图象大致是()A.B.C.D.【解答】解:函数f(x)=1+log2x是增函数,过(1,1)点,g(x)=2﹣(x﹣1)=是减函数,过(0,1)点,可知两个函数的图象只有C满足题意.故选:C.9.(5分)已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是()A.﹣3≤a<0 B.﹣3≤a≤﹣2 C.a≤﹣2 D.a<0【解答】解:∵函数是R上的增函数设g(x)=﹣x2﹣ax﹣5(x≤1),h(x)=(x>1)由分段函数的性质可知,函数g(x)=﹣x2﹣ax﹣5在(﹣∞,1]单调递增,函数h(x)=在(1,+∞)单调递增,且g(1)≤h(1)∴∴解可得,﹣3≤a≤﹣2故选:B.10.(5分)已知f(x)=ax5+bx3+cx﹣8,且f(﹣2)=4,那么f(2)=()A.﹣20 B.10 C.﹣4 D.18【解答】解:∵f(x)=ax5+bx3+cx﹣8,且f(﹣2)=4,∴f(﹣2)=﹣32a﹣8b﹣2c﹣8=4,解得32a+8b+2c=﹣12,∴f(2)=32a+8b+2c﹣8=﹣12﹣8=﹣20.故选:A.11.(5分)函数f(x)对任意正整数m、n满足条件f(m+n)=f(m)•f(n),且f(1)=2,则=()A.4032 B.2016 C.1008 D.21008【解答】解析:∵f(x)对任意正整数m、n满足条件f(m+n)=f(m)•f(n),∴令n=1,可得f(m+1)=f(m)f(1),而f(1)=2,所以,,因此,分别取m=1,3,5,…,2015(共1008项)得,===…==2,所以,原式==2×=2016,故选:B.12.(5分)函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x4m+3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0.则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断【解答】解:∵函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x4m+3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足∴,解得m=2,∴f(x)=x11,∵a,b∈R,且a+b>0,ab<0.∴f(a)+f(b)=a11+b11>0.故选:A.二、填空题:(本大题4个小题,每小题5分,共20分,各题答案必须填写在答题卡上)13.(5分)集合A={a﹣2,2a2+5a,12}且﹣3∈A,则a=.【解答】解:集合A={a﹣2,2a2+5a,12}且﹣3∈A,所以a﹣2=﹣3,或2a2+5a=﹣3,解得a=﹣1或a=,当a=﹣1时a﹣2=2a2+5a=﹣3,所以a=.故答案为:.14.(5分)已知幂函数y=x m﹣3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则m=1.【解答】解:幂函数y=x m﹣3的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)递减,∴m﹣3<0,且m﹣3是偶数由m﹣3<0得m<3,又由题设m是正整数,故m的值可能为1或2验证知m=1时,才能保证m﹣3是偶数故m=1即所求.故答案为:1.15.(5分)已知全集U={x∈Z|﹣2<x<3},A={﹣1,1},函数f(x)=﹣x2,x ∈(∁U A),则函数f(x)的值域为{﹣4,0} .【解答】解:全集U={x∈Z|﹣2<x<3},A={﹣1,1},∴∁U A={0,2}f(x)=﹣x2,x∈(∁U A),即x∈{0,2},当x=0时,函数f(0)=0,当x=2时,函数f(2)=﹣4.∴函数f(x)的值域为{﹣4,0}.故答案为:{﹣4,0}.16.(5分)下列几个命题:①方程x2+(a﹣3)x+a=0有一个正实根,一个负实根,则a<0;②函数y=+是偶函数,但不是奇函数;③函数f(x)的值域是[﹣2,2],则函数f(x+1)的值域为[﹣3,1];④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a(a∈R)的公共点个数是m,则m的值不可能是1.其中正确的有①④.【解答】解:对于①,方程x2+(a﹣3)x+a=0有一个正实根,一个负实根,由一元二次方程根与系数关系,得x1x2=a<0,故①正确;对于②,函数的定义域为{x|0≤x2≤0}={0}∴定义域中只有一个元素0,并且f(0)=0,说明函数是既奇又偶函数,故②错;对于③,函数f(x+1)的图象可看作是由函数f(x)的图象向左平移一个单位而得,因此函数f(x+1)的值域与函数f(x)的值域相同,都是[﹣2,2],故③错;对于④,对于曲线y=|3﹣x2|,设函数F(x)=|3﹣x2|因为F(x)满足F(﹣x)=F(x)成立,所以函数F(x)是偶函数当x≠0时,若F(x)=a成立,必有互为相反数的x值(至少两个x)都适合方程,又∵F(0)=F(±)=3,a=3时,F(x)=a的根除0外还有±,共3个根∴方程F(x)=a的根的个数是2个或2个以上,不可能是1个,原命题“曲线y=|3﹣x2|和直线y=a(a∈R)的公共点个数是m,则m的值不可能是1.”成立,故④正确.故答案为:①④三、解答题:(本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|3≤x≤7},B={x|3<2x﹣1<19},求:(1)A∪B(2)(∁R A)∩B.【解答】解:(1)集合A={x|3≤x≤7},B={x|3<2x﹣1<19}={x|2<x<10},…2分∴A∪B={x|2<x<10};…5分(2)∁R A={x|x<3或x>7},…7分∴(∁R A)∩B={x|2<x<3或7<x<10}.18.(12分)(1)计算:;(2)解方程:.【解答】解:(1)原式=+(lg 5)0+=+1+=4.…(6分)(2)由方程log3(6x﹣9)=3得:6x﹣9=33=27,∴6x=36=62,∴x=2.经检验,x=2是原方程的解.…(12分)19.(12分)已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1﹣x),(a>0,a≠1).(1)设a=2,函数g(x)的定义域为[﹣15,﹣1],求g(x)的最大值;(2)当0<a<1时,求使f(x)﹣g(x)>0的x的取值范围.【解答】解:(1)当a=2时,g(x)=log2(1﹣x),在[﹣15,﹣1]为减函数,因此当x=﹣15时g(x)最大值为…(5分)(2)f(x)﹣g(x)>0,即f(x)>g(x),∴当0<a<1时,log a(1+x)>log a(1﹣x),满足,∴﹣1<x<0,故当0<a<1时解集为:{x|﹣1<x<0}.…(12分)20.(12分)乒乓球是我国的国球,在2016年巴西奥运会上尽领风骚,包揽该项目全部金牌,现某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小时6元;乙家按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每张球台90元,超过20小时的部分,每张球台每小时2元,某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时收费为f(x)元(12≤x≤30),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x30),试求f(x)与g(x)的解析式;(2)选择哪家比较合算?为什么?【解答】解:(1)f(x)=6x,(12≤x≤40).g(x)=(2)由f(x)=g(x)得或即x=15或x=10(舍)当12≤x<15时,f(x)﹣g(x)=6x﹣90<0,∴f(x)<g(x)即选甲家;当x=15时,f(x)=g(x)即选甲家也可以选乙家当20<x≤30时,f(x)﹣g(x)=6x﹣90>0,∴f(x)>g(x)即选乙家.当15<x≤30时,f(x)﹣g(x)=6x﹣(2x+50)=3x﹣50>0,∴f(x)>g(x)即选乙家.综上所述:当12≤x<15时,选甲家;当x=15时,选甲家也可以选乙家;当15<x≤30时,选乙家.21.(12分)已知函数f(x)=﹣x2+2ax+1﹣a,(1)若a=2,求f(x)在区间[0,3]上的最小值;(2)若f(x)在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.【解答】解:(1)若a=2,则f(x)=﹣x2+4x﹣1=﹣(x﹣2)2+3,函数图象开口向下,对称轴为x=2,所以函数f(x)在区间[0,3]上是增加的,在区间[2,3]上是减少的,有又f(0)=﹣1,f(3)=2∴f(x)min=f(0)=﹣1 …(3分)(2)对称轴为x=a当a≤0时,函数在f(x)在区间[0,1]上是减少的,则f(x)max=f(0)=1﹣a=3,即a=﹣2;…(6分)当0<a<1时,函数f(x)在区间[0,a]上是增加的,在区间[a,1]上是减少加的,则f(x)max=f(a)=a2﹣a+1=3,解得a=2或﹣1,不符合;…(9分)当a≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上是增加的,则f(x)max=f(1)=﹣1+2a+1﹣a=3,解得a=3;…(11分)综上所述,a=﹣2或a=3 …(12分)22.(12分)设函数f(x)=ka x﹣a﹣x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)﹣f(x﹣4)>0的解集;(2)若,且g(x)=a2x+a﹣2x﹣4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.【解答】解:∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴k﹣1=0,∴k=1.(1)∵f(1)>0,∴.又a>0且a≠1,∴a>1.∵k=1,∴f(x)=a x﹣a﹣x.当a>1时,y=a x和y=﹣a﹣x在R上均为增函数,∴f(x)在R上为增函数.原不等式可化为f(x2+2x)>f(4﹣x),∴x2+2x>4﹣x,即x2+3x﹣4>0.∴x>1或x<﹣4.∴不等式的解集为{x|x>1或x<﹣4}.(2)∵,∴,即2a2﹣3a﹣2=0.∴a=2或(舍去).∴g(x)=22x+2﹣2x﹣4(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣4(2x﹣2﹣x)+2.令t=h(x)=2x﹣2﹣x(x≥1),则g(t)=t2﹣4t+2,∵t=h(x)在[1,+∞)上为增函数(由(1)可知),,即.g(t)=t2﹣4t+2=(t﹣2)2﹣2,.∴当t=2时,g(t)取得最小值2,即g(x)取得最小值﹣2,此时.故当时,g(x)有最小值﹣2.赠送:初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型:图形特征:l运用举例:1. △ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为AP的中点,则MF的最小值为EM FB2.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,则EF+BF的最小值为_________。
江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高三上学期适应性考试(第二次月考)理数试题 Word版含解析
![江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高三上学期适应性考试(第二次月考)理数试题 Word版含解析](https://img.taocdn.com/s3/m/c01f81780b1c59eef8c7b44b.png)
2017-2018学年一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知关于x与y之间的一组数据:=+必过点()则y与x的线性回归方程y bx aA.(4,7) B.(3.5,6.5) C.(3.5,7.5)D.(5,6)【答案】A考点:线性回归方程的性质.2.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A.6 B.8 C.5 D.7【答案】D【解析】试题分析:这个循环结构是当型循环结构,第一次循环:9921000=-=S ,1=k ;第二次循环:97299=-=S ,2=k ;第三次循环:932972=-=S ,3=k ;第四次循环:852933=-=S ,4=k ;第五次循环:692854=-=S ,5=k ;第六次循环:372695=-=S ,6=k ;第七次循环:272776-=-=S ,7=k .∵027<-=S ,∴输出7=k .故选D . 考点:程序框图.【方法点睛】本题主要考查的是程序框图,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“?0>S ”,否则很容易出现错误.对于循环结构的流程框图,主要是根据循环的次数,当循环次数较少时,逐次列出循环过程,当循环次数较多时,寻找其规律;在该题中,在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可. 3.已知0a b >>) A><=D .无法确定 【答案】B考点:不等式比较大小.4.已知z C ∈,若2||0z z +=,则z =( )A .iB . i ± C.0 D .0或i ± 【答案】D 【解析】试题分析:设yi x z +=,故022222=+++-y x xyi y x ,即⎪⎩⎪⎨⎧==++-0202222xy y x y x ,解得⎩⎨⎧±==1y x ,故0=z 或i ±,故选D.考点:复数的运算.5.已知,a b 为实数,则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】C考点:充要条件的判断.6.2(1)i i+=( ) A .2i B .2i - C. 2 D .-2 【答案】C 【解析】试题分析:()2212==+iiii ,故选C. 考点:复数的运算. 7.下列命题中①若0'()0f x =,则函数()y f x =在0x x =取得极值; ②直线5210x y -+=与函数()sin(2)3f x x π=+的图象不相切;③若z C ∈(C 为复数集),且|22|1z i +-=,则|22|1z i --=的最小值是3;④定积分4π-=⎰.正确的有( )A .①④B .③④ C. ②④ D .②③④【答案】D 【解析】试题分析:①若0'()0f x =,且在0x x =的左右附近导数的符号改变,则函数()y f x =在0x x =取得极值,故不正确;②若直线与函数的图象相切,则()250='x f ,即2532cos 20=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ,显然0x 不存在,故②正确;③|22|1z i +-=的几何意义是以()2,2-A 为圆心,半径为1的圆,i z 22--的几何意义是圆上一点到点()2,2B 的距离,连接AB 并延长,显然最小值为3141=-=-AB ,故③正确;④令216x y -=,则()01622≥=+y y x ,点()y x ,的轨迹表示半圆,定积分⎰--04216dx x 表示以原点为圆心,4为半径的圆面积的41,故定积分4π-=⎰,故④正确.故选:D .考点:命题的真假的判定与应用.【方法点睛】本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念,导数的应用于求切线方程,以及复数的几何意义,定积分的几何意义及求法,是一道中档题.①函数在某点处取得极值一定要考虑左右两侧导数值符号相反;②求出导数()x f ',由切线的斜率等于()0x f ',根据三角函数的值域加以判断即可;③|22|1z i +-=表示圆,i z 22--的几何意义两点的距离,通过其意义可得解;④令216x y -=的轨迹表示半圆,则该积分表示该圆面积的41. 8.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b .则使不等式2100a b -+>成立的事件发生的概率等于( )A .6181B .6081 C.5981 D .5281【答案】A考点:等可能事件的概率.【方法点睛】本题考查等可能事件的概率,在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时,因为包含的情况比较多,又是一个数字问题,注意做到不重不漏.试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球,共有99⨯种结果,满足条件的事件是使不等式2100a b -+>成立的,即102<-a b ,列举出当9,8,7,6,5,4,3,2,1=b 时的所有的结果,得到概率. 9.已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足()2'(1)ln f x xf x =+,则'(1)f =( )A .e -B .1 C.-1 D .e 【答案】C考点:(1)导数的乘法与除法法则;(2)导数的加法与减法法则. 10.设5250125(2)x a a x a x a x -=++++,那么02413a a a a a +++的值为( )A .122121-B .6160- C.244241- D .-1 【答案】B 【解析】试题分析:1=x 时,5432101a a a a a a +++++=;3=x 时,54321053a a a a a a -+-+-=, ∴122420=++a a a ,12031-=+a a ,∴606131420-=+++a a a a a ,故选:B .考点:二项式定理的应用.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共7小题,每题5分,满分35分.)11.用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,则该长方体的最大体积是____________3m . 【答案】3 【解析】试题分析:设该长方体的宽是x 米,由题意知,其长是x 2米,高是x x 32941218-=-米, ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<230x 则该长方体的体积()23963292x x x x x x V +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=,由()0='x V ,得到1=x ,且当10<<x 时,()0>'x V ;当231<<x 时,()0<'x V ,即体积函数()x V 在1=x 处取得极大值()31=V ,也是函数()x V 在定义域上的最大值.所以该长方体体积最大值是3.故答案为:3.考点:(1)导数在最值中的应用;(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.12.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X 表示取到次品的件数,则EX =____________.【答案】35考点:离散型随机变量的期望与方差. 13.已知函数()tan f x x =,则()f x 在点(,())44P f ππ处的线方程为__________.【答案】2102x y π-+-=【解析】试题分析:()x x f 2sec =',把4π=x 代入得到切线的斜率24cos 14sec 422===⎪⎭⎫⎝⎛'=πππf k ,切点为⎪⎭⎫⎝⎛1,4π,则所求切线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-421πx y ,即为2102x y π-+-=.故答案为:2102x y π-+-=.考点:利用导数研究曲线上某点处的切线方程.14.已知某电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布2(1000,50)N ,那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为____________. 【答案】12【解析】试题分析:∵某电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布2(1000,50)N ,∴图象关于1000=x 对称,∴该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为21,故答案为:21. 考点:正态分布曲线的特点. 15.3521()x x-展开式中的常数项是____________. 【答案】10-考点:二项式定理.16.设函数()f x 的定义域为D ,如果存在正实数k ,对于任意x D ∈,都有x k D +∈,且()()f x k f x +>恒成立,则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”,已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()||2f x x a a =--,若()f x 为R 上的“2015型增函数”,则实数a 的取值范围 是____________. 【答案】20156a < 【解析】试题分析:∵()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0>x 时,()a a x x f 2--=,∴()⎪⎩⎪⎨⎧<++->--=0,20,2x a a x x a a x x f ,又()f x 为R 上的“2015型增函数”,(1)当0>x 时,由定义有a a x a a x 222015-->--+,即a x a x ->-+2015,其几何意义为到点a 小于到点2015-a 的距离,由于0>x 故可知02015<-+a a 得22015<a ,当0<x 时,①若02015<+x ,则有a a x a a x 222015+-->+++-,即a x a x ++>+2015,其几何意义表示到点a -的距离小于到点2015--a 的距离,由于0<x ,故可得02015>+--a a ,得22015<a ;②若02015>+x ,则有a a x a a x 222015+-->--+,即a a x a x 42015>-+++,其几何意义表示到到点a -的距离与到点2015-a 的距离的和大于a 4,(2)当0≤a 时,显然成立,当0>a 时,由于2015220152015-=+--≥++++a a a a x a x ,故有a a 420152>-,必有a a 422015>-,解得20156a <,综上,对R x ∈都成立的实数a 的取值范围是20156a <,故答案为:20156a <. 考点:函数奇偶性的性质.【方法点晴】本题考察了函数的奇偶性,考察新定义问题,根据绝对值的几何意义得到不等式是解答本题的关键,本题是一道中档题.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题中主要围绕存在正实数k ,对于任意x D ∈,都有x k D +∈,且()()f x k f x +>恒成立,根据题意进行分类讨论.17.已知过点(3,0)M -的直线l 被圆22(2)25x y ++=所截得的弦长为8,那么直线l 的方程为___________.【答案】3x =-或512150x y -+=考点:直线与圆的位置关系.【方法点睛】本题考查了待定系数法求直线方程,考查了直线与圆相交的相交弦长公式,注意不要漏掉3-=x ,难度中档;当直线与圆相交时,弦长的一半、圆心到直线的距离以及圆的半径构成直角三角形可求出点()2,0-到直线的距离为3,已知直线过某点时,分为斜率存在和斜率不存在时两种情况,当斜率不存在时进行验证,当斜率存在时设为点斜式,利用点到直线的距离可得结果.三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本小题满分12分) 已知函数3()16f x x x =+-.(I )求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线方程;(II )直线l 为曲线()y f x =的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标. 【答案】(I )1332y x =-;(II )(2,26)--. 【解析】试题分析:(I )先求出函数的导函数,再求出函数在(2,6)-处的导数即斜率,易求切线方程;(II )设切点为()00,y x ,则直线l 的斜率为200'()31f x x =+,从而求得直线l 的方程,有条件直线l 过原点可求解切点坐标,进而可得直线l 的方程. 试题解析:(I )2'()31f x x =+.所以在点(2,6)-处的切线的斜率2'(2)32113k f ==⨯+=,∴切线的方程为1332y x =-;(II )设切点为00(,)x y ,则直线l 的斜率为200'()31f x x =+, 所以直线l 的方程为:230000(31)()16y x x x x x =+-++-, 所以又直线l 过点(0,0),∴2300000(31)()16x x x x =+-++-, 整理,得308x =-,∴02x =-,∴30(2)(2)1626y =-+--=-,l 的斜率23(2)113k =⨯-+=, ∴直线l 的方程为13y x =,切点坐标为(2,26)--.考点:(1)利用导数研究曲线在某点处的切线方程;(2)直线的点斜式方程. 19.(本小题满分12分) 已知函数3221()ln ()()2f x a x x a a x a R =+-+∈,22()3ln 2g x x x x x =--. (I )求证:()g x 在区间[2,4]上单调递增;(II )若2a ≥,函数()f x 在区间[2,4]上的最大值为()G a ,求()G a 的试题分析式.并判断()G a 是否有最大值和最小值,请说明理由(参考数据:0.69ln 20.7<<)【答案】(I )证明见解析;(II )332321ln ,(24)()22ln 2448,(4)a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩()G a 有最小值,没有最大值.试题解析:(I )证明:∵22()3ln 2g x x x x x =--, ∴'()6ln 1g x x x x =--,设()6ln 1h x x x x =--,则'()6ln 5h x x =+,∴当24x <<时,'()0h x >,∴()h x 在区间(2,4)上单调递增. ∵(2)3(4ln 21)0h =->, ∴当24x <<时,()(2)0h x h >>. ∴()g x 在区间[2,4]上单调递增. (II )∵3221()ln ()()2f x a x x a a x a R =+-+∈, ∴()f x 的定义域是(0,)+∞,且32'()()a f x x a a x =+-+,即2()()'()x a x a f x x--=. ∵2a ≥,∴2a a <,当x 变化时,()f x 、'()f x 变化情况如下表:∴当24a ≤≤时,24a ≥,()f x 在区间[2,4]上的最大值是3321()ln 2f a a a a a =--. 当4a >时,()f x 在区间[2,4]上的最大值为32(4)2ln 2448f a a a =--+.即332321ln ,(24)()22ln 2448,(4)a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩. (1)当24a <<时,22'()3ln 2G a a a a a =--. 由(I )知,'()G a 在(2,4)上单调递增.又'(2)2(6ln 25)0G =-<,'(4)12(8ln 23)0G =->,∴存在唯一0(2,4)a ∈,使得0'()0G a =,且当02a a <<时,'()0G a <,()G a 单调递减,当04a a <<时,'()0G a >,()G a 单调递增. ∴当24a ≤≤时,()G a 有最小值0()G a .(2)当4a >时,2228'()6ln 2846ln 2()43ln 23ln 2G a a a a =--=---, ∴'()G a 在(4,)+∞单调递增. 又'(4)12(8ln 23)0G =->, ∴当4a >时,'()0G a >. ∴()G a 在(4,)+∞上单调递增.综合(1)(2)及()G a 试题分析式可知,()G a 有最小值,没有最大值. 考点:(1)利用导数研究函数的单调性;(2)导数在最大值、最小值的应用.【方法点睛】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查函数的单调性的运用和零点存在定理的运用,考查分类讨论的思想方法,属于中档题.要证()x g 在[2,4]递增,即证()0>'x g 在[2,4]上恒成立,等价于()()0min >'x g 恒成立,令()()x g x h '=,利用()x h '与0的关系,得到()x h 的单调性得其最小值;判断函数在闭区间内的最值,主要根据在该区间内的单调性,根据导函数的零点与区间端点的关系进行讨论. 20.(本小题满分12分)已知命题:p 抛物线214y x =的焦点F 在椭圆2212x y b+=上.命题:q 直线l 经过抛物线214y x =的焦点 F ,且直线l 过椭圆2212x y b+=的左焦点1F ,p q ∧是真命题.(I )求直线l 的方程;(II )直线l 与抛物线相交于A 、B ,直线1l 、2l ,分别切抛物线于A B 、,求12l l 、的交点P 的坐标.【答案】(I )1y x =+;(II )(2,1)P -. 【解析】试题分析:(Ⅰ)通过将抛物线214y x =的焦点()1,0F 代入椭圆2212x y b+=得1=b ,进而椭圆的左焦点是1(1,0)F -,计算即得结论;(Ⅱ)不妨假定点A 在第二象限,通过联立直线l 与椭圆方程可知A 、B 点坐标,利用对抛物线方程求导可知斜率,进而计算可得结论.(II )不妨假定点A 在第二象限,由方程组2,41,x y y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得(2A --,(2B ++.由214y x =得,1'2y x =,所以直线12l l 、的斜率分别是11 ∴12l l 、的方程分别是(3(12y x --=-+,(3(12y x -+=--.解两个方程构成的方程组得(2,1)P -. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 21.(本小题满分14分)已知()ln f x mx a x m =--,()xexg x e =,其中,m a 均为实数. (I )求()g x 的极值;(II )设1m =,0a =,求证:对1212,[3,4]()x x x x ∀∈≠,212121|()()|||()()ex exf x f xg x g x -<-恒成立.(III )设2a =,若对∀给定的0(0,]x e ∈,在区间(0,]e 上总存在1212,()t t t t ≠使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围.【答案】(I )()g x 极大值(1)1g =,无极小值;(II )证明见解析;(III )31m e ≥-. 【解析】试题分析:(I )求出函数的导数,利用导函数的符号判断函数的单调性,然后求解极值;(II )通过1m =,0a =,化简()1f x x =-,利用函数的单调性,转化原不等式转化212121()()()()ex ex f x f x g x g x -<-,构造函数()()1()x exh x f x x e g x =-=--,利用新函数的导数的单调性,证不等式成立;(III )由(1)得()x g 的最大值,求出函数()x f 的导数,判断0≤m ,不满足题意;当0>m 时,要12,t t ∃使得12()()f t f t =,()x f 的极值点必在区间(0,)e 内,求出m 的范围,当2m e >,利用()x g 在(0,)e 上的值域包含于()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛m 2,0和⎪⎭⎫⎝⎛e m ,2上的值域,推出关系式,通过构造函数()2xw x e x =-,通过导数求解函数的最值,然后推出m .试题解析:(I )∵()x ex g x e =,∴(1)'()xe x g x e --=,∴(,1)-∞↑,(1,)+∞↓,∴()g x 极大值(1)1g =,无极小值;设1234x x ≤<≤,则原不等式转化为212121()()()()ex ex f x f x g x g x -<-,即212121()()()()ex ex f x f x g x g x -<-. 令()()1()x exh x f x x e g x =-=--, 即证12x x ∀<,21()()h x h x <,即()h x 在[3,4]↓, ∵'()10x h x e =-<在[3,4]恒成立, 即()h x 在[3,4]↓,即所证不等式成立.(III )由(I )得()g x 在(0,1)↑,(1,)e ↓,max ()(1)1g x g ==, 所以()(0,1]g x ∈. 又2'()f x m x=-,当0m ≤时,'()0f x <,()f x 在(0,)e ↓,不符合题意. 当0m >时,要12,t t ∃使得12()()f t f t =,那么由题意知()f x 的极值点必在区间(0,)e 内,即20e m<<. 得2m e >,且函数()f x 在2(0,)m ↓,2(,)e m↑, 由题意得()g x 在(0,)e 上的值域包含于()f x 在2(0,)m 和2(,)e m上的值域. ∴2(,)e m 内,2()031()1f m m e f e ⎧≤⎪⇒≥⎨-⎪≥⎩. 下面证2(0,]t m ∈时,()1f t ≥,取m t e -=,先证2m e m-<,即证20m e m ->. 令()2x w x e x =-,∴'()210xw x e =->,在3[,)1e +∞-内恒成立. ∴()w x ↑,∴3()()01w x w e ≥>-,∴20m e m ->. 再证()1mf e -≥,∵3()11m m f e me m m e --=+>≥>-,∴31m e ≥-. 考点:(1)利用导数研究函数的极值;(2)导数在最值中的应用.22.如图,椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合,过2F 且于x 轴垂直的直线与椭圆交于S ,T ,与抛物线交于C D ,两点,且|||CD ST =.(I )求椭圆的标准方程;(II )设P 为椭圆上一点,若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆相交于不同两点A 和B ,且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点),求实数t 的取值范围.【答案】(I )2212x y +=;(II )(2,0)(0,2)t ∈-⋃. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由焦点2(1,0)F,根据|||CD ST =,所以||ST =圆方程;(Ⅱ)设过(2,0)M 的直线为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,得2222(12)8820k x k x k +-+-=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,00(,)P x y ,由OA OB tOP +=,得120120x x tx y y ty +=⎧⎨+=⎩,由此结合题设条件能求出实数t 的取值范围.(II )由题意,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(2)y k x =-.由2222(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩消去y ,得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,00(,)P x y ,则12x x ,是方程的两根, 所以2222(8)4(12)(82)0k k k ∆=-+->,即221k <,①且2122812k x x k +=+,由OA OB tOP +=,得120120x x tx y y ty +=⎧⎨+=⎩. 若0t =,则P 点与原点重合,与题意不符,故0t ≠.20122012122118()121114()[()4]12k x x x t t k ky y y k x x k t t t k ⎧=+=⎪⎪+⎨-⎪=+=+-=⎪+⎩. 因为点00(,)P x y 在椭圆上,所以,22222002222183222[()]12(12)k k x y t k k =+=+++,422222142118(12)12k k t k k+==-++. 再由①得211082t ≤<,又0t ≠, ∴(2,0)(0,2)t ∈-⋃.考点:(1)椭圆的应用;(2)椭圆的简单性质.【方法点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用,综合性较强,计算量较大,属于难题;已知直线上一点讲直线设为点斜式,直线与椭圆相交,联立直线的方程和椭圆的方程构成方程组,运用韦达定理以及设而不求整体代换的思想,根据0>∆得到k 的范围,将向量关系转化为坐标,运用点在椭圆上代入椭圆方程,在该题中容易忽视0t ≠.。
江西省赣州市寻乌中学2018届高三上学期期中考试数学理
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江西省寻乌中学2017届上学期高三期中考试试卷数学(理工类)试卷 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.sin15cos15︒+︒的值为( )A B .C D . 2.已知向量(2,3)a =,(,1)b x =,若a b ⊥,则实数x 的值为( ) A .32B .32-C .23D .23-3.已知向量(2,1)a =,10a b ⋅=,||52a b +=,则||b =( )A B C .5D .254.已知cos()63πα+=,则sin(2)6πα-的值为( )A .3 B .13C .13-D .3-5.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两分之和,则最小的1份为( )A .56B .103C .53D .1166.等比数列{}n a 中,10a >,则“13a a <”是“36a a <”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.已知函数32()f x x ax bx =-++(a ,b R ∈)的图象如图所示,它与x 轴相切于原点,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112,则a 的值为( )A .0B .1C .1-D .2-8.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数,且1(1)()f x f x +=,若()f x 在[]1,0-上是减函数,记0.5(log 2)a f =,2(log 4)b f =,0.5(2)c f =,则( ) A .a c b >>B .a b c >>C .b c a >>D .b a c >>9.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+(2n ≥),11a =,且2410a a +=,若n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2183n n S a ++的最小值为( )A .4B .3C .264D .13311.已知函数1()21x f x e x =--(其中e 为自然对数的底数),则()y f x =的大致图象为( )12.定义在R 上的函数()f x 满足:'()1()f x f x =-,(0)6f =,'()f x 是()f x 的导函数,则不等式()5x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A .(0,)+∞B .(3,)+∞C .(,0)(1,)-∞+∞D .(,0)(3,)-∞+∞第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,3a =,2b =,6A π=,则tan B = .14.已知x ,y 满足0,20,,x y x y x a -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩且2z x y =-的最大值与最小值的比值为2-,则a 的值是 .15.一艘海轮从A 出发,以每小时40海里的速度沿东骗西50︒方向直线航行,30分钟后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在A 观察灯塔,其方向是东偏南20︒,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65︒,则B ,C 两点间的距离是 海里.16.数列{}n a 满足11n n n a a a +-=+(*n N ∈,2n ≥),n S 是{}n a 的前n 项和,若51a =,则6S = .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.如图,在ABC ∆中,点D 在边BC 上,4CAD π∠=,72AC =,cos 10ADB ∠=-.(1)求sin C ∠的值;(2)若ABD ∆的面积为7,求AB 的长. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,132a =,2(1)1n n S n a =++(2n ≥). (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21(1)n n b a =+(*n N ∈),数列{}nb 的前n 项和为n T ,证明:3350n T <(*n N ∈). 19.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,8AB AC ⋅=,BAC θ∠=,4a =.(1)求bc 的最大值;(2)求函数()2cos21f θθθ+-的值域.20.已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列,其前n 项和为n S ,且2315a a ⋅=,416S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)数列{}n b 满足11b a =,111n n n n b b a a ++-=⋅.①求数列{}n b 的通项公式;②是否存在正整数m ,n (m n ≠),使得2b ,m b ,n b 成等差数列?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.21.已知a 为常数,a R ∈,函数2()ln f x x ax x =+-,()xg x e =(其中e 是自然对数的底数).(1)过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线,设切点为00(,)P x y ,求证:01x =; (2)令()()()f x F xg x =,若函数()F x 在区间(0,1]上是单调函数,求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为:24(cos sin )3ρρθθ=+-.若以极点O 为原点,极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. (1)求圆C 的参数方程;(2)在直角坐标系中,点(,)P x y 是圆C 上动点,试求2x y +的最大值,并求出此时点P 的直角坐标.23.选修4-5:不等式选讲已知m ,n 都是实数,0m ≠,()|21||2|f x x x =-+-. (1)若()2f x >,求实数x 的取值范围;(2)若||||||()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有m ,n 都成立,求实数x 的取值范围.江西省寻乌中学2017届上学期高三期中考试试卷数学(理工类)试卷答案一、选择题1-5:CBCBC 6-10:BCABD 11、12:DA 二、填空题1215. 16.4三、解答题17.解:(1)因为cos 10ADB ∠=-,所以sin 10ADB ∠=, 又因为4CAD π∠=,所4C ADB π∠=∠-,所以sin sin()4C ADB π∠=∠-sin cos cos sin44ADB ADB ππ=∠-∠45==. (2)在ADC ∆中,由正弦定理sin sin AD ACC ADC=∠∠,故74sin sin sin sin sin()sin 10AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π⨯⋅∠⋅∠⋅∠====∠-∠∠=又11sin 722ABD S AD AB ADB BD ∆=⋅⋅⋅∠=⋅=,解得5BD =. 在ADB ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠82525()10=+-⨯⨯-= 18.解:(1)当2n =时,22231S a =+,解得22a =; 当3n ≥时,2(1)1n n S n a =++,1121n n S na --=+,以上两式相减,得12(1)n n n a n a na -=+-,∴11n n a na n -=-, ∴132122132122n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----=⋅⋅=⋅⋅=--……, ∴3,1,2, 2.n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩(2)224,1,1251(1),2,(1)n n n b a n n ⎧=⎪⎪==⎨+⎪≥+⎪⎩当1n =时,114332550T b ==<; 当2n ≥时,21111(1)(1)1n b n n n n n =<=-+++,∴411111133133()()()252334150150n T n n n =+-+-++-=-<++…, ∴3350n T <(*n N ∈).19.解:(1)cos 8bc θ=,2222cos 4b c bc θ+-=,即2232b c +=,又222b c bc +≥,所以16bc ≤,即bc 的最大值为16, 当且仅当4b c ==,3πθ=时取得最大值.(2)结合(1)得,816cos θ≤,所以1cos 2θ≥, 又0θπ<<,所以03πθ<≤,()2cos 212sin(2)16f πθθθθ=+-=+-,因为03πθ<≤,所以52666πππθ<+≤,当5266ππθ+=,即3πθ=时,min 1()2102f θ=⨯-=,当262ππθ+=,即6πθ=时,max ()2111f θ=⨯-=,所以,函数()2cos21f θθθ=+-的值域为[]0,1.20.解:(1)设数列{}n a 的公差为d ,则0d >. 由2315a a =,416S =,得111()(2)15,4616,a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩或17,2,a d =⎧⎨=-⎩(舍去).所以21n a n =-.(2)①因为11b a =,111n n n n b b a a ++-=⋅,所以111b a ==,1111111()(21)(21)22121n n n n b b a a n n n n ++-===--+-+, 即2111(1)23b b -=-,32111()235b b -=-,…,1111()22321n n b b n n --=---,(2n ≥) 累加得1111(1)22121n n b b n n --=-=--,所以111321212121n n n n b b n n n ---=+=+=---, 11b =也符合上式,故3221n n b n -=-,*n N ∈. ②假设存在正整数m 、n (m n ≠),使得2b ,m b ,n b 成等差数列,则22n m b b b +=.又243b =,323121242n n b n n -==---,31242m b m =--,所以431()3242n +--312()242m =--,即11121642m n =+--,化简得:7221n m n -=+971n =-+, 当13n +=,即2n =时,2m =(舍去); 当19n +=,即8n =时,3m =符合题意.所以存在正整数3m =,8n =,使得2b ,m b ,n b 成等差数列. 21.解:(1)1'()2f x x a x=+-(0x >), 所以切线的斜率2000000ln 12x ax x k x a x x +-=+-=, 整理得200ln 10x x +-=,显然,01x =是这个方程的解,又因为2ln 1y x x =+-在(0,)+∞上是增函数, 所以方程2ln 10x x +-=有唯一实数解, 故01x =.(2)2()ln ()()x f x x ax x F x g x e +-==,21(2)ln '()x x a x a xx F x e-+-+-+=, 设21()(2)ln h x x a x a x x =-+-+-+,则211'()22h x x a x x=-+++-, 易知'()h x 在(0,1]上是减函数,从而'()'(1)2h x h a ≥=-.①当20a -≥,即2a ≤时,'()0h x ≥,()h x 在区间(0,1)上是增函数, ∵(1)0h =,∴()0h x ≤在(0,1]上恒成立,即'()0F x ≤在(0,1]上恒成立. ∴()F x 在区间(0,1]上是减函数, 所以2a ≤满足题意.②当20a -<,即2a >时,设函数'()h x 的唯一零点为0x , 则()h x 在0(0,)x 上递增,在0(,1)x 上递减, 又∵(1)0h =,∴0()0h x >, 又∵2()(2)ln 0aaa a a h e ea e a e e ----=-+-+-+<,∴()h x 在(0,1)内有唯一一个零点'x ,当(0,')x x ∈时,()0h x <,当(',1)x x ∈时,()0h x >.从而()F x 在(0,')x 递减,在(',1)x 递增,与在区间(0,1]上是单调函数矛盾. ∴2a >不合题意. 综上①②得,2a ≤.22.解:(1)因为24(cos sin )3ρρθθ=+-,所以224430x y x y +--+=, 即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的普通方程,所以所求的圆C的参数方程为2,2xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).(2)由(1)可得,设点(2,2)Pθθ,266)55x yθθθθ+=+=++,设sinα=,则cosα=,所以265sin()x yθα+=++,当sin()1θα+=时,max(2)11x y+=,此时22kπθαπ+=+,k Z∈,即22kπθαπ=-+,k Z∈,所以sin cosθα==,cos sinθα==,点P的直角坐标为(3,4)时.23.解:(1)133,,21()1,2,233, 2.x xf x x xx x⎧-≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩由()2f x>得332,1,2xx->⎧⎪⎨≤⎪⎩或12,12,2xx+>⎧⎪⎨<≤⎪⎩解得13x<或1x>,故所求实数x的取值范围为1(,)(1,)3-∞+∞.(2)由||||||()m n m n m f x++-≥且0m≠,得||||()||m n m nf xm++-≥,又∵||||||2||||m n m n m n m nm m++-++-≥=,∴()2f x≤,∵()2f x>的解集为1(,)(1,)3-∞+∞,∴()2f x ≤的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ∴所求实数x 的取值范围为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
江西省赣州市寻乌中学2018学年高一上学期第三次月考数
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数学试卷 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|3213A x x =-≤-≤,集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域,则A B =( )A .(1,2)B .[1,)-+∞C .(1,2]D .[1,2)2.已知函数(1),0,()2,0,3,0,x f x x f x x x ⎧->⎪=-=⎨⎪<⎩则(2)f =( )A .9B .3C .0D .23.已知向量(2,)a m =,(1,)b m =-,若(2)//a b b +,则||a =( ) A .1B .2C .3D .44.已知1tan 2x =-,则2sin 3sin cos 1x x x +-的值为( ) A .13B .2C .2-或2D .2-5.已知函数234y x x =--的定义域是[]0,m ,值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则m 的取值范围是( ) A .(0,4]B .3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3[,)2+∞6.若1sin()33πα-=-,则cos(2)3πα+=( ) A .79- B .13- C .13 D .797.函数()ln f x x =与函数2()g x x=的交点的横坐标所在的大致区间是( )A .(1,2)B .(2,3)C .1(1,)eD .(,)e +∞8.已知函数()sin()cos()66f x x x ππ=++,给出下列结论正确的是( ) A .()f x 的最小正周期是2πB .()f x 的一条对称轴是6x π=C .()f x 的一个对称中心是(,0)6πD .()6f x π-是奇函数9.如图所示,在ABC ∆中,2BD CD =,若AB a =,AC b =,则AD =( )A .2133a b + B .2133a b - C .1233a b +D .2233a b - 10.函数()cos (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后,所得的图象与原图像重合,则ω的最小值等于( ) A .13B .3C .6D .811.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ,半径为1,20OA AB AC ++=,且||||OA AB =,则向量AC 在向量BC 方向上的投影为( )A .12B C .12-D .12.已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如图所示:给出下列四个命题: (1)方程[]()0f g x =有且仅有6个根 (2)方程[]()g f x 0=有且仅有3个根 (3)方程[]()f f x 0=有且仅有5个根(4)方程[]()0g g x =有且仅有4个根A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若集合{}1,1A =-,{}0,2B =,则集合{}|,,z z x y x A y B =+∈∈中的元素个数为 .14.已知向量(1,2)a =,(2,4)b =--,||5c =,若5()2a b c +⋅=,则a 与c 的夹角为 .15.已知()f x 是R 上的偶函数,对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立,若(1)2f =,则(2011)f = .16.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(3,0)A ,(0,3)B ,(cos ,sin )C αα,3(,)22ππα∈,若1AC BC ⋅=-,则2tan 2sin sin 2ααα1+=+ .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分10分) 已知函数(1)(1)()x x f x x+-=.(1)判断函数()f x 的奇偶性;(2)若{}|()0A x x f x =⋅≥,{|B x y =,求A B .18. (本小题满分12分)商场销售某一品牌的羊毛衫,购买的人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购买的人数越少.把购买人数为0时的最低标价称为无效价格.已知无效价格为每件300元,现在这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售.问: (1)商场要获得最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元?(2)通常情况下,获得最大利润只是一种理想结果,如果商场要获得最大利润的75%,那么羊毛衫的标价应定为每件多少元? 19. (本小题满分12分)已知函数()2coscos )1222x x xf x =+-,x R ∈. (1)求()f x 的最小正周期; (2)设α,(0,)2πβ∈,()2f α=,6()5f β=,求()f αβ+的值. 20. (本小题满分12分)已知函数()f x 对实数x R ∈满足()()0f x f x +-=,(1)(1)f x f x -=+,若当[0,1)x ∈时,()x f x a b =+(0a >,1a ≠),3()12f =(1)求[]1,1x ∈-时,()f x 的解析式;(2)求方程4()|log |0f x x -=的实数解的个数. 21. (本小题满分12分)已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>)的最小正周期为π. (1)求函数()f x 的单调增区间; (2)将函数()f x 的图象向左平移3π个单位,再向上平移1个单位长度,得到函数()y g x =的图象,若()y g x =在[]0,b (0b >)上至少含有10个零点,求b 的最小值. 22. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足1233OC OA OB =+. (1)求证:A ,B ,C 三点共线; (2)求||||AC CB 的值; (3)已知(1,cos )A x ,(1cos ,cos )B x x +,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,2()(2)||3f x OA OC m AB =⋅-+的最小值为32-,求实数m 的值.江西省寻乌中学2018-2018学年度上学期高一阶段考数学试卷答案一、选择题1-5:BDBDC 6-10:ABDCC 11、12:BC 二、填空题 13.3 14.23π 15.2 16.95- 三、解答题17.解:(1)易得函数的定义域为{}|0x x ≠,关于原点对称, 又因为(1)(1)(1)(1)()()x x x x f x f x x x-+--+--==-=--,所以函数()f x 是奇函数.因为0300k b =+,即300b k =-,所以300n kx k =-,(100)(300)y x kx k =--2(200)10000k x k =--,(0,300]x ∈, 因为0k <,所以200x =时,max 10000y k =-,即商场要获得最大利润,羊毛衫的标价应定为每件200元.(2)由题意得:(100)(300)1000075%k x x k --=-⋅, 化简可得2400375000x x -+=,所以250x =或150.所以商场要获得最大利润的75%,每件的标价为250元或150元. 19.解:(1)因为2()2cos cos )1cos 2cos 1222222x x x x x x f x =+-=+-2sin()6x π=+,所以()f x 的最小正周期2T π=. (2)因为()2f α=,即sin()16πα+=,由于02πα∈(,),则2663πππα<+<, 所以62ππα+=,即3πα=,又因为6()5f β=,即3sin()35πα+=,由于(0,)2πβ∈, 所以2663πππβ<+<,因为35<,则662πππβ<+<,则4cos()65πα+=, 所以()2sin()2sin()2cos 62f ππαβαβββ+=++=+=2cos ()66ππβ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ 2cos()cos 2sin()sin 6666ππππββ=+++35=. 20.解:(1)∵()()0f x f x +-=,∴(0)0f =,即1b =-,又∵(1)(1)f x f x -=+,3()12f =-311()()()11222f f f =-=-=-=, ∴2a =,∴当[0,1)x ∈时,()21x f x =-,∴当(1,0]x ∈-时,[0,1)x -∈,∴()21x f x --=-,∴()()12x f x f x -=--=-, ∵()()0f x f x +-=,(1)(1)f x f x -=+,∴(1)(1)0f f =-=,∴12,(1,0],()0,1,1,21,[0,1).x x x f x x x -⎧-∈-⎪==-⎨⎪-∈⎩(2)∵()()0f x f x +-=,(1)(1)f x f x -=+,∴(2)()f x f x +=, ∴()f x 是奇函数,且以2为周期,方程4()|log |0f x x -=的实数解的个数也就是函数()y f x =和4|log |y x =的交点的个数. 在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象,由图像得交点个数为2,所方程4()|log |0f x x -=的实数解的个数为2.21.解:(1)由题意得:2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x πωωωω=+=-,因为函数的最小正周期为π,所22ππω=,解得1ω=,所以()2sin(2)3f x x π=-, 令222232k x k πππππ-≤-≤+,解得51212k x k ππππ-≤≤+,k Z ∈,所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. (2)将函数()f x 的图象向左平移3π个单位,再向上平移1个单位长度,可得函数()13y f x π=++的图象,所以()2sin 2()12sin(2)1333g x x x πππ⎡⎤=+-+=++⎢⎥⎣⎦, 令()0g x =,得1sin(2)32x π+=-,可得72236x k πππ+=+或112236x k πππ+=+,k Z ∈,解德512x k ππ=+或34x k ππ=+,k Z ∈, 所以函数()g x 在每个周期上恰有两个零点,若()y g x =在[]0,b (0b >)上至少含有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标即可,即b 的最小值为319444πππ+=. 22.(1)证明:由已知得:2()3OC OA OB OA -=-,即23AC AB =,∴//AC AB , 又∵AC ,AB 有公共点,∴A ,B ,C 三点共线. (2)解:22()33AC AB AC CB ==+,∴1233AC CB =,∴2AC CB =,∴||2||AC CB =. (3)由题意(1,cos )OA x =,2(1cos ,cos )3OC x x =+,(cos ,0)AB x =, ∴2222()(2)||1cos cos (2)cos 333f x OA OC m AB x x m x=⋅-+=++-+22(cos )1x m m =-+-,∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴[]cos 0,1x ∈. 当0m <时当cos 0x =时,()f x 取得最小值1,与已知相矛盾;当01m ≤≤时当cos x m =时,()f x 取得足校直21m -,得m =(舍去); 当1m >时当cos 1x =时,()f x 取得最小值22m -,得714m =>. 综上所述,74m =为所求.。
江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题含答案
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江西省赣州市寻乌中学2017—2018学年高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合()(){}{}210,11A x x x B x Z x =-+<=∈-≤≤,则A B ⋂=( ) A .{}1,0-B .{}0,1C .{}1,0,1-D .{}1,2-2.函数()()ln 111x f x x --=-的定义域为( )A .()0,1B .()1,2C .()()0,11,2⋃D .()0,2 3.已知 1.20.7700.77, 1.2,a b c π===,则,,a b c 的大小关系是( )A .a b c <<B .c b a <<C .a c b <<D .c a b << 4.已知奇函数()f x 是定义在()2,2-上的减函数,则不等式()2103x f f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集是( ) A .3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B .1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C .16,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D .13,27⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数()[]()11122,142xx f x x -⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是( )A .5,104⎛⎤ ⎥⎝⎦B .[]1,10C .51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .5,104⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.已知函数()()()24log 4f x ax x a a R =-+∈,若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是( )A .[]0,2B .()2,+∞C .(]0,2D .()2,2- 7.已知0a >,设函数()[]()1320162011,20161x xf x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ,最小值为N ,则M N +的值为( )A .2016B .4026C .4027D .40288.集合(){}()(){},A x f x x B x f f x x ====,则集合A 与集合B 之间的关系( ) A .A B ⊆ B .B A ⊆ C .B AD .AB9.若关于x的方程221x a a a -=-(0a >且1a ≠)有两个不等实根,则实数a 的取值范围是( )A .()1B .)1C .)2D .)()1⋃10.已知1a b >>,若10log log 3a b b a +=,则由2,,3,,2a b b b a b-构成的包含元素最多的集合的子集个数是( )A .32B .16C .8D .4 11.已知函数()lg 2,20,2x x g x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩,若关于x的方程()()20g x ag x b -+=有7个不同实数解则( )A .0a >且0b =B .0a >且0b >C .0a =且0b >D .0a <且0b =12.已知非空集合A B 、 ,()2215log 2329A x x x x x ⎧⎫⎪⎪=-->--⎨⎬⎪⎪⎩⎭,A B ⊆,则集合B 可以是( )A .()()1,04,6-⋃B .()()2,13,4--⋃C .()3,3-D .()()3,14,6--⋃第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13. 已知关于x 的函数()223my m x =-是幂函数,则m = .14.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()()2f x x x =-,则0x <时,()f x =.15.若1x 满足1337x x -+=,2x 满足()333log 27x x +-=,则12x x += .16。
江西省赣州市寻乌中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
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江西省寻乌中学2017届上学期高三期中考试试卷数学(理工类)试卷 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.sin15cos15︒+︒的值为( ) A 2B .2C 6D .62.已知向量(2,3)a =,(,1)b x =,若a b ⊥,则实数x 的值为( )A .32B .32-C .23D .23-3.已知向量(2,1)a =,10a b ⋅=,||52a b +=,则||b =( ) A 5B 10C .5 D .254.已知3cos()6πα+=则sin(2)6πα-的值为( ) A 22B .13C .13-D .225.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两分之和,则最小的1份为( )A .56B .103C .53D .1166.等比数列{}na 中,10a>,则“13a a <”是“36a a <”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.已知函数32()f x x ax bx =-++(a ,b R ∈)的图象如图所示,它与x 轴相切于原点,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112,则a 的值为( )A .0B .1C .1-D .2-8.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数,且1(1)()f x f x +=,若()f x 在[]1,0-上是减函数,记0.5(log 2)a f =,2(log 4)b f =,0.5(2)c f =,则( )A .a c b >>B .a b c >>C .b c a >>D .b a c >>9。
江西省赣州市寻乌中学2017届高三上学期第三次月考理数试题 含答案
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数学(理)试卷一、选择题1.设集合{}21|2,|12A x xB x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭,则A B =().A .{}|12x x <<B .{}|12x x -<<C .1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D .{}|11x x -<< 2.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则()()f f e (e 为自然对数的底数)( ).A .0B .1C .2D .()2ln 1e+3.已知α为第二象限角,且3sin 5α=,则()tan πα+的值是( ). A .43B .34C .43-D .34-4。
设0a >且1a ≠,则“函数()xf x a ="在R 上是增函数是“函数()ag x x =”“在()0,+∞上是增函数”的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件 5.定积分()4216x dx π-⎰等于( ).A .1283πB .52πC 。
643πD .83π6。
若函数3sin cos y x x -的图像向右平移()0m m >个单位长度后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ). A . 6π B . 4π C 。
23πD .3π7.设数列{}na 是由正数组成的等比数列,nS 为其前n 项和,已知2431,7a a S ==,则5S =().A .152B .314C 。
334D .1728.已知某几何体的三视图如右图所示,其中,主(正)视图,左(侧)视图均是由直角三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接直角三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( ).A .2132π+ B .4136π+ C.2166π+ D .2132π+9。
若ABC ∆外接圆的半径为1,圆心为O ,且20OA AB AC ++=,且OA AB=,则CA CB 等于( ). A .32B 3 C. 23 D .310.已知12F F 、是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且123F PFπ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ). A .433B .33C 。
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
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2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共48.0分)1.若集合A={x|x<3},B={x|x>0},则A∪B=()A. {x|0<x<3}B. {x|x>0}C. {x|x<3}D. R2.已知α为锐角,则2α为()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一或第二象限角D. 小于180∘的角3.已知△ABC在斜二测画法下的平面直观图△A'B'C',△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么在原△ABC的面积为()A. 32a2 B. 34a2 C. 62a2 D. 6a24.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是()A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对5.在空间直角坐标系中点P(1,3,-5)关于xoy对称的点的坐标是()A. (−1,3,−5)B. (1,−3,5)C. (1,3,5)D. (−1,−3,5)6.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()A. 2x+y−4=0B. x+2y−5=0C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=07.三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是()A. a<c<bB. a<b<cC. b<a<cD. b<c<a8.若函数f(x)=ka x-a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=log a(x+k)的图象是()A. B. C. D.9.在平面直角坐标系xOy中,以C(1,1)为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A,B两点,点M,N分别在线段OA,OB上,若,MN与圆C相切,则|MN|的最小值为()A. 1B. 2−C. 2+2D. 2−210.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=log1(x+1),x∈[0,1)1−|x−3|,x∈[1,+∞),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为()A. 1−2aB. 2a−1C. 1−2−aD. 2−a−111.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点P是平面A1B1C1D1内的一个动点,则三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为()A. 1B. 2C. 12 D. 1412. 若函数f (x )是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有f [f (x )+22x +1]=13,则f (log 23)=( )A. 1B. 45C. 12D. 0二、填空题(本大题共4小题,共16.0分)13. 已知函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0,则f [f (14)]=______.14. 圆x 2+y 2-4x =0在点P (1, 3)处的切线方程为______.15. 已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x -1)<f (3)的x 取值集合是______.16. 在直角坐标系内,已知A (3,2)是圆C 上一点,折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点(异于点A )重合,两次的折痕方程分别为x -y +1=0和x +y -7=0,若圆C 上存在点P ,使∠MPN =90°,其中M ,N 的坐标分别为(-m ,0),(m ,0),则实数m 的取值集合为______.三、解答题(本大题共6小题,共56.0分)17. 已知集合A ={x |1−m ≤x ≤2m +1},B ={x |19≤3x ≤81}.(1)当m =2时,求A ∪B ;(2)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.18. 已知圆C :(x -1)2+y 2=9内有一点P (2,2),过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程; (写一般式) (2)当直线l 的倾斜角为45°时,求弦AB 的长.19. 已知函数f (x )=ax +bx +c 是奇函数,且满足f (1)=52,f (2)=174.(1)求a ,b ,c 的值;(2)试判断函数f (x )在区间(0,12)上的单调性并证明.20. 如图,在四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA =PD = 2,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点. (1)求证:PO ⊥平面ABCD ;(2)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值;(3)线段AD 上是否存在点Q ,使得它到平面PCD的距离为 32?若存在,求出AQQD 的值;若不存在,请说明理由.21. 已知圆O :x 2+y 2=2,直线l :y =kx -2.(1)若直线l 与圆O 交于不同的两点A ,B ,当∠AOB =π2时,求k 的值; (2)若k =12,P 是直线l 上的动点,过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ,切点为C 、D ,探究:直线CD 是否过定点?若过定点则求出该定点,若不存在则说明理由;(3)若EF 、GH 为圆O :x 2+y 2=2的两条相互垂直的弦,垂足为M (1, 22),求四边形EGFH 的面积的最大值.22.设函数y=f(x)的定义域为D,值域为A,如果存在函数x=g(t),使得函数y=f[g(t)]的值域仍是A,那么称x=g(t)是函数y=f(x)的一个等值域变换.(1)判断下列函数x=g(t)是不是函数y=f(x)的一个等值域变换?说明你的理由;,t>0;①f(x)=log2x,x>0,x=g(t)=t+1t②f(x)=x2-x+1,x∈R,x=g(t)=2t,t∈R.(2)设f(x)=log2x的定义域为x∈[2,8],已知x=g(t)=mt2−3t+n是y=f(x)的t2+1一个等值域变换,且函数y=f[g(t)]的定义域为R,求实数m、n的值.答案和解析1.【答案】D【解析】解:∵集合A={x|x<3},B={x|x>0},作出图象,如图:∴结合图象知A∪B=R.故选:D.作出图象,利用数轴结合并集定义能求出结果.本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集定义的合理运用.2.【答案】D【解析】解:α为锐角,所以α∈(0°,90°),则2α∈(0°,180°),故选D.写出α的范围,直接求出2α的范围,即可得到选项.本题考查象限角与轴线角,基本知识的考查,送分题.3.【答案】C【解析】解:直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,故面积为,而原图和直观图面积之间的关系=,那么原△ABC的面积为:,故选C.由原图和直观图面积之间的关系系=,求出直观图三角形的面积,再求原图的面积即可.本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本运算的考查.4.【答案】B【解析】解:因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,所以长方体的对角线就是确定直径,长方体的对角线为:,所以球的半径为:,所以这个球的表面积是:=50π.故选:B.由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线,求出长方体的对角线,就是求出球的直径,然后求出球的表面积.本题是基础题,考查球的内接多面体的有关知识,球的表面积的求法,注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键,考查计算能力,空间想象能力.5.【答案】C【解析】解:过点A(1,3,-5)作平面xOy的垂线,垂足为H,并延长到A′,使AH′=AH,则A′的横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来纵坐标的相反数,即得:A′(1,3,5).故选C.利用空间直角坐标系中任一点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(-a,b,c)即可得出正确选项.本题考查空间向量的坐标的概念,向量的坐标表示,空间点的对称点的坐标的求法,记住某些结论性的东西将有利于解题.6.【答案】B【解析】解:根据题意得,当与直线OA垂直时距离最大,因直线OA的斜率为2,所以所求直线斜率为-,所以由点斜式方程得:y-2=-(x-1),化简得:x+2y-5=0,故选:B过点A(1,2)且与原点距离最大的直线与OA垂直,再用点斜式方程求解.本题考察直线方程的求解,要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程,属基础题.7.【答案】C【解析】【分析】将a=0.32,c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x,y=2x之间所对应的函数值,利用它们的图象和性质比较,将b=log20.3,抽象为对数函数y=log2x,利用其图象可知小于零.最后三者得到结论.本题主要通过数的比较,来考查指数函数,对数函数的图象和性质.【解答】解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0,由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1∴b<a<c故选C.8.【答案】C【解析】解:∵函数f(x)=ka x-a-x,(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上是奇函数则f(-x)+f(x)=0即(k-1)(a x-a-x)=0则k=1又∵函数f(x)=ka x-a-x,(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上是增函数则a>1则g(x)=log a(x+k)=log a(x+1)函数图象必过原点,且为增函数故选C由函数f(x)=ka x-a-x,(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,则由复合函数的性质,我们可得k=1,a>1,由此不难判断函数的图象.若函数在其定义域为为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函数,则f(-x)-f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公共单调区间上:增函数-减函数=增函数也是解决本题的关键.9.【答案】D【解析】解:由题意,根据圆的对称性,可得OC⊥MN时,|MN|取得最小值,最小值为2(-1)=2-2,故选:D.由题意,根据圆的对称性,可得OC⊥MN时,|MN|取得最小值.本题考查直线与圆的位置关系,考查线段长的计算,属于中档题.10.【答案】A【解析】解:∵当x≥0时,f(x)=;即x∈[0,1)时,f(x)=(x+1)∈(-1,0];x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];x∈(3,+∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,-1);画出x≥0时f(x)的图象,再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;则直线y=a,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-a=0共有五个实根,最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,∵x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∴f(-x)=(-x+1),又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-(-x+1)=(1-x)-1=log2(1-x),∴中间的一个根满足log2(1-x)=a,即1-x=2a,解得x=1-2a,∴所有根的和为1-2a.故选:A.函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内y=f(x),y=a的图象交点的横坐标.作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,根据奇函数f(x)在x≥0时的解析式,作出函数的图象,结合图象及其对称性,求出答案.本题考查分段函数的图象与性质的应用问题,也考查了利用函数零点与方程的应用问题,是综合性题目.11.【答案】B【解析】解:由题意可知,P在正视图中的射影是在C1D1上,AB在正视图中,在平面CDD1C1上的射影是CD,P的射影到CD的距离是AA1=2,所以三棱锥P-ABC的正视图的面积为=1;三棱锥P-ABC的俯视图的面积的最小值为=,所以三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为=2,故选:B.由题意确定棱锥P-ABC的正视图的面积,三棱锥P-ABC的俯视图的面积的最小值,即可求出三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值.本题考查三视图与直观图形的关系,正确处理正射影与射影图形是解题的关键,考查空间想象能力,计算能力.12.【答案】C【解析】解:∵函数f(x)是R上的单调函数,且对任意实数x,都有f[f(x)+]=,∴f(x)+=a恒成立,且f(a)=,即f(x)=-+a,f(a)=-+a=,解得:a=1,∴f(x)=-+1,∴f(log23)=,故选:C.由已知可得f(x)+=a恒成立,且f(a)=,求出a=1后,将x=log23代入可得答案.本题考查的知识点是函数解析式的求法,函数求值,正确理解对任意实数x,都有f[f(x)+]=,是解答的关键.13.【答案】19【解析】解:∵函数,∴f()==-2,=f(-2)=.故答案为:.先求出f()==-2,从而=f(-2),由此能求出结果.本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.14.【答案】x-3y+2=0【解析】解:圆x2+y2-4x=0的圆心坐标是(2,0),所以切点与圆心连线的斜率:=-,所以切线的斜率为:,切线方程为:y-=(x-1),即x-y+2=0.故答案为:x-y+2=0.求出圆的圆心坐标,求出切点与圆心连线的斜率,然后求出切线的斜率,解出切线方程.本题是基础题,考查圆的切线方程的求法,求出切线的斜率解题的关键,考查计算能力.15.【答案】(-1,2)【解析】解:f(x)为偶函数;∴由f(2x-1)<f(3)得,f(|2x-1|)<f(3);又f(x)在[0,+∞)上单调递增;∴|2x-1|<3;解得-1<x<2;∴x的取值范围是:(-1,2).故答案为:(-1,2).由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,便可由f(2x-1)<f(3)得出|2x-1|<3,解该绝对值不等式便可得出x的取值范围.考查偶函数的定义,增函数的定义,根据函数单调性解不等式的方法,以及绝对值不等式的解法. 16.【答案】[3,7]【解析】解:由题意,∴A (3,2)是⊙C 上一点,折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点(异于点A )重合,两次的折痕方程分别为x-y+1=0和x+y-7=0, ∴圆上不相同的两点为B (1,4),D (5,4), ∵A (3,2),BA ⊥DA∴BD 的中点为圆心C (3,4),半径为1,∴⊙C 的方程为(x-3)2+(y-4)2=4.过P ,M ,N 的圆的方程为x 2+y 2=m 2, ∴两圆外切时,m 的最大值为+2=7,两圆内切时,m 的最小值为-2=3,故答案为[3,7].求出⊙C 的方程,过P ,M ,N 的圆的方程,两圆外切时,m 取得最大值,两圆内切时,m 取得最小值.本题考查圆的方程,考查圆与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.17.【答案】解:由B 中不等式变形得3-2≤3x ≤34,解得-2≤x ≤4,即B ={x |-2≤x ≤4}.(1)当m =2时,A ={x |-1≤x ≤5},B ={x |-2≤x ≤4}, ∴A ∪B ={x |-2≤x ≤5}. (2)∵B ⊆A , ∴ 1−m ≤−22m +1≥4, 解得m ≥3,∴m 的取值范围为{m |m ≥3}. 【解析】本题考查并集的求法,考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集、子集定义的合理运用.(1)当m=2时,求出集合A ,B ,由此能求出A ∪B ; (2)由B ⊆A ,列出不等式组,能求出m 的取值范围. 18.【答案】解:(1)圆C :(x -1)2+y 2=9的圆心为C (1,0),因直线过点P 、C ,所以直线l 的斜率为2, 直线l 的方程为y =2(x -1),即2x -y -2=0. (2)当直线l 的倾斜角为45°时,斜率为1, 直线l 的方程为y -2=x -2,即x -y =0圆心C 到直线l 的距离为2,圆的半径为3,弦AB 的长为 34. 【解析】(1)先求出圆的圆心坐标,从而可求得直线l 的斜率,再由点斜式方程可得到直线l 的方程,最后化简为一般式即可.(2)先根据点斜式方程求出方程,再由点到线的距离公式求出圆心到直线l 的距离,进而根据勾股定理可求出弦长.本题主要考查直线与圆的位置关系,高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主,故平时就要注意基础知识的积累和应用,在考试中才不会手忙脚乱.19.【答案】解:(1)∵f (-x )=-f (x )∴c =0,∵ f (1)=52f (2)=174,∴ a +b =522a +b 2=144,∴ a =2b =12;(2)∵由(1)问可得f (x )=2x +12x , ∴f (x )在区间(0,0.5)上是单调递减的; 证明:设任意的两个实数0<x 1<x 2<12,∵f (x 1)-f (x 2)=2(x 1-x 2)+12x 1-12x 2=2(x 1-x 2)+x 2−x 12x 1x 2=(x 2−x 1)(1−4x 1x 2)2x 1x 2,又∵0<x 1<x 2<12, ∴x 1-x 2<0,0<x 1x 2<14,∴-4x 1x 2>-1∴1-4x 1x 2>0,f (x 1)-f (x 2)>0,∴f (x )在区间(0,0.5)上是单调递减的. 【解析】(1)由函数是奇函数得到c=0,再利用题中的2个等式求出a、b的值.(2)区间(0,)上任取2个自变量x1、x2,将对应的函数值作差、变形到因式积的形式,判断符号,依据单调性的定义做出结论.本题考查用待定系数法求解析式,证明函数的单调性.20.【答案】(1)证明:在△PAD卡中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.(2)解:连接BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,所以OB∥DC.由(1)知PO⊥OB,∠PBO为锐角,所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以OB=2,在Rt△POA中,因为AP=2,AO=1,所以OP=1,在Rt△PBO中,PB=3,所以cos∠PBO=63,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为63.(3)解:假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为32.设QD=x,则S△DQC=12x,由(2)得CD=OB=2,在Rt△POC中,PC=2,所以PC=CD=DP,S△PCD=34×(2)2=32,由V p-DQC=V Q-PCD,得x=32,所以存在点Q满足题意,此时AQQD=13.【解析】(1)根据线面垂直的判定定理可知,只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可;(2)先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可;(3)利用V p-DQC=V Q-PCD,即可得出结论.本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力,逻辑思维能力和运算能力.21.【答案】解:(1)∵∠AOB=π2,∴点O到l的距离d=22r∴k2+1=22⋅2⇒k±3.(2)由题意可知:O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上,设P(t,12t−2).其方程为:x(x−t)+y(y−12t+2)=0,即x2−tx+y2−(12t−2)y=0,又C、D在圆O:x2+y2=2上,∴l CD:tx+(12t−2)y−2=0,即(x+y2)t−2y−2=0,由x+y2=02y+2=0,得x=12y=−1∴直线CD过定点(12,−1).(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2.则d12+d22=|OM|2=32,∴|EF|=2 r2−d12=212−d12|GH|=2 r2−d22=22−d22S=12|EF||GH|=2(2−d12)(2−d22)= −4d24+6d22+4= −4(d22−34)2+254≤52,当且仅当d22=34,即d1=d2=32时,取“=”∴四边形EGFH的面积的最大值为52.【解析】(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当时,点O到l的距离,由此求k的值;(2)求出直线CD的方程,即可,探究:直线CD是否过定点;(3)求出四边形EGFH的面积,利用配方法,求出最大值.本题考查直线与圆的位置关系,考查四边形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.22.【答案】解:(1)在①中,∵f(x)=log2x,x>0,x=g(t)=t+1t,t>0,∴函数y=f(x)的值域为R,函数y=f[g(t)]的值域是(0,+∞),故①不是等值域变换,在②中,f(x)=x2−x+1=(x−12)2+34≥34,即f(x)的值域为[34,+∞),当t∈R时,f[g(t)]=(2t−12)2+34≥34,即y=f[g(t)]的值域仍为[34,+∞),∴x=g(t)是f(x)的一个等值域变换,故②是等值域变换.(2)f(x)=log2x定义域为[2,8],因为x=g(t)是f(x)的一个等值域变换,且函数y=f[g(t)]的定义域为R,∴x=g(t)=mt2−3t+nt2+1,t∈R的值域为[2,8],2≤mt2−3t+nt2+1≤8⇔2(t2+1)≤mt2−3t+n≤8(t2+1),∴恒有2<m<8△1=9−4(m−2)(n−2)=0△2=9−4(m−8)(n−8)=0,解得m=5−332n=5+332.【解析】(1)在①中,函数y=f(x)的值域为R,函数y=f[g(t)]的值域是(0,+∞);在②中,f(x)的值域为,y=f[g(t)]的值域仍为.(2)由已知得的值域为[2,8],,由此能求出实数m、n的值.本题考查等值域变换的判断,考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.。
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高三(上)期末数学试卷(文科)
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2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高三(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知A={x|x+1>0},B={﹣2,﹣1,0,1},则(∁R A)∩B=()A.{﹣2,﹣1}B.{﹣2}C.{﹣2,0,1}D.{0,1}2.(5分)命题“∀x∈[0,+∞],x3+x≥0”的否定是()A.∀x∈(﹣∞,0),x3+x<0 B.∀x∈(﹣∞,0),x3+x≥0C. D.3.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=()A.B.C. D.4.(5分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x﹣2B.y=x﹣1C.y=x2 D.5.(5分)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则的值为()A.B.C.D.6.(5分)已知等比数列{a n}的各项均为正数,且满足a3=a1+2a2,则等于()A.2+3B.2+2C.3﹣2D.3+27.(5分)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若λ为实数,(+λ)∥,则λ=()A.B.C.1 D.28.(5分)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是()A.B.C. D.9.(5分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosC+sinC ﹣=0,则的值是()A.﹣1 B.+1 C.+1 D.210.(5分)下列四个图中,函数y=的图象可能是()A.B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)是定义域R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增,若实数a满足f(log2a)+f(log2)≤2f(1),则a的取值范围是()A.(﹣∞,2]B.(0,]C.[] D.(0,2]12.(5分)已知||=2,≠0,且关于x的函数f(x)=x3+||x2+•x在R 上有极值,则向量,的夹角范围是()A.B.C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知,向量与垂直,则实数λ=.14.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则公差d=,m=.15.(5分)若函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=对称,则φ的值为.16.(5分)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P附近位于直线l 的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=﹣1在点P(﹣1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x﹣1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(Ⅰ)求a n及S n;(Ⅱ)令b n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.18.(12分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的周期为4.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)的图象,P、Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低点(如图),求∠OQP的大小.19.(12分)已知向量与共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的周期及最大值;(2)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C,若有,边BC=,,求△ABC的面积.20.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(﹣4n,0),且f'(0)=2n,(n∈N*).(1)求f(x)的解析式;(2)设数列{a n}满足,求数列{a n}的前n项和.21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.22.(12分)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y﹣3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>+,求k的取值范围.2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高三(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知A={x|x+1>0},B={﹣2,﹣1,0,1},则(∁R A)∩B=()A.{﹣2,﹣1}B.{﹣2}C.{﹣2,0,1}D.{0,1}【解答】解:∵A={x|x+1>0}={x|x>﹣1},∴C U A={x|x≤﹣1},∴(∁R A)∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2,﹣1,0,1}={﹣2,﹣1}故选A.2.(5分)命题“∀x∈[0,+∞],x3+x≥0”的否定是()A.∀x∈(﹣∞,0),x3+x<0 B.∀x∈(﹣∞,0),x3+x≥0C. D.【解答】解:∵命题“∀x∈[0,+∞],x3+x≥0”,∴命题的否定是,故选C.3.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=()A.B.C. D.【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B为锐角,则∠B=.故选A4.(5分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x﹣2B.y=x﹣1C.y=x2 D.【解答】解:函数y=x﹣2,既是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,故A 正确;函数y=x﹣1,是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减,故B错误;函数y=x2,是偶函数,但在区间(0,+∞)上单调递增,故C错误;函数,是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增,故D错误;故选A.5.(5分)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则的值为()A.B.C.D.【解答】解:∵在△ABC中,AD⊥AB,∴=0=(+)=•+•=•=•=(﹣)•=•﹣•=故选D.6.(5分)已知等比数列{a n}的各项均为正数,且满足a3=a1+2a2,则等于()A.2+3B.2+2C.3﹣2D.3+2【解答】解:设{a n}的公比为q,∵a3=a1+2a2,∴a1q2=a1+2a1q,即q2﹣2q﹣1=0,解得q=1+或q=1﹣.∵{a n}的各项均为正数,∴q=1+.∴==q2=3+2.故选:D.7.(5分)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若λ为实数,(+λ)∥,则λ=()A.B.C.1 D.2【解答】解:∵向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).∴=(1+λ,2)∵(+λ)∥,∴4(1+λ)﹣6=0,∴故选B.8.(5分)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是()A.B.C. D.【解答】解:函数f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+)的图象向右平移φ的单位,所得图象是函数y=sin(2x+﹣2φ),图象关于y轴对称,可得﹣2φ=kπ+,即φ=﹣,当k=﹣1时,φ的最小正值是.故选:C.9.(5分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosC+sinC ﹣=0,则的值是()A.﹣1 B.+1 C.+1 D.2【解答】解:在△ABC中,sin=2,可得C+=B+=,解得C=B=,∴A=,∴===+1.故选:B.10.(5分)下列四个图中,函数y=的图象可能是()A.B.C.D.【解答】解:当x>0时,y>0,排除A、B两项;当﹣2<x<﹣1时,y>0,排除D项.故选:C.11.(5分)已知函数f(x)是定义域R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增,若实数a满足f(log2a)+f(log2)≤2f(1),则a的取值范围是()A.(﹣∞,2]B.(0,]C.[] D.(0,2]【解答】解:∵函数f(x)是定义域R在上的偶函数,∴由f(log2a)+f(log2)≤2f(1),得f(log2a)+f(﹣log2a)≤2f(1),即f(log2a)+f(log2a)=2f(log2a)≤2f(1),则f(log2a)≤f(1),∵在区间[0,+∞)单调递增,∴不等式等价为f(|log2a|)≤f(1),即|log2a|≤1,则﹣1≤log2a≤1,得≤a≤2,故选:C12.(5分)已知||=2,≠0,且关于x的函数f(x)=x3+||x2+•x在R 上有极值,则向量,的夹角范围是()A.B.C.D.【解答】解:∵在R上有极值∴有不等的根∴△>0即∴∵∴∵0≤θ≤π∴故选C二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知,向量与垂直,则实数λ=.【解答】解:由题意知λ =λ(﹣3,2)+(﹣1,0)=(﹣3λ﹣1,2λ),=(﹣3,2)﹣2(﹣1,0)=(﹣1,2),又因为两向量垂直,所以(﹣3λ﹣1,2λ)(﹣1,2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=.故答案为解得.14.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则公差d=1,m=5.【解答】解:由题意知,S m=﹣2,S m=0,S m+1=3,﹣1则a m=S m﹣S m﹣1=2,a m+1=S m+1﹣S m=3,所以等差数列{a n}的公差d=a m﹣a m=1,+1因为S m==0,所以a1=﹣a m=﹣2,则a m=﹣2+(m﹣1)•1=2,解得m=5,故答案为:1;5.15.(5分)若函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=对称,则φ的值为.【解答】解:∵函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ,k∈z,φ=kπ,k∈z,∵0<φ<π,∴k=1时,φ=,故答案为:.16.(5分)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P附近位于直线l 的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是①③④(写出所有正确命题的编号).①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=﹣1在点P(﹣1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x﹣1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx.【解答】解:对于①,由y=x3,得y′=3x2,则y′|x=0=0,直线y=0是过点P(0,0)的曲线C的切线,又当x>0时y>0,当x<0时y<0,满足曲线C在P(0,0)附近位于直线y=0两侧,∴命题①正确;对于②,由y=(x+1)2,得y′=2(x+1),则y′|x==0,﹣1而直线l:x=﹣1的斜率不存在,在点P(﹣1,0)处不与曲线C相切,∴命题②错误;对于③,由y=sinx,得y′=cosx,则y′|x=0=1,直线y=x是过点P(0,0)的曲线的切线,又x∈时x<sinx,x∈时x>sinx,满足曲线C在P(0,0)附近位于直线y=x两侧,∴命题③正确;对于④,由y=tanx,得,则y′|x=0=1,直线y=x是过点P(0,0)的曲线的切线,又x∈时tanx<x,x∈时tanx>x,满足曲线C在P(0,0)附近位于直线y=x两侧,∴命题④正确;对于⑤,由y=lnx,得,则y′|x=1=1,曲线在P(1,0)处的切线为y=x﹣1,设g(x)=x﹣1﹣lnx,得,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.∴g(x)在(0,+∞)上有极小值也是最小值,为g(1)=0.∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方,不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧,命题⑤错误.故答案为:①③④.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(Ⅰ)求a n及S n;(Ⅱ)令b n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有,解得a1=3,d=2,所以a n=3+2(n﹣1)=2n+1;S n=3n+.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1,所以b n====(﹣),所以数列{b n}的前n项和T n=(1﹣﹣)=(1﹣)=,即数列{b n}的前n项和T n=.18.(12分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的周期为4.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)的图象,P、Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低点(如图),求∠OQP的大小.【解答】解:(1)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=(sinωx+cosωx)=sin(ωx+),由于函数的周期为4=,得ω=,故f(x)=sin(x+).(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)=sin x.因为P、Q分别为该图象的最高点和最低点,∴P(1,)、Q (3,﹣).所以OP=2,PQ=4,OQ=,cosθ==,∴θ=.19.(12分)已知向量与共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的周期及最大值;(2)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C,若有,边BC=,,求△ABC的面积.【解答】解:(1)∵向量与共线∴∴∴函数f(x)的周期T=2π当时,函数f(x)的最大值为2;(2)∵∴∴∵∴A=∵BC=,,∴∴AC=2∵sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==∴△ABC的面积S=.20.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(﹣4n,0),且f'(0)=2n,(n∈N*).(1)求f(x)的解析式;(2)设数列{a n}满足,求数列{a n}的前n项和.【解答】解:(1)由f'(x)=2ax+b,∴解之得,即.(2)设,…①…②①﹣②可得:=2n+1﹣2﹣n•2n+1∴.21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.【解答】解:(1),①当a≤0时,,即函数f(x)的单调増区间为(0,+∞)②当a>0时,令,可得,当时,;当时,,故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)①当,即a≥1时,函数f(x)在区间[[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln2﹣2a.②当,即时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最小值是f(1)=﹣a.③当,即时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数.又f(2)﹣f(1)=ln2﹣a,所以当时,最小值是f(1)=﹣a;当ln2≤a<1时,最小值为f(2)=ln2﹣2a.综上可知,当0<a<ln2时,函数f(x)的最小值是﹣a;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2﹣2a.22.(12分)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y﹣3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>+,求k的取值范围.【解答】解:由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)(Ⅰ)由于直线x+2y﹣3=0的斜率为,且过点(1,1),故即解得a=1,b=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以).考虑函数(x>0),则.(i)设k≤0,由知,当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h′(x)<0,可得;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,可得h(x)>0从而当x>0,且x≠1时,f(x)﹣(+)>0,即f(x)>+.(ii)设0<k<1.由于当x∈(1,)时,(k﹣1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾.(iii)设k≥1.此时h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾.综合得,k的取值范围为(﹣∞,0].。
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江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】,,则,选B.2.函数的定义域为( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】,解得:且,选C.3.已知,则的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】,,,则,选C.4.已知奇函数是定义在上的减函数,则不等式的解集是( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】为奇函数,,函数是定义在上的减函数,则,解得:,选D.5.函数的值域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】设,,当时,,当时,,函数的值域是,选B.6.已知函数,若的值域为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,若的值域为,只需取满,当时,,值域为R 符合题意;当时,只需,解得,综上可知.7.已知,设函数的最大值为,最小值为,则的值为()A. 2016B. 4026C. 4027D. 4028【答案】C【解析】在上为增函数,最大值最小值为,,选C.8.集合,则集合与集合之间的关系()A. B. C. D.【答案】A【解析】设,则,说明集合A的元素一定是集合B的元素,则,选A. 9.若关于的方程(且)有两个不等实根,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】关于的方程(且)有两个不等实根,根据的图象可知只需,解得,选A.10.已知,若,则由构成的包含元素最多的集合的子集个数是()A. 32B. 16C. 8D. 4【答案】C【解析】设,则,则或,由于,取,则,,,,,,,,由构成的包含元素最多有3个,集合的子集个数是个,选C.11.已知函数,若关于的方程有7个不同实数解则()A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】作出函数的图象,令,由图象可知有4个不等实根,时,有3个不相等的实数根,时无实根.题中原方程有且只有7个不等实根,即有两个实根,一根为0,另一根大于零,则,所以选A.【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法,令,先画出函数的图象,根据根的个数判断原方程的根应该有几个,每个根应在哪个区间?问题转化为一元二次方程的根的分布问题,利用一元二次方程的根的分布列不等式,求出参数的取值范围.12.已知非空集合,,,则集合可以是()A. B. C. D.【答案】B【解析】,首先,有或,排除A、C,由于不等式不宜解答,所以采用排除法,取进行检验,,而,不符合不等式的要求,排除D,选B.【点睛】解答选择题的方法很多,主要有直接法,特值特例法、排除法,极限法等,有时利用直接法很费力的时候,不妨使用排除法,有时会出现意想不到的效果,但排除法最适宜求范围的问题,因为特值特例反验证还是比较方便使用并受人欢迎的方法.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知关于的函数是幂函数,则__________.【答案】【解析】关于的函数是幂函数,则 .14.已知函数是偶函数,当时,,则时,__________.【答案】【解析】函数是偶函数,,当时,,则.15.若满足,满足,则__________.【答案】【解析】若满足,,又满足,,所以,化简得.16.设,已知,则__________.【答案】【解析】设,则,即,,,同理化简另一部分得:,则,得,为锐角,可得,有.【点睛】有关换元法解题是一种常用的数学方法,换元法包括代数换元和三角换元,代数换元包括平均值换元等其他诸多换元方法,三角换元主要使用圆锥曲线的参数方程,三角换元主要依靠三角公式的运算较方便所采用的换元,需要利用三角公式进行恒等变形,以及利用角的范围求三角函数的最值.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.计算下列各式的值:(1)已知,求的值;(2).【答案】(1)1;(2).【解析】试题分析:对数运算要注意利用对数运算法则,包括积、商、幂的对数运算法则,这些公式既要学会正用,还要学会反着用,指数对数运算还要灵活进行指、对互化.另外值得一提的是要熟练使用对数的换底公式,要掌握最基本的结论,如本题中的的倒数是,类似的结论要灵活应用.试题解析:(1),;(2).18.已知.(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【详解】试题分析:有关集合包含关系求参数问题,首先落实两个集合,解不等式求出两个集合,利用集合包含关系求参数问题,一般在数轴上画出满足条件的集合A、B,根据集合A是集合B的子集,列出符合要求的不等式,注意端点能否取等号,解不等式,求出参数的取值范围.试题解析:(1)∵,.∴则.∵∴或∴实数的取值范围是;(2)当时,即∴.当时,即∵,.∴或即.∴.综上所述:实数的取值范围是.【点睛】利用集合包含关系求参数问题,一般先通过解不等式或方程求出集合,或求函数的定义域或值域落实集合,落实两个集合后,在数轴上画出满足条件的集合A、B,根据集合A是集合B的子集,列出符合要求的不等式,注意端点能否取等号,解不等式,求出参数的取值范围.19.如图,已知底角为的等腰梯形,底边长为12,腰长为,当一条垂直于底边 (垂足为)的直线从左至右移动(与梯形有公共点)时,直线把梯形分成两部分.(1)令,试写出直线右边部分的面积与的函数解析式;(2)在(1)的条件下,令.构造函数①判断函数在上的单调性;②判断函数在定义域内是否具有单调性,并说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析:首先根据题意寻求y 与自变量x的关系,根据x的不同情况求出y与x的函数关系,得出分段函数;根据所求出的函数f(x)的解析式,按照函数g(x)的要求,写出对应的函数g(x)的解析式,研究函数g(x)在(4,8)的单调性,按照分段函数的解析式分段研究函数的单调性.试题解析:(1)过点分别作,垂足分别是.因为等腰梯形的底角为,腰长为,所以,又,所以.当点在上时,即时,;当点在上时,即时,;当点在上时,即时,.所以,函数解析式为(2)①由二次函数的性质可知,函数在上是减函数.②虽然在和单调递减,但是,∴.因此函数在定义域内不具有单调性.【点睛】实际问题要认真读题研究,根据所设的自变量和函数值,寻求y 与自变量x的关系,根据x的不同情况求出y与x的函数关系,得出分段函数;根据所求出的函数f(x)的解析式,按照函数g(x)的要求,写出对应的函数g(x)的解析式,研究函数g(x)在(4,8)的单调性,按照分段函数的解析式分段研究函数的单调性.20.函数对一切实数均有成立,且.(1)求的值;(2)在上存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:本题为抽象函数问题,解决抽象函数的基本方法有两种:一是赋值法,二是“打回原型”,本题第一步采用赋值法,给x,y赋值2和0,得出 f(2)和f(0),求函数的零点只需令y=0,问题转化为方程在某区间内有解,分离参数把问题转化为与在某区间有交点问题,研究函数的单调性与图象得出答案.试题解析:(1)令,则∵∴;(2)令,易得:.在上存在,使得成立,等价于方程在有解.即.设函数.设是上任意两个实数,且,则.由,得,于是,即,所以函数在上是增函数.∴实数的取值范围是.【点睛】本题为抽象函数问题,解决抽象函数的基本方法有两种:一是赋值法,二是“打回原型”,本题第一步采用赋值法,求函数的零点只需令y=0,问题转化为方程在某区间内有解,分离参数把问题转化为两个函数图象在某区间有交点问题,研究函数的单调性与图象得出答案.21.已知函数的定义域是.(1)判断在上的单调性,并证明;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:首先要注意到大家熟知的常用的函数,第一定义域为R,第二这个函数是奇函数,第三它是单增函数,熟悉这3条,本题的第一步就只需按定义去证明了,有了函数的单调性,利用函数的单调性与奇偶性解不等式,利用极值原理求出参数的取值范围.试题解析:(1)因为函数的定义域为,对于函数定义域内的每一个,都有所以,函数是奇函数.设是上任意两个实数,且,则.由,得,即.于是,即.所以函数在上是増函数,且易证函数在上是増函数,且.∵∴函数在上是増函数.(2)等价于,即原条件等价于对任意恒成立,只需要.令,设函数.由函数的单调性可知.∴∴实数的取值范围.【点睛】:首先要注意到大家熟知的常用的函数,第一定义域为R,第二这个函数是奇函数,第三它是单增函数,熟悉这3条,本题的第一步就只需按定义去证明了,这样的函数很多,需要自己多总结,有了函数的单调性,利用函数的单调性与奇偶性解不等式,利用极值原理求出参数的取值范围.22.已知函数.(1)证明:对任意的,函数的图像与直线最多有一个交点;(2)设函数,若函数与函数的图像至少有一个交点,求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:两个函数图象的交点个数问题等价转化后为方程的解的个数讨论问题,针对参数b和两种情况进行讨论,研究图象的交点个数;当研究对数方程时,利用同底对数相等,只需真数大于零且相等,令转化为二次方程的根的分布问题,根据判别式等要求,列不等式求解.试题解析:(1)证明:原问题等价于解的讨论.因为,即.当时,方程无解,即两图像无交点;当时,方程有一解,即两图像有一个交点,得证.(2)函数与函数的图像至少有一个交点,等价于方程至少有一个解.即.设,即方程至少有一个正解.当时,即∵∴不符合题意当时,方程有一个正解,符合题意.当时,即.此时方程有两个不同的正解.综上所述:实数的取值范围是.转化成.利用函数单调性也可以处理.【点睛】本题可归纳到函数零点的问题,函数零点有三种解释,两个函数图象的交点个数问题等价转化后为方程的解的个数讨论问题,针对参数b 和两种情况进行讨论,研究图象的交点个数;当研究对数方程时,利用同底对数相等,只需真数大于零且相等,令转化为二次方程的根的分布问题,根据判别式等要求,列不等式求解.。