小学数学竞赛：燕尾定理.学生版解题技巧 培优 易错 难
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【例 11】如图，正方形 的面积是 平方厘米， 是 的中点， 是 的中点，四边形 的面积是_____平方厘米．
【例 12】如图，四边形 是矩形， 、 分别是 、 上的点，且 ， ， 与 相交于 ，若矩形 的面积为 ，则 与 的面积之和为．
【例 13】正六边形 ， ， ， ， ， 的面积是 平方厘米， ， ， ， ， ， 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
【巩固】在 中， ， ，求 ？
【巩固】在 中， ， ，求 ？
【例 5】如图9，三角形BAC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F，则四边形DEFC的面积等于。
【例 6】如图1， 中，点 在 上，点 在 上， 与 相交于点 ，如果 ，则 .
【例 7】如图4，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE。则两块田地ACF和CFB的面积比是___________。
【巩固】如图，三角形 的面积是 ， ， ， 与 相交于点 ，请写出这 部分的面积各是多少?
【巩固】如图， 在 上， 在 上，且 , ， 与 交于点 ．四边形 的面积等于 ，则三角形 的面积．
【巩固】三角形 中， 是直角，已知 ， ， ， ，那么三角形 (阴影部分)的面积为多少？
【例 4】如图所示，在 中， ， 是 的中点，那么 ．
【巩固】如图，三角形 的面积是 ， 在 上，点 在 上，且 , ， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于．
【巩固】如图，已知 ， ， 与 相交于点 ,则 被分成的 部分面积各占 面积的几分之几？
【巩固】如图所示，在 中， ， ， 与 相交于点 ，若 的面积为 ，则 的面积等于．
【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是 ， ， ，则阴影四边形的面积是多少？
燕尾定理：
在三角形 中， ， ， 相交于同一点 ，那么 ．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 和 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
【例 8】如图，长方形 的面积是 平方厘米， ， 是 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
【例 9】如图所示，在四边形 中， ， ，四边形 的面积是 ，那么平行四边形 的面积为________．
【例 10】 是边长为 厘米的正方形， 、 分别是 、 边的中点， 与 交于 ，则四边形 的面积是_________平方厘米．
【例 23】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.
平方厘米．
【例 14】已知四边形 ， 为正方形， ， 与 是两个正方形的边长，求
【例 15】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．
【例 16】如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，则三角形 的面积为______，三角形 的面积为________，三角形 的面积为______．
【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .
【例 2】如图，三角形 被分成 个三角形，已知其中 个三角形的面积，问三角形 的面积是多少?
【例 3】如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于．
【巩固】如图，已知 ， ，三角形 的面积是 ，求阴影部分面积.
【例 18】如右图， 中， 是 的中点， 、 、 是 边上的四等分点， 与 交于 ， 与 交于 ，已知 的面积比四边形 的面积大 平方厘米，则 的面积是多少平方厘米？
【巩固】如图， 中，点 是边 的Βιβλιοθήκη Baidu点，点 、 是边 的三等分点，若 的面积为1，那么四边形 的面积是_________．
【例 19】如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连接AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC的面积是________．
【巩固】如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，求三角形 的面积．
【巩固】如图， 中 ， ， ，那么 的面积是阴影三角形面积的倍．
【巩固】如图在 中， ,求 的值．
【巩固】如图在 中， ,求 的值．
【巩固】如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，求角形 的面积．
【例 17】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．
（36）
【例 20】如图，三角形 的面积是 ， ， ，三角形 被分成 部分，请写出这 部分的面积各是多少?
【巩固】如图， 的面积为1，点 、 是 边的三等分点，点 、 是 边的三等分点，那么四边形 的面积是多少？
【例 21】如右图，面积为 的 中， ， ， ，求阴影部分面积．
【例 22】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图， 是 上任意一点，请你说明：
【解析】三角形 与三角形 同高，分别以 、 为底，
所以有 ；三角形 与三角形 同高， ；三角形 与三角形 同高， ，所以 ；综上可得 .
【例 1】如右图，三角形 中， ， ，求 ．
【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .
【巩固】如图， , ,则
【例 12】如图，四边形 是矩形， 、 分别是 、 上的点，且 ， ， 与 相交于 ，若矩形 的面积为 ，则 与 的面积之和为．
【例 13】正六边形 ， ， ， ， ， 的面积是 平方厘米， ， ， ， ， ， 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
【巩固】在 中， ， ，求 ？
【巩固】在 中， ， ，求 ？
【例 5】如图9，三角形BAC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F，则四边形DEFC的面积等于。
【例 6】如图1， 中，点 在 上，点 在 上， 与 相交于点 ，如果 ，则 .
【例 7】如图4，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE。则两块田地ACF和CFB的面积比是___________。
【巩固】如图，三角形 的面积是 ， ， ， 与 相交于点 ，请写出这 部分的面积各是多少?
【巩固】如图， 在 上， 在 上，且 , ， 与 交于点 ．四边形 的面积等于 ，则三角形 的面积．
【巩固】三角形 中， 是直角，已知 ， ， ， ，那么三角形 (阴影部分)的面积为多少？
【例 4】如图所示，在 中， ， 是 的中点，那么 ．
【巩固】如图，三角形 的面积是 ， 在 上，点 在 上，且 , ， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于．
【巩固】如图，已知 ， ， 与 相交于点 ,则 被分成的 部分面积各占 面积的几分之几？
【巩固】如图所示，在 中， ， ， 与 相交于点 ，若 的面积为 ，则 的面积等于．
【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是 ， ， ，则阴影四边形的面积是多少？
燕尾定理：
在三角形 中， ， ， 相交于同一点 ，那么 ．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 和 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
【例 8】如图，长方形 的面积是 平方厘米， ， 是 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
【例 9】如图所示，在四边形 中， ， ，四边形 的面积是 ，那么平行四边形 的面积为________．
【例 10】 是边长为 厘米的正方形， 、 分别是 、 边的中点， 与 交于 ，则四边形 的面积是_________平方厘米．
【例 23】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.
平方厘米．
【例 14】已知四边形 ， 为正方形， ， 与 是两个正方形的边长，求
【例 15】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．
【例 16】如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，则三角形 的面积为______，三角形 的面积为________，三角形 的面积为______．
【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .
【例 2】如图，三角形 被分成 个三角形，已知其中 个三角形的面积，问三角形 的面积是多少?
【例 3】如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于．
【巩固】如图，已知 ， ，三角形 的面积是 ，求阴影部分面积.
【例 18】如右图， 中， 是 的中点， 、 、 是 边上的四等分点， 与 交于 ， 与 交于 ，已知 的面积比四边形 的面积大 平方厘米，则 的面积是多少平方厘米？
【巩固】如图， 中，点 是边 的Βιβλιοθήκη Baidu点，点 、 是边 的三等分点，若 的面积为1，那么四边形 的面积是_________．
【例 19】如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连接AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC的面积是________．
【巩固】如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，求三角形 的面积．
【巩固】如图， 中 ， ， ，那么 的面积是阴影三角形面积的倍．
【巩固】如图在 中， ,求 的值．
【巩固】如图在 中， ,求 的值．
【巩固】如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，求角形 的面积．
【例 17】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．
（36）
【例 20】如图，三角形 的面积是 ， ， ，三角形 被分成 部分，请写出这 部分的面积各是多少?
【巩固】如图， 的面积为1，点 、 是 边的三等分点，点 、 是 边的三等分点，那么四边形 的面积是多少？
【例 21】如右图，面积为 的 中， ， ， ，求阴影部分面积．
【例 22】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图， 是 上任意一点，请你说明：
【解析】三角形 与三角形 同高，分别以 、 为底，
所以有 ；三角形 与三角形 同高， ；三角形 与三角形 同高， ，所以 ；综上可得 .
【例 1】如右图，三角形 中， ， ，求 ．
【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .
【巩固】如图， , ,则