数学竞赛定理

欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。

欧拉大定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr

九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点：已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。

海伦公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝

21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝

))()((c p b p a p p ---

塞瓦定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则

1=⋅⋅FB

AF EA CE DC BD

密格尔定理：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚定理:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西姆松定理：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

笛沙格定理：已知在△ ABC 与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O ，BC 与B'C'、CA 与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线

摩莱三角形：在已知△ABC 三内角的三等分线中，分别与BC 、CA 、AB 相邻的每两线相

交于点D 、E 、F ，则三角形DDE 是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。

帕斯卡定理：已知圆内接六边形ABCDEF 的边AB 、DE 延长线交于点G ，边BC 、EF 延长线交于点H ，边CD 、FA 延长线交于点K ，则H 、G 、K 三点共线

托勒密定理：在圆内接四边形中，此四边形对角线的乘积等于两组对边的乘积之和

布拉美古塔定理：在圆内接四边形ABCD 中，若对角线相互垂直，则自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边

梅捏劳斯定理：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 或其延长线被同一条直线截于点D 、E 、F ，则

1=⋅⋅FB

AF EA CE DC BD

帕普斯定理：若

蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点

四边形蝴蝶定理：若四边形一条对角线平分另一对角线，则过其交点的两条直线，以四边交点（邻边）的连线，与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等

拿破仑定理：1、以任意三角形的三条边为边, 向外构造三个等边三角形, 则这三个等边三角形的外接圆中心恰为中心等边三角形的顶点2、三角形ABC 中,向三边分别向外侧作正三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.3、若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形

凡·奥贝尔定理：在任意一个凸四边形中，以各边为边分别向外部做正方形，将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直

中线定理：在△ABC 中，点K 为边BC 中点, BK+KC ，则AB^2+AC^2=2*(AK^2+BK^2)

斯台沃特定理：任意三角形ABC 中，D 是底边BC 上一点，连结AD ，则有

AB^2*CD+AC^2*BD-AD^2*BC=BD*CD*AD

广勾股定理：1、锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边

在这边上的射影乘积的两倍2、钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍3、平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和4、△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c

则：m a =

2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+

阿基米德折弦定理：AB 和BC 是⊙O 的两条弦（即ABC 是圆的一条折弦），BC ＞AB ，M 是弧ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足G 是折弦ABC 的中点，即AB ＋BG ＝GC

内角平分线定理：△ABC 中∠A 的平分线交边BC 于D ，∠1=∠2，则有

AC AB DC BD =

外角平分线定理：△ABC 中∠A 外角的平分线交边BC 的延长线于D ，∠1=∠2，则有AC

AB DC BD =

三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P

正弦定理：在△ABC 中有R C

c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，则有：1、a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA 2、b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB

3、c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC

正切定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，∠A=α,∠B=β,则有(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)

欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间有关系V+F-E=2