高考数学课时达标52

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2022高考数学总复习(人教A理一轮)课时规范练52 算法初步

课时规范练52算法初步基础巩固组1.如图,若依次输入的x分别为5π6,π6,相应输出的y分别为y1,y2,则y1,y2的大小关系是()A.y1=y2B.y1>y2C.y1<y2D.无法确定(第1题图)(第2题图)2.如图所示的程序框图所实现的功能是()A.输入a的值,计算(a-1)×32 021+1B.输入a的值,计算(a-1)×32 020+1C.输入a的值,计算(a-1)×32 019+1D.输入a的值,计算(a-1)×32 018+13.如果执行如图的程序框图,那么输出的S值是()A.2 010B.-1C.12D.2(第3题图)(第4题图)4.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,…,a n分别为0,1,2,…,n.若n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为()A.248B.258C.268D.2785.执行如图所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.3(第5题图)(第6题图)6.按如图所示的程序框图,某同学在区间[0,9]上随机地取一个数作为x输入,则该同学能得到“OK”的概率为()A.12B.19C.1318D.897.某程序框图如图所示,运行该程序后输出S=()A.53B.74C.95D.116(第7题图)(第8题图)8.执行如图的程序框图,如果输入的x∈-π4,π,则输出y的取值范围是() A.[-1,0] B.[-1,√2] C.[1,2] D.[-1,1]综合提升组9.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是()A.i<20?S=S-1i,i=2iB.i≤20?S=S-1i,i=2iC.i<20?S=S2,i=i+1D.i≤20?S=S2,i=i+110.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”,用现代数学的方法解释如下,“三分损一”是在原来的长度减去一分,即变为原来的三分之二;“三分益一”是在原来的长度增加一分,即变为原来的三分之四,如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的x的值为1,则输出的x的值为()A.1627B.3227C.89D.2311.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成,用来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“EAN-13”通用代码,它是由从左到右排列的13个数字(用a1,a2,…,a13表示)组成,这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码,其中a13是校验码,用来校验前12个数字代码的正确性.图1是计算第13位校验码的程序框图,框图中符号[M ]表示不超过M的最大整数(例如[365.7]=365).现有一条形码如图2所示(97a37040119917),其中第3个数被污损,那么这个被污损的数字a3是()图1图2A.6B.7C.8D.912.根据某校10位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图(图1),其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,设计一个程序框图(图2),用A i(i=1,2,…,10)表示第i个同学的身高,计算这些同学身高的方差,则程序框图①中要补充的语句是()图1图2A.B=B+A iB.B=B+A i 2C.B=(B+A i -A )2D.B=B 2+A i 213.我国南北朝时期的数学家张丘建在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题,问题如下:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?用代数方法表述为:设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x ,y ,z ,则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组{5x +3y +z3=100,x +y +z =100的解.其解题过程可用框图表示如下图所示,则框图中正整数m 的值为 .(第13题图)(第14题图)14.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”.若输入的m,n分别为385,105,执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数,例:11 MOD 7=4),则输出的m=.参考答案课时规范练52算法初步1.C由程序框图可知,当输入的x为5π6时,sin5π6>cos5π6成立,所以输出的y1=sin5π6=12;当输入的x为π时,sinπ>cosπ不成立,所以输出的y2=cosπ=√3,所以y1<y2.2.B由程序框图可知a1=a,a n+1=3a n-2,由i的初值为1,末值为2 019可知,此递推公式共执行了2 019+1=2 020(次),又由a n+1=3a n-2,得a n+1-1=3(a n-1),得a n-1=(a-1)×3n-1,即a n=(a-1)×3n-1+1,故a2021=(a-1)×32 021-1+1=(a-1)×32 020+1,故选B.3.D当k=0时,S=-1,k=1时,S=12,当k=2时,S=2,所以S的值呈现周期性变化,周期为3.当k=2 018=3×672+2时,S的值与k=2时的值相等,即S=2.当k=2 019时,k<2 019不成立,输出S=2.故选D.4.B该程序框图是计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值,f(2)=258,故选B.5.C先画出x ,y 满足的约束条件{x ≥0,y ≥0,x +y ≤1,对应的可行域如图中的阴影部分.平移直线l 0:y=-2x.当直线经过点A (1,0)时,y=-2x+S 中截距S 最大,此时S max =2×1+0=2. 与x ≥0,y ≥0,x+y ≤1不成立时S=1进行比较,可得S max =2. 6.C 当x ∈0,12时,由算法可知y=-2x+2得y ∈[1,2],能得到“OK ”; 当x ∈12,1时,由算法可知y=-2x+2得y ∈(0,1),不能得到“OK ”;当x ∈[1,3)时,由算法可知y=log 3x 得y ∈[0,1),不能得到“OK ”; 当x ∈[3,9]时,由算法可知y=log 3x 得y ∈[1,2],能得到“OK ”;∴P=12+69=1318,故选C .7.D 根据程序框图可知其功能为计算:S=1+11×2+12×3+…+1n (n+1)=1+1-12+12−13+…+1n −1n+1=1+1-1n+1=2n+1n+1,初始值为n=1,当n=6时,输出S ,可知最终赋值S 时n=5,所以S=2×5+15+1=116,故选D .8.B 流程图计算的输出值为分段函数:y={2cos 2x +sin2x -1,x <π2,cos 2x +2sinx -1,x ≥π2,原问题即求解函数在区间[-π4,π]上的值域.当-π4≤x<π2时,y=2cos 2x+sin 2x-1=cos 2x+1+sin 2x-1=√2sin (2x +π4),-π4≤x<π2,则-14π≤2x+π4<54π,此时函数的值域为[-1,√2]. 当π2≤x ≤π时,y=cos 2x+2sin x-1=-sin 2x+2sin x ,π2≤x ≤π,则0≤sin x ≤1,此时函数的值域为[0,1].综上可得,函数的值域为[-1,√2]∪[0,1],即[-1,√2]. 即输出y 的取值范围是[-1,√2].故选B .9.D 根据题意可知,第一天S=12,所以满足S=S 2,不满足S=S-1i,故排除A,B,由框图可知,计算第二十天的剩余时,有S=S 2,且i=21,所以循环条件应该是i ≤20.故选D .10.B 若x=1,则x=23,i=2,则x=89,i=3,则x=3227,i=4,结束循环,输出结果x=3227,故选B . 11.B 由程序框图可知,S 表示的结果为前12项中所有偶数项之和,T 表示的结果为前12项中所有奇数项之和,则 S=7+7+4+1+9+1=29,T=9+a 3+0+0+1+9=19+a 3,M=3×29+19+a 3=106+a 3,由检验码,a 13=7,可知N=10-a 13=3, 结合选项进行检验: 若a 3=6,则N=106+a 3-106+a 310×10=106+6-106+610×10=2,不合题意; 若a 3=7,则N=106+a 3-106+a 310×10=106+7-106+710×10=3,符合题意; 若a 3=8,则N=106+a 3-106+a 310×10=106+8-106+810×10=4,不合题意; 若a 3=9,则N=106+a 3-106+a 310×10=106+9-106+910×10=5,不合题意.故选B .12.B 由s 2=(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2n=x 12+x 22+…+x n 2-2(x 1+x 2+…+x n )x+nx2n=x 12+x 22+…+x n 2-2nx 2+nx 2n=x 12+x 22+…+x n 2n−x 2,循环退出时i=11,知x 2=(A i -1)2.所以B=A 12+A 22+…+A 102,故程序框图①中要补充的语句是B=B+A i 2.故选B .13.4 由{5x +3y +z3=100,x +y +z =100,得y=25-74x ,故x 必为4的倍数,当x=4t 时,y=25-7t ,由y=25-7t>0得t 的最大值为3,故判断框应填入的是“t<4?”,故m=4.14.35 模拟执行程序,可得m=385,n=105,执行循环体,r=70,m=105,n=70,不满足条件r=0,执行循环体;r=35,m=70,n=35,不满足条件r=0,执行循环体;r=0,m=35,n=0,满足条件r=0,退出循环,输出的m 值为35.内容仅供参考后记亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。

高中数学课时达标训练五新人教A版选修1_1

课时达标训练（五）[即时达标对点练]题组1 全称命题、特称命题及其真假判断1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( ) A ．斜三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2>0 C ．任意无理数的平方必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>22．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>23．有下列四个命题：①∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1>0；③∃x 0∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题组2 全称命题、特称命题的否定4．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥05．命题“∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( ) A ．∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 C ．∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0 D ．∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >06．命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则是( )A ．有些三角形不是等腰三角形B ．所有三角形是等边三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形7．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________________________．题组3 全称命题、特称命题的应用8．已知命题“∃x 0∈R ，2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．9．已知p ：∀x ∈R ，2x >m (x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．[能力提升综合练]1．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<33．已知命题p ：∀x ∈R ，2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．是假命题 D ．是假命题4．已知命题p ：∀b ∈[0，＋∞)，f (x )＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为增函数，命题q ：∃x 0∈Z ，使log 2x 0>0，则下列结论成立的是( )5．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________．6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．①∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)；③∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ④∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)．7．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x·m ＋1＝0成立，若是假命题，求实数m 的取值范围．8．已知p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．答案即时达标对点练1.解析：选A 只有A ，C 两个选项中的命题是全称命题；且A 显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C 为假命题．2.解析：选BA 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x＜0，所以D 是假命题．3. 解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x 0＝0或x 0＝1时，有x 20≤x 0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数成立，所以④为真命题． 4. 解析：选C 全称命题：∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0的否定是特称命题：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.5. 解析：选D 特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选D.6. 解析：选C 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.7.解析：“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定为“∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0”．答案：∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠08. 解析：由题意可得“对∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1<a <3.答案：(－1，3)9. 解：由命题p 为真可知2x >m (x 2＋1)恒成立，即mx 2－2x ＋m <0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m 2<0，解得m <－1. 由命题q 为真可得 Δ＝4－4(－m －1)≥0，解得m ≥－2，因为p ∧q 为真，所以p 真且q 真，所以由⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥－2，得－2≤m <－1，所以实数m 的取值范围是[－2，－1)．能力提升综合练1. 解析：选C 命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0”．2. 解析：选BA 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x 0∈Z ，故D 为假命题．3. 解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，∴p 为假命题，为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4＝2，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而为假命题．4. 解析：选D f (x )＝x 2＋bx ＋c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋c －b 24，对称轴为x ＝－b2≤0，所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数，命题p 是真命题．令x 0＝4∈Z ，则log 2x 0＝2>0，所以命题q 是真命题，为假命题，p ∨()为真命题．故选D.5. 解析：命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是特称命题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4>0恒成立，所以命题p为假命题，命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥06. 解析：由题意：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．答案：③7. 解：∵为假命题，∴p为真命题．即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．由4x＋2x·m＋1＝0，得m＝－2x－12x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x＋12x≤－2.即m的取值范围为(－∞，－2]．8. 解：p为真时，x2－a≥0，即a≤x2.∵x∈[1，2]时，上式恒成立，而x2∈[1，4]，∴a≤1. q为真时，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．∴a＝1或a≤－2.即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}.。

高考数学课时达标测试：第1章第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

课时达标第2讲一、选择题1．已知命题p ：正数a 的平方不等于0,命题q ：若a 不是正数,则它的平方等于0,则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定B 解析命题“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题．2．(2018·天津卷)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析由⎪⎪⎪⎪x －12＜12得0＜x ＜1,由x 3＜1得x ＜1,而0＜x ＜1⇒x ＜1,x ＜1⇒/ 0＜x ＜1.故选A. 3．原命题为“△ABC 中,若cos A <0,则△ABC 为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．真、假、假B 解析因为cos A <0,0<A <π,则A 必为钝角,△ABC 为钝角三角形,所以原命题为真,从而逆否命题也为真；△ABC 为钝角三角形,可能是B 或C 为钝角,A 为锐角,则cos A >0,所以逆命题为假,从而否命题也为假．故选B.4．(2018·浙江卷)已知平面α,直线m ,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析由立体几何知识知m ⊄α,n ⊂α,m ∥n ⇒m ∥α.但m ∥α时,m 与α内的直线n 可能异面．故选A.5．命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≤4B ．a ≥4C ．a ≤5D ．a ≥5D 解析命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充要条件是∀x ∈[1,2],a ≥x 2恒成立,即a ≥4.故命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是D 项．6．(2019·北京东城期末)下列四个选项中错误的是( )A ．命题“若x ≠1,则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0,则x ＝1”B ．存在x 0∈R ,使x 20＋2x 0＋3＝0C ．“若α＝β,则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题D ．“x ＞2”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件B解析对于A项,显然正确；对于B项,因为Δ＝4－12＜0,所以方程无实根,故B项错误；对于C项,“若α＝β,则sin α＝sin β”为真命题,所以其逆否命题也为真命题,故C项正确；对于D项,x2－3x＋2＞0的解集是{x|x＞2或x＜1},故D项正确．二、填空题7．已知命题p：若a>b>0,则log12a<log12b＋1,命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．解析因为a>b>0,所以log12a<log12b,所以命题p为真命题,其逆命题为：若log12a<log12b＋1,则a>b>0,因为a＝2,b＝2时,log12a<log12b＋1,而a＝b,所以逆命题为假命题．根据命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题的真假相同,知命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中只有2个是真命题．答案28．能够说明“设a,b,c是任意实数,若a＞b＞c,则a＋b＞c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________．解析取a＝－1,b＝－2,c＝－3,满足a>b>c,但a＋b＝－3＝c,不满足a＋b>c,故“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a＋b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为－1,－2,－3.答案－1,－2,－3(答案不唯一)9．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A,函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为________．解析由x2＋x－6<0得A＝(－3,2),由x－a>0得B＝(a,＋∞),若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B,则a≤－3.答案(－∞,－3]三、解答题10．写出“若x＝2,则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假．解析逆命题：若x2－5x＋6＝0,则x＝2,是假命题；否命题：若x≠2,则x2－5x＋6≠0,是假命题；逆否命题：若x2－5x＋6≠0,则x≠2,是真命题．11．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A,函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B.(1)求集合A,B；(2)已知p：m∈A,q：m∈B,若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围．解析(1)A＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞3},B＝{y|y＝2x－a,x≤2}＝{y|－a ＜y≤4－a}．(2)因为綈p是綈q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,所以B A,所以4－a<－1或－a≥3,所以a≤－3或a>5,即实数a的取值范围是(－∞,－3]∪(5,＋∞)．12．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0,x∈R},q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0,x∈R,m∈R}．(1)若A ∩B ＝[1,3],求实数m 的值；(2)若p 是綈q 的充分条件,求实数m 的取值范围．解析 (1)由题意得A ＝{x |－1≤x ≤3,x ∈R },B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3,x ∈R ,m ∈R },因为A ∩B ＝[1,3],所以m －3＝1,解得m ＝4.(2)因为p 是綈q 的充分条件,所以A ⊆(∁R B ),因为∁R B ＝{x |x ＜m －3或x ＞m ＋3,x ∈R ,m ∈R },所以m －3＞3或m ＋3＜－1,解得m ＞6或m ＜－4,即实数m 的取值范围是(－∞,－4)∪(6,＋∞)．13．[选做题](2019·商南高中模拟)在△ABC 中,设p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A,q ：△ABC 是等边三角形,那么p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析 a sinB ＝b sinC ＝c sin A ,即2R sin A sin B ＝2R sin B sin C,R 为△ABC 外接圆半径,所以sin A sin C ＝sin 2B ①；2R sin B sin C ＝2R sin C sin A,sin A sin B ＝sin 2 C ②. ①－②,得(sin C －sin B )(sin A ＋sin B ＋sin C )＝0,则sin C ＝sin B ,所以C ＝B .代入①得C ＝A ,所以A ＝B＝C ,则△ABC 是等边三角形．当△ABC 为等边三角形时,即A ＝B ＝C ,a ＝b ＝c 时,a sin B ＝b sin C ＝c sin A＝2R 成立,所以p 是q 的充要条件．故选A.。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练50二项式定理北师大版

课时规范练50 二项式定理基础巩固组1.(x +12x )6的展开式中的第3项为( ) A.3x 4B.52C.154x 2D.1516x 22.(1x -1)5的展开式中x -2的系数是( ) A.15 B.-15 C.10D.-103.(2021湖南怀化一模)(x 2+1)(1x -2)5展开式的常数项为( ) A.112 B.48 C.-112D.-484.(2021湖北荆门月考)若(x √x3)8的展开式中x 4的系数为7,则展开式的常数项为( )A.716 B.12 C.-716D.-125.(2021广东湛江三模)(1+3x )2+(1+2x )3+(1+x )4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4= ( )A.49B.56C.59D.646.(x +1x -2)6的展开式中含x 5项的系数为( ) A.12 B.-12 C.24D.-247.对于二项式(1x+x 3)n (n ∈N *),以下判断正确的有( )①存在n ∈N *,展开式中有常数项 ②对任意n ∈N *,展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N *,展开式中没有含x 的项 ④存在n ∈N *,展开式中有含x 的项 A.①③B.②④C.②③D.①④8.(2021福建漳州模拟)已知(x+1)6=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a 6(x-1)6,则a 4= . 9.(2021湖南长郡中学模拟三)若(x -12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 .(用数字作答)综合提升组10.(2021河南郑州一模)式子(x -y 2x)(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为( ) A.3 B.5 C.15 D.2011.已知(ax 2+√x)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法不正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15的项的系数为45 12.(2021河北石家庄一模)关于(1-2x )2 021=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2 021x 2 021(x ∈R ),则( )A.a 0=0B.a 1+a 2+a 3+…+a 2 021=32 021C.a 3=8C 20213D.a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2 021=1-32 02113.(2021安徽蚌埠高三开学考试(理))若二项式(x +12)n展开式中第4项的系数最大,则n 的所有可能取值的个数为 .14.(2021福建宁德三模)已知(a +1x)(1+x )5展开式中的所有项的系数和为64,则实数a= ;展开式中常数项为 .创新应用组15.设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220,a≡b(mod 10),则b的值可以是()A.2 018B.2 019C.2 020D.2 02116.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如下图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为.课时规范练50 二项式定理1.C 解析∵(a+b )n的二项式通项为T k+1=C n k ·a n-k·b k,∴(x +12x )6的展开式中的第3项是T 3=T 2+1=C 62·x 6-2·(12x )2=154x 2. 2.D 解析(1x-1)5的二项式通项T k+1=C 5k (1x )5-k ·(-1)k =(-1)k ·C 5k x k-5,当k=3时,T 4=-C 53x -2=-10x -2,即x -2的系数为-10.3.C 解析由题得,(1x -2)5的二项式通项为T r+1=C 5r (-2)r x r-5,令r=3,r=5,得展开式的常数项为C 53×(-2)3+(-2)5=-112.故选C .4.A 解析(x √x 3)8的二项式通项为T r+1=C 8r x 8-r (√x3)r=C 8r (-a )r x 8-43r .令8-43r=4,解得r=3,所以展开式中x 4的系数为C 83(-a )3=7,解得a=-12,所以(x √x3)8的二项式通项为T r+1=C 8r (12)rx 8-43r .令8-43r=0,解得r=6,所以展开式的常数项为C 86×(12)6=716.故选A .5.C 解析令x=1,a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(1+3)2+(1+2)3+(1+1)4=59.故选C . 6.B 解析由(x +1x -2)6=(x 2-2x+1x)6=(x -1)12x 6,则(x-1)12的二项式通项为T r+1=C 12rx12-r(-1)r=(-1)rC 12rx12-r.当r=1,此时T 2=-1×C 121x 11=-12x 11,可得(x -1)12x 6展开式中x 5项的系数为-12.故选B .7.D 解析设(1x +x 3)n (n ∈N *)的二项式通项为T k+1,则T k+1=C n k (1x )n -k(x 3)k =C n k x4k-n,不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故①正确,②错误;令n=3,则当k=1时,展开式中有含x 的项,故③错误,④正确.故选D .8.60 解析∵(x+1)6=[(x-1)+2]6,∴展开式通项T r+1=C 6r(x-1)6-r 2r.由题知,a 4对应6-r=4,则可得r=2.∴T 3=C 62(x-1)4·22=4C 62(x-1)4,即a 4=4C 62=60.9.358 解析(x -12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则由二项式系数性质知,展开式共有9项,则n=8.(x -12x )8的二项式通项为T r+1=C 8r x 8-r·(-12x )r =(-12)rC 8rx 8-2r,令8-2r=0,解得r=4.所以展开式中常数项为T 5=(-12)4×C 84=116×70=358.10.B 解析∵(x -y 2x)(x+y )5=x (x+y )5-y 2x (x+y )5, 则x (x+y )5的二项式通项为T k+1=x C 5k x 5-k y k=C 5k x 6-k y k, y 2x(x+y )5的二项式通项为T r+1=y 2xC 5r x 5-r y r=C 5rx 4-r y r+2,由{6-k =3,4-r =3,解得{k =3,r =1. 故式子(x -y 2x)(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为C 53−C 51=5. 故选B .11.A 解析由二项展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为(x 2√x)10=(x 2+x -12)10.二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A 不正确;由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x 2与x -12的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确;若展开式中存在常数项,由二项式通项T k+1=C 10k x 2(10-k )·x -12k 可得2(10-k )-12k=0,解得k=8,故C 正确;由二项式通项T k+1=C 10kx2(10-k )x -12k 可得2(10-k )-12k=15,解得k=2,所以展开式中含x 15的项的系数为C 102=45,故D 正确.故选A .12.D 解析令x=0,则12021=a 0,即a 0=1,故A 错误;令x=1,则(1-2)2021=a 0+a 1+a 2+…+a 2021,即a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-1,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-2,故B 错误;根据二项式通项得,a 3=C 20213×12018×(-2)3=-8C 20213,故C 错误;令x=1,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-1, 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 2021=(1+2)2021=32021,两式相加可得a 0+a 2+…+a 2020=32021-12, ① 两式相减可得a 1+a 3+…+a 2021=-1-320212,②②-①可得-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2021=-1-32021-32021+12=-32021,所以a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2021=1-32021,故D 正确.故选D .13.4 解析因为(x +12)n的二项式通项为C n r x n-r (12)r=C n r (12)r x n-r.由题意可得{C n 3(12)3≥C n 2(12)2,C n 3(12)3≥C n 4(12)4,即{n -2≥6,8≥n -3,故8≤n ≤11.又因为n 为正整数,所以n=8或9或10或11,故n 的所有可能取值的个数为4.14.1 6 解析令x=1,可得(a +1x)(1+x )5展开式中的所有项的系数和为32(a+1)=64,解得a=1.则展开式中常数项为a ×C 50+C 51=1+5=6.15.D 解析a=C 200+C 201·2+C 202·22+…+C 2020·220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1.又因为a ≡b (mod10),所以b 的值可以是2021.16.56 解析由题意第10行的数就是(a+b )10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为C 104C 105=56.。

2020年高考数学(文科)一轮复习第九单元听课手册第52讲随机事件的概率

听课手册第52讲随机事件的概率1.概率和频率(1)频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f n(A)= 为事件A出现的.(2)概率:对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小,并把这个常数称为随机事件A的,记作P(A).(3)频率与概率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个的值,因此,人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.2.事件的关系与运算3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:.(2)必然事件A的概率P(A)= .(3)不可能事件A的概率P(A)= .(4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= .(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)= .题组一常识题1.[教材改编]一次射击训练中,66名队员各射击一次,所得环数统计如下:3环,2人;4环,4人;5环,9人;6环,18人;7环,11人;8环,12人;9环,7人;10环,3人.则不少于7环的频数为;不少于7环的概率约为.2.[教材改编]给出下列命题,其中真命题有个.①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.3.[教材改编]如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张,那么取到红心的概率是,取到方块的概率是,则“取到红心”与“取到方块”是(填“互斥事件”“对立事件”),取到黑色牌的概率是.题组二常错题◆索引:混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误;频率与概率的关系理解不清致错.4.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,给出下列四组事件:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②两个都是偶数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述每组事件中,是互斥事件的有;是对立事件的有.5.击中靶心的概率约为.6.同时掷3枚硬币,至少有1枚正面向上的概率是.探究点一事件关系的判断例1 (1)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率为的事件是()A.至多有1张移动卡B.恰有1张移动卡C.都不是移动卡D.至少有1张移动卡(2)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球,从中取出2个小球.事件A=“取出的2个小球同色”,事件B=“取出的2个小球中至少有1个黄球”,事件C=“取出的2个小球中至少有1个白球”,事件D=“取出的2个小球不同色”,事件E=“取出的2个小球中至多有1个白球”.下列结论中,正确结论的序号为.①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C∪E)=1.[总结反思] 判断事件关系时的常用方法:(1)利用集合观点判断事件关系;(2)写出所有的试验结果,看所求事件中包含哪几个试验结果,从而判断所求事件的关系.变式题(1)口袋中装有形状相同的3个白球和4个黑球,从中任取3个球,则:①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中,是对立事件的为()A.①B.②C.③D.④(2)有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A.互斥但不对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对探究点二随机事件的频率与概率例2[2017·全国卷Ⅲ]某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.[总结反思] (1)概率与频率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率随着试验次数的变化而变化,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.(2)求频率的关键是确定频数,解题时要将已知条件转化为确定频数的条件,从而计算频数.变式题某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表,将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率.(1)求这30(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择一天做促销活动,求这一天恰好是在日销售量低于50枝时的概率.探究点三互斥事件与对立事件的概率例3 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:求:(1)至多2(2)至少3人排队等候的概率.[总结反思] 求复杂事件概率的两种常用方法:(1)直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接法:先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P()求得,即运用逆向思维(正难则反)求解,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法往往会比较简便.变式题某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖分别为事件A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.完成课时作业(五十二)。

2019-2020年高中数学《第52课时计数原理和排列组合》教学案新人教A版必修3

2019-2020年高中数学《第52课时计数原理和排列组合》教学案新人教A版必修3基础训练1. 有四位老师在同一年级的4个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法总数是________种．2． 4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有________种．3．从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不能当班长，b不能当副班长．不同选法总数为________种．4．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．5．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．重点讲解1．分类计数原理完成一件事，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事，需要分成n个不同的步骤，完成第1步有m1种不同的方法，完成第2步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n、m∈N*，且m≤n.(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝14．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．(3)组合数的计算公式：C m n ＝A m n A m m ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n __；②C m n ＋1＝C m n __＋C m －1n __. 典题拓展例1.高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人。

高考数学(人教文科)总复习(福建专用)配套训练：课时规范练52 Word版含解析

课时规范练52古典概型基础巩固组1.(2017安徽马鞍山一模,文6)从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是()A. B. C. D.2.同时抛掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是()A. B. C. D.3.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A. B. C. D.4.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为()A. B. C. D.5.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为()A. B. C. D.6.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.7.将一颗质地均匀的骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使直线l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率为p1,不平行的概率为p2,若点(p1,p2)在圆(x-m)2+y2=的内部,则实数m的取值范围是.8.(2017江西宜春中学3月模拟,文19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.9.(2017辽宁鞍山一模,文18)上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组[40,50);第二组[50,60);……第六组[90,100],并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率.〚导学号24190953〛综合提升组10.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为()A. B. C. D.11.(2017湖北武昌1月调研,文14)已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数: 57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.12.抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过的概率为.13.(2017湖南邵阳一模,文19)空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.现统计邵阳市市区2017年10月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这60天中属轻度污染的天数;(2)求这60天空气质量指数的平均值;(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,……第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为x,y,求事件|x-y|≤150的概率.〚导学号24190954〛创新应用组14.已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈M,则函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数的概率是()A. B. C. D.15.(2017北京丰台一模,文18)某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送.学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度,采用问卷的形式,随机抽取了40名学生对两家公司分别评分.根据收集的80份问卷的评分,得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表.[90,100]2(1)根据A公司的频率分布直方图,估计该公司满意度评分的中位数;(2)从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份,求这两份问卷都是给A公司评分的概率;(3)请从统计角度,对A,B两家公司做出评价.答案：1.C从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点,基本事件总数为n=10,它们作为顶点的三角形是锐角三角形的方法种数为5,故以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是P=.故选C.2.C同时抛掷两枚骰子,基本事件总数为36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A,则事件A包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4个,故P(A)=.3.B从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为.4.B依题意,以(x,y)为坐标的点共有6×6=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率P=.5.A由题意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.因为m⊥n,即m·n=0,所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5),共2个,故所求的概率为.6.(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为.(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则表示“向上的点数之和不小于10”,的基本事件共有6个,所以P()=,P(A)=1-P()=.7.由题意可知直线l1的斜率k1=-,直线l2的斜率k2=-.∵l1∥l2,∴k1=k2.∴-=-.∴ab=6.∴能使l1∥l2的情况有(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),共4种.又总的基本事件有36种,∴能使l1∥l2的概率为p1=,不平行的概率为p2=.∴由-,解得m的取值范围是.8.解(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1,4和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3,共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1,3和2,1两个.因此所求事件的概率P=.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.又满足条件n≥m+2的事件为:(1,3),(1,4),(2,4),共3个,所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=.故满足条件n<m+2的事件的概率为1-P1=1-.9.解(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间[80,90)内的频率为1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1,所以平均分为0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68(分),众数的估计值是65.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”,由题意可知成绩在区间[80,90)内的学生有:40×0.1=4,记这4名学生分别为a,b,c,d,成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40=2(人),记这2名学生分别为e,f,则从这6人中任选2人的基本事件空间为:Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c)(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)}共15种, 事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为:A={(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)},共9种,故所求事件的概率为P(A)=.10.C因为f(x)=x3+ax-b,所以f'(x)=3x2+a.因为a∈{1,2,3,4},所以f'(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则f(1)f(2)≤0,解得a+1≤b≤8+2a.因此,可使函数在区间[1,2]上有零点的有:a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8,共有3种情况;a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12,共有2种情况.所以有零点共有3+3+3+2=11种情况.而构成函数共有4×4=16个,根据古典概型可得有零点的概率为.11.0.75由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:572702939857034743738636964746986233261680453661959774244281,共15组随机数,故所求概率约为=0.75.12.由题意可知抛掷两枚质地均匀的骰子得到的点数(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种.因为直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交,且所得弦长不超过,所以1>,即1<a2+b2≤9.故满足直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交,且所得弦长不超过的(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,因此所求的概率为.13.解(1)依题意知,轻度污染即空气质量指数在151~200之间,共有0.003×50×60=9(天).(2)由直方图知这60天空气质量指数的平均值为=25×0.1+75×0.4+125×0.3+175×0.15+225×0.05=107.5.(3)第一组和第五组的天数分别为60×0.1=6,60×0.05=3,则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种,由|x-y|≤150知两天只能在同一组中,而两天在同一组中的基本事件有18种,用M表示|x-y|≤150这一事件,则P(M)=.14.A记事件A为“函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数”.因为f(x)=ax3+bx2+x-3,所以f'(x)=3ax2+2bx+1.当函数f(x)在R上为增函数时,f'(x)≥0在R上恒成立.又a>0,所以Δ=(2b)2-4×3a=4b2-12a≤0在R上恒成立,即a≥.当b=1时,有a≥,故a可取1,2,3,4,共4个数;当b=2时,有a≥,故a可取2,3,4,共3个数;当b=3时,有a≥3,故a可取3,4,共2个数;当b=4时,有a≥,故a无可取值.综上,事件A包含的基本事件有4+3+2=9种.又a,b∈{1,2,3,4},所以所有的基本事件共有4×4=16种.故所求事件A的概率为P(A)=.故选A.15.解(1)设A公司调查的40份问卷的中位数为x,则有0.015×10+0.025×10+0.03×(x-70)=0.5,解得x≈73.3,所以,估计该公司满意度得分的中位数为73.3.(2)满意度高于90的问卷共有6份,其中4份评价A公司,设为a1,a2,a3,a4,2份评价B公司,设为b1,b2.从这6份问卷中随机取2份,所有可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共有15种.其中2份问卷都评价A公司的有以下6种:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4).设两份问卷均是评价A公司为事件C,则有P(C)=.(3)由所给两个公司的调查满意度得分知:A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数,A公司得分集中在[70,80)这组,而B公司得分集中在[70,80)和[80,90)两个组,A公司得分的平均数低于B公司得分的平均数,A公司得分比较分散, 而B公司得分相对集中,即A公司得分的方差高于B公司得分的方差.。

高三江苏专版数学一轮复习课时作业(52)概率综合问题.pdf

课时作业(五十二)　[第52讲　概率综合问题] [时间：45分钟　分值：100分] 1．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：(1) “取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3) “取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4) “取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的有________． 2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________． 3．某饭店有11张餐桌．据统计，在就餐时间，在4张或4张以下餐桌上有顾客的概率为0.20 ，在5至8张餐桌上有顾客的概率为0.35；在9至11张餐桌上有顾客的概率为0.30，则顾客到饭店后因没有餐桌而到别的饭店就餐的概率为________． 4．把红，黑，白，蓝四张纸牌随机地分给甲，乙，丙，丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”和事件“乙分得红牌”是________．(填“不是互斥事件”或“互斥但非对立事件”或“对立事件”) 5．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲不胜的概率是________．图K52－1 6．如图K52－1，圆形靶子被分成面积相等的三部分，并分别染上红色、黄色、蓝色．两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率是________． 7．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 8．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.7，则两人都达标的概率是________，两人中至少有一人达标的概率是________． 9．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型ABABO该血型的人所占的比(%)2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率是________． 10．[2011·南通二模] 把一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________． 11．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，nN)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________． 12．[2011·江西卷] 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 13．(8分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 14．(8分)[2011·东莞一模] 某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示(如图K52－2)． (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值； (2)该班主任用分层抽样方法(按学习时间分五层)选出10个学生谈话，求在学习时间为1个小时的学生中选出的人数； (3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2 h，乙每天连续学习3 h，求22时甲、乙都在学习的概率．图K52－2 15．(12分)[2011·南通三模] 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230,235)80.16第二组[235,240)0.24第三组[240,245)15第四组[245,250)100.20第五组[250,255]50.10合计501.00(1)写出表中位置的数据； (2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数； (3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率． 16．(12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C.求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．课时作业(五十二) 【基础热身】 1．　[解析] 由定义可得互斥事件是，其中“取出3只红球”不发生，则“取出3个球中至少有一个白球”必然发生，因此是对立事件． 2．两次都不中靶　[解析] “连续射击2次”包含的基本事件有“(＋，＋)，(＋，－)，(－，＋)，(－，－)”(“＋”表示“中靶”，“－”表示“没有中靶”)，“至少一次中靶”与“两次都不中靶”不可能同时发生，所以“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”． 3．0.15　[解析] 所求的概率为P＝1－0.20－0.35＋0.30＝0.15. 4．互斥但非对立事件　[解析] “甲分得红牌”不发生，事件“乙分得红牌”不一定发生，有可能丙或丁分得红牌．【能力提升】 5.　[解析] 甲不胜包含和棋和乙胜，所以所求的概率为P＝＋＝. 6.　[解析] 两人分别向靶子上投射一支飞镖，有9种不同的结果，颜色相同的情况有3种，则颜色相同的概率为＝，所以颜色不同的概率为P＝1－＝. 7．0.25　[解析] 通过阅读可知20组随机数中，只有191,271,932,812,393为恰好有两次命中，据此可知20组中占了5组，故其概率是0.25. 8．0.56　0.94　[解析] 两人均达标为0.8×0.7＝0.56，两人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.7)＝0.06，所以两人中至少有一人达标为1－0.06＝0.94. 9．0.64　[解析] 对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. 10.　[解析] 因“至少有一面涂有红漆”的对立事件是“每面都没有红漆”，只有中心一块如此，所以，所求概率为P＝1－＝. 11．3和4　[解析] 总事件数为6.只要求出当n＝2，3,4,5时的基本事件个数即可．当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点为(1,1)；当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点为(1,2)、(2,1)；当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点为(1,3)、(2,2)；当n＝5时，落在直线x＋y＝5上的点为(2,3)．显然，当n＝3,4时，事件Cn的概率最大为. 12. [解析] 设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－P(C)＝1－＝. 13．[解答] 从袋中任取一球，记事件“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为A、B、C、D，则有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝； P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝；又P(A)＝，P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、. 14．[解答] (1)平均学习时间为＝1.8小时． (2)20×＝4. (3)设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|18≤x≤21,18≤y≤20}，面积SΩ＝2×3＝6.事件A表示“22时甲、乙正在学习”，所构成的区域为A＝{(x，y)|20≤x≤21,19≤y≤20}，面积为SA＝1×1＝1，这是一个几何概型，所以P(A)＝＝. [点评] 根据以上的解法，我们把此类问题的解决总结为以下四步： (1)构设变量．从问题情景中，发现哪两个量是随机的，从而构设为变量x、y. (2)集合表示．用(x，y)表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果．一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集． (3)作出区域．把以上集合所表示的平面区域作出来，先作不等式对应的直线，然后取一特殊点验证哪侧是符合条件的区域．计算求解．根据几何概型的公式，易从平面图形中两个面积的比求得． 15．[解答] (1)位置的数据分别为12、0.3； (2)第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1； (3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}，共有15种．记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以P(A)＝＝，故2人中至少有1名是第四组的概率为. 16．[解答] (1)P(A)＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝. (2)A、B、C两两互斥， P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＝. (3)P()＝1－P(A＋B)＝1－＝.。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练52事件的相互独立性与条件概率北师大版

课时规范练52事件的相互独立性与条件概率基础巩固组1.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是()A.35B.34C.1225D.14252.(2021江苏常州一模)甲乙丙三名选手参加短跑、跳远两项比赛.每项比赛以后,随机抽取一名选手进行兴奋剂检测.若每次检测每位选手被抽到的概率相同,且每位选手最多被抽检一次(第一次被抽检的选手第二次免检),则甲被抽检的概率是()A.49B.59C.13D.233.从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机选取3人到某小区进行人口普查,则在甲被选中的条件下,乙也被选中的概率是()A.13B.12C.14D.354.甲、乙两队进行篮球决赛,采取五场三胜制(当一队得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以3∶1获胜的概率是()A.0.18B.0.21C.0.39D.0.425.一个盒子中装有6个完全相同的小球,将它们进行编号,号码分别为1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机抽取2个小球,将其编号之和记为S.在已知S为偶数的情况下,S能被3整除的概率为()A.14B.13C.512D.236.(2021山东省实验中学月考)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞,则另1张也是假钞的概率为()A.119B.419C.217D.17387.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,若甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,则下列结论正确的为()A.两人都中靶的概率为0.72B.恰好有一人中靶的概率为0.18C.两人不都中靶的概率为0.14D.恰好有一人脱靶的概率为0.188.(2021安徽合肥一六八中学月考)某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动,第一环节是一道必答题,由甲乙两位同学作答,每人答对的概率均为0.7,两人都答对的概率为0.5,则甲答对的前提下乙也答对的概率是.(用分数表示)9.某射击运动员每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是.综合提升组10.如图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取两卦,记事件A=“两卦的六根线中恰有两根阳线”,B=“有一卦恰有一根阳线”,则P(A|B)=()后天八卦图A.15B.16C.17D.31411.某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B 为“第2次抽到选择题”,则下列结论中不正确的是()A.P(A)=35B.P(AB)=310C.P(B|A)=12D.P(B|A)=1212.一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球,从中取出2个球.下面几个说法中正确的是()A.如果是不放回地抽取,那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B.如果是不放回地抽取,那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C.如果是有放回地抽取,那么取出1个红球1个白球的概率是1249D.如果是有放回地抽取,那么在至少取出一个红球的条件下,第2次取出红球的概率是71113.(2021重庆巴蜀中学月考)一猎人带着一把猎枪到山里去打猎,猎枪每次可以装3发子弹,当他遇见一只野兔时,开第一枪命中野兔的概率为0.8,若第一枪没有命中,猎人开第二枪,命中野兔的概率为0.4,若第二枪也没有命中,猎人开第三枪,命中野兔的概率为0.2,若3发子弹都没打中,野兔就逃跑了,则已知野兔被击中的条件下,是猎人开第二枪命中的概率为.14.(2021湖南长沙一中月考)甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以A1,A2,A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则P(B|A1)=,P(B)=.15.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神,某学校组织防疫知识挑战赛.每位选手挑战时,主持人用电脑出题的方式,从题库中随机出3道题,编号为T1,T2,T3,电脑依次出题,选手按规则作答,挑战规则如下:①选手每答对一道题目得5分,每答错一道题目扣3分;②选手若答对第T i题,则继续作答第T i+1题;选手若答错第T i题,则失去第T i+1题的答题机会,从第T i+2题开始继续答题;直到3道题目出完,挑战结束;③选手初始分为0分,若挑战结束后,累计得分不低于7分,选手挑战成功,否则挑战失败.选手甲即,各次作答结果相互独立,且他不会主动放将参与挑战,已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为34弃任何一次作答机会,求:(1)挑战结束时,选手甲共答对2道题的概率P1;(2)挑战结束时,选手甲恰好作答了2道题的概率P2;(3)选手甲闯关成功的概率P3.创新应用组16.某仓库有同样规格的产品12箱,其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的,且三个厂的次品率分别为110,114,118.现从这12箱中任取一箱,再从取得的一箱中任意取出一个产品.(1)则取得的一个产品是次品的概率为.(2)若已知取得一个产品是次品,则这个次品是乙厂生产的概率是.(精确到0.001)课时规范练52 事件的相互独立性与条件概率1.D 解析:由题意知甲中靶的概率为45,乙中靶的概率为710,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P=45×710=1425.故选D .2.D 解析:第一次甲没有被抽检的概率为23, 第二次甲没有被抽检的概率为12, 故甲没有被抽检的概率为23×12=13, 故甲被抽检的概率为1-13=23. 故选D .3.B 解析:记事件A 为“甲被选中”,事件B 为“乙被选中”,则由题意可得P (A )=C 42C 53=610=35,P (AB )=C 31C 53=310, 所以P (B|A )=P(AB)P(A)=310×53=12.故选B .4.B 解析:根据题意,若甲队以3∶1获胜,则甲队在第四局获胜,前三局中获胜2局,则甲队以3∶1获胜的概率P=0.6×0.6×(1-0.5)×0.5+0.6×(1-0.6)×0.5×0.5+(1-0.6)×0.6×0.5×0.5=0.21. 故选B .5.B 解析:记“S 能被3整除”为事件A ,“S 为偶数”为事件B , 事件B 包括的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),(2,6),(4,6),共6个. 事件AB 包括的样本点有(1,5),(2,4),共2个. 则P (A|B )=n(AB)n(B)=26=13.故选B .6.C 解析:记事件A 为“抽到的至少1张钞票是假钞”,记事件B 为“抽到的2张钞票都是假钞”, 则P (A )=C 51C 151+C 52C 202=85190=1738,P (AB )=C 52C 202=119,故P (B|A )=P(AB)P(A)=119×3817=217. 故选C .7.A 解析:记A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A =“甲不中靶”,B =“乙不中靶”. 因为P (A )=0.8,P (B )=0.9,所以P (A )=1-0.8=0.2,P (B )=1-0.9=0.1.对于选项A,AB=“两人都中靶”,P (AB )=P (A )P (B )=0.8×0.9=0.72,故A 正确;对于选项B,A B +A B=“恰好有一人中靶”,P (A B +A B )=P (A B )+P (A B )=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,故B 不正确;对于选项C,“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件,由选项A 可知,“两人不都中靶”的概率是1-0.72=0.28,故C 不正确;对于选项D,A B +A B=“恰好有一人脱靶”,由选项B 知,概率为0.26,故D 不正确. 故选A .8.57 解析:记事件A 为“甲答对”,事件B 为“乙答对”, 则P (A )=P (B )=0.7,P (AB )=0.5, 所以P (B|A )=P(AB)P(A)=0.50.7=57.9.(1)45 (2)12 解析:设“第一次击中”为事件A ,则P (A )=45, “第二次击中”为事件B ,则P (B )=45.(1)由题意知,第一次击中与否对第二次没有影响,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率为45.(2)设“仅击中一次”为事件C.仅击中一次的概率为P (C )=C 21×45×15=825.在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P (B|C )=15×45825=12.10.B 解析:由八卦图可知,八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个,两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个,而事件A 所包含的情况可分为两种,即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴,另一个为全阴;第二种是两卦中均为一阳两阴;而事件AB 中只包含后者,即P (AB )=C 32C 82=328,事件B 的概率P (B )=1-C 52C 82=914,所以P (A|B )=328914=16.故选B .11.D 解析:P (A )=C 31C 51=35,故A 正确;P (AB )=C 31C 21C 51C 41=310,故B 正确;P (B|A )=P(AB)P(A)=31035=12,故C 正确;P (A )=C 21C 51=25,P (A B )=C 21C 31C 51C 41=310,P (B|A )=P(AB)P(A)=31025=34,故D 不正确.故选D .12.D 解析:对于A,不放回地抽取两个球,包括两个都是红球、两个都是白球和一个红球一个白球,共3种情况,所以取出两个红球和取出两个白球不是对立事件,故A 错误;对于B,不放回地抽取,第2次取到红球的概率为37×26+47×36=37,第1次取得红球的概率为37,所以第2次取到红球的概率等于第1次取到红球的概率,故B 错误;对于C,有放回地抽取,取出1个红球1个白球包括第1次为红球,第2次为白球和第1次为白球,第2次为红球,所以所求概率为37×47+47×37=2449,故C 错误;对于D,有放回地抽取,至少取出一个红球的概率为1-4×47×7=3349.至少取出一个红球的条件下,第2次取出红球包括第1次白球,第2次红球和两次都是红球,所以所求概率为47×37+37×373349=711,故D 正确.故选D . 13.10113解析:记事件A=“猎人第一次击中野兔”,B=“猎人第二次击中野兔”,C=“猎人第三次击中野兔”,D=“野兔被击中”,则P (D )=P (A+B+C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.8+0.2×0.4+0.2×0.6×0.2=0.904,P (B )=0.2×0.4=0.08, P (B|D )=P(BD)P(D)=0.080.904=10113.14.511922 解析:因为每次取一球,所以A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件,因为P (A 1)=510,P (A 2)=210,P (A 3)=310, 所以P (B|A 1)=P(BA 1)P(A 1)=510×511510=511;同理P (B|A 2)=P(BA 2)P(A2)=210×411210=411,P (B|A 3)=P(BA 3)P(A3)=310×411310=411.所以P (B )=P (BA 1)+P (BA 2)+P (BA 3)=510×511+210×411+310×411=922.15.解设A i 为选手答对T i 题,其中i=1,2,3. (1)设挑战结束后,选手甲共答对2道题为事件A ,选手甲共答对2道,即选手甲前2题答对且第3题答错,所以A=A 1A 2A 3, 则P 1=P (A )=P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=34×34×(1-34)=964. (2)设挑战结束时,选手甲恰好作答了2道题为事件B ,选手甲恰好作答了2道题,即选手甲第1题答错或第1题答对且第2题答错, 所以B=A 1∪A 1A 2.则P 2=P (B )=P (A 1∪A 1A 2)=P (A 1)+P (A 1A 2)=(1-34)+34×(1-34)=716. (3)设选手甲挑战成功为事件C.若选手甲挑战成功,则选手甲共作答了3道题,且选手甲只可能作答2道题或3道题, 所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件, 所以C=B .根据对立事件的性质,得P 3=P (C )=P (B )=1-P (B )=1-716=916.16.(1)0.083 (2)0.287 解析:(1)设A={取得一个产品是次品},B 1={取得一箱是甲厂的},B 2={取得一箱是乙厂的},B 3={取得一箱是丙厂的}.三个厂的次品率分别为110,114,118,∴P (A|B 1)=110,P (A|B 2)=114,P (A|B 3)=118.12箱产品中,P (B 1)=612,P (B 2)=412,P (B 3)=212,由全概率公式得P (A )=∑k=13P (A|B k )P (B k )=612×110+412×114+212×118≈0.083.(2)依题意,已知A 发生,要求P (B 2|A ),此时用贝叶斯公式可得,P (B 2|A )=P(B 2)P(A|B 2)P(A)≈412×1140.083≈0.287.。

2025版高考数学一轮总复习课时质量评价50

课时质量评价(五十)A组全考点巩固练1．若直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则实数m的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)2．(2024·济南模拟)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k＝( )A．－2 B．－1C．－D．13．已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，且成等差数列，则直线l的斜率k＝( )A．±1B．±C．±2D．±24．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，且双曲线过点P(2，3)，双曲线的两条渐近线与过右焦点F且垂直于x轴的直线交于A，B两点，则△AOB的面积为( )A．4B．2C．8 D．125．(多选题)设椭圆的方程为＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝6．已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点．若AF⊥BF，则实数k的值为________．7．已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2，0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l 的方程为____________．8．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的左焦点F1到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y＝kx＋m(k＜0)与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程．B组新高考培优练9．若直线y＝kx＋2与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是( )A．m>1B．m>0C．0<m<4且m≠1D．m≥4且m≠710．已知椭圆C：＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )A．60°B．90°C．120°D．150°11．设F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为( ) A．B．C．D．12．(多选题)已知曲线C的方程为x2＋＝1(0＜x≤1)，A(0，－3)，B(0，3)，D(－1，0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN 的面积可能为( )A．73 B．76C．68 D．7213．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·＝________．14．过点P(1，1)作直线l与双曲线x2－＝λ交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是________．15．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，上顶点为B，直线BF1被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)设过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若BP⊥BQ，求三角形BPQ的面积．课时质量评价(五十)A组全考点巩固练1．B 解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＝16m2－4m(m＋3)>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.2．C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋1代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，x1＋x2＝－，因为AB中点的横坐标为1，所以－＝1，解得k＝－. 故选C．3．D 解析：依据题意可得直线l的斜率存在．因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，所以直线l的方程可设为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立得：⇒k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.设，y1)，B(x2，y2)，Δ＝[－2(k2＋2)]2－4k4>0.因此x1＋x2＝，x1x2＝1.因为成等差数列，所以2＝，于是有2(x1＋1)＝x1＋1＋x2＋1＋x2＋1，化简得：x1＝2x2＋1，而x1x2＝1，所以解得或(舍去)．因为x1＋x2＝，所以＝，解得k2＝8⇒k＝±2.4．A 解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，把点(2，3)代入可得4－3＝λ，得λ＝1，所以双曲线的方程为x2－＝1，c2＝1＋3＝4，c＝2，F(2，0)，可得A(2，2)，B(2，－2)，可得S△AOB＝×2×4＝4.故选A．5．BD 解析：对于A项，因为在椭圆中，依据椭圆的中点弦的性质k AB·k OM＝－＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，依据k AB·k OM＝－2，所以k AB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M，则k AB·k OM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝·＝，所以D项正确．6．－解析：依题意联立直线与椭圆方程得消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kx ＝0，解得x＝0或x＝，不妨取x A＝0，则y A＝1，x B＝，y B＝k·＋1＝，所以A(0，1)，B.又F(1，0)，所以k AF＝－1.因为AF⊥BF，所以k BF＝1，即＝1，即＝－1，所以1－2k2＝－4k－(2k2＋1)，解得k＝－.7．y＝±(x－2) 解析：由题意知，点P(2，0)在双曲线内，故满意条件的直线l只能是与双曲线的两条渐近线y＝±x平行的直线．又该直线过点P(2，0)，因此该直线l的方程为y＝±(x－2)．8．解：(1)因为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，所以＝.又双曲线－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－y＝0，椭圆C的左焦点F1(－c，0)，所以由题意知，＝，解得c＝1，所以a＝，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)知F2(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l：y＝kx＋m(k＜0)的距离为，得＝，即m2＝(1＋k2). ①将y＝kx＋m代入＋y2＝1中，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝. 又以线段AB为直径的圆经过点F2，所以·＝0，即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(1＋k2)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，所以(1＋k2)·＋(km－1)·＋m2＋1＝0，化简得3m2＋4km－1＝0.②由①②，得11m4－10m2－1＝0，所以m2＝1.又k＜0，所以满意Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，所以直线l的方程为y＝－x＋1.B组新高考培优练9．D 解析：直线y＝kx＋2恒过定点(0，2)，若直线y＝kx＋2与椭圆＝1总有公共点，则点(0，2)在椭圆＝1内部或在椭圆上，所以≤1，由方程＝1表示椭圆，则m>0且m≠7，综上知m的取值范围是m≥4且m≠7.10．B 解析：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0.由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a，交x轴于点A，又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°.11．C 解析：设M(c，y0)，则MF1的中点为N，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合＝－1⇒·＝－1.故b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e －1＝0，所以e＝.12．ABD 解析：设P(x0，y0)，则k PA·k PB＝＝＝－9.设k PA＝k(k＞0)，则k PB＝－. 直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5，5k－3)，直线BP的方程为y＝－x＋3，则点N的坐标为.所以|MN|＝＝＝24，当且仅当5k＝，即k＝3时等号成立．从而△DMN面积的最小值为×24×6＝72.故选ABD．13．－解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x －1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，所以·＝－，同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.14．(－∞，0)解析：因为双曲线方程为x2－＝λ，所以λ≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点P恰为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.将A，B两点坐标代入双曲线方程，得两式相减并化简可得＝2×＝2.即直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2x－1.联立化简可得2x2－4x＋2λ＋1＝0.因为直线l与双曲线有两个不同的交点，所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0，解得λ<且λ≠0.所以λ的取值范围为(－∞，0).15．解：(1)设直线BF1与椭圆的交点为A(x0，y0)，因为上顶点B(0，b)，所以直线BF1的方程为y＝bx＋b，联立直线BF1与椭圆方程解得x0＝－.所以由椭圆的弦长公式，可得|AB|＝|x0－0|＝，所以＝，解得a2＝2.因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)及题意，直线l不经过点B且与x轴不重合，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠－1)，P(my1＋1，y1)，Q(my2＋1，y2)．因为BP⊥BQ，所以·＝0，所以(my1＋1)(my2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，即(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0 ①.联立直线与椭圆方程整理可得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，Δ＝4m2＋4(m2＋2)＝8(m2＋1)＞0 恒成立．由根与系数的关系，可得y1＋y2＝－，y1y2＝－，代入①式，可得－＋2＝0，所以m2－2m－3＝0. 因为m≠－1，所以m＝3，所以直线l的方程为x－3y－1＝0. 由弦长公式，可得|PQ|＝|y1－y2|＝＝＝.因为点B(0，1)到直线l的距离d＝＝，所以S△BPQ＝×d×|PQ|＝＝.。

2019版高考数学文大一轮优选全国课时达标52几何概型

课时达标第52讲[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( B ) A.45 B ．35C.25D ．15解析区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P ＝35.2．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( C ) A.15 B ．25C.35D ．45解析方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35. 3．在区间[0,2π]上任取一个数x ，则使得2sin x >1的概率为( C ) A.16 B ．14C ．13D ．23解析 ∵2sin x >1，x ∈[0,2π]，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴P ＝5π6－π62π＝13.故选C.4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B)A.14B ．π8C.12 D ．π4解析设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π2.根据几何概型的概率公式，得所求概率P ＝π24＝π8.故选B.5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( D )A.413 B ．513C.825D ．925解析作出平面区域可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.P ＝S △AED S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.故选D.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－2)≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( C )A.14 B ．38C.12D ．58解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，0≤b ≤4，0≤c ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －8≤0，2b －c ≥0，0≤b ≤4，0≤c ≤4表示的区域如图中阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为12.故选C.二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为__12__.解析当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，则点M 到底面ABCD 的距离小于12，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.8．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为__12π__.解析作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是__1725__.解析设随机取出的两个数分别为x ，y ，则0<x <1,0<y <1，依题意有x ＋y <65，由几何概型知，所求概率为P ＝12－12×⎝⎛⎭⎫1－15×⎝⎛⎭⎫1－1512＝1725. 三、解答题10．设事件A 表示“关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根”，其中a ，b 为实常数．(1)若a 为区间[0,5]上的整数值随机数，b 为区间[0,2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；(2)若a 为区间[0,5]上的均匀随机数，b 为区间[0,2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率．解析 (1)当a ∈{0,1,2,3,4,5}，b ∈{0,1,2}时，共可以产生6×3＝18个一元二次方程．若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |.又a ≥0，b ≥0，所以a ≥2b .从而数对(a ，b )的取值为(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(5,0)，(5,1)，(5,2)，共12组值，所以P (A )＝1218＝23.(2)据题意，试验的全部结果所构成的区域为D ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域B ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2，a ≥2b }．在平面直角坐标系中画出区域B ，D ，如图．其中区域D 为矩形，其面积S (D )＝5×2＝10，区域B 为直角梯形，其面积S (B )＝1＋52×2＝6.所以P (A )＝S (B )S (D )＝610＝35.11．已知袋子中放有大小和形状相同但颜色互异的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解析 (1)由题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是n n ＋2＝12，解得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ，则取出2个小球的可能情况共有12种结果，令满足“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，则事件A 共有8种结果，故P (A )＝812＝23.②由①可知(a －b )2≤4，故x 2＋y 2>4，(x ，y )可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型可得概率为P ＝4－14π·224＝1－π4.12．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.所以在甲商场中奖的概率为P 1＝πR 26πR 2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3 )，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3 )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15，又P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。

2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价52 定点、定值、探索性问题(含解析)新人教A版

课时质量评价(五十二)(建议用时 : 45分钟) A 组全考点巩固练1．(2021·榆林市高三二模)已知AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦 , O 是原点 , 那么OA →·OB →＝( )A ．－2B ．－4C ．3D ．－3D 解析 : 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 214 y 1 , B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 224 y 2 , 故OA →·OB →＝y 21y 2216＋y 1y 2. 易知直线斜率不为0 , 设AB : x ＝my ＋1 , 联立方程⎩⎨⎧x ＝my ＋1y 2＝4x得到y 2－4my －4＝0 , 故y 1y 2＝－4 , 故OA →·OB →＝y 21y 2216＋y 1y 2＝－3.2．已知直线x －y ＋1＝0与双曲线x 2a ＋y 2b ＝1(ab ＜0)相交于P , Q 两点 , 且OP ⊥OQ (O为坐标原点) , 那么1a ＋1b＝( )A ．1B ． 2C ．2D ．5 C 解析 : 设P (x 1 , y 1) , Q (x 2 , y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x 2a ＋y2b ＝1整理得(a ＋b )x 2＋2ax ＋a －ab ＝0 , 所以x 1＋x 2＝－2aa ＋b , x 1x 2＝a －aba ＋b,y 1y 2＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝b －aba ＋b .由OP ⊥OQ , 得OP →·OQ →＝0 , 得x 1x 2＋y 1y 2＝0 ,所以a －ab a ＋b ＋b －ab a ＋b ＝0 , 即2ab a ＋b ＝1 , 那么ab a ＋b ＝12 ,所以1a ＋1b ＝b ＋a ab＝2 , 应选C ．3．(2020·新余一中月考)过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条垂直的弦AB , CD , 那么1|AB |＋1|CD |＝( ) A ．2 B ．4 C ．12 D ．14D 解析 : 由抛物线y 2＝4x , 可知2p ＝4.设l AB 的倾斜角为θ , 那么l CD 的倾斜角为π2＋θ(θ为锐角)或θ－π2(θ为钝角) , 过焦点的弦|AB |＝2psin 2θ , |CD |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝2pcos 2θ或|CD |＝2psin 2⎝⎛⎭⎫θ－π2＝2p cos 2α , 所以1|AB |＋1|CD |＝sin 2θ2p ＋cos 2θ2p ＝14.应选D ． 4．(2020·泰安高三月考)已知F 1 , F 2分别为椭圆x 216＋y 28＝1的左、右焦点 , M 是椭圆上的一点 , 且在y 轴的左侧 , 过点F 2作∠F 1MF 2的平分线的垂线 , 垂足为N .假设|ON |＝2(O 为坐标原点) , 那么|MF 2|－|MF 1|等于( )A ．4B ．2C ．32 D ．332A 解析 : 延长F 2N 交MF 1的延长线于点P , 如下列图．因为MN 为∠F 1MF 2的平分线 , 且F 2N ⊥MN , 所以|MF 2|＝|MP | ,所以|MF 2|－|MF 1|＝|MP |－|MF 1|＝|F 1P |. 因为O , N 分别为F 1F 2 , F 2P 的中点 , 所以ON 为△PF 1F 2的中位线 ,所以|ON |＝12|F 1P |＝2 , 所以|MF 2|－|MF 1|＝|F 1P |＝2|ON |＝4.5．(2020·亳州市高三二模)已知F为椭圆C: x225＋y216＝1的左焦点 , O为坐标原点 , 点P在椭圆C上且位于x轴上方 , 点A(－3,4)．假设直线OA平分线段PF , 那么∠P AF的大小为()A．60°B．90°C．120°D．无法确定B解析 : 设椭圆的上顶点为B(0,4) , 因为A(－3,4) , F(－3,0)．故AF⊥x轴 , AB⊥y轴．那么四边形ABOF为矩形 , 所以当P在点B处时满足直线OA平分线段PF.故∠P AF＝∠BAF＝90°.6．(多项选择题)(2020·青岛市高三模拟)设A , B是抛物线y＝x2上的两点 , O是坐标原点 , 以下结论成立的是()A．假设OA⊥OB , 那么|OA||OB|≥2B．假设OA⊥OB , 那么直线AB过定点(1,0)C．假设OA⊥OB , 那么点O到直线AB的距离不大于1D．假设直线AB过抛物线的焦点F , 且|AF|＝13 , 那么|BF|＝1ACD解析 : 对于B项 , 设直线AB的方程为y＝kx＋b , A(x1 , y1) , B(x2 , y2)．将直线AB的方程代入抛物线方程y＝x2 , 得x2－kx－b＝0 , 那么x1＋x2＝k , x1x2＝－b.因为OA⊥OB , 所以k OA·k OB＝x1x2＝－b＝－1 , 所以b＝1.于是直线AB的方程为y＝kx＋1 , 该直线过定点(0,1)．故B不正确．对于C项 , 点O到直线AB的距离d＝11＋k2≤1 , C正确．对于A项 ,|OA||OB|＝(x21＋y21)(x22＋y22)＝(x21＋x41)(x22＋x42)＝(1＋x 21)(1＋x 22)＝1＋x 21＋x 22＋x 21x 22＝2＋x 21＋x 22＝4＋(x 1＋x 2)2.所以|OA |·|OB |≥2正确．对于D 项 , 由题得y 1＋14＝13.所以y 1＝112 , 所以112＝x 2 , 得x ＝±36.不妨取x ＝36. 所以k ＝112－1436＝－33 , 所以直线AB 的方程为y ＝－33x ＋14 , 所以b ＝14.由题得|AB |＝y 1＋14＋y 2＋14＝y 1＋y 2＋12＝k (x 1＋x 2)＋2b ＋12＝k 2＋2b ＋12－13＋12＝43.所以|BF |＝43－13＝1.所以D 正确． 7．(2020·昆明市高三模拟)已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 , F 2 ,点A , B 分别为椭圆的上、下顶点 , 直线AF 1与椭圆C 的另一个交点为E .假设∠F 1AF 2＝60° , 那么直线BE 的斜率为________．－34 解析 : 由∠F 1AF 2＝60° , 得a ＝2c , b ＝a 2－c 2＝3c .设E (m , n ) , 即有m 2a 2＋n 2b2＝1 ,那么n 2－b 2m 2＝－b 2a2.因为A (0 , b ) , B (0 , －b ) ,所以k EA ·k EB ＝n －b m ·n ＋b m ＝n 2－b 2m 2＝－b 2a 2＝－34.又k EA ＝k AF 1＝b c ＝ 3 , 所以k EB ＝－34. 8．(2020·东北三省四市教研联合体高考模拟)点P (1 , t )(t >0)是抛物线C : y 2＝4x 上一点 , F 为C 的焦点．(1)假设直线OP 与抛物线的准线l 交于点Q , 求△QFP 的面积 ;(2)过点P 作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M , N 两点 , 证明 : 直线MN 的斜率是定值．(1)解 : 将P (1 , t )代入y 2＝4x 得t ＝2 , 那么直线OP : y ＝2x , 准线l : x ＝－1 , 所以Q (－1 , －2)．所以S △QFP ＝12|OF ||y P －y Q |＝2 ,(2)证明 : 设M (x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2)．由题可知 , k MP ＋k NP ＝0 , 所以y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝0 , 所以y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝0 , 所以4y 1＋2＋4y 2＋2＝0 , 所以y 1＋y 2＝－4 , 所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.9．在平面直角坐标系xOy 中 , M 为直线y ＝x －2上一动点 , 过点M 作抛物线C : x 2＝y 的两条切线MA , MB , 切点分别为A , B , N 为AB 的中点．(1)证明 : MN ⊥x 轴．(2)直线AB 是否恒过定点？假设是 , 求出这个定点的坐标 ; 假设不是 , 请说明理由．(1)证明 : 设切点A (x 1 , x 21) , B (x 2 , x 22) , y ′＝2x ,所以切线MA 的斜率为2x 1 , 切线MA : y －x 21＝2x 1(x －x 1)．设M (t , t －2) , 那么有t －2－x 21＝2x 1(t －x 1) , 化简得x 21－2tx 1＋t －2＝0. 同理可得x 22－2tx 2＋t －2＝0.所以x 1 , x 2是方程x 2－2tx ＋t －2＝0的两根 , 所以x 1＋x 2＝2t , x 1x 2＝t －2 ,所以x N ＝x 1＋x 22＝t ＝x M , 所以MN ⊥x 轴．(2)解 : 因为y N ＝12(x 21＋x 22)＝12(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝2t 2－t ＋2 , 所以N (t,2t 2－t ＋2)．因为k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝2t ,所以直线AB : y －(2t 2－t ＋2)＝2t (x －t ) ,即y －2＝2t ⎝⎛⎭⎫x －12 , 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 2.B 组新高考培优练10．(2020·武汉市外国语学校高三模拟)已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1 , F 2 , 且F 1是圆x 2＋y 2－42x ＋7＝0的圆心 , 点H 的坐标为(0 , b ) , 且△HF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在直线y ＝2x ＋t 与椭圆C 相交于M , N 两点 , 使得直线HM 与HN 的斜率之和为1 ？假设存在 , 求此时的直线方程 ; 假设不存在 , 请说明理由．解 : (1)由x 2＋y 2－42x ＋7＝0 , 可得(x －22)2＋y 2＝1 ,那么圆心坐标为(2 2 , 0) , 即F 1(2 2 , 0) , 所以半焦距c ＝2 2. 因为△HF 1F 2的面积为2 2 , 所以12·b ·2c ＝2 2 , 所以b ＝1 ,所以a 2＝b 2＋c 2＝9 ,所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)假设存在这样的直线满足题设条件．设M (x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋tx29＋y 2＝1消去y 可得37x 2＋36tx ＋9(t 2－1)＝0 ,所以Δ＝(36t )2－4×37×9(t 2－1)>0 , 解得－37<t <37 ,x 1＋x 2＝－36t37 , x 1x 2＝9t 2－937.由(1)知 , H (0,1) , 那么当t ＝1时 , 直线y ＝2x ＋1过点H , 不合题意 , 故t ≠1. 令k HM ＋k HN ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2x 1＋t －1x 1＋2x 2＋t －1x 2＝4x 1x 2＋(t －1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝4－4t (t －1)t 2－1＝1.解得t ＝3 , 因此所求直线方程为y ＝2x ＋3.11．(2020·肥东高中高三二模)已知椭圆C 1 , 抛物线C 2的焦点均在x 轴上 , C 1的中心和C 2的顶点均为原点O , 从每条曲线上取两个点 , 将其坐标记录于下表中 :x 3 －2 4 2 y－23－422(1)求椭圆C 1 , 抛物线C 2的标准方程．(2)请问是否存在直线l 满足条件 : ①过C 2的焦点F ; ②与C 1交不同两点M , N 且满足OM →⊥ON →？假设存在 , 求出直线l 的方程 ; 假设不存在 , 说明理由．解 : (1)设抛物线C 2 : y 2＝2px (p ≠0) , 那么有y 2x＝2p (x ≠0)．据此验证4个点知(3 , －23) , (4 , －4)在抛物线上 , 易求抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .设椭圆C 1 : x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) ,把点(－2,0) , ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 22代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝12a 2＋12b 2＝1解得⎩⎨⎧a 2＝4b 2＝1所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)(方法一)假设存在这样的直线l 过抛物线焦点F (1,0)．设直线l 的方程为x －1＝my , 两交点坐标为M (x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝myx24＋y 2＝1消去x ,得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0 ,所以y 1＋y 2＝－2mm 2＋4 , y 1y 2＝－3m 2＋4, ①x 1x 2＝(1＋my 1)(1＋my 2)＝1＋m (y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2＝1＋m ·－2m m 2＋4 ＋m 2·－3m 2＋4＝4－4m 2m 2＋4.②由OM →⊥ON → , 即OM →·ON →＝0 , 得x 1x 2＋y 1y 2＝0.③将①②代入③式 , 得4－4m 2m 2＋4＋－3m 2＋4＝0 ,解得m ＝±12.所以存在直线l 满足条件 , 且l 的方程为y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2. (方法二)容易验证当直线l 的斜率不存在时 , 不满足题意．当直线l 斜率存在时 , 假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)．设其方程为y ＝k (x －1) , 与椭圆C 1的交点坐标为M (x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝k (x －1)消去y ,得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0. 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2 , x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2, ①y 1y 2＝k (x 1－1)×k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2.② 由OM →⊥ON → , 即OM →·ON →＝0 , 得x 1x 2＋y 1y 2＝0.③将①②代入③式 , 得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0 , 解得k ＝±2.所以存在直线l 满足条件 , 且l 的方程为y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.。

高考数学一轮复习 52课时作业

高考数学一轮复习 52课时作业一、选择题1．sin930°的值是( ) A.32B ．－32C.12 D ．－12答案 D解析 sin930°＝sin210°＝－sin30°＝－12.2．已知α是第二象限角，且cos α＝－45，得tan α＝( )A.43 B ．－43C ．－34D.34答案 C解析 ∵α为第二象限角且cos α＝－45，∴sin α＝35，∴tan α＝sin αcos α＝－34.3．化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(π<α<3π2)得( )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α 答案 A解析原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2. 4．A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－35，则cos(A ＋π4)等于( )A.255 B ．－255C.55D ．－55答案 B解析 cos 2( A ＋π4)＝[22(cos A －sin A )]2＝12(1－sin2A )＝45. 又cos A <0，sin A >0 ∴cos A －sin A <0∴cos(A ＋π4)＝－2555．若cos(π6－α)＝m (|m |≤1)，则sin(23π－α)的值为( )A ．－mB ．－m2C.m2D ．m答案 D解析 sin(2π3－α)＝sin(π2＋π6－α)＝cos(π6－m )＝m ，选D. 6.1＋2sin π－3cos π＋3化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3 ∴1－2sin3·cos3＝sin3－cos32＝|sin3－cos3|∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0.∴原式＝sin3－cos3，选A.7．tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋a 的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1答案 A解析由tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝m ＋1m －1，∴选A.8．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则1g sin A 的值为( )A ．m ＋1nB.12(m －n ) C.12(m ＋1n ) D.12(m －1n) 答案 B解析 lg(1＋cos A )＝m ，lg(1－cos A )＝－n ∴lg(1－cos 2A )＝m －n ∴lgsin 2A ＝m －n ∴lgsin A ＝12(m －n )选B. 二、填空题9．(2010·山东师大附中期中)若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________. 答案 13；7解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1tan α＝9－2＝7. 10．(2011·武汉市调研)已知tan α＝－12，π2<α<π，则sin α＝________.答案55解析法一：∵α为第二象限角，设α终边上一点P (x ，y )，且设x ＝－2，y ＝1，则r ＝5，∴sin α＝55. 法二：依题意得sin α＝sin αsin 2α＋cos 2α＝11＋1tan 2α＝11＋－22＝55. 11．(2011·重庆第一次诊断)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos(α－π6)的值是________．答案 0解析依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2<α<0，因此α＝－π3，故cos(α－π6)＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0.12．记a ＝sin(cos210°)，b ＝sin(sin210°)，c ＝cos(sin210°)，d ＝cos(cos210°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是________．答案 c解析注意到210°＝180°＋30°，因此sin210°＝－sin30°＝－12，cos210°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝sin(－12)＝cos 12>d ＝cos(－32)＝cos 32>0. 13．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________．答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1.三、解答题14．(2011·青岛模拟)若cos2θ＋cos θ＝0，求sin2θ＋sin θ的值．答案 0或± 3解析 ∵cos2θ＋cos θ＝0 ∴2cos 2θ＋cos θ－1＝0 ∴(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0 ∴cos θ＝－1或cos θ＝12当cos θ＝－1时，sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0 当cos θ＝12时，sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝± 315．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos(α－3π2)；(2)sin(π2＋α)；(3)tan(5π－α)．分析先利用诱导公式将条件和所求式子化简，然后再求值．解析 sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝－13.(2)sin(π2＋α)＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝－223.(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24.∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 16．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．分析 (1)由sin α＋cos α＝15及sin 2α＋cos 2α＝1，可求sin α，cos α的值；(2)1＝sin 2α＋cos 2α，分子、分母同除以cos 2α即可．解析 (1)方法一联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①sin 2α＋cos 2α＝1 ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0，∵α是三角形内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝(15)2，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α，∵tan α＝－43， ∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝－432＋11－－432＝－257.。

高考数学(人教理科)总复习(福建专用)配套训练：课时规范练52 Word版含解析

课时规范练52随机抽样一、基础巩固组1.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则() A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p32.(2017山西太原模拟)“双色球”彩票中红色球的号码由编号为01,02,…,33的33个个体组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为()49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A.23B.09C.02D.173.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为()A.11B.12C.13D.144.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况.若用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为()A.3,2B.2,3C.2,30D.30,25.某学院A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取的学生人数为()A.30B.40C.50D.606.某班级有男生20人,女生30人,从中抽取10人作为样本,恰好抽到了4名男生、6名女生,则下列命题正确的是()A.该抽样可能是简单随机抽样B.该抽样一定不是系统抽样C.该抽样中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率D.该抽样中女生被抽到的概率小于男生被抽到的概率7.某单位共有老、中、青职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为()A.9B.18C.27D.36〚导学号21500766〛8.某单位对职员中的老年、中年、青年进行健康状况调查,其中老年、中年、青年职员的人数之比为k∶5∶3,现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本,已知在老年职员中抽取了24人,则在青年职员中抽取的人数为.9.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为件.二、综合提升组10.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为()A.800B.1 000C.1 200D.1 50011.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为.12.从某地区15 000名老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:人数男女性别则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多人.〚导学号21500767〛三、创新应用组13.(2017山东淄博二模)为了调研雄安新区的空气质量状况,某课题组对雄县、容城、安新三县空气质量进行调查,按地域特点在三县内设置空气质量观测点,已知三县内观测点的个数分别为6,y,z,依次构成等差数列,且6,y,z+6成等比数列,若用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据,则容城应抽取的数据个数为()A.8B.6C.4D.214.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270,使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中,正确的是()A.②③都不能为系统抽样B.②④都不能为分层抽样C.①④都可能为系统抽样D.①③都可能为分层抽样〚导学号21500768〛课时规范练52随机抽样1.D由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3,故选D.2.C从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,即选出来的第6个红色球的编号为02.故选C.3.B由=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为-=12.4.A因为92被30除余数为2,所以需剔除2个个体,90÷30=3,故抽样间隔为3.5.B由题知C专业有学生1200-380-420=400(名),故C专业应抽取的学生人数为120=40.6.A本题看似是一道分层抽样的题,实际上每种抽样方法都可能出现这个结果,故B不正确.根据抽样的等概率性知C,D不正确.7.B设该单位老年职工有x人,样本中的老年职工有y人,则160+3x=430,解得x=90,即老年职工有90人.由,得y=18.8.36∵老年、中年、青年职员的人数之比为k∶5∶3,,解得k=2,∴在青年职员中抽取的人数为120=36.9.1 800分层抽样的关键是确定样本容量与总体容量的比,比值为,设甲设备生产的产品数为x,则x=50,x=3000,乙设备生产的产品总数为4800-3000=1800.故答案为1800.10.C因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.所以所以从第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的根据分层抽样的性质,可知第二车间生产的产品数占总数的,即为3600=1200.11.695由题意可知,第一组随机抽取的编号l=15,分段间隔数k==20,则抽取的第35个编号为15+(35-1)×20=695.12.60由题表知500人中生活不能自理的男性比女性多2人,故该地区15000位老人中生活不能自理的男性比女性约多2=60(人).13.C∵三县内观测点的个数分别为6,y,z,依次构成等差数列,且6,y,z+6成等比数列,解得若用分层抽样抽取12个观测点的数据,则容城应抽取的数据个数为12=4,故选C. 14.D因为③可能为系统抽样,所以选项A不对;因为②为分层抽样,所以选项B不对;因为④不为系统抽样,所以选项C不对,故选D.。

高中数学(文)统考版复习课时作业 52证明、最值、范围、存在性问题

＝0时，S 取得最大值，最大值为86
3.
所以四边形ACBD 面积的最大值为86
3.
3．[2020·河北衡水测试]如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－1
2，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .
(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；
(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，|TS |是否为定值？请说明理由．
解析：(1)依题意知，R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．
连接QF ，∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |. 又PQ ⊥l ，∴|PQ |是点Q 到直线l 的距离，
故动点Q 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x .
(2)|TS |为定值．理由如下：
取曲线C 上点M (x 0，y 0)，点M 到y 轴的距离d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，
则|TS |＝2
r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，
∵点M 在曲线C 上，∴x 0＝y 20
2， ∴|TS |＝2
y 20－y 2
0＋1＝2，是定值．
4．[2020·湖南衡阳八中模拟]已知过点P (0，－2)的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线x ＋y －2＝0所得弦长为2 2.
(1)求圆M 的标准方程；
(2)若过点Q (0,1)的直线l 交圆M 于A ，B 两点，求当△P AB 的面积最大时直线l 的方程．。

新课标2023版高考数学一轮总复习课时质量评价51范围最值问题

课时质量评价(五十一)A 组全考点巩固练1．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线是下图中的( )A B C DC 解析：方程化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b＝1．从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B 中直线有a ＜0，b ＜0矛盾，所以B 不可能；D 中直线有a ＜0，b ＞0矛盾，也不可能；再看A 中双曲线的a ＜0，b ＞0，但直线有a ＞0，b ＞0，也矛盾，所以A 也不可能；C 中双曲线的a ＞0，b ＜0和直线中a ，b 一致．所以C 是可能的．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知M (－1,2)，N (1,0)，动点P 满足|PM →·ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4y C ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4yA 解析：设P (x ，y )，M (－1,2)，N (1,0)， PM →＝(－1－x,2－y )，ON →＝(1,0)，PN →＝(1－x ，－y )．因为|PM →·ON →|＝|PN →|，所以|1＋x |＝(1－x )2＋y 2，整理得y 2＝4x ．故选A ．3．斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)D 解析：因为斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，所以b a >2，所以e ＝c a＝1＋b 2a2>1＋2＝3，所以双曲线离心率的取值范围是(3，＋∞)．故选D ． 4．抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A ． 2 B ．728C ．2 2D ．526B 解析：设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，所以当x ＝12时，d min ＝728．5．(2022·运城模拟)关于曲线y 24＋x |x |＝1的以下描述，正确的是( )A ．该曲线的范围为y ∈R ，x ∈RB ．该曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称C ．该曲线与直线2x ＋y ＝0有两个公共点D ．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1 D 解析：曲线y 24＋x |x |＝1，当x ≥0时，曲线方程可化为y 24＋x 2＝1，此时曲线为椭圆的右半部分，当x ＜0时，曲线方程可化为y 24－x 2＝1，此时曲线为双曲线的左半部分，作出曲线对应的图象如图所示．由图可知，y ∈R ，x ≤1，故选项A 错误；由图可知，曲线关于x 轴对称，不关于y 轴对称，故选项B 错误；因为直线2x ＋y ＝0是双曲线的渐近线，与双曲线没有交点，与半椭圆只有一个交点，故该曲线与直线2x ＋y ＝0有一个公共点，故选项C 错误；因为点(1,0)到原点的距离最小，所以曲线上的点到原点距离的最小值为1，故选项D 正确．故选D ．6．过抛物线M ：y 2＝8x 的焦点F 作两条斜率之积为－2的直线l 1，l 2，其中l 1交M 于A ，C 两点，l 2交M 于B ，D 两点，则|AC |＋|BD |的最小值为________．24 解析：设直线l 1：y ＝k (x －2)，代入y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，Δ＝[－(4k 2＋8)]2－4×4k 2·k 2>0，所以x A ＋x C ＝4k 2＋8k 2，所以|AC |＝x A ＋x C ＋p ＝8＋8k2．以－2k代k ，得|BD |＝8＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＝8＋2k 2，所以|AC |＋|BD |＝16＋2k 2＋8k2≥16＋22k 2·8k 2＝24，当且仅当2k 2＝8k2，即k ＝±2时等号成立．7．已知抛物线y 2＝4x ，过点Q (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．32 解析：设过点(4,0)的直线方程为x ＝ay ＋4．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＋4，y 2＝4x ，得y 2－4ay －16＝0，所以y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝4a ，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16a 2＋32≥32，当a ＝0时，(y 21＋y 22)min ＝32．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)．(1)求椭圆C 的方程．(2)设圆D ：x 2＋y 2＝r 2(b <r <a )．若直线l 与椭圆C 、圆D 都相切，切点分别为A 和B ，求|AB |的最大值．解：(1)由题意c ＝3，所以a 2＝b 2＋3，椭圆C 的方程可化为x 2b 2＋3＋y 2b2＝1(b >0)．因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以3b 2＋3＋14b 2＝1，解得b 2＝1或b 2＝－34(舍)．所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)设l ：y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．由Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝0，得m 2＝1＋4k 2．① 设A (x 0，y 0)，则x 0＝－4km 4k 2＋1＝－4km，y 0＝kx 0＋m ＝1m．因为l 与圆D 相切，所以圆心D (0,0)到l 的距离|m |1＋k2＝r ，即m 2＝r 2(1＋k 2)．②由①②得m 2＝3r 24－r 2，k 2＝r 2－14－r2．所以|AB |＝x 20＋y 20－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－r 2＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫4r2＋r 2．因为4r 2＋r 2≥24r2·r 2＝4，当且仅当r ＝2时取等号．因为r ＝2∈(1,2)，所以|AB |的最大值为1．B 组新高考培优练9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝4，这样的直线可以作2条，则p 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(0,4]C ．(0,2]D ．(0,2)D 解析：过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p ，由已知得2p <4，所以p <2．又p >0，所以0<p <2．故选D ．10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C 解析：由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)．则OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2．因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为6．故选C ．11．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为左焦点F ．若14<k <23，则椭圆离心率的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B 解析：由题意知，B ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ．又14<k <23，所以14<1－e <23，解得13<e <34．12．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( )A ．(10,14)B ．(12,14)C ．(10,12)D ．(9,11)C 解析：抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1,0)，由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1，圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C (1,0)，半径为5，可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ，由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝25可得交点的横坐标为4，即有x P ∈(4,6)，可得6＋x P ∈(10,12)，故△PQC 的周长的取值范围是(10,12)．故选C ．13．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是_________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 解析：由题意可知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 2＝x 20＋y 20－3<0．因为点P 在椭圆上，所以y 20＝1－x 204．所以3x 204－2<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263．14．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A (4,6)，则|PA |＋|PM |的最小值是______．35－1 解析：延长PM 交抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1于点P ′，焦点F (1,0)，则|PP ′|＝|PF |，所以要使|PA |＋|PM |最小，就是使|PA |＋|PP ′|－|MP ′|最小，也就是使得|PA |＋|PF |－|MP ′|最小，显然，当A ，P ，F 三点共线时，|PA |＋|PF |－|MP ′|最小，最小值为|AF |－|MP ′|＝(4－1)2＋(6－0)2－|MP ′|＝35－1，所以|PA |＋|PM |的最小值为35－1．15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，12，两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设圆D ：x 2＋y 2＝r 2(b <r <a )．若直线l 与椭圆C 、圆D 都相切，切点分别为A 和B ，求|AB |的最大值．解：(1)由题意c ＝3，所以a 2＝b 2＋3，椭圆C 的方程可化为x 2b 2＋3＋y 2b2＝1(b >0)．因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以3b 2＋3＋14b 2＝1，解得b 2＝1或b 2＝－34(舍)．所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)设l ：y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．由Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝0，得m 2＝1＋4k 2．① 设A (x 0，y 0)，则x 0＝－4km 4k 2＋1＝－4km，y 0＝kx 0＋m ＝1m．因为l 与圆D 相切，所以圆心D (0,0)到l 的距离|m |1＋k2＝r ，即m 2＝r 2(1＋k 2)．②由①②得m 2＝3r 24－r 2，k 2＝r 2－14－r2．所以|AB |＝x 20＋y 20－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－r 2＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫4r2＋r 2．因为4r 2＋r 2≥24r2·r 2＝4，当且仅当r ＝2时取等号．因为r ＝2∈(1,2)，所以|AB |的最大值为1．。

2020高考理科数学课时作业52

高考数学课时作业(五十二)1．(2013·广东)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A项，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C项，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD，A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D项，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD.故A、C、D三项都是错误的．而对于B项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B 项正确．2．已知不同直线m、n及不重合平面α、β，给出下列结论：①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β③m⊂α，n⊂α，m∥n⇒α∥β④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β其中的假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析①为假命题，m不一定与平面β垂直，所以平面α与β不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．3．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β答案 B解析对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.4．如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF 的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面答案 A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE，又∵B、C、D重合记为H，∴AH⊥HF，AH ⊥HE.∴AH⊥面EFH.5. 如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13 答案 B解析取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD .∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD .A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，∴A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD·CD ＝16，D 错误，故选B.6. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A.63aB.66aC.22aD.12a答案 A解析设点C 到平面A 1DM 的距离为h ，则由已知得 DM ＝A 1M ＝a 2＋(a 2)2＝52a ，A 1D ＝2a ，S △A 1DM ＝12×2a ×(52a )2－(22a )2＝64a 2，连接CM ，S △CDM ＝12a 2，由VC －A 1DM ＝VA 1－CDM ，得13S △A 1DM ·h ＝13S △CDM ·a ，即64a 2·h ＝12a 2·a . 所以h ＝63a ，即点C 到平面A 1DM 的距离为63a ，选A.7. 如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析由题意知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC . ∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确．8．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°.求证：BD ⊥平面ACD . 答案略证明如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF .∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ，∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2. ∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD .9．(2013·广东)如图①，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图②所示的四棱锥A ′－BCDE ，其中A ′O ＝ 3.证明：A ′O ⊥平面BCDE . 答案略证明在题图①中，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2.连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos45°＝ 5. 由翻折不变性可知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD .同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .10．(2014·保定一模) 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点．(1)求证：BC 1∥平面CA 1D ； (2)求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B . 答案 (1)略 (2)略解析 (1)连接AC 1交A 1C 于E ，连接DE .∵AA 1C 1C 为矩形，则E 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点， ∴在△ABC 1中，DE ∥BC 1.又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .(2)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点， ∴在△ABC 中，AB ⊥CD .又AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AB ＝A ， ∴CD ⊥平面AA 1B 1B . 又CD ⊂平面CA 1D ， ∴平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B .11. 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC ＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1.(1)求证：BB 1⊥平面ABC ； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D ； (3)求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．答案 (1)略 (2)略 (3)43解析 (1)证明：∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点， ∴CD ⊥AB .又∵CD ⊥DA 1， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1. ∴CD ⊥BB 1.又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ， ∴BB 1⊥平面ABC .(2)证明：连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点．又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1. 又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ，故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝22，CD ＝ 2.又BB 1＝2，∴VB 1－A 1DC ＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD ＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43.12. (2012·课标全国)如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．答案 (1)略 (2)1∶1解析 (1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC . 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC . 又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC . (2)设棱锥B —DACC 1的体积为V 1，AC ＝1. 由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.13．(2013·陕西) 如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D . 答案略证明方法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1.∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0.∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1.又BD ∩BB 1＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .方法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD . 又∵底面ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又∵OA 1是AC 的中垂线， ∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2.∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2.∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1.又BB 1∩BD ＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .14. 如图所示，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于F .(1)求证：AF ⊥SC ；(2)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD . 答案 (1)略 (2)略证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴SA ⊥BC . ∵ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC 且SA ∩AB ＝A . ∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE .又SB ⊥AE 且SB ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面SBC . 又∵SC ⊂平面SBC ，∴AE ⊥SC .又EF ⊥SC 且AE ∩EF ＝E ，∴SC ⊥平面AEF .又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC. 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD. 又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC. 又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.。

【与名师对话】高考数学课时作业52 文(含解析)北师大版

课时作业(五十二)一、选择题1．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众．报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( ) A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样解析：①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样，故选A.答案：A2．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状态，现采用分层抽样的方法进行调查，若抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ( )A．9 B．18C．27 D．36解析：设该单位老年职工有x人，样本中的老年职工人数为y人．则160＋3x＝430，解得x＝90，即老年职工有90人，由90160＝y32，得y＝18.答案：B3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( ) A．7 B．15C．25 D．35解析：设样本容量为n ，则依题意有350750×n ＝7，n ＝15，选B. 答案：B4．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是A ．7B ．5C ．4D ．3 解析：由系统抽样知第一组确定的号码是5.答案：B5．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中a b c ＝，全校参与登山的人数占总人数的5.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取A ．36人B ．60人C ．24人D ．30人解析：∵登山的占总数的25，故跑步的占总数的35，又跑步中高二年级占32＋3＋5＝310. ∴高二年级跑步的占总人数的35×310＝950. 由950＝x 200得x ＝36，故选A. 答案：A6．(2012年山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( ) A ．7 B ．9C ．10D ．15解析：由题意可得，抽样间隔为30，区间[451,750]恰好为10个完整的组，所以做问卷B 的有10人，故选C.答案：C二、填空题7．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为________．解析：因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)较为恰当．答案：简单随机抽样8．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：第7组中号码的十位数字为6.又m ＋k ＝6＋7＝13，由规定知抽取号码的个位数字为3，所以抽取号码为63.答案：639．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20(人)．答案：37 20三、解答题10．为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩．为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同)：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？(3)试写出上面的第三种方式抽取样本的步骤．解：(1)这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.(2)三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．(3)第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次．第二步，确定各个层次抽取的人数．因为样本容量与总体的个体数之比为：＝，所以在每个层次中抽取的个体数依次为15010，60010，25010，即15,60,25. 第三步，按层次分别抽取．在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．11．一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程．解：∵21∶210＝1∶10，∴2010＝2，4010＝4，15010＝15. ∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家．抽样过程：(1)计算抽样比21210＝110； (2)计算各类百货商店抽取的个数：2010＝2，4010＝4，15010＝15； (3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家；(4)将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．12．某单位有职工550人，现为调查职工的健康状况，先决定将职工分成三类：青年人、中年人、老年人，经统计后知青年人的人数恰是中年人的人数的两倍，而中年人的人数比老年人的人数多50人．若采用分层抽样，从中抽取22人的样本，则青年人、中年人、老年人应该分别抽取多少人？解：设该单位职工中老年人的人数为x ，则中年人的人数为x ＋50，青年人的人数为2(x ＋50)．∴x ＋x ＋50＋2(x ＋50)＝550，∴x ＝100，x ＋50＝150,2(x ＋50)＝300.所以该单位有青年人300人、中年人150人、老年人100人．由题意知抽样比例为22550＝125，所以青年人、中年人、老年人应分别抽取12人、6人、4人．[热点预测]13．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多100件，根据以上信息，可得C 产品的数量是( )A.900C ．90D ．80解析：抽取频率1301 300＝110，设A 产品有x 件，则C 产品有x ＋100件，∴x ＋(x ＋100)＋1 300＝3 000.得x ＝800，选B.答案：B14．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三级品a 被抽到的可能性为________．解析：每一个个体被抽到的概率都等于样本容量与总体中个体数的比值，即20120＝16.答案：1615．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。