概率统计课件讲义2.1

(2) F (−∞) = xlim F ( x) = 0 , →−∞
F (+∞) = lim F ( x) =1 ;
(2.9)
说明
若函数F(x)满足上述三 x → +∞ 条性质, 则它一定是某个随 (3)右连续性 F(x+0)=F(x). 机变量X的分布函数.
三、分布函数
定义2.4(分布函数) 设X是一随机变量, 则称函数 F(x)=P{X≤x}, x∈(−∞, +∞) 为随机变量X的分布函数, 记作X ~F(x). 分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质: (1)单调性 若x1 <x2, 则F(x1)≤F(x2);
P{X = i}= 27 ⋅( 2)i , i=1, 2, 3. 38 3 求P{X<1}, P{X≤1}, P{X<2}, P{X<2.5}, P{X≤3}, P{X≤4}.
解 P{X<1} =0,
P{X ≤1} = P{X =1} = 27 × 2 = 9 , 38 3 19 P{X < 2}= P{X =1} 9 , }= 19
0, 1 F ( x) = , 2, 1 x<0 0 ≤ x <1, x ≥1.
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是: F(x)是一 个阶梯形的函数, 它在X的可能取值点处发生跳跃,跳跃高度 等于相应点处的概率, 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变. 反过来, 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数, 则 一定是一个离散型随机变量, 其概率分布可由分布函 则X一定是一个离散型随机变量, 数F(x)惟一确定; F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值, 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率.
1, ω = 正面, X (ω ) = −1, ω = 反面.
二、离散型随机变量的概率分布
定义2.2(离散型随机变量) 设X是定义在概率空间(Ω, P)上的一个随机变量, 如果X的 全部可能取值只有有限个或可数无穷多个, 则称X是一个离散 型随机变量. 定义2.3(概率分布) 设X是离散型随机变量, 其全部可能取值为{xi, i=1, 2, ⋅⋅⋅ }, 记 P(xi)=P{X=xi}, i=1, 2, ⋅⋅⋅ , (2.1) 则称{p(xi), i=1, 2, ⋅⋅⋅}为X的概率分布. 有时也将p(xi)记为pi, 用 下列表格形式来表示, 并称之为X 的概率分布表:
解 X的密度函数为
x < a, 0, 1 f ( x) = F '( x) = , a < x < b, (2.15) b −,a x > b. 0 在x=a和x=b处, F(x)的导数不存在, 可补充定义这两点的密度 为 f ( x) = 1 , x=a 或 x=b. (2.16) b−a
P{X < 2.5} = P{X =1}+ P{X = 2} = 9 + 27 × 4 = 15 , 19 38 9 19 P{X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1,
P{X≤4} =P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1.
三、分布函数
定义2.4(分布函数) 设X是一随机变量, 则称函数 F(x)=P{X≤x}, x∈(−∞, +∞) 为随机变量X的分布函数, 记作X ~F(x). 分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质: (1)单调性 若x1 <x2, 则F(x1)≤F(x2);
(2) F (−∞) = xlim F ( x) = 0 , →−∞
F (+∞) = lim F ( x) =1 ;
(2.9)
说明
因此, 通常将满足上述 x → +∞ 三条性质的函数都称为分布 (3)右连续性 F(x+0)=F(x). 函数.
例2.5 等可能地在数轴上的有界区间[a, b]上投点, 记X为 落点的位置(数轴上的坐标), 已知当(c, d]⊂[a, b]时, 有
§2.1 随机变量及其分布
一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布 三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及其概率密度
一、随机变量的概念
定义2.1(随机变量) 定义在概率空间(Ω, P)上, 取值为实数的函数X=X(ω) (ω∈Ω)称为(Ω, P)上的一个随机变量. 随机变量举例 在掷骰子的实验中, 其出现的点数记为随机变量X, 则X作 为样本空间Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的函数定义为 X(ω)=ω, ω∈Ω .
概率分布的性质 任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质: (1) p(xi)≥0, i=1, 2, ⋅⋅⋅ ; (2.2)
(2) ∑ p( xi ) =1 .
i
(2.3)
例 2.1 投掷一枚均匀硬币, 设X为一次投掷中出现正面的 次数, 即
1, ω =正面, X (ω机变量的概念
定义2.1(随机变量) 定义在概率空间(Ω, P)上, 取值为实数的函数X=X(ω) (ω∈Ω)称为(Ω, P)上的一个随机变量. 随机变量举例 在投掷一枚硬币进行打赌时, 出现正面时投掷者赢一元 钱, 出现反面时输一元钱, 记赢钱数为随机变量X, 则X作为样 本空间Ω ={正面, 反面}上的函数定义为
F ( x) = P{X ≤ x}= ∫ f (t)dt ,
−∞ x
(2.11)
并称f(x)为X的概率密度函数, 简称为密度函数. 密度函数的性质 密度函数具有下列性质: 说明: (1)f(x)≥0, x∈(−∞, +∞);
(2) ∫ f ( x)dx =1.
−∞ +∞
反过来, 可以证明, 一个函数满 足上述两个性质, 一定可以作为某 一连续型随机变量的密度函数.
P{c < X ≤ d} = d − c , b−a 求随机变量X的分布函数.
解 当x<a时, F(x)=P{X≤x}=0. 综上, 可得X的分布函数为 当a≤x≤b时, F(x)=P{X≤x}
} = P{a ≤ X ≤ x} = x − a . b−a 当x≥b时,
0, F ( x) = x − a , b −,a 1
P{X = 0}= P{X =1}= 1 . 2 于是, 当x<0 时, F(x)=P{X≤x}=0.
综上, X的分布函数为
0, 1 F ( x) = , 2, 1
x<0 0 ≤ x <1, x ≥1.
四、离散型随机变量的分布函数
例 2.6 投掷一枚均匀硬 币, 设X为一次投掷中出现正 面的次数, 即 1, ω = 正面, X (ω ) = 0, ω = 反面, 求其分布函数. 解 X只有两个可能取值, 其概率分布为
例2.7 设随机变量X的分 解 由 于 F(x) 是 一 个 阶 梯 布函数为 形函数, 故知X是一个离散型随 机变量, F(x)的跳跃点分别为1, 0, x <1, 9 , 1≤ x < 2, 2, 3, 对应的跳跃高度分别为 F ( x) = 19 9, 6, 4, 15 , 2 ≤ x < 3, 19 19 19 19 x ≥ 3, 1, 故X的概率分布为 求X的概率分布. P{X =1}= 9 , 19 P{X = 2} = 6 , 19 P{x = 3} = 4 . 19
1= ∑ p{X = i}
i =1 3
(2)由于
1= ∑ p{X = i} = ∑ a⋅( 2 )i i =1 i =1 3 2 = a⋅ 3 = 2a , 1− 2 3 故有 a = 1 . 2
∞ ∞
= ∑ a⋅( 2)i = a⋅ 38 , i =1 3 27
故有 a = 27 . 38
3
例2.3 设X的概率分布为
x < a,
a ≤ x < b, x ≥ b.
F(x)=P{X≤x}
} = P{a ≤ X ≤ b} = b − a =1 . b−a
四、离散型随机变量的分布函数
例 2.6 投掷一枚均匀硬 当0≤x<1时, 币, 设X为一次投掷中出现正 F(x)=P{X≤x} 面的次数, 即 = P{X = 0} = 1 . 2 1, ω = 正面, X (ω ) = 当x≥1时, 0, ω = 反面, F(x)=P{X≤x} 求其分布函数. =P{X=0}+P{X=1}=1. 解 X只有两个可能取值, 其概率分布为
五、连续型随机变量及其概率密度
定义2.5(密度函数) 一个随机变量X称为连续型随机变量, 如果存在一个非负 可积函数f(x), 使得
F ( x) = P{X ≤ x}= ∫ f (t)dt ,
−∞ x
(2.11)
并称f(x)为X的概率密度函数, 简称为密度函数.
五、连续型随机变量及其概率密度
定义2.5(密度函数) 一个随机变量X称为连续型随机变量, 如果存在一个非负 可积函数f(x), 使得
P{a < X ≤ b}= F (b) − F (a) = ∫ f ( x)dx .
a b
(2.12)
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为 P{X=x}=0.
(2.13)
例2.8 设X是在[a, b]上等可能投点的位置, 其分布函数为
x < a, 0, x−a F ( x) = , a ≤ x < b, b −,a x ≥ b, 1 试由分布函数求其密度函数.
于是X的概率分布为
则有
P{X=1}=P{出现正面}= 1 , 2 P{X=0}=P{出现反面}= 1 . 2
例2.2 设离散型随机变量X的概率分布为 (1) P{X = i}= a⋅( 2)i , i=1, 2, 3; 3 (2) P{X = i} = a⋅( 2)i , i=1, 2, ⋅⋅⋅ . 3 分别求上述各式中的常数a . 解 (1)由于