安徽省皖西南联盟2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)
2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题文(含解析)
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2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题文(含解析)本试卷共22题,共150分,共8页,考试用时120分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回,考试范围:必修3,选修1-1,1-2,选修4-4,4-5.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名,准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴条形码区域内.2.选择题答案必须使用2B铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数满足,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法求出z,再求.【详解】由题得,所以.故选:A【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.2.对于函数,下列说法错误的是()A. 函数的极值不能在区间端点处取得B. 若为的导函数,则是在某一区间存在极值的充分条件C. 极小值不一定小于极大值D. 设函数在区间内有极值,那么在区间内不单调.【答案】B【解析】【分析】利用导数知识对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 函数的极值不能在区间端点处取得,故该选项是正确的;B. 若为的导函数,则是在某一区间存在极值的非充分条件,如函数,但是函数是R上的增函数,所以x=0并不是函数的极值点.故该选项是错误的;C. 极小值不一定小于极大值,故该选项是正确的;D. 设函数在区间内有极值,那么在区间内不单调.故该选项是正确的.故选:B【点睛】本题主要考查极值的概念和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.3.滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价,采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查,为此将他们随机编号1,2,…,2000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的100人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷,则抽到的人中,做问卷的人数为()A. 23 B. 24 C. 25 D. 26【答案】C【解析】【分析】先求出做A,B卷的人数总和,再求做C卷的人数.【详解】由题得每一个小组的人数为,由于,所以做A,B卷调查的总人数为75,所以做C卷调查人数为100-75=25.故选:C【点睛】本题主要考查系统抽样,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.4.已知双曲线的离心率为2,则()A. 3B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意列方程,即可得解.【详解】由题得,解之得.故选:A【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.5.向边长为4的正三角形区域投飞镖,则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出满足条件的正三角形的面积,再求出满足条件正三角形内的点到正三角形的顶点、、的距离均不小于2的图形的面积,然后代入几何概型公式即可得到答案.【详解】满足条件的正三角形如下图所示:其中正三角形的面积,满足到正三角形的顶点、、的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示,则,则使取到的点到三个顶点、、的距离都不小于2的概率是:,故选:.【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式.几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.6.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3,则不用现金支付的概率为()A. 0.4B. 0.3C. 0.7D. 0.6【答案】B【解析】【分析】利用对立事件的概率公式求解.【详解】由题得不用现金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.故选:B【点睛】本题主要考查对立事件的概率的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.7. 设集合A={x∈R|x﹣2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x﹣2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析:,所以应是充分必要条件.故选C.考点:充分条件、必要条件.【此处有视频,请去附件查看】8.某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.甲说:我在1日和3日都有值班乙说:我在8日和9日都有值班丙说:我们三人各自值班日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是()A. 10日和12日B. 2日和7日C. 4日和5日D. 6日和11日【答案】D【解析】【分析】确定三人各自值班的日期之和为26,由题可得甲在1、3、10、12日值班,乙在8、9、2、7或8、9、4、5,确定丙必定值班的日期.【详解】由题意,1至12的和为78,因为三人各自值班的日期之和相等,所以三人各自值班的日期之和为26,根据甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班,可得甲在1、3、10、12日值班,乙在8、9、2、7或8、9、4、5,据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日,故选:.【点睛】本题考查分析法,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.9.已知,其中为自然对数的底数,则()A. B.C. D.【答案】D【解析】当时,单调递增,当时,单调递减,所以故有选D.10.已知椭圆的右焦点为,离心率,过点的直线交椭圆于两点,若中点为,则直线的斜率为()A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据已知得到,再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得.设,由题得,所以,两式相减得,所以,所以,所以.故选:C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算,考查直线和椭圆的位置关系和点差法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.11.设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足,如果直线的斜率为,那么()A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求出焦点坐标和准线方程,得到方程,与准线方程联立,解出点坐标,因为垂直准线,所以点与点纵坐标相同,再求点横坐标,利用抛物线定义求出长.【详解】抛物线方程为,焦点,准线方程为,直线的斜率为,直线的方程为,由可得点坐标为,,为垂足,点纵坐标为,代入抛物线方程,得点坐标为,,.故选:B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单几何性质,考查直线和抛物线的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.12.已知是双曲线的右焦点,点在的右支上,坐标原点为,若,且,则的离心率为()A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为运用余弦定理可得,再由双曲线的定义可得,即为,运用离心率公式计算即可得到所求值.【详解】设双曲线的左焦点为由题意可得,,即有,即有,由双曲线的定义可得,即为,即有,可得.故选:D.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用余弦定理和双曲线的定义,考查运算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.已知与之间的一组数据:21则与的线性回归方程为必过点__________.【答案】;【解析】【分析】求出样本中心点即得解.【详解】由题得.所以样本中心点为.所以线性回归方程必过点(5,4).故答案为:【点睛】本题主要考查平均数的计算,考查回归直线的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.14.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区活动,则选中的2人都是女同学的概率__________.【答案】;【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】由古典概型的概率公式得.故答案为:【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.15.在中,若,斜边上的高位,则有结论,运用此类比的方法,若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为且三棱锥的直角顶点到底面的高为,则有结论__________.【答案】;【解析】【分析】由平面上的直角三角形中的边与高的关系式,类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可.【详解】如图,设、、为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱,三棱锥的高为,连接交于,、、两两互相垂直,平面,平面,,,,,.故答案为:.【点睛】本题主要考查了类比推理的思想和方法,考查运算求解能力,解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系.16.若函数在上不是单调函数,则实数的取值范围是__________.【答案】;【解析】【分析】先利用导数求出函数的单调性,再由函数的单调性得到,解不等式组即得解.【详解】由题得,令,所以2<x<4,令,所以1<x<2或x>4.所以函数的增区间为减区间为(1,2),(4,+).因为函数在上不是单调函数,所以,解之得t∈所以实数t的取值范围为.故答案为:【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.17.已知且,命题:函数在区间上为增函数;命题:曲线与轴无交点,若“”为真,“”为假,求实数的取值范围.【答案】或【解析】【分析】先化简两个命题,再根据“”为真,“”为假得到一真一假,再得到关于a的不等式组,解不等式组即得解.【详解】解:由已知得,对于,,即.若“”为真,“”为假,所以一真一假若为真命题,为假命题,则,所以若为假命题,为真命题,则,所以综上,或【点睛】本题主要考查复合命题的真假,考查对数函数的单调性和二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.18.某同学再一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于一个常数.①.②.③.(1)试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.(2)猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.【答案】(1)(2),证明见解析【解析】【分析】(1)选择①化简得这个常数为;(2)找到一般规律:,再化简证明.【详解】解:(1)(2)一般规律:证明:【点睛】本题主要考查归纳推理,考查三角恒等式证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.19.某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关,随机抽取了30名男性和30名女性观众,抽查结果用等高条形图表示如图:(1)根据该等高条形图,完成下列列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关?(2)从性观众中按喜欢节目与否,用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查.从这5名中任选2名,求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.附:0.1002.706.【答案】(1)列联表见解析,能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关;(2).【解析】试题分析:(1)根据等高条形图算出所需数据可得完成列联表,由列联表,利用公式可得的观测值,与邻界值比较从而可得结果;(2)利用列举法,确定基本事件的个数,即利用古典概型概率公式可求出恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.试题解析:(1)由题意得列联表如表:喜欢节目不喜欢节目总计假设:喜欢娱乐节目与观众性别无关,则的观测值,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关.(2)利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名,其中喜欢娱乐节目的人数为,不喜欢节目的人数为.被抽取的喜欢娱乐节目的4名分别记为,,,;不喜欢节目的1名记为.则从5名中任选2人的所有可能的结果为:,,,,,,,,,共有10种,其中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的有,,,共4种,所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的观众的概率是.20.已知椭圆方程为,射线与椭圆的交点为,过作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于两点(异于).(1)求证直线的斜率为定值;(2)求面积最大值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)先求出,设直线,联立直线MA的方程与椭圆的方程,借助韦达定理证明直线的斜率为定值;(2)设直线,设,求出,再利用基本不等式求面积的最大值.【详解】解:(1)由,得不妨设直线,直线.由,得,设,同理得直线的斜率为定值2(2)设直线,设由,得,,,由得,且,点到的距离,当且仅当,即,当时,取等号,所以面积的最大值为1.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题和最值问题,考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.21.已知函数.(1)求函数的单调区间及极值;(2)求证:对于区间上的任意,都有;(3)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.【答案】(1)当和时,为增函数;当时,为减函数,的极小值为,极大值为(2)见解析(3)【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间和极值;(2)等价于,利用第一问结论分析即得解;(3)设切点为,,则,即方程有三个实根,利用导数分析得解.【详解】解:(1)的定义域为,,当和时,,为增函数;当时,为减函数,极小值为,极大值为(2)当时,为减函数,对于区间上的任取,都有,即得证(3)设切点为,,则,,设,则,令,解得,要使过点可作曲线三条切线,必须满足,即,解得实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值,考查导数的几何意义和利用导数研究函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平分析推理能力,属于中档题.(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线(为参数,),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.(Ⅰ)求与交点的直角坐标系;(Ⅱ)若与相交于点,与相交于点,求的最大值.【答案】(1)交点坐标为,.(2)最大值为.【解析】试题分析:(1)根据将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程,再联立方程组求解交点的直角坐标,(2)曲线为直线,倾斜角为,极坐标方程为,代入与的极坐标方程可得的极坐标,则为对应极径之差的绝对值,即,最后根据三角函数关系有界性求最值.试题解析:解:(Ⅰ):,:,联立得交点坐标为,.(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,其中.因此得到的极坐标为,的极坐标为.所以,当时,取得最大值,最大值为.23.已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为;(Ⅱ)由题意可得面积函数为为,求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析:(I)当时,化为,当时,不等式化为,无解;当时,不等式化为,解得;当时,不等式化为,解得。
2018-2019学年安徽省高中教研联盟高二下学期期末联考数学(理)试题(解析版)
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2018-2019学年安徽省高中教研联盟高二下学期期末联考数学(理)试题一、单选题1.复数12i 1iz +=-的共轭复数z 在复平面上对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】C【解析】首先化简1322z i =-+,再求z 找其对应的象限即可. 【详解】 12(12)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i +++-+====-+--+, 1322z i =--,对应的象限为第三象限. 故选:C【点睛】本题主要考查复数对应的象限,同时考查复数的运算和共轭复数,属于简单题.2.在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆交于点1,2P ⎛ ⎝⎭,则tan2α=( ) A.B.-CD【答案】D【解析】首先根据三角函数的定义求出tan α=tan2α即可.【详解】2tan 12α==tan 2α==故选:D【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算,同时考查三角函数的定义,属于简单题. 3.根据中央对“精准扶贫”的要求,某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研,其中有4名男性党员,3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性,又有女性,则不同的选法共有( )A .35种B .30种C .28种D .25种【答案】B【解析】首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况,再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况,即可得到既有男性,又有女性的情况.【详解】从7名党员选3名去甲村共有37C 种情况,3名全是男性党员共有34C 种情况, 3名全是女性党员共有33C 种情况,3名既有男性,又有女性共有33374330C C C --=种情况. 故选:B【点睛】本题主要考查组合的应用,属于简单题.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,122n n n a a a ++=+,若37513a a a +-=,770S =,则1a =( )A .1-B .0C .1D .2 【答案】C【解析】首先根据122n n n a a a ++=+得到数列{}n a 为等差数列,再根据770S =,37513a a a +-=即可算出1a 的值.【详解】因为122n n n a a a ++=+,所以数列{}n a 为等差数列. 因为17747()7702a a S a +===,所以410a =. 375555213a a a a a a +-=-==.543d a a =-=.因为41310a a d =+=,所以11a =.故选:C【点睛】本题主要考查等差数列的性质,同时考查了等差中项,属于简单题.5.如图,已知函数cos ()x f x x=,则它在区间[],ππ-上的图象大致为( ) A . B .C .D .【答案】D【解析】首先根据函数的奇偶性排除A ,根据()0f π<排除B ,再根据0x +→时,()f x →+∞,故排除C ,即可得到答案.【详解】因为()f x 的定义域为0x ≠,cos ()()x f x f x x-=-=-, 所以()f x 为奇函数,故排除A. cos 1()0f ππππ==-<,故排除B.当0x +→时,()f x →+∞,故排除C.故选:D【点睛】本题主要考查根据函数图象选取解析式,熟练掌握函数的奇偶性和利用函数的特值检验为解题的关键,属于中档题.6.中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体:“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图(直角三角形)如图所示,则该“堑堵”的外接球的大圆面积为( )A .27πB .1174πC .48916πD .51916π 【答案】B 【解析】首先根据题意得到“堑堵”是半个长方体的直三棱柱,再求其外接球的大圆面积即可.【详解】由题知:“堑堵”是半个长方体的直三棱柱111ABC A B C -,如图所示:设外接球大圆的半径为R ,222(2)(63)6117R =++=. 117R =,所以外接球的大圆面积为1174π. 故选:B【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球,同时考查三视图的直观图,属于中档题.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2512y x =±,则焦点到渐近线的距离为( ) A .1B 3C .2D .3【答案】A【解析】首先根据双曲线的焦距得到5c =.【详解】由题知:2c =c =2F .2F 到直线20x y -=的距离1d ==.故选:A【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质,同时考查了点到直线的距离公式,属于简单题.8.在平面四边形ABCD ,(1,3)AC =u u u r ,(9,3)BD =-u u u v,则四边形ABCD 的面积为( ) A. B .272 C .15 D.2【答案】C【解析】首先根据0AC BD =u u u r u u u r g 得到AC BD ⊥uuu r uu u r,再求四边形ABCD 的面积即可.【详解】 因为1(9)330AC BD =⨯-+⨯=u u u r u u u r g ,所以AC BD ⊥uuu r uu u r ,所以四边形ABCD的面积111522S AC BD =⨯==uuu r uu u r . 故选:C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算,属于简单题.9.若实数,x y 满足约束条件0102210x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-+≤⎩,且(0,0)z ax by a b =+>>最大值为1,则ab 的最大值为( )A .18B .14 C.4 D.2【答案】A【解析】首先画出可行域,根据目标函数的几何意义得到21a b +=,再利用基本不等式的性质即可得到ab 的最大值.【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示:目标函数z ax by =+转化为a zy x b b =-+, 由图易得,直线azy x b b =-+在(1,2)A 时,y 轴截距最大.所以21a b +=. 因为2(2)1244a b a b +≤=g ,即18ab ≤,当且仅当2a b =,即12a =,14b =时,取“=”.故选:A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题,同时考查了线性规划,属于中档题.10.设,(0,1)a b ∈,:P “a b <”,:q “log log a b a b b a <”,则p 是q 的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行判断即可得到答案.【详解】充分性:01a b <<<⇒22lg lg 0(lg )(lg )a b a b <<⇒>. 所以22lg lg (lg )(lg )lg lg baa b b a a b a b <⇒<即:log log a b a b b a <,充分性满足.必要性:因为,(0,1)a b ∈,所以log 0a b >,log 0b a >.又因为log log a b a b b a <,所以log log a b bb a a <,即2(log )a b b a<.当a b =时,11<,不等式不成立.当a b >时,01b a <<,log 1a b >,不等式2(log )a b b a <不成立 当a b <时,1b a >,0log 1a b <<,不等式2(log )a b b a <成立. 必要性满足.综上:p 是q 的充要条件.故选:C【点睛】本题主要考查充要条件,同时考查了对数的比较大小,属于中档题.11.已知抛物线2:4C y x =,过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点,若3AF FB =uu u r uu r ,则AOF V 的面积(O 为坐标原点)为( )A .33B .3C .433D .23【答案】B【解析】首先过A 作111AA A B ⊥,过B 作111BB A B ⊥(11A B 为准线),1BM AA ⊥,易得30ABM ∠=o ,60AFH ∠=o .根据直线AF :3(1)y x =-与抛物线联立得到12103x x +=,根据焦点弦性质得到163AB =,结合已知即可得到sin 6023AH AF ==o ,再计算AOF S V 即可.【详解】如图所示:过A 作111AA A B ⊥,过B 作111BB A B ⊥(11A B 为准线),1BM AA ⊥.因为3AF BF =uuu r uu u r ,设BF k =,则3AF k =,11BB A M k ==. 所以2AM k =.在RT ABM V 中,12AM AB =,所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o .(1,0)F ,直线AF 为1)y x =-.221)310304y x x x y x⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩,12103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=+=,344AF AB ==.在RT AFH V 中,sin 60AH AF ==o所以112AOF S =⨯⨯=V 故选:B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,同时考查焦点弦的性质,属于中档题.12.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称,()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7),若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α,则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为( )A .B .10C .4D .4- 【答案】B【解析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =,2c =,即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =,再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值,代入式子cos()tan()2παπα+-g 计算即可.【详解】 因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称,所以()()4f x f x +-=.即:32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=,解得0a =,2c =.所以3()2f x x bx =++,(1)3f b =+,切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+,(1)3k f b '==+.切线为:(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7),所以7(3)(3)(21)b b -+=+-,解得12b =. 所以31()22f x x x =++,21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==,所以sin α.所以1cos()tan()sin tan 25210παπααα+-===g g . 故选:B 【点睛】本题主要考查导数的切线问题,同时考查三角函数的诱导公式,属于中档题.二、填空题13.()24(2)x x x +-的展开式中,3x 的系数为______.【答案】8-【解析】首先求出4(2)x -的展开式的通项,再令2r =,3r =即可求出含3x 的项及系数.【详解】设4(2)x -的展开式的通项为414(2)r r r r T C x -+=-令2r =,222234(2)=24T C x x =-.令3r =,3344(2)=32T C x x =--.所以24()(2)x x x +-的展开式中,含3x 的项为22324(32)8x x x x x +-=-g . 所以3x 的系数为8-.故答案为:8-【点睛】本题主要考查根据二项式定理求指定项系数,熟练掌握二项式展开式的通项为解题的关键,属于中档题.14.已知等比数列{}n a 中,有135a a +=,1534a a a =,数列{}n b 前n 项和为n S ,11b a =且4(1)n n S m b =+-则n b =_______.【答案】143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】首先根据{}n a 是等比数列得到11a =,根据11b =代入n S 求出m 的值,再根据n S 求n b 即可.【详解】因为{}n a 是等比数列, 215334a a a a ==g ,所以34a =.又因为135a a +=,所以11a =.因为111b a ==,1114(1)S m b b =+-=,所以4m =.则43n n S b =-.当2n ≥时,1n n n b S S -=-,143(43)n n n b b b -=---, 即:134n n b b -=,{}n b 是以首项11b =,34q =的等比数列. 所以13()4n n b -=. 故答案为:13()4n -【点睛】 本题主要考查根据n S 求数列的通项公式,同时考查等比中项的性质,属于中档题.15.函数1,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,若函数()()g x f x tx =-恰有两个零点,则实数t 的取值范围是______. 【答案】{}1(,1)0eU【解析】首先将题意转化为函数()y f x =与y tx =恰有两个交点,当0t <和0t =时,利用函数的图象易得交点个数.当0t >,利用t 表示直线的斜率,结合图象即可求出t 的范围.【详解】由题知:函数()()g x f x tx =-恰有两个零点.等价于函数()y f x =与y tx =恰有两个交点.当0t <时,函数()y f x =与y tx =恰有一个交点,舍去. 当0t =时,函数()y f x =与y tx =恰有两个交点. 当0t >时,如图设()ln f x x =与y tx =的切点为00(l ,n )m m ,1x >,()ln f x x =,1()f x x'=,01k m =则切线方程为0001ln ()y m x m m -=-, 原点代入,解得00ln 1m m e =⇒=,1k e=. 因为函数()y f x =与y tx =恰有两个交点,由图知11t e<<. 综上所述:11t e <<或0t =. 故答案为:{}1(,1)0eU .【点睛】本题主要考查函数的零点问题,分类讨论和数形结合为解决本题的关键,属于中档题. 16.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱1CC 的中点,点N 在棱11B C 上,若1//A N 平面1AD M ,则111B NB C =_____. 【答案】12【解析】首先证明当N 为11B C 的中点时,1//A N 平面1AD M ,再求111B NB C 即可. 【详解】当N 为11B C 的中点时,1//A N 平面1AD M ,证明如下:取1BB 的中点H ,连接1A H ,NH . 因为H ,N 分别为1BB ,11B C 的中点, 所以11//A H D M ,1//NH AD ,所以1//A H 平面1AD M ,//NH 平面1AD M , 又因为1A H NH H =I ,所以平面1//A NH 平面1AD M .1A N ⊂平面1A HN ,所以1//A N 平面1AD M .所以11112B N BC =. 故答案为:12【点睛】本题主要考查线面平行的证明,同时考查面面平行的性质,属于中档题.三、解答题17.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知14a =,且1238,5,2S S S 成等差数列,2log n n b a =.(1)求数列{}n b 的通项公式; (2)()()122121nnn b n b b c +=--,求数列{}n c 的前n 和n T .【答案】(1)2n b n =;(2)()1119341nn T +=--.【解析】(1)首先根据题意得到2131082S S S +=,化简得到4q =,求出4nn a =,再代入2log n n b a =即可.(2)首先化简n c 得到1111()34141n n n c +=---,再利用裂项求和计算n T 即可. 【详解】(1)由题知:2131082S S S +=,即12112310()82()a a a a a a ++++= 化简得:234a a =,324a q a ==,所以4n n a =. 22log log 42n n n b a n ===.(2)122221224(21)(21)(21)(21)(41)(41)n nn n n n b n nn b b n c +++===------ 1111()34141n n +=---. 22311111111[()()()]3414141414141n n n T +=-+-++-------……1111111()3414193(41)n n ++=-=----. 【点睛】本题第一问考查等差、等比数列的综合,第二问考查裂项求和,属于中档题. 18.已知向量3sin ,cos cos4m x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭v,3cos ,cos sin 4n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭v ,函数()f x m n =⋅u r r ,在ABC V 中1()2f B =,4AB =,AC =D 在BC 边上,且1cos 3ADC ∠=. (1)求AD 的长; (2)求ACD V 的面积S .【答案】(1)3;(2)【解析】(1)首先化简()f x 得到())4f x x π=+,根据1()2f B =得到4B π=,再利用正弦定理即可求出AD 的长度.(2)首先在ADC V 中利用余弦定理求得4CD =,再利用面积公式即可求出ADC S △. 【详解】(1)33()sin cos (cos cos )(cos sin )44f x m n xx x x ππ==+++u r r g11cos 212sin 2sin(2)22224x x x π+=+-=+. 因为21()sin(2)242f B B π=+=,0B π<<,9444B πππ<2+<, 所以344B ππ2+=,4B π=.又因为1cos 3ADC ∠=,所以1cos 3ADB ∠=-,2sin 3ADB ∠=在ABD △中,由正弦定理得:sin sin4ADABADB π=∠,解得:242223AD ⨯=.(2)因为1cos 3ADC ∠=,所以22sin ADC ∠=在ADC V 中,由余弦定理得:2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠g g . 整理得:2280CD CD --=,解得4CD =或2CD =-(舍去). 所以1122sin 3442223ADC S AD CD ADC =∠=⨯⨯⨯=V g g . 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查了三角函数的恒等变换,属于中档题.19.某快递公司(为企业服务)准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下:甲无保底工资送出50件以内(含50件)每件支付3元,超出50件的部分每件支付5元;乙每天保底工资50元,且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图,若将频率视作概率,回答以下问题:(1)记甲的日工资额为X (单位:元),求X 的分布列和数学期望;(2)如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择,并说明理由.【答案】(1)分布列详见解析,数学期望为151.5元;(2)推荐该公司选择乙的方案,理由详见解析.【解析】(1)首先根据茎叶图得到X 的所有可能取值为:144,147,150,155,160,并计算其概率,再列出分布列求数学期望即可.(2)根据题意求出乙的日均工资额,再比较甲乙的日工资额即可. 【详解】(1)设甲日送件量为a ,则当48a =时,483144X =⨯=,当49a =时,493147X =⨯=, 当50a =时,503150X =⨯=,当51a =时,5035155X =⨯+=, 当52a =时,50352160X =⨯+⨯=,所以X 的所有可能取值为:144,147,150,155,160.1(144)10P X ==,3(147)10P X ==,1(150)5P X ==, 1(155)5P X ==,1(160)5P X ==.X 的分布列为 X144147150 155 160P11031015151513111()144147150155160151.51010555E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).(2)乙的日均送件量为:480.2490.1500.2510.3520.250.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 乙的日均工资额为:5050.221504+⨯=⋅(元), 而甲的日均工资额为:151.5元, 150.4元151.5<元, 因此,推荐该公司选择乙的方案. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望,同时考查了茎叶图和数学期望在决策中的作用,属于中档题.20.在四棱锥M ABCD -中,四边形ABCD 是平行四边形,且BC AB BD ==,MCB MCD ∠=∠.(1)求异面直线BD 与MC 所成角的余弦值;(2)若2CM =,2CD =,二面角B CM D --的平面角的余弦值为725,求DCM ∠的正弦值.【答案】(1)0;(2)56. 【解析】(1)首先设AC 与BD 的交点为O ,连接MO .根据已知及三角形全等的性质可证明BD ⊥面MAC ,即可得到异面直线BD 与MC 所成角的余弦值.(2)首先作DF CM ⊥于点F ,连接BF ,易证CDF CBF V V ≌,得到BF CM ⊥,即BFD ∠为二面角B CM D --的一个平面角,再利用余弦定理即可得到DCM ∠的正弦值. 【详解】(1)设AC 与BD 的交点为O ,连接MO .因为四边形ABCD 是平行四边形,且BC AB CD ==, 所以四边形ABCD 是菱形.因为MCB MCD ∠=∠,BC CD =,MC MC =, 所以MCB MCD V V ≌,MB MD =.又因为BO DO =,MO MO =,及MB MD =, 所以MOB MOD V V ≌,2BOM DOM π∠=∠=,即MO BD ⊥,MO BD AC BD BD AC MO O ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面MAC BD MC ⇒⊥. 故异面直线BD 与MC 夹角的余弦值为0. (2)作DF CM ⊥于点F ,连接BF ,因为MCB MCD ∠=∠,CB CD =,CF CF =,所以CDF CBF V V ≌,所以DFC BFC ∠=∠,BF DF =,BF CM ⊥, 即BFD ∠为二面角B CM D --的一个平面角, 设DCM θ∠=,则2sin BF DF θ==,222222(2sin )(2sin )47cos 22(2sin )25BF DF BD BFD BF DF θθθ+-+-∠===⋅, 解得,5sin 6θ=. 所以DCM ∠的正弦值为56. 【点睛】本题第一问考查异面直线成角问题,第二问考查二面角的计算,属于中档题.21.已知点O 为坐标原点椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,离心率为12,点,P Q 分别是椭圆C 的左顶点、上顶点,POQ △的边PQ. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点F 的直线l 交椭圆于A B 、两点直线PA PB 、分别交直线2x a =于M N 、两点,求FM FN ⋅u u u u r u u u r.【答案】(1)22143x y +=;(2)0. 【解析】(1)首先根据题意列出方程组22212c a a b c ⎧=⎪=+=⎪⎪⎩.(2)首先设直线l 的方程为:1x my =+,()11,A x y ,()22,B x y ,则()34,M y ,()44,N y ,联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,利用根系关系结合,,P A M 三点共线即可求出FM FN ⋅u u u u r u u u r . 【详解】 (1)如图所示由题意得POQ △为直角三角形,且PQ 上的中线长为72, 所以7PQ =.则22222127c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨+=⎪⎪⎩,解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意,如图设直线l 的方程为:1x my =+,()11,A x y ,()22,B x y ,则()34,M y ,()44,N y ,联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得22(34)690m y my ++-=.则122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩.由,,P A M 三点共线易得()31100422y y x --=--+,化简得13163y y my =+,同理可得24263y y my =+. 1234341266(3,)(3,)9933y y FM FN y y y y my my ⋅==+=+⋅++u u u u r u u u rg ()122121236939y y m y y m y y =++++ 2222222936()36934990969189(34)()3()93434m mm m m m m m m --⨯+=+=+=--++-+-+++. 【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程,第二问考查直线与椭圆的位置关系,同时考查学生的计算能力,属于中档题.22.已知函数2()1f x x nx x mx =+-,2()t x x x m =--. (1)当22m e =+时,求()f x 的极值;(2)若m N ∈且对任意的2x >,()()f x t x >恒成立,求m 的最大值. 【答案】(1)极小值为2e e --,无极大值;(2)3.【解析】(1)将22m e =+代入()f x ,求其单调区间,根据单调区间即可得到函数()f x 的极值.(2)首先将问题转化为2x >,ln 1x x x m x +<-恒成立,设ln ()1x x xg x x +=-,求出其单调区间和最值即可得到m 的最大值. 【详解】(1)当22m e =+时,()ln 12ln 221f x x x m x x e =++-=+--', 易知函数()y f x '=在(0,)+∞上为单调增函数, 及()ln 2210f e e e e =+--='所以当(0,)x e ∈,()0f x '<,()f x 为减函数. 当(,)x e ∈+∞,()0f x '>,()f x 为增函数. 所以()y f x =在x e =时取最小值,即()22()()2f x f e e e e e e e e ==+-+=--极小值,无极大值.第 21 页 共 21 页 (2)当2x >时,由22ln x x x mx x x m +->--,即ln (1)0x x m x m +-+>,得ln 1x x x m x +<-. 令ln ()1x x x g x x +=-,则22ln ()(1)x x g x x ---'=. 设()2ln h x x x =--,则11()10x h x x x'-=-=>, ()h x 在(2,)+∞上为增函数,因为(3)1ln30h =-<,(4)2ln40h =->,所以0(3,4)x ∃∈,且0()0h x =,当0(2,)x x ∈时,()0h x <,()0g x '<,()g x 在0(2,)x 上单调递减;当()0,x x ∈+∞时,()0h x >,()0g x '>,()g x 在0(,)x +∞上单调递增. 所以000min 00ln ()()1x x x g x g x x +==-, 因为000()2ln 0h x x x =--=,所以0011ln x x -=+,00()g x x =,所以0(3,4)m x <∈,即m 的最大值为3.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的极值,第二问考查利用导数解决恒成立问题,属于中档题.。
安徽省皖西南联盟2018-2019学年高二下学期期末数学(文)试题
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绝密★启用前安徽省皖西南联盟2018-2019学年高二下学期期末数学(文)试题试卷副标题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1.1i=+( )A .5B .5iC .6D .6i2.已知集合{}|3A x N x =∈<,{}2|0B x x x =-≤,则AB =( )A .](0,1B .{}1C .[]0,1D .{}0,13.若曲线2y x ax =+在点(1,1)a +处的切线与直线7y x =平行,则a =( ) A .3B .4C .5D .64.某校有高一学生n 名,其中男生数与女生数之比为6:5,为了解学生的视力情况,若样本中男生比女生多12人,则n =( ) A .990B .1320C .1430D .15605.设向量a 与向量b 垂直,且(2,)a k =,(6,4)b =,则下列向量与向量+a b 共线的是( ) A .(1,8)B .(16,2)--C .(1,8)-D .(16,2)-6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )线…………○……线…………○……A.3πB.4πC.6πD.8π7.若函数f(x)=()x1222a x1log x1x1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩,,>有最大值,则a的取值范围为()A.()5,∞-+B.[)5,∞-+C.(),5∞--D.(],5∞--8.设x,y满足约束条件2020210yxx y+⎧⎪-⎨⎪-+⎩,,,则z x y=+的最大值与最小值的比值为()A.2-B C.1-D9.若对于任意的x∈R,都有12()()()f x f x f x成)A.4B.1C D.210.等比数列{}n a的前n项和为n S,若1010S=,3030S=,则20S=()A.20B.10C.20或-10D.-20或1011.若点1414(log7,log56)在函数()3f x kx=+的图象上,则()f x的零点为()A.1B C.2D12.若实轴长为24个不同的点(1,2,3,4)iP i=满足,其中(1,0)A-,(1,0)B,则双曲线C的虚轴长的取值范围为()A B C D第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13.按文献记载,《百家姓》成文于北宋初年,表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏:表1:表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏:表2:从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏,则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为_____________.14.已知tan()1αβ+=,tan()5αβ-=,则tan2β=______.15.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积为20π,则椭圆C的标准方程为______.16.四棱锥P ABCD-的每个顶点都在球O的球面上,P A与矩形ABCD所在平面垂直,O的表面积为13π,则线段P A的长为_____________.三、解答题17.已知数列{}n a,{}n b的前n项和分别为n S,n T,21na n=-,且22nn nS T n+=+.(1)n项和n R;……○…………装…………○…………学校:___________姓:___________……○…………装…………○…………(2)求{}n b 的通项公式.18.某市A ,B 两校组织了一次英语笔试(总分120分)联赛,两校各自挑选了英语笔试成绩最好的100名学生参赛,成绩不低于115分定义为优秀.赛后统计了所有参赛学生的成绩(都在区间[]100,120内),将这些数据分成4组:)))[]100,105,105,110,110,115,115,120.⎡⎡⎡⎣⎣⎣得到如下两个频率分布直方图:(1)分别计算A ,B 两校联赛中的优秀率;(2)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金,已知奖学金y (单位:百元)与其成绩t 的关系式为,100105,1.5,105115,2.8,115120.a t y t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩①当0a =时,试问A ,B 两校哪所学校的获奖人数更多?②当0.5a =时,若以奖学金的总额为判断依据,试问本次联赛A ,B 两校哪所学校实力更强?19.如图,在四棱锥S ABCD -中,正SBD 所在平面与矩形ABCD 所在平面垂直.(1)证明:S 在底面ABCD 的射影为线段BD 的中点;(2)已知4AB =,2AD =,E 为线段BD 上一点,且CE BD ⊥,求三棱锥E SAD -的体积.20.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知sin cos sin cos cos b A C a C B A += .(1)求tan A 的值;21.已知()1,2B 是抛物线()2:20M y px p =>上一点,F 为M 的焦点.(1)若1,2A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,5,3C b ⎛⎫⎪⎝⎭是M 上的两点,证明:FA ,FB ,FC 依次成等比数列.(2)若直线()30y kx k =-≠与M 交于()11,P x y ,()22,Q x y 两点,且12124y y y y ++=-,求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距.22(1时,求()f x 的单调区间;(2)若()f x 在1x =处取得极大值,求a 的取值范围.参考答案1.A 【解析】 【分析】由题,先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】 由题()()()2351 5.11i i i ii+++==++故选A 【点睛】本题考查了复数的运算,属于基础题. 2.D 【解析】 【分析】先解出集合A 和B ,再利用交集的运算律可得出A B .【详解】因为{}0,1,2A =,{}|01B x x =≤≤,所以{}0,1A B =,故选:C.【点睛】本题考查集合的交集运算,解题的关键就是将集合都表示出来,考查计算能力,属于基础题。
【解析】安徽省皖西南联盟2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题
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)
A. 1.2 A
B. 15 B
C. B A
【答案】 C
D. A B { x | 5 x 4}
【分析】 先分别求出集合 A 与集合 B,再判别集合 A 与 B 的关系,得出结果 .
【详解】 A x 1 x 5 , B x 0 x 4 ,来自B A.-1-
【点睛】本题考查了集合之间的关系,属于基础题
.
3. 某校有高一学生 n 名,其中男生数与女生数之比为 6:5 ,为了解学生的视力情况,现要求
按分层抽样的方法抽取一个样本容量为
n
的样本,若样本中男生比女生多
10
12 人,则 n
() A. 990 【答案】 B
B. 1320
C. 1430
D. 1560
【分析】 根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为
65
之差为
n
,于此可求出
n 的值。
11 11 10
6 和 5 ,于是得出样本中男生与女生人数 11 11
2
4 a 1,解 a 5 .
1, 因为函数存在最大值,所以
故选: B.
【点睛】本题考查分段函数最值,函数单调性,确定每段函数单调性及最值是关键,是基础
题.
y 2…0,
7. 设 x,y 满足约束条件 x 2, 0, 则 z x y 的最大值与最小值的比值为(
)
2x y 1…0,
A. 2 【答案】 A
3
2018 ? 2019 第二学期期末考试
高二数学试题(理科)
考生注意:
1. 本试卷分第 I 卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。
2. 请将各题答案填写在答题卡上。
安徽省皖西南名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学(文)试题 Word版含答案
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皖西南名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学(文科)考生注意:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容(除选考外)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|230A x x x =+-<,{}|02B x x =<<,则A B ⋂=A .{}2|0x x <<B .{}1|0x x <<C .{}3|1x x -<<D .{}1|2x x -<<2.13i2i+= A .31i 22-B .31i 22+ C .31i 22-- D .31i 22-+ 3.要得到函数cos 23y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只需将函数cos 26y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象A .向左平移2π个单位长度 B .向右平移2π个单位长度 C .向左平移1个单位长度 D .向右平移1个单位长度4.已知函数2(2)log f x x x +=+,若(4)f a =,则()f a =A .1B .2C .3D .45.某中学有高中生3600人,初中生2400人为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则n = A .48B .72C .60D .1206.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A .20B .24C .18D .167.已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A .225-B .2325-C .225D .23258.已知l ,m ,n 为不同的直线,α,β,y γ不同的平面,则下列判断错误的是A .若m α⊥,n β⊥,//αβ,则//m nB .若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβC .若l αβ⋂=,m βγ⋂=,n γα⋂=,//l γ,则//m nD .若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()()11f x f x +=-+,当01x <≤时,()223f x x x =-+,则132f ⎛⎫⎪⎝⎭= A .74-B .74C .94-D .9410.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ,若斜率为18的直线l 过点F ,且与抛物线C 交于A 、B 两点,则线段AB 的中点到准线的距离为 A .658B .654C .12916D .129811.黄金三角形有两种,一种是顶角为36︒的等腰三角形,另一种是顶角为108︒的等腰三角形,例如,一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108︒的黄金三角形组成的,如图所示,在黄金三角形1A AB 中,112A A AB =.根据这些信息,若在正五边形ABCDE 内任取一点,则该点取自正五边形11111A BCDE 内的概率是A.32- B.72- C.34D.78- 12.已知函数,01()ln(2),12x x f x x x <≤⎧=⎨<≤⎩,若存在实数1x ,2x 满足1202x x ≤<≤,且()()12f x f x =,则21x x -的最大值为A .e 2B .e 12- C .1ln2- D .2ln 4-第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知向量(,1)a m =,(2,3)b =-,()2a b b -⊥,则m =________.14.已知实数x ,y 满足不等式组2303210490x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,则z x y =-的最小值为________.15.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若8cos 3ABCbc A S =,则22cos sin 122sin cos B CA A A++-=-________. 16.已知点()5,0P ,若双曲线22:13y C x -=的右支上存在两动点M ,N ,使得PM PN ⊥,则MP MN ⋅的最小值为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,()*2(1)n n S n a n =+∈N . (1)求{}n a 的通项公式; (2)令()()1422n n n b a a +=++,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(12分)某航空公司规定:国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件重量上限为50kg ,每件尺寸限制为40cm 60cm 100cm ⨯⨯,其中头等舱乘客免费行李额为40kg ,经济舱乘客免费行李额为20kg .某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查,得到如下数据:(1)请完成答题卡上的22⨯列联表,并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关;(2)调研小组为感谢参与调查的旅客,决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg 的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”,求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.参考数据:19.(12分)图1是由平行四边形ABCD 和Rt ABE 组成的一个平面图形,其中60BAD ∠=︒,AB AE ⊥,22AD AE AB ===,将ABE 沿AB 折起到ABP 的位置,使得PC =2.图1 图2 (1)证明:PA BD ⊥.(2)求点C 到平面PBD 的距离. 20.(12分)已知函数321()36f x x x mx =--++在0x =处取得极值. (1)求m 的值;(2)若过点(2,)t 可作曲线()y f x =的三条切线,求t 的取值范围.21.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,左、右焦点分别为1F ,2F ,且2F 到直线1:x a l yb+=的距离为7. (1)求椭圆C 的方程.(2)过1F 的直线m 交椭圆C 于P ,Q 两点,O 为坐标原点,以OP ,OQ 为邻边作平行四边形OPDQ ,是否存在直线m ,使得点D 在椭圆C 上?若存在,求出直线m 的方程;若不存在,说明理由.22.(12分)已知函数e ()ln xa f x x x x=-+. (1)当1a =时,讨论函数()f x 的单调性;(2)若()1f x ≥-在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围.2019~2020第二学期高二期末考试数学参考答案(文科)1.B 由题意可得{}3|1A x x =-<<,则{}|01A B x x ⋂=<<.2.A13i i(13i)31i 2i 222+-+==- 3.C因为cos cos (1)2326y x x ππππ⎛⎫⎡⎤=+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以要得到函数cos 23y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只需把函数cos 26y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移1个单位长度.4.A设2t x =+,则2x t =-.因为2(2)log f x x x +=+,所以2()log (2)2f t t t =-+-, 即2()log (2)2f x x x =-+-,则2(4)log (42)423f =-+-=,即3a =,故2()(3)log (32)321f a f ==-+-=.5.D 由题意可知该校高中生人数与初中生人数之比为3:2,则322412055n ⎛⎫=÷-= ⎪⎝⎭. 6.A由几何体的三视图还原出该几何体的直观图,如图所示.该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的.由题中数据可得三棱柱的体积为24,截去的三棱锥的体积为4,故该几何体的体积是20.7.D因为223cos 212sin 3325ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即223cos 2325πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭, 则2223sin 2sin 2cos 2632325ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 8.D 若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ或α与β相交,故D 错误. 9.C由题意可得(1)(1)f x f x +=--,所以()(4)f x f x =+, 即()f x 是周期为4的周期函数,则13331119232222424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⨯+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10.A由题意可得1,016F ⎛⎫⎪⎝⎭,设()11,A x y ,()22,B x y ,AB 的中点()00,M x y , 联立21122244x y x y ⎧=⎨=⎩,整理得()2212124x x y y -=-, 则()120111488AB k y y y ===+,解得01y =.因为点()00,M x y 在直线l 上,所以0011816y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 则012916x =,则线段AB 的中点到准线的距离为0129165216168p x +=+=. 11.B如图,过点B 作BH AC ⊥,垂足为H .设||2AB =,由题意可得111AA A B ==,136AAB ∠=︒,则2211cos 4A AB ∠==. 在Rt ABH中,1||cos ||AH A AB AB ∠==||AH =.因为11AA =,所以113||2A H AH AA -=-=,所以11123A B A H ==记正五边形ABCDE 与11111A B C D E 的面积分别为1S 和2S , 因为正五边形ABCDE 与11111A B C D E 相似,所以22112137||22A B S S AB ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故所求概率2172S P S -==.12.B结合,01()ln(2),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩的图象可知,因为()12ln 2x x =,所以2e 1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则()2122ln 2x x x x -=-,令()ln(2)g x x x =-,e 1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则1()x g x x-'=, 以()g x 在e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,故max e e()122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.13.194由题意可得2(22,5)a b m -=-. 因为(2)a b b -⊥,所以2(22)150m --=,解得194m =.14.3- 画出可行域(图略),当直线z x y =-的经过点(1,2)-时,z 取得最小值3-. 15.12-因为81cos sin 32bc A bc A =⨯,所以4cos sin 3A A =, 则3tan 4A =,故22cos sin 1cos()sin 22sin cos 2sin cos B CA B C A A A A A ++-++=--sin cos tan 112sin cos 2tan 12A A A A A A --===---.16.634设()()111,1M x y x ≥,则221113y x -=,即()221131y x =-. 因为PM PN ⊥,所以0PM PN ⋅=,则22()MP MN MP MP PN MP MP PN MP⋅=⋅+=+⋅=()22115x y =-+()2221111563102531444x x x x ⎛⎫=-++-=-+ ⎪⎝⎭.因为11x ≥,所以21563634444x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,即MP MN ⋅的最小值是634. 17.解:(1)当2n ≥时,112n n S na --=,所以12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥, 整理得1(1)(2)n n n a na n --=≥,则1(2)1n n a nn a n -=≥-, 故3211212322(2)121n n n a a a na a n n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=≥-, 当1n =时,12a =满足上式,故2n a n =. (2)由(1)可知()()14422(22)(24)n n n b a a n n +==++++111(1)(2)12n n n n ==-++++,则1231111111123344512n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112224n n n =-=++. 18.解:(1)补全22⨯列联表如下:因为22100(538237)49005.50 3.84190105545891K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯, 所以在犯错概率不超过0.05的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关. (2)由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过10kg 的旅客有7人,其中头等舱乘客有2人,记为A ,B ,经济舱乘客有5人,记为a ,b ,c ,d ,e .从这7人中随机抽取2人的情况有AB ,Aa ,Ab ,Ac ,Ad ,Ae ,Ba ,Bb ,Bc ,Bd ,Be ,ab ,ac ,ad ,ae ,bc bd ,be ,cd ,ce ,de ,共21种,其中符合条件的情况有AB ,Aa ,Ab ,Ac ,Ad ,Ae ,Ba ,Bb ,Bc ,Bd ,Be ,共11种. 故所求概率1121P =. 19.(1)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,60BAD ∠=︒,所以120ABC ∠=︒.连接AC ,在ABC 中,根据余弦定理得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=,因为PC =222PC AC PA =+,所以PA AC ⊥, 因为PA AB ⊥,且AB AC A ⋂=, 所以PA ⊥平面ABCD ,因为BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥.(2)解:因为2BC AD ==,1CD AB ==,60BCD BAD ∠=∠=︒,所以BD =BD CD ⊥.则BCD 的面积为112BCDS=⨯= 由(1)可知PA ⊥平面ABCD ,所以12323P BCD V -=⨯=. 由(1)可知PA BD ⊥,又BD AB ⊥, 所以BD ⊥平面PAB ,因为PB ⊂平面PAB ,所以BD PB ⊥,因为PB ==所以PBD 的面积为122PBDS== 设点C 到平面PBD 的距离为h ,因为C PBD P BCD V V --=,所以13=,解得5h =. 20.解:(1)因为321()36f x x x mx =--++,以21()22f x x x m '=--+. 因为()f x 在0x =处取得极值,所以(0)0f m '==. 经验证0m =符合题意. (2)设切点坐标为320001,36x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,由321()36f x x x =--+,得()2000122f x x x '=--, 所以切线方程为()32200000113262y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 将(2,)t 代入切线方程,得3001433t x x =-+. 令31()433g x x x =-+,则2()4g x x '=-, 则2()40g x x '=-=,解得2x =±.当2x <-或2x >时,()0g x '>,所以()g x 在(,2)-∞-,(2,)+∞上单调递增;当22x -<<时,()0g x '<,所以()g x 在(2,2)-上单调递减.所以()g x 的极大值为25(2)3g -=,()g x 的极小值为7(2)3g =-. 因为有三条切线,所以方程()t g x =有三个不同的解,y t =与()y g x =的图象有三个不同的交点, 所以72533t -<<. 21.解:(1)因为椭圆C 的离心率为21,所以12c a =, 所以2a c =,b =,所以直线l的方程为12x c =,即20y +-=.由题意可得2(,0)F c7=,解得1c =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)①当直线PQ 的斜率存在时,设直线m 的方程为(1)y k x =+,()11,P x y ,()22,Q x y . 联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()22223484120k x k x k +++-=, 则2122834k x x k-+=+,212241234k x x k -=+. 设()00,D x y ,由四边形OPDQ 为平行四边形,得 OD OP OQ =+, 则201220122834634k x x x k k y y y k ⎧-=+=⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩,即22286,3434k k D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 若点D 落在椭圆C 上,则2200143x y +=, 即22222863434143k k k k ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=, 整理得()42221612134k k k +=+,解得k ∈∅.②当直线PQ 的斜率不存在时,直线m 的方程为1x =-, 此时存在点(2,0)D -在椭圆C 上.综上,存在直线:1m x =-,使得点(2,0)D -在椭圆C 上.22.解:(1)()22(1)e 11()1e x x x x f x x x x x--'=-+=-. 令()e x h x x =-,(0,)x ∈+∞,则()e 10xh x '=->, 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)1h x h >=,即e x x >.故在(0,1)上,()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,)+∞上,()0f x '>,()f x 单调递增.(2)22(1)e 1(1)e ()1e x x xa x x x f x a x x x --⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭,[1,)x ∈+∞, 令()e x x g x =,[1,)x ∈+∞,1()ex x g x -'=, 故在[1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减,易得1()0,eg x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 当1ea ≥时,()0f x '≥,函数()f x 在[1,)+∞上单调递增, min ()(1)e 11f x f a ==-≥-,解得0a ≥,故1ea ≥. 当0a ≤时,()0f x '≤,函数()f x 在[1,)+∞上单调递减, (1)1f <-,不符合题意. 当10ea <<时,则存在0(1,)x ∈+∞,使得00e x a x =, 则函数()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增. 所以()00min 00000e ()ln 1ln e 1ln 1x x af x f x x x x a a x ==-+=-+=+≥-, 解得2e a -≥,即211e ea >≥. 综上,21e a ≥.。
2018-2019学年安徽省皖西南联盟高二下学期期末数学(文)试题 解析版
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【详解】
因为 ,所以 ,解得 ,故选:C.
【点睛】
本题考查导数的几何意义,解题的关键就是要根据直线与切线的位置关系,得出斜率之间的关系,进而列方程求解,考查计算能力,属于基础题。
4.某校有高一学生n名,其中男生数与女生数之比为 ,为了解学生的视力情况,现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为 的样本,若样本中男生比女生多12人,则 ()
【答案】
【解析】
【分析】
设椭圆 的标准方程为 ,利用椭圆的面积为 以及离心率的值,求出 、 的值,从而可得出椭圆 的标准方程。
【详解】
依题意设椭圆C的方程为 ,则椭圆C的面积为 ,
又 ,解得 , .则椭圆C的标准方程为 ,
故答案为: 。
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解,一般要结合已知条件求出 、 、 的值,再利用椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程,考查运算求解能力,属于中等题。
许
何
吕
施
张
表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏:
表2:
1:李
2:王
3:张
4:刘
5:陈
6:杨
7:赵
8:黄
9:周
10:吴
从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏,则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
在 年人口最多的前 大姓氏中找出位于《百家姓》的前 位的姓氏,并确定这些姓氏的数目,再利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率。
则向量 与向量 共线,故选:B。
【点睛】
本题考查向量垂直与共线坐标的等价条件,解题时要充分利用这些等价条件列等式求解,考查计算能力,属于中等题。
2018-2019学年高二下期末数学试题(文)含答案
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2018--2019学年度第二学期期末质量检测试题高二数学(文科)注意:本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟。
考试结束后,卷Ⅰ由自己保存,只交卷Ⅱ。
卷Ⅰ一、选择题(每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把符合要求的选项选出来。
)1、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为( ) A . 4- B . 4i 5 C . 4 D . 452、函数cos sin y x x x =-的导数为( )A .sin x xB .sin x x -C .cos x xD .cos x x - 3、设a ,b 是向量,命题“若a b =-,则a b =”的否命题是( ) A .若a b ≠-,则a b ≠ B .若a b =-,则a b ≠ C .若a b ≠,则a b ≠-D .若a b =,则a b =-4、用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根5、设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为错误!未找到引用源。
;命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称,则下列判断正确的是( )A .p 为真B .q ⌝为假C .p q ∧为假D .p q ∨为真6、设x R ∈,则“11x +<”是“220x x +-<”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 7、若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )A .24y x =B .26y x = C .28y x = D .210y x =8、以下命题中,真命题有( )①对两个变量y 和x 进行回归分析,由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ; ②若数据123,,,,n x x x x 的方差为2,则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为4;③已知两个变量线性相关,若它们的相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1。
2018-2019学年高二(下)期末数学试卷(含答案)
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高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.()A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.( )B.3.某校有高一学生n名,其中男生数与女生数之比为6:5,为了解学生的视力情况,若样本中男生比女生多12人,则n=()A. 990B. 1320C. 1430D. 15604.(2,k(6,4是()A. (1,8)B. (-16,-2)C. (1,-8)D. (-16,2)5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π6.若函数f(x)a的取值范围为()A. (-5,+∞)B. [-5,+∞)C. (-∞,-5)D. (-∞,-5]7.设x,y z=x+y的最大值与最小值的比值为()A. -1B.C. -28.x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为()A. 2B. 1 D. 49.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S10=10,S30=30,则S20=()A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或1010.当的数学期望取得最大值时,的数学期望为()A. 211.若实轴长为2的双曲线C:4个不同的点则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )12.已知函数f(x)=2x3+ax+a.过点M(-1,0)引曲线C:y=f(x)的两条切线,这两条切线与y轴分别交于A,B两点,若|MA|=|MB|,则f(x)的极大值点为()二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.(x7的展开式的第3项为______.14.已知tan(α+β)=1,tan(α-β)=5,则tan2β=______.15.287212,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积则椭圆C的标准方程为______.16.已知高为H R的球O的球面上,若二面4三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.nn的通项公式.18.2019年春节档有多部优秀电影上映,其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况,得到如表格:(1)根据以上评分情况,试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率;(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率,假设每个观众的评分结果相互独立.(i)若从全国所有观众中随机选取3名,求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率;(ii)若从全国所有观众中随机选取16名,记评价为五星的人数为X,求X的方差.19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b sin A cos C+a sin C cos B A.(1)求tan A的值;(2)若b=1,c=2,AD⊥BC,D为垂足,求AD的长.20.已知B(1,2)是抛物线M:y2=2px(p>0)上一点,F为M的焦点.(1,M上的两点,证明:|FA|,|FB|,|FC|依次成等比数列.(2)若直线y=kx-3(k≠0)与M交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,且y1+y2+y1y2=-4,求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距.21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PB=PC,E为线段BC的中点,F为线段PA上的一点.(1)证明:平面PAE⊥平面BCP.(2)若PA=AB,二面角A-BD=F求PD与平面BDF所成角的正弦值.22.已知函数f(x)=(x-a)e x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=2时,F(x)=f(x)-x+ln x,记函数y=F(x1)上的最大值为m,证明:-4<m<-3.答案和解析1.【答案】A【解析】故选:A.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系,子集与真子集,并集及其运算,属于基础题.先分别求出集合A与集合B,再判别集合A与B的关系,以及元素和集合之间的关系,以及并集运算得出结果.【解答】解:A={x|x2-4x<5}={x|-1<x<5},B={2}={x|0≤x<4},∴∉A,B,B⊆A,A∪B={x|-1<x<5}.故选C.3.【答案】B【解析】解:某校有高一学生n名,其中男生数与女生数之比为6:5,样本中男生比女生多12人,设男生数为6k,女生数为5k,解得k=12,n=1320.∴n=1320.故选:B.设男生数为6k,女生数为5k,利用分层抽样列出方程组,由此能求出结果.本题考查高一学生数的求法,考查分层抽样等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.【答案】B【解析】解:∴k=-3;∴(-16,-2)与共线.k=-3考查向量垂直的充要条件,向量坐标的加法和数量积的运算,共线向量基本定理.5.【答案】A【解析】解:由三视图知,几何体是一个简单组合体,左侧是一个半圆柱,底面的半径是1,高为:4,右侧是一个半圆柱,底面半径为1,高是2,∴,故选:A.几何体是一个简单组合体,左侧是一个半圆柱,底面的半径是1,高为:4,右侧是一个半圆柱,底面半径为1,高是2,根据体积公式得到结果.本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原直观图,本题是一个基础题,题目的运算量比较小,若出现是一个送分题目.6.【答案】B【解析】解:函数f(x)x≤1时,函数是增函数,x>1时,函数是减函数,由题意可得:f(1)=a+4≥,解得a≥-5.故选:B.利用分段函数的表达式,以及函数的单调性求解最值即可.本题考查分段函数的应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查计算能力.7.【答案】C【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:A(2,5),B-2)由z=-x+y,得y=x+z表示,斜率为1纵截距为Z的一组平行直线,平移直线y=x+z,当直线y=x+z经过点A时,直线y=x+z的截距最大,此时z最大值为7,经过B时则z=x+y的最大值与最小值的比值为:.故选:C.作出不等式对应的平面区域,利用z的几何意义,利用直线平移法进行求解即可.本题主要考查线性规划的基本应用,利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键,注意利用数形结合来解决.【解析】解:由题意,对任意的∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,∴f(x1)=f(x)min=-3,f(x2)=f(x)max=3.∴|x1-x2|min∵T=4.∴|x1-x2|min=.故选:A.本题由题意可得f(x1)=f(x)min,f(x2)=f(x)max,然后根据余弦函数的最大最小值及周期性可知|x1-x2|min本题主要考查余弦函数的周期性及最大最小的取值问题,本题属中档题.9.【答案】A【解析】解:由等比数列的性质可得:S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,(30-S20),解得S20=20,或S20=-10,∵S20-S10=q10S10>0,∴S20>0,∴S20=20,故选:A.由等比数列的性质可得:S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,列式求解.本题考查了等比数列的通项公式和前n项和及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.【答案】D【解析】解:∴EX取得最大值.此时故选:D.利用数学期望结合二次函数的性质求解期望的最值,然后求解Y的数学期望.本题考查数学期望以及分布列的求法,考查计算能力.11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质,动点的轨迹问题,考查了转化思想,属于中档题.设P i(x,y)⇒x2+y2(x2。
安徽省皖西南名校2019_2020学年高二数学下学期期末联考试题文
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g(x)
在 1,
e 2
上单调递增,故
g ( x)max
g
e 2
e 2
1.
19
13.
4
由题意可得 2a b (2m 2,5) .
因为
(2a
b)
b
,所以
2(2m
Байду номын сангаас
2)
15
0
,解得
m
19
.
4
7
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3
1
2 sin2
3
23 25
,即
cos
2
2 3
23 25
,
则
sin
2
6
sin
2
2 3
2
cos
2
2 3
23 25
.
8.D 若 , ,则 / / 或 与 相交,故 D 错误.
9.C 由题意可得 f (x 1) f (x 1) ,所以 f (x) f (x 4) ,
即 f (x) log2(x 2) x 2 ,
则 f (4) log2(4 2) 4 2 3 ,即 a 3,
5
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故 f (a) f (3) log2(3 2) 3 2 1 .
3
2
5
2
7
3 2
5
,
故所求概率 P S2 7 3 5 .
S1
2
12.B
结合
f
(x)
2019-2020学年安徽省皖西南名校高二下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)
![2019-2020学年安徽省皖西南名校高二下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/c6fc9d5552ea551811a6873b.png)
2019-2020学年安徽省皖西南名校高二第二学期期末数学试卷(文科)一、选择题(共12小题).1.设集合A={x|x2+2x﹣3<0},B={x|0<x<2},则A∩B=()A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣3<x<1}D.{x|﹣1<x<2} 2.=()A.B.C.D.3.要得到函数y=cos(x+)的图象,只需将函数y=cos(x﹣)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度4.已知函数f(x+2)=log2x+x,若f(4)=a,则f(a)=()A.1B.2C.3D.45.某中学有高中生3600人,初中生2400人为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则n=()A.48B.72C.60D.1206.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.20B.24C.18D.167.已知,则=()A.B.C.D.8.已知l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断错误的是()A.若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥nB.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥βC.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥nD.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+1)=f(﹣x+1),当0<x≤1时,f (x)=x2﹣2x+3,则=()A.B.C.D.10.已知抛物线C:x=4y2的焦点为F,若斜率为的直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,则线段AB的中点到准线的距离为()A.B.C.D.11.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°的等腰三角形,另一种是顶角为108°的等腰三角形.例如,一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成,如图所示,在黄金三角形A1AB中,.根据这些信息,若在正五边形ABCDE内任取一点,则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是()A.B.C.D.12.已知函数若存在实数x1,x2满足0≤x1<x2≤2,且f(x1)=f(x2),则x2﹣x1的最大值为()A.B.C.1﹣ln2D.2﹣ln4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,若,则m=.14.已知实数x,y满足不等式组,则z=x﹣y的最小值为.15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,则=.16.已知点P(5,0),若双曲线的右支上存在两动点M,N,使得,则的最小值为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,.(1)求{a n}的通项公式;(2)令,求数列{b n}的前n项和T n.18.某航空公司规定:国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件重量上限为50kg,每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm,其中头等舱乘客免费行李额为40kg,经济舱乘客免费行李额为20kg.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查,得到如下数据:携带行李重量(kg)[0,20](20,30](30,40](40,50]头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152(1)请完成答题卡上的2×2列联表,并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关;(2)调研小组为感谢参与调查的旅客,决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg 的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”,求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.参考公式,其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K≥k0)0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819.图1是由平行四边形ABCD和Rt△ABE组成的一个平面图形,其中∠BAD=60°,AB⊥AE,AD=AE=2AB=2,将△ABE沿AB折起到△ABP的位置,使得,如图2.(1)证明:PA⊥BD.(2)求点C到平面PBD的距离.20.已知函数在x=0处取得极值.(1)求m的值;(2)若过点(2,t)可作曲线y=f(x)的三条切线,求t的取值范围.21.已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,且F2到直线的距离为.(1)求椭圆C的方程.(2)过F1的直线m交椭圆C于P,Q两点,O为坐标原点,以OP,OQ为邻边作平行四边形OPDQ,是否存在直线m,使得点D在椭圆C上?若存在,求出直线m的方程;若不存在,说明理由.22.已知函数.(1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≥﹣1在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2+2x﹣3<0},B={x|0<x<2},则A∩B=()A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣3<x<1}D.{x|﹣1<x<2}【分析】可以求出集合A,然后进行交集的运算即可.解:∵A={x|﹣3<x<1},B={x|0<x<2},∴A∩B={x|0<x<1}.故选:B.2.=()A.B.C.D.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解:=.故选:A.3.要得到函数y=cos(x+)的图象,只需将函数y=cos(x﹣)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度【分析】由题意利用函数y=A cos(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.解:把函数y=cos(x﹣)=cos(x﹣)的图象向左平移1个单位长度,可得函数y=cos(x﹣+1)=cos(x+)的图象,故选:C.4.已知函数f(x+2)=log2x+x,若f(4)=a,则f(a)=()A.1B.2C.3D.4【分析】推导出f(4)=f(2+2)=log22+2=3,从而f(a)=f(3)=f(2+1),由此能求出结果.解:∵函数f(x+2)=log2x+x,f(4)=a,∴f(4)=f(2+2)=log22+2=3,f(a)=f(3)=f(2+1)=log21+1=1.故选:A.5.某中学有高中生3600人,初中生2400人为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则n=()A.48B.72C.60D.120【分析】根据分层抽样的基本知识建立比例关系并解方程即可.解:高中人数初中人数∴∴n=120故选:D.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.20B.24C.18D.16【分析】首先把三视图转换为直观图,进一步求出几何体的体积.解:三视图转换为几何体为:所以:V==20,故选:A.7.已知,则=()A.B.C.D.【分析】由已知利用诱导公式,二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解.解:∵,∴=cos[﹣(2)]=cos(2θ﹣)=1﹣2sin2()=1﹣2×=.故选:D.8.已知l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断错误的是()A.若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥nB.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥βC.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥nD.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β【分析】对于A,由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n;对于B,由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β;对于C,由线线平行的判定定理得m∥n;对于D,α与β相交或平行.解:由l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,知:对于A,若m⊥α,n⊥β,α∥β,则由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n,故A正确;对于B,若m⊥α,n⊥β,m∥n,则由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β,故B正确;对于C,若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则由线线平行的判定定理得m∥n,故C正确;对于D,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故D错误.故选:D.9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+1)=f(﹣x+1),当0<x≤1时,f (x)=x2﹣2x+3,则=()A.B.C.D.【分析】根据题意,分析可得f(2+x)=﹣f(x),进而有f(4+x)=f(x),即函数f(x)的周期为4,据此可得=f()=﹣f(),结合函数的解析式计算可得答案.解:根据题意,函数f(x)满足f(x+1)=f(﹣x+1),函数图象关于直线x=1对称,且有f(﹣x)=f(2+x),又由函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),则有f(2+x)=﹣f(x),进而有f(4+x)=f(x),即函数f(x)的周期为4,故=f()=﹣f(),又由当0<x≤1时,f(x)=x2﹣2x+3,则f()=,故=﹣f()=﹣,故选:C.10.已知抛物线C:x=4y2的焦点为F,若斜率为的直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,则线段AB的中点到准线的距离为()A.B.C.D.【分析】求出抛物线的准线方程,然后求解准线方程,求出线段AB的中点的横坐标,然后求解即可.解:抛物线C:x=4y2,可得准线方程为:x=﹣,过点F(,0)且斜率的直线l:y=(x﹣),由题意可得:,可得x2﹣x+=0,直线l与抛物线C相交于A、B两点,则线段AB的中点的横坐标为:,则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为:+=.故选:A.11.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°的等腰三角形,另一种是顶角为108°的等腰三角形.例如,一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成,如图所示,在黄金三角形A1AB中,.根据这些信息,若在正五边形ABCDE内任取一点,则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是()A.B.C.D.【分析】根据多边形相似,求出满足条件的概率即可.解:如图示:,在△ABC中,过点B作BH⊥AC,垂足为H,设AB=2,由题意知AA1=A1B=﹣1,∠A1AB=36°,在△A1AB中,由余弦定理得:cos∠A1AB===,在RT△ABH中,得:cos∠A1AB==,∴AH=AB•=2×=,∴A1H=AH﹣AA1=﹣(﹣1)=,∴A1B1=2A1H=3﹣,正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1的面积分别记作S1,S2,∵正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1相似,∴===,若在正五边形ABCDE内任取一点,则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是,故选:B.12.已知函数若存在实数x1,x2满足0≤x1<x2≤2,且f(x1)=f(x2),则x2﹣x1的最大值为()A.B.C.1﹣ln2D.2﹣ln4【分析】画出函数图象得到x2﹣x1=x2﹣ln(2x2),令g(x)=x﹣ln(2x),,根据函数的单调性求出其最大值即可.解:画出函数f(x)的图象,如图示:结合f(x)的图象可知,因为x1=ln(2x2),所以,则x2﹣x1=x2﹣ln(2x2),令g(x)=x﹣ln(2x),,则,所以g(x)在上单调递增,故,故选:B.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,若,则m=.【分析】可求出,然后根据即可得出,然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值.解:,,且,∴,解得.故答案为:.14.已知实数x,y满足不等式组,则z=x﹣y的最小值为﹣3.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(﹣1,2).化z=x﹣y为y=x﹣z,由图可知,当直线y=x﹣z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为﹣3.故答案为:﹣3.15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,则=﹣.【分析】利用三角形的面积公式,同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A的值,利用二倍角的余弦函数公式,同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解.解:∵,∴bc cos A=×bc sin A,可得cos A=sin A,即tan A=,∴====﹣.故答案为:﹣.16.已知点P(5,0),若双曲线的右支上存在两动点M,N,使得,则的最小值为.【分析】画出图形,利用向量的数量积的几何意义,转化为双曲线上的点到P距离的平方,然后求解最小值即可.解:由题意,则==,的最小值,就是双曲线上的点M到P距离的平方的最小值,设M(m,n),则:,=(m﹣5)2+n2=(m﹣5)2+3m2﹣3=4m2﹣10m+22,当m=时,表达式取得最小值:.故答案为:.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,.(1)求{a n}的通项公式;(2)令,求数列{b n}的前n项和T n.【分析】(1)当n≥2时,2S n﹣1=na n﹣1,可得2a n=(n+1)a n﹣na n﹣1(n≥2),整理化简可得:,利用“累乘求积法”可得a n.(2)由(1)可知=,利用裂项求和方法即可得出.解:(1)当n≥2时,2S n﹣1=na n﹣1,又2S n=(n+1)a n,相减可得2a n=(n+1)a n﹣na n﹣1(n≥2),整理得(n﹣1)a n=na n﹣1(n≥2),则,故,当n=1时,a1=2满足上式,故a n=2n.(2)由(1)可知=,则=.18.某航空公司规定:国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件重量上限为50kg,每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm,其中头等舱乘客免费行李额为40kg,经济舱乘客免费行李额为20kg.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查,得到如下数据:携带行李重量(kg)[0,20](20,30](30,40](40,50]头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152(1)请完成答题卡上的2×2列联表,并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关;(2)调研小组为感谢参与调查的旅客,决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg 的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”,求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.参考公式,其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K≥k0)0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】(1)补全列联表,计算观测值,对照附表得出结论;(2)由题意利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.解:(1)补全2×2列联表如下:托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数53255经济舱乘客人数37845合计9010100因为,所以在犯错概率不超过0.05的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关.(2)由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客有7人,其中头等舱乘客有2人,记为A,B,经济舱乘客有5人,记为a,b,c,d,e.从这7人中随机抽取2人的情况有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Bc,Bd,Be,ab,ac,ad,ae,bcbd,be,cd,ce,de,共21种,其中符合条件的情况有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Bc,Bd,Be,共11种.故所求概率.19.图1是由平行四边形ABCD和Rt△ABE组成的一个平面图形,其中∠BAD=60°,AB⊥AE,AD=AE=2AB=2,将△ABE沿AB折起到△ABP的位置,使得,如图2.(1)证明:PA⊥BD.(2)求点C到平面PBD的距离.【分析】(1)推导出∠ABC=120°,连接AC,根据余弦定理得AC2=7,由勾股定理得PA⊥AC,再由PA⊥AB,得PA⊥平面ABCD,由此能证明PA⊥BD.(2)推导出BD⊥CD,PA⊥平面ABCD,由PA⊥BD,又BD⊥AB,得BD⊥平面PAB,从而BD⊥PB,设点C到平面PBD的距离为h,由V C﹣PBD=V P﹣BCD,能求出点C到平面PBD的距离.解:(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=60°,所以∠ABC=120°.连接AC,在△ABC中,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC=7,因为,所以PC2=AC2+PA2,所以PA⊥AC,因为PA⊥AB,且AB∩AC=A,所以PA⊥平面ABCD,因为BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.(2)解:因为BC=AD=2,CD=AB=1,∠BCD=∠BAD=60°,所以,所以BD⊥CD.则△BCD的面积为.由(1)可知PA⊥平面ABCD,所以.由(1)可知PA⊥BD,又BD⊥AB,所以BD⊥平面PAB,因为PB⊂平面PAB,所以BD⊥PB,因为,所以△PBD的面积为.设点C到平面PBD的距离为h,因为V C﹣PBD=V P﹣BCD,所以,解得.20.已知函数在x=0处取得极值.(1)求m的值;(2)若过点(2,t)可作曲线y=f(x)的三条切线,求t的取值范围.【分析】(1)对f(x)求导,再结合题意可得f′(0)=0,解得m.(2)设切点坐标为,由导数的几何意义可得切线斜率k=,写出切线的方程,再代入(2,t),得.令,由于有三条切线所以y=t与y=g(x)由三个交点.对函数g(x)求导分析单调性及极值,进而得出t的取值范围.解:(1)因为,以.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=m=0.经验证m=0符合题意.(2)设切点坐标为,由,得,所以切线方程为,将(2,t)代入切线方程,得.令,则g'(x)=x2﹣4,则g'(x)=x2﹣4=0,解得x=±2.当x<﹣2或x>2时,g'(x)>0,所以g(x)在(﹣∞,﹣2),(2,+∞)上单调递增;当﹣2<x<2时,g'(x)<0,所以g(x)在(﹣2,2)上单调递减.所以g(x)的极大值为,g(x)的极小值为.因为有三条切线,所以方程t=g(x)有三个不同的解,y=t与y=g(x)的图象有三个不同的交点,所以.21.已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,且F2到直线的距离为.(1)求椭圆C的方程.(2)过F1的直线m交椭圆C于P,Q两点,O为坐标原点,以OP,OQ为邻边作平行四边形OPDQ,是否存在直线m,使得点D在椭圆C上?若存在,求出直线m的方程;若不存在,说明理由.【分析】(1)根据离心率得到a,b,c的关系,进而可表示出直线l的方程为,则可表示出F2到直线的距离,解得c=1,即可得到C的方程;(2)考虑直线PQ斜率存在时的情况,联立直线与椭圆方程,利用根与系数关系结合平行四边形性质,运用向量法得到,求得D的坐标,代入椭圆方程,解出k∈∅;斜率不存在时m:x=﹣1,满足条件,得到D坐标解:(1)因为椭圆C的离心率为,所以,所以a=2c,,所以直线l的方程为,即.由题意可得F2(c,0),则,解得c=1.故椭圆C的标准方程为.(2)①当直线PQ的斜率存在时,设直线m的方程为y=k(x+1),P(x1,y1),Q(x2,y2).联立,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,则,.设D(x0,y0),由四边形OPDQ为平行四边形,得,则,即,若点D落在椭圆C上,则,即,整理得,解得k∈∅.②当直线PQ的斜率不存在时,直线m的方程为x=﹣1,此时存在点D(﹣2,0)在椭圆C上.综上,存在直线m:x=﹣1,使得点D(﹣2,0)在椭圆C上.22.已知函数.(1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≥﹣1在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.【分析】(1)求出导函数,构造函数h(x)=e x﹣x,利用函数的导数判断函数的单调性,然后转化推出f(x)的单调性即可.(2)求出导函数,令,求出导函数,,判断函数的单调性求解函数f(x)最小值,推出ae﹣1≥﹣1,得到a的范围.当a≤0时,说明不符合题意;当时,推出a的范围,然后得到结果.解:(1).令h(x)=e x﹣x,x∈(0,+∞),则h'(x)=e x﹣1>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(x)>h(0)=1,即e x>x.故在(0,1)上,f'(x)<0,f(x)单调递减;在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2),x∈[1,+∞),令,x∈[1,+∞),,故在[1,+∞)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,易得.当时,f'(x)≥0,函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=ae ﹣1≥﹣1,解得a≥0,故.当a≤0时,f'(x)≤0,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,f(1)<﹣1,不符合题意.当时,则存在x0∈(1,+∞),使得,则函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.所以,解得a≥e﹣2,即.综上,.。
【解析】安徽省皖西南联盟2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题
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2018〜2019第二学期期末考试高二数学试题(理科)考生注意:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容:高考必考内容。
第I 卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2)(3)1i i i++=+( )A. 5B. 5iC. 6D. 6i【答案】A 【分析】由题,先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】由题()()()2351 5.11i i i ii+++==++故选A【点睛】本题考查了复数的运算,属于基础题.2.已知集合{}2|45,{|2}A x x x B x =-<=<,则下列判断正确的是( )A. 1.2A -∈ B C. B A ⊆ D. {|54}AB x x =-<<【答案】C 【分析】先分别求出集合A 与集合B ,再判别集合A 与B 的关系,得出结果. 【详解】{}{}15,04A x x B x x =-<<=≤<, .B A ∴⊆【点睛】本题考查了集合之间的关系,属于基础题.3.某校有高一学生n 名,其中男生数与女生数之比为6:5,为了解学生的视力情况,现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10n的样本,若样本中男生比女生多12人,则n =( ) A. 990 B. 1320C. 1430D. 1560【答案】B 【分析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为611和511,于是得出样本中男生与女生人数之差为65111110n⎛⎫-⨯⎪⎝⎭,于此可求出n 的值。
【详解】依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭,解得1320n =,故选:B 。
【点睛】本题考考查分层抽样的相关计算,解题时要利用分层抽样的特点列式求解,考查计算能力,属于基础题。
皖西南名校2019-2020学年高二数学下学期期末联考试题文
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皖西南名校2019-2020学年高二数学下学期期末联考试题文考生注意:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容(除选考外)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则A.B.C.D.2.A.B.C.D.3.要得到函数的图象,只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度4.已知函数,若,则A.1 B.2 C.3 D.45.某中学有高中生3600人,初中生2400人为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则A.48 B.72 C.60 D.1206.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A.20 B.24 C.18 D.167.已知,则A.B.C.D.8.已知,,为不同的直线,,,y不同的平面,则下列判断错误的是A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,,则D.若,,则9.已知函数是定义在上的奇函数,且,当时,,则A.B.C.D.10.已知抛物线的焦点为,若斜率为的直线过点,且与抛物线交于、两点,则线段的中点到准线的距离为A.B.C.D.11.黄金三角形有两种,一种是顶角为的等腰三角形,另一种是顶角为的等腰三角形,例如,一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为的黄金三角形组成的,如图所示,在黄金三角形中,.根据这些信息,若在正五边形内任取一点,则该点取自正五边形内的概率是A.B.C.D.12.已知函数,若存在实数,满足,且,则的最大值为A.B.C.D.第II卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,,,则________.14.已知实数,满足不等式组,则的最小值为________.15.在中,角,,所对的边分别是,,,若,则________.16.已知点,若双曲线的右支上存在两动点,,使得,则的最小值为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列的前项和为,且,.(1)求的通项公式;(2)令,求数列的前项和.18.(12分)某航空公司规定:国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件重量上限为,每件尺寸限制为,其中头等舱乘客免费行李额为,经济舱乘客免费行李额为.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查,得到如下数据:携带行李重量(kg )头等舱乘客人数8 33 12 2经济舱乘客人数 37 5 3 0合计4538 15 2(1)请完成答题卡上的列联表,并判断是否在犯错概率不超过的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关;(2)调研小组为感谢参与调查的旅客,决定从托运行李超出免费行李额且不超过的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”,求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率. 参考公式,其中.参考数据:19.(12分)图1是由平行四边形和组成的一个平面图形,其中,,,将沿折起到的位置,使得,如图2.图1 图2(1)证明:.(2)求点到平面的距离.20.(12分)已知函数在处取得极值.(1)求的值;(2)若过点可作曲线的三条切线,求的取值范围.21.(12分)已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,,且到直线的距离为.(1)求椭圆的方程.(2)过的直线交椭圆于,两点,为坐标原点,以,为邻边作平行四边形,是否存在直线,使得点在椭圆上?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.22.(12分)已知函数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)若在上恒成立,求的取值范围.2019~2020第二学期高二期末考试数学参考答案(文科)1.B 由题意可得,则.2.A3.C 因为,所以要得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度.4.A 设,则.因为,所以,即,则,即,故.5.D 由题意可知该校高中生人数与初中生人数之比为,则.6.A 由几何体的三视图还原出该几何体的直观图,如图所示.该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的.由题中数据可得三棱柱的体积为24,截去的三棱锥的体积为4,故该几何体的体积是20.7.D 因为,即,则.8.D 若,,则或与相交,故D错误.9.C 由题意可得,所以,即是周期为4的周期函数,则.10.A 由题意可得,设,,的中点,联立,整理得,则,解得.因为点在直线上,所以,则,则线段的中点到准线的距离为.11.B 如图,过点作,垂足为.设,由题意可得,,则.在中,,则.因为,所以,所以.记正五边形与的面积分别为和,因为正五边形与相似,所以,故所求概率.12.B 结合的图象可知,因为,所以,则,令,,则,以在上单调递增,故.13.由题意可得.因为,所以,解得.14.画出可行域(图略),当直线的经过点时,取得最小值.15.因为,所以,则,故.16.设,则,即.因为,所以,则.因为,所以,即的最小值是.17.解:(1)当时,,所以,整理得,则,故,当时,满足上式,故.(2)由(1)可知,则.18.解:(1)补全列联表如下:托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数53255经济舱乘客人数37845合计9010100因为,所以在犯错概率不超过的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关.(2)由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过的旅客有7人,其中头等舱乘客有2人,记为,,经济舱乘客有5人,记为,,,,.从这7人中随机抽取2人的情况有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21种,其中符合条件的情况有,,,,,,,,,,,共11种.故所求概率.19.(1)证明:因为四边形是平行四边形,,所以.连接,在中,根据余弦定理得,因为,所以,所以,因为,且,所以平面,因为平面,所以.(2)解:因为,,,所以,所以.则的面积为.由(1)可知平面,所以.由(1)可知,又,所以平面,因为平面,所以,因为,所以的面积为.设点到平面的距离为,因为,所以,解得.20.解:(1)因为,以.因为在处取得极值,所以.经验证符合题意.(2)设切点坐标为,由,得,所以切线方程为,将代入切线方程,得.令,则,则,解得.当或时,,所以在,上单调递增;当时,,所以在上单调递减.所以的极大值为,的极小值为.因为有三条切线,所以方程有三个不同的解,与的图象有三个不同的交点,所以.21.解:(1)因为椭圆的离心率为,所以,所以,,所以直线的方程为,即.由题意可得,则,解得.故椭圆的标准方程为.(2)①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,.联立,整理得,则,.设,由四边形为平行四边形,得,则,即,若点落在椭圆上,则,即,整理得,解得.②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时存在点在椭圆上.综上,存在直线,使得点在椭圆上.22.解:(1).令,,则,所以在上单调递增,,即.故在上,,单调递减;在上,,单调递增.(2),,令,,,故在上,,单调递减,易得.当时,,函数在上单调递增,,解得,故.当时,,函数在上单调递减,,不符合题意.当时,则存在,使得,则函数在上单调递减,在上单调递增.所以,解得,即.综上,.皖西南名校2019-2020学年高二数学下学期期末联考试题文考生注意:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容(除选考外)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则A.B.C.D.2.A.B.C.D.3.要得到函数的图象,只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度4.已知函数,若,则A.1 B.2 C.3 D.45.某中学有高中生3600人,初中生2400人为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则A.48 B.72 C.60 D.1206.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A.20 B.24 C.18 D.167.已知,则A.B.C.D.8.已知,,为不同的直线,,,y不同的平面,则下列判断错误的是A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,,则D.若,,则9.已知函数是定义在上的奇函数,且,当时,,则A.B.C.D.10.已知抛物线的焦点为,若斜率为的直线过点,且与抛物线交于、两点,则线段的中点到准线的距离为A.B.C.D.11.黄金三角形有两种,一种是顶角为的等腰三角形,另一种是顶角为的等腰三角形,例如,一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为的黄金三角形组成的,如图所示,在黄金三角形中,.根据这些信息,若在正五边形内任取一点,则该点取自正五边形内的概率是A.B.C.D.12.已知函数,若存在实数,满足,且,则的最大值为A.B.C.D.第II卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,,,则________.14.已知实数,满足不等式组,则的最小值为________.15.在中,角,,所对的边分别是,,,若,则________.16.已知点,若双曲线的右支上存在两动点,,使得,则的最小值为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分) 已知数列的前项和为,且,.(1)求的通项公式;(2)令,求数列的前项和.18.(12分)某航空公司规定:国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件重量上限为,每件尺寸限制为,其中头等舱乘客免费行李额为,经济舱乘客免费行李额为.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查,得到如下数据:携带行李重量(kg )头等舱乘客人数 8 33 12 2 经济舱乘客人数 37 5 3 0 合计4538152(1)请完成答题卡上的列联表,并判断是否在犯错概率不超过的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关;(2)调研小组为感谢参与调查的旅客,决定从托运行李超出免费行李额且不超过的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”,求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.参考公式,其中.参考数据:19.(12分) 图1是由平行四边形和组成的一个平面图形,其中,,,将沿折起到的位置,使得,如图2.图1 图2(1)证明:.(2)求点到平面的距离.20.(12分)已知函数在处取得极值.(1)求的值;(2)若过点可作曲线的三条切线,求的取值范围.21.(12分)已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,,且到直线的距离为.(1)求椭圆的方程.(2)过的直线交椭圆于,两点,为坐标原点,以,为邻边作平行四边形,是否存在直线,使得点在椭圆上?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.22.(12分)已知函数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)若在上恒成立,求的取值范围.2019~2020第二学期高二期末考试数学参考答案(文科)1.B 由题意可得,则.2.A3.C 因为,所以要得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度.4.A 设,则.因为,所以,即,则,即,故.5.D 由题意可知该校高中生人数与初中生人数之比为,则.6.A 由几何体的三视图还原出该几何体的直观图,如图所示.该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的.由题中数据可得三棱柱的体积为24,截去的三棱锥的体积为4,故该几何体的体积是20.7.D 因为,即,则.8.D 若,,则或与相交,故D错误.9.C 由题意可得,所以,即是周期为4的周期函数,则.10.A 由题意可得,设,,的中点,联立,整理得,则,解得.因为点在直线上,所以,则,则线段的中点到准线的距离为.11.B 如图,过点作,垂足为.设,由题意可得,,则.在中,,则.因为,所以,所以.记正五边形与的面积分别为和,因为正五边形与相似,所以,故所求概率.12.B 结合的图象可知,因为,所以,则,令,,则,以在上单调递增,故.13.由题意可得.因为,所以,解得.14.画出可行域(图略),当直线的经过点时,取得最小值.15.因为,所以,则,故.16.设,则,即.因为,所以,则.因为,所以,即的最小值是.17.解:(1)当时,,所以,整理得,则,故,当时,满足上式,故.(2)由(1)可知,则.18.解:(1)补全列联表如下:托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数53255经济舱乘客人数37845合计9010100因为,所以在犯错概率不超过的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关.(2)由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过的旅客有7人,其中头等舱乘客有2人,记为,,经济舱乘客有5人,记为,,,,.从这7人中随机抽取2人的情况有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21种,其中符合条件的情况有,,,,,,,,,,,共11种.故所求概率.19.(1)证明:因为四边形是平行四边形,,所以.连接,在中,根据余弦定理得,因为,所以,所以,因为,且,所以平面,因为平面,所以.(2)解:因为,,,所以,所以.则的面积为.由(1)可知平面,所以.由(1)可知,又,所以平面,因为平面,所以,因为,所以的面积为.设点到平面的距离为,因为,所以,解得.20.解:(1)因为,以.因为在处取得极值,所以.经验证符合题意.(2)设切点坐标为,由,得,所以切线方程为,将代入切线方程,得.令,则,则,解得.当或时,,所以在,上单调递增;当时,,所以在上单调递减.所以的极大值为,的极小值为.因为有三条切线,所以方程有三个不同的解,与的图象有三个不同的交点,所以.21.解:(1)因为椭圆的离心率为,所以,所以,,所以直线的方程为,即.由题意可得,则,解得.故椭圆的标准方程为.(2)①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,.联立,整理得,则,.设,由四边形为平行四边形,得,则,即,若点落在椭圆上,则,即,整理得,解得.②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时存在点在椭圆上.综上,存在直线,使得点在椭圆上.22.解:(1).令,,则,所以在上单调递增,,即.故在上,,单调递减;在上,,单调递增.(2),,令,,,故在上,,单调递减,易得.当时,,函数在上单调递增,,解得,故.当时,,函数在上单调递减,,不符合题意.当时,则存在,使得,则函数在上单调递减,在上单调递增.所以,解得,即.综上,.。
安徽省皖东县中联盟2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)
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安徽省皖东县中联盟2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)―、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|}A x x x ==,{1,,2}B m =,若A B ⊆,则实数m 的值为( )A. 2B. 0C. 0或2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{0,1}A =,根据A B ⊆,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合2{|}{0,1}A x x x ===,因为A B ⊆,所以0m =,故选B. 【点睛】本题主要考查了集合交集运算,其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2.已知复数3iz i=+(i 为虚数单位),则z =( )【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算和复数模的运算,即可求解,得到答案.【详解】由题意,复数i(3i)13||i(3i)(3i)101010z -==+===+-.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的模的运算,其中解答中熟记复数的运算,准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3.“21x >”是“24x -<-”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 既不充分也不必要条件D. 必要不充分条件【答案】D 【解析】 【分析】由21x >,得21x -<-,不可以推出24x -<-;又由24x -<-时,能推出24x >,推得21x >,即可得到答案.【详解】由题意,因为21x >,得21x -<-,不可以推出24x -<-; 但24x -<-时,能推出24x >,因此可以能推出21x >, 所以“21x >”是“24x -<-”的必要不充分条件.故选D.【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定,其中解答中熟记不等式的性质,以及充要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4.已知向量()2,a m =v ,()3,1b =v ,若//a b v v,则实数m 的值为( )A.14B.13C.23D.12【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算解得. 【详解】由//a b v v,得32m =.即23m =.故选C . 【点睛】本题考查向量的平行条件,属于基础题.5.已知函数2xy =在区间[0,1]上的最大值为a ,则抛物线212yax =的准线方程是( )A. 3x =-B. 6x =-C. 9x =-D. 12x =-【答案】B 【解析】【分析】由指数函数单调性,求得2a =,化简抛物线的方程224y x =,即可求解抛物线的准线方程,得到答案.【详解】由题意,函数2xy =在区间[0,1]上的最大值为a ,所以122a ==,所以抛物线2212y x =化为标准方程是224y x =,其准线方程是6x =-.故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性,以及抛物线的几何性质的应用,其中解答中熟记指数函数的性质和抛物线的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6.若执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为( )A. 9-B. 16-C. 25-D. 36-【答案】D 【解析】 【分析】执行循环结构的程序框图,逐次运算,根据判断条件终止循环,即可得到运算结果,得到答案.【详解】由题意,执行循环结构的程序框图,可知:第一次运行时,1(1)11,0(1)1,3T S n =-=-=+-=-=•; 第二次运行时,3(1)33,1(3)4,5T S n =-=-=-+-=-=•; 第三次运行时,5(1)55,4(5)9,7T S n =-=-=-+-=-=•; 第四次运行时,7(1)77,9(7)16,9T S n =-=-=-+-=-=•; 第五次运行时,9(1)99,16(9)25,11T S n =-=-=-+-=-=•; 第六次运行时,11(1)1111,25(11)36T S =-=-=-+-=-•, 此时刚好满足9n >,所以输出S 的值为36-.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题,其中解答中熟练应用给定的程序框图,逐次运算,根据判断条件,终止循环得到结果是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7.若函数()sin cos f x x x =+在[0]α,上是增函数,当α取最大值时,sin α的值等于( )C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简成正弦型函数,再由单调性得解.【详解】()sin cos 4f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎭, 由于()f x 在[]0,a 上是增函数,所以42ππα+…,α最大值为4π,则sin sin4πα==故选B. 【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性,属于基础题.8.统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩,根据成绩分数依次分成六组:[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150,得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110.①0.031m =;②800n =;③100分的人数为60;④分数在区间[)120,140的人数占大半.则说法正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体,准确运算,即可求解. 【详解】由题意,根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=,解得0.031m =.故①正确;因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=,所以11010000.11n ==,故②错误; 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯,所以100分以下的人数为10000.06=60⨯, 故③正确;分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=,占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,其中解答熟记频率分布直方图的性质,以及在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频率,所有小长方形的面积的和等于1,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.9.在钝角ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且a b >,已知8,sin sin a B C =-=sin 4A ,7cos 28A =-,则ABC ∆的面积为( ) A. 3 B. 6C. 315D. 615【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得2b c -=,再利用二倍角公式可求1cos 4A =-,再利用余弦定理求出24bc =后可求ABC ∆的面积. 【详解】由正弦定理,得24a b c -==,由2cos22cos 1A A =-,得1cos 4A =(舍),1cos 4A =- 由余弦定理,得222212cos ()2(1cos )2214a b c bc A b c bc A bc ⎡⎤⎛⎫=+-=-+-=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即5482bc +=,解得24bc =. 由1cos 4A =-,得15sin A =,所以ABC ∆的面积1115sin 2431522S bc A ==⨯⨯=,故选C.【点睛】在解三角形中,如果题设条件是关于边的二次形式,我们可以利用余弦定理化简该条件,如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式,那么我们可以利用正弦定理化简该条件,如果题设条件是边和角的混合关系式,那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A. 12πB. 14πC. 18πD. 24π【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的三视图,得到该几何体是一个组合体,其中上面是一个半圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是3;下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,利用体积公式,即可求解.【详解】由三视图,可得该几何体是一个组合体,其中上面是一个半圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是3;下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4, 所以该几何体的体积是221124231823V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=π. 故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线,求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应公式求解.11.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++ (x 是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a 是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( ) A. 6万斤 B. 8万斤C. 3万斤D. 5万斤【答案】A 【解析】 【分析】设销售的利润为()g x ,得31()8g x x =-+29116ax -,当2x =时,5(2)2g =,解得2a =,得出函数3219()188g x x x =-+-,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解. 【详解】由题意,设销售的利润为()g x ,得321911()181622g x x ax x x =-++--,即31()8g x x =-+29116ax -,当2x =时,95(2)1142g a =-+-=,解得2a =, 故3219()188g x x x =-+-,则2393()(6)848g x x x x x '=-+=--•,可得函数()g x 在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以6x =时,利润最大, 故选A.【点睛】本题主要考查了导数在实际问题中的应用,其中解答中认真审题,求得函数的解析式,利用导数得出函数的单调性和最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.12.在三棱锥S ABC -中,2SB SC AB BC AC =====,侧面SBC 与底面ABC 垂直,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是( ) A.143π B.203πC.449πD.529π【答案】B 【解析】 【分析】设球心为O ,ABC ∆和SBC ∆中心分别为E 、F ,得OE ⊥平面ABC ,OF ⊥平面SBC , 根据球的截面的性质,求得球的半径,再利用球的表面积公式,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,取BC 的中点为D ,由SBC ∆和ABC ∆都是正三角形,得,S AD BC D BC ⊥⊥,由侧面SBC 与底面ABC 垂直,得90SDA ︒∠=,设球心为O ,ABC ∆和SBC ∆中心分别为E 、F ,则OE ⊥平面ABC ,OF ⊥平面SBC ,又由3DE DF ==,3OD =,所以R ===所以外接球的表面积为22204433R πππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,故选B.【点睛】本题主要考查了球与棱锥的组合体的性质,以及球的表面积的计算,其中解答中熟练应用球的组合体的性质,求得球的半径是解答本题的关键,着重考查了空想想象能力,以及推理与运算能力,属于中档试题.二、填空题.13.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差0d ≠,且1224S =,1a ,7a ,5a 成等比数列,则1a =__________. 【答案】-9 【解析】 【分析】由1224S =,利用等差数列的前n 项和公式,求得12114a d +=,又由1a ,7a ,5a 成等比数列,利用等差数列的通项公式,求得1290a d +=,联立方程组,即可求解. 【详解】由题意知1224S =,则1121112242a d ⨯+=,即12114a d +=, 又由1a ,7a ,5a 成等比数列,则2715a a a =,所以()()211164a d a a d +=+,即1290a d +=,联立方程组,解得19a =-.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,以及前n 项和公式的应用,其中解答中熟记等差数列的通项和前n 项和公式,准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.14.设x ,y 满足约束条件1124x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩……„,12z x y =-+的最大值为______.【答案】1 2【解析】【分析】根据不等式组作出可行域,再由线性目标函数的几何意义求得.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示.平移直线12y x z=+,由图可知当直线12y x z=+经过点()32,时,z取得最大值12.【点睛】本题考查线性规则问题,考查数形结合的思想,属于基础题.15.已知直线x m=与双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的两条渐近线分别交于,A B两点,若AOB∆(O2,且双曲线C3m=__________.【答案】±1【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程是by xa=±,联立方程组,求得,A B的坐标,求得2||bAB ma=,3,得2ba=22AB=,再利用面积公式,即可求解. 【详解】由双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>,可得渐近线方程是by xa=±,联立x mby xa=⎧⎪⎨=⎪⎩,得x mbmya=⎧⎪⎨=⎪⎩;联立x mby xa=⎧⎪⎨=-⎪⎩,得x mbmya=⎧⎪⎨=-⎪⎩,故2||bAB ma=,,所以22222212b c a e a a -==-=,得b a =所以||AB =||,故1||||2AOB S m ∆=⨯⨯=1m =±. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记双曲线的几何性质,准确运算求得AB m =是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.16.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数,且当0x >时,42()3f x x x ax =--.若函数()f x 有4个零点,则实数a 的取值范围是__________.【答案】(2,0)-【解析】【分析】根据对称性,4230x x ax --=在(0,)+∞上有两个不同的实根,即33a x x =-在(0,)+∞上有两个不同的实根,等价转化为直线y a =与曲线()33,(0)f x x x x =->有两个交点,利用导数求得函数()f x 单调性与最值,结合图象,即可求解.【详解】由()f x 是偶函数,根据对称性,4230x x ax --=在(0,)+∞上有两个不同的实根, 即33a x x =-在(0,)+∞上有两个不同的实根,等价转化为直线y a =与曲线()33,(0)y f x x x x ==->有两个交点, 而()2333(1)(1)f x x x x '=-=+-,则当01x <<时,()0f x '<;当1x >时,()0f x '>,所以函数()33f x x x =-在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数, 于是()min 2f x =-,且()00f =,结合图象,可得(2,0)a ∈-.【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的零点问题,其中解答中根据函数的奇偶性,把函数的零点转化为直线y a =与曲线()33,(0)f x x x x =->有两个交点,利用导数得出函数的单调性与最值,结合图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,已知sin 3cos 3a B b A c +=.(1)求B ;(2)若ABC △的面积为332,7b =a c >,求a ,c . 【答案】(1)3B π= (2)32a c =⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析:(1)由正弦定理得sin sin 3sin cos 3sin ?s in sin A B B A C A B =+)3sin cos 3sin cos sin cos B A A B B A =+⇒ sin sin 3sin cos tan 3A B A B B ==⇒3B π=;(2)由333642ac ac ==三角形面积公式可得,再由余弦订立的得()22637252ac a a c ac ac a c c ==⎧⎧=+--⎨⎨+==⎩⎩. 试题解析:(1)由已知sin 3cos 3a B b A c +=结合正弦定理得sin sin cos A B B A C +=所以())sin sin cos sin cos sin cos A B B A A B A B B A +=+即sin sin cos A B A B =,亦即tan B =因为()0,B π∈,所以3B π=.(2)由1sin 2ABC S ac B ∆=,3B π=,得42ac =,即6ac =,又()2222cos b a c ac ac B =+--,得()222a c ac ac =+--所以65ac a c =⎧⎨+=⎩,又a c >,∴32a c =⎧⎨=⎩18.已知正项等比数列{}n a 满足2319, 24a a a =-=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设3n n nb a =⋅,求数列{}n b 的前n 项的和n S .【答案】(1) 3n n a =.(2) (21)314nn n S -⋅+=【解析】【分析】(1)根据等比数列的通项公式求其基本量可求解;(2)根据错位相减法对数列求和.【详解】解:(1)设等比数列{}n a 的公比为q .由2319,24a a a -==, 得924q q -=,即23830q q --=,解得3q =或13q =-. 又0n a >Q ,则0q >,3q ∴=.2933n n n a -∴=⋅=.(2)133n n n n b a n -=⋅=⋅Q , 1211323333n n S n ︒-∴=⋅+⋅+⋅++⋅L ,12131323(1)33n n n S n n -=⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅,121(12)312133332n n nn n S n --⋅-∴-=+++⋯+-⋅=, (21)314n n n S -⋅+∴=. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和错位相减法求数列的和,属于中档题.19.某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查,张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y (单位:万只)与相应年份x (序号)的数据表和散点图(如图所示),根据散点图,发现y 与x 有较强的线性相关关系,李四提供了该县山羊养殖场的个数z (单位:个)关于x 的回归方程230z x ∧=-+.年份序号x1 2 3 4 5 6 7 8 9 年养殖山羊y /万只1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.7(1)根据表中的数据和所给统计量,求y 关于x 的线性回归方程(参考统计量:()92160ii x x =-=∑,()()9112i i i x x y y =--=∑);(2)试估计:①该县第一年养殖山羊多少万只?②到第几年,该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了?附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v L ,其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆni ii n ii u u v v u u β==--=-∑∑,ˆˆv u αβ=-. 【答案】(1)$0.21y x =+;(2)见解析. 【解析】【分析】(1)根据题设中的数据,求得5x =,2y =,利用公式ˆ0.2b=,进而得到ˆ1a =,即可得到回归直线的方程;(2)求得第x 年山羊养殖的只数2ˆˆ0.4430y z x x ⋅=-++,①代入1x =,即可得到第一年的山羊的养殖只数;②根据题意,得20.443033.6x x -++<,求得9x >,即可得到结论【详解】(1)设y 关于x 的线性回归方程为ˆˆˆybx a =+, 则12345678959x ++++++++==, 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.729y ++++++++==, 则91921()()12ˆ0.260()i ii ii x x y y b x x ==--===-∑∑,所以ˆˆ20.251a y bx =-=-⨯=, 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.21yx =+。
2019-2020学年安徽省皖西南名校高二下学期期末联考数学(文)试题
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绝密★启用前数学试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|230A x x x =+-<,{}|02B x x =<<,则A B ⋂=A .{}2|0x x <<B .{}1|0x x <<C .{}3|1x x -<<D .{}1|2x x -<<2.13i2i+= A .31i 22-B .31i 22+ C .31i 22-- D .31i 22-+ 3.要得到函数cos 23y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只需将函数cos 26y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象A .向左平移2π个单位长度 B .向右平移2π个单位长度 C .向左平移1个单位长度 D .向右平移1个单位长度4.已知函数2(2)log f x x x +=+,若(4)f a =,则()f a =A .1B .2C .3D .45.某中学有高中生3600人,初中生2400人为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则n = A .48B .72C .60D .1206.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A .20B .24C .18D .167.已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A .225-B .2325-C .225D .23258.已知l ,m ,n 为不同的直线,α,β,y γ不同的平面,则下列判断错误的是A .若m α⊥,n β⊥,//αβ,则//m nB .若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβC .若l αβ⋂=,m βγ⋂=,n γα⋂=,//l γ,则//m nD .若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()()11f x f x +=-+,当01x <≤时,()223f x x x =-+,则132f ⎛⎫⎪⎝⎭= A .74-B .74C .94-D .9410.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ,若斜率为18的直线l 过点F ,且与抛物线C 交于A 、B 两点,则线段AB 的中点到准线的距离为 A .658B .654C .12916D .129811.黄金三角形有两种,一种是顶角为36︒的等腰三角形,另一种是顶角为108︒的等腰三角形,例如,一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108︒的黄金三角形组成的,如图所示,在黄金三角形1A AB 中,1A A AB =.根据这些信息,若在正五边形ABCDE 内任取一点,则该点取自正五边形11111A B C D E 内的概率是A B C D12.已知函数,01()ln(2),12x x f x x x <≤⎧=⎨<≤⎩,若存在实数1x ,2x 满足1202x x ≤<≤,且()()12f x f x =,则21x x -的最大值为A .e 2B .e 12- C .1ln2- D .2ln 4-第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知向量(,1)a m =,(2,3)b =-,()2a b b -⊥,则m =________.14.已知实数x ,y 满足不等式组2303210490x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,则z x y =-的最小值为________.15.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若8cos 3ABCbc A S =,则22cos sin 122sin cos B CA A A++-=-________. 16.已知点()5,0P ,若双曲线22:13y C x -=的右支上存在两动点M ,N ,使得PM PN ⊥,则MP MN ⋅的最小值为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,()*2(1)n n S n a n =+∈N . (1)求{}n a 的通项公式; (2)令()()1422n n n b a a +=++,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(12分)某航空公司规定:国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件重量上限为50kg ,每件尺寸限制为40cm 60cm 100cm ⨯⨯,其中头等舱乘客免费行李额为40kg ,经济舱乘客免费行李额为20kg .某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查,得到如下数据:(1)请完成答题卡上的22⨯列联表,并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关;(2)调研小组为感谢参与调查的旅客,决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg 的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”,求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.参考数据:19.(12分)图1是由平行四边形ABCD 和Rt ABE 组成的一个平面图形,其中60BAD ∠=︒,AB AE ⊥,22AD AE AB ===,将ABE 沿AB 折起到ABP 的位置,使得PC =2.图1图2(1)证明:PA BD ⊥.(2)求点C 到平面PBD 的距离. 20.(12分)已知函数321()36f x x x mx =--++在0x =处取得极值. (1)求m 的值;(2)若过点(2,)t 可作曲线()y f x =的三条切线,求t 的取值范围. 21.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,左、右焦点分别为1F ,2F ,且2F 到直线1:x a l yb+=的距离为7. (1)求椭圆C 的方程.(2)过1F 的直线m 交椭圆C 于P ,Q 两点,O 为坐标原点,以OP ,OQ 为邻边作平行四边形OPDQ ,是否存在直线m ,使得点D 在椭圆C 上?若存在,求出直线m 的方程;若不存在,说明理由.22.(12分)已知函数e ()ln xa f x x x x=-+. (1)当1a =时,讨论函数()f x 的单调性;(2)若()1f x ≥-在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围.2019~2020第二学期高二期末考试数学参考答案(文科)1.B 由题意可得{}3|1A x x =-<<,则{}|01A B x x ⋂=<<.2.A13i i(13i)31i 2i 222+-+==- 3.C因为cos cos (1)2326y x x ππππ⎛⎫⎡⎤=+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以要得到函数cos 23y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只需把函数cos 26y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移1个单位长度.4.A设2t x =+,则2x t =-.因为2(2)log f x x x +=+,所以2()log (2)2f t t t =-+-, 即2()log (2)2f x x x =-+-,则2(4)log (42)423f =-+-=,即3a =, 故2()(3)log (32)321f a f ==-+-=.5.D 由题意可知该校高中生人数与初中生人数之比为3:2,则322412055n ⎛⎫=÷-= ⎪⎝⎭. 6.A由几何体的三视图还原出该几何体的直观图,如图所示.该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的.由题中数据可得三棱柱的体积为24,截去的三棱锥的体积为4,故该几何体的体积是20.7.D因为223cos 212sin 3325ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即223cos 2325πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭, 则2223sin 2sin 2cos 2632325ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 8.D 若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ或α与β相交,故D 错误. 9.C由题意可得(1)(1)f x f x +=--,所以()(4)f x f x =+, 即()f x 是周期为4的周期函数,则13331119232222424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⨯+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10.A由题意可得1,016F ⎛⎫⎪⎝⎭,设()11,A x y ,()22,B x y ,AB 的中点()00,M x y , 联立21122244x y x y ⎧=⎨=⎩,整理得()2212124x x y y -=-, 则()120111488AB k y y y ===+,解得01y =.因为点()00,M x y 在直线l 上,所以0011816y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 则012916x =,则线段AB 的中点到准线的距离为0129165216168p x +=+=. 11.B如图,过点B 作BH AC ⊥,垂足为H .设||2AB =,由题意可得111AA A B ==,136AAB ∠=︒,则2211cos4A AB∠==.在Rt ABH中,1||cos||AHA ABAB∠==||AH=.因为11AA=,所以11||A H AH AA=-=所以11123A B A H==记正五边形ABCDE与11111A B C D E的面积分别为1S和2S,因为正五边形ABCDE与11111A B C D E相似,所以221121||A BSS AB⎛⎫===⎪⎝⎭⎝⎭,故所求概率21SPS==.12.B结合,01()ln(2),12x xf xx x≤≤⎧=⎨<≤⎩的图象可知,因为()12ln2x x=,所以2e1,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则()2122ln2x x x x-=-,令()ln(2)g x x x=-,e1,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则1()xg xx-'=,以()g x在e1,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增,故maxe e()122g x g⎛⎫==-⎪⎝⎭.13.194由题意可得2(22,5)a b m-=-.因为(2)a b b-⊥,所以2(22)150m--=,解得194m=.14.3-画出可行域(图略),当直线z x y=-的经过点(1,2)-时,z取得最小值3-.15.12-因为81cos sin 32bc A bc A =⨯,所以4cos sin 3A A =, 则3tan 4A =,故22cos sin 1cos()sin 22sin cos 2sin cos B CA B C A A A A A ++-++=--sin cos tan 112sin cos 2tan 12A A A A A A --===---.16.634设()()111,1M x y x ≥,则221113y x -=,即()221131y x =-. 因为PM PN ⊥,所以0PM PN ⋅=,则22()MP MN MP MP PN MP MP PN MP⋅=⋅+=+⋅=()22115x y =-+()2221111563102531444x x x x ⎛⎫=-++-=-+ ⎪⎝⎭.因为11x ≥,所以21563634444x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,即MP MN ⋅的最小值是634. 17.解:(1)当2n ≥时,112n n S na --=,所以12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥, 整理得1(1)(2)n n n a na n --=≥,则1(2)1n n a nn a n -=≥-, 故3211212322(2)121n n n a a a na a n n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=≥-, 当1n =时,12a =满足上式,故2n a n =. (2)由(1)可知()()14422(22)(24)n n n b a a n n +==++++111(1)(2)12n n n n ==-++++,则1231111111123344512n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112224n n n =-=++. 18.解:(1)补全22⨯列联表如下:因为22100(538237)49005.50 3.84190105545891K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯, 所以在犯错概率不超过0.05的前提下,认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关. (2)由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过10kg 的旅客有7人,其中头等舱乘客有2人,记为A ,B ,经济舱乘客有5人,记为a ,b ,c ,d ,e .从这7人中随机抽取2人的情况有AB ,Aa ,Ab ,Ac ,Ad ,Ae ,Ba ,Bb ,Bc ,Bd ,Be ,ab ,ac ,ad ,ae ,bc bd ,be ,cd ,ce ,de ,共21种,其中符合条件的情况有AB ,Aa ,Ab ,Ac ,Ad ,Ae ,Ba ,Bb ,Bc ,Bd ,Be ,共11种. 故所求概率1121P =. 19.(1)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,60BAD ∠=︒,所以120ABC ∠=︒.连接AC ,在ABC 中,根据余弦定理得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=,因为PC =222PC AC PA =+,所以PA AC ⊥, 因为PA AB ⊥,且AB AC A ⋂=, 所以PA ⊥平面ABCD ,因为BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥.(2)解:因为2BC AD ==,1CD AB ==,60BCD BAD ∠=∠=︒,所以BD =BD CD ⊥.则BCD 的面积为112BCDS=⨯= 由(1)可知PA ⊥平面ABCD ,所以12323P BCD V -=⨯=. 由(1)可知PA BD ⊥,又BD AB ⊥, 所以BD ⊥平面PAB ,因为PB ⊂平面PAB ,所以BD PB ⊥,因为PB ==所以PBD 的面积为122PBDS== 设点C 到平面PBD 的距离为h ,因为C PBD P BCD V V --=,所以13=,解得5h =20.解:(1)因为321()36f x x x mx =--++,以21()22f x x x m '=--+. 因为()f x 在0x =处取得极值,所以(0)0f m '==. 经验证0m =符合题意. (2)设切点坐标为320001,36x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,由321()36f x x x =--+,得()2000122f x x x '=--, 所以切线方程为()32200000113262y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 将(2,)t 代入切线方程,得3001433t x x =-+. 令31()433g x x x =-+,则2()4g x x '=-, 则2()40g x x '=-=,解得2x =±.当2x <-或2x >时,()0g x '>,所以()g x 在(,2)-∞-,(2,)+∞上单调递增;当22x -<<时,()0g x '<,所以()g x 在(2,2)-上单调递减.所以()g x 的极大值为25(2)3g -=,()g x 的极小值为7(2)3g =-. 因为有三条切线,所以方程()t g x =有三个不同的解,y t =与()y g x =的图象有三个不同的交点, 所以72533t -<<. 21.解:(1)因为椭圆C 的离心率为21,所以12c a =, 所以2a c =,b =,所以直线l的方程为12x c =,即20y +-=.由题意可得2(,0)F c7=,解得1c =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)①当直线PQ 的斜率存在时,设直线m 的方程为(1)y k x =+,()11,P x y ,()22,Q x y . 联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()22223484120k x k x k +++-=, 则2122834k x x k-+=+,212241234k x x k -=+. 设()00,D x y ,由四边形OPDQ 为平行四边形,得 OD OP OQ =+, 则201220122834634k x x x k k y y y k ⎧-=+=⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩,即22286,3434k k D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 若点D 落在椭圆C 上,则2200143x y +=, 即22222863434143k k k k ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=, 整理得()42221612134k k k +=+,解得k ∈∅.②当直线PQ 的斜率不存在时,直线m 的方程为1x =-, 此时存在点(2,0)D -在椭圆C 上.综上,存在直线:1m x =-,使得点(2,0)D -在椭圆C 上.22.解:(1)()22(1)e 11()1e x x x x f x x x x x--'=-+=-. 令()e x h x x =-,(0,)x ∈+∞,则()e 10xh x '=->, 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)1h x h >=,即e x x >.故在(0,1)上,()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,)+∞上,()0f x '>,()f x 单调递增.(2)22(1)e 1(1)e ()1e x x xa x x x f x a x x x --⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭,[1,)x ∈+∞, 令()e x x g x =,[1,)x ∈+∞,1()ex x g x -'=, 故在[1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减,易得1()0,eg x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 当1ea ≥时,()0f x '≥,函数()f x 在[1,)+∞上单调递增, min ()(1)e 11f x f a ==-≥-,解得0a ≥,故1ea ≥. 当0a ≤时,()0f x '≤,函数()f x 在[1,)+∞上单调递减, (1)1f <-,不符合题意. 当10ea <<时,则存在0(1,)x ∈+∞,使得00e x a x =, 则函数()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增. 所以()00min 00000e ()ln 1ln e 1ln 1x x af x f x x x x a a x ==-+=-+=+≥-, 解得2e a -≥,即211e ea >≥. 综上,21e a ≥.。
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安徽省皖西南联盟2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 文
(含解析)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容:高考必考内容。
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2)(3)1i i i
++=+( ) A. 5
B. 5i
C. 6
D. 6i 【答案】A
【解析】
【分析】
由题,先根据复数的四则运算直接求出结果即可
【详解】由题
()()()2351 5.11i i i i i
+++==++ 故选A
【点睛】本题考查了复数运算,属于基础题.
2.已知集合{}|3A x N x =∈<,{}2|0B x x x =-≤,则A B =( ) A. ](0,1
B. {}1
C. []0,1
D. {}0,1 【答案】D
【解析】
【分析】 先解出集合A 和B ,再利用交集的运算律可得出A B . 【详解】因为{}0,1,2A =,{}|01B x x =≤≤,所以{}0,1A
B =,故选:C.
【点睛】本题考查集合的交集运算,解题的关键就是将集合都表示出来,考查计算能力,属
于基础题。
3.若曲线2
y x ax =+在点(1,1)a +处的切线与直线7y x =平行,则a =( ) A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】 对函数求导,由切线与直线7y x =平行,得出导数在1x =的导数值为7,于此可得出实数a 的值。
【详解】因为2y x a '=+,所以27a +=,解得5a =,故选:C.
【点睛】本题考查导数的几何意义,解题的关键就是要根据直线与切线的位置关系,得出斜率之间的关系,进而列方程求解,考查计算能力,属于基础题。
4.某校有高一学生n 名,其中男生数与女生数之比为6:5,为了解学生的视力情况,现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为
10n 的样本,若样本中男生比女生多12人,则n =( )
A. 990
B. 1320
C. 1430
D. 1560 【答案】B
【解析】
【分析】 根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为611和511
,于是得出样本中男生与女生人数之差为65111110n ⎛⎫-⨯ ⎪⎝
⎭,于此可求出n 的值。
【详解】依题意可得6512111110n ⎛⎫-⨯=
⎪⎝⎭,解得1320n =,故选:B 。
【点睛】本题考考查分层抽样的相关计算,解题时要利用分层抽样的特点列式求解,考查计算能力,属于基础题。
5.设向量a 与向量b 垂直,且(2,)a k =,(6,4)b =,则下列向量与向量+a b 共线的是( )
A. (1,8)
B. (16,2)--
C. (1,8)-
D. (16,2)-
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用向量a 与向量b 垂直,转化为两向量数量积为零,结合数量积的坐标运算得出k 的值,并求出向量a b +的坐标,结合共线向量的坐标等价条件可得出选项。
【详解】因为向量a 与向量b 垂直,所以2640k ⨯+=,解得3k =-,所以()8,1a b +=, 则向量()16,2--与向量a b +共线,故选:B 。
【点睛】本题考查向量垂直与共线坐标的等价条件,解题时要充分利用这些等价条件列等式求解,考查计算能力,属于中等题。
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. 3π
B. 4π
C. 6π
D. 8π
【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图得出该几何体是一个底面半径为1,高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体,在利用体积公式求解,即可得到答案.
【详解】由三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体,故该几何体的体积为12232πππ⨯+⨯⨯=,故选A.。