2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题42 综合性问题(含解析)

综合性问题

一.选择题

1. （2019•湖北十堰•3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），

反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE 的对称点恰好在OA上，则k＝（）

A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8

【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．

【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：

则△BDE≌△FDE，

∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°

易证△ADF∽△GFE

∴，

∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），

∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，

∵D.E在反比例函数y＝的图象上，

∴E（，4）、D（﹣8，）

∴OG＝EC＝，AD＝﹣，

∴BD＝4+，BE＝8+

∴，

∴AF＝，

在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2

即：（﹣）2+22＝（4+）2

解得：k＝﹣12

故选：C．

【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．

2. （2019•湖北武汉•3分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是

上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C 从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（）

A．B．C．D．

【分析】如图，连接E B．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．

【解答】解：如图，连接E B．设OA＝r．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵E是△ACB的内心，

∴∠AEB＝135°，

∵∠ACD＝∠BCD，

∴＝，

∴AD＝DB＝r，

∴∠ADB＝90°，

易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α

∴＝＝．

故选：A．

【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．

3. （2019•湖南衡阳•3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m

为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0

C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2

【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．

【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，

∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2

故选：C．

【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．

4. （2019•湖南衡阳•3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的

中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）

A．B．

C．D．

【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；

【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵EF⊥BC，ED⊥AC，

∴四边形EFCD是矩形，

∵E是AB的中点，

∴EF＝AC，DE＝BC，

∴EF＝ED，

∴四边形EFCD是正方形，

设正方形的边长为a，

如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；

当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，

∴S关于t的函数图象大致为C选项，

故选：C．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型． 5.

（2019•广东深圳•3分）下列命题正确的是（ ） A.矩形对角线互相垂直 B.方程x x 142

=的解为14=x C.六边形内角和为540°

D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D

【解析】矩形的对角线互相平分且相等，故A 错；方程x x 142

=的解为14=x 或0=x ，故B 错；六边形内角和为720°，故C 错.故选D

6. （2019•广西贵港•3分）下列命题中假命题是（ ） A ．对顶角相等

B ．直线y ＝x ﹣5不经过第二象限

C ．五边形的内角和为540°

D ．因式分解x 3

+x 2

+x ＝x （x 2

+x ）

【分析】由对顶角相等得出A 是真命题；由直线y ＝x ﹣5的图象得出B 是真命题；由五边形的内角和为540°得出C 是真命题；由因式分解的定义得出D 是假命题；即可得出答案．

【解答】解：A ．对顶角相等；真命题； B ．直线y ＝x ﹣5不经过第二象限；真命题； C ．五边形的内角和为540°；真命题； D ．因式分解x 3

+x 2

+x ＝x （x 2

+x ）；假命题；