高中数学课下能力提升二十六两角和与差的正切函数北师大版必修01

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《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学反思

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基本概念。这些公式描述了两个角度相加或相减时，其三角函数值的变化规律。它们在三角函数的计算、化简和应用中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算sin(π/3 + π/4)的值，展示两角和公式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
二、核心素养目标
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学的核心素养目标在于培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过本章节的学习，使学生能够理解并抽象出两角和与差公式的数学本质，运用逻辑推理能力探索公式之间的内在联系，进一步构建完整的三角函数知识体系。同时，学生能运用所学的公式进行数学建模，解决实际问题，增强数学在实际生活中的应用意识。此外，注重培养学生的数据分析能力，让学生在解决三角函数问题时，能够熟练运用公式，准确进行数据处理和分析，从而提高学生的综合解题能力和数学素养。这一目标与新教材强调的学科核心素养培养要求相契合。
举例：化简sin(π/3 + π/4)等表达式，并求出其数值。
（3）运用公式解决实际问题：将两角和与差的三角函数公式应用于解决几何、物理等实际问题。
举例：在给定角度和边长的情况下，求解三角形的高、面积等问题。

高中数学必修一课件：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)

两角和与差的正弦、余弦公式的特征是什么？
答：两角和(差)的余弦：余余、正正、符号异(即公式右端分别是α与β的余
弦之积，以及正弦之积，中间的符号与左边相反)；两角和(差)的正弦：正余、余正、符号同．
课时学案
题型一正弦、余弦公式的基本应用
例 1 (1)求 cos 165°＋sin 255°的值．
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时) 两角和与差的正弦、余弦公式
要点 1 两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
要点 2 两角和与差的正弦公式
(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
π 12－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3 sin
π 12－sin
π 3 cos
π 12
＝－2sinπ3 －π 12
π ＝－2sin 4 ＝－ 2.
(3)cos 15°＋sin 15°
＝ 2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝ 2cos(45°－15°)
＝
2×
23＝
(2)化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A．2 2cosπ6 －x
B．2 2cosπ3 －x
C．2 2cosπ6 ＋x
D．2 2cosπ3 ＋x
【解析】
原式＝2
212cos
x－
3 2 sin
x
＝2 2cos－π3 cos x＋sin－π3 sin x

1.7.3正切函数的图象与性质课件高一下学期数学北师大版(1)

π
π
kπ-3<x≤kπ+4,k∈Z
π
π
(2)由正切函数的图象,可知-4+kπ≤2x+4
<
π
π
π
π
π
+kπ,k∈Z,解得- + ≤x< + ,k
2
4
2
8
2
∈Z,
所以原不等式的解集为 x
.
π
π
π
π
- + ≤x< + ,k∈Z
4
2
8
2
.
探究点三
正切函数的单调性问题
角度1.求正切函数的单调区间
【例 3】求函数 y=tan
π
4
=tan
π
4×4
3.关于函数 y=tan
π
2- 3
,下列说法正确的是( C )
A.是奇函数
B.在区间
C.
π
,0
6
π
0, 3
上单调递减
为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为 π
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析当 x=0
π
时,y=tan(- )≠0,则函数
3
π
y=tan(2x- )为非奇非偶函数,故
必备知识基础练
1.sin 2·cos 3·tan 4的值为( A )
A.负数
B.正数
C.0
解析
D.不存在
π
因为2<2<π,所以
π
sin 2>0.因为2<3<π,所以
tan 4>0.所以 sin 2·cos 3·tan 4<0.

高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数

=
3 . 22
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结公式 Tα+β,Tα-β 有较多变形的公式,公式中有 tan
αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))时,三者中知道任意两个就可表示或求出第三个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三两角和与差的正切公式的应用
��α +��β ; 1-��α��β
��α-��β . 1+��α��β
探究一
探究二
探究三

探究四
(2)
3-tan 15° 1+ 3tan 15°
=
�� 60°-�� 15° 1+�� 60°�� 15°
=tan(60° -15 ° )=tan 45 ° = 1. (3)tan α +
公式 Tα+β 与一元二次方程的联系 :在两角和的正切公式 Tα+β 中,有 tan α+tan β,tan αtan β 这两项,对比一元二次方程中的根与系数的关系,为我们解决问题找到了很好的结合点.因此 tan α,tan β 可以看作一元二次方程的根,这样 tan α+tan β,tan αtan β,tan α-tan β 就可以互相表示,进而可以利用它们求 tan(α± β).

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五

( − ) = ，

( − ) = .

公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.

2
;

1
④ cos

高中数学新北师大版必修第二册第四章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课件(26张)

= .
cos17 °
2
tan12 °+tan33 °
(2)因为1-tan12 °tan33 °=tan(12°+33°)=tan 45°=1,
所以 tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,
所以 tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.
sin(α-β)=cos
=cos

2

-(α-β) =cos
2
-α cos β-sin

2

2
-α +β
-α sin β=sin αcos β-cos αsin β.
所以 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(Sα-β).
名师点析1.两角和的正弦为异名积之和,两角差的正弦为异名积之
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
一、两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=cos
=cos

2

2

-(α+β) =cos
-α cos β+sin

2
2
-α -β
-α sin β
=sin αcos β+cos αsin β.
所以 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β(Sα+β).

提示不是,α,β,α±β≠kπ+2 ,k∈Z.
微练习 1
π
1
若 tan α=2,则 tan α+4 =
π
答案 3 tan + 4 =

高一下学期数学北师大版必修第二册4.2两角和与差的三角函数公式(复习课)课件

+ = −sin[(π+α+β)]
3
4
+ + cos
×
5
13
=
63
65

4
+

,
4

3

解析(1)因为 < < ,所以
4
4
2
3
3
所以 < + < , 因此 sin
4
4

3
= −sin
+ +
+
4
4
= − sin
sin
−

4
+ cos
3
+ ]=
4
4
12
× −
3.若α，β为锐角，则sin(α+β)<sinα+sinβ.()
4. tan

2
+

4
可以根据公式Tα+β,直接展开（）.
5. sin + cos = 2 + 2 sin(+ )(a，b不同时为0)中的
φ是唯一的()
6. sin4 + 3cos4 = 2cos 4 −

6
.()
∈
2
判断××√××
√
− ≠ +
题型分类
深度剖析
第1 利用公式解决给角求值问题
第2 利用公式解决给值求值问题
第3 利用公式解决给值求角问题
第3 利用三角函数的叠加研究函数性质
利用公式解决给角求值问题
讲解
利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理

1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的诱导公式课件高一下学期数学北师大版(1)

3π
tan -
=
5
2
.
2
解析由题意知 tan α=-2,则 tan
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π
+2
1
1
+
=-tan-tan
3π
tan -
2
1
5
α=2+2=2.
6.已知角 α 的终边经过点 P(4,-3),则 sin α==43来自tan,tan
3π
2
.
解析 α 的终边经过点 P(4,-3),则 sin α=
tan
π
+α
2
π
1
=;tan 2 -α
tan
1
=
.
tan
名师点睛
1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即
“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、
余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由
规律方法
求正切函数值的流程图:
任意角的正切函数值→0~2π的角的正切函数值→锐角的正切函数值
用正切函数的诱导公式化简、证明的总体原则:
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少.
(2)“大化小”,角尽可能化小.
变式训练 3 化简:
sin (π+)·cos (π-)·tan (-)
.
sin (5π-)·tan (8π-)·cos (-3π)
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( × )
(2)若sin xtan x>0,则x为第一象限角.( × )

【高中数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)，β，α±β≠π2＋k π，k ∈两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈二倍角是相对的，例如，α2是α43α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φsin φ＝b a 2＋b 2，cos φ考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，αtan β＝－12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－229B ．－429C.229D.429[解析](1)因为sin α＝35，α所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α，则cos 2α()A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且αsin α________．解析：因为sin α＝45，且αα所以cos α＝－1－sin 2α＝－＝－35.因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以αsin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解析](1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin αsin α2±cos ；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知sin α＝435，则________.解析：由sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ＝435，即＝45.答案：453.化简sin sin sin 2α的结果是________．解析：sin 2α＝1－12cos ααsin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点－35，－若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析]由角α的终边过点－35，－得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos ()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos ＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若＝7210A sin A 的值为()A.35B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A A ＋π4∈∴＝－210，∴sin A ＝－π4＝cos π4－sin π4＝45.3．已知sin α＝－45，α∈3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝()A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋1，则cos 2x ＝()A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若＝－33，则cos α＝()A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝()A.3B.2C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.5．若α3cos 2α＝sin 2α的值为()A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C由3cos 2α＝3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos ()A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选Dcos ＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知＝12，α－π2，cos________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝＋π4＝tanπ41－tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2.(1)求tan(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan2θ＝________.解析：∵4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，则________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，＝－45，可得cos (A ＋B )＝－2425×＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝x ∈R.(1)求f(2)若cos θ＝45，θf θ解：(1)－π4＋＝－12.(2)θθ－π3＋θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θsin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×＝17250.。

北师大版高中数学必修4教案备课两角和与差的正切函数

2.3两角和与差的正切函数学习目标核心素养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式T (α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．2.通过T (α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养．两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切 T (α＋β)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z ) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切T (α－β) tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z ) 且tan α·tan β≠－1tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(2)公式的特例 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？[提示] tan (α＋β)＝sin （α＋β）cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到．1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan (α－β)＝( ) A ．13 B ．12 C ．－13 D ．－3 A [因为tan α＝3，tan β＝43，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]2．设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，则α－β等于( )A ．π3 B ．π4 C ．3π4D ．－π4D [tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1. ∵－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝－π4.] 3.1＋tan 15°1－tan 15°的值为( )A ．2B ．－ 2C ． 3D ．－3C [原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.]4.tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝________．3[tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝tan (82°－22°)＝tan 60°＝ 3.]化简求值【例1】求下列各式的值：(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.[解](1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan (60°＋15°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°，∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．1．(1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. [解] (1)∵tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1 ＝2－3－12－3＋1＝1－33（3－1）＝－33.(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.给值求值(或求角)【例2】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2 2.求：①tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；②tan (α＋β).(2)设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0＜|α|＜π2，0＜|β|＜π2，求α＋β的值．[解] (1)①tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.②tan (α＋β)＝tan⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4tanπ4＝－2＋11－（－2）×1＝22－3.(2)由已知，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α＜0，tan β＜0，所以－π2＜α＜0，－π2＜β＜0，所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝－23π.1．“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．2．已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．2．已知tan α＝13，tan β＝－2，且0＜α＜π2＜β＜π，求：(1)tan (α－β)的值；(2)角α＋β的值．[解](1)因为tan α＝13，tan β＝－2，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0＜α＜π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，所以α＋β＝3π4.正切公式的综合应用[探究问题]1．若α＋β＝π，则tan α与tan β存在怎样关系？[提示]tan α＝tan (π－β)＝－tan β.2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C与tan A tan B tan C有何关系？[提示]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan (A＋B)＝－tan C，∴tan A＋tan B1－tan A tan B＝－tan C，∴tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.3．在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？[提示]A＋B＋C＝π或A2＋B2＝π2－C2.【例3】在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．[思路探究]可先求出tan (B＋C)和tan (A＋B)的值．再由诱导公式分别求tan A 和tan C的值，从而可得A，B，C，即可判断三角形形状．[解]tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－3，又0°<A<180°，∴A＝120°，而tan C＝tan [π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33.又0°<C<180°，∴C＝30°，∴B＝30°. ∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．将例3中的条件变为“△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝233”，试求tanA·tan B的值．[解]因为A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，所以tan (A＋B)＝tan 60°＝ 3.又tan (A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B，所以2331－tan A·tan B＝3，解得tan A·tan B＝1 3.1．等式中同时出现tan A±tan B与tan A·tan B时，一般是构造tan (A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．2．在三角形中要注意应用A＋B＋C＝π这一隐含条件．1．公式T(α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k ∈Z ).2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan αtan β，tan (α＋β)，tan α＋tan β三者知二，即可表示或求出第三个．( ) (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3能用公式tan (α＋β)展开．( ) (3)存在α，β∈R ，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立． ( ) (4)公式T (α±β)对任意α，β都成立． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定B [(1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan (A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.]3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________． π4 [∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan (A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A tan B＝13＋121－13×12＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4.]4．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值．[解]∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°＝－tan 60°tan 18°tan 42°，∴原式＝－1.。

两角和与差的正弦、正切公式及其应用高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin105°等于( )
A．0
1 B.2
3 C. 2
D．1
解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.
答案：D
3．已知 tan α＝4，tan β＝3，则 tan(α＋β)＝( )
∴原式＝sin c3o0s°c1o7s°17°＝sin 30°＝12.
(4)原式＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝sin
10°cos 60°－cos 10°sin cos 10°cos 60°
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[教材答疑]
[教材 P146 思考交流] 在例 3 中，sinπ4－α＝cosπ4＋α，是一个必然现象．因为：π4－α＋π4＋α＝π2. 所以π4－α＝π2－π4＋α， ∴sinπ4－α＝sinπ2－4π＋α＝cosπ4＋α， cosπ4－α＝cosπ2－π4＋α＝sinπ4＋α.
解析：(1)∵1t－ant1an2°1＋2°ttaann3333°°＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
(2)原式＝sin xcosπ3＋cos xsin3π＋2sin xcosπ3－2cos xsinπ3－ 3cos23πcos x

高中数学北师大版2019必修第二册两角和与差的正弦、正切公式及其应用

0 [∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. 又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－45， ∴cos β＝45，sin β＝－35. ∴sin(α＋β)＝35×45＋45×－35＝0.]
合作探究提素养
类型一：利用公式化简求值
【例1】
sin (1)
47°－sin 17°cos cos 17°
自主预习探新知
1．两角和的正切公式
tan α＋tan β Tα＋β：tan(α＋β)＝ 1－tan αtan β .
2．两角差的正切公式
tan α－tan β Tα－β：tan(α－β)＝ 1＋tan αtan β .
思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？
[提示] (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝tatnanα＋α＋taβnβ. (3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－tatnanα＋α＋taβnβ.
＋
3 2 cos
x－32sin
x
＝12＋1－23sin
x＋
23－
3＋ 23cos x＝0.
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
α
＝sin[αs＋in βα－α]
＝ssiinn
β α.
类型二：给值(式)求值
【例2】设α∈π2，π，β∈32π，2π，若cos α＝－12，sin β＝－ 23，求sin(α＋β)的值．
[提示] 对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．

高一数学同步课件(北师大版2019必修第二册)4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用(课件)

再见
cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ.(Cα+β)
和角公式
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ.(Cα-β)
+
tan(α+β)=− (Tα+β)
−
+
tan(α-β)=
(Tα-β)
差角公式
典型例题
sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ. (Sα-β)
课文精讲
➢ 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
由正切函数的定义，有
(+)
tan(α+β)=(+)
+
=−
分子、分母同除以
(≠0)，
两角和与差的正弦、
正切公式及其应用
授课教师：
温故知新
两角和与差的余弦公式
两角和与差的余
弦公式及其应用
两角和与差的余弦公式
的应用
学习目标
1.掌握两角和与差的正弦、正切公式；（重点）
2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证
明.（难点）
课文精讲
➢ 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
借助诱导公式，根据两角和与差的余弦公

β≠kπ+ (k∈Z)，

α±β≠kπ+ (k∈Z).
这样，才能保证tanα， tanβ及tan(α±β)，
都有意义.
课文精讲
➢ 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
sin(α+β)= sinαcosβ+ cosαsinβ.(Sα+β)
sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ. (Sα-β)

北师大版数学高一学案两角和与差的正切函数

3. 2.3两角和与差的正切函数[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一两角和与差的正切公式(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝______________________.(3.7)(2)Tα－β：tan(α－β)＝______________________.(3.8)思考1你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？思考2在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)Tα＋β的变形：tan α＋tan β＝______________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________________.tan αtan β＝________________________.(2)Tα－β的变形：tan α－tan β＝____________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝____________________________.这些变式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.思考1 直接写出下列式子的结果：(1)tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝________； (2)tan 75°＝________；(3)1－tan 15°1＋tan 15°＝________. 思考2 求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.题型一化简求值例1 求下列各式的值.(1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.反思与感悟公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个.跟踪训练1 求下列各式的值.(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.题型二给值求值(角)例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.反思与感悟此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.跟踪训练2 已知sin α＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( ) A.－ 3 B. 3 C.－33 D.33题型三三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状.反思与感悟三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系.跟踪训练3 已知A.B.C 为锐角三角形ABC 的内角.求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tanC .例4 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.错解由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6， ①tan αtan β＝7， ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，∴α＋β＝π4或α＋β＝54π. 错因分析由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.正解由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6tan αtan β＝7易知 tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π. 点评在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.1.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A.13 B.－13C.3D.－3 2.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定3.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____. 4.已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________.5.已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π3)＝22，求： (1)tan(α＋β－π4)； (2)tan(α＋β).1.公式T α±β的结构特征和符号规律(1)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α或tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T α±β应用时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ). (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等. 特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α. (3)公式的变形用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan α·tan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.答案精析知识梳理知识点一(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β思考1 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β.当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得 tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考2 在公式T α＋β，T α－β中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．知识点二(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β) (2)tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1思考1 (1)1 (2)2＋3 (3)33思考2 解 ∵tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)，∴原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.题型探究例1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3； (2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1， ∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1. 跟踪训练1 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4. 跟踪训练2 C [∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33.tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝－3＋331＋(－3)·(－33)＝－33.] 例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－33， ∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6， ∴C ＝π6， ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3， ∴△ABC 为等腰钝角三角形．跟踪训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 当堂检测1．A 2.B3.π44.175．解 (1)∵(π12＋α)＋(β－π3)＝α＋β－π4， ∴tan(α＋β－π4)＝tan[(π12＋α)＋(β－π3)] ＝tan (π12＋α)＋tan (β－π3)1－tan (π12＋α)tan (β－π3)＝2＋221－2×22＝321－4＝－ 2.(2)∵α＋β＝(α＋β－π4)＋π4，∴tan(α＋β)＝tan (α＋β－π4)＋tan π41－tan (α＋β－π4)tan π4＝－2＋11＋2＝－(2－1)2＝22－3.。

4.2.2两角和与差的正弦正切公式及其应用课件高一下学期数学北师大版(1)

(4)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)·(1+tan 24°).
√3
解 (1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=sin(20°+40°)=sin 60°= .
2
sin(30°+17°)-sin17°cos30°
(2)原式=
cos17°
sin30°cos17°+cos30°sin17°-sin17°cos30°
5
π
1
tan β= >0,β∈(0,π),所以 β∈ 0,2 ,
北师大版数学必修第二册
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
成果验收·课堂达标检测
1.能够推导出两角和与差的正弦、正切公式.
课程标准 2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化
简等问题.
基础落实·必备知识全过关
α,β∈R
sin(α+β)=cos
=cos
π
-α
解因为 cos α=- ,α∈(0,π),所以 sin α=
5
所以 tan
tan-tan(-)
β=tan[α-(α-β)]=
1+tantan(-)
=
1
,
3
1
tan+tan
3 =-1.
所以 tan(α+β)=
=
1
1-tantan
1-(-2)×
3
-2+
因为
因为
π
cos α=- <0,α∈(0,π),所以 α∈ 2,π
两角和与差的正弦、正切公式的综合应用

2024-2025年北师大版数学必修第二册4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用(带答案)

2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用必备知识基础练知识点一两角和与差的正弦公式1．sin 18°cos 63°－sin 72°sin 117°＝( ) A ．－22 B ．22 C ．12 D ．－122．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α ＝35 (0<α<π2 )，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝( )A ．33－410B ．33＋410C ．3－4310D ．3＋43103．化简：(1)2sin (α－β)cos α－sin (2α－β)＋sin β；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 －3 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x .知识点二两角和与差的正切公式4．已知tan (α＋π4 )＝3，则tan α＝( )A ．－12B ．12C ．－34D ．345．计算：tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝________.6．已知tan (α＋β)＝34 ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝12 ，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 的值．知识点三两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 7．设cos α＝－55 ，tan β＝13 ，π<α<3π2 ，0<β<π2. (1)求sin (α－β)的值；(2)求α－β的值．8．已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3 tan B tan C ＝3 ，且3 tan A ＋3 tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．关键能力综合练一、选择题1．计算sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12 ＝( ) A ．2＋64 B ．2－64C ．6－24 D ．－2＋642．已知tan α＝2，tan β＝－3，则tan (α－β)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．324．已知0<β<α<π2 ，点P (1，43 )为角α终边上的一点，且sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β ＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β ＝3314 ，则β＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．(探究题)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)的值是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 二、填空题6．tan 15°＝________．7．已知tan α＋tan β＝－6，tan (α＋β)＝－1，则sin （α＋β）cos （α－β）＝________．8．(易错题)化简：cos 10°（1＋3tan 10°）sin 40°＝________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12 ，32).(1)若|a ＋b |＝|c |，求sin (α－β)的值；(2)设α＝5π6 ，0<β<π，且a ∥(b ＋c )，求β 的值．学科素养升级练1.(多选题)下列四个式子中不恒成立的是( ) A ．sin (α＋β)＝sin α＋sin βB ．cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．tan (α－β)＝tan α－tan β1－tan αtan βD ．sin (α＋β)sin (α－β)＝sin 2α－sin 2β2．(学科素养——逻辑推理)是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝2π3 ，②tan α2tanβ＝2－3 同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由．2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：sin 18°cos 63°－sin 72°sin 117°＝sin 18°cos 63°－sin (90°－18°)sin (180°－63°) ＝sin 18°cos 63°－cos 18°sin 63°＝sin (18°－63°)＝sin (－45°)＝－sin 45°＝－22.故选A. 2．答案：B解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝35 (0<α<π2 )，所以sin α＝35 ，所以cos α＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝sin αcos π6 ＋cos αsin π6 ＝35 ×32 ＋45 ×12 ＝33＋410 .故选B.3．解析：(1)原式＝2sin (α－β)cos α－sin αcos (α－β)－cos α·sin (α－β)＋sin β＝sin (α－β)cos α－sin αcos (α－β)＋sin β ＝sin [(α－β)－α]＋sin β ＝－sin β＋sin β ＝0.(2)原式＝sin x cos π3 ＋cos x sin π3 ＋2sin x cos π3 －2cos x sin π3 －3 cos2π3 cos x －3 sin 2π3 sin x ＝sin x (cos π3 ＋2cos π3 －3 sin 2π3 )＋cos x (sin π3 －2sin π3 －3 cos 2π3)＝0. 4．答案：B解析：由tan (α＋π4)＝3，得tan (α＋π4 )＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝tan α＋11－tan α＝3，解得tan α＝12 .故选B.5．答案：1解析：∵tan 45°＝tan (12°＋33°)＝tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33° ＝1，∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°. ∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. 6．解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π41＋tan （α＋β）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝34－121＋34×12 ＝211 .7．解析：(1)因为π＜α＜3π2 ，cos α＝－55 ，所以sin α＝－255，又0＜β＜π2 ，tan β＝13 ，所以sin β＝1010 ，cos β＝31010，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－255 ×31010 ＋55 ×1010 ＝－22. (2)因为0＜β＜π2 ，所以－π2 ＜－β＜0，又π＜α＜3π2 ，所以π2 ＜α－β＜3π2 ，因为sin (α－β)＝－22 ，所以α－β＝5π4. 8．解析：∵3 tan A ＋3 tan B ＝tan A tan B －1，∴3 (tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，易知tan A tan B －1≠0，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝tan (A ＋B )＝－33 ，又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6 ，∴C ＝π6.∵tan B ＋tan C ＋3 tan B tan C ＝3 ，tan C ＝33， ∴tan B ＋33 ＋tan B ＝3 ，∴tan B ＝33， ∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6 ，∴B ＝π6 ，A ＝2π3 ，∵B ＝C ＝π6，∴△ABC 为等腰三角形．关键能力综合练1．答案：D解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12 ＝－sin 7π12 ＝－sin (π4 ＋π3 )＝－(sin π4 cos π3 ＋cos π4 sin π3 )＝－(22 ×12 ＋22 ×32 )＝－2＋64.故选D.2．答案：B解析：因为tan α＝2，tan β＝－3，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选B.3．答案：C解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30° ＝12 .故选C. 4．答案：D解析：∵|OP |＝7，∴sin α＝437 ，cos α＝17.由已知sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β ＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β ＝3314及诱导公式可得sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin (α－β)＝3314 .∵0<β<α<π2 ，∴0<α－β<π2 ，∴cos (α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝437 ×1314 －17 ×3314 ＝32 .又0<β<π2 ，∴β＝π3.故选D. 5．答案：B解析：∵1＝tan 45°＝tan (21°＋24°) ＝tan 21°＋tan 24°1－tan 21°tan 24°，∴1－tan 21°tan 24°＝tan 21°＋tan 24°，即tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1， ∴(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＋1＝2，同理(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝2，∴(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝2×2＝4.故选B. 6．答案：2－3解析：tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°·tan 30° ＝1－331＋33 ＝2－3 .7．答案：32解析：由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝－1，代入tan α＋tan β＝－6，解得tan α·tan β＝－5，sin （α＋β）cos （α－β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan α·tan β ＝－61－5 ＝32.8．答案：2解析：cos 10°（1＋3tan 10°）sin 40° ＝cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）sin 40°＝cos 10°＋3sin 10°sin 40°＝2（12cos 10°＋32sin 10°）sin 40°＝2sin （10°＋30°）sin 40°＝2.9．解析：(1)∵向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 ， ∴|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin (α－β). ∵|a ＋b |＝|c |，∴|a ＋b |2＝|c |2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1.∴1＋2sin (α－β)＋1＝1，∴sin (α－β)＝－12 .(2)∵α＝5π6 ，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 ，依题意得b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin β－12，cos β＋32 .∵a ∥(b ＋c )， ∴－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β＋32 －12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin β－12 ＝0，化简得12 sin β－32 cos β＝12 ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝12 .∵0<β<π，∴－π3 <β－π3 <2π3 ，∴β－π3 ＝π6 ，∴β＝π2.学科素养升级练1．答案：ABC解析：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，故A 式不恒成立； cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故B 式不恒成立； tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，故C 式不恒成立；sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α－sin 2β，故D 式恒成立．故选ABC.2．解析：假设存在锐角α，β使得①α＋2β＝2π3 ，②tan α2tan β＝2－3 同时成立．由①得α2 ＋β＝π3，所以tan (α2 ＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝3 .又tan α2 tan β＝2－3 ，所以tan α2＋tan β＝3－3 ，因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3 )x ＋2－3 ＝0的两个根，解得x 1＝1，x 2＝2－3 .若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾，所以tan α2 ＝2－3 ，tan β＝1，所以α＝π6 ，β＝π4，所以满足条件的α，β存在，且α＝π6 ，β＝π4 .。