浙江省宁波市2011-2012学年下学期高一年级期末考试数学试卷

浙江省宁波市2011-2012学年下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数4sin 21y x π⎛⎫=++ ⎪3⎝⎭的最小正周期为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π2. 观察数列：,7,3,1--( ),.63,31- 括号中的数字应为 A ．33B ．15C ．-21D ．-373. 已知等差数列{}n a 满足24354,10a a a a +=+=，则57a a += A ．16B ．18C ．22D ．285. 已知α为锐角，4sin 5α=，则tan()4πα+= A ．17-B ．17C ．7D ．7- 6. 函数sin()y x ϕ=+的图像关于原点对称，则ϕ的一个取值是 A ．2πB ．4π-C ．πD ．32π 7. 在ABC ∆中，,,0,AB a BC b a b ABC ==⋅>∆且则是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形8. 要得到函数22sin(2)3y x π=+的图像, 需要将函数22sin(2)3y x π=-的图像 A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23π个单位C ．向左平移43π个单位D ．向右平移43π个单位9. 已知实数,a b 满足240,2ab a b b -+-=>且，则2a b +的最小值为A ．3B ．4C ．5D ．610. 如图，在△ABC 中，设=，=，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若n m +=，则2m n +=A ．67B ．1C ．87D ．107第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．cos690=.12．已知关于x 的不等式210x ax -+<的解集为1(,2)2，则实数a ＝ .13．△ABC 中，5,4,3===CA BC AB ,则CB CA ⋅＝ .14．已知钝角△ABC 中，︒=∠==30,34,4A b a ，则∠C ＝__ ___.15．设数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列， 则1210...b b b a a a +++ = .16．若关于x 的方程2cos sin 0x x a -+=有解，则实数a 的取值范围是 . 17．在∆ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，若20,4ππ<<=A B , 且 222,,c b a成等差数列，则A tan = .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，－2）. （Ⅰ）若||52=，且//，求的坐标；（Ⅱ）若||=1，且a b + 与2a b -垂直，求与的夹角θ的余弦值.19．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且62232116,14a a a a a ==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos (2)cos b C a c B =-．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =a c +的最大值．21．（本小题满分15分）已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值．22．（本小题满分15分）已知数列{}n a 及n n n x a x a x a x f +++= 221)(，n f n n )1()1(-=-，*N n ∈．（Ⅰ）求321,,a a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若 2113()1242nn a m m ⋅≤+- 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围; （Ⅲ）求证：131<⎪⎭⎫ ⎝⎛n f ．浙江省宁波市2011-2012学年下学期高一年级期末考试数学试卷参考答案二、填空题 11．．52 13．16 14． 30°15．2036 16．5[,1]4a ∈- 17三、解答题 18．（本小题14分）解：（1）设),(y x =，由//和52||=c 可得：⎩⎨⎧2212020y x x y ⋅+⋅=+= ， ∴ ⎩⎨⎧24x y =-= 或 ⎩⎨⎧24x y ==- ∴(2,4)c =- ，或(2,4)c =-……………………………………7分（2）()(2),a b a b +⊥- ∴()(2)0a b a b +⋅-=，即2220,a a b b -⋅-= ∴22||2||0a a b b -⋅-= ，∴ 520a b -⋅-= ，所以3a b ⋅= ，∴cos ||||a b a b θ⋅==⋅…………14分19．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ．由622316a a a =得242316a a =， 所以1612=q ．由条件可知q >0，故41=q ． 由1421=+a a 得211=a ，所以1221-=n n a ．………………………7分（Ⅱ）)12(log 2--==n a b n n ，所以⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=+12112121)12)(12(111n n n n b b n n所以n T =1212112*********+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++n nn b b b b b b n n ……………14分 20．(本小题满分14分)解：（1）正弦定理得 sin cos (2sin sin )cos B C A C B =-则sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=.∴sin()2sin cos ,B C A B +=又sin()B C +=sin 0A ≠，∴1cos ,2B =又0B π<<， ∴3B π=. ………………7分 （2）由余弦定理可知 2222cos b a c ac B =+-有222223()3()3()2a c a c ac a c ac a c +=+-=+-≥+-，得 a c +≤，当且仅当a c ==a c +的最大值为………14分 21．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s 23)32cos(++=πx ． 由ππππk x k 2322≤+≤-，得632ππππ-≤≤-k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]6,32[ππππ--k k （Z k ∈）．………… 8分 （Ⅱ）∵65)(=θf ，∴6523)32cos(=++πx ，32)32cos(-=+πθ．∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+， 35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ．∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+=6532-=…15分 22．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）由已知()1111-=-=-a f ，所以11=a .()21212=+-=-a a f ，所以32=a .()313213-=-+-=-a a a f ，所以53=a . ………3分因为()()()1111(1)11(1)1(1)n n n n n n a f f n n ++++-⋅=---=-⋅+--⋅，所以1(1)n a n n +=++，即121n a n +=+. 所以12-=n a n . ………6分 （Ⅱ）令1()(21)2nn c n =-，111111()(21)()(21)()(32)222n n n n n c c n n n +++-=+--=-∴当n=1时，112c =；当n=2时，234c =；当12n n n c c +≥<时，.∴当n=2时，n c 取最大值是34又 2113()1242nn a m m ⋅≤+- 对一切正整数n 恒成立，即21331424m m +-≥ 对一切正整数n 恒成立，得17m m ≥≤-或 ………11分 （Ⅲ）()()n n x n x x x x f 125332-++++= ，所以()nn n f ⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛3112315313313132 . ①()14323112315313313131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n n f . ②①—②，得()2312111111222213333333nn n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11211931122212113333313n n nn n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以11133n nn f +⎛⎫=-⎪⎝⎭. 又*∈N n ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛31n f < 1. …………15分。