江苏省如皋高级中学2011届高三11月月考数学试卷(理科)

xyO(2,0)P()y f x =()y f x '=1 （第10题图）（第6题图）结束开始 输出S Y0,1S n ←←12n ≤N S S n ←+2n n ←+A D CB PE 江苏省如皋高级中学2011届高三数学（理科）月考试卷一．填空题（每题5分，共70分）1.若复数11i z =-，224i z =+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是 .2.已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是 .3.若函数2()21x f x m =++为奇函数，则实数m = .4.函数2sin y x x =-在（0，π2）内的单调增区间为 .5.二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0，+∞)，则11a c c a+++的最小值为 . 6.如图是一个算法的流程图，则最后输出的S = .7.已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=， 若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ．8.若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若n m ⊥，则∠C 等于 .9. 已知π3cos()45θ-=，π(,π)2θ∈，则cos θ= ．10.已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示， 则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ．11. 在△ABC 中，点M 满足MA MB MC ++=0，若 AB AC mAM ++=0，则实数m 的值为 ．12. 已知方程()f x =22x ax b ++的两个根分别在（0，1），（1，2）内，则22(4)a b +-的取值范围为 ． 13. 若关于x 的不等式22(21)x ax -≤的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是 ．14. 已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，12b =，且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l +=+时，都有i j k l a b a b +=+，则201011()2010i i i a b =+∑的值是 ．二、15.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，且a ，b ，c 成等比数列． （1）求椭圆的离心率e 的值；（2）若椭圆C 的上顶点、右顶点分别为A 、B ，求证：190F AB ∠=︒.16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠， E 为PC 的中点．（Ⅰ）证明：//PA BDE 平面； （Ⅱ）证明：AC PBD ⊥平面．17.（本小题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，锐角△ABC 内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 。

（1）若B C A bc a ac k 2sin 2cos ,232222++-+=求的值； （2）若),23(),20(,2πβπβπαα<<=∠<<=∠=xOB xOA k 记求)sin(βα+的值。

18.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前五项依次是11320,,,,3253----.正数数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1()2n n nnS b b =+.（1）写出符合条件的数列{}n a 的一个通项公式； 、（2）求n S 的表达式；(3)在（1）、（2）的条件下，12c =，当2n ≥时，设21n n nc a S =-，n T 是数列{}n c 的前n 项和， 且log (12)n m T m >-恒成立，求实数m 的取值范围19.（本小题满分16分）已知圆C 过点)1,1(P ,且与圆M :222(2)(2)(0)x y r r +++=> 关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设Q 为圆C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.20.（本小题满分16分）设函数32()f x ax bx cx d =+++是奇函数，且当33x =-时，f (x )取得极小值239-.（1）求函数f (x )的解析式；（2）若函数()()()g x mf x f x '=+在[02]x ∈，上的最大值为1，求实数m 的取值范围； （3）设11()A x y ，，22()B x y ，为f (x )图像上的两点，且12210x x -<<-<<，点(10)C ，，试问ACB ∠=90°是否成立？证明你的结论.1.曲线22421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换为曲线2221x y -=，求实数,a b 的值； 22.已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点． （1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 23.用数学归纳法证明不等式：211111(1)12n n n n n n*++++>∈>++N 且． 24.一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这3个展览馆，又该游客参观甲、乙、丙这3个展览馆的概率分别是0.4，0.5，0.6，且是否参观哪个展览馆互不影响. 设ξ表示该游客离开上海世博会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[)2,+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.一1. 2， 2.0a ≤, 3.1-, 4. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,3ππ 5. 4 6. 36 7. 3-, 8.3π, 9.210-, 10. 20x y --=, 11. 3- 12. ⎪⎭⎫⎝⎛20,581 13.925[,)49, 14. 2012.二、解答题： 15.解：（1）由题设2b ac =及222b a c =-，……（2'）得512c a -=．……（6'） （2）由题设(0,)A b ，(,0)B a ，又1(,0)F c -，……（8'）得1(,)AF c b =-- ，(,)AB a b =-，……（10'）于是210AF AB ac b ⋅=-+=，……（13'） 故190F AB ∠=︒．……（15'）16. 证明：略17.解：（1） 变式得：,31sin ,2cos sin 3222=-+=B b c a ac B B 解得 ………………4分 原式18229cos sin 22cos 12sin 2sin 2+=+-=+=B B B B B ； …………3分 （2）解1Q ∠AOB=β—α，作OD ⊥AB 于D ，分分3.542tan 12tan2)sin(4,2112tan,222-=+++=+-=-==+∴+=-+=∠∴βαβαβαβαβααβαk k xOD OD分设解554)(4)2()2(sin cos cos sin )sin(.51,54),,(),,(0145,2122121212121212212122112222 -=++=+++=+=+=+-=-=+=-++⎩⎨⎧+==+x x m x x m x x x m x y x x y m x x m x x y x B y x A m mx x mx y y x βαβαβα18.解：（1）1()1n na n n*-=∈+N . （2）因为1()2n n nnS b b =+，0n b >，所以11111()2b b b =+，解得11b =，即11S =.当2n ≥时，1n n n b S S -=-，所以112n n n n n nS S S S S --=-+-. 11n n n n n S S S S --+=-，即221n n S S n --=.所以，22121n n S S n ---=-，22232n n S S n ---=-，…，22212S S -=， 累加，得221234n S S n -=++++ .所以，2(1)1232n n n S n +=++++=，即(1)2n n n S +=. （3）在（2）、（1）的条件下，12c =.当2n ≥时，212112()(1)1n n n c a S n n n n=-==---.当1n =时，112T c ==；当2n ≥时，12311111112[1()()()]2(2)12231n n T c c c c n n n=++++=+-+-+-=-- .因为log (12)n m T m >-恒成立，即log (12)m m -恒小于n T 的最小值. 显然，n T 的最小值在1n =时取得，且最小值为2.故有log (12)2m m -<. 所以20112012m m m m ⎧<<⎪->⎨⎪->⎩① 或2112012m m m m ⎧>⎪->⎨⎪-<⎩②解①得，021m <<-，不等式组②无解.故，实数m 的取值范围是(0, 21)-.19.设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++ … (7分)=224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅ 的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+ 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行 20.解：（1）()f x 为奇函数⇒()()f x f x -=-即3232ax bx cx d ax bx cx d -+-+=----对于x R ∈恒成立，0b d ∴==又 3()03323()39f f ⎧'-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒11a c =-⎧⎨=⎩⇒3()f x x x =-+（2）由题意得32()31g x mx x mx =--++；max ()1g x =∴[0,2]x ∀∈()1g x ≤恒成立，即32()3m x x x -≤恒成立([0,2])x ∈法一：当01x =或时，00≤成立，所以m R ∈当(0,1)x ∈时，233x m x x ≤-恒成立⇒31m x x≤-恒成立，(0,1)x ∈⇒1(0,)x x-∈+∞⇒31x x- 的值域为(0,)+∞，0m ∴≤当(1,2]x ∈时，233x m x x ≥-恒成立⇒31m x x≥-恒成立， (1,2]x ∈⇒13[,0)2x x -∈-⇒31x x-的值域为[2,)-+∞，2m ∴≥-综上所述即[2,0]m ∈-法二：当0x =时，00≤成立，所以m R ∈当(0,2]x ∈时32()3m x x x -≤恒成立⇒1()3m x x-≤恒成立，0m =时，03≤合题意；0m >时，31()x m x ≥-恒成立，max 31()x m x ≥-，13()[,)2x x -∈-+∞ ，m ∴∈∅；0m <时，31()x m x ≤-恒成立，min 31()x m x ≤-，13()[,)2x x -∈-+∞ ，332m ∴≤-20m ∴-≤<综上所述即[2,0]m ∈-（3）090ACB ∠=不成立假设090ACB ∠=成立⇒0CA CB ∙=⇒1212(1)(1)0x x y y --+=又33111222,y x x y x x =-+=-+ ，33121122(1)(1)()()0x x x x x x ∴--+-+-+=22121212(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴--+--=⇒12121122(1)(1)(1)(1)(1)(1)0x x x x x x x x --+-+-+=12121212(1)(1)[1(1)(1)]0210x x x x x x x x ⇒--+++=⎫⎬-<<-<<⎭⇒12121(1)(1)0x x x x +++=⇒12121(1)(1)x x x x ++=-⇒12121211x x x x x x +++=-⇒12121211()x x x x x x ++=-+（*） 12210x x -<<-<<⇒1212x x ++>-，且1212121211()22x x x x x x x x -+≤-=- （*）式的左右两边不可能相等，所以090ACB ∠≠……（16'）附加题21.设(,)P x y 为曲线2221x y -=上任意一点，'''(,)P x y 为曲线22421x xy y ++= 上与P 对应的点，则''11a x x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即''''x x ay y bx y ⎧=+⎨=+⎩ 代入的''2''2()2()1x ay bx y +-+=得()()()2222122421b x a b x y a y ''''-+-+-=，及方程22421x xy y ++=，从而2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2,0a b ==，22.解：（1）由222x y y +=可得()2211x y +-=设cos ,1sin ,x y R θθθ==+∈，则2x y +=2cos 1sin θθ++=5sin()1θϕ++15,15⎡⎤∈-+⎣⎦（2）由222x y y +=可得()2211x y +-=设cos ,1sin ,x y R θθθ==+∈，0x y a ++≥恒成立 即()a x y ≥-+恒成立，而()x y -+=()sin cos 121θθ-++≤-，∴21a ≥-。