余弦函数的图像与性质(一)
余弦函数的图像与性质PPT
所以 cos 3＜sin 1 ＜ cos 7 .
2
10
4
答案: cos 3＜sin 1 ＜ cos 7
2
10
4
类型一 余弦函数的图像及应用 【典例】用“五点法”作函数y=1-cosx(0≤x≤2π)的 简图.
世纪金榜导学号70034021
【审题路线图】用“五点法”作函数y=1-cosx(0≤x≤2π) 的简图⇒根据余弦函数图像的五个关键点列表⇒在坐标 系中描出五个关键点⇒用平滑的曲线连接五个点.
2.比较下列各组数的大小.
(1)-sin46°与cos221°.
2cos( 23 )与cos( 17 ).
5
4
【审题路线图】1.配方法⇒求出最值⇒写出值域. 2.用诱导公式化角在同一单调区间内⇒利用正(余)弦函 数单调性⇒写出答案.
【解析】1.y (cos x 1 )2 1 .
24
因为-1≤cosx≤1,
所以当cosx=1
2
时,ymax=
1 4
.
当cosx=-1时,ymin=-2.
所以函数y=-cos2x+cosx的值域是[2，1 ].
4
答案: [2，1]
4
2.(1)-sin46°=-cos44°=cos136°, cos221°=-cos41°=cos139°. 因为180°>139°>136°>0°, 所以cos139°<cos136°,即-sin46°>cos221°.
【解析】列表:
x cosx
0
π 3
2π
2
2
1
0
-1
0
1
1-cosx
01
2
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
返 首 页
·
27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
余弦函数的图像和性质
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
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还是和前两次一样.他决定拼一把,开始神血秘典の第四步——断血. 盘坐在祭坛中央,白重炙运起"夜皇决",封闭了身体中の阴脉和阳脉之间の连接穴道,直接断绝了两脉之间の血液流通. 顿时,白重炙の身体逐渐红了起来,体表の血脉条条鼓了起来. "好难受,这就是断血吗?这么好像被人捏住脖 子,要断气の感觉一样?啊?头怎么那么晕?神之精血怎么还不自救?" 此刻白重炙感觉自己就好像被人按住脑袋沉入水底般,那种要断气の感觉竟然是那么の恐怖.而且他の头脑也开始发晕,这是脑海开始缺氧の症状. 坚持,坚持！ 白重炙脑海中只留下坚持几个字,最后时候他选择了相信自己那个高 人老爹.死死控制"夜皇决"坚决封闭着穴道,断绝了血液の流通. 而此刻の白重炙,如果有外人看到の话,肯定会惊叫起来.因为此刻の白重炙早已不复原来の那位冷峻青年摸样.全身青筋暴涨,密密麻麻遍布全身,皮肤全部红の刺眼,耳口鼻开始慢慢渗血.全身看起来狰狞恐怖,恍如恶魔. 糟糕！ 白 重炙心里一疙瘩,暗暗叫苦起来,同时嘴里大量冒出鲜血.由于长期封闭血脉,血脉终于承受不住重荷爆裂开来. 完了！这下真の飘然西去死翘翘了…… 白重炙心里长叹一声,此刻他脑海却异常清醒,似乎到了回光返照の那一刻.恍惚间,他仿佛感觉自己可以看见自己の身体阴脉寸寸爆裂,大量の鲜 血狂涌而出.而且此刻他还仿佛能透过浓浓の白雾,看到了战智堂里众人面部各异の表情.他还看见妹妹夜轻语正站在旁边の角落里,遥遥の眺望着自己这个光圈,满脸の希翼,满脸の柔情…… 就在白重炙即将陷入昏迷,因大量失血而昏死过去之时. 他左手带着の那枚青铜戒指突然闪耀出一阵白色 の光芒,接着一股犹如绸缎般の白色气流缓缓从戒指中冒出,从他手指流入白重炙の身体里. 突兀の—— 白色气流从左手开始快速の向身体涌去,而最令人惊奇之处是,白色气流所流过之处,白重炙体表の肌肉发出阵阵ru白色の淡淡光芒,而原本深红の青筋遍布の皮肤肌肉,竟然快速平缓恢复过来. 而白色气流也不停留,快速在全身行走了一圈,最后停顿在了白重炙の身体心脏附近.而那里正是阴脉断裂の地方.仅仅一会儿,白色气流所游走过の地方,皮肤和肌肉已经全部复原了,和原来根本无二样,而只有胸口阴脉断裂の地方还发出淡淡のru白色光芒. 而此时身体发生の异状,白重炙却完全不 知道,因为他早已在白色气流涌出之前昏迷过去了. …… "都过去五多分钟了,怎么还没反应?" 而此时,站在大堂左角落の夜轻语,娥眉蹙起,满脸担忧.对于白重炙对这次觉醒仪式の看重,她看在眼里. 关于这次觉醒仪式,她不关心,她在意の是哥哥,如果失败,哥哥肯定会很伤心吧? "啊,变色了！" 旁边の人一声轻呼,夜轻语猛然抬头,欣喜の往中间の光圈看去,那是白重炙所在の祭坛.随即她又失望の低下了头,刚才变色の光圈是左边の光圈.而中间の那光圈依旧白の耀眼. 唉……等会该怎么安慰哥哪? 夜轻语一阵苦恼,眼神闪过一丝迷离,一丝落寞.而就在她目光随意の扫过光圈の时候,她 突然蒙了,脑袋仿佛慢了半拍般,接着她突然の跳了起来,大叫起来："变了,变了……我哥の光圈变色了！！" 突兀の声音响彻大堂,让所有の人注意力定格在中间那个光圈上. 空荡荡の大堂中,三个光圈,左边の光圈早就变幻了颜色,现在定格在黄色不动了.而中间の光圈开始有白色缓缓变成了红 色. 当前 第壹2章 零壹壹章 九彩光圈（下） "变了就变了,那么激动干什么,我看他能最多能变成橙色,能变能黄色,就顶天了！" 众人突然间被惊了一下,下意识の蒙了一下,接着马上就有人反应过来,不满の说道.毕竟,今天本来就在此坐了一天了,像这种情况已经见怪不怪了. "额,还真给你说 中了,变黄色了." 众人被惊了一下,又开始谈笑起来,而夜轻语则痴痴の望着光圈,两行热泪盈眶而出.丝毫没有听闻别人の话语. 哥哥终于要成功了,她の心情此刻非常の激动. 而上面の四位长老却默默の坐在,上首位置,品着茶水,谈笑着.丝毫不在乎,毕竟下午の子弟都让他们失望太多了. "咦? 还在变?绿色了?这是哪家子弟啊,天赋还行啊." 光圈慢慢の有黄色转成绿色,而下面の众人也开始关注了起来,纷纷打听光圈里の人是谁?毕竟绿色光圈可是有可能召唤出四品战智,以后前途还是有の. "额?还再变?青色了！怎么可能?" 众人纷纷将注意力转移到了中间の光圈起来,三座光圈中,中 间那道光圈上面淡淡の青色光芒静静の在那里闪耀着.而上首の几位长老也停止了品茶,开始关注了起来. "我看看中间祭坛是谁?天赋不错啊……额,叫白重炙?咦,都十五岁了,还能出现青色光圈?难道是大器晚成?"天青长老翻开手册,点头微笑说道.一下午了终于再次出了个像样点の,他看起来很 是欣慰. 而就在天青长老满意の端起茶水,准备喝の时候,突然,大堂居然沸腾了起来. "啊,大家快看,又变了……" "天哪！变蓝色！又变紫了！和风公子一样の紫色光圈啊." "大喜事啊,今晚肯定要摆宴席庆祝了……" 天青长老再也坐不住了,哗の一声将茶水一丢,站了起来.旁边の三位长老早已 站了起来,三人眼冒精光,锁定了中间の那座祭坛. 中间の祭坛上,绿色慢慢褪去,一道紫色の光圈慢慢成形.如同一颗立起の紫蛋般.独立矗立在大堂中央. "天！还在变……" 而就在众人高兴不已,为白家再出一天才高兴万分激动不已の时候,一道声音如同见鬼般响起.紧接着一道声音突兀响在众 人の心头,众人连忙屏息闭嘴,大气不敢冒出. "全部给我安静,谁再出声,族法伺候！" 传音入密！ 中间の祭坛旁边凭空出现四道身影.天青长老眼冒寒光冷冷扫了众人一眼,显然刚才是这位天青长老用极高の功法直接传音到众人の耳边. 四位长老面色慎重,分开围住中间の祭坛. 中间の祭坛,紫 色の光圈竟然慢慢开始转换成黑色.最后完全转化成黑色光圈.犹如黑色水流一般在光圈上流转. 黑色光圈！这可是有希望召唤出和现代族长一样の八品战智啊. 然而！ 让众人更加疯狂の还在后面,光圈变化还没有停！ 黑色光圈居然快速转变,居然变幻成金色.而后炫目の金色一闪而逝,光圈居 然出现了九种颜色.犹如鸡蛋般の光圈上,红、橙、黄、绿、青、蓝、紫、黑、金九种颜色,相互交集,绽放出炫目の光彩. 九彩光圈！ 什么情况? 众人面面相觑,犹如傻子般互相对视,仿佛想在对方の眼睛里找到答案,然而,相互之间看到の除了迷茫,还是迷茫！ 而四位长老眼中也是迷茫之色.这 种情况别说他们主持觉醒仪式那么多年,没有遇到过,就是世家历史上也没有出现过啊. 陡然间,白须天青长老却似乎想到了什么,眼冒刺眼光芒,全身激动得颤抖了起来,转头对旁边の一位长老急切说道： "老二,你速速前去,把族长太上长老和众长老全部请来,如果我估计の没错,可能要出大事了 ……" 不到两三分钟,战智堂就集结了包括家主夜剑,战堂副长老夜枪在内の共十多名世家高层.而族长夜天龙和两名太上长老则在闭关,封闭了后山,直接被告知不是世家生死存亡大事,不得打扰. 众人围绕着这座九彩光圈,面色严肃の站着. "诸位,今日贸然请大家来,就是因为这座特殊の祭坛所 散发出の特殊光芒.这是世家没有经历过の事情,众所周知,世家历史上最奇特の光芒是夜若水先祖,觉醒时所产生の金色光芒,而那时他召唤出了世家历史上の第一只也是唯一一只九品圣智白虎,而现在这九彩光圈明显比紫色光圈还要高一级！所以……" 白须天青长老首先发话,神情很是激动,说 话间神采飞扬,兴奋不已. "难道?" "这…不会吧?" "传说竟然是真の?" 众长老听闻,仿佛白日见鬼般,全部面容失色,惊喜异常,不复以往の从容冷静.因为他们都想到了世家一位先祖所留下の一段留言.那位先祖就是世家唯一召唤
余弦函数图像及性质
在信号处理领域，余弦函数可以作为基函数用于信号的分解与合成， 如傅里叶变换中的余弦级数展开。
经济学
在经济学中，余弦函数可以用于描述经济周期波动、季节性变化等 现象，为经济政策制定提供理论依据。
05 拓展：复合余弦函数及其 图像性质
复合余弦函数形式
一般形式
y = A·cos(ωx + φ) + k，其中 A、ω、φ、 k 均为常数，且 A ≠ 0，ω > 0。
与正弦函数图像比较
余弦函数与正弦函数的图像形状相似，但相位相差π/2。这意味着余弦函 数的图像相对于正弦函数图像向左或向右移动了π/2个单位。
在同一周期内，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷位置互换。具体来说， 正弦函数在π/2处达到波峰，在3π/2处达到波谷；而余弦函数在0处达到 波峰，在π处达到波谷。
有界性
复合余弦函数的值域为 [k - A, k + A]。
单调性
在每个周期内，复合余弦函数 在特定区间内单调递增或单调
递减。
06 总结回顾与思考题
关键知识点总结
余弦函数定义
$y = cos x$，其中$x$为自变量， $y$为因变量，表示单位圆上与 $x$轴正方向夹角为$x$的点的 $y$坐标。
正弦函数和余弦函数的周期性相同，均为2π。因此，它们的图像在长度 上相等，只是相位上有所差异。
03 余弦函数性质分析
值域与定义域
值域
余弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的 所有取值都落在这个区间内。
定义域
余弦函数的定义域为全体实数，即R。
单调性
余弦函数在整个定义域上不具备 单调性。
在[π, 2π]区间内，余弦函数是单 调递增的。
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(一)
6．1正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）上海曙光中学陶慰树一．教学内容分析本章节内容是在学生学习了三角比及有关三角恒等变形公式后，从函数的角度和层面来研究相关三角问题。
对于函数的研究，学生已经具备了一定的知识基础和对简单的具体函数的研究经验，结合三角函数的特殊性，教材改变了研究函数由性质到图像的研究策略，而是先得出三角函数的图像，再由图像归纳性质这一途径。
为此通过函数图像作图的一般方法---描点法（五点发）及正余弦函数在单位圆中正弦线和余弦线所具备的特征构造正弦函数和余弦函数的图像，学生容易接受，而对于通过函数的图像的平移或对称得出余弦函数和相关其他三角函数的图像可能比较困难，需要在教学时加以指导和突破。
正弦函数和余弦函数的图像在三角函数的研究中是一个基础和前提，为后面得出正弦函数和余弦函数的性质、进一步加深对函数图像的研究将起着至关重要的作用。
二．教学目标设计1、能结合单位圆中的正弦线、余弦线理解正弦函数及余弦函数中函数值的变化规律；2、通过五点法能正确作出正弦函数的图像，并能归纳正弦函数图像的特征；3、通过函数图像的变换，能作出余弦函数及相关函数图像；4、在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯。
三．教学重点难点正弦函数和余弦函数的图像的形成和应用。
四．教学用具准备多媒体设备五．教学流程设计六．教学过程设计一．复习引入1．复习：学生口述函数的定义。
2．引入：结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对每一个给定的角x 和正弦值x sin （或x cos ）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义，若不存在请说明理由。
3．讨论：对自变量x 的取值类型和范围进行讨论，并给出相应的正弦函数和余弦函数的记号。
复习引入正弦函数、余弦函数的概念正弦函数和余弦函数的图像 转化 转化单位圆中的正弦线和余弦线 五点作图法巩固与深化、应用课堂总结以往我们在研究函数时，先探究函数所具备的性质，再作出函数的图像，今天我们先探究正弦函数和余弦函数的图像，再得出函数的性质。
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(1)
2
4
小结：最值的取得点 余弦函 数的值域
练习：求函数y 2 - cos x 的最大值和最小值，并分别 3
写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
解：当cos x 取得最大值1时，y 2 cos x 取得最小值1，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 6k (k Z ).
3
当cos x 取得最小值 1时，y 2 cos x 取得最大值3，此时
(k Z)
2
(k ,0) (k Z )
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=sin(x+ )=cosx, xR 2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
((00,,111))
3
((22,1,1))
-
(-o122 ,0)
( 2 ,0)
2
((,,--11))
函数
2.函数f(x)=cosx－|cosx|的值域为 ( D )
（A）{0}
(B) [－1,1]
(C) [0,1]
(D) [－2,0]
3.若a=sin46° , b=cos46°, c=cos36°，则a、
b、c的大小关系是 ( )A
(A) c> a > b
(B) a > b> c
(C) a >c> b
减函数；
当 2k
3
x
3
2k
2
时，
23
即4k 4 x 4k 10 时，原函数为
余弦函数的图像与性质(一)
余弦函数图像与性质（一）【学习目标】（1）了解由正弦函数的图像及诱导公式画出余弦函数的图象的方法； （2）会用“五点法”画余弦函数图象. 【学习重点】余弦函数的图像【学习难点】诱导公式画出余弦函数的图象的方法.自主学习：1．把正弦函数y=sinx 的图象就得到余弦函数的图象。
2．函数的cos y x =定义域是__________值域是__________. 3.函数2cos 1y x =+的最大值为_________,最小值为________ 4.函数cos ,y x x R =-∈是最小正周期为_____的_____函数 5.函数2cos 3,y x x R =-∈的增区间是_______________合作探究【合作探究一】法一.余弦函数的图像的画法图像变换法：由y=sinx 的图像怎么变换可得到y=cosx 的图像？诱导公式⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin cos πx x 对你有什么启示？法二、五点法【合作探究二】余弦函数cos y x =，x R ∈的性质:(1) 定义域：_______________；值域：__________________ (2) 最值：当时，取最大值；当时取最小值 (3) 周期性：最小正周期是________________ (4) 单调性：增区间：______________________________;减区间：_______________________ (5) 奇偶性：___________________(6) （选讲）对称轴：________________;对称中心:________________________ 例题精讲：例1.试画出函数 在[0,2]π上的简图2cos +=x y例2.画出下列函数的简图，根据图像讨论函数的性质()1cos 1+=x y (x ∈R) ()2cos 2+-=x y (x ∈R)课后巩固练习题1.函数1cos y x =-的图像关于（ ）对称A. x 轴B. y 轴C.原点D.直线2x π=2.下列函数中，周期为2π的是（ ）A.sin 2x y = B.sin 2y x = C.cos 4x y = D.cos4yx =3.函数2cos 3y x =-的值域是（ ）A.[1,1]-B.[5,1]--C.[5,)-+∞D.(,)-∞+∞ 4.（选做题）函数cos y x x =-的部分图像是（ ）（ ）A ⋅. B . C D . 6.设M 和m 分别表示函数1cos 13y x =-的最大值和最小值，则M+m 等于（ ）A ．32 B ．23-C ．43- D ．－2。
余弦函数的图像和性质
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
余弦函数的图像和性质ppt课件
2
y=sin(x+φ)，当φ=kπ+ (k∈Z)时是偶函数.
2
(3)余弦函数的对称轴和对称中心
①对称轴方程为x=kπ(k∈Z).
②对称中心的坐标为( +kπ,0)(k∈Z).
2
【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为______. 【解析】因为x∈R，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. 答案：偶函数
33 3
3
3
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2019/5/10
类型二 余弦函数的奇偶性及应用
【典例2】
(1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是
R上的偶函数，则φ的值为( )
A.0
B.
C.
D.π
4
2
(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3 )的奇偶性为
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
3.余弦函数的最值 (1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义 域来确定. (3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.
余弦函数的图像和性质1
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[k 2 其值从－1增大到1 ； 而在每个闭区间 [2k ,2k 其值从1减小到－1。
,2k ]
]
都是增函数，
上都是减函数，
例4:比较下列各组数的大小:
23 17 cos( )与 cos( ) 5 4 23 23 3 ) cos cos 解: cos( 5 5 5 17 17 cos( ) cos cos 4 4 4 3 0 又 y=cosx 在[0, ]上是减函数
奇偶性 周期 对称性 奇函数
y [1,1]
xR
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] x[2k , 2k ]
偶函数 增函数 减函数
2 对称中心： (k ,0) k Z
-4 -3 -2 -
y=sinx (xR) 奇函数
定义域关于原点对称
y=cosx (xR) 偶函数
y
1
o
-1
2
3
4
5
6
x
例3：判断下列函数的奇偶 性： 1y cos x 2 2y sin x cos x
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
正余弦函数图像及性质
y
1_
4 3 2 o
_
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
例题讲解:
例.用“五点法”作出函数y 1 sin x, x 0,2 的简图。
解:(1)按五个关键点列表:
x
0
2
3 2
2
sin x 0 1 0 1 0
sin x 1 1 2 1 0 1
(2)描点,连线
2y
1
0
1
2
x 3 2
2巩固Biblioteka 习:1.作函数 y cos x, x 0,2 的简图。
正弦函数、余弦函数的图象和性质 （一）
1. sin a, cos a, tan a 的几何意义是什么?
y
T
1P
A
oM 1 x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
2.如何用描点法作出函数 y x2 2x的图象?
(1)列表
x
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
0
2
1
y
y cos x, x0,2 1
0
1
2
x 3 2
2
x 3 2
2
返回
1
.. 2 1 0 1. 2 x
第13节 余弦型函数的图像和性质
【解答】解：函数 f（x）=Acos（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）为奇函数， 所以 φ= ；f（x）=﹣Asinωx，函数图象向右平移 个单位得到的图象关于 y
轴对称，f（x）=﹣Asin[ω（x﹣ ）]=）=﹣Asin（ωx﹣ ω]，
∴=
= ，∴ω=6 故选：B．
二.最值
例 2：已知函数
，
的最大值为 4，则正实数 a 的
值为
．
解：在区间[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，cos（2x+ ）∈[﹣1， ]，
函数
，
故答案为：2．
的最大值为 a+3=4，则正实数 a=2，
练习：已知 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期为 π，f（0）
A．x=
B．x=
C．x=π D．x=
【解答】解：将函数 y=cos（x﹣ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变）， 得到函数 y=cos（ x﹣ ）的图象，再向左平移 个单位， 得到 y=cos[ （x+ ）﹣ ）]即 y=cos（ x﹣ ）的图象， 令 x﹣ =kπ 可解得 x=2kπ+ ，故函数的对称轴为 x=2kπ+ ，k∈Z， 结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线 x= ， 故选：D．
cos（ +φ）=0，令 +φ= ，可得 φ= ，∴f（x）=cos（πx+ ），
由
，单点递减（k∈Z），解得：2k﹣ ≤x≤2k+ ，k∈
Z．故选 D
A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k∈Z C．（k﹣ ，k﹣ ），k∈Z
高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质
1.6 余弦函数的图像与性质1．余弦函数的图像(1)余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x __________单位长度得到． (2)余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像叫作________．图像如下：预习交流1类比学习正弦函数图像的方法，观察上图，在[0,2π]上画余弦函数y ＝cos x 的图像的五个关键点分别是什么？预习交流2 要得到y ＝cos x ，x ∈[－2π，0]的图像，只需将y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像向________平移________个单位．2．余弦函数的性质预习交流3正弦函数与余弦函数的图像与性质有哪些联系？ 预习交流4(1)使cos x ＝1－m 有意义的m 的取值范围是( )．A ．m ≥0B ．0≤m ≤2C ．－1＜m ＜1D ．m ＜－1或m ＞1(2)函数y ＝－2cos x 的定义域是______． (3)比较大小：cos 27°______cos 63°；cos 215°______cos 230°.答案：1．(1)向左平移π2个 (2)余弦曲线预习交流1：提示：用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1)．预习交流2：左 2π2．R [－1,1] 2k π 1 (2k ＋1)π －1 2π [2k π－π，2k π] [2k π，2k π＋π] 偶 y x ＝k π预习交流3：提示：(1)定义域都是R ，值域都是[－1,1]，也称正弦、余弦函数的有界性．(2)最小正周期都是2π.(3)图像形状相同，只是在坐标系中位置不同．(4)sin 2x ＋cos 2x ＝1.预习交流4：(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) (3)＞ ＜1．余弦函数的图像及应用画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．思路分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线．利用余弦函数的图像解不等式cos x ≥12.函数y ＝1＋cos x 的图像( )．A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称(1)作函数y ＝a cos x ＋b 的图像的步骤．(2)利用函数的图像解不等式时，要准确作出函数的图像，找出一个周期内与x 轴交点的横坐标是关键．2．余弦函数的定义域求下列函数的定义域． (1)y ＝11＋cos x；(2)y ＝log 312－cos x . 思路分析：按照求函数定义域的方法进行即可．求下列函数的定义域： (1)y ＝32－cos x ；(2)y ＝log 12(2cos x －2)．前面学习的求函数定义域的方法对余弦函数仍然适用．在此特别强调，要充分利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，准确写出解集．3．余弦函数的值域(最值)已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，(1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3(1－cos 2x )－4cos x ＋4的最大值、最小值．思路分析：(1)函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上是先增后减的函数，求其值域可利用函数图像．(2)可用换元法，转化为求二次函数的最大值、最小值问题．1．函数y ＝e cos x的值域是______．2．求函数y ＝－cos 2x ＋cos x ＋2的最大值及相应的x 的值．(1)求形如y ＝a cos x ＋b 的三角函数的最值时，既要注意x 的限定范围，又要注意a 的正、负对最值的影响． (2)形如y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (a ≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题．4．余弦函数单调性的应用(1)比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小；(2)求y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调区间．思路分析：(1)利用诱导公式化简，结合同一区间上函数的单调性比较大小； (2)把2x ＋π4看作一个整体，利用y ＝cos x 的单调性求解．求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调递减区间．(1)比较余弦值大小的常用方法是首先利用诱导公式化简到同一单调区间上，再利用单调性比较大小；(2)求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的关键是把ωx ＋φ看成一个整体．然后利用余弦函数的单调区间建立不等式，解出x .注意当ω＜0时，要先利用诱导公式化负为正．5．余弦函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋34x . 思路分析：根据函数奇偶性的定义作出判断，注意诱导公式的应用．1．函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的图像( )． A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π4对称2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝sin 2x ＋cos x ，求f (x )的解析式．1.有关函数奇偶性的结论：(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形； 偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0. 对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． 2．函数奇偶性的应用：(1)画关于原点对称的区间上的图像．(2)判断函数的单调性(或比较函数值的大小)． (3)求函数的解析式．答案：活动与探究1：解：画法一：按五个关键点列表：画法二：先用五点法画y =cos x ，x ∈[0,2π]的图像，再作它关于x 轴的对称图形，即得到y =-cos x ，x ∈[0,2π]的图像．活动与探究2：解：在同一坐标系中，作出y ＝cos x 和y ＝12的图像如图所示．由图可知，不等式cos x ≥12的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z.迁移与应用：B 解析：y ＝1＋cos x 的图像由y ＝cos x 的图像向上平移1个单位得到，又因为y ＝cos x 的图像关于y 轴对称，故y ＝1＋cos x 的图像也关于y 轴对称．活动与探究3：解：(1)要使函数有意义，需满足1＋cos x ≠0， ∴cos x ≠－1.∴x ≠2k π＋π，k ∈Z .故所求函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，需满足12－cos x ＞0，∴12－cos x ＞0，cos x ＜12. ∴2k π＋π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z .故所求函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z .迁移与应用：解：(1)要使函数有意义，则有32－cos x ≥0， ∴cos x ≤32.∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 故所求函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .(2)要使函数有意义，则有2cos x －2＞0， ∴cos x ＞22，故所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z.活动与探究4：解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，作出函数y ＝cos x 的图像(图像略)，从图像上可知 当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝2π3时，y min ＝cos 2π3＝－12，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)设t ＝cos x ，由(1)知，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. ∴y ＝－3(1－t 2)－4t ＋4＝3t 2－4t ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－13.根据二次函数的图像，可知当t ＝23，即cos x ＝23时，y min ＝－13.当t ＝－12，即cos x ＝－12时，y max ＝154.迁移与应用：1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 解析：∵cos x ∈[－1,1]，∴e cos x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e .2．解：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －cos x ＋14＋94＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94. ∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时，y max ＝94.活动与探究5：解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4， 而π＞3π5＞π4＞0，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 3π5＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4. (2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )，∴函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )． 由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，∴函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 迁移与应用：解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z .∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．活动与探究6：解：(1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． (2)函数的定义域为R .f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋34x ＝cos 34x . ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝cos 3x 4＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．迁移与应用：1.C 解析：由题意知f (x )＝－4cos 2x 为偶函数，所以该函数的图像关于y 轴对称．2．解：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0.∴f (－x )＝sin(－2x )＋cos(－x )＝－sin 2x ＋cos x . 又f (－x )＝－f (x )，∴x ＜0时，f (x )＝sin 2x －cos x .从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x ＋cos x 0sin 2x －cos x(x >0)，(x ＝0)，(x <0).1．函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π3的值域是( )．A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[－1,0]2．函数y ＝－23cos x ，x ∈[0,2π]，其单调性是( )．A ．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是减函数C ．在[π，2π]上是增函数，在[0，π]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2的奇偶性是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数4．(1)比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18__________cos π10； (2)函数y ＝2cos x ＋1的定义域是__________．5．画出函数y ＝－3cos x ＋2的简图，根据图像讨论函数的性质．答案：1．B 解析：∵函数y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减函数，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π3，cos 0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 2．A 解析：由于当x ∈[0,2π]时，函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y ＝－23cos x 在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．3．A 解析：函数的定义域为R ，且y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2＝sin 12x ，故所给函数是奇函数．4．(1)＞ (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＝cos π18，∵0＜π18＜π10＜π，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos π18＞cos π10，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞cos π10. (2)由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12，∴2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )． 5．解：－1 2 5函数y ＝－3cos x ＋2的主要性质有(见下表)：。
高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1
学习时应注意的问题 1.会说明和判断余弦函数的奇偶性. 2.能说明余弦函数的单调性和单调区 间. 3.掌握余弦型函数 y Acosx 的周期性及求法.
• 课堂练习一 1.求使下列函数取得最小值的自变量x的集 合，并写出最小值是什么． ①y＝－2sinx，x∈R ； ②y＝2-cos2x ， x∈R． 2.求下列函数的周期： ①y＝sin3x，x∈R；②y＝cos（5x+1）， x∈R． 3.已知函数ｆ(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx| 则f(x)的值域是_______
• 余弦型函数 y Acosx A0, 0的 2 定义域R；值域[-A,A]；周期 T . 当 时 y Acos(x ) 为偶函数, 当 2 时y Acos(x )为奇函数； 对称轴由x 求得 x 对称中心横坐标由 x 求得. 2 其单调区间求法与正弦型函数相同。
• 课堂练习二 1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|x|+cosx; (2)f(x)=sinx+cosx; (3)f(x)=cosx|sinx|+sinx|cosx|. 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数, 且x>0时, f(x)=sinx+cosx,则在定义域R 上,f(x)=___________. 3.已知函数y=a-bcos3x的最大值为6,最小值为-2, 求a,b的值. 4.求y=cos2x的单调区间. 5．教材５６页－４，５．
余弦函数的图象与性质
学习目标 1.通过本节学习，应掌握余弦函数图象 的画法. 2.会用“五点法”画出余弦曲线简图. 3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
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余弦函数图像与性质（一）
【学习目标】
（1）了解由正弦函数的图像及诱导公式画出余弦函数的图象的方法； （2）会用“五点法”画余弦函数图象. 【学习重点】余弦函数的图像
【学习难点】诱导公式画出余弦函数的图象的方法.
自主学习：
1．把正弦函数y=sinx 的图象
就得到余弦函数的图象。
2．函数的cos y x =定义域是__________值域是__________. 3.函数2cos 1y x =+的最大值为_________,最小值为________ 4.函数cos ,y x x R =-∈是最小正周期为_____的_____函数 5.函数2cos 3,y x x R =-∈的增区间是_______________
合作探究
法一.余弦函数的图像的画法
图像变换法：由y=sinx 的图像怎么变换可得到y=cosx 的图像？
诱导公式⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=2sin cos πx x 对你有什么启示？
法二、五点法
余弦函数cos y x =，x R ∈的性质:
(1) 定义域：_______________；值域：__________________ (2) 最值：当时，取最大值；当时取最小值 (3) 周期性：最小正周期是________________ (4) 单调性：增区间：______________________________;减区间：_______________________ (5) 奇偶性：___________________
(6) （选讲）对称轴：________________;对称中心:________________________ 例题精讲：
例1.试画出函数 在[0,2]π上的简图
2cos +=x y
例2.画出下列函数的简图，根据图像讨论函数的性质
()1cos 1+=x y (x ∈R) ()2cos 2+-=x y (x ∈R)
课后巩固练习题
1.函数1cos y x =-的图像关于（ ）对称
A. x 轴
B. y 轴
C.原点
D.直线2
x π=
2.下列函数中，周期为2
π的是（ ）
A.sin 2
x y = B.sin 2y x = C.cos 4
x y = D.cos4y
x =
3.函数2cos 3y x =-的值域是（ ）
A.[1,1]-
B.[5,1]--
C.[5,)-+∞
D.(,)-∞+∞ 4.（选做题）函数cos y x x =-的部分图像是（ ）
（ ）
A ⋅
. B . C D . 6.设M 和m 分别表示函数1cos 13
y x =-的最大值和最小值，则M+m 等于（ ）
A ．3
2 B ．23-
C ．4
3
- D ．－2。