第五章二元一次方程组复习与回顾

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北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》章末复习题含答案解析 (33)

一、选择题1. 如图，直角坐标系 xOy 中，A (0,5)，直线 x =−5 与 x 轴交于点 D ，直线 y =38x −398与 x轴及直线 x =−5 分别交于点 C ，E ，点 B ，E 关于 x 轴对称，连接 AB ，下列结论正确的个数是 ( )① C (−13,0)，E (−5,−3)； ②直线 AB 的解析式为：y =513x +5；③面积的和 S =S △CDE +S 四边形ABDO ，则 S =32；④设直线 CE 与 y 轴相交于点 F ，则 S △COF =S △CDE +S 四边形ABDO ．A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个2. 在等腰 △ABC 中，AB =BC ，点 A (0,m )，B (n,12−2n )，C (2m −1,0)，0<m <n <6，O 为坐标原点，若 OB 平分 ∠AOC ，则 m +n 的值 ( ) A ． 5 B ． 7 C ． 5 或 7 D ． 4 或 53. 天虹商场现销售某种品牌运动套装，上衣和裤子一套售价 500 元．若将上衣价格下调 5%，将裤子价格上调 8%，则这样一套运动套装的售价提高 0.2%．设上衣和裤子在调价前单价分别为 x 元和 y 元，则可列方程组为 ( ) A ． {x +y =500,(1+5%)x +(1−8%)y =500×(1+0.2%)B ． {x +y =500,(1−5%)x +(1+8%)y =500×0.2%C ． {x +y =500,(1−5%)x +(1+8%)y =500×(1+0.2%)D ． {x +y =500,5%x +8%y =500×(1+0.2%)4. 已知二元一次方程组 {x −y =−5,x +2y =−2的解为 {x =−4,y =1, 则在同一平面直角坐标系中，两函数 y =x +5 与 y =−12x −1 的图象的交点坐标为 ( ) A ． (−4,1)B ． (1,−4)C ． (4,−1)D ． (−1,4)5. 用加减法解方程组 {2x +3y =3,3x −2y =11 时，有下列四种变形，其中正确的是 ( )A ． {4x +6y =3,9x −6y =6B ． {6x +3y =9,6x −2y =22C ． {4x +6y =6,9x −6y =33D ． {6x +9y =3,6x −4y =116. 已知直线 l:y =kx +b (k >0) 过点 (−√3,0) 且与 x 轴相交夹角为 30∘，P 为直线 l 上的动点，A(√3,0)，B(3√3,0) 为 x 轴上两点，当 PA +PB 时取到最小值时 P 点坐标为 ( ) A ． (√3,2)B ． (1,√3)C ． (√3,3)D ． (2,√3)7. 已知实数 x ，y 满足方程组 {3x −2y =1,x +y =2, 则 x 2−2y 2 的值为 ( )A ． −1B ． 1C ． 3D ． −38. 已知 a ，b 满足方程组 {a +2b =82a +b =7，则 a −b 的值为 ( )A ． −1B ． 0C ． 1D ． 29. 已知 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 为一次函数 y =2x +1 的图象上的两个不同的点，且 x 1x 2≠0 .若 M =y 1−1x 1，N =y 2−1x 2，则 M 与 N 的大小关系是A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．不确定10. 某公司有生手工和熟手工两个工种的工人，已知一个生手工每天制造的零件比一个熟手工少 30个，一个生手工与两个熟手工每天共可制造 180 个零件，求一个生手工与一个熟手工每天各能制造多少个零件？设一个生手工每天能制作 x 个零件，一个熟手工每天能制造 y 个零件，根据题意可列方程组为 ( ) A ． {y −x =30,x +2y =180B ． {x −y =30,x +2y =180C ． {y −x =30,2x +y =180D ． {x −y =30,2x +y =180二、填空题11. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y 1=x (x <m ) 的图象与函数 y 2=x 2(x ≥m ) 的图象组成图形 G ．对于任意实数 n ，过点 P (0,n ) 且与 x 轴平行的直线总与图形 G 有公共点．写出一个满足条件的实数 m 的值为（写出一个即可）．12. 一次函数 y =kx +b 的图象经过点 (1,2)，(−2,6)，则 k = ．13. “驴友”小明分三次从 M 地出发沿着不同的线路（A 线，B 线，C 线）去 N 地．在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走 4 小时的路程与攀登 6 小时的路程相等．B 线、 C 线路程相等，都比 A 线路程多 32%，A 线总时间等于 C 线总时间的 12，他用了 3 小时穿越丛林、 2 小时涉水行走和 2 小时攀登走完 A 线，在 B 线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比 A 线上升了 20%，50%，50%，若他用了 x 小时穿越丛林、 y 小时涉水行走和 z 小时攀登走完 C 线，且 x ，y ，z 都为正整数，则 yx+z = ．14. 已知方程组 {5x +y =3,ax +5y =4 和 {x −2y =5,5x +by =1 有相同的解，则 12a 2−2ab +2b 2 的值为．15. 研究二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2的解与两直线 l 1:a 1x +b 1y =c 1 与 l 2:a 2x +b 2y =c 2（其中 6 个常数均不为零）位置关系的联系．（每小题前一个空选填“有一组”“无”或“有无数组”；后一个空选填“相交”“平行”或“重合”）（1）当 a 1a 2≠b1b 2时，从“数”看，方程组解；从“形”看，l 1 与 l 2 ．（2）当 a 1a 2=b 1b 2≠c1c 2 时，从“数”看，方程组解；从“形”看，l 1 与 l 2 ．（3）当 a 1a 2=b 1b 2=c1c 2时，从“数”看，方程组解；从“形”看，l 1 与 l 2 ．16. 若 {x =2−t,y =4−t 2, 则 y 与 x 满足的关系式为．17. 已知 {2x +y =7,x +2y =8, 则 x−yx+y = ．三、解答题18. 解下列方程（组）：(1) {2a +b =4,3a −2b =13;(2) 21−x +1=x1+x ．19. 解二元一次方程组：{2x −3y =1,x +2y =4.20. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 1 与 x 轴、 y 轴交点分别为点 A 和点 B (0,6)，与直线l 2:y =x 交于点 C(3√3−3,y 0)，点 D 是线段 OB 的中点，点 P ，Q ，M 分别是直线 l 1，x 轴、 y 轴上的动点．(1) 求直线 l 1 的解析式以及线段 OC 的长度．(2) 求当 △DPQ 周长最小时，使得 ∣PM −QM∣∣ 的值最大的点 M 的坐标． (3) 如图 2，将 △BCO 沿直线 BC 翻折，得到点 O 的对应点 Oʹ，再将 △BCOʹ 绕点 Oʹ 旋转，旋转过程中直线 BOʹ 分别与直线 l 1，和直线 l 2，交于点 E 和点 F ，直线 COʹ 分别与直线 l 1 和直线 l 2，交于点 G 和点 H ，是否存在点 Oʹ 与 E ，F ，G ，H 四点中不同时在直线 l 1 或直线 l 2 上的两点组成的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由．21. 在平面直角坐标系 xOy 中，如果点 P (x,y ) 坐标中 x ，y 的值是关于二元一次方程组{a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2的解，那么称点 P (x,y ) 为该方程组的解坐标．如 (−1,−2) 是二元一次方程组 {x −y =1,x +y =−3的解坐标，求： (1) 二元一次方程组 {2x +3y =5,x +3y =1的解坐标为．(2) 已知方程组 {x +y =1,x −y =3 与方程组 {ax +by =1,ax −by =2的解坐标相同，求 a ，b 的值．(3) 当 m ，n 满足什么条件时，关于 x ，y 的二元一次方程组 {2x +y =n −3,mx −2y =2.①不存在解坐标． ②存在无数多个解坐标．22. 学校准备添置一批计算机．方案 1：到商家直接购买，每台需要 7000 元；方案 2：学校买零部件组装，每台需要 6000 元，另外需要支付安装工工资等其它费用合计 3000 元．设学校需要计算机 x 台，方案 1 与方案 2 的费用分别为 y 1，y 2 元． (1) 分别写出 y 1，y 2 的函数关系式．(2) 当学校添置多少台计算机时，两种方案的费用相同？ (3) 采用哪一种方案较省钱？说说你的理由．23. 为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额 y （元）与骑行时间 x （小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：(1) 求：当 x ≥0.5 时，手机支付金额 y （元）与骑行时间 x （小时）的函数表达式； (2) 李老师经常骑共享单车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．24. 为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度 36 千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成甲工程队每天修建 0.06 千米，乙工程队每天修建 0.08 千米，两工程队共需修建 500 天．根据题意，小明和小华两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：小明：{x +y =⋯,0.06x +0.08y =⋯小华：{x +y =⋯,x 0.06+y 0.08=⋯(1) 根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数 x 表示的意义．小明：x 表示；小华：x 表示．(2) 求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？25. 某水果店 11 月份购进甲、乙两种水果共花费 1800 元，其中甲种水果 10 元/千克，乙种水果16 元/千克．12 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果 13 元/千克，乙种水果 18 元/千克．(1) 若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同，将多支付货款400元，求该店11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？(2) 若12月份将这两种水果进货总量减少到130千克，设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，求w与a的函数关系式；(3) 在（2）的条件下，若甲种水果不超过80千克，则12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵在直线y=−38x−398中，令y=0，则有0=−38x−398，∴x=−13，∴C(−13,0)，令x=−5，则有y=−38×(−5)−398=−3，∴E(−5,−3)，故①正确；∵点B，E关于x轴对称，∴B(−5,3)，∵A(0,5)，∴设直线AB的解析式为y=kx+5，∴−5k+5=3，∴k=25，∴直线AB的解析式为y=25x+5，故②错误；由①知，E(−5,−3)，∴DE=3，∵C(−13,0)，∴CD=−5−(−13)=8，∴S△CDE=12CD×DE=12，由题意知，OA=5，OD=5，BD=3，∴S四边形ABDO =12(BD+OA)×OD=20，∴S=S△CDE+S四边形ABDO=12+20=32，故③正确；④由③知：S△CDE+S四边形ABDO=32，在y=38x−398中，令x=0，y=−398，∴F(0,−398)，∴S △COF =12⋅OF ⋅OC =12×398×12=50716=31.6875．∴ ④错误．综上所述，正确的结论有 2 个．【知识点】坐标平面内图形的面积、一次函数的解析式2. 【答案】C【解析】如图，连接 BA ，BC ， ∵OB 平分 ∠AOC ， ∴ 点 B 在直线 y =x 上， ∴n =12−2n ， ∴n =4， ∴B (4,4)，∵AB =BC ，OB =OB ，当 △AOB ≌△COB 时，OA =OC ，则有 m =2m −1，解得 m =1， ∴m +n =5，当 △AOB 与 △COB 不全等时，作 BH ⊥y 轴于 H ，则有 4−(m −4)=2m −1，解得 m =3， ∴m +n =7．【知识点】几何问题、一次函数的解析式3. 【答案】C【解析】依题意可列方程为 {x +y =500,(1−5%)x +(1+8%)y =500×(1+0.2%).【知识点】经济问题4. 【答案】A【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，故交点坐标为 (−4,1)，故选A ．【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系5. 【答案】C【解析】 {2x +3y =3, ⋯⋯①3x −2y =11. ⋯⋯②① ×2，得 4x +6y =6，故A 错误；① ×3，得 6x +9y =9，故B ，D 错误； ② ×3，得 9x −6y =33，故C 正确．【知识点】加减消元6. 【答案】A【解析】如图．∵ 直线 l:y =kx +b (k >0) 过点 (−√3,0) 且与 x 轴相交夹角为 30∘， ∴OM =√3， ∴ON =√33OM =1，MN =√32=2，∴ 直线 l 为 y =√33x +1，∵OM =OA =√3， ∴AN =MN =2，过 A 点作直线 l 的垂线，交 y 轴于 Aʹ，则 ∠OAAʹ=60∘， ∴OAʹ=√3OA =3， ∴AʹN =2， ∴AʹN =AN ， ∵AʹA ⊥ 直线 l ， ∴ 直线 l 平分 AAʹ，∴Aʹ 是点 A 关于直线 l 的对称点，连接 AʹB ，交直线 l 于 P ，此时 PA +PB =AʹB ，PA +PB 时取到最小值， ∵OAʹ=3， ∴Aʹ(0,3)，设直线 AʹB 的解析式为 y =mx +n ，把 Aʹ(0,3)，B(3√3,0) 代入得 {n =3,3√3m +n =0, 解得 {m =−√33,n =3,∴ 直线 AʹB 的解析式为 y =−√33x +3由 {y =√33x +1,y =−√33x +3解得 {x =√3,y =2,∴P 点的坐标为 (√3,2)．【知识点】轴对称之最短路径、一次函数与二元一次方程（组）的关系、一次函数的解析式7. 【答案】A【知识点】加减消元8. 【答案】A【知识点】加减消元9. 【答案】C【解析】因为 y 1=2x 1+1，y 2=2x 2+1，分别代入 M =y 1−1x 1，N =y 2−1x 2，得M =2x 1+1−1x 1=2，N =2x 2+1−1x 2=2．所以 M =N ．【知识点】一次函数的解析式10. 【答案】A【解析】设一个生手工每天能制作 x 个零件，一个熟手工每天能制造 y 个零件，根据题意得：{y −x =30,x +2y =180,故选：A ．【知识点】工程问题二、填空题11. 【答案】答案不唯一，如：1(0≤m ≤1)【知识点】二次函数与方程12. 【答案】 −43【知识点】一次函数的解析式13. 【答案】 16【解析】 ∵ 他涉水行走 4 小时的路程与攀登 6 小时的路程相等，∴ 可以假设涉水行走的速度为 3n km/h 与攀登的速度为 2n km/h ，穿越丛林的速度为 m km/h ．由题意：{(3m +6n +4n )×1.32=3.6m +9n +6n,3.6m +9n +6n =mx +3ny +2nz,可得 m =5n ，5x +3y +2z =33, ⋯⋯① ∵x +y +z =14, ⋯⋯②由①②消去 z 得到：3x +y =5， ∵x ，y 是正整数， ∴x =1，y =2，z =11，∴y x+z =212=16．【知识点】二元一次方程（组）的应用14. 【答案】 50【解析】由题意得方程组 {5x +y =3, ⋯⋯①x −2y =5, ⋯⋯② ① ×2+ ②得 11x =11，∴x =1，把 x =1 代入①得 y =−2，∴{5x +y =3,x −2y =5的解为 {x =1,y =−2, 把 {x =1,y =−2 代入 {ax +5y =4,5x +by =1 得 {a −10=4,5−2b =1,解得 {a =14,b =2. ∴12a 2−2ab +2b 2=12(a −2b )2=12×(14−4)2=50．【知识点】加减消元15. 【答案】有一组；相交；无；平行；有无数组；重合【解析】（1）当 a 1a 2≠b 1b 2 时，两直线 l 1:a 1x +b 1y =c 1 与 l 2:a 2x +b 2y =c 2 相交，∴ 方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2有唯一解．故答案为有一组，相交．（2）当 a 1a 2=b 1b 2≠c1c 2 时，两直线 l 1:a 1x +b 1y =c 1 与 l 2:a 2x +b 2y =c 2 平行， ∴ 方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2无解．故答案为无，平行．（3）当 a 1a 2=b 1b 2=c1c 2 时，两直线 l 1:a 1x +b 1y =c 1 与 l 2:a 2x +b 2y =c 2 重合， ∴ 方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2有无数组解．故答案为无数组，重合．【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系16. 【答案】 y =−x 2+4x【解析】由 x =2−t ，可得：t =2−x ，把 t =2−x 代入 y =4−t 2，可得：y =−x 2+4x ，故答案为：y =−x 2+4x ．【知识点】含参二元一次方程组17. 【答案】 −15 【知识点】加减消元三、解答题18. 【答案】(1) {2a +b =4, ⋯⋯①3a −2b =13. ⋯⋯②① ×2+ ②得：7a =21.解得：a =3.把 a =3 代入①得：b =−2.则方程组的解为{a =3,b =−2.(2) 去分母得：2+2x +1−x 2=x −x 2.解得：x =−3.经检验 x =−3 是分式方程的解．【知识点】去分母解分式方程、加减消元19. 【答案】由方程②得x =4−2y,代入到方程①中得：2(4−2y )−3y =1,解得y =1,x =2,所以方程组的解为{x =2,y =1.【知识点】代入消元20. 【答案】(1) 将 C(3√3−3,y 0) 代入 y =x ，得 C 点坐标为 (3√3−3,3√3−3)．依题意可设 l 1:y =kx +6．将 C(3√3−3,3√3−3) 代入 y =kx +6，得 3√3−3=(3√3−3)k +6，解得 k =−√3，∴l 1:y =−√3x +6．OC =√(3√3−3)2+(3√3−3)2=3√6−3√2，∴ 直线 l 1 的解析式为 y =−√3x +6，线段 OC 的长度为 3√6−3√2．(2) 如图 1：作点 D 关于 l 1 的对称点 Dʹ，关于 x 轴的对称点 Dʺ，连接 DʹDʺ，DʹDʺ 交 l 1 于点 P ，交 x 轴于点 Q ，此时 △DPQ 的周长最小，直线 PQ 与 y 轴交于 M 点此时 ∣PM −QM∣∣ 的值最大，此时 M 与 Dʺ 重合， ∴M (0,−3)．(3) 当点 E (3√32,32) 或 E (3√3−32,3+3√32) 符合条件．【解析】(3) ① △OʹGF 是等腰直角三角形时，GO =GOʹ，∠FGOʹ=90∘，此时 F 与 O 重合（如备用图②），可求 Oʹ(3√3,3)，∵OB =OʹB =OOʹ=6，∴E 是 OOʹ 的中点，∴E (3√32,32)． ② △OʹEH 是等腰直角三角形时，EH =EOʹ，∠HEOʹ=90∘，此时 H 与 O 重合（如备用图③），∵OOʹ=6，∴OE =3√2，设 E(m,−√3m +6)，∴m =3√3−32， ∴E (3√3−32,3+3√32)， ∴ 当点 E (3√32,32) 或 E (3√3−32,3+3√32) 符合条件．【知识点】一次函数的解析式、两点间距离公式、找动点，使距离之和最小、一次函数与三角形的综合21. 【答案】(1) (4,−1)(2) {x +y =1, ⋯⋯④x −y =3. ⋯⋯⑤将④ + ⑤得，2x =4，x =2，将④ − ⑤得，2y =−2，y =−1，将 x =2，y =−1 代入 {ax +by =1,ax −by =2得， {2a −b =1, ⋯⋯⑥2a +b =2. ⋯⋯⑦将⑥ + ⑦得，4a =3，a =34，将⑦ − ⑥得，2b =1，b =12，∴{a =34,b =12.(3) ① {2x +y =n −3,mx −2y =2,若要不存在解坐标，即无解，需要 {m =k ⋅2,−2=k ⋅1,2≠k (n −3),即 {m =−4,n ≠2. ②若要有无数解坐标，即有无数解，需要 {m =k ⋅2,−2=k ⋅1,2=k (n −3),即 {m =−4,n =2. 【解析】(1) {2x +3y =5, ⋯⋯①x +3y =1. ⋯⋯② 将① − ②得 x =4, ⋯⋯③将③代入②得，4+3y =1，y =−1，∴ 方程组解为 {x =4,y =−1,∴ 解坐标为 (4,−1)．【知识点】含参二元一次方程组、加减消元22. 【答案】(1) y 1=7000x ，y 2=6000x +3000．(2) 当 y 1=y 2 时 7000x =6000x +3000，解得：x =3，则当学校添置 3 台计算机时，两种方案的费用相同．(3) 7000x >6000x +3000，解得：x <3，则当 x <3 时，选择到商家直接购买省钱； 7000x <6000x +3000，解得：x >3，则当 x >3 时，选择买零部件组装省钱．【知识点】一次函数的应用23. 【答案】(1) 当 x ≥0.5 时，设手机支付金额 y （元）与骑行时间 x （时）的函数关系式是 y =kx +b ，则 {0.5k +b =0,1×k +b =0.5, 解得 {k =1,b =−0.5,即当 x ≥0.5 时，手机支付金额 y （元）与骑行时间 x （时）的函数关系式是 y =x −0.5．(2) 设会员卡支付对应的函数解析式为 y =ax ，则 0.75=a ×1，得 a =0.75，即会员卡支付对应的函数解析式为 y =0.75x (x ≥0)，令 0.75x =x −0.5，得 x =2，由图象可知，当 x >2 时，会员卡支付便宜．答：当 0<x <2 时，李老师选择手机支付比较合算；当 x =2 时，李老师选择两种支付一样；当 x >2 时，李老师选择会员卡支付比较合算．【知识点】一次函数的应用24. 【答案】(1) 甲工程队修建的天数；甲工程队修建的长度(2) 设甲工程队修建 x 千米，乙工程队修建 y 千米，由题意得：{x +y =36,x 0.06+y 0.08=500.解得{x =12,y =24.答：甲工程队修建 12 千米，乙工程队修建 24 千米．【解析】(1) 小明：x 表示甲工程队修建的天数；小华：x 表示甲工程队修建的长度．故答案为：甲工程队修建的天数；甲工程队修建的长度．【知识点】工程问题25. 【答案】(1) 设该店 11 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种水果 y 千克，根据题意得：{10x +16y =1800,13x +18y =1800+400,解得 {x =100,y =50.答：该店 11 月份购进甲种水果 100 千克，购进乙种水果 50 千克．(2) 设购进甲种水果 a 千克，需要支付的货款为 w 元，则购进乙种水果 (130−a ) 千克，根据题意得：w =10a +20(130−a )=−10a +2600．(3) 根据题意得，a ≤80，由（2）得，w =−10a +2600，因为 −10<0，w 随 a 的增大而减小，所以 a =80 时，w 有最小值 w 最小=−10×80+2600=1600（元）．答：12 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是 1600 元．【知识点】其他实际问题、经济问题。

二元一次方程组解法复习

解：设甲、乙每人每天可各制作X,Y件。
x +y=12
3.A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6 小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
解：设甲的速度为X 千米/小时, 乙的速度为X 千米/小时
4X+4Y=36 36-6X=2(36-6Y)
x y 90 C、 30x 24 y
y 90 x D、 2(15 x) 24y
例1. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工后上市销售,该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或者粗加工 16 吨 ,现计划用 15天完成加工任务 ,该公司应安排几天粗加工,几天精加工,才能按期完成任务?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元,精加工后2000元,那么照此安排,该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元? 解：设粗加工x天，精加工y天.
则：
3a-1=b 解得： 3-b=a
a=1
b=2
用适当的方法解下列方程组（ 1）
2x+1=5（y+2）
5（3x+2）-2（y+7x）=16
（ 2）
x y 4 4 2 3x-2y=16
(3)已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数求：m+n的值解：根据题意：得 3m+2n-16=0 3m-n-1=0 m=2 解得： n=5 即：m+n=7
待定系数法果品批发市场,苹果每千克k元,每位来采购的批发商需要另交市场管理费b元.若某批发商买苹果x千克,怎样计算买苹果的总价？ y=kx+b 已知x=80,y=200,能否确定k？需确定k,还需要知道什么? 若把x=80,y=200代入y=kx+b,得200=80k+b 有多少个未知数？知道b,则可知k,若题目中不准给出b的值,则需多给一对x、y的值. 要知道什么可求出k? 要求两个未知数,就要知两个相等关系.

“二元一次方程组”复习指导

“二元一次方程组”复习指导一、复习目标1．能说出什么是二元一次方程（组）及它的解，会检验某对数值是不是某个二元一次方程（组）的解；2．会灵活运用代入法和加减法解二元一次方程组；3．会根据给出的实际问题，列出二元一次方程组，从而求得问题的解，并能检验所列方程组的解是否正确、合理.二、重点难点重点：二元一次方程组的解法和列二元一次方程组解决实际问题.难点：列二元一次方程组解决实际问题.四、知识要点1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项．的最高次数为1的整式方程叫做二元一次方程.2．二元一次方程的一个解：适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.3．二元一次方程的正整数解：适合二元一次方程的每对未知数的值都是正整数，一般是有限个.4．二元一次方程的一般式：c by ax =+ (a 、b 不为0)5．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组.6．二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.7．二元一次方程组的解法：①代入消元法（简称代入法）；②加减消元法（简称加减法）8．列方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，找出题目中的相等关系；（2）设求知数；（3）根据题目中的相等关系列方程，并组成方程组；（4）解方程组；并检验解的正确性；（5）检验作答.9．列方程组解应用题要领：（1）善于将生活语言代数化；（2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；（3）善于寻找数量间的等量关系.10．掌握化归思想在本章内容中，蕴涵着一个重要的数学思想——化归思想.化归思想的突出运用有：①化二元为一元；②化复杂为简单；③化实际问题为数学问题.把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解决实际问题的基本途径.五、考点透视解二元一次方程组和用二元一次方程组解决实际问题是中考中的重要考点，题型多以选择、填空、计算和应用题出现，且近几年常与函数（将在八年级学习）等题结合起来，综合性强，能解决实际问题，符合社会发展的需要，需引起同学们的注意.例1 解方程组⎩⎨⎧=-=+.52,4y x y x 分析：此题可以用两种方法求解，若用代入法，则可将①变形，得到x y -=4③，把③代入②，消去y ；若用加减法，则可直接用①＋②，消去y .解法一：由①得x y -=4，③将把③代入②，得5)4(2=--x x ，解得3=x .把3=x 代入③，得1=y .∴原方程组的解是⎩⎨⎧==13y x . 解法二：①＋②，得93=x ，解得3=x .把3=x 代入②，得1=y .∴原方程组的解是⎩⎨⎧==13y x . 例2 今年第8号台风“莫拉克”给台湾同胞造成巨大的经济损失.某学校积极组织捐款支援灾区，七年级（1）班55名同学共捐款500元，捐款情况如下表.表中捐款8元和10元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由.① ②分析：本题中存在着两个等量关系：（1）学生人数共55人；（2）捐款钱数共500元.根据这两个等量关系，不难列出方程组求解.解：设捐款8元的有x 人，捐款10元的有y 人，根据题意，得⎩⎨⎧⨯-⨯-=+--=+.71265500108,7655y x y x 解得⎩⎨⎧==.25,17y x 答：捐款8元的同学有17人，捐款10元的同学有25人.点评：这既是一道残缺型试题，又是一道说理型试题.本题以向灾区捐款为背景，巧设墨水污染为悬念，使问题富有探索性.。

二元一次方程组复习概念~zhu

考点三：考点三：解的定义
x = −2, 1、已知 y = 3 是方程是方程3x-3y=m和5x+y=n的公共、和的公共解，则m2-3n= 246.
关于解法
1、解二元一次方程组你有几种方法？、解二元一次方程组你有几种方法？两种：两种：代入法和加减法 2、代入法和加减法解方程组，“代入”与“加、代入法和加减法解方程组，代入” 的目的是什么？减”的目的是什么？消元：消元：把二元一次方程转化为一元一次方程 3、解二元一次方程组的步骤是什么？、解二元一次方程组的步骤是什么？
关于应用
在列二元一次方程组解实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？程中，你认为最关键的是什么？
找出等量关系，找出等量关系，列出方程组
知识方法结“网络”
实际问题
数方程组
数学问题 (二元一次方程组二元一次方程组) 二元一次方程组
解方程组元
实际问题
数学问题 (二元一次方程二元一次方程
1.解二元一次方程组的基本思路是 2.用加减法解方程组{ 2x-5y=7①
消元 .
相减直接消去 x .
由①与② 2x+3y=2②
3.用加减法解方程组{ 由 6x-5y=12② ①与②相加，可直接消去
4x+5y=28①
y .
4.用加减法解方程组用加减法解方程组具体解法如下
(1) ①－②得x=1
D）
B、只有两个、 D、有无数个、
6、下列属于二元一次方程组的是（、 A. B.
A
）
3 5 + =1 x y x− y = 0
x + y = 5 C. 2 2 x + y = 1

第五章《二元一次方程组》单元小结与复习(共38张PPT)

★本章知识梳理 ★核心考点聚焦
★单元过关自测
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同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁它。顽强的毅力改变可以征服世界上任何一座高峰镜可以望见远的目标，却不能代替你走半步。伟大来自为远大的目标所花费的巨大心思和付诸的最大我不能说只要坚持就能怎样，但是只要放弃就什么了。有压力，但不会被压垮；迷茫，但永不绝望。希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。你花时么事，你就会成为什么样的人！人生没有彩排，每是现场直播。人生最大的成就是从失败中站起来要事，成功之前，没有必要告诉其他人。成功之后不其他人都会知道的。这就是信息时代所带来的效应最宝贵的，莫如时日；天下最能奢侈的，莫如浪费你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止困境，悲观的人因为往往只看到事情消极一面。人说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证时候某一方面的不足或做得不够。如果把才华比作

八年级数学下册第五章二元一次方程组(同步+复习)精品讲义课件

【例1】
1. 解决上面提出的鸡兔同笼问题。 2. 古代问题：以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？
【典例2】
【典例3】
【典例4】
第二单元：求解二元一次方程组
一．代入消元
代入法的基本思路：通过“代入”达到“消元” 代入提前整理二元一元 2. 代入法的一般步骤（举例说明）： 1.
① 一选：选一个未知数系数相对简单的方程（整理） ② 二变：把选中的方程变为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。如 y=f(x)的形式 ③ 三代：把变化后的方程代入另一个方程，消去一个未知数。化为一元一次方程。 ④ 四解：解一元一次方程得到一个未知数的值。 ⑤ 五求：把得到的未知数的值代入其中一个简单的二元方程，求出另一个未知数的值。 ⑥ 六写：用大括号的形式写出方程组的解。
第四单元：二元一次方程组的实际应用
列方程解应用题
• 思路：试设元-回头看-找关系-列方程。 • 步骤：审-设-列-解-验-答。 • 记住：未知数也是数，别把未知数不当数。
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
鸡兔同笼
一．和、差、倍、分问题
1.
2.
复习小学解决这类问题的思路：砍腿法和安脚法。仔细审题：抓住“大、小、多、少、和、差、倍、分等关键词找准等量关系。
（加减）思路：二元一元依据：等量加（减）等量，和（差）相等。一般步骤：
① 一选：选择两方程中系数简单的一个未知数。 ② 二变：利用等式性质二，把选中的未知数的系数变为相等或相反的数（两边同乘一个数变公倍数） ③ 三加减：变化后符合条件的方程相加（减）消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 ④ 四解：解一元一次方程得到一个未知数的值。 ⑤ 五求：把得到的未知数的值代入一个较简单的二元方程求出另一个未知数的值。 ⑥ 六写：用大括号的形式写出方程组的解。

二元一次方程组知识点复习相关练习及答案

二元一次方程组知识点1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程（cba、、为常数，并且00≠≠ba，)。

使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有且只有一个解。

3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有,则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值,将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值.4、用加减法解二元一次方程组的一般步骤:(1）方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

5、解三元一次方程组的一般步骤:①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数;②利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数,得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值;④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。

6、二元一次方程组应用题列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；找:找出能够表示题意两个相等关系;列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组；解：解这个方程组,求出两个未知数的值;答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案§8.1二元一次方程组一、填空题1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1,2，3时，y=____2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y= ,用y 表示x,则x=3、已知方程(k 2-1）x 2+(k+1）x+(k —7）y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程。

北师大版八年级上册数学第五章复习精选教案

第五章二元一次方程组一、本章知识点梳理：知识点1：二元一次方程（组）的定义知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3：二元一次方程组的解法知识点4：一次函数与二元一次方程（组）知识点5：实际问题与二元一次方程组二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1.(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。

即若ax m+by n=c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by|a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22=-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（） A ．3x-y 2=0 B ．2x +1y =1 C ．3x -52y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程。

例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A 、228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、已知下列方程组：（1）32x y y =⎧⎨=-⎩，（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩，其中属于二元一次方程组的个数为（）A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 2、若753313=+--m n m y x是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。

第五章二元一次方程组复习

（1） ①- ②得x=1 （3）∴
LOGO
3x-5y=6①
具体解 2x-5y=7② 法如下
(2)把x=1代入①得y=-1.
x=1 其中出现错误的一步是（ y=-1
A
）
A（1）
B（2） C（3）
LOGO
5、方程2x+3y=8的解（ A、只有一个 C、只有三个
x y 1 3 5 x y 0
D）
B、只有两个 D、有无数个
6、下列属于二元一次方程组的是（ A、 B
A
）
3 5 1 x y x y 0
C、
x+y=5
x2+y2=1
D
1 y x2 2 xy 1
课堂反馈练习:
LOGO
1．如果函数 y x 2 与 y -2 x 4 的图象的交点坐标是（2，0），那么二元一次方程组
LOGO
解：设甲、乙两地间的距离为 S千米，规定、时间为t小时,根据题意得方程组
2 s t 50 5 s t2 5 75
LOGO
例2.甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每隔2 分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每分钟各跑多少圈?
题型二：
1、已知5x+y=12，（1）用含x的式子来表示y：用含y的式子表示x: （2）当x=1时，y= ；（3）写出该方程的两组正整数解
LOGO
；。
。
LOGO
考点四：
1.若，则x= ,y= .
2.若点P(x-y,3x+y)与点Q(-1,-5)关于X轴对称,则x+y=______.

北师大版八年级数学上册第5章二元一次方程组章末复习课件

，
2
由于x、y为非负整数，所以x必为偶数.
当x=0时，y=6；当x=2时，y=3；当x=4时，y=0.
x 4
x 0
x 2
所以原方程的的非负整数解为

y

6
；
y

3
；
y 0.

2x y=3
5.用代入法解方程组
3x+4y=10
解：由①得y=2x-3
①
②
③，
楼房的总房价相同，第3层楼和第5层楼每平方米的价格分别是平均价格的1.1倍
和0.9倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x平方米，B套楼
房的面积为y平方米，根据以上信息得出了下列方程组，其中正确的是（ D ）
0.9 x 1.1y
A．
y x 24
1.1x 0.9 y
保持上坡每小时行3 km，下坡每小时行5 km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行
78分钟才能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？
解：设小华到姥姥家上坡路有x km，下坡路有y km，那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路y

km，下坡路x km．根据题意得：
C.
n 3.
m 1,

B.
1
n

2
D.
m 3,

n 2.
x 2,
nx m y 4,
3．如果
是方程组
的解，则m，n的值是( B )．
nx

m
y

8
y

第五章二元一次方程组(整理与复习)

拓展提升
归纳整理
。
知识梳理
6、二元一次方程组的基本解法：
，
。
7、二元一次方程（组）与函数的关系：
二元一次方程的解与对应图象上的点的坐标
。
两条直线的
就是二元一次方程组的解。
8、待定系数法（步骤）：
① ,② ,③ ,④ .
9、列方程组解应用题的步骤：
① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥ ,⑦ .
知识梳理
10、三元一次方程：
含有
，并且未知数项的次数都是的方程。
11、三元一次方程组：
共含有
未知数的个一次方程所组成的一组方程。
12、三元一次方程组的解：
三元一次方程组中各个方程的
。
13、三元一次方程组的解法：
，
。
基础过关
基础ห้องสมุดไป่ตู้关
基础过关
y=x+1 y=2x-1
y=x y=-2x+5
巩固提升
拓展提升
能力提升
拓展提升
北师大版八年级上册数学
第五章二元一次方程组
知识梳理
1、二元一次方程：
含有
，并且未知数项的次数都是的方程。
2、二元一次方程的解：
适合一个二元一次方程的
的值。
3、二元一次方程组：
共含有
未知数的个一次方程所组成的一组方程。
4、二元一次方程组的解：
二元一次方程组中各个方程的
。
5、解二元一次方程组的基本思路是

《二元一次方程组》全章复习与巩固知识讲解

《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法;3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.【知识网络】二元或三元一袂亩程畠甬应用【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1.二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.要点诠释：（1 ）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，x=a即二元一次方程的解通常表示为丿的形式.y= b3.二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 •此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数•例如，二元一次方程组3x 4y =5 i x=2 *要点诠释：ax=G（1 ）它的一般形式为（其中a 1，a 2，b 1，b 2不同时为零）.a 2x +b 2y =c 2（2 ）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组. （3）符号“ f ”表示同时满足，相当于“且”的意思. 4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解• （2 ）方程组的解要用大括号联立；2x 十 y = 5（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组」 y 无 2x + y = 6x + y = _1解，而方程组丿y的解有无数个•2x +2y = -2要点二、二元一次方程组的解法 1. 解二元一次方程组的思想2. 解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ① 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，y (或x ),即变成y=ax+b (或x = ay+b )的形式;② 将y =ax b （或x 二ay b ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去 y （或x ），得到一个关于 x （或y ）的一元一次方程；③ 解这个一元一次方程，求出 x （或y ）的值；④ 把x （或y ）的值代入y = ax • b （或x = ay b ）中，求y （或x ）的值; ⑤ 用“ 1 ”联立两个未知数的值，就是方程组的解 •要点诠释：二元一次方程组消元转化> 一元一次方程用含有x （或y ）的代数式表示（1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；（2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；（3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法•如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法•整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率•（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“1”联立在一起即可• 要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3 ）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组要点四、三元一次方程组1定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组•4x y -z =12, 2a 7b =3,I I3x • 2y • z =「5, 3a -c = 1,等都是三元一次方程组•x - y 5z = 1, -b 3c = 4要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点:(1) 方程组中的每一个方程都是一次方程； (2)如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组 • 2•三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数•解三元一次方程组的一般步骤是： (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2 )解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4) 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5 )将求得的三个未知数的值用“ {”合写在一起. 要点诠释： (1)有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法.(2) 要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解. 3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤： (1 )弄清题意和题目中的数量关系，用字母 (如x , y , z)表示题目中的两个(或三个)未知数；(2 )找出能够表达应用题全部含义的相等关系；(3 )根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； (4) 解这个方程组，求出未知数的值； (5) 写出答案(包括单位名称)• 要点诠释： (1)解实际应用题必须写 “答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去.(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一. (3) —般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组.【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案【答案】C.【解析】选项A 、B 、D 中，将方程x，两边同乘以3得3x 3^3，从而可以判断A.x y 二13x 3y = 0B. %心3x 3y 一2C.7D.3x -3y = 4x y 二 1 3x 3y = 3【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念A、B选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D中两个方程实际是一个二元一次方【总结升华】在严+咕勺（其中a i , a 2, bi, b 2均不为零），a 2xb 2y =c 2（3 ）当鱼=竺，方程组有唯一解. a 2 b 2举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习 409413例1 （ 3）】【变式1】若关于x 、y 的方程 m ，1 x • y m=2是二元一次方程，则 m = _______________________ .【答案】1.x - y = 5【变式2】已知方程组『有无数多个解，则a 、b 的值等于、ax+3y = b_1【答案】a =- 3， b =- 14. 类型二、二元一次方程组的解法「2；（x -y ） y = 5 ①2.（黄冈调考）解方程组33（x_y ）_¥y = —3 ② 2 2【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元.仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有（x-y ），因此可以把（x-y ）看作一个整体，消去（x-y ）可得到一个关于y 的一元一次方程. 【答案与解析】解：由①X 9 得：6（x-y ）+9y = 45③ ②X 4 得：6（x-y ）- 10y = -12④③ -④得：19y = 57，解得y = 3.把y = 3代入①，得x = 6.■C x = 6所以原方程组的解是【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果. 举一反三：3i a 2 C i(1 )当- 2-时，方程组无解;a b Ca i a ? c i2）当- 2-，方程组有无数组解;a Ip C【答案】则原方程组可化为m^1，解得吩3m - n = 5E = -2所以[x = -1 y =19a▼ 3.方程x —2y-3十| x + y+1 =1的整数解的个数是 ____________________ . 【思路点拨】把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是 1与0,于是一个方程裂变为多个方程组，通过解方程组来求解的个数. 【答案】2组【解析】x-2y-3 =0 或 x-2y-3xy1=1 xy1=0即 x-2y-3 = 0 或 ^2^^-1x y 1 二 1 x y 1 = 0【总结升华】根据已知条件构造出方程组，再选择恰当方法求得方程组的解，然后再所求得出答案. 举一反三：【变式】（换元思想）解方程组x y x - y—+—二6 10 x y x - y.6 _ 10=1 =5解:设亍加,10解：由条件得即x-2y-^0x y 1 =1或「2厂3"x y 1 - -1或乂一乌一'1或 x-2y -3—1xy1=0xy1=0解得,x =1 y-1或或；:1二3炼出题目中隐含的相等关系举一反三：【变式】如图，长方形 ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图）中阴影部分的面积• AD【答案】解：设每个小长方形的长为 x ，宽为y ，根据题意得:【变式】已知二元一次方程组4的解为1x y =17y = b ，贝U a-b =11.实际问题与二元一次方程组4. 用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面, 求每块地砖的长与宽.地砖的拼放方式及相关数据如图所示,【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系, 但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为宽为y ，就可以列出一个关于x 、y 的二【答案与解析】解：设每块地砖的长为 xcm 与宽为ycm,根据题意得:x*60，解得：x=452x = x 3yy =15答：每块地砖长为 45cm,宽为15cm【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的,这就需要我们仔细阅读题目, 设法提，求图【答案】X 4厂22，解得X=10(x 2y) -3y =7 y =3所以阴影部分的面积为：22(7 • 3y) _9xy =22(7 • 9) 一9 10 3 = 82.答：图中阴影部分的面积为82.5.(龙岩)已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨•某物流公司现有31吨货物，计划同时租用 A 型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3 )若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费. 【答案与解析】解；<1)设髯辆A型车"B型车都装満贾物次町分别运费工叫、y吨，依邇盘列方程得* f 2 JT 4 = 1 <+ = I 1f I = 3解方程組，得«[y =脣：1辆A型午装满赏物-次nJ运31% 1辆B樂平裝满货物一次可运4驱(2)第汁題意和<1> 祁“1”3 K *# 9 a =----------3V 都是正整数答:育3种租平方案：①人型车9 W型弔1辆；②人型型车4辅；®A型平1辆厲型韦7辆一⑶ 方案①需相金;9 X]00+120-1020(7U)方案②需郴金：5X 100+4 X ]20=9RO(>t)方案③芾和金:1X1(MR7X 120^40(JC)、:l020>9Sa>^40:*堆卷憐的和车方箋是二A型车1辆戸型车？辆闽少机车帯为940元.【总结升华】举一反三：本题实际上是求二兀一次方程组的正整数.【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下:甲班分两次共购买苹果 70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。

二元一次方程组-中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练

2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练二元一次方程组◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n ）的值．【分析】由方程组的解的定义可知21x y =⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21x y =⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得 22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程．例2 （2008，长沙市）“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．例3 （2006，海南）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元．依题意，得214523280x yx y+=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510xy=⎧⎨=⎩故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 （2004，昆明市）为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t土石，运输公司派出A 型，B•型两种载重汽车，A型汽车6辆，B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆，B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+12x+1=11.8；（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解．【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3．由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得x=2.4．则3x=7.2，x+1=2.2．答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得：30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩ 答：每辆A 型汽车每次运土石10t ，每辆B 型汽车每次运土石15t ．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．◆强化训练一、填空题1．若2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____．2．在式子3m+5n －k 中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．3．若方程组26ax yx by+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=-⎩，则a+b=_______．4．已知方程组325(1)7x ykx k y-=⎧⎨+-=⎩的解x，y，其和x+y=1，则k_____．5．已知x，y，t满足方程组23532x ty t x=-⎧⎨-=⎩，则x和y之间应满足的关系式是_______．6．（2008，宜宾）若方程组2x y bx by a+=⎧⎨-=⎩的解是1xy=⎧⎨=⎩，那么│a－b│=_____．7．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．8．（2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：00用电每千瓦时0.55元（“峰电”价），21：00至次日8：00•用电每千瓦时0.30元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，•五月份用电量为300kW·h，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW·h．二、选择题9．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．已知x ay b=⎧⎨=⎩是方程组||223xx y=⎧⎨+=⎩的解，则a+b的值等于（）A．1 B．5 C．1或5 D．0 11．已知│2x－y－3│+（2x+y+11）2=0，则（）A．21xy=⎧⎨=⎩B．3xy=⎧⎨=-⎩C．15xy=-⎧⎨=-⎩D．27xy=-⎧⎨=-⎩12．在解方程组278ax bycx y-=⎧⎨+=⎩时，一同学把c看错而得到22xy=-⎧⎨=⎩，正确的解应是32xy=⎧⎨=⎩，那么a，b，c的值是（）A．不能确定 B．a=4，b=5，c=－2C．a，b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7，c=213．（2008，河北）如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，•每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A．20g B．25g C．15g D．30g14．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t 货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货，则可列方程组（）A．452710327x yx y+=⎧⎨-=⎩B．452710320x yx y-=⎧⎨+=⎩C．452710320x yx y+=⎧⎨+=⎩D．427510203x yx y-=⎧⎨-=⎩15．七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，•这时男女同学之比为5：3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）A．39名 B．43名 C．47名 D．55名16．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，•捐款情况如下表：捐款/元 1 2 3 4人数 6 7表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组．（）A．272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C．273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D．2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩17．甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则ah 相遇；若同向而行，则bh 甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度为（）A ．a b b +倍B ．b a b +倍C ．b a b a +-倍D ．b a b a-+倍 18．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，•信封个数分别为（）A ．150，100B ．125，75C ．120，70D ．100，150三、解答题19．解下列方程组：（1）（2008，天津市）35821x y x y +=⎧⎨-=⎩（2）（2005，南充市）271132x y y x -=⎧⎪⎨--=⎪⎩20．（2008，山东省）为迎接2008年奥运会，•某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，•已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，•生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，•如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？21．（2008，重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A，B，C三地现在分别有赈灾物资00t，100t，80t，需要全部运往四川重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t．（1）求这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60t，A地运往D县的赈灾物资为xt（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t．则A，B•两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案：（3）已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如表所示：为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？22．（2003，常州市）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？答案1．3；－1 2．－7 3．8 4．k=3355．15y－x=6 6．1 7．20元 80元 8．1009．•C 10．C 11．D 12．B 13．A 14．C 15．C 16．A 17．C 18．A19．（1）由②得y=2x －1 ③把③代入①得：3x+5（2x －1）=8即x=1把x=1代入③得y=1∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩（2）化简方程组，得2763x y x y =+⎧⎨+=⎩ ④代入⑤，得y=－3．将y=－3代入，得x=1故原方程组的解是：13x y =⎧⎨=-⎩ 20．设生产奥运会标志x 套，生产奥运会吉祥物y 套，根据题意，得4520000,31030000.x y x y +=⎧⎨+=⎩①×2－②得：5x=10000．∴x=2000．把x=2000代入①得：5y=12000．∴y=2400．答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．21．（1）设这批赈灾物资运往D 县的数量为a （t ），运往E 县的数量为b （t ）．由题意，得280,220.a b a b +=⎧⎨=-⎩解得180,100.a b =⎧⎨=⎩ 答：这批赈灾物资运往D 县的数量为180t ，运往E 县的数量为100t ．（2）由题意，得1202225x x x-<⎧⎨--≤⎩解得40,45.xx>⎧⎨≤⎩即40<x≤45，∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41t，运往E县59t；B地的赈灾物资运往D县79t，运往E县21t．方案二：A地的赈灾物资运往D县42t，运往E县58t；B地的赈灾物资运往D县78t，运往E县22t．方案三：A地的赈灾物资运往D县43t，运往E县57t；B地的赈灾物资运往D县77t，运往E县23t．方案四：A地的赈灾物资运往D县44t，运往E县56t；B地的赈灾物资运往D县76t，运往E县24t．方案五：A地的赈灾物资运往D县45t，运往E县55t；B地的赈灾物资运往D县75t，运往E县25t．（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元，由题意，得w=220x+250（100－x）+200（120－x）+220（x－20）+200×60+210×20=－10x+60800．因为w随x的增大而减小，且40<x≤45，x为整数．所以，当x=41时，w有最大值，则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w=60390（元）．22．（1）乙班共付出70×2=140（元），乙班比甲班少付出189－140=49（元）．（2）设甲班第一次买苹果xkg，第二次买苹果ykg（x<y）．①当x≤30时，则y>30（否则，x+y≤60<70）．依题意有703 2.5189x yx y+=⎧⎨+=⎩或者7032189x yx y+=⎧⎨+=⎩解之，得2842xy=⎧⎨=⎩或者4921xy=⎧⎨=⎩（不合题意，舍去）②若30<x≤50，则30<y≤50，或y>50，当y>50，x+y>80>70，不合题意．当30<y≤50时，70×2.5=175<189，也不合题意．③若x>50，y>x，则x+y>70，不合题意．故甲班第一次买苹果28kg，第二次买苹果42kg．。

第五章二元一次方程组考点复习小结(教案)

其次，在实践活动和小组讨论中，我发现同学们对于二元一次方程组在实际生活中的应用有着浓厚的兴趣。他们在讨论问题时积极思考，提出了很多有创意的观点。但在实验操作环节，部分同学对于图像解法的理解还不够深入。针对这个问题，我考虑在接下来的课程中，可以增加一些图像解法的实际操作练习，帮助同学们更好地理解这一概念。
第五章二元一次方程组考点复习小结（教案）
一、教学内容
第五章二元一次方程组考点复习小结（教案）
1.教材章节：本节课内容依据人教版《数学》七年级下册第五章“二元一次方程组”进行复习总结。
2.教学内容：
a.二元一次方程组的定义及解的概念；
b.二元一次方程组的解法：代入法、消元法、加减法、等式相乘法；
c.实际问题中的二元一次方程组及其应用；
此外，学生在小组讨论环节表现出了很好的团队协作能力，但也有一些小组在分享成果时表达不够清晰。为了提高同学们的表达能力，我计划在今后的教学中，多给予他们一些表达的机会，并对他们的表现给予积极的评价和指导。
在课程总结环节，我注意到有些同学对于二元一次方程组的理解还存在一定的误区。为了帮助他们澄清这些误区，我决定在课后布置一些针对性的练习题，以便让他们在课后能够进一步巩固所学知识。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调代入法和消元法这两个重点。对于难点部分，如加减消元和倍乘消元的选择，我会通过具体例题和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作方程组的图像解法，演示方程组的解的性质。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

第五章-《二元一次方程组》单元小结与复习(共38张)

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长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。

初二上册数学第五章复习要点：二元一次方程组

15-16学期初二上册数学第五章复习要点：二元一次方程组尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力,由查字典数学网为您提供的15-16学期初二上册数学第五章复习要点：二元一次方程组，希望给您带来启发!1.判断一个方程是不是二元一次方程，一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断。

2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解，而每一个解都是一对数值。

求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为x，y，可任取x的一些值，相应的可算出y的值，这样，就会得到满足需要的数对。

3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。

4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，那么它就是方程组的解。

5.运用代入法解方程组应注意的事项：(1)不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。

(2)运用代入法要使解方程组过程简单化，即选取系数较小的方程变形。

(3)要判断求得的结果是否正确。

6.对二元一次方程组的解的理解：(1)方程组的解是指方程组里各个方程的公共解。

(2)“公共解”的意思，实际上包含以下两个方面的含义：单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。

①因为任何一个二元一次方程都有无数个解，所以方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解。