九年级上北师版数学期中测试名题

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北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若x 2﹣3x 的值等于零，则x 的值为（）A ．﹣3B ．0C ．0或3D ．0或﹣32．若234a b c ==，a ﹣b+c ＝18，则a 的值为（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．143．若两个等腰直角三角形斜边的比是1：3，则它们的面积比是（）A ．1：4B ．1：6C ．1：9D ．1：104．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程x 2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（）A ．11B ．13C ．11或13D ．以上都不对 5．如图，P 是直角△ABC 斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过点P 作一条直线，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条6．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，BE ＝CF ＝2，CE 与DF 交于点H ，点G 为DE 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）A B C ．4.5 D ．4.37．如图，在△ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在DC 的延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB ＝4，BC ＝6，CE ＝1，则CF 的长为（）AB ．1.5CD ．18．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF交于点H．下列结论：△CF＝2AE；△△DFP△△BPH；△DP2＝PH•PC；△PE：BC＝（3）：3．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为_____个．10．已知线段AB＝4cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝_____．11．若关于y的一元二次方程24334--=+有实根，则k的取值范围是______ky y y12．如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，△AOB＝60°，AB＝3，则矩形的周长为_____．13．如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD长为_____________cm．14．某超市第二季度的营业额为200万元，第四季度的营业额为288万元．如果每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率为_____．15．如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．16．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_____．三、解答题17．计算：（1）3x2+3＝7x；（用配方法解方程）（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2．18．如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B （﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）做出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比是2：1；（3）若M（x，y）是线段AB上一点，则点M关于y轴对称的对应点M1的坐标为．19．为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．20．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？21．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．（1）求证：四边形AECD是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．22．如图，在△ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若△AED＝2△EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．23．如图，△ABD中，△A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s 的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的29；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．24．如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．（1）判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明；（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP．25．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．△求证：△AOC1△△BOD1；△请直接写出AC1与BD1的位置关系；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝3，BD＝5，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，请说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝6，BD ＝12，连接DD 1，设AC 1＝kBD 1．请直接写出k 的值和AC 12+（kDD 1）2的值．参考答案1．C【解析】根据题意得出x 2﹣3x ＝0，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意，得：x 2﹣3x ＝0，△x （x ﹣3）＝0，则x ＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，则x 的值为：0或3．故选：C ．2．B【解析】设234a b c ==＝k ，则可利用k 分别表示a 、b 、c ，再利用a ﹣b+c ＝18，所以2k ﹣3k+4k ＝18，然后解k 的方程，从而得到a 的值．【详解】解：设234a b c ==＝k ， △a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，△a ﹣b+c ＝18，△2k ﹣3k+4k ＝18，解得k ＝6，△a ＝2×6＝12故选：B ．3．C【解析】根据相似三角形的判定与性质即可得出答案．【详解】解：如图，△ABC 与△DEF 都为等腰直角三角形，且EF ：AB ＝1：3，则△ABC△△EFD ， △21()9EFD ABC S EF S AB ∆∆==，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．A【解析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．【详解】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝7或5，当三角形的三边为2，4，7时，2+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形；当三角形的三边为2，4，5时，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+4+5＝11；综合上述：三角形的周长是11，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．5．B【解析】根据已知及相似三角形的判定方法（或平行线截线段成比例）进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：如图，过点P可作PE△BC或PE″△AC，△△APE△△ABC、△PBE″△△ABC；过点P还可作PE′△AB，可得：△EPA＝△C＝90°，△A＝△A△△APE△△ACB；△满足这样条件的直线的作法共有3种．故选：B6．A【解析】根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得△B＝△DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE△△DCF，得△BCE＝△CDF，进一步得△DHC＝△DHE＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：△四边形ABCD 为正方形，△△B ＝△DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中， BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△CBE△△DCF （SAS ），△△BCE ＝△CDF ，△△BCE+△DCH ＝90°，△△CDF+△DCH ＝90°，△△DHC ＝△DHE ＝90°，△点G 为DE 的中点，△GH ＝12DE ， △AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，△DE =△GH故选A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．D【解析】【分析】过O 作OM△BC 交CD 于M ，根据平行四边形的性质得到BO ＝DO ，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM ＝12CD ＝2，OM ＝12BC ＝3，通过△CFE△△MOE ，根据相似三角形的性质得到CF CE OM EM =，代入数据即可得到结论．【详解】解：过O作OM△BC交CD于M，在△ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，△CM＝12CD＝2，OM＝12BC＝3，△OM△CF，△△CFE△△MOE，△CFOM＝CEEM，即1 33 CF，△CF＝1．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．8．D【解析】【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【详解】解：△△BPC是等边三角形，△BP＝PC＝BC，△PBC＝△PCB＝△BPC＝60°，在正方形ABCD中，△AB＝BC＝CD，△A＝△ADC＝△BCD＝90°，△△ABE＝△DCF＝30°，△BE＝2AE，△AD△BC，△△FEP＝△PBC，△EFP＝△PCB，△△EPF＝△BPC，△△FEP＝△EFP＝△EPF＝60°，△△EFP是等边三角形，△BE＝CF，△CF＝2AE，故△正确；△PC＝CD，△PCD＝30°，△△PDC＝75°，△△FDP＝15°，△△DBA＝45°，△△PBD＝15°，△△FDP＝△PBD，△△DFP＝△BPC＝60°，△△DFP△△BPH，故△正确；△△PDH＝△PCD＝30°，△DPH＝△DPC，△△DPH△△CPD，△DP PH PC DP，△DP2＝PH•PC，故△正确；△△ABE＝30°，△A＝90°，△AE，△△DCF＝30°，△DF，△EF＝AE+DF﹣BC﹣BC，△FE：BC＝（3）：3，△EF＝PE，△PE：BC＝（3）：3，故△正确，综上，四个选项都正确，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．9．20【解析】【分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是50150＝13，设口袋中大约有x个白球，则1010x+＝13，解得x＝20，经检验x＝20是原方程的解，估计口袋中白球的个数约为20个．故答案为：20．【点睛】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．10．2##2-+【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC AB，代入数据即可得出AC 的长度．【详解】解：由于C为线段AB＝4的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC AB ×4＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．11．74k ≥-且0k ≠ 【解析】【分析】先将方程化为一般形式2770--=ky y ，根据方程有实数根得到.【详解】△24334ky y y --=+,△2770--=ky y△一元二次方程有实根，△∆0≥，且0k ≠，△49+28k 0≥，解得74k ≥-，故答案为：74k ≥-且0k ≠.12．663##6【解析】根据矩形性质得出AD ＝BC ，AB ＝CD ，△BAD ＝90°，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，推出OA ＝OB ＝OC ＝OD ，得出等边三角形AOB ，求出BD ，根据勾股定理求出AD 即可．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△△BAD ＝90°，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ， △OA ＝OB ＝OC ＝OD ，△△AOB＝60°，OB＝OA，△△AOB是等边三角形，△AB＝3，△OA＝OB＝AB＝3，△BD＝2OB＝6，在Rt△BAD中，AB＝3，BD＝6，由勾股定理得：AD＝△四边形ABCD是矩形，△AB＝CD＝3，AD＝BC＝△矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝故答案为：13．【详解】试题分析：连接AC，△菱形ABCD的周长为16cm，△AB=4cm，AC△BD，△BC的垂直平分线EF经过点A，△AC=AB=4cm，△OA=1AC=2cm，2，．故答案为考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质．14．20%【解析】先设增长率为x，那么第四季度的营业额可表示为200（1+x）2，已知第四季度营业额为288万元，即可列出方程，从而求解．【详解】解：设每季度的平均增长率为x，根据题意得：200（1+x）2＝288，解得：x＝﹣2.2（不合题意舍去），x＝0.2，则每季度的平均增长率是20%．故答案为：20%15．【解析】由正方形的对称性可知，PB＝PD，当B、P、E共线时PD+PE最小，求出BE即可．【详解】解：△正方形中B与D关于AC对称，△PB＝PD，△PD+PE＝PB+PE＝BE，此时PD+PE最小，△正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，△BE＝△PD+PE最小值是，故答案为：【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．16．（14）n-1【解析】【详解】试题分析：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（14）2-1=14；第三个矩形的面积是（14）3-1=116； …故第n 个矩形的面积为：11()4n -．考点：1.矩形的性质；2.菱形的性质．17．（1）1x =，2x =；（2）13y =，235y = 【解析】【分析】（1）先移项，再方程两边都除以3，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【详解】解：（1）3x 2+3＝7x ，移项，得3x 2﹣7x ＝﹣3，除以3，得x 2﹣73x ＝﹣1，配方，得x 2﹣73x+（76）2＝﹣1+（76）2，即（x ﹣76）2＝1336，开方，得x ﹣76＝解得：x 1，x 2 （2）4y （3﹣y ）＝（y ﹣3）2，移项，得﹣4y （y ﹣3）﹣（y ﹣3）2＝0，（y ﹣3）（﹣4y ﹣y+3）＝0，y ﹣3＝0或﹣4y ﹣y+3＝0，解得：y 1＝3，235y =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征选用合适的方法是解题的关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）(,)x y【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可；（3）利用轴对称的性质求解即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）若M （x ，y ）是线段AB 上一点，则点M 关于y 轴对称的对应点M 1的坐标为（﹣x ，y ）．．【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-轴对称变换，作图-相似变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．19．（1）13；（2）23 【解析】【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）△已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，△恰好选中乙的概率为13；故答案为：13；（2）分别用字母A ，B 表示女生，C ，D 表示男生画树状如下：4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，△P （1女1男）82123==．答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【解析】【分析】设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由题意，得(360280)(560)7200x x --+=，解得：18x =，260x =．有利于减少库存，x∴=．60答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据销售问题的数量关系建立方程．21．（1）见解析；（2）△BAC＝90°，理由见解析【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AECD是平行四边形，进而理由等腰三角形的性质得出△ADB＝90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝CD，进而利用正方形的判定得出即可．【详解】（1）证明：△D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，△CF＝FA，△四边形AECD是平行四边形，△AB＝AC，AD是△ABC的中线，△AD△BC，△△ADC＝90°，△平行四边形AECD是矩形；（2）解：当△BAC＝90°时，四边形AECD是正方形，理由如下：△△BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的中线，△AD＝BD＝CD，△四边形AECD是矩形，△矩形AECD是正方形．【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．22．（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为2a【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得EO△AC，即BD△AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；（2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．【详解】（1）证明：△四边形ABCD是平行四边形，△AO＝OC，△△ACE是等边三角形，△EO△AC （三线合一），即BD△AC，△△ABCD是菱形；（2）解：△△ACE是等边三角形，△△EAC＝60°由（1）知，EO△AC，AO＝OC△△AEO＝△OEC＝30°，△AOE是直角三角形，△△AED＝2△EAD，△△EAD＝15°，△△DAO＝△EAO﹣△EAD＝45°，△△ABCD是菱形，△△BAD＝2△DAO＝90°，△菱形ABCD是正方形，△正方形ABCD的面积＝AB2＝a2．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键．23．（1）14t=，22t=；（2）t＝3或24 5【解析】【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，△△AMN的面积＝12AN•AM＝12×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，△△A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm△△ABD的面积为12AB•AD＝12×6×12＝36，△△AMN的面积是△ABD面积的29，△6t﹣t2＝2369⨯，△t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的29；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN△△ABD，则有AM ANAB AD=，即122612t t-=，解得t＝3，若△AMN△△ADB，则有AM ANAD AB=，即122126t t-=，解得t＝245，答：当t＝3或245时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．24．（1）四边形AFCE是菱形，见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由过矩形ABCD （AD ＞AB ）的对角线AC 的中点O 作AC 的垂直平分线EF ，易证得△AOE△△COF ，即可得EO ＝FO ，则可证得四边形AFCE 是平行四边形，又由EF△AC ，可得四边形AFCE 是菱形；（2）由△AEP ＝△AOE ＝90°，△EAP ＝△OAE ，可证得△AOE△△AEP ，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE 2＝AC•AP ．【详解】证明：（1）四边形AFCE 是菱形．理由：由已知可知：AO ＝CO ，△四边形ABCD 是矩形，△AD△BC ，△△EAO ＝△FCO ，△AEO ＝△CFO ，在△AOE 和△COF 中，EAO FCO AEO CFO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOE△△COF （AAS ），△EO ＝FO ，△四边形AFCE 是平行四边形，△AC△EF ，△四边形AFCE 是菱形；（2）△△AEP ＝△AOE ＝90°，△EAP ＝△OAE ，△△AOE△△AEP ， △AO AE ＝AE AP， △AE 2＝AO•AP ，又AC ＝2AO ，△2AE 2＝AC•AP ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．25．（1）△见解析；△AC 1△BD 1；（2）AC 1△BD 1，见解析，35k =；（3）12k =，2211()36AC kDD += 【解析】【分析】（1）△由“SAS”可证△AOC 1△△BOD 1；△由全等三角形的性质可得△OBD 1＝△OAC 1，可证点A ，点B ，点O ，点P 四点共圆，可得结论；（2）由菱形的性质可得OC ＝OA ＝12 AC ，OD ＝OB ＝12 BD ，AC△BD ，由旋转的性质可得OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，△COC 1＝△DOD 1，通过证明△AOC 1△△BOD 1，可得△OAC 1＝△OBD 1，由余角的性质可证AC 1△BD 1，由比例式可求k 的值；（3）与（2）一样可证明△AOC 1△△BOD 1，可得11112122AC AC OA AC BD OB BD BD ====，可求k 的值，由旋转的性质可得OD 1＝OD ＝OB ，可证△BDD 1为直角三角形，由勾股定理可求解．【详解】证明：（1）△如图1，△四边形ABCD 是正方形，△OC ＝OA ＝OD ＝OB ，AC△BD ，△△AOB ＝△COD ＝90°，△△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，△OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，△COC 1＝△DOD 1，△OC 1＝OD 1，△AOC 1＝△BOD 1＝90°+△AOD 1，在△AOC 1和△BOD 1中，1111OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOC 1△△BOD 1（SAS ）；△AC 1△BD 1；理由如下：△△AOC 1△△BOD 1，△△OBD 1＝△OAC 1，△点A ，点B ，点O ，点P 四点共圆，△△APB ＝△AOB ＝90°，△AC 1△BD 1；（2）AC 1△BD 1，理由如下：如图2，△四边形ABCD 是菱形，△OC ＝OA ＝12AC ，OD ＝OB ＝12BD ，AC△BD ，△△AOB ＝△COD ＝90°，△△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，△OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，△COC 1＝△DOD 1，△OC 1＝OA ，OD 1＝OB ，△AOC 1＝△BOD 1， △11OC OA OD OB=，△△AOC 1△△BOD 1，△△OAC 1＝△OBD 1，又△△AOB ＝90°，△△OAB+△ABP+△OBD 1＝90°，△△OAB+△ABP+△OAC1＝90°，△△APB ＝90°△AC 1△BD 1；△△AOC 1△△BOD 1， △11132152ACAC OA ACBD OB BD BD====，△k ＝35 ；（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC 1△△BOD 1，△11112122ACAC OA AC BD OB BD BD ====，△k ＝12；△△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，△OD 1＝OD ，而OD ＝OB ，△OD 1＝OB ＝OD ，1111,BD O OBD DD O ODD ∠=∠∠=∠ ，△1111BD O DD O OBD ODD ∠+∠=∠+∠，△190BD D ∠=︒，△△BDD 1为直角三角形，在Rt△BDD 1中，BD 12+DD 12＝BD 2＝144，△（2AC 1）2+DD 12＝144，△AC 12+（kDD 1）2＝36．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．用配方法将x 2﹣8x ＋5＝0化成（x ＋a ）2＝b 的形式，则变形正确的是（）A ．（x ﹣4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝21C ．（x ﹣8）2＝11D ．（x ＋4）2＝112．如图，直线123l l l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ，直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（）A ．23B ．35C ．25D ．523．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2，-1，0，1．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（）A ．14B ．716C ．12D ．344．已知关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x ﹣2＝0有实数根，则a 的取值范围是（）A ．a≥﹣2B ．a ＞﹣2C ．a≥﹣2且a≠0D ．a ＞﹣2且a≠05．已知平行四边形ABCD 中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AB BC=B ．AC BD⊥C ．AC BD=D ．AC 平分BAD∠6．九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意，可列出的方程是（）A ．(1)132x x +=B ．(1)132x x -=C ．2(1)132x x +=D ．1(1)1322x x +=7．如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ＝6，BD ＝8，且AE 垂直于CD ，垂足为点E ，则AE 的长度为（）A ．485B ．245C ．185D ．1258．如图，在矩形ABCD 中,,E F 分别是,BC AE 的中点，若 23,4CD AD ==，则DF 的长是（）A ．23B ．3C ．22D 69．若1x ，2x 是一元二次方程210x x +-=的两根，则211220202021x x x --的值为（）A ．2023B ．2022C ．2021D ．202010．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF AC ⊥交AB 于E ，点G 是AE 中点且∠AOG ＝30°，下列结论：（1）DC ＝3OG ；（2）OG ＝12BC ；（3） OGE 等边三角形；（4）S △AOE ＝16S 矩形ABCD ，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在一个不透明的口袋中有若干个白球和3个黑球，小颖进行如下试验：随机摸出1个球，记录下颜色后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25，则原来口袋中有白球___个．12．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ∥BD ，DE ∥AC ．若5AC =，则四边形AODE 的周长为_______．13．AOB 的三个顶点坐标()5,0A ，()0,0O ，()3,6B ，以原点O 为位似中心，将AOB 缩小为'''AO B △，相似比为23，则点B 的对应点'B 的坐标是_______．14．如图，平面直角坐标系中，矩形AOCB 中，AB =A 的坐标为()1,2-，则点C 的坐标为________．15．如图，将直角三角形ABC 沿着AB 方向平移得到三角形DEF ，若6cm AB =，4cm BC =，1cm CH =，图中阴影部分的面积为221cm 4，则三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为__________cm ．16．如图，AD 是ABC 的中线，点E 是线段AD 上的一点，且13AE AD =，CE 交AB 于点F ．若6AF =cm ，则AB =_____cm ．17．方程26x x =的根是________．三、解答题18．解方程：()2362x x -=-．19．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．20．如图，某测量人员的眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m ，标杆FC=2.2m ，且BC=1m ，CD=5m ，标杆FC 、ED 垂直于地面．求电视塔的高ED ．21．有四张正面分别标有数字-1，0，1，2的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机抽取一张不放回，将卡片上的数字记为m ，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为n ．（1）请用画树状图或列表法写出(),m n 所有的可能情况；（2）求所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率．22．苏州某工厂生产一批小家电，2019年的出厂价是144元，2020年、2021年连续两年改进技术降低成本，2021年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率（精确到0.01%）．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多少元？23．如图，矩形ABCD 中，16AB =，12BC =，P 为AD 上一点，将ABP △沿BP 翻折至EBP △，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，BE 与CD 交于点G ．（1）求证：AP DG =；（2）求线段AP 的长．24．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ∥AC ，AE ∥BD ，EO 与AB 交于点F ．(1)求证：四边形AEBO 是矩形；(2)若CD ＝3，求EO 的长．25．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，动点M ，N 分别从O ，B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP ⊥OA ，交AC 于P ，连接NP ，设M 、N 运动的时间为t 秒()04t <<．（1）P 点的坐标为（），PC =（用含t 的代数式表示）；（2）求当t 为何值时，以C 、P 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似；（3）在平面内是否存在一个点E ，使以C 、P 、N 、E 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．A 【详解】x 2﹣8x ＋5＝02816516x x -+=-+即()2411x -=故选A 2．C【分析】利用平行线分线段成比例可得答案．【详解】解：因为：123l l l ，所以：23AB DE BC EF ==，所以：25DE DF =．故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的实际含义是解题的关键．3．C 【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【详解】解：画树状图如下：由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，∴抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为61122=，故选：C ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．4．C【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0a ≠且()()24420a ∆=--⨯-≥，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得0a ≠且()()24420a ∆=--⨯-≥，解得2a ≥-且0a ≠．故答案为：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．5．C 【解析】【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC ，∴∠ACB=∠BAC ，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．6．B【解析】【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x （x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．【详解】x-本；解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(1)x x-；则总共送出的图书为(1)又知实际互赠了132本图书，x-=．则x(1)132故选：B．【点睛】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．7．B【解析】【分析】根据菱形的性质得出CO、DO的长，在Rt△COD中求出CD，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于CD×AE，可得出AE的长度．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，114,3,,22DO BD CO AC AC BD ∴====⊥5CD ∴==116824.22ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=ABCD S CD AE=⨯ ∴CD×AE=24，∴AE=245．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．8．A 【解析】【分析】结合矩形的性质，勾股定理，利用SAS 证明DAF AEB ∆≅∆，进而可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，CD =，4=AD ，//AD BC ，90B ∴∠=︒，4BC AD ==，AB CD ==，DAF AEB ∠=∠，E 为BC 的中点，2BE ∴=，4AE ∴=，AD AE ∴=，F 点为AE 的中点，2AF ∴=，AF BE ∴=，()DAF AEB SAS ∴∆≅∆，DF AB ∴==．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明DAF AEB ∆≅∆是解题的关键．9．B【解析】【分析】利用一元二次方程根的定义以及根与系数的关系计算即可求出值．【详解】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-1=0的两根，∴x 1+x 2=-1，且x 12+x 1-1=0，即x 12+x 1=1，则原式=x 12+x 1-2021（x 1+x 2）=1+2021=2022．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，以及方程的根，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．10．C【解析】【分析】根据矩形的性质、等边三角形的判定、勾股定理逐一判断即可；【详解】∵点G 是AE 中点，EF AC ⊥，∴12OG AG GE AE ===，∵∠AOG ＝30°，∴30OAG AOG ∠=∠=︒，90903060GOE AOG ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴ OGE 等边三角形，故（3）正确；设2AE a =，则OE OG a ==，由勾股定理得，AO ===，∵O 为AC 中点，∴2AC AO ==，在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒，∴12BC AC ==，由勾股定理得，3AB a =，∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB a ==，∴DC ＝3OG ，故（1）正确；∵OG a =，12BC =，∴12OG BC ≠，故（2）错误；∵2122AOE S a a ==△，2=3ABCD S a =矩形，∴16AOE ABCD S S = 矩形，故（4）正确；综上所述，正确的结论有（1）（3）（4）；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．11．9．【解析】【分析】设口袋中白球的个数为x ，根据摸到黑球的频率稳定在0.25及摸到黑球的概率为0.25，据此列出关于x 的方程，解之可得答案．【详解】解：设口袋中白球的个数为x ，根据题意，得：33x+＝0.25，解得x＝9，检验：当x＝9时，3+x＝12≠0，∴x＝9是分式方程的解，且符合题意，∴原来口袋中有白球9个，故答案为：9．12．10【分析】根据AE∥BD，DE∥AC，可得到四边形AODE是平行四边形，再由四边形ABCD是矩形，可证得四边形AODE是菱形，即可求解．【详解】解：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∴AO=DO，∴四边形AODE是菱形，∴AO=DO=DE=AE，∵5AC=，∴52 AO=，∴四边形AODE的周长为54102⨯=．故答案为：1013．（2，4）或（-2，-4）【解析】【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，∴点B 的对应点B′的坐标为22(3,6)33⨯⨯或22(3(),6())33⨯-⨯-，即（2，4）或（-2，-4），故答案为：（2，4）或（-2，-4）．14．(4,2)【分析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴于E ，这样易得AOD OCE ∽△△，再根据已知条件求得线段OE ，CE 的长，即可求得点C 坐标．【详解】解：过点A 作AD x ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴于E ，在矩形AOCB 中，OC AB ==90AOC ∠=︒，∵点A 的坐标为()1,2-，∴1OD =，2AD =，∴在Rt AOD 中，AO ===易知DAO AOD AOD COE ∠+∠=∠+∠,∴DAO COE ∠=∠，又∵90ADO OEC ∠=∠=︒，∴AOD OCE ∽△△，∴AD OD AO OE CE OC ==，∵12AO OC =，∴12AD OD OE CE ==，∴24OE AD ==，22CE OD ==，∴点C 的坐标为(4,2)，故答案为：(4,2)．15．32【分析】根据题意，计算得HB ；再根据阴影部分的面积ABC DBH S S =-△△，通过求解一元一次方程得DB ，从而得AD ，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得413HB BC CH cm =-=-=，∵90ABC ∠=︒，∴三角形DBH 为直角三角形，∴21122ABC S AB BC cm =⨯= ，1322DBH S DB HB DB =⨯=△，根据题意得：阴影部分的面积ABC DBH S S =-△△，且阴影部分的面积为221cm 4，∴3211224DB -=，∴92DB cm =，∴93622AD AB DB cm =-=-=，即三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为32cm ，故答案为：32．16．30【解析】过A 作AG ∥BC ，交CF 的延长线于G ，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到12AG AE DC DE ==，进而得出BF=4AF=24cm ，可得AB 的长度．【详解】解：如图所示，过A 作AG ∥BC ，交CF 的延长线于G ，∵AE=13AD ，AG ∥BC ，∴△AEG ∽△DEC ，∴12AG AE DC DE ==，又∵AD 是△ABC 的中线，∴BC=2CD ，∴14AGBC =，∵AG ∥BC ，∴△AFG ∽△BFC ，∴14AFAGBF BC ==，∴BF=4AF=24(cm)，∴AB=AF+BF=30(cm)，故答案为：30．17．0x =或6x =【解析】用因式分解法解方程即可.【详解】移项，得260,x x -=提公因式，得x(x−6)=0，∴x=0或x−6=0，解得x=0或x=6.故答案为0x =或6x =.18．x1=3，x2=1．【解析】先移项整理，再根据因式分解法即可求解．【详解】解：移项，得(x−3)2+2(x−3)=0，因式分解得(x−3)(x−3+2)=0，∴x-3=0或x-1=0，∴x1=3，x2=1．19．见解析【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．20．5.2米【详解】试题分析：作AH⊥ED交FC于点G，根据题意得出AH=BD，AG=BC，然后根据平行线截线段成比例得出答案.试题解析：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH=BD，AG=BC，∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，∵FG∥EH，∴，解得：EH=3.6，∴ED=3.6+1.6=5.2（m）答：电视塔的高ED 是5.2米．考点：平行线截线段成比例21．（1）（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）；（2）16【解析】（1）根据题意画出树状图，即可求出（m ，n ）所有的可能情况；（2）求出所选的m ，n 能在一次函数y x =-的图像上的情况数，再根据概率公式列式计算即可．【详解】解：（1）画树状图如下：则（m ，n ）所有的可能情况是（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）．（2）所选的（m ，n ）能在一次函数y x =-的图像上的情况有：（-1，1），（1，-1）共2种所以，所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率：21126=22．（1）16.67%；（2）125元【分析】（1）设平均下降的百分率为x ，根据2021年的出厂价=2019年的出厂价×（1-下降率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论；（2）设销售单价应为y 元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为（300-2y ）台，根据每天盈利=每台的利润×每天的销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设平均下降的百分率为x ，依题意得：144（1-x ）2=100，解得：x 1=16≈16.67%，x 2=116（不合题意，舍去）．答：平均下降的百分率约为16.67%．（2）设销售单价应为y 元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为20+()101405y -=（300-2y ）台，依题意得：（y-100）（300-2y ）=1250，整理得：y 2-250y+15625=0，解得：y 1=y 2=125．答：销售单价应为125元．23．（1）见解析；（2）9.6【分析】（1）由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由ASA 证明ODP OEG ∆≅∆，得出OP OG =，PD GE =，即可得出结论；（2）由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由（1）得出AP EP DG ==，设AP EP x ==，则12PD GE x ==-，DG x =，求出CG 、BG ，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，12AD BC ==，16CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，在ODP ∆和OEG ∆中，D E OD OE DOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，OP OG ∴=，PD GE =，DG EP ∴=，AP DG ∴=；（2）如图所示，四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，12AD BC ==，16CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由（1）知AP DG =，又AP EP = ，AP EP DG ∴==，设AP EP x ==，则12PD GE x ==-，DG x =，16CG x ∴=-，16(12)4BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即222(16)(412)x x +-=+，解得：9.6x =，9.6AP ∴=．24．(1)见解析；(2)3【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO 是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直和矩形的判定证明即可；（2）利用矩形的性质求解即可．(1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AEBO 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠AOB ＝90°．∴四边形AEBO 是矩形．(2)解：∵四边形AEBO 是矩形，∴EO ＝AB ，在菱形ABCD 中，AB ＝CD ，∴EO ＝CD ＝3．25．（1）3,64t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；54t ；（2）t=12841；（3）329t =或83．【解析】（1）根据题意表示出OM 的长度，即求出P 点的横坐标，然后根据△APM ∽△ACO 即可表示出PM 和AP 的长度，即求出点P 的纵坐标和PC 的长度；（2）当CNP CBA △∽△时，PN BA ∥，可得点P 和点N 的横坐标相等，然后列方程求解即可，当CPN CBA △∽△时，分别表示出CN ，CP 的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可；（3）当四边形CPEN 是菱形时，可得CP=CN ，分别表示出CP 和CN 的长度列方程求解即可；当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，列方程求解即可；当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质得到CN=PN ，列方程求解即可．【详解】解：（1）∵点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，∴CO=6，AO=8，∴10AC ===，∵点M 以每秒1个单位的速度运动，运动的时间为t 秒，∴OM=t ，AM=AO-OM=8-t ，∴P 点的横坐标为t ，∵MP ⊥OA ，∴CO PM ∥，∴COA PMA ∠=∠，又∵CAO PAM ∠=∠，∴APM ACO △∽△，∴=PM AM AP CO AO AC =，即86810PM t AP -==，解得：364tPM =-，5104tAP =-，∴点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴55101044t tPC AC AP ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，由题意可知，BN=t ，∴CN=8-t ，∴点N 的坐标为()86t -，，当CNP CBA △∽△时，由题意可得PN BA ∥，∴点P 和点N 的横坐标相等，∴8t t -=，解得：t=4，∵04t <<，∴应舍去．当CPN CBA △∽△时，∴CP CNBC AC =，即584810tt-=，解得：12841t =．（3）如图所示，当四边形CPEN是菱形时，∴CP=CN ，∵CP=54t，CN=8-t ，∴584t t =-，解得：329t =；如图所示，当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得，PE 垂直平分CN ，∴N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，∴8-t=2t ，解得：83t =；如图所示，当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质可得CN=PN ，∴8t -=，整理得：2572560t t -=，解得：10t =(舍去)，2256457t =>，应舍去；综上所述，329t =或83．【点睛】此题考查了矩形的性质和动点问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意表示出点P和点N的坐标．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．方程x（x+2）＝0的根是（）A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2 2．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A．12B．13C．14D．153．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．C．36D．4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC5．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和36．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B C．2D17．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝12GF×AF；④当AG＝6，EG＝BE）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．某校文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书向本组其他成员增送一本，全组共互赠了1260本书，设全组共有x名同学，依题意，可列出方程为A．x(x﹣1)＝1260B．x(x+1)＝1260C．2x(x﹣1)＝1260D．12x(x﹣1)＝12609．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°10．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．二、填空题11．方程23530x x-=-的一次项系数是__________.12．已知23a cb d==，若b+d≠0，则a cb d++＝_____．13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于7”的概率是_____. 14．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为__________cm ．15．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC 的度数是__________．16．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝3，OC ＝，则另一直角边BC 的长为_____．三、解答题17．解下列方程（1）2x 2﹣4x ﹣3＝0（2）（x ﹣1）2＝（1﹣x ）18．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）20．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB=（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .21．某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a 元，则可售出（320﹣10a ）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？22．在 ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB.23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ．（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．24．如图，△ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A （0，3）、B （3、4）、C （2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．25．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若3DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）参考答案1．C【解析】【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．2．A【解析】【详解】试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P(向上一面为奇数)31. 62 ==故选A.3．B【解析】【详解】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=∴菱形ABCD的面积是6⨯=，故选B．4．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31EG DFGC FB＝＝=3．故选B．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．5．C【解析】【详解】试题分析：x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．故选C．考点：因式分解法解一元二次方程6．B【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，作点P 关于直线BD 的对称点P′，连接P′Q ，P′C ，则P′Q 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点C 重合，CP′⊥AB 时PK+QK 的值最小，在Rt △BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴sin 2P Q CP BC B ''==⋅=⨯故选B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．D【解析】【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG ，从而得到GD=DF ，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF ，连接DE ，交AF 于点O ．由菱形的性质可知GF ⊥DE ，OG=OF=12GF ，接下来，证明△DOF ∽△ADF ，由相似三角形的性质可证明DF 2=FO•AF ，于是可得到GE 、AF 、FG 的数量关系，过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF 中依据勾股定理可求得AD 的长，然后再证明△FGH ∽△FAD ，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE=AD-GH 求解即可．【详解】解：∵GE ∥DF ，∴∠EGF ＝∠DFG ．∵由翻折的性质可知：GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF ＝∠EGF ，∴∠DGF ＝∠DFG ．∴GD ＝DF ．故①正确；∴DG ＝GE ＝DF ＝EF ．∴四边形EFDG 为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE ，交AF 于点O ．∵四边形EFDG 为菱形，∴GF ⊥DE ，OG ＝OF ＝12GF ．∵∠DOF ＝∠ADF ＝90°，∠OFD ＝∠DFA ，∴△DOF ∽△ADF ．∴DFAF ＝OFDF ，即DF 2＝FO•AF ．∵FO ＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF•AF ．故③正确；如图2所示：过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．∵EG 2＝12GF•AF ，AG ＝6，EG ＝∴20＝12FG （FG+6），整理得：FG 2+6FG ﹣40＝0．解得：FG ＝4，FG ＝﹣10（舍去）．∵DF ＝GE ＝AF ＝10，∴AD ＝∵GH ⊥DC ，AD ⊥DC ，∴GH ∥AD ．∴△FGH ∽△FAD ．∴GHAD＝FGAF410，∴GH，∴BE＝AD﹣GH＝故选：D．【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．8．A【解析】【分析】设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x﹣1)本，那么总共送x(x﹣1)本，据此可得出方程.【详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；则总共送出的图书为x(x﹣1)；又知实际互赠了1260本图书，∴x(x﹣1)＝1260；故选：A.【点睛】此题考查列一元二次方程，本题弄清每名同学送出的图书是（x-1）本是解题的关键．9．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝12 BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH是等腰三角形是关键．10．B【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．11．-5【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．【详解】方程3x2﹣5x﹣3=0的一次项系数是﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．12．23【解析】【分析】分别设a=2m，c=2n，根据23a cb d==可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.【详解】设a=2m，c=2n，∵23a cb d==，∴b=3m，d=3n，∴a cb d++=2m2n3m3n++=23，故答案为：2 3【点睛】本题考查等比性质的应用，若a c kb d==，则a cb d++=k，熟练掌握等比性质是解题关键.13．15 36【解析】【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于7”的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于7”的结果数为15，所以“两枚骰子的点数和小于7”的概率15 36；故答案为：15 36 .【点睛】此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.14．7 8【解析】【详解】连接EB，∵BD垂直平分EF，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=78故答案为78cm ．15．45︒【解析】【分析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.【详解】解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠= 180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠==45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.16．9【解析】【分析】过O 作OF ⊥BC ，过A 作AM ⊥OF ，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB ，求出∠BOF=∠OAM ，根据AAS 证△AOM ≌△BOF ，推出AM=OF ，OM=FB ，求出四边形ACFM 为矩形，推出AM=CF ，AC=MF=3，得出等腰三角形三角形OCF ，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF ，即可求出答案．【详解】解：过O 作OF ⊥BC 于F ，过A 作AM ⊥OF 于M ，∵∠ACB ＝90°，∴∠AMO ＝∠OFB ＝90°，∠ACB ＝∠CFM ＝∠AMF ＝90°，∴四边形ACFM 是矩形，∴AM ＝CF ，AC ＝MF ＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中0AM BOF AMO OFB OA0B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.17．（1）x1x2（2）x1＝1，x2＝0．【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可.【详解】（1）∵a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，则x 22，即x 1＝22+，x 2＝22；（2）（x ﹣1）2＝（1-x ），（x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）•x ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.18．（1）△ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC 是直角三角形.理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到△=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．试题解析：解：（1）△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0，∴a ﹣b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=2(2)4()()0b a c a c -+-=，∴2224440b a c -+=，∴222a b c =+，∴△ABC 是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．19．（1）13；（2）49．【解析】【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可；（2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可．【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即1,2,3,4,5,6，它们每一种出现的可能性相等其中，小球上数字小于3的结果有2种，即1,2故小球上数字小于3的概率为2163 P==；（2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下：4561（1,4）（1,5）（1,6）2（2,4）（2,5）（2,6）3（3,4）（3,5）（3,6）其中，数字之和为偶数的结果有4种，即(1,5),(2,4),(2,6),(3,5)故两个小球上数字之和为偶数的概率为49 P=．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．20．（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．21．每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【解析】【分析】可根据关键语“若每件售价x元，则每件盈利（x-18）元，则可卖出（320-10x）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．【详解】解：设每件商品的售价定为x元，则（x﹣18）（320﹣10x）＝400，整理得x2﹣50x+616＝0，∴x1＝22，x2＝28∵18（1+25%）＝22.5，而28＞22.5∴x＝22．卖出商品的件数为320﹣10×22＝100．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题时可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．22．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）253.【解析】【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．24．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，根据对称性质可得A″B 即为PA+PB 的最小值，根据A″和B 点坐标可得直线A″B 的解析式，令y=0即可得P 点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）∵A′B 2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B 2=42+22=20，∴A′B 2=A′C′2+C′B 2，∴△A′BC′是直角三角形，∴△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，∴PA=PA″，∴PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB 的最小值，设A″B 直线解析式为：y ＝kx+b ，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝9 7，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【详解】（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF ，AE=CE ，OA=OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO=∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，{AFO CEOAOF COEOA OC∠=∠∠=∠=∴△AOF ≌△COE （AAS ），∴AF=CE ，∴AF=CF=CE=AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴在Rt △CDF 中，cos ∠DCF=CDCF ，∠DCF=30°，∴CF=cos 30CD︒=2，∵四边形AECF 是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF 是的面积为：。

北师大版2022～2023学年九年级数学第一学期期中质量检测题【含答案】

北师大版2022～2023学年九年级数学第一学期期中质量检测题（分值：150分）本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共15个小题，每题只有一个正确答案，每小题4分，共60分）1．菱形不具备的性质是（）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2．已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A ．∠A＝∠B B ．∠A＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB⊥BC3．解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（）A ．（x+4）2=11B ．（x﹣4）2=11C ．（x+4）2=21D ．（x﹣4）2=214．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M 与N 的大小关系正确的为（）A ．M ＞NB ．M=NC ．M ＜ND ．不确定5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）　A ．21B ．41C ．61D ．1216.在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是（）A ．12B ．9C ．4D ．37.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =6，BD =3，AE =4，则EC 的长为（）A.1 B .2 C.3 D. 4第7题图第8题图第9题图第10题图8.如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（）A ．∠ABD ＝∠ACB B ．∠ADB ＝∠ABC B ．AB 2＝AD •AC D ．AD AB AB BC=9．如图，点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：110.如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)11.已知点A （-2，y 1），B （-3，y 2）是反比例函y=x 6-图象上的两点，则有（）A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1＝ y 2 D.不能确定12.函数xa y ＝（0≠a ）与a ax y －＝（0≠a ）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）13.某村耕地总面积为 50 公顷，且该村人均耕地面积 y （单位：公顷/人）与总人口x （单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B ．该村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例C ．若该村人均耕地面积为 2 公顷，则总人口有 100 人A CBD ．当该村总人口为 50 人时，人均耕地面积为 1 公顷14. 如图，菱形ABCD 的边AD⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数()0,0y >≠=x k x k 的图象同时经过顶点C.D ，若点C 的横坐标为5，BE=3DE.则k 的值为( ) A.25B.3C.415D.515.如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE 2+PF 2=PO 2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP 时，点P 是AB 的中点.其中正确的结论有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分）16.若3x=5y ，则y x = ；已知0,2≠++===f d b f e d c b a 且，则fd be c a ++++= .17. 一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 .18.把长度为20cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是________cm ．（结果保留根号）19.如图所示，一个底面为等边三角形的三棱柱，底面边长为2，高为4，如图放置，则其左视图的面积是 .主视图俯视图左视图20.如下图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，实验学校“玩转数学”社团做了如下的探索：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB ）9米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）的高度为____________米.第20题图第21题图21．如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为．22.如图，在RT△A BC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．当t= 秒时△APQ与△ABC相似.三.解答题23.（8分）同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为多少米？24.（8分）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖.（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率.25.（8分）如图，在△ABC 中, 点D,E 分别是AB,AC 边上的两点，且AB=8,AC=6,AD=3,AE=4,DE=6,求BC 的长.26.（12分）如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上，已知BC=40cm ，AD=30cm ．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积.27.（12分）如图，已知反比例函数x k y =与一次函数b x y +=的图象在第一象限相交于点A （1，4+-k ）.（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数的另一个交点B的坐标，并求出△AOB的面积.（3）直接写出当反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围.28（14分）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．数学试题答案一选择题1—5BB DB C 6～10 ABDBA 11～15 AADCB二填空题16. 35 217. 用A 和a 分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；12用B 和b 分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa 、Ab 、Ba 、Bb ．所以颜色搭配正确的概率是．1218. （105—10）注：无括号也不再扣分19. 4320. 621. 622. 13501130或三解答题23.解设电线杆高x 米，由题意得：x 1.6=91.2 ---------------------------------------------------5分 X=12 ---------------------------------------------------7分答：电线高为12米 --------------------------------------------------8分24.解：（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率=433 =73；---------------------------------------------2分（2）画树状图为：---------------5分共有12种等可能的结果数，------------------------6分其中刚好是一男生一女生的结果数为6，----------------------------7分所以刚好是一男生一女生的概率==．----------------------8分25解：∵，-------------------------------1分， -----------------------------------2分∴AC AD =AB AE-------------------------------------3分∵∠A=∠A ，---------------------------------4分∴△ADE ∽△ACB.----------------------------------5分∴21==AC AD BC DE 即216=BC --------------------------------------7分∴BC=12---------------------------------------------8分26解：（1）证明：∵四边形EFGH 是正方形，∴EH ∥BC ，-----------------------1分∴∠AEH=∠B ，----------------------2分∠AHE=∠C ，-----------------------3分∴△AEH ∽△ABC ．-------------------4分（2）解：如图设AD 与EH 交于点M ．-----------------------5分∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM 是矩形，∴EF=DM ，设正方形EFGH 的边长为x ，-------------------6分∵△AEH ∽△ABC ，∴=，-------------------------------------------8分∴=，-------------------------------------10分∴x=，-----------------------------------------11分∴正方形EFGH 的边长为cm ，面积为cm 2．------------------------12分27题（1）∵点A （1，4k -+）在反比例函数k y x =的图象上∴=4k k -+解得=2k ----------------------------------------------------1分∴A （1，2）∵点A （1，2）在一次函数y x b =+的图象上∴12b +=解得1b =-----------------------------------------2分反比例函数的解析式为2y x =，一次函数的解析式为1y x =+-------4分（2）解方程组12y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩∵点B 在第三象限 ∴点B 坐标为2-1------------------6分∵1y x =+，当0y =时1x =-∴点C 坐标为1-0------------7分∴S △A O B =23-----------------------------10分（3）x<- 2或0<x<1----------------------------------12分注：写出一种情况给1分28题已知：如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=3cm ，点P 由B 点出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2cm/s ；点Q 由A 点出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为cm/s ；若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先根据勾股定理求出AB，再用△APC∽△ACB，得出，即：，求出时间；（2）先用垂直平分线的性质得出QM=CM=CQ=（3﹣t），然后用平行线分线段成比例建立方程求出结论；（3）先由平行四边形的性质建立方程求出时间t，即求出PQ，PB，即可得到PQ≠PB判断出四边形PQGB不可能是菱形．解：（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，∴AB=6，由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴，∴，∴t=；（2）存在，理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，CQ=3﹣t，∵点P是CQ的垂直平分线上，∴QM=CM=CQ=（3﹣t），∴AM=AQ+QM=t﹣（3﹣t）=（t﹣1）过点P作PM⊥AC，∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，∴，∴，∴t=或t=（舍），∴t=．（3）不存在，理由：由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，∴PQ∥BG，PQ=BG，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴t=，PQ=，∴BP=2t=3，∴PQ≠BP，∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解本题的关键是用方程的思想解决问题．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列命题中，真命题是（）A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 2．如图，菱形ABCD 中，B 60∠=，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（）A ．14B ．15C ．16D ．173．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ＞1且k≠0 D ．k ＜1且k≠0 4．一个袋子里装有8个球，其中6个黄球2个红球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（） A ．18 B ．16 C ．14 D ．345．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A 、250(1+x)=182B ．50+50(1+x)+250(1+x)=182C 、50(1+2x)＝182D ．50+50(1+x)(1+2x)=1826．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．对角线相等B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等7．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )A ．等腰梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．矩形 8．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 9．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（）①AC BD ⊥；②90BAD ∠=；③AB BC =；④AC BD =．A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③二、填空题 10．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 11．方程(x ＋2)(x －1)=0的解为___________________．12．已知23m p n q ==(n+q≠0)，则m p n q++＝_______________． 13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC 的长为。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B ．矩形的对角线相等C ．对角线相等的菱形是正方形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．一个菱形的两条对角线分别为4和5，则这个菱形的面积是（）A ．8B ．10C ．15D ．203．在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，34ADB ∠=︒，则BAO ∠的度数是A ．46°B ．54°C ．56°D ．60°4．如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为3.2km ，则M ，C 之间的距离是（）A ．0.8kmB ．1.6kmC ．2.0kmD ．3.2km 5．用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（）A ．2(3)9x +=B ．2(3)13x +=C ．2(3)5x +=D ．2(3)4x +=6．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．347．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或48．某地一家餐厅新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝60509．如图矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，CE 垂直平分DO ，AB 1=，则BE 等于（）A ．32B ．43C ．23D ．210．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则PBQ 周长的最小值为（）AB ．3C 1D ．二、填空题11．一元二次方程()211x x +=+的根是_____．12．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．13．x 2﹣4x+1＝（x ﹣2）2﹣______．14．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD 为菱形．15．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则k 的最大整数值是_________．16．一个袋子中6个红球，若干白球，它们除颜色外完全相同，现在经过大量重复的摸球试验发现，摸出一个球是白球的频率稳定在0.4附近，则袋子中白球有_____个．17．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交CD 于点P ，则∠FPC 的度数是______．18．如图，在Rt ABC 中，90A ∠= ，AB=6，BC=10，P 是BC 边上的一点，作PE 垂直AB ，PF 垂直AC ，垂足分别为E 、F ，求EF 的最小值是_____．三、解答题19．用适当的方法解方程：(1)x 2+2x ﹣1＝0；（用配方法）(2)3x 2﹣5x+1＝0；（用公式法）(3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法）(4)3x 2+5x ＝3x+3．（选择适当的方法）20．“一方有难，八方支援”．四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A 、B 两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川．（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中医生甲和护士A 的概率．21．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，AC ∥BE ，CE ∥BD ．(1)求∠DBC 的度数；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．22．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．23．某公园内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条长方形的矩形小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（注：所有小道宽度相等）24．某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．试问：每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△AFE≌△DBE；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案1．A【解析】根据特殊平行四边形的性质判断即可；【详解】经过判断，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误；B、C、D均正确；故答案选A．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，准确判断是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可；【详解】∵菱形的两条对角线分别为4和5，∴菱形的面积14510 2=⨯⨯=；故答案选B．【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，准确计算是解题的关键．3．C【解析】【分析】由矩形的性质得∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，则OA＝OD，由等腰三角形的性质得∠OAD＝∠ADB＝34°，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADB＝34°，∴∠BAO＝90°−∠OAD＝90°−34°＝56°；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，代入求出即可．【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵M为AB的中点，∴CM=12 AB，∵AB=3.2km，∴CM=1.6km，故选：B．【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB是解题的关键．5．C【解析】【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6．B【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为412=13，故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．7．A【解析】【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8．D【解析】【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．A【解析】【分析】根据矩形的性质可证明ODC ，OAB 都是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出OE 的长，即可的答案；【详解】四边形ABCD 是矩形，OA OB OD OC ∴===，CE 垂直平分相等OD ，CO CD ∴=，OC OD CD ∴==，OCD ，AOB 都是等边三角形，OB AB OD 1∴===，OE DE ==12OD=12，13BE 122∴=+=，【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判断和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．C【解析】【分析】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DQ ，交AC 于点P ，那么PBQ 的周长最小，此时PBQ 的周长BP PQ BQ DQ BQ.=++=+在Rt CDQ 中，由勾股定理先计算出DQ 的长度，再得出结果即可．【详解】连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB 、BD ，BD 交AC 于O ．四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，BO OD =，CD 2cm =，∴点B 与点D 关于AC 对称，BP DP ∴=，BP PQ DP PQ DQ ∴+=+=．在Rt CDQ 中，DQ ===，PBQ ∴的周长的最小值为：BP PQ BQ DQ BQ 1++=+=+．故选C ．【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P 的位置是解题关键．11．10x =，21x =-【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：2(1)1x x +=+ ，2(1)(1)0x x ∴+-+=，则(1)0x x +=，0x ∴=或10x +=，解得10x =，21x =-，故答案为：10x =，21x =-．12．﹣1．【解析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．13．3【解析】利用配方法的步骤整理即可．【详解】解：x 2﹣4x+1＝x 2﹣4x+4﹣3＝（x ﹣2）2﹣3，故答案为3，14．AD=DC （答案不唯一）【详解】由四边形ABCD 是平行四边形，添加AD=DC ，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形；添加AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形．故答案为：AD=DC （答案不唯一）．15．0【解析】关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则△=240b a -≥，且k-1≠0，求出k 的取值范围即可解决本题.【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则()=1410k 10△--≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩k ，解得：54k ≤且k≠1，则k 的最大整数值为；0，故答案为：0.16．4【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】设袋子中白球有x 个，由题意得，6x x+＝0.4，解得：x ＝4，经检验x=4是原方程的解故袋子中白球有4个，故答案为：4．17．112.5°【解析】利用正方形的性质得到90BCD ∠︒＝，45CBD ∠︒＝，再根据菱形的性质得BF 平分,EBD ∠，所以22.5CBP ∠︒＝，然后根据三角形外角性质计算∠FPC 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，90BCD ∴∠︒＝，45CBD ∠︒＝，∵四边形BEFD 为菱形，∴BF 平分∠EBD ，22.5CBP ∴∠︒＝，22.590112.5FPC PBC BCP ∴∠∠∠︒︒︒＝＋＝＋＝．故答案为：112.5︒．18．4.8【解析】根据已知得出四边形AEPF 是矩形，得出EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，根据垂线段最短得出即可．【详解】解：连接AP ，∵∠BAC=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，过A 作AP ⊥BC 于P ，此时AP 最小，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，BC=10，AB=6，由勾股定理得：AC=8，由三角形面积公式得：116810AP 22⨯⨯=⨯⋅，∴AP=4.8，即EF=4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理以及垂线段最短的应用．19．(1)x1＝﹣x 2＝﹣1(2)x 1x 2(3)x 1＝﹣12，x 2＝﹣16(4)1211,33x x --==【解析】【分析】（1）根据配方法求解即可；（2）根据公式法求解即可；（3）根据因式分解法求解即可；（4）根据公式法求解即可；(1)解：x 2+2x ﹣1＝0，x 2+2x ＝1，x 2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝，∴x 1＝﹣x 2＝﹣1(2)解：3x 2﹣5x+1＝0，∵a ＝3，b ＝﹣5，c ＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，则x即x 1＝56，x 2＝56-；(3)解：3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0，2x+1＝0或6x+1＝0，x 1＝﹣12，x 2＝﹣16．(4)解：3x 2+5x ＝3x+3，3x 2+2x-3=0∵a ＝3，b ＝2，c ＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，∴x ＝223-±⨯＝13-，∴x 1＝13-+，x 2【点睛】本题考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解法解一元二次方程的方法：配方法、公式法、因式分三种方法是解题的关键．20．（1）详见解析；（2）16【解析】（1）利用用树状图（或列表法）列举出所有情况；（2）让恰好选中医生甲和护士A 的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）用列表法或树状图表示所有可能结果如下：护士医生A B 甲（甲，)A （甲，)B 乙（乙，)A （乙，)B丙（丙，)A（丙，)B（2）因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的有1种，所以P（恰好选中医生甲和护士1)6A=．（3分）【点睛】本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）30°（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数；（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=12∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=12∠ABC=30°;（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC=90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形．【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．22．（1）见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，得AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，利用SAS 可证得△ABP ≌△CBP 即可证明PC ＝PE ．（2）由△ABP ≌△CBP ，得∠BAP ＝∠BCP ，从而得∠DAP ＝∠DCP ，再由PA ＝PE 即可证出∠DCP ＝∠E ，进而可证出∠CPE ＝∠EDF ＝90°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，在△ABP 和△CBP 中，=AB BC ABP CBP PB PB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA ＝PC ，∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，（2）解：由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP ，∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．23．小道进出口的宽度应为1米．【解析】【分析】观察图形可知，种植花草的地方拼凑起来可以得到一个新矩形，设小道进出口的宽度为x 米，则新矩形的长是（30﹣2x）m，宽是（20﹣x）m，根据面积公式列方程，求解即可．【详解】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，整理，得x2﹣35x+34＝0，解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据实际意义对求得的根进行取舍．24．每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元【解析】【分析】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，再写出单件利润的表达式（100﹣70﹣x），两者乘积为总利润，解方程，根据题意对根进行取舍，即可求出答案．【详解】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750，整理，得：x 2﹣20x+75＝0，解得：x 1＝5，x 2＝15．∵尽快减少库存，∴x ＝15．答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据题意对求得的根进行取舍．25．（1）证明见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE ，然后利用AAS 判定△AFE ≌△DBE 即可；（2）首先证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD ，进而可得四边形ADCF 是菱形．【详解】(1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；（2）解：四边形ADCF 是菱形，理由如下：∵△AFE ≌△DBE ，∴AF=BD ，∵AD 是斜边BC 的中线，∴BD=DC∴AF=DC ．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=12BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．。

2023年北师大版九年级上册数学期中综合测试试卷及答案

期中检测卷
【探究证明】 (2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点 G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE 与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由．
图1
图2
-37-
期中检测卷
解：(2)仍然成立．证明：延长AM至点H，使得AM＝MH，连接FH， BH． ∵M是BF的中点，∴BM＝FM， ∴四边形ABHF是平行四边形， ∴AB＝HF，AB∥HF， ∴AD＝FH，∠BAM＝∠FHA．
是2，则点B的坐标是( D )
A．(2，3)
B．(3，2)
C．(2，－3)
D．(3，－2)
-9-
期中检测卷
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA， OB的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根(OA＞OB)，在直线BC上取点P，使△PCD为等腰三角形，则点P的坐标为( D )
-38-
期中检测卷
由题易得∠EAD＝45°＋90°＝135°， ∠FHA＋∠FAM＝∠BAM＋FAM＝∠FAG＝45°， ∴∠AFH＝135°，∴∠EAD＝∠AFH， ∴△EAD≌△AFH(SAS)， ∴DE＝AH，∠AED＝∠FAH．又∵AM＝MH，∴DE＝2AM． ∵∠EAN＋∠FAH＝90°，∴∠EAN＋∠AED＝90°， ∴∠ANE＝90°，即DE⊥AM．
-39-
(50－x) 元．(用含x的代数式表示)
-29-
期中检测卷
(2)在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利为2100元? (3)商场能否每天盈利2300元?若能，请求出每件商品降价多少元；若不能，请说明理由．
-30-

北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A。

AB=ADB。

AC⊥BDC。

AC=BDD。

AD=CD2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A。

2B。

3C。

3√3D。

2√33.用配方法解一元二次方程x^2-4x=5时，此方程可变形为（）A。

(x+2)^2=9B。

(x-2)^2=9C。

(x+2)^2=25D。

(x-2)^2=254.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A。

x^2+3x-4=0B。

2x^3-3x-5=0C。

x+2=1/2D。

x^2+1=2x5.若代数式2x^2-5x与代数式x^2-6的值相等，则x的值是（）A。

-1或6B。

1或-6C。

2或3D。

-2或-36.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（）A。

1/6B。

1/3C。

1/2D。

2/37.2、3、4四个班，某校九年级共有80名学生，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）A。

1/8B。

1/6C。

3/8D。

1/28.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A。

1/4B。

1/3C。

1/2D。

3/49.某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年均增长率为多少？设该公司这两年缴税的年均增长率为x,根据题意，下列所列的方程正确的是（）A。

40+x^2=48.4B。

40(1+x^2)=48.4C。

40(1-x)^2=48.4D。

40(1+x)^2=48.410.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A。

北师大版九年级上册数学期中测试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，连接CE，连接DE交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1； 12．20； 13．18； 14．25%； 15．5； 16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2 B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，连接CE，连接DE交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1； 12．20； 13．18； 14．25%； 15．5； 16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．数学学习——了解每道题中蕴含的规律对于很多中学生来讲,数学似乎都是他们的“硬伤”。

北师大版数学九年级上册期中考试试卷(含答案)

北师大版数学九年级上册期中考试试卷(含答案)北师大版数学九年级上册期中考试试卷一、选择题（本大题共12小题）1.下列方程是一元二次方程的是（）A、ax2+bx+c=0B、x2-y+1=0C、x2=0D、(1/2)x+1=22.如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS3.关于x的方程(3m+1)x+2mx-1=0的一个根是1，则m的值是（）A、2/3B、-2/3C、-3/2D、3/24．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC、BD 相交于点O，OE⊥AC交AD于E，求△DCE的周长。

A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm5.根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是（）x。

ax2+bx+c3.23.-0.063.24.-0.023.25.0.033.26.0.09A、3＜x＜3.23B、3.23＜x＜3.24C、3.24＜x＜3.25D、3.25＜x＜3.266.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）7．下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（）A、3个B、4个C、5个D、6个8.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（）A、580(1+x)2=1185B、1185(1+x)2=580C、580(1-x)2=1185D、1185(1-x)2=5809．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°10.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C11.若等腰梯形两底的差等于一腰的长，则最小的内角是（）12.如图，小亮拿一张矩形纸，沿虚线对折一次得到图（2），再将对角两顶点重合折叠得到图（3）。

新北师大版九年级数学上册期中试卷(完美版)

新北师大版九年级数学上册期中试卷（完美版）班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．﹣2020的倒数是（）A ．﹣2020B ．﹣12020C ．2020D ．12020 2．计算12+16+112+120+130+……+19900的值为（） A ．1100 B ．99100 C ．199 D ．100993．关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（）A ．有两不相等实数根B ．有两相等实数根C ．无实数根D ．不能确定4．已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形5．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A ．x （x+1）＝210B ．x （x ﹣1）＝210C ．2x （x ﹣1）＝210D ．12x （x ﹣1）＝210 6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（）A ．4B ．5C ．6D ．77．如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD=8cm ，AE=2cm ，则OF 的长度是（）A ．3cmB ．6 cmC ．2.5cmD ．5 cm 8．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为4，则12k k -的值为（）A ．8B ．8-C ．4D ．4-9．图甲和图乙中所有的正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A ．①B ．②C ．③D ．④10．如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（）.A ．BD =DC ，AB =ACB ．∠ADB =∠ADC ，BD =DC C ．∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD D ．∠B =∠C ，BD =DC二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）181____________．2．分解因式：244m m ++＝___________．3．若a、b为实数，且b＝22117a aa-+-++4，则a+b＝__________．4．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________．5．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是__________．6．如图，已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB ⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则K=_______．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：24111 xx x-=--2．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．3．如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC 上有一点P ，使PO+PA 的值最小，求点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．5．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.6．学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．（1）求A，B两型桌椅的单价；（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）求出总费用最少的购置方案．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、B3、A4、C5、B6、C7、D8、A9、A10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、32、()22m+3、5或34、10．5、40°6、-2三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、3x=2、（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与y轴的交点为：（0，3）；与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）15.3、（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P (97,127)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．4、（1）答案略；（2）45°．5、（1）90人，补全条形统计图见解析；.（2）48︒；（3）560人.6、（1）A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；（2）y=﹣200x+162000（120≤x≤130）；（3）购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．。

北师版九年级数学上册期中检测题(word版,含答案)

期中检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数为奇数的概率是（）A .16B .13C .12D .232．下列判断错误的是（）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形3．已知一元二次方程x 2－x ＋2＝0，则下列说法正确的是（）A ．两根之和为1B ．两根之积为2C ．两根的平方和为－3D ．没有实数根4．若x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为（）A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．15．布袋中装有除颜色外没有其他区别的2个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A .12B .14C .16D .186．已知(x 2＋y 2＋1)(x 2＋y 2＋3)＝8，则x 2＋y 2的值为（）A ．－5或1B ．5或－1C ．5D ．17．使得关于x 的一元二次方程2x(kx －4)－x 2＋6＝0无实数根的最小整数k 为（）A ．－1B ．2C ．3D ．48．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．80(1＋x)2＝100B ．100(1－x)2＝80C ．80(1＋2x)＝100D ．80(1＋x 2)＝1009．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图①)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图②，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是宽的23，那么它的宽的值是( )A .1813B .513C ．1D ．以上都不对10．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD＝2EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为22；⑥AP⊥EF.其中正确结论的序号为( )A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④⑤⑥二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0有一个根为2，则方程的另一个根为.12．设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝.13．在一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄色、白色小球的数目相等．为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色后放回布袋中，再次搅匀……多次试验发现摸到红球的频率是16，则估计黄色小球的数目是.14．如图，要设计一幅宽20厘米，长30厘米的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶1，如果要使彩条所占面积是图案面积的一半，那么竖彩条宽度是多少？若设竖彩条宽度是x 厘米，则根据题意可列方程.,第14题图)15．如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是cm.(结果保留根号),第15题图)16．如图，两个圆盘中指针指向每一个数的机会均等，那么两个指针同时指向偶数的概率是.,第16题图)17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，ED＝3BE，则∠AOB的度数为.,第17题图)18．如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为,第18题图)三、解答题(共66分)19．(8分)解方程：(1)x2－5x＋2＝0; (2)x2－1＝2(x＋1)；(3)2x2－42x＝－3; (4)(x＋8)(x＋1)＝－12.20．(8分) 已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值．21.(8分)有两个可以自由转动的均匀转盘A，B都被分成了3等份，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A，B；②两个转盘停止后观察两个指针所指的数字(若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份内为止)．(1)用列表法(或树状图)分别求出“两个指针所指的数字都是方程x2－5x＋6＝0的根”的概率和“两个指针所指的数字都不是方程x2－5x＋6＝0的根”的概率；(2)王磊和张浩想用这两个转盘做游戏，他们规定：若“两个指针所指的数字都是x2－5x＋6＝0的根”时，王磊得1分；若“两个指针所指的数字都不是x2－5x＋6＝0的根”时，张浩得3分，这个游戏公平吗？若不公平，请修改得分规定，使游戏对双方公平．22．(9分) 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB 的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．23．(9分) 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？24．(12分)如图，矩形ABCD中，AB＝16 cm，BC＝6 cm，点P 从点A出发沿AB向点B移动(不与点A，B重合)，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C，D重合)．运动时间设为t s.(1)若点P，Q均以3 cm/s的速度移动，则AP＝________cm；QC ＝________cm；(用含t的代数式表示)(2)若点P以3 cm/s的速度移动，点Q以2 cm/s的速度移动，经过多长时间，PD＝PQ，△DPQ为等腰三角形？(3)若点P，Q均以3 cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？25．(12分)(1)如图①，已知在矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH＝EF＋EG；(2)若点E在BC的延长线上，如图②，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF，EG，CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3)如图③，BD是正方形ABCD的对角线，点L在BD上，且BL＝BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC 于点G，猜想EF，EG，BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想．答案：1. C2. D3. D4. D5. B6. D7. B8. A9. A10. A11. －312. 413. 2014. (30－2x)(20－4x)＝30015. 32 316. 6 2517. 60°18. 819. (1)解：x 1＝5＋172，x 2＝5－172 (2)解：x 1＝－1，x 2＝3(3)解：x 1＝322，x 2＝12 2 (4)解：x 1＝－4，x 2＝－520. 解：(1)由题意可知：Δ＝(2m －2)2－4(m 2－2m)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根(2)∵x 1＋x 2＝2m －2，x 1x 2＝m 2－2m ，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，∴(2m －2)2－2(m 2－2m)＝10，∴m 2－2m －3＝0，∴m ＝－1或m ＝321. 解：(1)解方程x 2－5x ＋6＝0得x 1＝2，x 2＝3，画树状图得：∴指针所指两数都是该方程根的概率是49，指针所指两数都不是该方程根的概率是19(2)不公平，∵1×49≠3×19，修改得分规则为：指针所指两个数都是该方程根时，王磊得1分，指针所指两个数都不是该方程根时，张浩得4分，此时1×49＝4×19，游戏对双方公平22. 解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠OAB ＝∠DCA ，∵AC 为∠DAB 的平分线，∴∠OAB ＝∠DAC ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴CD ＝AD ＝AB ，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ＝AB ，∴▱ABCD 是菱形(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，BD ⊥AC ，∵CE ⊥AB ，∴OE ＝OA ＝OC ，∵BD ＝2，∴OB ＝12BD ＝1，在Rt △AOB 中，AB ＝5，OB ＝1，∴OA ＝2，∴OE ＝OA ＝223. 解：(1)设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1000，∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝－10x ＋1000(2)设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售数量为(－10x ＋1000)台，根据题意得(x －30)(－10x ＋1000)＝10000，解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x ＝50.答：该设备的销售单价应是50万元/台24. 解：(1)∵AP ＝3t ，CQ ＝3t.故答案为3t ，3t(2)过点P 作PE ⊥CD 于点E ，∴∠PED ＝90°，∵PD ＝PQ ，∴DE ＝12DQ.在矩形ABCD 中，∠A ＝∠ADE ＝90°，CD ＝AB ＝16 cm ，∴四边形PEDA 是矩形，∴DE ＝AP ＝3t ，又∵CQ ＝2t ，∴DQ ＝16－2t.由DE ＝12DQ ，得3t ＝12×(16－2t)，∴t ＝2.∴经过2 s 时，PD ＝PQ ，△DPQ 为等腰三角形(3)在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，依题意知AP ＝CQ ＝3t.∴PB ＝DQ ，∴四边形BPDQ 是平行四边形，当PD ＝PB 时，四边形BPDQ 是菱形．PB ＝AB －AP ＝16－3t.在Rt △APD 中，PD ＝AP 2＋AD 2＝9t 2＋36，由PD ＝PB ，得16－3t ＝9t 2＋36，∴(16－3t)2＝9t 2＋36，解得t ＝5524.∴经过5524s 时，四边形BPDQ 是菱形25. 解：(1)如图，过E 点作EN ⊥CH 于点N.∵EF ⊥BD ，CH ⊥BD ，∴四边形EFHN 是矩形．∴EF ＝NH ，FH ∥EN.∴∠DBC ＝∠NEC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，且互相平分．∴∠DBC ＝∠ACB ，∴∠NEC ＝∠ACB.∵EG ⊥AC ，EN ⊥CH ，∴∠EGC ＝∠CNE ＝90°，又∵EC ＝CE ，∴△EGC ≌△CNE.∴EG ＝CN.∴CH ＝CN ＋NH ＝EG ＋EF(2)CH ＝EF －EG(3)EF ＋EG ＝12BD。

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