福建省龙岩市2009年普通高中毕业班单科质量检查

福建省龙岩市2009年普通高中毕业班单科质量检查 数学(理科)试题 2009.03（考试时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共８页．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请把正确答案填在题目后面的括号内．1. 已知i 是虚数单位，实数y x ,满足(i)i 12i x y ++=+，则y x -的值为 （ ） A.－1 B. 0 C. 1 D. 22. 计算dx x 2402-⎰的结果是 （ ）A. π4B. π2C. πD.2π 3. 对某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则 学生体重在60kg 以上的人数为 （ ） A. 200 B. 100 C. 40 D. 204. 右边的程序运行后，输出的结果为 （ ） A. 13，7 B. 7，4 C. 9，7 D. 9，55. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为1F 、2F ，4=b ，离心率为53．过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ） A. 10B. 12C. 16D. 206. 已知函数1cos 22sin )(2-+=x x x f ，将)(x f 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数)(x g y =的图象，则)(x g 的解 析式为（ ） A. x sin 2 B. x cos 2C. )434sin(2π-x D. x 4cos 2. 7. 下列说法正确的是（ ）A. 函数)62sin(2π-=x y 的图象的一条对称轴是直线12π=xB. 若命题P ：“存在R x ∈，012>--x x ”，则命题P 的否定：“任意R x ∈，012≤--x x ”C. 若0≠x ，则21≥+xxD. “1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件 8. 设m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若α⊥m ，α//n ，则n m ⊥ ②若βα//，γβ//，α⊥m ，则γ⊥m ③若α//m ，β//m ，则βα// ④若γα⊥，γβ⊥，则βα//其中正确命题的序号是（ ） A. ①和② B. ②和③C. ③和④D. ①和④9. 对任意两个正整数m 、n 定义某种运算○+：()()m n m n m nm n mn+⎧⊕=⎨⎩与奇偶性相同与奇偶性不同，则集合P (,|20,,a b a b a b ⊕=∈＝｛）N *｝中元素的个数为（ ） A. 21B. 22C. 23D. 2410. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设ij a （i ，j ∈N *）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如42a ＝8． 若ij a ＝2009，则i 与j 的和为（ ）A. 105B. 106C. 107D. 108第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，请把正确答案填在后面横线上． 11. 袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望=ξE .12. 已知二项式62）（xa x +的展开式中的常数项为15，则实数a 为 . 13. 设向量a ,b 满足| a －b |=2，| a |=2，且a －b 与a 的夹角为3π，则| b |= .14. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)1(log )(2+=x x f . 若2)(-<m f ， 则实数m 的取值范围是 .15. 对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，!!(2)n n n =-(4)n -642⨯⨯⨯⨯ ； 当n 为奇数时，135)4)(2(!!⨯⨯⨯⨯--= n n n n . 现有四个命题：①（2009！！）·（2008！！）=2009！； ② 2008·2008！！=2009！！－ 2008！！； ③ 2009！！的个位数字为5；④（a +b ）!! = a !!+b !!（a 、b ∈ N *）其中所有正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分）已知),2(ππα∈，且262cos 2sin=+αα. （Ⅰ）求αcos 的值；（Ⅱ）若53)sin(-=-βα，),2(ππβ∈，求cos β的值.17.（本小题满分13分）如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥，11==AA AC ，P 为线段AB 上的动点.（Ⅰ）求证：P C CA 11⊥；（Ⅱ）当AP 为何值时，二面角111A PB C --的 大小为4π？18. (本小题满分13分)近段时间我国北方严重缺水, 某城市曾一度取消洗车行业. 时间久了，车容影响了市容市 貌. 今年该市决定引进一种高科技产品污水净化器，允许洗车行开始营业，规定洗车行必须购买这种污水净化器，使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车. 污水净化器的价格是每台90万元，全市统一洗车价格为每辆每次8元. 该市今年的汽车总量是80000辆，预计今后每年汽车数量将增加2000辆.洗车行A 经过测算，如果全市的汽车总量是x ，那么一年内在该洗车行洗车的平均辆次是x 41，该洗车行每年的其他费用是20000元. 问： 洗车行A 从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本？ （注：洗车行A 买一台污水净化器就能满足洗车净水需求）19.（本小题满分13分）已知抛物线C:)0(22>=p px y 上横坐标为4的点到焦点的距离为5. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B 是抛物线C 上任意两点，且a y y =-||21（0>a ，且a 为常数）. 过弦AB 的中点M 作垂直于y 轴的直线交抛物线于点D ，连结AD 、BD 得到ABD ∆，求证：ABD ∆的面积为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过弦AD 、BD 的中点作垂直于y轴的直线依次交抛物线于点E 、F ，连结AE 、DE 和BF 、 DF ，得到ADE ∆和BDF ∆，并按此方法继续下去. 若设ABD S a ∆=1, ,2BDF ADE S S a ∆∆+=，n a 是第n 次操作时得到的12-n 个三角形面积的和，记n n a a a S +++= 21，求证：243a S n <.20.（本小题满分14分）设函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++（a ∈R ）. （Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）当2=a 时，对于任意正整数n ，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n 16,21上总存在m +4个数12,,a a 31234,,,,,,,m m m m m a a a a a a ++++ 使得<+++)()()(21m a f a f a f 1()m f a ++234()()()m m m f a f a f a +++++成立，试问：正整数m 是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由.OAPBA 1C 1B 1C21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵P=⎪⎪⎭⎫⎝⎛020a ，Q=⎪⎪⎭⎫⎝⎛010b ，若矩阵PQ 对应的变换把直线04:1=+-y x l 变为直线04:2=++y x l ，求a 、b 的值.（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程是01sin cos =-+θρθρ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆Ｃ的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos 2y x （θ为参数），求直线l 和椭圆Ｃ相交所成弦的弦长． （3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知实数c b a 、、满足12=++c b a ，1222=++c b a ，求证：213c -≤≤.2009年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1. B 2. C 3. B 4.C 5.D 6.A 7. B 8. A 9. C 10. C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分. 11. 112. 1±13. 214. (,3)-∞-15. ①③三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识，考查学生的运算求解能力. 满分13分. 解：（Ⅰ）因为sin cos222αα+=两边同时平方得1sin 2α=. ………………………………………（4分） 又2παπ<<，所以cos 2α=-. ………………………………………（6分） （Ⅱ）因为2παπ<<，2πβπ<<，所以2ππβ-<-<-，得22ππαβ-<-<.又3sin()5αβ-=-,知4cos()5αβ-=. …………………（9分）cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-413()525=+⨯-=. ………………………………………（13分）17. 本题主要考查线线位置关系，二面角的求法等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力. 满分13分. 解：（Ⅰ）证明：连结1AC ，侧棱1AA ⊥底面ABC ， 1AA AB ∴⊥，又AB AC ⊥ .AB ∴⊥平面11A ACC .又1CA ⊂ 平面11A ACC ，1AB CA ∴⊥ . ………（3分） 11AC AA == ，∴四边形11A ACC 为正方形，CB 111AC CA ∴⊥.1AC AB A = ， 1CA ∴⊥平面1AC B .又1C P ⊂平面1AC B ，11CA C P ∴⊥. …………（6分） （Ⅱ）1111111,,C A AA C A A B ⊥⊥ 1111AA A B A = .∴11C A ⊥平面11ABB A .又11111112ABC A B C V AB -=⨯⨯⨯= ， 2AB ∴=.如图，以1A 为原点，建立空间直角坐标系1A -xyz ，设AP=x ，则 1(0,0,0)A 、1(0,2,0)B 、1(0,0,1)C 、(1,,0)P x .知面11A PB 的一个法向量为11(0,0,1)A C = ，……（9分） 设面11C PB 的一个法向量为(,,)n a b c =，1(1,2,0)B P x =- ，11C B(0,2,1)=- .由1110n B P n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(2)020a x b b c +-=⎧⎨-=⎩令1,2,2b c a x ===-则， (2,1,2)n x ∴=-………（11分）依题意：1111cos 4||n AC n AC π⋅==⋅解得12x =，22x =2AP ∴=111C PB A --的大小为4π. …………（13分） 18．本题主要考查数列与不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，考查应用意识. 满分13分.解：设第一年（今年）的汽车总量为1a ，第n 年的汽车总量为n a ，则180000a =282000a =，…80000(1)2000n a n =+-⋅.数列{}n a 构成的首项为80000，公差为2000的等差数列，12(1)8000020002n n n n S a a a n -=++⋅⋅⋅+=+⋅. ………………………（4分） 若洗车行A 从今年开始经过n 年可以收回购买净化设备的成本. 则（(1)8000020002n n n -+⋅）184⋅⋅-20000n ≥900000，………………………（8分） 整理得，2694500,n n +-≥(6)(75)0,n n -+≥因为0n >，所以 6n ≥.答：至少要经过6年才能收回成本. …………………………………………（13分）19．本题主要考查直线与抛物线的位置关系、等比数列求和等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分 解：（Ⅰ）依题意得：452p+=，解得2p =. 所以抛物线方程为24y x = . ………………………………………………（3分） （Ⅱ）若12x x =，即直线AB 垂直于x 轴，不防设12y y >，由12,y y a -=又由抛物线对称性可得：12ay =.又2114y x =，得 2116a x = ，故S △ABD =332a . …………………………（4分）若12x x ≠，设直线AB 方程：y kx b =+，由方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x 得：2440ky y b -+=.（※）依题意可知：0k ≠. 由已知得124y y k +=，124b y y k=. ……………………………………（5分） 由12y y a -=，得221212()4y y y y a +-=， 即221616b a k k-=，整理得221616kb a k -=. 所以2216(1)a k kb =- . …………………………………………（6分）yCB A 1 A zx C 1B 1PAB 中点222(,)bk M k k -， 所以点212(,)D k k，依题意知12211122ABD bkS DM y y a k -=-=⨯⨯ .又因为方程（※）中判别式16160kb =-> ，得10kb ->.所以2112ABD bk S a k -=⨯⨯ ，又22116a k bk -=，所以23121632ABDa a S a =⨯⨯= . 又a 为常数，故ABD S 的面积为定值. …………………………………（9分）（Ⅲ）依题意得：31,32aa =3323()()242,4,3232a a a a =⨯=⨯…，311()2232n n n a a --⨯=. 故332n a S =⨯111416⎡+++⎢⎣…2212n -⎤+⎥⎦311()413214n a -=⋅- 311()244n a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦＜324a . ………………………………（13分） 注：本题第（Ⅱ）问另解，参照本标准给分；第（Ⅲ）问若用定积分证明，同样给分. 20. 本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.解：（Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞.当0a =时，1()2ln f x x x =+ ，222121()x f x x x x -'=-=. 令()0f x '=，解得12x =. 当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，()0f x '> . 又1()22ln 22f =-，所以()f x 的极小值为22ln 2-，无极大值 . …………………………（3分）（Ⅱ）221()2a f x a x x-'=-+ 222(2)1ax a x x +--= .令()0f x '=，解得1211,2x x a =-=. …………………………（4分）若0a >，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x > .若0a <，①当2a <-时，112a -<，令()0f x '<，得10x a <<-或12x >；令()0f x '>，得112x a -<<.②当2a =-时，22(21)()0x f x x -'=-≤. ③当20a -<<时，得112a ->，令()0f x '<，得102x <<或1x a >-；令()0f x '>，得112x a<<-.综上所述，当0a >时，()f x 的递减区间为1(0,)2，递增区间为1(,)2+∞.当2a <-时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a -+∞；递增区间为11(,)2a -.当2a =-时，()f x 递减区间为(0,)+∞.当20a -<<时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a -+∞，递增区间为11(,)2a-. …………………………（9分）（Ⅲ）当2a =时，1()4f x x x=+， 由222141()4x f x x x -'=-+=，知11,62x n n ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥ . 1()()42f x f ==min ，1()(6)f x f n n =++max .依题意得：11()4(6)2mf f n n <++ 对一切正整数成立. ……………（11分）令16k n n=++ ，则8k ≥（当且仅当1n =时取等号）.又()f k 在区间1[6,)n n+++∞单调递增，得min 1()328f k =，故1328m <，又m 为正整数，得32m ≤，当32m =时，存在123212a a a ==⋅⋅⋅==，12348m m m m a a a a ++++====，对所有n 满足条件.所以，正整数m 的最大值为32. …………………………………（14分）21. （1）本题主要考查矩阵乘法与变换等基本知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思 想. 满分7分. 解：PQ ＝020120000b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，PQ 矩阵表示的变换T ：(,)(,)P x y P x y ''' 满足条件'20'0x b x y a y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以'2,',x bx y ay =⎧⎨=⎩………………………（3分）直线40x y -+=任取点(),x y ，则点()2,bx ay 在直线40x y ++=上，故240bx ay ++=，又40x y -+=，得21,1,b a =⎧⎨=-⎩所以1,1.2a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ………………………………………（7分）（2）本题主要考查直线极坐标方程和椭圆参数方程等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 满分7分.解：由题意知直线和椭圆方程可化为：10x y +-=，①2214x y +=． ② …………………………（２分）①②联立，消去y 得：2580x x -=，解得10x =，285x =． 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则12AB x =-5=故所求的弦长为5． …………………………（７分）（3）本题主要考查不等式证明等基本知识，考查化归与转化思想. 满分7分.解：因为22221,1a b c a b c ++=++=， 所以22221,1a b c a b c +=-+=-． 由柯西不等式：22222(12)()(2)a b a b ++≥+ ， …………………………（3分）225(1)(1)c c -≥-，整理得，2320c c --≤， 解得213c -≤≤． ∴213c -≤≤． …………………………（7分）。