甘肃省通渭县黑燕山学校人教版数学九年级上册教案：223 实际问题与二次函数(2)
人教版数学九年级上册 教案：22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案：22.3《实际问题与二次函数》一、教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系。
2.掌握解决实际问题的二次函数模型建立方法。
3.能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学重难点1.掌握如何将实际问题抽象为二次函数模型。
2.解决实际问题时的思维过程和方法。
三、教学准备1.课本《人教版数学》九年级上册。
2.教学投影仪。
3.讲义、笔、纸等。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾上节课学习的内容，并复习二次函数的定义、图像和性质。
2. 引入实际问题给出一个实际问题，例如：小明用压岁钱买了一台照相机，照相机的价格是x 元，如果每售出一台照相机，他能从中获利5x - x^2 元。
请问小明应该以多少价格售出照相机，才能使利润最大化？3. 建立二次函数模型解释给出问题，并引导学生思考如何建立二次函数模型。
提示学生需要确定自变量和因变量，并分析问题中的关系。
通过与学生互动，引导出二次函数模型：利润函数 P(x) = 5x - x^2。
4. 解决问题通过对利润函数进行求导，并求得导函数为0的临界点 x = 2.5。
由此可得，当照相机的价格为2.5元时，小明的利润最大化。
5. 拓展实际问题给出更多类似的实际问题，例如：某体育用品店销售护膝，价格为x元一副，销量为100 - 5x副。
请问店家应该以多少价格销售护膝，才能使利润最大化？引导学生分析问题并建立二次函数模型。
通过解法流程的讲解，帮助学生掌握解决实际问题的方法。
6. 总结回顾对本节课学习的内容进行总结回顾。
重点强调实际问题与二次函数之间的联系，以及解决实际问题的方法。
五、课堂练习根据给出的实际问题，学生单独完成建立二次函数模型，并求解出最优解。
1.某农场种植西瓜，每亩土地种植西瓜数量为x只，销量为100x - 2x^2只。
请问农场应该种植多少只西瓜，才能使销售额最大化？2.某旅游公司举办一次旅行，每人收费为x元，游客的数量为200 - 10x人。
人教版-数学-九年级上册-22.3 实际问题与二次函数(1) 教案
22.3.2实际问题与二次函数一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型，发展合情推理．3.能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．（二）学习重点学会用二次函数知识解决实际问题, 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．（三）学习难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．二、教学设计（一）课前设计预习任务二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴是x= 2b a -；二次函数的图象是一条抛物线，当a ＞0时，图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下；2.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：（1）若a>0，则当x=2b a -时，y 最小值=244ac b a -；（2）若a<0，则当x=2b a -时，y 最大值=244ac b a -.预习自测1.已知二次函数221y x x =-++，当x=______时，取得最_______值为_______； 【知识点】二次函数求最值【解题过程】配方，得2(1)2y x =--+，∴当x=1时，取得最大值为2.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值【答案】1、大、2.2.已知二次函数221y x x =-++，2≤x≦5，则当x=______时，取得最大值为_______；x=______时，取得最小值为_______。
【知识点】二次函数区间求最值【解题过程】配方，得2)1(2+--=x y ，∵2≤x≤5 在对称轴的右边,且抛物线开口向下，∴当2≤x≤5时，y 随x 的增大而减小，∴当x=2时，取得最大值为1；当x=5时，取得最小值为-14.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式，再根据x 的取值范围并结合图象，求二次函数的区间最值【答案】2，1；5，-14.3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件售价应为____元．【知识点】二次函数的应用．【思路点拨】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【解题过程】解：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣20）（30﹣x ）=2x 2525+-（﹣）， ∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，【答案】254.某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x 元(x>50)，每月销售这种篮球获利y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？【知识点】销售问题中的数量关系，二次函数求最值【解题过程】解：(1)y ＝－10x2＋1400x －40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x －40000＝8000，化简得x2－140x ＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．【思路点拨】关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．(二)课堂设计1.知识回顾（1）营销问题的基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价． （2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：①若a>0，则当x=2b a -时，y 最小值=244ac b a -；②若a<0，则当x=2b a -时，y 最大值=244ac b a -.2.问题探究探究一 销售问题中的利润最大问题（★▲）●活动1 回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式.师问：销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的数量关系是什么？学生抢答： 成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动2 整合旧知，探究利润最大问题创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课.师问：在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。
甘肃省通渭县黑燕山学校人教版数学九年级上册教案：213 实际问题与一元二次方程(1)
一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金 和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率．（利息 税为利息的 20%） 分析： 设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息是 1000+2000x·80%；第二次 存，本金就变为 1000+2000x·80%，其它依此类推． 课本 46 页探究 2
○ 2 ．某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为 了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为（ ）． A． 创建对象。 D． B．p C．错误！不能通过编辑域代码
○ 3 ． 2009 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来 二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共 250 家，设二、三月 份平均每月禽流感的感染率为 x，依题意列出的方程是 （ ）． A． 100 （1+x） =250 C．100（1-x） =250
分析：设正方体的棱长是 xdm，则一个正方体的表面积是多 少？10 个呢？等量关系是什么？ 探究课本 38 页问题
分析： 设物体经过 xs 落回地面，这时它离地面的高度是多 少？ 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物， 剩下的 1000 元及应得利息又全部按 - 1 - / 4 教师指导学生进行阅 读，找关键词，题中数 淡化解方程， 重 点突出列方程
学生尝试叙述，然后师 生归纳 让学生更加熟 练地列方程解 应用题， 并强化 运用.把握百分 率问题 师引导生对照上题，分 的解题技巧 析找出两题的异同点
让学生体会建立数学模 型思想ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析、解决实 际问题. 通过类比， 联系 新旧知识， 明确 共性.
人教版初中数学九年级上册第二十二章 二次函数 .3实际问题与二次函数 优秀教案
22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标：1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。
这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1)因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB2＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a ＝－0.2因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。
请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。
二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。
人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.二次函数图像与实际问题的联系，通过图像分析实际问题，求解最优解。
本节内容将结合具体案例，让学生在实际问题中理解和掌握二次函数的性质和应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识，特别是二次函数知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它在生活中有着广泛的应用。它可以帮助我们解决最优化问题，如成本最小化、利润最大化等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个工厂的成本与生产数量之间的关系是二次函数，如何求解成本最小时的生产数量？通过这个案例，展示二次函数在实际中的应用。
在小组讨论环节，学生们的表现让我感到欣慰。他们能够围绕二次函数在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点。这说明他们在思考问题和解决问题的能力上有了很大的提升。但在引导讨论时，我意识到需要提出更具针对性和启发性的问题，以激发学生的思考和创新能力。
最后，总结回顾环节，学生们对今天的学习内容有了较好的掌握。但我也发现，仍有一些学生对二次函数的应用不够熟练。在今后的教学中，我会加强对这部分学生的辅导和关注，确保他们能够跟上教学进度。
人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22章第三节的内容。
本节课主要让学生学习如何将实际问题转化为二次函数模型，并通过解决实际问题来巩固和提高对二次函数的理解和应用能力。
教材通过引入一些实际问题，让学生学会用二次函数的知识去解决这些问题，从而培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题，对学生来说可能还是有一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识联系起来，让学生在解决实际问题的过程中，加深对二次函数的理解。
三. 教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系，学会将实际问题转化为二次函数模型。
2.掌握二次函数在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的数学应用意识，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：实际问题与二次函数之间的转化，二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学法，通过引入一些实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决这些问题。
在解决问题的过程中，教师引导学生总结实际问题与二次函数之间的关系，从而达到巩固知识，提高应用能力的目的。
六. 教学准备1.准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识去解决。
2.准备教学PPT，用于展示和讲解实际问题与二次函数之间的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何运用二次函数的知识去解决这些问题。
2.呈现（15分钟）教师呈现一些实际问题，让学生独立思考，尝试将实际问题转化为二次函数模型。
教师在这个过程中，给予学生适当的引导和帮助。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数教案
22.3 实际问题与二次函数(2课时)第1课时用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星(3)期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．。
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。
通过前面的学习，学生已经掌握了二次函数的基本概念、图像和性质。
本节内容将引导学生将二次函数知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的解题思路和方法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的知识点有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题解决的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识掌握情况，引导学生将理论应用于实践，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的运用，提高学生的数学应用能力。
2.学会将实际问题转化为二次函数问题，掌握解决实际问题的方法。
3.培养学生的团队协作能力和思维敏捷性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体的实际问题，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.讨论法：分组讨论，引导学生共同探讨解决实际问题的方法。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对二次函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何利用二次函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）讲解教材中的案例，让学生直观地了解二次函数在实际问题中的应用。
引导学生分析案例中的关键信息，找出二次函数的关系式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些类似的实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。
这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。
2.将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。
例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。
通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。
每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。
数学人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(1)教学设计
实际问题与二次函数〔1〕教学设计一、教学内容二次函数y ax2bx c的最小〔大〕值及其应用二、教材分析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中涉及的最大利润、最大面积等实际问题都与二次函数的最小〔大〕值有关。
本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的根底上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小〔大〕值，并运用这个结论解决相关的实际问题。
通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法。
此局部内容既是学习一次函数及其应用后的稳固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法根底。
三、学情分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一缺乏而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
四、教学目标1、知识与技能：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大〔小〕值，开展解决问题的能力。
2、过程与方法：应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。
3、情感态度与价值观：在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。
五、教学重难点重点：探究利用二次函数的最大值〔或最小值〕解决实际问题的方法．难点：将实际问题转化为二次函数的问题．六、教学方法和手段讲授法、练习法七、学法指导讲授指导八、教学过程(一)、课前准备，知识回忆1.用公式法求二次函数h5t230t的顶点坐标：t b，2a4acb2；即顶点坐标为.h4a2.将二次函数h5t230t配方为顶点式为；顶点坐标为；当t=时，h最大值为.设计意图：课前练习设计了用公式法和配方法求二次函数h5t230t的顶点坐标，目的是让学生通过合作，熟练用两种方法求抛物线的顶点坐标。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第2课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第2课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第2课时，主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。
这部分内容紧承上一课时，使学生能够更好地理解和掌握二次函数的知识，培养学生的实际问题解决能力。
教材通过丰富的例题和练习，引导学生将二次函数知识应用于实际问题的解决中，进一步体会数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但学生在解决实际问题时，往往难以将数学知识与生活实际相结合，对二次函数在实际问题中的应用还不够熟练。
因此，在教学本课时，需要注重培养学生的实际问题解决能力，引导学生将所学知识运用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的运用；2.能够将实际问题转化为二次函数模型，并求解；3.培养学生的实际问题解决能力，提高学生对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的运用；2.难点：将实际问题转化为二次函数模型，并求解。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过丰富的例题和练习，引导学生将二次函数知识应用于实际问题的解决中。
同时，运用启发式教学法，激发学生的思考，培养学生的实际问题解决能力。
六. 教学准备1.教学PPT；2.例题及练习题；3.教学素材（如图片、实际问题等）。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线形的篮球筐，引导学生思考二次函数在实际问题中的应用。
提问：我们可以用二次函数来描述这个篮球筐的形状吗？2.呈现（15分钟）呈现一个实际问题：某商店进行打折活动，商品原价为一元，打折后的价格是一个二次函数。
要求学生找出这个二次函数的表达式，并分析打折力度对商品售价的影响。
3.操练（20分钟）学生分组讨论，尝试解决这个实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数课程设计
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数课程设计一、课程设计背景人教版九年级上册数学教材第22章“函数应用”中，第22.3节“实际问题与二次函数”是一个涉及到二次函数的实际应用问题的课程。
在该节课中，学生需要掌握如何通过二次函数模型解决一些实际问题，并能够应用二次函数的特性进行分析和解决实际问题。
因此，本文将结合该节课程的教学目标和要求，设计一套适合于学生学习的课程内容和学习方式。
二、课程设计目标1.知识目标：了解二次函数的定义和特性，学会使用二次函数解决实际应用问题。
2.能力目标：通过讨论和解决实际问题，培养学生的实际问题解决能力和思维能力。
3.情感目标：激发学生对数学学科的兴趣和热爱，增强学生对数学的认知和思考能力。
三、课程设计内容1. 二次函数的定义和特性通过课件和教材的介绍，让学生了解二次函数的定义、二次函数的图像、二次函数的顶点坐标、二次函数的轴、二次函数的对称性等基本知识。
2. 二次函数的应用举例通过一些基础的例子，例如：通过现实环境中的某个问题，展示出二次函数的应用场景和使用方法，设计一些习题，让学生通过练习来掌握解决实际问题时，如何运用二次函数。
3. 实际问题的解决方法结合实际案例，设计如何使用二次函数解决实际问题的例子，并进行解答和讨论。
例如，对于某家公司销售人员年销售额进行分析，并找出年最高和年最低销售额的解决方法。
4. 二次函数相关应用通过对实际场景的应用，引导学生思考如何用二次函数解决更复杂和高级的问题。
例如，如何通过拟合二次函数来展示某股票价格的走势。
通过这些高级的应用场景，让学生对二次函数能力的深入了解和应用。
四、课程设计形式1. 互动式讲解在介绍二次函数的定义和特性时，可以通过课件、实物模型、习题等方式进行互动式的讲解，让学生更加直观了解和理解二次函数背后的数学概念。
2. 组内协同探究设计一些实际问题习题，划分学生小组，让学生在小组中协同探究问题，并进行讨论和研究，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
人教版九年级数学上册教案22.3实际问题与二次函数(2)
22.3 实际问题与二次函数（2）教学目标：1．复习用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
重点难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。
教学过程： 一、复习巩固1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。
答案：(1)y ＝x 2＋x ＋1，(2)图略(3)对称轴x ＝－12，顶点坐标为(－12，34)。
3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴，顶点坐标各是什么? [对称轴是直线x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b24a )]二、范例例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方可得y ＝a(x ＋h)2＋k 的形式称为顶点式，(－h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y ＝a(x －8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。
练习：练习1．(2)。
例2．已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c ＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x ＝2，可以得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝29a ＋3b ＝6解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8所以所求的二次函数的关系式为y ＝－2x 2＋8x －5。
解法二；设所求二次函数的关系式为y ＝a(x －2)2＋k ，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到⎩⎨⎧a(3－2)2＋k ＝1a(0－2)2＋k ＝－5 解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝－2k ＝3所以，所求二次函数的关系式为y ＝－2(x －2)2＋3， 即y ＝－2x 2＋8x －5。
人教版数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数(3) 教案
22.3 实际问题与二次函数第3课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．如上图，设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a ×22，a ＝－21． 这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21 x 2． 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为－3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为6，－6，据此可求出这时的水面宽度是26．答：水面下降1m ，水面宽度增加26－4m ．三、巩固练习某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示．根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题（1）就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题（2）就是求右图B 点的横坐标．学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评．。
人教版-数学-九年级上册-22.3 实际问题与二次函数(3) 教案
22.3 实际问题与二次函数（3）一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会；3.利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解；4.通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用.（二）学习重点建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会；利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.（三）学习难点建立适当的直角坐标系，建立二次函数数学模型二、教学设计（一）课前设计预习任务二次函数2(0)y ax a =≠的图象是一条抛物线,对称轴是_y 轴_,顶点坐标是_（0,0）,当a _<__0时，开口向下；当a __>___0时，开口向上. 抛物线214y x =的顶点坐标是（0,0）,对称轴是y 轴__,开口向上;抛物线23y x =-的顶点坐标是（0,0）,对称轴是y 轴,开口向下.已知抛物线的顶点坐标是（-1，-5），与y 轴的交点坐标是（0， 5），则这条抛物线的解析式是210205y x x =++ 预习自测1．二次函数223y x x =--与y 轴的交点坐标为_______，与x 轴的交点坐标为_______.【知识点】求二次函数与两轴的交点【解题过程】解：因为223y x x =--，所以令0y =，2230x x --=解得123,1x x ==-.故223y x x =--与x 轴的交点为(3,0),(1,0)-；与y 轴交点(0,3)-【思路点拨】求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与x 轴交点即为(0,)c【答案】(0,3)-；(3,0),(1,0)-【设计意图】复习任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠与两轴的交点,为解决实际问题准备计算工具.2．已知二次函数223y x x =--，①当22x -<<时，y 的取值范围为__________；②当30x -<<时，y 的取值范围为__________；③当24x <<时，y 的取值范围为__________.【知识点】求区间最值．【思路点拨】由上面可知对称轴是1x =，需要判断区间和对称轴的位置关系，结合图象判断.【解题过程】解：∵223y x x =--开口向上，对称轴是1x = ①当22x -<<，可知当1x =时min 4y =-，当2x =-时max 5y =，∴45y -≤<②当30x -<<，可知此时对称轴1x =在区间的右侧，此时y 此随x 的增大而减小，因此当max 3,12x y =-=，min 0,3x y ==-.所以当30x -<<时，312y -<<③当24x <<，可知此时对称轴1x =在区间的左侧，此时y 此随x 的增大而增大，因此当min 2,3x y ==-，max 4,5x y ==.所以当24x <<时，35y -<<.【答案】①45y -≤<；②312y -<<；③35y -<<【设计意图】复习给定区间求最值，有时区间包含对称轴，有时区间不包含对称轴, 从学生已有的知识储备出发，为解决实际问题准备计算工具.3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为() x －y 24121=-3，由此可知铅球推出的距离是_________m.【知识点】抛物线的实际应用【思路点拨】要求铅球推出的距离实际是求当y ＝0时x 的值， 【解题过程】令21(4)3012x --=，解得10x =．【答案】10【设计意图】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．4.隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为211384y x =-+,一辆车高3 m, 宽4 m ，该车___________(填“能”或“不能”)通过该隧道.【知识点】通过函数值来求自变量的取值范围【解题过程】在211384y x =-+中令3y =，解得x =因为4<，因此不能通过.【思路点拨】结合实际问题，把3y =代入解析式计算对应的自变量，两个自变量之间的距离和4比较即可.【答案】不能【设计意图】设计具有一定的挑战性目的是激发学生的探究欲望教师引导学生将实际问题转化成数学问题.（二）课堂设计1.知识回顾（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c 求其解析式；当已知顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式2()y a x h k =-+求其解析式；当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为1(,0)x 、(2(,0)x 时，可用交点式12()()y a x x x x =--求其解析式；（2）对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴；（3）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c ；（4）将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值.2.问题探究探究一 利用二次函数解决抛物线形拱桥问题（★）●活动1 情景导入 明确目标师问：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？学生回答：见过.教师ppt 展示：教师引导：生活中有很多各种各样美丽、实用的桥梁，它们无不给我们以抛物线的形象感受，我们在本节课就来主要研究与桥有关的抛物线问题.●活动2 自学互研 生成能力阅读教材P51探究3，完成下列填空：以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为________．生答：2y ax =2．一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为__________，当水位线在AB 位置时，水面宽4 m ，这时水面离桥顶的高度为______m ；当桥拱顶点到水面距离为2 m 时，水面宽为______m ，A 点坐标为________，B 点坐标为_______，则函数解析式为__________． 生答：2y ax =；2；4；()2,2--；()2,2-；212y x =-． 师问：如何根据图建立平面直角坐标系？不同的建立方式，求得抛物线解析式是否一样？各小组分别建立不同的平面直角坐标系求解后展示．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【设计意图】本题中建立平面直角坐标系的方法有多种，但以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系的方法较为简单， A 点坐标为（-2，-2）代入解析式即可计算出横坐标．老师带领学生提问总结：用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一般步骤是怎样的？ 生答：首先是审题，弄清已知和未知，再建立适当的平面直角坐标系后，合理的设出二次函数的解析式并求解出解析式，最后利用解析式求解得出实际问题的答案．（教师随时引导）探究二 建立二次函数模型，解决其它实际问题例、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是多少？【知识点】实际问题与函数关系——投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】将y=3.05代入可得出x 的值，继而得出L【解题过程】解：当y=3.05时，215x -+3.5=3.05，解得：121.5, 1.5x x ==-所以L=3+1.5=4.5【答案】4.5m【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了将实际问题转化为数学模型，难度一般．探究三 利用二次函数解决实际问题的训练●活动① 基础性例题例1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（26﹣4）m D．（6﹣2）m【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【解题过程】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点.抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），代入到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，6，解得：x=±6米，比原先的宽度当然是增加了（26﹣4）米．所以水面宽度增加到2【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式，直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．【答案】C【设计意图】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．练习.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为_________【知识点】建立坐标系，根据图象利用交点式求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】由图象可先设出二次函数的解析式，然后带值计算【解题过程】因为抛物线过点（0，0）和（40，0），∴y=ax（x-40）①又∵函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，解得125a=-∴抛物线的解析式为218255y x x=-+【答案】218255y x x=-+【设计意图】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式；直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．例2.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．（2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去｜y｜，然后与3.6相比较即可得出答案．【解题过程】（1）设抛物线解析式为y=ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，即100325n an a=⎧⎨+=⎩，解得4125na=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴2125y x =-.（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，∴当x=3时，1925y=-⨯∵925-﹣（﹣4）＞3.6∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．【答案】（1）2125y x=-（2）此船能顺利通过这座拱桥【设计意图】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．练习.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.(1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【知识点】求二次函数解析式，利用二次函数解决拱桥问题.【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目的已知条件设出二次函数的解析式，进而进行求解.【解题过程】解：(1)由题意知点D 的横坐标为5，点B 的横坐标为10，EF ＝3，设OE ＝h ，则OF ＝h －3，则点B(10，－h)，D(5，3－h)．设抛物线的函数解析式为y=ax2，则⎩⎪⎨⎪⎧100a ＝－h ，25a ＝3－h ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝4，∴抛物线的函数解析式为y ＝－125x2(2) ∵B(10，﹣4)，∴拱桥顶O 到CD 的距离为4， ∴4200.2=小时．所以再过20 h 就能到达桥面【答案】（1）2125y x =-（2）再过20h 能到达桥面【设计意图】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．●活动2 提升型例题例3．在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面43米的P 点处发球，球的运动轨迹PAN 看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O 的水平距离为5米，球网BC 离点O 的水平距离为6米，以点O 为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M 的坐标为（m ，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N 离球网的水平距离（即NC 的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．【知识点】实际问题与函数关系——投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m 的取值范围．【解题过程】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得：43=a（0﹣5）2+3，解得：a=﹣1 15，故抛物线的解析式为：y=﹣115（x﹣5）2+3．（2）当y=0时，﹣115（x﹣5）2+3=0，解得：x1=5﹣5（舍去），5即5∵OC=6，∴51米．（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时﹣115（m﹣5）2+3=2.4，解得：m1=2，m2=8，∵运动员接球高度不够，∴2＜m＜8，∵OC=6，乙运动员接球时不能触网（接不到），∴m的取值范围为：6＜m＜8．【答案】（1）y=﹣115（x﹣5）2+3；（2）﹣1；（3）6＜m＜8.【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．练习. 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式2515010y t t=-++表示．经过_______s，火箭达到它的最高点．【知识点】利用二次函数解决火箭发射的问题【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：配方可得225150105(15)1135 y t t t=-++=--+因此当t=15秒时火箭达到最高点.【答案】15【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了将一个二次函数的一般式转化为顶点式，将实际问题转化为数学模型，难度一般．例4．某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱），CO=1m，FG=2m（1）求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式；（2）求柱子AD的高度．【知识点】利用图象求函数解析式，已知自变量x的值求函数值y【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：(1)由题意可知：点C坐标为(0，1)，点F坐标为(－4，2)，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，把这两个点代入函数解析式可以解得抛物线解析式y＝116x2＋1.(2)因为点A的横坐标为－8，当x=－8时，y＝5. 所以柱子AD的高度为5米．【答案】(1) y＝116x2＋1；(2) 柱子AD的高度为5米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．练习.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高．(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)【知识点】建立坐标系，求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】先建立坐标系，然后根据线段的长度写出点的坐标，再设出函数的解析式，利用点的坐标求出解析式【解题过程】解：以大门的地面为x轴，大门的正中间为y轴建立直角坐标系，由题意可知抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点．∵抛物线关于y 轴对称，可设解析式为y ＝ax2＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋c ＝0，9a ＋c ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－47，c ＝647，∴解析式为y ＝－47x2＋647，∴顶点坐标为(0，647)，则校门的高为647≈9.1(米)【答案】9.1米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．●活动3 探究型例题例5．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米(即MO ＝6米)，小孔顶点N 距水面4.5米(NC ＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.图1 图2【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF 的宽度.【解题过程】解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为26y ax =+依题意，得B(10，0)．∴a×10²＋6＝0.解得a＝－0.06.即20.066 y x=-+当y＝4.5时，20.066 4.5x-+=，解得5x=±∴DF＝5，EF＝10.即水面宽度为10米．【答案】水面宽度为10米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．练习.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出相应的宽度.【解题过程】解：（1）设抛物线对应的函数关系式为2 y ax =因为抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，所以抛物线过点A（-3，-3），代入得-3=9a，解得13a=-所以函数关系式为213y x=-（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25＜4.5．从而此车不能通过此隧道．【答案】此车不能通过此隧道【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式．(不要求写自变量x的取值范围)(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的已知条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋3.2将点C(0，1.8)代入得49a＋3.2＝1.8，解得a＝－135，∴y＝－135(x－7)2＋165(2)由题意当x＝9.5时，y＝－135(9.5－7)2＋165≈3.02<3.1，故这次她可以拦网成功．(3)设抛物线解析式为y＝a(x－7)2＋h，将点C(0，1.8)代入得49a＋h＝1.8，∴a＝1.849h-，∴此时抛物线解析式为y＝1.8－h49(x－7)2＋h，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧4（1.8－h）49＋h>2.43，121（1.8－h）49＋h≤0，解得h≥3.025，则排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．【答案】（1）y＝－135(x－7)2＋165；（2）故这次她可以拦网成功；(3)排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.练习.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x=-++的一部分．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的已知条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解：(1)配方得y ＝－35(x －52)2＋194，当x ＝52时，y 有最大值194，∴演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.(2)表演成功．理由：把x ＝4代入解析式得y ＝3.4，即点B(4，3.4)在抛物线23315y x x =-++上，∴表演成功.【答案】（1）演员弹跳离地面的最大高度是4.75米；（2）表演成功；【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.3. 课堂总结：本节课是将实际问题抽象成二次函数模型，通过建立适当的坐标系，求解二次函数的解析式，再利用二次函数的知识解决相关的问题知识梳理1.解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时，一般分为以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为2y ax =；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为2y ax k =+；(3)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；(4)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式2(0)y ax bx c a =++≠求其解析式； 当已知顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式2()y a x h k =-+求其解析式；当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为1(,0)x 、(2(,0)x ，时，可用交点式12()()y a x x x x =--求其解析式；(5)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.2.建立坐标系之后，根据线段的长度写出点的坐标，把点的坐标代入到相关的解析式中求出解析式，利用解析式求解相关问题.重难点归纳1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系.2.根据给定的条件,确定二次函数的解析式，求出与问题相关的点的坐标.3.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.。
甘肃省通渭县黑燕山学校九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质(第1课时)教案 (新版)新人教版
1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
[利润=(售价－进价)×销售量]
2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?
[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]
3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?
(各有1个)
(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?
(分别是二次多项式)
(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？
让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。
y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)
将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：
y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2)
三、观察；概括
1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；
(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?
48
2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?
3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，
对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
甘肃省通渭县黑燕山学校人教版数学九年级上册教案：21.3 实际问题与一元二次方程(2)
教学时间课题21.3实际问题与一元二次方程（2）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.能根据○1以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.2.培养学生的阅读能力与分析能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.过程方法通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程. 情感态度在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.教学重点建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点找等量关系，列方程教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知●课本45页探究1分析：○1设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.○2第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？○3第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？○4本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.●课本47页探究3分析：○1正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？○2上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？○3若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？○4“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程.○5方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义. 点题，板书课题.教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识，师生汇总生活中常见的类似问题，总结这类题的做题技巧.教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识联系上节课内容，进一步学习一元二次方程的应用弄清问题背景，特别注意分析清楚题意，题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.让学生掌握这一类题型将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决归纳：○1在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决○2.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.三、课堂训练补充练习：1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm22．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）4.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?四小结归纳谈一节课的收获和体会.五、作业设计必做：P18：4-8选做：P19：10补充作业：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？教师总结，学生体会学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统，总结本节课内容，让学生体会方程刻画现实世界的模型作用.教学反思。
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由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出 a 的 值。 请同学们完成本例的解答。 例 2．已知抛物线对称轴是直线 x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次 函数的关系式。 解法 1： 设所求二次函数的解析式是 y＝ax ＋bx＋c， 因为二次函数的图象过点(0， －5)，可求得 c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线 x＝2，
2 2 2
4 解得 a＝ 9
4 2 8 2 所以，所求二次函数的关系为 y＝44/9(x＋3) －1，即 y＝ x ＋ x＋3． 9 3 小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是 已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2．已知二次函数 y＝x ＋px＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系 式。 ＝5 －p 2 简解：依题意，得 4q－p2 4 ＝－2
教学时间 知 和 能 教 学 目 标 过 和 方 情 态 法 感 度 力 程 识
课题
26.3
实际问题与二次函数（2）
课型
新授课
1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
价值观 教学重点 教学难点 教学准备 课 堂 教 学 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图2 22源自作业 设计必做 选做
教科书 P26：4、5、6 教科书 P26：8、9
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教 学 反 思
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解这个方程组，得：
所以，所求二次函数的关系式为 y＝－2(x－2) ＋3，即 y＝－2x ＋8x－5。 例 3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，求函 数的关系式。 解法 1：设所求的函数关系式为 y＝a(x＋h) ＋k，依题意，得 y＝a(x－2) －4 因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，所以抛物线过点(0，4)，于是 a(0 －2)2－4＝4，解得 a＝2。所以，所求二次函数的关系式为 y＝2(x－2) －4，即 y＝ 2x －8x＋4。 b － ＝2 2a 解法 2： 设所求二次函数的关系式为 y＝ax ＋bx＋c?依题意， 得4ac－b2 ＝－4 4a c＝4
2
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b ＝－3 －2a ＝3， 又由于二次函数当 x＝－3 时， 有最大值－1， 可以得到： 12a－b2 4a ＝－1
解
a＝4 9 这个方程组，得： 8 b＝ 3
4 2 8 所以，所求二次函数的关系式为 y＝ x ＋ x＋3。 9 3 解法 2：所求二次函数关系式为 y＝a(x＋h) ＋k，依题意，得 y＝a(x＋3) －1 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3) －1
2 2 2 2 2
2
2
a＝2 2 解这个方程组，得：b＝－8 所以，所求二次函数关系式为 y＝2x －8x＋4。 c＝4
三、课堂练习 1. 已知二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1，且当 x＝0 时，y＝－3，求二次函 数的关系式。 解法 1：设所求二次函数关系式为 y＝ax ＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以 c
程 序 设 计
一、复习巩固 1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过 A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 函数的关系式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 (1)求二次
1 1 3 2 答案：(1)y＝x ＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴 x＝－ ，顶点坐标为(－ ， )。 2 2 4 3．二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的对称轴，顶点坐标各是什么? b b 4ac－b2 [对称轴是直线 x＝－ ，顶点坐标是(－ ， )] 2a 2a 4a 二、范例 例 1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二 次函数的关系式。 分析：二次函数 y＝ax ＋bx＋c 通过配方可得 y＝a(x＋h) ＋k 的形式称为顶点 式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)， 因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8) ＋9
2
－ b ＝2 可以得 2a 9a＋3b＝6
a＝－2 解这个方程组， 得： b＝8
所以所求的二次函数的关系式为 y＝－2x ＋8x－5。
2
2
解法二；设所求二次函数的关系式为 y＝a(x－2) ＋k，由于二次函数的图象经过
a(3－2)2＋k＝1 (3，1)和(0，－5)两点，可以得到 a(0－2)2＋k＝－5 a＝－2 k＝3
2
解得：p＝－10,q＝23
所以，所求二次函数的关系式是 y＝x －10x＋23。 四、小结 1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? [两种类型：(1)一般式：y＝ax ＋bx＋c (2)顶点式：y＝a(x＋h) ＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常 需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式， 运用待定系数法求解。