数列在日常经济生活中的应用教学设计北师大版(优秀教案)
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用
P(1+r)n.( × )
(4)分期付款问题一定可转化为数列问题求解.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
与等差数列有关的应用题
【例1】 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售
出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以后每一天售出的服装都比前
一天多15件,直到4月12日销售量达到最大,其后每一天售出的服装都比前
据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252.精确到1元)
解:设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2 000(1+0.007)-x
=2 000×1.007-x,
A2=(2 000×1.007-x)×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x,
10%的复利计算,试比较两方案的优劣.(计算时,精确到0.01万元,取
1.110≈2.594,1.310≈13.79)
10
1-1.3
解:甲方案 10 年共获利 1+(1+30%)+…+(1+30%)9=
≈42.63.
1-1.3
到期时,银行贷款本息为10×(1+10%)10≈25.94.
所以按甲方案扣除贷款本息后,净收益为42.63-25.94=16.69(万元).
所以an=166+(n-13)×(-9)=-9n+283(13≤n≤30,且n∈N+).
综上,an=
15-5(1 ≤ ≤ 12,且∈N+),
-9 + 283(13 ≤ ≤ 30,且∈N+).
12(1 +12 )
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
《数列在日常经济生活中的应用》课件(必修5)
（A）a(1+r)5元
（B）a(1+r)4元
a （C） ［(1+r)5-1］元 r （D） a ［(1+r)5-(1+r)］元 r
【解题提示】属复利计算问题，按等比数列模型计算.
【解析】选D.第1次存入的a元取时本利和为a(1+r)4,第2次的 本利和为a(1+r)3,第3次的本利和是a(1+r)2,第4次的本利和 为 a(1+r), 故 到 2014 年 1 月 1 日 取 回 的 本 利 总 和 为 a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3+a(1+r)4 =
a(1 r)[1-(1 r) 4 ] a = ［(1+r)5-(1+r)］. 1-(1 r) r
二、填空题（每题4分，共8分）
5.打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第
一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比 前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用_____分钟，打完
b(1-1.15 ) =1.6a-6b. =1.6a1-1.1
由题意有1.6a-6b=1.3a,解得b= a ,所以每年拆除的旧住房 面积为 a (单位：m2). 20
20
9.（10分）选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每 星期一有A、B两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在这星期 一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，
（A）呈上升趋势
（C）摆动变化
（B）呈下降趋势
（D）不变
【解析】选B.-1<k<0时，1+k∈(0,1),又P0>0，根据指数函数
北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第一章 数列 4 数列在日常经济生活中的应用
S20=
=1
2
105.
所以全部按期付清后,买这40套机器设备实际共花费了
1 105+150=1 255(万元).
故分期付款的第10个月应付55.5万元,全部按期付清后,买这40套机器设备实
际花了1 255万元.
规律方法
“零存整取”是单利计息方式,解答关键是理解所有的利息和为
解 (方法一)设每年还x万元,
第n年年底欠款为an,则
2018年底:a1=50×(1+4%)-x,
2019年底:a2=a1(1+4%)-x=50×(1+4%)2-(1+4%)·x-x,
……
2027年底:a10=a9(1+4%)-x=50×(1+4%)10-(1+4%)9·x-…-(1+4%)·x-x
等差数列求和问题.
变式训练1
某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,
已知月利率是0.165%,按单利计息,那么实际取出多少钱?
解 实际取出的钱=本金+利息.
到12月最后一天取款时:
第1个月存款利息:100×12×0.165%,
第2个月存款利息:100×11×0.165%,
探究点一 单利与等差数列模型
【例1】 (1)王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育
储蓄”存款的月利率是0.36%.
①若每月存500元,则3年后,能一次支取本息多少元?
②欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元?(精确
到1元)
(2)某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备,共需1 150万元,购买当天
数列知识在经济生活中的应用
2008 N O. 18 SCI EN CE & TECHN OLOG Y I NFORM A TI O N
学 术 论 坛
数列知识在经济生活 中的应用
高枫 杜 跃红 ( 南 阳医学 高等专科 学校 河南南 阳 4 73 0 0 0 )
摘 要: 通过 大量 的实 例, 结合 数学在 我们 日常 经济生 活中 的应 用, 给出 了有 关增长 率、 利率、 利润 、分 期付款 等问 题的 解决方 法, 从而 进一步说明 数学与我们 的生活密切 相关, 因此运用数 学知识和方 法解决实际问 题的能力有 待进一步提 高, 更应该引起高 职高专师生 的广泛关注。 关键词: 分期付款 复利 利 润 增长率 利率 中图分 类号: O1 文献标识码: A 文章编号: 16 72 - 3 791 ( 2 00 8) 06 ( c) - 0 21 4- 02 随 着市场 经济的 不断深 入发展 , 有关 增 长 率 、 利 率 、利 润 等 问 题 不 断 出 现 在 我 们 的 日 常 生 活之 中 , 因 此 , 运用 数 学 知 识 和 方 法 解 决 实 际 问 题 的 能力 越 来 越 受 到 大 家 的重视, 本文就等差 数列、等比 数列的有 关知识 在上述问题 中的应用, 举 例阐述如 下。 a 2=a 1 × 1. 1- x =10 × 1. 12- x( 1. 1+1) a 2=a 2 × 1. 1- x=10 × 1. 1 3- x( 1. 1a 2+1. 1+1) 由 此可推 出: a2 0=10 × 1. 12 0- x( 1. 119 +1. 18 +1. 1 7 +. . . +1 . 1 +1 ) 由 已 知 : a 20=0 ∴x = = ≈ 1 . 17 ( 万元 ) . 1 +( 1 +3 0 % ) +( 1 +3 0 % ) 2 + … +( 1 +3 0 % ) 9= ,
数列在日常经济生活中的应用
元；第 2 期付款以及到最后一次付款时所生利息为 x(1＋0.008)10 元；……；第 12 期付款(无
利息)为 x 元，所以各期付款连同利息之和为 x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝
11.0.0008812－－11x(元)．
又所购电器的现价及其利息之和为
2000×1.00812
元
，
于
是
有
1.00812－1 1.008－1
x
＝
2000×1.00812. 解得 x＝116.0×081.102－08112≈175(元)．即每期应付款 175 元．
递推关系型数列应用题 【例 3】 某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1，a2，… 是一个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而 且计算复利．这就是说，如果固定年利率为 r(r>0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储 备金就变为 a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1＋r)n－2，…，以 Tn 表示到第 n 年 末所累计的储备金总额． (1)写出 Tn 与 Tn－1(n≥2)的递推关系式； (2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．
链接一：等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 或 an＝am＋(n－m)d；前 n 项和公式 Sn＝a1n＋nn－2 1d 或 Sn＝na1＋ 2 an.
链接二：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1 或 an＝amqn－m；当 q＝1 时，前 n 项和 Sn ＝na1，当 q≠1 时，前 n 项和 Sn＝a111－－qqn或 Sn＝a11－－aqnq.
数列教案范文
数列教案范文一、教学目标1.知识目标：①了解等差数列和等比数列的概念以及它们的发展规律；②掌握求等差数列和等比数列的公式与方法；③了解数列在生活中的应用。
2.能力目标：①能够熟练地运用等差数列及等比数列求解问题；②能够将所学知识应用到实际生活中。
3.态度目标：①激发学生学习数学的兴趣；②培养学生积极探索、勇于创新的精神。
二、教学重点难点1.重点：等差数列和等比数列的概念、求和公式以及应用；2.难点：应用实例的解决。
三、教学内容及方法1.教学内容（1）等差数列及其求和公式；（2）等差数列在生活中的应用；（3）等比数列及其求和公式；（4）等比数列在生活中的应用。
2.教学方法（1）讲解法：讲解等差数列和等比数列的概念、求和公式及应用，通过例题演示方法，引领学生逐步了解并掌握。
（2）归纳法：在学生学习过程中，引导学生进行概念归纳、规律总结，使学生更深入地理解知识点。
（3）练习法：开展各类型的例题练习，让学生熟练掌握所学知识，提高能力。
（4）探究法：利用生活实际问题，让学生自主探索并解决问题，培养学生创新精神。
四、教学步骤1.导入：与学生讲述数学在生活和科技中的应用，引起学生对数学的兴趣。
2.讲解等差数列和等比数列的概念。
3.介绍等差数列及其求和公式，让学生对等差数列有一个深入的了解。
4.介绍等差数列在生活中的应用，例如：物流运输中的时间问题。
5.介绍等比数列及其求和公式，让学生对等比数列有一个深入的了解。
6.介绍等比数列在生活中的应用，例如：光传输中的问题。
7.练习，让学生能够熟练掌握所学的知识。
8.探究性学习，让学生认识数学应用实际中的作用。
五、教学评价1.能在学生生活中讲述数学的应用，并引起学生对数学的兴趣。
2.能在学生心中形成数学发展规律的认识，掌握等差数列及等比数列的求和方法。
3.能培养学生探究问题的能力，使学生在应用实例上更加熟练。
四、教学总结数列是数学中的重要概念，应用广泛，它既是数学教育的基石，也是日常生活中的基础知识，掌握好数列及其应用，能起到事半功倍的效果。
北师大版必修5：《数列在日常经济生活中的应用》课件
定期方式 1年定期 2年定期 3年定期
15年期 数 15期 7.5期 5期 1年 3期 2.25 2.25
实
际
取
出
计息按7期算,最后一年按活期计息.
存 期 5年定期 年利率(%) 期利率(%)
2年 2.79 5.58
3年 3.33 9.99
5年 3.6 18
整存整取 年利率
常见的几种储蓄方法
一、活期储蓄 二、整存整取定期储蓄
例2：某人欲存入银行1000元，准备5年后取出。办 理定期1年自动转存业务，他可取得多少钱?
yn = a(1 + p)n 解：a=1000 p=0.0225 n=5
实际取出 ： 1117.68 元
答：他可取出1117.68元。
探索题：
某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存 款方式? y = a(1 + p)n
(设1年定期年利率是2.25%)
思考2：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行 等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他 每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%)
思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划 若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要 连存多少年?
思考1答案
数 列 在日常经济生活中的应用
储 蓄 问 题
近期内中国人民币储蓄的年利率如下：单位： % 项 目 年利率% 项 目 年利率%
活期存款
整存整取 三个月 半年 一年 两年 三年 五年
0.36 1.71 1.95 2.25 2.79 3.33 3.6
零存整取 整存零取 存本取息
一年 三年 五年
1.71 1.98 2.25
二年级下册数学优秀教案-5.1《生活中的大数》北师大版
二年级下册数学优秀教案-5.1《生活中的大数》北师大版教学目标本节课旨在让学生理解生活中的大数，并能进行简单的计算和应用。
通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的数感和数学思维能力，激发学生对数学的兴趣。
教学内容1. 认识生活中的大数，如人数、长度、重量等。
2. 学习大数的读写方法。
3. 理解大数的大小比较。
4. 学习大数的加法和减法。
教学重点与难点1. 教学重点：认识和理解生活中的大数，能进行简单的计算和应用。
2. 教学难点：大数的读写方法和大数的大小比较。
教具与学具准备1. 教具：PPT、图片、视频等。
2. 学具：计算器、大数卡片等。
教学过程1. 导入：通过PPT展示一些生活中的大数，如人数、长度、重量等，引导学生观察和讨论。
2. 新课导入：讲解大数的读写方法，通过举例和练习，让学生掌握大数的读写技巧。
3. 活动一：小组合作，让学生用计算器计算一些大数的加法和减法，培养学生的合作能力和计算能力。
4. 活动二：通过图片和视频，让学生观察和比较大数的大小，引导学生理解大数的大小比较方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调大数的读写方法和大数的大小比较。
6. 作业布置：布置一些关于大数的计算和应用题，让学生巩固所学知识。
板书设计1. 生活中的大数2. 大数的读写方法3. 大数的大小比较4. 大数的加法和减法作业设计1. 完成课后练习题。
2. 观察生活中的一些大数，并记录下来。
3. 用计算器计算一些大数的加法和减法。
课后反思本节课通过观察、操作、讨论等活动，让学生认识和理解了生活中的大数，并能进行简单的计算和应用。
在教学过程中，我注重培养学生的数感和数学思维能力，激发学生对数学的兴趣。
同时，我也发现一些学生在读写大数方面还存在一些困难，我会在下节课进行针对性的辅导和练习。
总体来说，本节课达到了预期的教学效果。
（注：本篇教案为示例，实际教学过程中，教师可根据学生的实际情况和教学环境进行调整。
）重点关注的细节是“教学过程”，因为这个部分涵盖了整个课堂活动的安排和实施，直接关系到学生能否有效学习和掌握知识点。
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：数列在日常经济生活中的应用课件
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 三种常见的应用模型 (1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约 定日期，可以取出全部__本__利_和___，这是整取，规定每次存入的钱不计 复利(暂不考虑利息税)． (2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例 如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利 和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2 年的本金就是第1年的_本__利__和___． (3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数
[基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算 应大于使用单利计算所得的本利和．( √ ) (2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这
两年的平均增长率是 1 + p% 1 + q% －1.( √ )
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成
本是( )
A．a(1＋q%)3
B．a(1－q%)3
C．
a 1−q%
3
D．
a 1+q%
3
答案：C
解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.
∴x＝
a 1−q%
3.故选C.
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年 后共得本息和为__6_._2_46___万元．(精确到0.001)
解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
题型探究·课堂解透
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）一、例述数列在生活中的应用数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。
以生活中的一个常见问题为例：例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n=）.次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是n a毫克，（即1a mm=，求2a､3a；(1)已知12(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.举一反三：1．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？二、银行储蓄与分期付款中的数列应用储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。
在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。
下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款（2）银行存款计息方式：①单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是（3）零存整取模型例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A．0B．1200C．1030D．9002.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?举一反三：1．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）A．()()1010111M mm++-B．()101Mmm+C．()()1010111Mm mm++-D．()()1010111Mm mm+++2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).(1)若每月存入金额为x 元,月利率r 保持不变,存期为n 个月,试推导出到期整取时本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?三、 环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。
数列在日常经济生活中的应用
归纳领悟：
数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的 基本步骤，可用图表示如下：
二、应用示例
例2 定期自动转存模型
银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如， 储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户 不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第2年的本金 就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务 （暂不考虑利息税），我们来讨论以下问题： （1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为 r，连存n年后，再取出本利和.试求出储户n年后所得本 利和的公式； （2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为 2.79%，那么5年后共得本利和多少万元（精确到 0.001）？
a 5 1 (1 0 . 0279 )
1 . 148 ( 万元 ).
答： 年后得本利和约为 5
1 . 148 万元 .
归纳领悟：
建立数列模型时，首先判断是等差数列还是等比
数列，确定首项、公差(比)、项数是什么，能分清an， Sn，然后选用适当方法求解，最后的程序是还原，即把 数学问题的解结合实际问题的约束条件合理修正，使其 成为实际问题的解.
数列在日常经济生活中的应用
汪仁林 陕西省乾县杨汉中学
一、导入新课：
一位中国老太太与一位美国老太太相遇.美国老 太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子， 昨天刚好还清了银行的住房贷款；而中国老太太叹息 地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足. 我国现代都市人的消费观念正在变迁，花明天的钱圆 今天的梦对我们已不陌生，许多年轻人过起了名副其 实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们 生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务， 我们究竟选择什么样的方式好呢？ 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数 学模型.例如存款、贷款、购物（房、车）分期付款、 保险、资产折旧等问题都与其有关.
数列在日常经济生活中的应用
濉溪二中2012-2013学年导学案课题：数列在日常经济生活中的应用编制人：姚林审核人：肖亚(1)学习目标1. 了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．2. 能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.3、通过具体的问题情境，发现并建立数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受数列的广泛应用.（2）预备知识①温故知新：等差数列及等比数列定义、通项公式和前n项和公式同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？（3）导学问题。
1．常见储蓄及利息的计算方法（1）银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以________和_______为数学模型（2）单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息。
以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有_________________（3）复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是_____________2．三种应用模型（1）零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为： ________________（2）定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.（3）分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.（4）应用练习探究一:等差数列模型例1、某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并 加付欠款利息，月利率为1％。
北师大版小学六年级数学上册教案优秀5篇
北师大版小学六年级数学上册教案优秀5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二年级下册数学优秀教案-《生活中的大数》北师大版(2023秋)
例：在板演和练习中，强调千位数中每个数位的重要性，提醒学生注意读写顺序和准确性。
-生活情境中的大数应用：将千位数应用于生活情境中，学生可能不知道如何入手，需要教师设计贴近生活的实例和问题，引导学生思考和解决问题。
此外，实践活动中的实验操作，虽然增强了学生对千位数大小的直观感受，但我也观察到有些学生在操作过程中并未完全理解千位数的大小关系。在以后的教学中，我需要更加细致地讲解和演示，确保每位学生都能跟上教学进度。
总的来说，今天的课堂让我看到了学生的进步，也让我发现了教学中需要改进的地方。我会继续努力，结合学生的实际情况，调整教学策略，让每位学生都能在轻松愉快的氛围中学习数学，掌握千位数这一重要知识点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了千位数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对千位数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对千位数这一概念表现出很大的兴趣。通过引入生活中的实例，他们能够更好地理解大数的概念。让我印象深刻的是，当学生们用数轴和计数器亲自操作时，他们的眼神中充满了好奇和探索的欲望。这让我觉得，将抽象的数学概念具象化，确实是帮助学生理解的有效途径。
课堂上，我注意到有些学生在读写千位数时还存在一些困难，比如数位的混淆和读写的顺序错误。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，设计更多针对性强的练习，帮助他们巩固千位数的读写方法。
新北师大版数学五年级优秀教案
新北师大版数学五年级优秀教案新北师大版数学五年级优秀教案1设计说明《数学课程标准》明确指出：“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。
”数学教学要让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有广泛的应用。
基于上述原因，本节课的教学设计突出了下面两点：1．充分调动学生学习的积极性。
新课导入时用具体的生活情境引出实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生怀着愉快的心情走进学习活动，然后创设问题情境，调动学生思考交流的积极性与求知欲望。
使学生感受到数学源于生活，进一步体验数学与生活的密切联系。
2．注重新旧知识的联系，体会迁移的学习方法。
迁移是数学学习的重要模式之一，本课的开始，设计与例题数量关系相一致的整数除法问题，引导学生进行解答，明确数量关系，使学生轻松地由整数除法过渡到除数是整数的小数除法，减轻了学习难度，便于理解。
课前准备教师准备PPT课件注：本书“上课解决方案”中的“教学目标”“教学重难点”见前面的“备课解决方案”。
教学过程⊙创境激趣，提出问题1．师：同学们，你们每天喝牛奶吗？价钱怎么样？我这里有一个关于牛奶价钱的问题，让我们一起来看一看。
(课件出示两家商店同一种牛奶的报价图片)2．观察情境图，获取信息。
师：从图上你能获取哪些数学信息？3．讨论解决问题的方法。
师：如果你去买牛奶，你会去哪家买呢？为什么？(引导学生说出要比较单价，哪家便宜，就去哪家买)4．下面我们就通过学习来确定哪家的牛奶便宜。
设计意图：借助生活情境引入学习内容，能更好地激发学生的学习兴趣和求知欲望。
⊙探究新知1．提问：要想知道哪家牛奶便宜，应该怎样计算？(引导学生根据数量关系列出算式：11.5÷5，12.6÷6)2．探究计算方法。
(1)观察算式的特点。
师：观察一下，这两个算式有什么共同特点？(被除数是小数，除数是整数)(2)讨论算法。
师：现在大家结合自己的生活经验和已经掌握的知识，在小组内讨论交流一下，该如何算出甲商店牛奶的单价。
第1章 第4节 数列在日常经济生活中的应用
§4 数列在日常经济生活中的应用 学习目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．知识点一 单利、复利思考1 第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？ 答案 按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的． 思考2 第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？ 答案 不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．梳理 一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息． 利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和为a (1＋rx )．(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的． 利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和a (1＋r )x . 知识点二 数列应用问题的常见模型1．整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，到期本息合计为a n ，则a n ＝A (1＋np )．其本质是等差数列已知首项和公差求第n 项问题．2．定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，则到第n 期末时，应得到本息合计为：nA ＋n (n ＋1)2Ap .其本质为已知首项和公差，求前n 项和问题．3．分期付款问题 贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．1．复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金．(√)2．增长率＝增长量增长前的量.(√) 3．同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的．(×)类型一 等差数列模型例1 第一年年初存入银行1 000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为________元．考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 1 036解析 设各年末的本利和为{a n }，由a n ＝a (1＋nr )，其中a ＝1 000，r ＝0.72%，∴a 5＝1 000×(1＋5×0.72%)＝1 036(元)．即第5年末的本利和为1 036元．反思与感悟 把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等．跟踪训练1 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 设第n 个月存入的100元到期利息为a n ，则a 1＝100×2.7‰×36，{a n }是公差为100×2.7‰的等差数列．∴数列{a n }的前36项和S 36＝36a 1＋36×352d ＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82，3年共存入本金100×36＝3 600(元)．∴到期一次可支取3 600＋179.82＝3 779.82(元)．类型二 等比数列模型例2 现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 8×1.0255解析 定期自动转存属于复利问题，设第n 年末本利和为a n ，则a 1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，a 2＝a 1＋a 1×0.025＝8×(1＋0.025)2，a 3＝a 2＋a 2×0.025＝8×(1＋0.025)3，∴a 5＝8×(1＋0.025)5，即5年末的本利和是8×1.0255.反思与感悟 在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律．跟踪训练2 银行一年定期储蓄存款年息为r ，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q ，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应大于________．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 13[(1＋r )3－1] 解析 设储户开始存入的款数为a ，由题意得，a (1＋3q )>a (1＋r )3，∴q >13[(1＋r )3－1]． 类型三 分期付款例3 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)． 因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列． a 5＝4－5－15＝3.2(万元)． S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝⎛⎭⎫－152＝31(万元)． 因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．反思与感悟 建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．跟踪训练3 某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元 B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元 考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题答案 B解析 根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x 万元，则x [(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a (1＋γ)5，∴x ·1－(1＋γ)51－(1＋γ)＝a (1＋γ)5 故x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1(万元).1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A．65只B．66只C．216只D．36只考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 B解析设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有a n只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，∴{a n}是首项为1，公比为6的等比数列．∴a7＝a1·q7－1＝66.2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是()A．32 B．31 C．64 D．65考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 D解析可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，65个存活．3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有() A．6只B．5只C．8只D．7只考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案 A解析依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列．设a1＝7，d>0，S n－1＝65－10＝55，∴(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55， 即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， ∴(n －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤7＋(n －2)d 2＝55. ∵55＝11×5且(n －1)为正整数，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7＋(n －2)d 2为正整数． ∴⎩⎨⎧ n －1＝5，7＋n －22d ＝11.解得n ＝6.1．数列应用问题的常见模型(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)．(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．(3)如果容易找到该数列任意一项a n ＋1与它的前一项a n (或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.2．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．一、选择题1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为( )A ．1 600米B ．1 700米C ．1 800米D ．1 900米考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 B解析 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n ，则14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，所以山的高度为h ＝(18－1)×100＝1 700(米)．2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近( )A ．860个B ．1 730个C ．3 072个D ．3 900个 考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 C解析 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016， 可得，a 11＝3·210＝3 072，故选C.3．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题答案 B解析 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l ＝πd 1＋πd 2＋…＋πd 60＝60π·4＋122＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m ，故选B.4．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg 0.97＝－0.013 2，lg 0.5＝－0.301 0)( )A ．22B ．23C ．24D ．25考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 B解析 依题意有(1－3%)n <0.5，所以n >lg 0.5lg 0.97≈22.8，故选B. 5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为( )A ．a (1＋r )7B.a r[(1＋r )7－(1＋r )] C ．a (1＋r )8D.a r[(1＋r )8－(1＋r )] 考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题答案 B解析 2009年存入钱为a 元，2010年本息和为a ＋a (1＋r )，2011年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2，2012年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3，2013年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4，2014年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5，2015年本息和为a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5＋a (1＋r )6，故选B.6．某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番(变为原来的四倍)，则年平均增长率为( )A ．1104－1B ．1102－1C ．1114－1D ．1112－1考点 等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 A解析设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1＋x)10＝4，∴x＝1104－1.二、填空题7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案78ar解析依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝78ar.8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2016年的垃圾量为________吨．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案a(1＋b)a(1＋b)7解析2009年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2016年是从2009年起再过7年，所以2016年的垃圾量是a(1＋b)7吨．9．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案3109－1解析设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，∴1＋x＝3109，x＝3109－1.10．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在________层．考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题答案 14解析 设停在第x 层，则S ＝[1＋2＋…＋(20－x )]×2＋[1＋2＋…＋(x －2)]＝3x 2－85x 2＋421， ∴当x ＝856时取最小值， 而x ∈{2,3，…，20}，∴当x ＝14时取最小值．三、解答题11．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 方法一 设每期应付款x 元．第1期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x (1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，…，第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x ， 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812， 解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)．即每期应付款176元．方法二 设每期应付款x 元，则第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x －x ，…，第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.∴x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)． 即每期应还款176元．12．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47) 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n . 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1.由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6，∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.13．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10 000辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比一年多投入a 辆．设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设S n ，T n 分别为n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．(1)求S n ，T n ，并求n 年里投入的所有新公交车的总数F n ；(2)该市计划用7年时间完成全部更换，求a 的最小值．考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 (1)依题意知，数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列； 数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n 1－32＝256·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n (n －1)2a . 所以经过n 年，该市更换的公交车总数F n ＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1＋400n ＋n (n －1)2a . (2)易知F n 是关于n 的单调递增函数，依题意得F 7≥10 000，即256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10 000， 解得a ≥3 08221， 又a ∈N ＋，所以a 的最小值为147.四、探究与拓展14.如图是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，设起始正方形的边长为22，若共有1 023个正方形，则最小正方形的边长为________．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 132解析 由题意可知，正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列． 设连接n 次后可得到1 023个正方形．由题意可知，1＋2＋…＋2n ＝1 023，∴n ＝9，∴最小正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫229＝132. 15．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励12慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)．游戏规定：闯关者需在闯关前任选一种奖励方案．(1)设闯过n (n ≤12，且n ∈N ＋)关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为A n ，B n ，C n ，试求出A n ，B n ，C n 的表达式；(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 (1)第一种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成常数列，∴A n ＝40n (n ≤12，且n ∈N ＋)．第二种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为4，公差为4的等差数列，∴B n ＝4n ＋n (n －1)2×4＝2n 2＋2n (n ≤12，且n ∈N ＋)． 第三种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为12，公比为2的等比数列，∴C n ＝12(1－2n )1－2＝12(2n －1)(n ≤12，n ∈N ＋)． (2)令A n >B n ，即40n >2n 2＋2n (n ≤12，n ∈N ＋)，解得0<n ≤12，∴A n >B n 恒成立．令A n >C n ，即40n >12(2n －1)(n ≤12，n ∈N ＋)， 可得0<n <10，∴当0<n <10时，A n >C n ；当10≤n ≤12时，C n >A n .综上可知，若冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；若冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．。
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本教案严格控制了难度，目的是让学生进一步理解数列在实际生活中的应用，理解一些 数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．注重了对深层次教学目的的考虑，提高了能力 和素质要求．
入一笔年期定期存款，年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第年的本
金就是第年的本利和．按照定期存款自动转存的储蓄业务
(暂不考虑利息税 )，我们来讨论以下
问题：
()如果储户存入定期为年的元存款，定期年利率为，连存年后，再取出本利和．试求出储 户年后所得本利和的公式；
()如果存入万元定期存款，存期年，年利率为，那么年后共得本利和多少万元
到期一次性支取本息．由于存期灵活，存额变化大，人们可以选择各种教育储蓄方案．
例如选择月存金额元，存期年，年利率为的教育储蓄方案．即每月一次将元存入银行，
连续存次，到年期满后一次性支付本息．在这里，第一次存入的元将经过个月的生息时间，
第二次存入的元将经过个月的生息时间；依次下去，第三次、第四次存款分别将经过个月的
教学设计 数列在日常经济生活中的应用
教学分析 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着 广泛的应用． 例如存款、 贷款、 购物 (房、车 ) 分期付款、 保险、 资产折旧等问题都与其相关． 著 名的马尔萨斯人口论，把粮食增长喻为等差数列，而把人口增长喻为等比数列．这些科学事 实和生活实例都有助于我们认识和理解数列知识． 教材对本内容的编排上以问题及其解决为主线，既充分考虑能调动学生进行自主学习， 体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综 合运用知识和方法建立数学模型、解决实际问题的全部过程．又充分注意教材应适用于研究 性学习的特点，使其能较方便于教师组织学生课外学习．因此，整体性、问题性、逻辑性、 实际性、综合性、可操作性是本教材追求的特色，而问题性突出则是本节教材追求的亮点． 银行存款是老百姓日常生活中最基本的经济活动，银行存款计息方式有两种：单利和复 利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型．教材共安排了三个模型，教学时教师可自 己动手、因地制宜地收集、编制、改造数学应用或建模问题，以更适合学生的使用，并根据 所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略． 三维目标 ．通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题， 体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用． ．通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差数 列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用． ．通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学 习的兴趣和信心． 重点难点 教学重点：建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解 决实际问题． 教学难点：在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型． 课时安排 课时
(＋ ).
教育储蓄是年我国推出的一种新的储蓄方式，意在鼓励城乡居民以储蓄方式为子女教育
积累资金，支持国家教育事业的发展．该储种储户特定，存期分别为年、年和年．以零存整
取的方式存入资金，以相对应年限同档次的整存整取的利率计付利息，利息免税．其起存金
额最低为元，本金合计最高限额为万元，允许两次存足限额，即可约定每次最多存入万元，
(\\( 知能训练 )) 课本本节练习和练习 .
(\\( 课堂小结 ))
．由学生归纳整合银行存款的计息方式，银行储蓄业务的种类及三种模型：零存整取模
型、定期自动转存模型、分期付款模型．熟悉教育储蓄的计息方法．
．教师点拨，等பைடு நூலகம்数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型．要把学习知识，
应用知识， 探索发现， 使用计算机工具及培养良好的科学态度与思维品质很好地结合起来．
的理由．
方案类别
分几次付清
付款方法
每期所付款额
购买后个月第次付款，
次
再过个月第次付款，
再过个月第次付款 .
购买后个月第次付款，
次
再过个月第次付款……
购买后个月第次付款 .
购买后个月第次付款，
次
过个月第次付款……
购买后个月第次付款 .
注： .每种方案中每次所付款额相同；
.规定月利率为，每月利息按复利计算． 答案： 略 .
活动： 教师引导学生探究，分期付款是数列知识的一个实际应用，在现实生活中形式很
多．除本题要求每次付款金额相同外，各次付款的时间间隔也相同．分期付款总额要大于一
次性付款总额，二者的差额与分多少次付款有关，且付款的次数越少，差额越大．分期付款
是等比数列的模型．
解： 假定小华每期还款元，第个月末还款后的本利欠款数为元，则 ＝ × (＋ )－； ＝( ＋ )－＝ × (＋ )－－； ＝( ＋ )－＝ × (＋ )－－－； …
某同学依教育储蓄的方式从年月日开始，每月按时存入元，连续存年，月利率为 一次可支取本利和共多少元？
解： 根据题意，教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄，由例可知到期一次可支取本利和 为×＝ (元) ．
. .求到期
答：到期一次可支取本利和共为元 .
例 定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存
＝ ×－ (＋＋＋＋＋ )； 由题意年底还清，所以＝ . 解得＝×＋＋＋＋＋ )≈ (元 )． 答：小华每期付款的金额为元．
点评： 由于各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息和，等于商品售价及从购
买到最后一次付款的利息和．由题意可知，小华要在个月后还给商场的金额总值为
×( ＋ )元，
其中包括电脑价格和一年的利息．这样，假定小华每期还款元，则有
(精确到 )?
活动： 教师引导学生阅读实际问题，理解这种定期自动转存储蓄中，第二年的本金是第
一年的本利和．这种储蓄的计息方式是按复利计息，是等比数列的模型，这是解决本例的关
键．事实上，在将实际问题转化为数列问题时，特别应分清是等差数列还是等比数列． 解： ()记年后得到的本利和为，根据题意， 第年存入的本金元，年后到期利息为 ·年后本利和为 ＝＋ ·＝(＋ )( 元 )； 年后到期利息为 (＋ )元，年后本利和为 ＝( ＋ )＋ (＋)＝ (＋ )(元 )； …… 各年的本利和是一个以＝ (＋ )为首项，公比＝＋的等比数列 {} ，故年后到期的本利和 ＝－ ＝ (＋)( ＋ )－＝ (＋ )(元 )( 复利公式 )．
()若每月初存入元，月利率为，到第个月末整取时的本利和是多少？ ()若每月初存入一定金额，月利率是，希望到第个月末整取时取得本利和元．那么每月初 应存入的金额是多少？
活动： 这实际上就是教育储蓄本利和的数学模型．这里的
“ 零存整取 ” 是每月存入相同
的元，到期所获得的利息组成一个等差数列．
解： () 根据题意，第个月存入的元，到期利息为
一、购房中的数学 一位居民决定重新购买住房，他列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案如下：
家庭经济状况： 家庭每月总收入元， 也就是年收入万元． 现存款万元， 但是必须留万元～
万元以备急用． 预选方案： .购买商品房：一套面积为 80m2 的住宅，每平方米售价元． ．买二手房：一套面积为 110m2 左右的二手房，售价为万元，要求首付万元．
生息时间． 根据教育储蓄规定， 这种方案能获得的利息是 × ( ÷)× ＋ × ( ÷)× ＋ × ( ÷)× ＋ ×( ÷)×
＝ × ( ÷)× (＋＋＋ )＝ (元 )．
这实际上是一个等差数列求和的计算，最后本利和是
× ＋＝ (元)．
教育储蓄在存款约定额度及选定存期上有一定技巧，运用得当，将使我们得到更多的实
(＋＋＋ … ＋ )＝ × .
这是一个关于的一次方程，利用等比数列求和公式及计算器可求得
≈.这样，用另一种方
法求得了小华每期付款的金额为元，付款总额为元
.
变式训练
商场出售电脑，提出了如下表所示的种付款方式，以供顾客选择．请分别算出各种付款
方式每次应付款金额，并填在表中．选择一种你喜欢的付款方式，与同学交流，并说明选择
··；第个月存入的元，到期利息为
元……第个月存入的元，到期利息为元．不难看出，这是一个等差数列求和的问题．
各月利息之和为 (＋＋…＋ )＝ (元) ，
而本金为元，这样就得到本利和公式＝＋ (元) ，
即＝ (元 )( ∈＋)．①
()每月存入元，月利率为，根据①式，本利和 ＝× ( ＋× )＝ (元 )．
()根据上式，年后本利和为 ＝× ( ＋ )≈ (万元 )． 答：年后共得本利和约为万元．
点评： 教师可借此引导学生探究银行存款的最佳方式及储蓄业务的种类．尝试设计
“寻
找最好存款方式 ” 的算法程序，并上机实现．可利用多媒体探究以下问题：
银行整存整取定期储蓄年利率如下表所示．
存期
(年月日 )
年
年
年
年
()依题意，在①式中，＝ ＝＝＋×× )≈ (元 )． 答：每月应存入元．
，＝，＝ .
点评： 通过本例的数学建模，学生应了解和经历解决实际问题的全过程，即实际情境
··( － ) →
提出问题 → 数学模型 → 数学结果 → 检验 → 问题结果．体验数学与日常生活及其他学科的联系，
感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，并学会通过查询资料等手段获取信息 变式训练
活动： 银行存款计息方式为单利和复利两种．单利的计算是仅在原本金上计算利息，对
本金所产生的利息不再计算利息．其公式为：利息＝本金
× 利率 × 存期．以符号代表本金，
代表存期，代表利率，代表本金和利息和 (即本利和 ) ，则有＝ (＋ )．复利是把上期末的本利和