平面体及回转体的截切
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第四章 截交线
2020/6/11
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【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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4-17 动画演示
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§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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（二）作图
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【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。 （一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面， 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点 ：特殊点（转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右）； 一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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（二）作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
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【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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（二）作图
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【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。 （一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面， 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点 ：特殊点（转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右）； 一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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（二）作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
第四章平面体及回转体的截切讲解
截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
∙截平面——用以截切物体的平面。
∙截交线——截平面与物体表面的交线。
∙截断面——因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图。
一、平面截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
∙例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线法！例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例3: 求八棱柱被平面P2例3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
一、回转体截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是截平面与回转体表面的共有线。
∙截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
∙截交线都是封闭的平面图形。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。
找出截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点，补充中间点。
☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
例1：求左视图例1：求左视图解题步骤：★空间及投影分析截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影例2：求左视图例2：求左视图例3：求俯视图截交线截交线的空间的投影形状？特性？例:如何找椭圆另一根轴的端点？例: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。
㈢球体的截切平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣复合回转体的截切首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
平面立体的切割
5、作图步骤
（1）根据截平面的位置与曲面立体表面的 性质、判断截交线的形状和性质。 （2）根据截平面位置和曲面立体所处位置， 决定采用什么方法求共有点。 （3）求出截交线上的特殊点。 （4）根据需要求出若干个一般点。 （5）光滑且顺次地连接各点，作出截交线， 并且判断可见性。 （6）最后，补全可见性和不可见部分的轮 廓线或转向轮廓素线，并擦除被切掉的部 分。
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面：用来截切立体的平面称为截平面。 截断面：立体被截切后的断面称为截断面。 截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
平面立体的截交线
1、平面立体截交线的性质 2、平面立体截交线的求法 （1） 棱柱上截交线的求法 （2） 棱锥上截交线的求法
4、特殊点
特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有： （1）极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、 最左和最右点。 （2）转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们 是区别曲线可见于不可见部分的分界点。 （3）特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上 四个端点。 （4）结合点 截交线由几部分不同的线段（曲线、直线） 组成时结合处的那些点。 对于特殊点，根据现有知识凡是能够求出来的都应求出。
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
例7 求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影
解题步骤
1．分析:截平面的 正面投影积聚，截 交线的正面投影已 知，水平投影和侧 面投影待求；
2．求出截交线上 的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；
3．顺次地连接各 点，作出截交线， 并且判别可见性；
平面体及回转体的截切
二 平面体的截切
• 截交线是直线且会组成封闭的平面多边形 • 截交线的每条边是截平面与棱面（底面）的交线 • 截交线的每个点是截平面与立体上棱线（底边）的交点 • 截交线的边数取决于截平面与形体表面的相交数
与4个面相交 与5个面相交 与6个面相交
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一、求平面立体截交线的方法
三、求平面立体截交线实例 例1：求五棱柱被P平面截切后的投影。
作 分图析步：骤： 作P连平棱出截面线完交为与 整线正截 侧投垂平 投影面影，与 面侧的面交全点部投相影交。
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ Ⅴ
Ⅰ
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三、求平面立体截交线实例 例1：求五棱柱被P平面截切后的投影。
作图步骤： 整理轮廓线， 完成左视图
分作析图：步骤： 截作擦 交除侧水 线被平 的切截 已 去空 交 间知线的形投外状影形线
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例题5：求圆柱被平面截切后的侧面投影。
作图步骤： 完成侧面投 影
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例题6：求圆筒被平面截切后的侧面投影。
分 作析 图：步骤： 截作擦 交除圆两水 线被筒侧平 的切侧平 面 已 去 面空 与 间知与的圆投形投外内影圆柱状影形柱体线体的孔 的 截 交截线交线
平面体及回转体的截切
1 截交线的概念与性质 2 平面体的截切 3 曲面体的截切
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一 截交线的概念与性质
一、截交线概念
⒈ 截切——用平面截切立体，并切去立体一部分。
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⒉截平面——用来切割立体的平面。 ⒊截交线——截平面与立体表面的交线。 ⒋截断面——截交线所围成的平面。
回转体及截切
b’
过m’s’作圆锥表面
d” a’(b’)1” c” 上的素线，延长交底
圆为1’。
a
s
b
m
1 c
图3-14 圆锥的投影及表面上的点
求出素线的水平投 影s1及侧面投影s”1”。
求出M点的水平投 影和侧面投影。
方法二：辅助圆法
Z
过M点作一平行与底
V
面的水平辅助圆，该圆
的正面投影为过m’且平
行于a’b’的直线2’3’，它
Z
方法一：素线法
V
过M点及锥顶S作
一条素线SⅠ,先求
出素线SⅠ的投影, 再求出素线上的M点。
a’
X
s’ S
s” W
m’
b’
c’d’
M
A d
m
a
d” m” Ba”(b”) C b c
c”
Y
圆锥的三面投影图
s’
s”
已知圆锥表面的点
M的正面投影m’,求出
M点的其它投影。
m’ a’
1’ c’(d’) d
m”
平投影反映实形能，在其该投影面上画出，而在
正 为面一和直侧 线面。投而影圆其重柱它影面投影面上a’ 则c不’d’A再画出。d”a”b” c”
则用曲面投影的转向 X
d
Cb
轮廓线表示。
a
c
Y
圆柱的三面投影图
圆柱投影图的绘制：
（1） 先绘出圆柱的对
a’
c’(d’)
b’ d’ a”(b”) c’ 称线、回转轴线。 （2）绘出圆柱的顶面
水两平个面侧截平圆面球截的圆截球交的线 截的交投线影的，投在影俯，视在图侧上视为 图部上分为圆部弧分，圆在弧侧，视在图俯上 视积图聚上为积直聚线为。直线。
现代工程设计制图第4章
截交线分析 六棱柱被正垂面截切---交线为平面多边形
4’
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ Ⅵ
Ⅱ Ⅰ
[例1] 根据轴测图画出物体的三视图。
P
主视 方向
(a)
2' 1'
(b)
2" 1"
Ⅰ 1
( c)
2
Ⅱ
[例2]根据物体的立体图,画出三视图。 分析切割式平面立体的形成。
分析切割式平面立体的形成
[例2] 根据物体的立体图,画出三视图。
A
P
D C
[例4] 画出四棱锥被正垂面切割后的三视图。
b' (d') a'
c'
d"
c" b" a"
d
a
b
c
[例5] 补画视图中所缺的图线。
a' b' d' c' a" b" d" c"
a b c d
A B C
D
4.2 回转体的截切
回转体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和 直线所围成的平面图形或多边形。
三维模型
[例17] 补画俯视图。
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连 接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线。
●
三、圆球的截交线
平面与球相交，截交线为圆
平面与球相交，截交线为圆（1）
平面与球相交，截交线为圆（2）
平面与球相交，截交线为圆（3）
b´ a´
a"
《回转体及截切》课件
结论
1 回转体和截切在几何 2 总结：主要内容及课 3 Q & A ：问题解答
学和实际应用中的重 要性
程回顾
解答学生对回转体和截切
对回转体和截切的主要内
的问题。
回转体和截切是几何学中
容进行总结，并回顾整个
重要的概念，也在实际生
课程的要点。
活和工程项目中有广泛的
应用。
4 参考文献：引用相关的学术论文和
资料
列举使用的参考文献和资料，提供学生进一 步深入研究的资源。
5 结束语：对学生的鼓励和展望
鼓励学生继续学习几何学和探索回转体和截 切在未来的潜力。
《回转体及截切》PPT课 件
回转体及截切PPT课件：介绍回转体和截切的概念、分类、性质、表面积和体 积计算方法，以及常见实例，同时探讨它们在几何学和实际应用中的重要性。
第一部分：回转体
什么是回转体？
回转体是由平面图形绕一条轴线旋转而生成的 立体图形。
回转体的性质与特点
回转体具有旋转对称性、表面积和体积的计算 方法特点。
回转体的分类
回转体可以分为圆柱体、圆锥体和球体等不同 类型。
回转体的表面积和体积的计算方法
通过公式计算回转体的表面积和体积。
Байду номын сангаас
第二部分：截切
1
什么是截切？
截切是通过平面将一个几何体截断并形
截切与平截面
2
成新的几何实体。
平面与几何体相交形成的截面是截切中
的重要概念。
3
平行截面和垂直截面
平行截面与垂直截面是常见的截切类型。
截切产生的几何实体
4
截切可以产生棱台、截锥体等几何实体。
第三部分：应用
机械制图与计算机绘图3-2截切立体的投影
3.2 截切立体的投影
概述 3.2.1 截切平面立体的投影 3.2.2 截切回转体的投影 3.2.3 截切复合回转体的投影
1
机械制图与计算机绘图
3.2 截切立体的投影
概述
平面与立体相交，称为立体被 平面截切，该平面称为截平面，截 切以后的立体称为截切立体。截平 面与立体表面的交线称为截交线。 画截切立体的投影时，为了清楚地 表达该立体的形状，既要画出截切 立体表面上截交线的投影，又要画 出立体轮廓线的投影。
机械制图与计算机绘图
3.2 截切立体的投影
回转体截交线投影小结
1.掌握回转体截交线的性质及求截交线的步骤：
（1）.根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。 （2）.根据截平面位置和曲面立体所处位置，决定采用什么方法求共有点。 （3）.求出截交线上的特殊点（见下页解释）。 （4）.根据需要求出若干个一般点。 （5）.光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。 （6）.最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦出被切 割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
3.2 截切立体的投影
1'
2'
2"
3'
3"
1
2
3
[例题2] 求圆球截交线。
22
解题步骤 1．分析 截平面为两 个侧平面和一个水平 面，截交线为圆弧和 直线的组合；截交线 的水平投影和侧面投 影均为圆弧和直线的 组合； 2．求出截交线上的 特殊点Ⅰ、 Ⅱ； 3．求出各段圆弧； 4．判别可见性，整 理轮廓线。
3．顺次地连接各点， 作出截交线并判别可见 性；
4．整理轮廓线。
[例题3] 求圆柱截交线。
1(3)
12
概述 3.2.1 截切平面立体的投影 3.2.2 截切回转体的投影 3.2.3 截切复合回转体的投影
1
机械制图与计算机绘图
3.2 截切立体的投影
概述
平面与立体相交，称为立体被 平面截切，该平面称为截平面，截 切以后的立体称为截切立体。截平 面与立体表面的交线称为截交线。 画截切立体的投影时，为了清楚地 表达该立体的形状，既要画出截切 立体表面上截交线的投影，又要画 出立体轮廓线的投影。
机械制图与计算机绘图
3.2 截切立体的投影
回转体截交线投影小结
1.掌握回转体截交线的性质及求截交线的步骤：
（1）.根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。 （2）.根据截平面位置和曲面立体所处位置，决定采用什么方法求共有点。 （3）.求出截交线上的特殊点（见下页解释）。 （4）.根据需要求出若干个一般点。 （5）.光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。 （6）.最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦出被切 割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
3.2 截切立体的投影
1'
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2"
3'
3"
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[例题2] 求圆球截交线。
22
解题步骤 1．分析 截平面为两 个侧平面和一个水平 面，截交线为圆弧和 直线的组合；截交线 的水平投影和侧面投 影均为圆弧和直线的 组合； 2．求出截交线上的 特殊点Ⅰ、 Ⅱ； 3．求出各段圆弧； 4．判别可见性，整 理轮廓线。
3．顺次地连接各点， 作出截交线并判别可见 性；
4．整理轮廓线。
[例题3] 求圆柱截交线。
1(3)
12
4.3平面立体与回转体相交平面立体与圆柱体相交
4、掌握两回转体相交的几种特例画法。
平面与立体表面的交线称为截交线。
立体与立体表面的交线称Байду номын сангаас相贯线。
4.1 平面立体的截切
一、截交线的性质
1、截交线是由直线组成的平面图形（封闭多边形）。 2、多边形的各边是立体表面与截平面的交线。
3、多边形的各顶点是立体各棱线与截平面的交点。
截断面
截平面
截交线
分析圆筒内外交线投影
[例10]补画视图中所缺的图线。
[例10]补画视图中所缺的图线。
[例11] 已知主、俯视图，补画左视图。
[例12] 已知主、俯视图，补画左视图。
[例13] 已知主、俯视图，补画左视图。
●
●
1、空间及投影分析。
截平面与体的相对位置。 截平面与投影面的相对位置。
●
2、求截交线。
[例18] 画出球体开槽的三视图。
[例18] 画出球体开槽的三视图。
4.3 平面立体与回转体相交
平面立体与圆柱体相交，内外交线画法分析
4.4 两回转体相交
两回转体相交产生的交线称为相贯线。
相贯线的性质
1、一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，在特 殊情况下，可以是平面曲线或直线。
2、相贯线是两回转体表面的共有线,也是相贯体 两表面的分界线，相贯线上所有点都是两曲面 体的共有点。
分析切割式平面立体的形成
[例2] 根据物体的立体图,画出三视图。
b´ a´
a b
b" a"
B
[例3] 已知物体的主、左视图，补画出俯视图。
[例3] 已知物体的主、左视图，补画出俯视图。
a'
b'
P´
c' d'
平面与立体表面的交线称为截交线。
立体与立体表面的交线称Байду номын сангаас相贯线。
4.1 平面立体的截切
一、截交线的性质
1、截交线是由直线组成的平面图形（封闭多边形）。 2、多边形的各边是立体表面与截平面的交线。
3、多边形的各顶点是立体各棱线与截平面的交点。
截断面
截平面
截交线
分析圆筒内外交线投影
[例10]补画视图中所缺的图线。
[例10]补画视图中所缺的图线。
[例11] 已知主、俯视图，补画左视图。
[例12] 已知主、俯视图，补画左视图。
[例13] 已知主、俯视图，补画左视图。
●
●
1、空间及投影分析。
截平面与体的相对位置。 截平面与投影面的相对位置。
●
2、求截交线。
[例18] 画出球体开槽的三视图。
[例18] 画出球体开槽的三视图。
4.3 平面立体与回转体相交
平面立体与圆柱体相交，内外交线画法分析
4.4 两回转体相交
两回转体相交产生的交线称为相贯线。
相贯线的性质
1、一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，在特 殊情况下，可以是平面曲线或直线。
2、相贯线是两回转体表面的共有线,也是相贯体 两表面的分界线，相贯线上所有点都是两曲面 体的共有点。
分析切割式平面立体的形成
[例2] 根据物体的立体图,画出三视图。
b´ a´
a b
b" a"
B
[例3] 已知物体的主、左视图，补画出俯视图。
[例3] 已知物体的主、左视图，补画出俯视图。
a'
b'
P´
c' d'
第5章平面体及回转体的截切
●
● ● ● ● ● ● ●
●
●
截交线的已知投影？ 截交线的已知投影？ 截交线的侧面投影是什么形状？ 截交线的侧面投影是什么形状？
●
●
★求作特殊点 ★求作一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例9：求左视图
★求作特殊点 ★求作一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。 变化而改变。
平面与圆锥体相交所得截交线形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
例1:圆锥被正平面截切，补全主视图和左视图。 1:圆锥被正平面截切，补全主视图和左视图。 圆锥被正平面截切 截交线的空间形状？ 截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？ 截交线的投影特性？
● ●
e′ ′
●
● ●
e"
c "(d ") A
求截平面与回转体表面的共有点。 求截平面与回转体表面的共有点。 共有点
求截交线的步骤： 2. 求截交线的步骤：
●空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状 确定截交线的形状。 的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影 已知投影 投影。 截交线的已知投影，预见未知投影。 ●求作截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 先求特殊点； ☆ 先求特殊点； 再求一般点； ☆ 再求一般点； 可见性。 光滑连接各点 并判断截交线的可见性 各点， ☆ 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。
● ● ● ● ● ● ●
●
●
截交线的已知投影？ 截交线的已知投影？ 截交线的侧面投影是什么形状？ 截交线的侧面投影是什么形状？
●
●
★求作特殊点 ★求作一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例9：求左视图
★求作特殊点 ★求作一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。 变化而改变。
平面与圆锥体相交所得截交线形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
例1:圆锥被正平面截切，补全主视图和左视图。 1:圆锥被正平面截切，补全主视图和左视图。 圆锥被正平面截切 截交线的空间形状？ 截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？ 截交线的投影特性？
● ●
e′ ′
●
● ●
e"
c "(d ") A
求截平面与回转体表面的共有点。 求截平面与回转体表面的共有点。 共有点
求截交线的步骤： 2. 求截交线的步骤：
●空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状 确定截交线的形状。 的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影 已知投影 投影。 截交线的已知投影，预见未知投影。 ●求作截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 先求特殊点； ☆ 先求特殊点； 再求一般点； ☆ 再求一般点； 可见性。 光滑连接各点 并判断截交线的可见性 各点， ☆ 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。
截切_312702148
求作顶尖的俯视图?分析复合回转体由哪些基本回转体组成?分别求出每个基本回转体的截交线?依次连接各截交线重点掌握求平面体表面的截交线类似形与圆柱体表面的截交线的分析方法与作图方法
一、截切的概念 二、平面体的截切 三、回转体的截切
本周作业
P24: 4-4,4-5； 24: P25： 7,4P25：4-7,4-9； P28： 21， P28：4-21，4-22
• 封闭的平面多边形 • 公有性，截交线是截平面与回转体表面的共有点的连线 公有性，
截交线的形状： 截交线的形状：
• 回转体的形状 • 截平面对回转体的截切位置
2.圆柱体的截切 2.圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。 与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
垂直 圆
倾斜 椭圆
例1：求左视图
●
●
1. 空间分析 2. 投影分析 3. 作图求交线 4. 检查： 检查： 查轮廓线投影
●
●
例1：求左视图
例2：求左视图
单边截切 范围不同 时的比较
圆 柱 面 轮 廓 线 有 差 别
分析、比较 分析、
单边截切 与双边截 切的比较
顶 面 投 影 有 差 别
例3：求俯视图
45° 45°
截平面与圆柱轴 线成45 45° 线成45°时。
3. 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同， 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线 有五种形状。 有五种形状。
α θ
α θ
α θ
α
过锥顶 两相交直线
=90° =90 θ ° 圆
90° ＞ 90° θ α ＞ 椭圆
θ＝α 抛物线
例3：求俯视图
一、截切的概念 二、平面体的截切 三、回转体的截切
本周作业
P24: 4-4,4-5； 24: P25： 7,4P25：4-7,4-9； P28： 21， P28：4-21，4-22
• 封闭的平面多边形 • 公有性，截交线是截平面与回转体表面的共有点的连线 公有性，
截交线的形状： 截交线的形状：
• 回转体的形状 • 截平面对回转体的截切位置
2.圆柱体的截切 2.圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。 与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
垂直 圆
倾斜 椭圆
例1：求左视图
●
●
1. 空间分析 2. 投影分析 3. 作图求交线 4. 检查： 检查： 查轮廓线投影
●
●
例1：求左视图
例2：求左视图
单边截切 范围不同 时的比较
圆 柱 面 轮 廓 线 有 差 别
分析、比较 分析、
单边截切 与双边截 切的比较
顶 面 投 影 有 差 别
例3：求俯视图
45° 45°
截平面与圆柱轴 线成45 45° 线成45°时。
3. 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同， 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线 有五种形状。 有五种形状。
α θ
α θ
α θ
α
过锥顶 两相交直线
=90° =90 θ ° 圆
90° ＞ 90° θ α ＞ 椭圆
θ＝α 抛物线
例3：求俯视图
教学课件：第四章-平面体及回转体的截切
提高产品美观度
通过精心的截切，产品设计师可以 提升产品的美观度和市场竞争力。
雕塑艺术的截切实例
雕塑艺术的创意表达
雕塑作品的象征意义
通过截切平面体和回转体，雕塑艺术 家可以表达出独特的创意和艺术风格。
通过特定的截切，雕塑艺术家可以赋 予作品特定的象征意义和内涵，引发 观众的共鸣和思考。
雕塑作品的层次感
圆形平面的截切
总结词
圆形平面的截切分为三种情况，分别是圆心与平面垂直、圆心与平面斜交和圆在平面内。
详细描述
当圆心与平面垂直时，截面是一个圆，其半径等于原圆的半径。当圆心与平面斜交时，截面是一个椭圆，其长轴 等于原圆的直径，短轴等于原圆的半径。当圆在平面内时，截面是一个圆，其半径等于原圆的半径减去平面与圆 心的距离。
椭圆形平面的截切
总结词
椭圆形平面的截切分为三种情况，分别是椭圆的长轴 与平面垂直、椭圆的长轴与平面斜交和椭圆在平面内 。
详细描述
当椭圆的长轴与平面垂直时，截面是一个椭圆，其长 轴等于原椭圆的长轴，短轴等于原椭圆的短轴。当椭 圆的长轴与平面斜交时，截面是一个类似鸡蛋形状的 椭圆，其长轴等于原椭圆的长轴，短轴等于原椭圆的 短轴。当椭圆在平面内时，截面是一个椭圆，其长轴 等于原椭圆的长轴减去平面与椭圆中心的距离，短轴 等于原椭圆的短轴减去平面与椭圆中心的距离。
教学课件：第四章-平面 体及回转体的截切
• 引言 • 引言 • 平面体的截切 • 回转体的截切 • 截切的应用与实例 • 总结与思考
01
引言
平面体截切的定义与特点
定义
用一个平面去截切一个平面体，得到的是平面的截面图形。
特点
截面图形的形状和大小取决于平面体的形状和截平面的位置 。
通过精心的截切，产品设计师可以 提升产品的美观度和市场竞争力。
雕塑艺术的截切实例
雕塑艺术的创意表达
雕塑作品的象征意义
通过截切平面体和回转体，雕塑艺术 家可以表达出独特的创意和艺术风格。
通过特定的截切，雕塑艺术家可以赋 予作品特定的象征意义和内涵，引发 观众的共鸣和思考。
雕塑作品的层次感
圆形平面的截切
总结词
圆形平面的截切分为三种情况，分别是圆心与平面垂直、圆心与平面斜交和圆在平面内。
详细描述
当圆心与平面垂直时，截面是一个圆，其半径等于原圆的半径。当圆心与平面斜交时，截面是一个椭圆，其长轴 等于原圆的直径，短轴等于原圆的半径。当圆在平面内时，截面是一个圆，其半径等于原圆的半径减去平面与圆 心的距离。
椭圆形平面的截切
总结词
椭圆形平面的截切分为三种情况，分别是椭圆的长轴 与平面垂直、椭圆的长轴与平面斜交和椭圆在平面内 。
详细描述
当椭圆的长轴与平面垂直时，截面是一个椭圆，其长 轴等于原椭圆的长轴，短轴等于原椭圆的短轴。当椭 圆的长轴与平面斜交时，截面是一个类似鸡蛋形状的 椭圆，其长轴等于原椭圆的长轴，短轴等于原椭圆的 短轴。当椭圆在平面内时，截面是一个椭圆，其长轴 等于原椭圆的长轴减去平面与椭圆中心的距离，短轴 等于原椭圆的短轴减去平面与椭圆中心的距离。
教学课件：第四章-平面 体及回转体的截切
• 引言 • 引言 • 平面体的截切 • 回转体的截切 • 截切的应用与实例 • 总结与思考
01
引言
平面体截切的定义与特点
定义
用一个平面去截切一个平面体，得到的是平面的截面图形。
特点
截面图形的形状和大小取决于平面体的形状和截平面的位置 。
画法几何与工程制图(2017秋)知识点9—平面体、回转体截切
平面体、回转体截切（知识点9）
小结： 1.截交线的性质： 1）公共性：即在立体的表面，又在截平面上。 2）封闭性：封闭的平面图形
2.截交线的作图步骤： 1）分析截切类型（与平面立体还是回转体）。 2）分析截交线的形状（直线或圆用尺规，其余 的曲线 求出全部特殊点和适量的一般点，徒手光滑连接）。 3）补全轮廓：是否有虚线。
截交线形状：两相交直线
平面体、回转体截切（知识点9）
2）截平面位置：垂直于轴线
截交线形状： 圆
平面体、回转体截切（知识点9）
3）截平面位置：倾斜于轴线（与所有素线相交）
截交线形状： 椭圆
平面体、回转体截切（知识点9）
4）截平面位置：平行两条素线
截交线形状：双曲线
平面体、回转体截切（知识点9）
5）截平面位置：平行一条素线
截交线形状：抛物线
[例5]求圆锥被正平面截切后截交线的投影
s'
s"
解题步骤
a'
d' e'
Hale Waihona Puke b'c'
1.题目分析
a"
2.求特殊点
3.求一般点
d"(e") 4. 作出截交线
5.加深轮廓素线
b"(c")
S
辅助纬圆
bd
s
a ec
AE
D
C
B
平面体、回转体截切（知识点9）
3、平面与球面的交线
平面体、回转体截切（知识点9）
一、截切概述
用平面与立体相交或截去立体的一部分——截切。
用以截切立体的平面——截平面。
截平面与立体表面的交线——截交线。
第四章回转体及截切
三个投影分别 是球面上三个 投射方向的投 影轮廓线。
四、圆球可见性的判别
五、圆球表面上取点
回转体的截切
平面与 圆柱相交 平面与 圆锥相交 平面与 圆球相交
基本要求
掌握平面与圆柱、圆锥、圆球相交，截 交线的性质及求截交线的方法
概述
一、 截交线的性质 二、 截交线的类型及形状 三、 求作截交线的方法 四、 作图步骤
3．求出一般点Ⅴ；
4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；
5．整理轮廓线。
[例题3] 求圆锥截交线
2' 3'
a'
3"
4'5'
5"
1'
3 5
1
a
解题步骤
1．分析 截平面为正垂
面侧平面，截交线为部
分椭圆和梯形的组合；
其水平投影为部分椭圆
2" 和直线的组合，侧面投
4"
影为部分椭圆和梯形的
[例题1] 求圆柱截交线
1' 2'3'
1" 3"
4'5'
5"
6'7'
8'
5
7" 8
6
2
4
2" 4"
6"
解题步骤
1．分析 截平面为正垂面，截 交线的侧面投影为圆，水平投 影为椭圆；
2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；
3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；
4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；
二、求圆锥截交线上点的方法
1.素线法 在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截
四、圆球可见性的判别
五、圆球表面上取点
回转体的截切
平面与 圆柱相交 平面与 圆锥相交 平面与 圆球相交
基本要求
掌握平面与圆柱、圆锥、圆球相交，截 交线的性质及求截交线的方法
概述
一、 截交线的性质 二、 截交线的类型及形状 三、 求作截交线的方法 四、 作图步骤
3．求出一般点Ⅴ；
4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；
5．整理轮廓线。
[例题3] 求圆锥截交线
2' 3'
a'
3"
4'5'
5"
1'
3 5
1
a
解题步骤
1．分析 截平面为正垂
面侧平面，截交线为部
分椭圆和梯形的组合；
其水平投影为部分椭圆
2" 和直线的组合，侧面投
4"
影为部分椭圆和梯形的
[例题1] 求圆柱截交线
1' 2'3'
1" 3"
4'5'
5"
6'7'
8'
5
7" 8
6
2
4
2" 4"
6"
解题步骤
1．分析 截平面为正垂面，截 交线的侧面投影为圆，水平投 影为椭圆；
2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；
3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；
4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；
二、求圆锥截交线上点的方法
1.素线法 在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截
《画法几何及机械制图》回转体的截交线
不可见部分用虚线连接。
求圆柱体的截交线举例：例1、2
• 求圆柱体的截交线举例：
• 二）、圆锥体的截交线
• 1、形状
截平面与回 截平面过锥顶 转轴线垂直
截交线为圆 截交线为过锥 顶的两条直线
截平面与回 截平面与回 转轴线平行 转轴线倾斜
截交线
截交线
为双曲线 为抛物线
截平面与回 转轴线倾斜
截交线 为椭圆
二）圆柱体的截交线
• 1、形状
截平面与回转 轴线垂直
截交线为圆
截平面与回转 轴线平行
截交线为直线
截平面与回转 轴线倾斜
截交线Байду номын сангаас椭圆
2、画法：直接画
2、画法：直接画
2、画法：描点法
特殊点、一般点
描点法的作图步骤
• 描点法的作图步骤：
• 1.先求出所有的特殊位置点 • 2.再求一般位置点 • 3.判别截交线的可见性并光滑的连接以上所求的各个点,可见部分用粗实线连接，
《画法几何及机械制图》回转 体的截交线
1 平面与立体相交
二、平面与曲面相交
截平面
• 平面与立体表 面的交线称为 截交线，而该 平面称为截平 面。如图所示。
一）回转体的截交线概述
• 性质：共有性、封闭性 • 形状特点：
• 取决于回转体自身的形状、截平面与回转轴线的相对位置。 • 截交线在一般情况下为一条封闭的平面曲线，特殊情况下也可能是直线或圆。
• 2、画法：直接画
• 2、画法：直接画
• 2、画法：描点法
• 2、画法：描点法
• 2、画法：描点法
求圆锥的截交线举例：例3、4
• 圆球体截交线的形状只有一种形状——圆
圆环截交线的几种常见形状
求圆柱体的截交线举例：例1、2
• 求圆柱体的截交线举例：
• 二）、圆锥体的截交线
• 1、形状
截平面与回 截平面过锥顶 转轴线垂直
截交线为圆 截交线为过锥 顶的两条直线
截平面与回 截平面与回 转轴线平行 转轴线倾斜
截交线
截交线
为双曲线 为抛物线
截平面与回 转轴线倾斜
截交线 为椭圆
二）圆柱体的截交线
• 1、形状
截平面与回转 轴线垂直
截交线为圆
截平面与回转 轴线平行
截交线为直线
截平面与回转 轴线倾斜
截交线Байду номын сангаас椭圆
2、画法：直接画
2、画法：直接画
2、画法：描点法
特殊点、一般点
描点法的作图步骤
• 描点法的作图步骤：
• 1.先求出所有的特殊位置点 • 2.再求一般位置点 • 3.判别截交线的可见性并光滑的连接以上所求的各个点,可见部分用粗实线连接，
《画法几何及机械制图》回转 体的截交线
1 平面与立体相交
二、平面与曲面相交
截平面
• 平面与立体表 面的交线称为 截交线，而该 平面称为截平 面。如图所示。
一）回转体的截交线概述
• 性质：共有性、封闭性 • 形状特点：
• 取决于回转体自身的形状、截平面与回转轴线的相对位置。 • 截交线在一般情况下为一条封闭的平面曲线，特殊情况下也可能是直线或圆。
• 2、画法：直接画
• 2、画法：直接画
• 2、画法：描点法
• 2、画法：描点法
• 2、画法：描点法
求圆锥的截交线举例：例3、4
• 圆球体截交线的形状只有一种形状——圆
圆环截交线的几种常见形状
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●
小 结
一,平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形,多边形的边是截平 的封闭的平面多边形,多边形的边是截平 面与棱面的交线. 面与棱面的交线. 求截交线的方法: 求截交线的方法:棱线法 棱面法 二,平面截切回转体,截交线的形状取决于截 平面截切回转体, 平面与被截立体轴线的相对位置. 平面与被截立体轴线的相对位置. 截交线是截平面与回转体表面的共有线. 截交线是截平面与回转体表面的共有线. 共有线
4.1 平面体的截切
一,平面截切的基本形式
截交线的性质: 截交线的性质:
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形,其 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形 封闭的平面多边形, 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置. 位置. 截交线的每条边是截平面与棱面的交线 截平面与棱面的交线. 截交线的每条边是截平面与棱面的交线. 求截交线的实质是求两平面的交线
●
●
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
●
●
例4:求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长, 椭圆的长, 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变. 变化而改变.
45° 45°
什么情况下 投影为圆呢? 投影为圆呢? 截平面与圆柱轴
线成45° 线成45°时. 45
●
●
●
例1:求左视图
解题步骤: 解题步骤:
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
例2:求左视图
●
●
●
●
例2:求左视图
例3:求俯视图
例3:求俯视图
例4:求左视图
●
● ● ● ●
截交线的 空间形状? 空间形状?
● ●
●
截交线的已知投影? 截交线的已知投影? 截交线的侧面投 影是什么形状? 影是什么形状? ★找特殊点
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置,以便确定截交线的形状 确定截交线的形状. 的相对位置,以便确定截交线的形状. 分析截平面与投影面的相对位置,明确截交 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置,明确截交 线的投影特性,如积聚性,类似性等. 线的投影特性,如积聚性,类似性等.找出 截交线的已知投影,予见未知投影 已知投影 投影. 截交线的已知投影,予见未知投影.
例:求半球体截切后的俯视图和左视图. 求半球体截切后的俯视图和左视图.
四 复合回转体的截切
例:求作顶尖的俯视图
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 转体的截交线,并依次将其连接. 转体的截交线,并依次将其连接.
�
例5:求左视图
虚实分界点
二 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同,截交线有五种形状. 对位置不同,截交线有五种形状.
PV θ PV PV θ α θ PV α PV
α
90° θ= 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ>α 椭圆
θ=α 抛物线
0° θ= 0°<α 双曲线
圆锥被正垂面截切, 例: 圆锥被正垂面截切,求 截交线,并完成三视图. 截交线,并完成三视图.
例:求半球体截切后的俯视图和左视图. 求半球体截切后的俯视图和左视图.
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影,在侧视图 交线的投影, 的投影, 的投影,在俯视图上为 上为部分圆弧, 上为部分圆弧,在俯视 部分圆弧, 部分圆弧,在侧视图上 图上积聚为直线. 图上积聚为直线. 积聚为直线. 积聚为直线.
截交线的性质: 截交线的性质: 截交线是截平面与回转体表面的共有线 共有线. 截交线是截平面与回转体表面的共有线. 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置. 截平面与回转体轴线的相对位置. 截交线都是封闭的平面图形 封闭的平面图形. 截交线都是封闭的平面图形.
二,求平面与回转体的截交线的一般步骤
PV PV PV
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
例1:求左视图 同一立体被多 个平面截切, 个平面截切,要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图. 线的分析和作图.
●
解题步骤: 解题步骤:
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时,其作图步骤为: 当截交线的投影为非圆曲线时,其作图步骤为: 先找特殊点,补充中间点. ☆ 先找特殊点,补充中间点. 将各点光滑地连接起来, ☆ 将各点光滑地连接起来,并判断截交线的可 见性. 见性.
一 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置
当单体被多个截平面截切时, 逐个截 ⒊ 当单体被多个截平面截切时,要逐个截 进行截交线的分析与作图. 平面进行截交线的分析与作图 平面进行截交线的分析与作图.当只有 局部被截切时 局部被截切时,先按整体被截切求出截 交线,然后再取局部 再取局部. 交线,然后再取局部. 复合回转体的截交线 的截交线, ⒋ 求复合回转体的截交线,应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系,然后分别求出这些基本 分别求出这些 们的连接关系,然后分别求出这些基本 回转体的截交线,并依次将其连接. 回转体的截交线,并依次将其连接. 次将其连接
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状? 形状? 特性? 特性? 一根轴的端点? 一根轴的端点?
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
圆锥被正垂面截切, 例: 圆锥被正垂面截切,求 截交线,并完成三视图. 截交线,并完成三视图.
三 球体的截切
平面与圆球相交, 平面与圆球相交,截交线的形 状都是圆, 状都是圆,但根据截平面与投影面 的相对位置不同, 的相对位置不同,其截交线的投影 可能为圆,椭圆或积聚成一条直线. 可能为圆,椭圆或积聚成一条直线.
2〃
●
3〃
4 3
●
●
●
1
●
2
几个棱面相交? 几个棱面相交? 截交线在俯, 截交线在俯, ★ 求截交线 左视图上的形 ★ 分析棱线的投影 状?
★ 空间分析 截平面与体的 ★ 投影分析 交线的形状? 交线的形状?
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
例1:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图. 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图.
棱线法! 棱线法! 我们采用的是
哪种解题方法? 哪种解题方法?
例2:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图. 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图.
1′(2′) (2′
2〃
●
1〃
●
2 1
注意: 注意: 三面共点: 三面共点: 要逐个截平面分析和绘制 Ⅰ,Ⅱ 截交线. 两点分别 截交线.当平面体只有局 部被截切时, 部被截切时,先假想为整 同时位于三个面 体被截切, 体被截切,求出截交线后 上.
二,平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影. 求截交线的两种方法: ⒈ 求截交线的两种方法: 求各棱线与截平面的交点→棱线法. ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法. 求各棱面与截平面的交线→棱面法. ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法. 求截交线的步骤: ⒉ 求截交线的步骤: 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 分别求出截平面与棱面 的交线,并连接成多边形. 的交线,并连接成多边形.
★ 画出截交线的投影
确定截交线 的投影特性
例1:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图. 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图.
(4′ (4′) 3′ 1′ 2′ 4〃
● ●
1〃
●
第 四 章
平面体及回转体的截切
第四章
平面体及回转体的截切
截切: 截切: 用一个平面与立体相交, 用一个平面与立体相交,截去立体的一 部分. 部分.
用以截切物体的平面. 截平面 —— 用以截切物体的平面. 截平面与物体表面的交线. 截交线 —— 截平面与物体表面的交线. 因截平面的截切, 截断面 —— 因截平面的截切,在物体上形 成的平面. 成的平面. 讨论的问题: 讨论的问题:截交线的分析和作图 .
三,解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置, ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置,以 确定截交线的形状. 确定截交线的形状. ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置, 确定截交线的投影特性. 位置,以确定截交线的投影特性. ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时, 当截交线的投影为非圆曲线时,要先 找特殊点,再补充中间点, 找特殊点,再补充中间点,最后光滑连接 各点. 各点. 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影. 素线的投影.
再取局部. 再取局部.
例2:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图. 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图.
求八棱柱被平面P截切后的俯视图 截切后的俯视图. 例 3: 求八棱柱被平面 截切后的俯视图.
P′
4 ′≡ 5 ′ 7〃 8〃 5 6 5〃 6〃 3〃 4〃 2〃 1〃 Ⅷ Ⅰ Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ Ⅴ Ⅳ
2 ′≡ 3 ′≡ 6 ′≡ 7 ′ 1 ′≡ 8 ′ 8
7
3 1 2
4
截交线的投影 检查截交 分析棱线的 截交线的形状? 截交线的形状? 求截交线 特性? 特性? 投影 线的投影