南昌大学第六届高等数学竞赛(数学专业类2008级)试卷参考答案

a a
b
b
M ′(b a ) 2 2
所以 M ′ ≥
2 (b a ) 2
∫
b a
| f ( x) | dx
七、设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，且有唯一最小点 x0 .若 x n ∈ [a, b] ， lim f ( x n ) = f ( x0 ) ，证明：
n →∞
lim x n = x0
1 0
5、设 f (x) 是连续函数，且 f ( x) = x + 2 ∫ f (t )dt ，则 f (x) ＝ x 1 ；
1 时，函数 y = x 2 x 取得极小值； ln 2 3 dx 1 7、设 ∫ xf ( x)dx = arcsin x + C ，则 ∫ = (1 x 2 ) 2 +C； f (x) 3 x 1 8、函数 f ( x) = ∫ (2 )dt ( x > 0) 的单调减少区间为（0 ，1/4） ； 1 t 6、当 x ＝
f ( x) 1 = 1 ，试证： 1 1 2 x→ 2 (x ) 2
1）由 lim
1 1 f ( x) 1 = 1 知 f ( ) = 1 令 g ( x) = f ( x) x ，则 g ( ) > 0 ， g (1) < 0 1 1 2 2 2 x→ 2 (x ) 2 1 据零点定理知存在 η ∈ ( ,1) ，使得 g (η ) = 0 ，即 f (η ) = η . 2 λx （2）令 F ( x) = ( f ( x) x)e ，则 F (x) 在 [0,η ] 连续，在 (0,η ) 可导， F (0) = F (η ) = 0
a b
（2 ） M ′ ≥ （1）若 M =0，结论显然成立； 若 M ≠ 0 ，设 M = f (c) （ c ∈ (a, b] ） ，则
2 (b a ) 2
∫
b a
| f ( x) | dx
M 2 = ( ∫ f ′( x)dx) 2 ≤
a
c
∫ dx ∫ ( f ′( x))
a a
c
c
2
dx = (c a )
据罗尔定理，存在 ξ ∈ (0,η ) ，使得 F ′(ξ ) = 0 ，即 f ′(ξ ) λ[ f (ξ ) ξ ] = 1 （3）由 lim
1 x→ 2
f ( x) 1 f ( x) 1 = 1 > 0 ,及极限的保号性，在 x =1/2 的某邻域， >0 1 2 1 2 (x ) (x ) 2 2
六 10
七 10
八 10
总分 100
累分人 签名
考生注意事项：1、本试卷共 5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、 填空题(每空 3 分，共 30 分)
得分 评阅人
1、 lim ( n + 3 n n n ) =2；
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n →∞
（反证）设 lim x n = x0 不成立，则 ε 0 > 0 ，在 {x n } 中可选子列 x n k ，满足 | x nk x0 |≥ ε 0 。
n →∞
{ }
k →∞
这是一个有界点列， 可以从中选出收敛子列， 不妨仍记为 {x nk } ，lim x nk = x1 ， x1 ∈ [a, b] 。 则 于是 f ( x0 ) ＝ lim f ( x n ) ＝ lim f ( x nk ) = f ( x1 ) ，与最小值点的唯一性矛盾。
x = 1 + t 2 9、曲线 在 t = 2 处的切线方程为 3 x y 7 = 0 ； 3 y=t
10、 lim f ( x) = ∞ 的分析定义是 M > 0 , X > 0 ，对于 x : x > X ，有 f ( x) < M
x → +∞
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kπ n 二、求极限 lim ∑ n →∞ k k =1 n+ n kπ kπ kπ n sin n sin n sin ∑ n +n < ∑ n < ∑ n n k 1 k =1 k =1 k =1 n+ n kπ kπ sin 1 n sin n n n = lim n = sin πxdx = 2 lim ∑ ∑ n ∫ n →∞ n →∞ n + 1 π k =1 k =1 n + 1 0
∫ ( f ′( x))
a
c
2
dx ≤ (b a ) ∫ [ f ′( x)] 2 dx
a
b
（2）由中值定理存在 ξ ∈ (a, b) ，使得 f ( x) = f (a ) + f ′(ξ )( x a ) = f ′(ξ )( x a )
∫
b a
| f ( x) | dx = ∫ f ′(ξ )( x a ) dx ≤ M ′∫ ( x a)dx =
f ( x1 ) f ( x 2 ) = 1 +
1 1 + x1
2
>1 = ε0
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四、设 f (x) 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导， f (0) = f (1) = 0 ， lim
1 （1）存在 η ∈ ( ,1) ，使得 f (η ) = η 2 （2）对任意实数 λ ，必存在 ξ ∈ (0,η ) ，使得 f ′(ξ ) λ[ f (ξ ) ξ ] = 1 （3） f ( x) 在[0,1]上的最大值大于 1
x2 + 2 1 sin 在 I 与其端点 2 x x +1 构成的闭区间 I 0 上连续，所以在 I 0 一致连续，从而在 I 一致连续。
x → ∞
当 I 为无限区间，I = (a,+∞) ，I = [a,+∞) 或 I = (∞, a ), I = (∞, a ](a > 0) ， 由于 lim f ( x)
∫
2
0
f ′(1)( x 1)dx = 0 ，可得
∫ f ( x)dx ≤ ∫
0 0
2
2
M M ( x 1) 2 dx = 2 3b] 上连续，存在连续导数 f ′(x) ，且 f (a ) = 0 .以 M ， M ′ 分别表示 f ( x) ， | f ′( x) | 在 [a, b] 上的最大值，证明： （1） M 2 ≤ (b a ) ∫ [ f ′( x)] 2 dx
a a ＝ lim f ( x) ＝0, f (x) 在 (∞, ] 及 [ ,+∞) 上一致连续，故在其任一子区间上一致连续。 x → +∞ 2 2
(2)对 ε 0 =1， δ > 0 ， x1 =
1 1 ， x2 = ： x1 , x 2 ∈ (0,1) ， x1 x 2 < δ ， 2 nπ + π 2 2 nπ
n →∞
2、设 f ( x) = x( x + 1)( x + 2) ( x + n) ，则 f ′(0) = n! ；
3、设 e y + xy = e ，求 y ′′(0) =
1 ； e2
4、设 f ( x) =
1 x (1) n 2n! ，则 f ( n ) ( x) = ； 1+ x (1 + x) n +1
n
sin
n →∞
lim ∑
k =1
n
sin
kπ 1 n = sin πxdx = 2 ∫ n π 0
所以 lim ∑
n →∞ k =1
n
sin
kπ n =2 k π n+ n
三、证明函数 f ( x) =
x2 + 2 1 sin 在任何不含原点，也不以原点为端点的区间内一致连续， 2 x x +1
在（0,1）内不一致连续 (1)若有限区间 I 内不含原点，且左右端点都不为零，由 f ( x) =
即 f ( x) > 1 ，而 f ( x) 在[0,1]上有最大值，故 f ( x) 在[0,1]上的最大值大于 1
五、设 f ( x) 在[0，2]上二次可导，且 f (1) = 0 f ′′( x) ≤ M (0 ≤ x ≤ 2) ，则 ∫ f ( x)dx ≤
0
2
M 3
f ( x) = f (1) + f ′(1)( x 1) + f ′′(ξ )( x 1) 2 / 2 （其中 ξ 介于 x 与 1 之间） ，注意到 f (1) = 0
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序号： 序号： 专业： 专业：
题号 题分 得分 一 30 二 10 三 10
姓名： 姓名： 学号： 学号：
四 10 五 10
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学院: 学院 考试日期： 考试日期： 2009 年 10 月 11 日
n →∞ k →∞
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八、证明：若存在常数 c ， n ∈ N + ，有 x 2 x1 + x3 x 2 + + x n x n 1 < c ，则数列 {x n } 收敛
令 a n = x 2 x1 + x3 x 2 + + x n x n 1 ，则 a n 是单调上升有上界的数列，因此 lim a n 存在.据柯
n →∞
西收敛准则 ε > 0 ， N ∈ N + ，对 p ∈ N + n > N ,有 a n + p a n < ε
而 x n + p x n ≤ x n + p x n + p 1 + x n +1 x n = a n+ p a n ， 于是 ε > 0 ， N ∈ N + ， 西收敛准则数列 {x n } 收敛 对 p ∈ N + n > N 有 x n + p x n ≤ x n + p x n+ p 1 + x n+1 x n = a n + p a n < ε ，所以，据柯