微积分发展简史(二)

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微积分发展简史

微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。

大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。

这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。

微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。

1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较接近于微积分基本定理。

牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。

可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。

微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。

微积分发展简史

五、微积分创立的历史意义
1、微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
2、一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。
３、微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想。”恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。４、微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用。
微积分发展简史
微积分的概念微积分的萌芽微积分的发展微积分的建立微积分创立的积分学是微分学(Differential Calculs)和积分学(Integral Calculs)统称,英文简称 Calculs, 意为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学或无穷小分析。微积分中的基本概念主要是函数、极限、连续、导数、积分等，其中极限是微积分的基石。
2、微分学的主要内容包括：导数、微分。
3、积分学的主要内容包括：定积分、不定积分。
二、微积分的萌芽
（1）中国数学家的极限、积分思想 “割圆术”（魏晋刘徽）一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国庄周）圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅）
（2）外国数学家的极限、积分思想
欧几里得(公元前330年～前275年)是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世，其中对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法的萌芽。

微积分发展简史

这四个问题是：1. 运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2. 曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3. 有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4. 当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。

微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler ）、伽利略（Galileo ）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes ）、卡瓦列里（Cavalieri ）等学者都做出了杰出贡献。

1669,巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较接近于微积分基本定理。

可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）至V质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。

微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

微积分发展简史

微积分发展简史
《微积分发展简史》
嘿，咱今天来聊聊微积分的发展那点事儿。

话说很久很久以前，人们就开始和各种数量打交道啦。

那时候啊，可没有现在这么多厉害的数学工具呢。

后来呢，一些聪明的脑袋瓜子就开始琢磨怎么更好地处理这些数量关系。

慢慢的，就有了一些初步的想法冒出来啦。

这些想法就像小芽儿一样，一点点地成长。

那些数学家们就像辛勤的园丁，不断地浇水施肥，让微积分这棵大树慢慢长大。

在这个过程中啊，有好多厉害的人物出现哟！比如说牛顿和莱布尼茨，这两位大佬那可是相当牛啊，他们为微积分的发展做出了巨大的贡献。

他们就像是武林高手，把微积分的招式变得越来越厉害。

随着时间的推移，微积分也在不断地进化呢。

它从一个小小的幼苗长成了参天大树，在各个领域都发挥着重要的作用。

无论是物理、工程还是经济，都离不开微积分这个好帮手呀。

再后来呀，越来越多的人加入到研究微积分的队伍中来啦。

大家一起努力，让微积分变得越来越强大，越来越完善。

哎呀呀，这一路走来，微积分可真是不容易呀！从一开始的小不点，到现在的厉害角色，经历了好多风风雨雨呢。

到了今天，我们还在不断地探索和研究微积分，让它能更好地为我们服务。

这就像是一场没有终点的旅程，我们一直在路上。

怎么样，听我这么一说，是不是对微积分的发展有了更深刻的了解呀？哈哈，这就是微积分的故事，一个充满智慧和挑战的故事哟！
好啦，就说到这儿啦，下次再给你们讲其他有趣的数学故事哟！。

微积分发展简史范文

微积分发展简史范文微积分是数学的一个分支，用于研究变化与积分问题。

微积分的发展历史可以追溯到古代希腊和印度，但真正的微积分体系是在17世纪由牛顿和莱布尼茨等数学家建立起来的。

以下将介绍微积分的发展简史。

在古代希腊，数学家们已经研究了一些与微积分相关的概念，例如阿基米德的测量问题和亚历山大的一些近似方法。

然而，直到公元前3世纪的希帕索斯才开始研究曲线的面积和体积问题。

然而，微积分的真正发展是在17世纪。

1642年，法国数学家费马提出了求极值问题的方法，为微积分的发展奠定了基础。

在此之后，其他数学家纷纷加入到微积分的研究中来。

牛顿和莱布尼茨是微积分的两位重要创始人。

1665年，牛顿发明了微积分的基本原理，并在《自然哲学的数学原理》中介绍了微积分的概念和方法。

与此同时，莱布尼茨也在独立地研究微积分，并提出了微积分的符号表示法。

牛顿和莱布尼茨的发现被认为是微积分的巅峰之作。

微积分的发展在18世纪得到了进一步的推动。

欧拉是18世纪微积分发展的中坚人物之一，他提出了欧拉计算法则和欧拉公式，这些在微积分和复变函数等数学领域都有重要应用。

19世纪是微积分发展的丰富时期。

拉格朗日和拉普拉斯等数学家对微积分的推广和发展做出了重要贡献。

拉格朗日提出了拉格朗日乘子法，并建立了微积分的拉格朗日法则。

拉普拉斯则将微积分应用于概率论，并提出了拉普拉斯变换的概念。

20世纪是微积分发展的一个新阶段，微积分开始向更高维度的空间扩展。

韦尔斯特拉斯提出了极限的严格定义，使微积分的基础更加牢固。

在此期间，泛函分析和变分法等新的数学工具也被引入微积分中。

近年来，微积分在科学和工程领域的应用越来越广泛。

微积分被应用于物理学、经济学、生物学、计算机科学等领域的模型建立和问题求解中。

微积分的发展也不断推动着数学理论的深入研究和应用创新。

总结起来，微积分的发展可以追溯到古代希腊和印度，但真正的微积分体系是在17世纪由牛顿和莱布尼茨等数学家建立起来的。

微积分发展简史

极限的思考程诚PB08207049我们刚刚接触微积分时，学习的就是极限。

但作为微积分最基础的部分，或者说是微积分中的核心，极限理论也并不是一开始就被创立出来的。

微积分经过了很长时间的发展，当中也经历了几次危机。

但在一代又一代伟大的数学家的努力下，终于对微积分和极限理论进行了逐步的完善。

特别是法国大数学家柯西，他不仅化解了微积分史上的一次危机，还通过他的著作赋予微积分以今天大学教科书中的模型，他给出了“极限”的合适定义：当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。

柯西的工作是微积分走向严格化的极为关键的一步。

后来维尔斯特拉斯又进一步将极限严格化，创造了一整套ε- 语言、ε-N语言，消除了微积分中以前出现的错误与混乱。

极限理论也正式为人们所接受。

所谓万事开头难。

虽然自己在高中也接触过极限、导数这些概念，也会用这些理论来解决一些问题，但对极限的实质并没有真正理解。

最初接触这些含有ε的语句的时候，我确实感觉到了理解上的困难，更不用说应用这种语言来进行证明和应用。

虽然老师说ε语言所描述的其实就是要多小就有多小的概念，但当自己面对这些纯符号时，一开始真的很不适应，完全无法理解那些晦涩难懂的语句，对极限的学习我感到十分困难。

然而有一次，我看到一篇有关微积分的文章，上面写到庄子《天下篇》里的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”我很惊讶，其实早在几千年前，我们的先辈就已经提出了极限的形象解释。

虽然他们不是数学家，但世间的万事万物的相通性，同样使他们能看清事物的一些本质。

但是更让我惊讶的是，我随后看到的陈景润的一次讲座内容，他也提到了这句话，并且对这句话做出了自己的理解，而且正是用了我很难理解的ε-N语言来说明的。

这让人耳目一新，也让我感觉到大师为什么是大师。

他说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”说的就是微积分学中的无穷小，也就是每天切割棒棰，最后棒棰长度的极限为0。

微积分发展简史课件

实的理论基础。
柯西序列
02 通过柯西序列，解决了实数系连续性的问题，并建立
了极限理论。
布尔查诺-维尔斯特拉斯定理
03
证明了实数系连续性的唯一性，为实数理论的发展提
供了重要的支撑。
泛函分析的兴起
函数空间
研究函数集合的性质和结构，为泛函分析提供了基础。
傅里叶分析
研究函数的傅里叶级数展开和性质，为泛函分析提供了重要的工具。
极限理论是微积分的基础，19 世纪之前，数学家们一直在探索如何用极限的概念来描述函数的
变化趋势。
极限理论的建立经历了漫长的发展过程，最终由德国数学家魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔等人
完成。
极限理论的严格定义和证明，为微积分的进一步发展提供了坚实
的数学基础。
导数与积分的进一步发展
导数和积分是微积分的两个核心概念，19世纪数学家们对这两个概念进行了更深入
例如，常微分方程理论的建立，为解决各种实际问题提供了重要的数学模型。
同时，偏微分方程的发展也取得了重大进展，例如热传导方程、波动方程等，这些方程在物理、工程、化学等领域都有广泛的应用。
03
20世纪微积分的新发展
实数理论的发展
魏尔斯特拉斯的ε-δ定义
01
对实数进行严格的数学定义，为实数连续性提供了坚
描述物体运动规律
微积分可以用来描述物体的运动规律，例如物体的速度、加速度、位移等。
电磁学研究
在电磁学中，微积分被用来研究电磁场的分布和变化规律。
量子力学
在量子力学中，微积分被用来描述微观粒子的运动规律和分布情况。
在经济中的应用
01
供需关系
微积分可以用来描述商品的供需关系，例如价格与销售量的关系。

微积分发展简史

极限函数连续性
微分学
级数
积分学
不定积分定积分
微分方程
二元函数微分学二元函数积分 Nhomakorabea
这些问题大体上可以归纳为四大类：①已知物体移动的距离是时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反过来已知加速度是时间的函数，求速度与距离；②求曲线的切线；③求函数的最大值、最小值； ④求曲线的长、曲线弧围成的面积、曲面围成的体积以及两个物体之间的引力等等。当时，许多数学家都为解决这些问题而努力探索，其中有关微分学方面的问题解决得比较好，积分学中的一些问题也得到过一些好的结果。但是由于他们使用的方法多半不具有普遍性，或者即使有的方法蕴含着普遍性，但由于尚未有人能充分理解微分与积分这两类问题之间的相互联系的意义，因而未能创立微积分。
微积分学发展史简述
恩格斯指出：纯数学是以现实世界的空间的形式和数量的关系为对象的
一、16世纪以前~常量数学时期数学研究的对象基本上是常量和不变的图形，如算术、代数主要研究数量关系，几何侧重于研究图形，大抵相当于现在中学数学课本的内容 16世纪对运动的研究变成了自然科学的中心问题二、从17世纪开始进入了变量数学时期它以微积分的出现和发展为标志 •变量数学的第一个决定性步骤： 1637年笛卡儿的坐标法——解析几何思想

直到17世纪后半期，英国的牛顿与德国的莱布尼兹，在前人工作的基础上，各自独立地建立了微分运算和积分运算。并且建立了二者之间的内在联系，才奠定了微积分这门学科的基础。牛顿和莱布尼兹研究的角度不尽相同。在微分学方面，牛顿主要从力学出发，以速度为模型建立了微分学；而莱布尼兹主要从几何出发，从曲线在一点的切线开始，建立了微分学。在积分学方面，牛顿偏重于求微分的逆运算，即求不定积分；而莱布尼兹则强调把积分理解为求微分的“和”，也就是定积分。

微积分发展简史

微积散发展简史一、微积分的创办微积分中的极限、穷竭思想能够追忆到两千五百年前的古希腊文明，有名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长期间的酝酿，到了17 世纪，在工业革命的刺激下，终于经过牛顿（Newton）和莱布尼兹（ Leibniz ）的开创崭露头角了。

大概从 15 世纪初开始的文艺中兴期间起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了 17 世纪开始进入综合打破的阶段，而全部这些所面对的数学困难，最后汇总成四个中心问题，并最后致使微积分的产生。

这四个问题是：1.运动中速度、加快度与距离之间的虎丘问题，特别是非匀速运动，使刹时变化率的研究成为必需；2.曲线求切线的问题，比如要确立透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确立炮弹最大射程，到求行星轨道的近期点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.自然还有千百年来人们向来在研究怎样计算长度、面积、体积与重心等问题。

第一、二、三问题致使微分的观点，第四个问题致使积分的观点。

微分与积分在17 世纪从前仍是比较模糊的观点，并且是独立发展的。

开普勒（ Kepler ）、伽利略（ Galileo ）、费马（ Fermat ）、笛卡尔（Descartes ）、卡瓦列里（ Cavalieri ）等学者都做出了优秀贡献。

1669，巴罗（ Barrow，牛顿的老师）发布《几何讲义》，初次以几何的相貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较靠近于微积分基本定理。

牛顿和莱布尼兹生长在微积分出生前的瓜熟蒂落的年月，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能达成微积分的创办大业，正事因为它们占到了长辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真谛。

能够这样说：微积分的产生是量变（前驱们的大批工作的累积）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽期间）下的必定产物。

微积分基本定理的成立标记着微积分的诞生。

微积分简史

微积分简史微积分是数学中的一门重要分支，它研究的是变化率、面积和体积等概念的数学描述。

微积分的发展经历了多个阶段，包括古希腊的贡献、文艺复兴时期的发展、牛顿和莱布尼茨的贡献、欧拉和拉格朗日的贡献、柯西和魏尔斯特拉斯的贡献，以及现代微积分的应用和计算机与微积分的交叉学科发展。

1.古希腊的贡献古希腊时期，数学家们开始研究变量和变化率的概念。

毕达哥拉斯学派是最早研究这些概念的学派之一，他们提出了“万物皆数”的观点，并研究了整数之间的关系。

亚里士多德等哲学家也研究了无穷小和量的变化，虽然这些研究并不涉及现代微积分的概念，但为微积分的发展奠定了基础。

2.文艺复兴时期的发展在文艺复兴时期，数学得到了快速发展，微积分也开始萌芽。

艺术家和科学家们开始研究透视和线性比例，这些问题与微积分中的一些概念相关。

同时，哲学和科技进步也对微积分的发展产生了影响，例如笛卡尔的解析几何和莱布尼茨的机械学。

3.牛顿和莱布尼茨的贡献微积分的发展在牛顿和莱布尼茨的贡献下取得了突破。

牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》中提出了微积分的基本概念，例如导数和积分。

莱布尼茨也独立发现了这些概念，并发展出了微积分的基本算法。

这两位学者的贡献为微积分的发展奠定了基础。

4.欧拉和拉格朗日的贡献欧拉和拉格朗日对微积分的发展做出了重要贡献。

欧拉在研究无穷级数和函数时，提出了许多重要的概念和定理，例如求和公式和欧拉恒等式。

拉格朗日则发展了分析力学和复分析等理论，为微积分的应用提供了更广阔的领域。

5.柯西和魏尔斯特拉斯的贡献柯西和魏尔斯特拉斯在微积分领域做出了卓越的贡献。

柯西给出了极限、导数和积分的严格定义，为后来的数学分析提供了基础。

魏尔斯特拉斯则对实数理论做出了重要贡献，并提出了魏尔斯特拉斯定理。

他们的成果对微积分的基础理论产生了深远的影响。

6.现代微积分的应用现代微积分的应用广泛，包括物理学、化学、生物学、工程学等多个领域。

例如，在物理学中，微积分被用来描述物体的运动规律和作用力；在化学中，微积分可以描述化学反应的平衡条件和反应速率；在生物学中，微积分可以用来描述细胞生长和病毒传播等过程。

微积分的发展史简述

微积分的发展史简述作者：周锐来源：《当代人（下半月）》2018年第04期摘要：微积分是数学的一个分支，在数学史上占有重要地位。

本文根据时间进程阐述了微积分的发展史及其简要应用。

关键词：微积分;发展史;牛顿;莱布尼兹微积分是数学中的基础学科，也是近现代数学中的重要基石和起点。

它在物理、化学、生物等自然学科中被普遍利用，在社会、经济、人文等范畴也是重要的研究工具之一。

本文将沿着微积分学的发展时间历程，简要论述微积分的发展史。

一、微积分的萌芽之初微积分学发展得最早的是积分学的思想，可以追溯到古希腊时期[1]。

其中做出重要贡献的有古希腊数学家芝诺提出的四大悖论。

古希腊哲学家德谟克利特斯的原子论则充分体现了近代积分的思想，他认为任意事物都是由原子构成。

古希腊诡辩家安提丰提出的“穷竭法”是极限理论最早的表现形式。

古希腊数学家欧多克斯进一步研究原子论和穷竭法，使这两个理论得以稳健前进。

古希腊著名数学家阿基米德所提出的“平衡法”实质上是一种较原始的“积分法”。

他在著作《抛物线求积法》一书中运用穷竭法求出了抛物线构成的弓形的面积。

二、微积分创立之前的酝酿由于种种影响，微积分的概念在15世纪之前一直处于萌芽阶段[2]。

推动欧洲崛起的新航路开辟和文艺复兴是15世纪的大事件。

从14世纪到16世纪的文艺复兴在意大利各城市兴起，之后推广到西欧各国，带来了一场关于科学与艺术的革命。

随着文艺复兴的兴起，生产的发展带动了科学的发展。

与此同时希腊的著作大量进入欧洲，随着活板印刷的发明，知识的传播更加迅速，自然学科开始活跃，自然学科中的数学得以有进一步发展的机会。

在时代背景下，数学成为唯一被公认的真理得以推广。

天文学、光学、力学等自然学科的发展被生产力的发展所推动，为数学带来了大量的研究问题[3]，许多学者开始考虑研究微积分的思想[4]。

开普勒是德国杰出的天文学家、物理学家、数学家和哲学家。

他在《测量酒桶的新立体几何》一书中主要对如何求解旋转体体积的方法进行研究。

数学文化—— 微积分发展简史

2、魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术” 开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所
失矣。”
一、西方的微积分思想萌芽（极限思想）
• 欧多克索斯的穷竭法（古希腊时期） • 一个量如果减去大于其一半的量，再从余下的
量中减去大于该余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余下的量小于已知的任何量。
第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。（积分）
令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：
求因变量在某一时刻对自变量的变化率求因变量在自变量一定变化过程中的积累量。
前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。更令人惊讶的是，这二者之间竟然有着密切的联系：它们是互逆的两种运算，这个性质是由微积分学基本定理所体现的。从而微分学和积分学形成了一门统一的学科：微积分学。
f(a+e)～f(a)
这里所提到的“e”就是后来微积分学当中
的“ ”x
5、巴罗的“微分三角形”
巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一任“ 卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当巴罗发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于 1669年辞去了卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生 ——当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤，已成为科学史上的佳话。
• 在求解圆面积时，他提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
目录微积分的萌芽微积分的酝酿微积分的创立微积分的发展牛顿和莱布尼茨之争

微积分发展简史

微积分发展简史自发明解析几何以后，变量就登上了数学的舞台。

函数概念提出以后，描述物体运动规律便有了相应的数学方法。

然而在处理变量规律这个问题上，当时的科学家并没有找到强有力的方法，这极大地阻碍了科学研究。

然而自牛顿和莱布尼茨两位科学大师创立微积分这一强有力的工具之后，这些问题都迎刃而解，一场属于数学的盛宴便开始了。

背景关于“无穷”的思想，无论在古代西方还是中国，都有萌芽。

“割圆术”就是这一思想的提现，阿基米德利用圆内正96变形得到圆周率π的值在223/71到22/7之间，而我国魏晋时期的著名数学家更是以惊人的圆内正3072边形将π的值精确到了3.1416。

这些方法都体现了“无限分割之后再无限求和”的微积分数学思想。

然而限于低下的生产实践水平，这些思想难以进一步发展完善。

时间很快到了16世纪，社会生产实践活动水平已经上了一个新台阶。

天文学和物理学的快速发展带来了许多数学问题，例如如何求时候瞬时速度和加速度，如何计算曲边三角形的面积。

进入17世纪之后，科学家们的注意力逐渐聚焦到了四大类问题上:1.已知物体的位移-时间关系函数，求其在任意时刻的速度与加速度；反过来，已知物体的加速度-时间函数，求速度与位移。

2.求已知曲线的切线。

3.求已知函数的最大值与最小值。

4.求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心位置、物体（比如行星）作用于另一物体上的引力等。

在这些问题的探索中，笛卡尔、巴罗(牛顿在剑桥大学的老师，微积分早期先驱之一)、开普勒、卡瓦列里(意大利数学家，“祖暅原理”的西方发现者)等科学家做出了开创性贡献。

然而仍然没有形成完整的理论。

在大量知识和方法的积累下，一门崭新的学科已经呼之欲出了。

巨人与大师:牛顿和莱布尼茨牛顿(1642-1727）出生于一个纯粹的农民家庭，父亲早亡之后母亲又迫于生计改嫁给一个牧师，之后牛顿便和祖母一起生活。

残酷的家庭处境造成了牛顿沉默寡言又倔强的性格。

中学时代的牛顿成绩并不出众但好奇心和求知欲都相当旺盛，慧眼识人的中学校长和牛顿的叔父都十分鼓励牛顿去读大学，于是牛顿便以减费生的身份进入了剑桥大学三一学院，开始了他的科学巨人之路。

微积分基础

微积分基础本文主要讲解微积分的基础知识，并重点探讨微积分在各个领域的应用。

（一）微积分是数学的一个分支，它来源于物理学中对长度、面积等的计算。

微积分起源于十七世纪的法国，而后逐渐推广至欧洲大陆，十八世纪时传入英国，十九世纪中叶后得以完善。

微积分的产生使人类进入了数字化信息时代。

微积分有着悠久的历史渊源与深厚的思想内涵，也因此被称为“近代数学之父”。

微积分是一门实用性很强的学科，从17世纪开始，随着工业革命的兴起，社会上需要更加精确地测量空间距离，这促使微积分走向辉煌。

在微积分诞生前，所有的问题都可以通过几何方式求解，但微积分的创立改变了这种情况，微积分建立在极限论和无穷小分析的基础上，将复杂的函数表达形式转换为相对易懂且便于处理的公式，同时引入了众多新的概念，比如说导数，求导运算是微积分的核心内容。

微积分的思想不仅影响着数学的发展，还衍生出诸如微分方程、差分方程、变分法、泛函分析等丰富的数学分支。

一、微积分概念及其发展简史（一）微积分的概念最初由牛顿和莱布尼茨提出的，他们认为微积分是关于无穷小和无穷大的分析，这样定义微积分的目的在于研究无穷小和无穷大的性质，两位伟人虽然给出了微积分的明确定义，却没能揭示微积分的真正含义，直到后来，莱布尼茨才在他的《微积分》一书中第一次阐述了微积分的基本概念：微积分是研究无穷小和无穷大的学科，即研究极限的科学。

（二）微积分的历史发展及主要成就微积分是数学发展的又一里程碑，微积分是一门具有严密逻辑体系的科学，微积分奠定了整个现代数学的基础。

微积分包括极限、连续、导数、积分四项基本原则，它的创立标志着人类智慧的高峰，是人类智力发展的结晶，它不仅把数学带进了一个崭新的阶段，还拓宽了人类活动的范围，微积分的出现彻底打破了数千年来只依靠经验或者感觉做事的局面。

（三）微积分的发展现状微积分已经渗透到许多科学技术领域，比如生产实践、军事战略、医药卫生、气象预报、航天航空、经济管理等等。

微积分学简史

谢谢
微积分学是微分学和积分学的统称，英文简称Calculs，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题，后来人们也将微积分学称为分析学，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等级限过程分析处理计算问题的学问。
微积分的萌芽、发展，经历了一个漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克索斯就提出了穷竭法。这是极限理论的先驱。它指出：“一个量如减去大于其一半的量小于已知的任何量，再从余下的量中减去大于该余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余下的量小于已知的任何量。”
欧多克索斯
我国庄子《天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也具有极限的思想。从16世纪中叶开始，微积分正式进入了酝酿阶段，这时陆续出版了阿基米德的一些著作。研究行星运动的开普勒发展了阿基米德求面积和体积的方法。
阿基米德
牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶终于创立了微积分学。牛顿是那个时代的科学巨人，在他之前，已有了许多科学积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现的行星运动定律，微积分在这样的条件下诞生，乃是必然之事。牛顿莱布尼茨
牛顿和莱布尼茨大约与清朝的康熙皇帝处于同一时期。康熙虽喜欢西方数学，向传教士学过欧氏几何，三角测量等，但从未接触过微积分，那些传教士恐怕也不懂。微分、积分等名词由李善兰首译，十分恰当，这些译法传至东邻日本，以至中日的微积分名词多所相同。李善兰是京师同文馆的首任算学总教习，是晚清我国最杰出的数学家。
微积分诞生以后，曾就它的基础是否稳固爆发过一场大的争论。进入19世纪以后，分析学的不严密性到了非解决不可的地步。那时还没有变量、极限的严格定义。不知道什么是连续，因为有解析式的函数天然地被认为是连续的。级数的收敛性，定积分的存在性都是含糊不清的。

微积分发展简史(借鉴类别)

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。

微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。

1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较接近于微积分基本定理。

微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。

微积分发展简史

微积分发展简史微积分发展简史微积分是17世纪发现的最具威力的数学工具，是人类思维最珍贵的成果. 正如美国当代数学家柯朗所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗结晶，这种奋斗已经历了两千五百年之久，它深深地扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已.” 恩格斯也对微积分的发现予以高度评价，认为这是“人类精神的最高胜利.”一、微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代. 在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏有朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子. 在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，是我国较早出现的极限思想. 但把极限思想运用于实践解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽. 他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元. 刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次边数加倍，则正多边形面积愈来愈接近圆面积. 正如他说的：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣.”按照这种思想，计算到圆内接正192边形面积，则得圆周率的近似值为3.14. 大约两个世纪后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于“与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一. 其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，在西方称为“卡瓦利原理”，应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题.欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题. 较为重要的当数安提芬的“穷竭法”. 他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积. 但他的方法却没有被数学家接受. 后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯那里得到补充和完善. 之后，阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题. 他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法. 他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较. 但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的. 平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形.与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了. 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题. 阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分）来处理，从而回避了连续变化率.二、微积分的起源与孕育微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后. 1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒. 一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提供了大量的素材. 这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段.微积分的创立，首先是为了处理17世纪的一系列主要的科学问题. 有四种主要类型的科学问题：（1）已知物体移动的距离和时间的函数式，求物体在任意时刻的速度和加速度，使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；（2）望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；（3）确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极值问题也亟待解决；（4）问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究.在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.下面我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作.德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法. 他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积之和.意大利数学家卡瓦利里在他的著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法. 他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量. 他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦利里原理，即我国的祖氏原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积. 利用这个原理解决了开普勒的旋转体的体积问题.英国的数学家巴罗在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用微分三角形求出了曲线的斜率. 他的方法实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限. 他是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员. 当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任，巴罗让贤已成为科学史上的佳话.笛卡尔和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋. 笛卡尔在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法. 代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡尔的圆法为起点而踏上微积分的研究道路.沃利斯是在牛顿和莱布尼兹之前，将分析方法引入微积分贡献突出的数学家. 他在著作《无穷算术》中，利用算术不可分量法获得了一系列重要结果. 其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等.17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生. 前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性. 虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视. 因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务.三、微积分的创立1．牛顿的“流数术”牛顿1642年生于英格兰乌尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书. 17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校. 史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的务农中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说这是科学史上最幸运的预言. 1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗. 对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路.1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡. 在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的.牛顿于1664年开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性的进展. 1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文——《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献. 在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）：从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”：将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”. 该定理也称为牛顿——莱布尼兹定理，牛顿和莱布尼兹各自独立地发现了这一定理. 它是微积分中最重要的定理，建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算.这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来. 正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分.《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方．1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》. 在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》，《流数法与无穷级数》，《曲线求积术》，它们反映了牛顿微积分学说的发展过程. 在《运用无穷多项方程的分析学》中牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“瞬”，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩. 在论文《流数法与无穷级数》中，牛顿又恢复了运动学观点. 他把变量叫做“流”，变量的变化率叫做“流数”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的，他更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系方程，求流之间的关系”. 在《流数法与无穷级数》和《运用无穷多项方程的分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法与无穷级数》以动力学连续变化的观点代替了《运用无穷多项方程的分析学》的静力学不可分量法.牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了“首末比方法”. 牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略…在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”. 在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比. 可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导.牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度. 1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作. 而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表.2.莱布尼兹的微积分工作莱布尼兹出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育. 1672年至1676年，莱布尼兹作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作. 这四年成为他科学生涯最宝贵的时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础. 继而，这位博学多才的时代巨人，由于官场的失意、与牛顿关于微积分优先权争论的困扰以及多种病痛的折磨，晚年生活颇为凄凉，据说莱布尼兹的葬礼只有他忠实的秘书参加.在巴黎期间，莱布尼兹结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯，在惠更斯的影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡尔和帕斯卡等人的著作. 与牛顿的切入点不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究. 特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过. 1684年，莱布尼兹整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》，它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用. 1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号，并给出了摆线方程.牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能. 就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的. 然而一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论. 瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼兹的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼兹又被英国数学家指责为剽窃者. 这样就造成了支持莱布尼兹的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方. 这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换.在牛顿和莱布尼兹二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹；就发表时间而言，莱布尼兹先于牛顿. 虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的发展，但这场发明优先权的争论却极大地影响了英国数学的发展，由于英国数学家固守牛顿的传统近一个世纪，从而使自己逐渐远离分析的主流，落在欧陆数学家的后面.3. 18世纪微积分的发展在牛顿和莱布尼兹之后，从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在他的论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们高等数学教材中的“罗尔中值定理”. 微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容. 其中约翰给出了求不等式0 型极限的一个定理，现称为洛必达法则，这个定理由约翰的学生洛必达编入其微积分著作《无穷小分析》.18世纪，微积分得到进一步的深入发展，1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理——泰勒定理（以他名字命名的）. 雅各布、法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在考虑无理函数的积分时，发现一些积分既不能用初等函数，也不能用初等超越函数表示出来，这就是我们现在所说的“椭圆积分”，他们还就特殊类型的椭圆积分积累了大量的结果.18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论.这方面的贡献主要归功于尼古拉伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家.另外，函数概念在18世纪进一步深化，微积分被看作是建立在微积分基础上的函数理论，将函数放在中心地位，是18世纪微积分发展的一个历史性转折. 在这方面，贡献最突出的当数欧拉，他明确区分了代数函数与超越函数、显函数与隐函数、但值函数与多值函数等，并在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”.而18世纪微积分最重大的进步也是由欧拉作出的，他的《无限小分析引论》、《微分学原理》与《积分学原理》都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被都当作标准教材而广泛使用.综上，微积分并非是没有其前身而突然产生的，它的发明是通过许多学者长期的辛勤探索发展起来的一连串数学思想的结晶. 它的出现给数学领域开辟了一个新纪元，很少有其他发明能如此硕果累累.。