简单的工程问题讲义学生版

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第十一讲工程问题学生版

第六讲工程问题教学目标1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲模块一、工程问题——变速问题【例 1】甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字．前后共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（）字．【例 2】工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有件。

人教版六年级暑假数学讲义-第15讲简单的工程问题

第15讲简单的工程问题➢ 考纲透视1、工作总量：需要完成的工作量。

（比如：做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等）在工程问题中，当工作总量会出现两种情况，一种是告诉了具体的数值，另一种没有告诉具体数值，我们就以“1”来表示。

2、工作时间：完成一项工作，完成整个工作所花掉的实际时间（休息时间除外）。

工作时间一定为带有单位的具体的数值。

3、工作效率：一个单位时间内所完成的工作量。

（单位时间：一天，一小时，一分钟）4、求工作效率时通常都是：找准工作时间对应的工作量。

然后利用工作量除以工作时间。

➢ 例题剖析【例1】（1）五星花园修隧道，这条隧道长200米，有一个工程队修完共用20天，每天修多少米？（2）修一段路，共修了20天，那么每天修这条路的多少？当工作总量为具体的数值时，工作效率同样为具体的数值，带有单位。

当工作总量没有告诉具体的数值，为“1”时，工作效率为分数，不带单位。

【例2】例：求出甲乙的工作效率①完成一项工程，甲独做需要10天，乙独做需要15天，①修一段路，甲单独修要10天，乙修6天修了这段路的52。

①修一段路，甲2天修了这段路的51，乙修8天修了这段路的158。

【例3】妈妈买了20个苹果，要求姐姐每天吃4个，弟弟每天吃1个，姐弟一起吃，问这些苹果多少天能被吃完？【变式1】1、完成一项工程，甲独做需要10天完成，乙独做需要15天完成过，那么甲乙合作，合作的工作效率是；2、甲乙合做6天，:甲做天，乙也做天3、完成一项工作，甲乙先合作20天，再由乙单独做5天完成这项工作，那么乙的做了____天，甲做了______天。

（强调工作总量不变）【例4】一件工作，甲5小时完成全部工作的41，乙6小时又完成剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合做，还需几小时才能完成？【变式2】单独完成某项工程，甲、乙、丙分别需要10小时、15小时、20小时。

开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走，结果共用了6小时完成这项工作。

第01讲工程问题综合(学生版)

四第1讲工程问题综合六年级秋季知识点一、工程问题综合提高（六上）在日常生活中，做某件事，制造产品，完成某项任务或工程等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”．1、工程问题基本数量关系式：工作总量=工作效率×工作时间工作时间=工作总量÷工作效率工作效率=工作总量÷工作时间．2、工程问题中的比例问题通常可以分为：工作总量相同，工作效率与工作时间成反比；工作时间相同，工作效率与工作总量成正比；工作效率相同，工作时间与工作总量成正比．3、三者之间的换算，注意对应．4、单位“1”的转化．5、解题方法（1）基本法或假设工作任务为“1”（和总工作量无关）；或假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）；利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间．（2）分段考虑（3）分对象考虑6、问题转化：牛吃草问题、排队问题、泄洪问题、漏水问题等．备注一、量率对应1、生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的34没完成．若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共有多少个？2、（2014年金帆五春）制作一批零件，甲车间要20天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要12天就能完成．乙车间与丙车间一起做，需要16天才能完成．现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件400个．问丙车间制作了___________个零件．二、来回帮忙3、有A 、B 两个仓库，A 仓库的货物是B 仓库的2倍．搬运完A 仓库的货物，甲需要32小时；搬运完B 仓库的货物，乙单干需要24小时，丙单干需要12小时．刚开始甲搬运A 仓库，乙搬运B 仓库，丙帮甲，后来丙又去帮乙，直到最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮了甲几个小时？课堂例题4、（龙校六年级秋季）有甲、乙两个大型挖土工程分别需要挖2万和1万方土．A公司派出60人去做甲工程、30人去做乙工程，同时动工．当甲工程刚好完成23时，B公司派出40人去支援甲工程，若干天之后，乙工程还剩14，B公司立即完全停止支援甲工程，并派20人立即支援乙工程直至完成．最后两项工程都在动工后的50天完成．若同一公司的每个人每天挖土量相等，则单独由A公司的60人做甲工程需要多少天才能完成？三、轮流工作5、小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务．若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时．（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？6、（金帆六年级秋季）规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?四、劳逸结合7、甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须工作2天．一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息）．乙工程队单独做需82天（含休息）．如果两队合作，从2014年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？8、（人大附）一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了____________道题．五、比例解工程问题9、一批蜘蛛侠模型，做了1后，提速25%，提前3小时完成；如果做了400个模型后，提4速20%，可以提前2小时完成任务，那么这批模型有多少个？10、甲、乙两人合作一项工作，如果甲提速20%，则可比计划时间提前1完工；如果乙减10速25%，则会推迟10分钟，那么他们原计划多少分钟完成这项工作？六、水管问题11、一水池装有一个进水管和一个排水管，单开进水管5小时可以将空池灌满，单开排水管7小时可以将满池水排完．如果一开始是空池，打开进水管1小时后又打开排水管，那么再过多少小时池内将积有半池水？12、为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水．水池建成后，发现水池漏水．这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满．则当水池注满，并且关闭进水管与出水管时，经过多少小时池水就会漏完？七、列方程（组）解工程问题13、甲、乙两项工程分别由一、二对来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要上升20%．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？14、若干名工人计划用x分钟完成一项工程，如果开始时离开1名工人则要延误4分钟完成任务，如果开始时离开2人则要延误10分钟，那么原来共有多少人完成此任务？x的值是多少？（每人工作效率相同）随堂练习1、（金帆五升六）一项工程，甲、队独做10天可以完成，乙队独做30天可以完成．现在两队合作期间甲队休息了2天，乙队休息了8天（两队不在同一天休息）．从开始到完工共用了多少天？2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草．单独割完一个草地的草，阿呆需要9个小时，阿瓜需要12个小时，墨莫需要18个小时．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的草地．墨莫先帮助阿瓜，再去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？3、一个水池有两根进水管．单开甲管12小时注满，单开乙管15小时注满．现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？4、姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人从2014年9月2号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？5、（金帆五年级春季）一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在他们两队一起做，期间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共有16天，乙队休息了多少天？6、（龙校六年级秋季）甲乙共同加工一批零件，开始时甲每天加工的零件个数比乙少14．共同加工7天后，甲每天加工的零件提高了一半，而乙不变．加工结束时，甲总共加工的零件比乙少80个．若乙单独加工这批零件需要25天，求这批零件一共有多少个？7、（金帆五升六）一项工程，甲15天做了14后，乙加入进来，甲、乙一起又做了14，这时，丙也加入进来，甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问做完整个工作需要多少天？1、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在由两队合作，其间乙队休息了若干天，从开始到完工共用时14天，那么乙队休息了______天．2、（金帆五升六）一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成?课后作业3、（2015年金帆五春）某工程可由若干台机器在规定时间内完成．如果增加2台机器，则只需用规定时间的78就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟23小时做完．则由一台机器去完成这工程需要________小时．4、草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着．如果放养8头牛，则10天可以吃完；如果放养10头牛，则6天可以吃完，那么如果放养15头牛，可以吃____天．5、有A、B两个同样的仓库，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时．若一开始甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运．中途丙又到B仓库帮助乙搬运，最后两个仓库同时搬完．丙帮助甲多少小时？6、有一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的．打开A管，8小时可将满池水排空；打开C管，12小时可将满池水排空；如果打开A、B两管，4小时可将水排空．那么打开B、C两管，______小时可将满池水排空．7、蓄水池有甲、丙两条进水管和出水管乙．要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，开乙管需4小时．现在池内有16池水，如果按照甲、乙、丙的顺序轮流各打开1小时，______小时后水开始溢出水池．8、某工人做一批零件，做完一半后，提速25%，提前2小时完成任务；如果做了200个零件后，提速20%，也可提前2小时完成任务．那么这批零件有________个．9、某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入，为了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．现在抗洪指挥部要求在3小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？10、一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开__________个出水孔，经过__________分钟才能将水箱灌满．。

【小升初】18.工程问题教案讲义及练习

18.工程问题知识要点梳理一、根本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。

2．工程问题的三个根本量是工作效率、工作时间和工作总量。

〔1〕工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

〔2〕工作时间：完成工作总量所需的时间。

〔3〕工作总量：完成一项工作的总量。

一般都是把工作总量看做单位“1〞。

二、根本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。

我们把工作总量假设为单位“1〞，这个巧解方法的公式有：〔1〕一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。

〔2〕一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。

三、根本方法算术方法、比例方法、方程方法。

考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做〔〕天完成。

【精析】根据题意，把这件工作总量看作单位“1〞，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。

【答案】把这件工作总量看作单位“1〞， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6〔天〕【归纳总结】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。

考点2 合作工程问题【例2】一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】首先把这件工作看作单位“1〞，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。

(完整word版)六年级奥数《工程问题》讲义

工程问题工程问题是将一般的工作问题分数化,换句话说从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成丁作总量所需的时间）、工作效率（，单位时间内完成的工作於）三者之间关系的问题•它的特点是将工作总量看成单位“1”,用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答.T•程问题的三个基本数址关系式是：工作效率X工作时间=工作总量. 工作总就十工作时间=工作效率. 工作总量一工作效率=丁作时间.V —件工程，甲、乙合做需6天完成，乙.丙合做需9天完成•甲、丙合做需15天完成•现在甲.乙、丙三人合做需要多少天完成？分析先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几•再求三人合做需要多少天完成.解1+ [（¥ + + +需）十2]= 5 天）.答甲、乙.丙三人合做需要5器天完成.冷＜2卩一项工作，甲、乙合做要12天完成•若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的卷如果这件工作由甲、乙单独做•甲需要多少天？乙需要多少天？分析把甲先做3天后再由乙工作8天共完成这件工作的立•看作甲、乙合作3天再由乙单砂做5天“完成这件T作的寻•又这件工作甲、乙台做要12夭完成"则甲、乙合做1天完成这件工作的越3天完成这件工作的备x 3 =与前述进行比较知•乙5 天完成这件工作的5 1 1———■12 4 6-解乙单独完成这件工作的天数「壬（辛*5）=30（天儿甲单独完成这件匸作的天数士 1 -=-（吉一点）=20（天）.答这件工作由甲、乙单独做•甲需要20夭，乙需宴30天.亠（】）做一件工程•甲独做需要12小时完成，乙独做需要］8小时兀成■甲、乙合做1小时肩，然后由甲工作1小时，再由乙工作］小时两人如此交替工作'完成任务还需多少时间？<2）加工一批零件'甲、乙两人合做］小时势完成了这批零件的器乙、丙两人接着生产1小时•又完成了為甲、丙又合做2小时，完成了剩下的任务.甲•乙、丙三人合做■还妄多少小时完成？'?晅»有—水池，装有甲、乙两个注水管.下面装有丙管放水■池空时•单开卬管5分钟可注满.单开乙管10分钟可注满；水池装潢水肩.单开丙管15分钟可将水放完.如果在池空时•将甲、乙、丙三管齐开分钟启关闭乙管*还要多少分钟可注满水池？分析三管齐开2分钟肩的T作量是1 —（辛+吉一吉）x2.*［1_（言+壽_養餐2］斗（吉一吉）="分九答2分钟后关闭乙管.还妄4分钟可注满水池.密一份穡件.甲单独打字需6小时完成•乙单独打字需K）小时完成.现在甲单独打若干小时后•因有事由乙接着打完，共用了7小时.那么甲打字用了多少小时？分析乙7小时共打字盖幻=岳送样就差—磊=磊的稿件.因此甲每小时比乙多打全部稿件的吉一霁=磊*磊*点=4号（小时人*答甲打字用了4寺小时2再单独做4夭•还剩下这项工程的着没有完成，求甲、乙两队工作效卒之比.（2）甲、乙两项工程分别由一*二队来完成.在晴天•一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需姜15天卡在雨天”一队的工作效率要下降40%•二队的工作效率耍下降10%.结果两队同时完成这两项工程•那么•在施工的日子卑•雨天有多少天？g；有卬、乙两项工程•张师傅单独完成甲丁程需寰9天，单独完成乙1 [程需要12天；王师傅单独完成甲工程需要3天. E独完成乙H 程需要15天.如果两人合作完成这两项丁程.最少需要多少天？分折由题目条件知，王师傅擅长做甲工程，所以让王师傅先做甲丁程，张师傅先做乙工程.等王师傅做完甲工程再和张师傅做乙工程.解3+（】_誇）+（吉+養）=3十5 = 8（天》.答两人合作完成这两项工程，堆少需要8天.0 <34某地要修筑-条公路，甲丁•程队单独干需要io天完成，乙工程队单独干需要15天完成*如果两队合作*他们的工作效率就要降低■甲队只能完成原来的壬，乙队只能完成原来的壽.现在if划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少*那么两队要合作多少天？分析根据题意•甲、乙及甲.乙合做的工作效率分别为霁、1 tJL 1 4 1 9 7运及10X J +l5X l0 =50*此3种情况中乙的效率最低，甲、乙合做的效率最高，要使甲、乙合作天数尽可能的少.则必须甲尽可能地多做.如果全是甲做怡天可完成磊X8 =磊=£的工作虽尚有*的匚作没有完成■这部分工作要由甲、乙合做比甲多做的部分来完成.* （1~]^x8h（io x f+n x w~^）1 2=1■十韵=5（天〉.答两队要合作5天.(1) 一项工程•甲、乙合做全工程的晋^剩下的由甲单独完成. 甲一共做了10.5天”这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做•需要多少天？(2) 师徒三人合作承包一项工程显天能够全部完成.已知师傅单•独做所需的夭数与两个徒弟合作做所需的天数相等宇而师傅与乙徒第合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等•那么甲徒弟单独做，完成这项丁程需要多少天？乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天？练习题1 完成一项工作"噩耍甲队干5天，乙队干6天•或者甲队干7 天•乙臥干2天.如果甲.乙两队独立完成该工程各需多少天？O 一个水池•甲.乙两个水管同时打开击小时可以灌满水池：若甲管打开8小时后关闭+然后打幵乙管，再工作3小时也可以灌满水池.问：甲管先工作2小时后关闭,乙管再工作儿小时可以港满全水池？3 一件工作甲5小时完成了吉”乙£小时完成了剩下的一半，余T的部分由甲、乙合作，还需要多少小时？O 甲、乙合作完战一项工作，由于配合得好舟甲的工作效率比单独做时提高壽■乙的工作效率比单独做时提高+•甲.乙合作6小时完成了这项任务.如果甲单独做需羹H小时，那么乙单独做需要多少小时？5某工程如果由第一、二、三小队合干，需12天才能完成；由第一.三、五小队合干，需7天才能完成*由第二、四.五小队合干•需圧天才能完成*曲第一、三、四小队合干•需42天才能完成■那么这五个小队一起合干，需要多少天才能完成这项工程？0 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作•甲T：地的「作绘是乙工地工作址的L5倍.上午去甲工地的人数是去乙匚地人数的3倍■下午这批工人中有召的人去甲工地•其他工人到乙工地.到傍晚时•甲工地的工作已做完农乙工地的工作还需4名工人再做1天・那么，这批工人有多少人？。

工程问题

四年级第二学期讲义第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是101，乙的工作效率是151，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率151101+，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率=6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的. 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天）实际上我们把111()1015÷+这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些. 10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的33325=+，所需时间是31065⨯=（天）. 因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

六年级下册数学讲义-小升初专题精讲：简单的工程问题(无答案)全国通用

简单的工程问题【板块简介】工程问题属于分数应用题的形式，在考试占有一定的份量，是小升初考试的常考类型，一般情况下不给出具体的工作总量，通常可把工作总量看作单位“1”，因此工作效率就是工作时间的倒数。

板块一当中主要学习一些常用的、基本的工程问题。

解答工程问题时，要理清工作总量、工作效率和工作时间之间的关系，紧扣基本数关系“工作总量＝工作效率⨯工作时间”来思考，对具体问题要作仔细分析。

【基本公式】工作总量＝工作效率⨯工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率工作总量和＝工作效率和×工作时间工作效率和＝工作总量和÷工作时间工作时间＝工作总量和÷工作效率和例1加工360个零件，单独完成这批任务，甲需要20天，乙需要30天，两人共同工作，需要多少天能完成任务？【牛刀小试1】（育才）生产一批零件，甲每小时可做18个零件，乙单独做要12个小时。

现在由甲乙二人合做，完成任务时，甲乙生产的零件数量之比是3:5，甲一共生产零件多少个？例2（中大附中）如图表示甲、乙、丙三个工人单独完成一项工程各自所需的天数．若选择两位效率较高的合作，多少天可以完成那个全部工程的？【牛刀小试2】（明德）一项工程，甲单独做20小时完成，乙独做30小时完成，现由甲先做12小时后，乙接着做，还需多少小时完成？例3（中大附中）一件工程，甲单独做需8天完成，甲乙合作需6天完成．现由甲先做3天后，余下的工作由乙单独完成，还需多少天？【牛刀小试3】（大联盟）一水池装有一个放水管一个排水管，单开放水管5小时可将水池灌满，单开排水管7小时可将慢池水排完。

如果一开始是空池，打开放水管1小时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例4一项工程，甲、乙两人合作，36天完成；乙、丙两人合作，45天完成；甲、丙两人合作，60天完成。

甲、乙、丙独做，各需多少天完成？【牛刀小试4】放满一个水池的水，若同时打开1,2,3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2,3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1,3,4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1,2,4号阀门，则30分钟可以完成。

工程问题讲义

例6：由两条质地相同的绳子，长度相等，粗细不同，如果从两条绳子的一端点燃，细绳子40分钟可以燃尽，而粗绳子120 分钟才燃尽。如果从两条绳子的一端同时点燃，经过一段时间后，又同时把它们熄灭，这时量得细绳子还有10厘米没燃尽，粗绳子还有30厘米没燃尽，这两个绳子原来的长度是多少厘米？
【举一反三】 1. 某地要修一条公路，甲工程队单独干需要10天完成，乙工程队单独干需要15天完成，如果两队合作，他们的工作效率就要降低，甲队只能完成原来的4/5，乙队只能完成原来的9/10，现在计划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少天？
几天？
2. 有A、B两项工作，甲单独完成A项工作需要9天，单独完成B项工作需要12天；乙单独完成A项工作需要3天，单独完成B项工作需要15天，如果两人合作完成者两项工作，最少需要多少天？
3. 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？
4. 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如
果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？
5. 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将
空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？
分析：将题目”这样一来，问题就简单多了。
例4：抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙丙两人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲乙每天工作效率和的1/5；如果三人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？

工程问题初步(讲义) 数学六年级上册

工程问题初步工作总量、工作效率、工作时间有以下关系：工作总量=工作效率×工作时间在工程问题中，经常无法从题目中找到工作总量，此时可以把工作总量设为单位“1”；所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量。

工程问题中工作效率、工作时间和工作效率这三个量中最为关键的量是工作效率，因此，如何求出每一个工作者的工作效率，是同学们分析问题时的重点。

例1：填空题（1）一项工程，用4天完成，平均每天完成它的。

（2）一项工程，平均每天完成它的121，天可以完成。

（3）妈妈给小高盛了一碗米饭，小高用了5分钟就吃掉了半碗，小高吃饭的效率是。

练习：张师傅修一个花园需要12天，那么他完成这个花园32的工作量需要多少天？例2：一项工程，甲单独作6天能完成，甲完成31与乙完成21所需要的时间相同，那么乙单独完成需要多少天？练习：一项工程，甲单独做10天完成了一半，甲两天的工作量乙要三天完成，那么乙单独完成需要多少天？当多人合作的时候，完成的工作总量就是这些人工作量的总和，“总工效”就是他们每个人的工作效率之和。

例3：（1）一项工程，甲独做30天完成，乙独做24天完成，两人合作6天可以完成多少？（2）一项工程，甲独做24天完成，乙独做36天完成，两人合作多少天可以完成这项工程？练习：（1）一项工程，甲独做15天完成，乙独做18天完成，两人合作3天可以完成多少？（2）一项工程，甲独做8天完成，乙独做10天完成，两人合作多少天可以完成这项工程的21？例4：甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高51，乙的工作效率比单独做时提高81，甲、乙合作8小时完成这项工作。

如果甲单独完成需要12小时，那么乙单独做需要几小时？练习：阿呆和阿瓜合作拼一幅拼图，由于配合得好，两人的效率比各自单独做时均提高81，已知阿呆和阿瓜合作8小时完成这幅拼图，如果阿呆单独完成需要12小时，那么阿瓜单独完成需要几小时？挑战极限：共同完成一件工作，甲、乙合作需要10天，乙、丙合作需要12天，甲、丙合作需要15天。

小升初数学讲义之——工程问题

小升初——工程问题工程问题是小学的重点题型，也是初中数学的常见问题。

掌握工作时间、工作总量、工作效率之间的关系，并熟练转化工作方式，利用适合的解题方法如假设法、比例关系等解决工程问题是重点！一、组合工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

1.一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。

这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。

这件工作由甲先做了几天？2.甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。

中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。

如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？3.一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？4.甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具，因为甲有事，由乙、丙合作2天体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的13，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动完成余下工程的14报酬，甲、乙、丙各得多少元？5.有12头羊14天可以吃完12亩草，13头羊44天可以吃完22亩草，问多少头羊60天可以吃完50亩草?6.原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.7.一项工程，甲做10天乙做20天完成，甲做15天乙做12也能完成。

现乙先做4天，问甲还要多少天完成？8.一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。

如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。

工程问题讲义1

尹老师奥数----小升初班工程问题工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

⑴解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

⑵利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。

抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。

对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。

【工程问题知识点】一：基本数量关系：1.工效×时间=工作总量2.工作效率=工作总量÷工作时间 3.工作时间=工作总量÷工作效率二：基本特点：设工作总量为“1”，工效 =1/时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。

四：基本思想：分做合想、合做分想。

五：类型与方法：一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。

二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。

三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配四：休息请假：方法： 1.分想：划分工作量。

2.假设法：假设不休息。

五：休息与周期：1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。

2.天数：①近似天数，②准确天数。

3.列表确定工作天数。

六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七：注水与周期： 1.顺序，2.池中原来是否有水， 3.注满或溢出。

八：工效变化。

九：比例： 1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。

十：牛吃草问题： 1.新生草量，2.原有草量， 3.解决问题。

小升初数学讲义第2讲工程问题

第二讲工程问题有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。

解题方法：三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间注意事项：工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。

一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】：此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130，从而求出甲队的工作效率。

所以1÷【115－（730－115×3）÷（5－3）】＝20（天）答：乙队单独完成全部工程需要20天。

1、甲乙两名打字员合作24天可以完成一份书籍。

现在由甲先打16天，然后乙再打12天，完成了这份书籍的35。

已知甲每天比乙每天多打300个字，求这份书籍有多少个字?【解析】：根据题意可将“甲先打16天，然后乙再打12天，完成了这份书籍的35”转化成“两人合作12天，再由甲打16-12=4（天），完成了书籍的35”。

这样可以求出甲4天的工作量，即可求出甲的工作效率和乙的工效。

再根据工效差找到工效差的对应比率，即可求出单位“1”，书稿的总字数。

解：()31112161252440⎛⎫-⨯÷-= ⎪⎝⎭ 111244060-=300÷（112440-）=36000（字）答：共有36000个字。

2、甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18天，如果甲队干3天、乙队干4天则完成工程的15。

五年级下册数学讲义-培优专题讲练：第9讲：工程问题(学生版)

第九讲工程问题1基本公式：工作总量=工作效率=工作时间=2解题关键：这类题一般不给出总量，所以要把工作总量看做，那么工效=1/时间3用分数解工程问题的方法：把工作总量看作单位“1”。

分别找出各自的工作效率和合作工作效率。

根据“工程总量÷工作效率和=合作的时间”列式解答。

4基本题型熟记基本公式，把工作总量看作单位1例1、一项工作，甲独做12天完成，乙独做20天完成。

①甲乙合做1天完成全工程的几分之几？②甲乙合做3天完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？③甲乙合做几天可完成全工程？④甲乙合做几天完成全工程的一半？⑤甲乙合做5天后，余下的再由乙单独完成，还需几天？⑥甲先做2天后，余下的乙也参加同做，还需几天完成？例2、一堆沙子，甲车运完要6小时，乙车运完要8小时，丙车运完要9小时。

①甲、乙、丙三车合运1小时，可以运走这堆沙子的几分之几？②甲、乙、丙同时合运几小时可运完？③甲、乙、丙合运几小时，还剩这堆沙子的2/3？④甲、乙同时合运3小时后，丙也参加，还需几小时运完？例3 、一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做9小时可以完成。

如果按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，完成这件工作需要几小时？例4 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。

在晴天，一队完成甲工程需要12天。

二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％。

结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？例5 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？例6 一个游泳池，甲管放满水需6小时，甲、乙两管同时放水，放满需4小时。

第11讲工程问题(讲义)

第11讲工程问题（讲义）小学数学第11讲工程问题教案教学目标：1.了解什么是工程问题；2.掌握解决工程问题的方法；3.涵盖实际应用场景的例题。

教学重点：1.如何应用数学知识解决实际问题；2.如何将实际问题转化成数学问题进行研究；3.应用数学知识解决实际问题。

教学难点：如何将实际问题转化成数学问题进行研究。

教具准备：数学练习册。

授课过程：一、引入：（3分钟）请学生们看看黑板上的图，这是一个桥的建造图，请问在建造这座桥时，需要考虑哪些数学知识呢？通过这个问题，引导学生：我们生活中有很多需要应用数学知识的实际问题，学好数学不仅可以让我们拥有传统的学科素养，同时也可以让我们在实际生活中更加牢固地站稳脚步。

这个学期，我们的数学课程将涵盖更多实际应用场景的问题，我们需要一点点学习、探究。

二、概念讲解：（5分钟）工程问题是指我们在进行实际工程建造、设计或维修时，需要用到数学知识来解决的问题。

通常来说，一个工程问题需要考虑建造过程中所涉及的各种因素，例如面积、长度、重量、容量、速度等等。

三、解题思路：（5分钟）通过“吊车提重物”这个例子，引导学生探究解决工程问题的一般步骤：首先，把实际问题用数学语言描述出来，这样我们就可以将实际问题转化成数学问题；其次，通过分析数学问题求解方法，得出实用的答案；最后，根据答案，再将结果转化回实际问题，顺利解决问题。

四、例题讲解：（10分钟）请看P29-30的例题：建造一个矩形花圃，长比宽多2米，面积为180平米，请问长和宽各是多少？通过讲解此例题，引导学生逐步学会将实际问题转化成具体的数学问题，最终解决实际问题。

五、练习：（10分钟）请看数学练习册的P173-174。

六、巩固：（5分钟）请向同学讲述某个你解决的实际问题，并简要介绍你是如何采用数学知识解决这个问题的。

七、课堂反馈：（2分钟）今天我们学习了工程问题，你是否明白了什么是工程问题？能否掌握解决工程问题的方法？共同回顾一下今天的学习内容：引入、概念讲解、解题思路、例题讲解、练习，不同的内容涵盖在一个小时的学习时间中，今天的学习有哪些有趣的收获。

第32讲-工程问题(讲义)-2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义(通用版,学生版)

温馨提示：图片放大更清晰修一段路，如果由甲单独修需要用9小时能修完，甲每小时能修这段路的()。

答案：解析：根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”即可求得甲每小时修这段路的分率。

假设工作总量为11÷9＝所以，甲每小时能修这段路的。

为了喜迎新年，赶制一批彩旗，张师傅单独制作需要15小时完成，刘师傅单独制作需要10小时完成，两人合作制作需要6小时完成。

()答案：√解析：根据题意可知，一批彩旗是单位“1”，根据工程问题的公式：工作效率＝工作总量÷工作时间，据此即可求出张师傅和刘师傅的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用1除以张师傅和刘师傅的效率和即可求出合作需要多长时间，再判断。

1÷15＝1÷10＝1÷（＋）＝1÷＝6（小时）两人合作制作需要6小时完成，原题说法正确。

故答案为：√每年3月12日是植树节，今年甲乙两队计划种100棵树，甲队独种需要2天，乙队独种需要5天，两队合种共要几天？列式错误的是（）。

A．100B．100÷（100÷2＋100÷5）C．1D．100÷[100×（）]答案：A解析：若把这项工作看作单位“1”，则甲队工作效率和乙队工作效率已知，据此进行逐项分析，即可得出结论。

A．把这项工作看作是单位“1”，甲队工作效率为，乙队工作效率为；根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，即可求出两队合种几天能种完，可知A错误，C正确；B．用计划种树的总棵数分别除以甲、乙两队独种的天数，得出两队每天种的棵数，再用100除以两队每天种的棵数之和，即可得两队合种共要几天，可知B正确；D．把这项工作看作是单位“1”，甲队工作效率为，乙队工作效率为，用计划种树的总棵数乘两队的效率和，得出两队每天种的棵数和，再用除法计算，即可得两队合种共要几天，可知D正确。

故答案为：A现在两队合种，5天能种完吗？答案：＝×5＝答：5天能种完。

601 工程问题(学生版)

工程问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。

本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。

1.工程问题在主要概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。

在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。

工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变，即：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=51，即为所求，同时51也是甲完成这项工作的速度，所以51就是这道题中甲的工作效率。

在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。

常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。

2.解决工程问题的基本思路(1)工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。

工程问题一般采用这种方法求解。

(2)先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。

(3)求剩余部分的工作量完成的时间。

关键是正确求出剩余部分的工作量。

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2.分数应用题教学是小学数学中的一个难点，学生学习起来比较吃力，各种数量关系比较难分析，判断
3.分数应用题的基础题型是简单的分数乘法应用题，包括分数除法应用题，要抓住的就是分数乘法的意义：单位“1” 分率=对应量
授课时间
2018年7月29日星期日第1次课
教学内容
一、复习与回顾
1、张师傅加工一批零件，原计划每天加工80个，5天加工完。实际张师傅只用4天就加工完了，实际每天比原计划多加工零件多少个？
2、一件工作，甲、乙合作需4小时完成，乙、丙合作需5小时完成，甲、丙先合作2小时，余下的乙6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？
【小结】
知识点三、
1.【新课导入】
【例题讲解】
【例1】
3.【巩固练习】
【小结】
三、互动与反馈
四、课堂总结
5、家庭作业
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
1.【例题解析】
1、一条路，甲修要10天完成，乙修要15天完成，二人合作，要几天修完？
2、三部同样的抽水机同时抽水，抽干一池水需用15小时，五部这样的抽水机抽干这一池水需用多少小时？
3、一件工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需12天完成。这样工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14论2】
【结论3】
2.【巩固练习】
1、一份稿件，甲需要6天才能完成打印，乙需要10天才能完成打印，那么两人合打3天共完成这份稿件的几分之几？
2、完成一件工程，甲、乙合作10天完成，乙、丙合作8天完成，甲、丙合作12天完成．如果甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成？
3.【小结】
知识点二、单位“1”发生改变的工程问题
私塾国际学府学科教师辅导教案
学科组长审核：
学员编号
年级
五年级
课时数
3课时
学员姓名
辅导科目
数学
学科教师
贺琪琪
授课主题
分数应用题中的工程问题
教学目的
1.使学生掌握简单的工程问题和特殊的工程问题
2.学会找准对应的工作量和对应的工作时间和对应的工作效率
3.学会用假设法解决工程问题
重、难点
1.对于特殊的工程问题要注意方法
2、一项工程，单独做，甲要10天，乙要15天，丙要12天。
（1）甲乙合作几天完成？
（2）甲乙丙三人合作几天完成？
（3）甲先做2天，余下的乙、丙合作还要几天完成？
（4）甲乙合作两天，余下的甲丙合作还要几天？
（5）甲乙丙三人合作几天完成全工程的？
知识讲解
知识点一、工程问题
工作总量看作单位“1”
工作总量=工作效率×工作时间
1.【新课导入】
2.【例题讲解】
【例1】
1、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
3、【巩固练习】
1、有一批木料，可以做同样的课桌20张或同样的椅子30把，现在要做同样成套的课桌椅，可以做多少套？