三角函数、向量、解三角形、数列综合测试(含答案)

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三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

三角函数、向量、解三角形、数列综合测试(含答案)

三角函数综合测试题(含答案)

A. { 0 }
B. [ -2 , 2 ]
C. [ 0 , 2 ]
8.已知 sin cos 1 ,且 (0, ) ，则 sin +cos 的值为
8
2
D.[ -2 , 0 ]
5
A.
2
5
B. -
2
C. 5 2
3
D.
2
9. y (sin x cos x)2 1是
A．最小正周期为 2π 的偶函数 C．最小正周期为 π 的偶函数

将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是
3
A． y sin 1 x 2
B． y sin(1 x ) 22
C. y sin(1 x ) 26
D. y sin(2x ) 6
6. tan x cot xcos2 x
A． tan x B． sin x C. cos x D. cot x 7.函数 y = sin x sin x 的值域是
2
(k∈Z)…………………………………………………………………………..12 21.已知 sin( +k )=-2cos( +k ) (k∈Z). 求:（1） 4sin 2 cos ;
5cos 3sin
（2） 1 sin2 + 2 cos2 .
4
5
解：由已知得 cos( +k )≠0,
∴tan( +k )=-2(k∈Z),即 tan =2..................................................................................................2

高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________．答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )，减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案－56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________．答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向；〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0；〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________．答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )．右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12，要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况．正解由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2，即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案 π6解析由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________．答案－725解析由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8，所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25，则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

三角函数解三角形向量数列测试卷

三角函数、解三角形、向量、数列测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(,3)a x =-, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( )A ．－1B ． 1C ．9D ．－92.已知ABC ∆中，31sin ,2,3===B AC AB .则=C （）。

A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1203．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．89- 4. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A 090 B 060 C 0135 D 0150 5．已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4, a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=( )A ．138B ．135C ．95D ．236. 化简10sin 1++10sin 1-，得到（）A －2sin5B －2cos5C 2sin5D 2cos57．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是( )A.130B.170C.210D.2608．已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于( ) A.13- B.3- C.13 D.3 9．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角 10.若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（）A ．4005B ．4006C ．4007D ．400二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若32)sin(-=-απ, 且)0,2(πα-∈, 则αtan 的值是____________． 12．在等比数列{a n }中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log ｝前19项之和为_ __13．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,22214．已知等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2=9，a 1a 2a 3=27,则｛a n ｝的前n 项和是。

三角函数与解三角形_测试题(有解析、答案)

三角函数与解三角形测试题(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π38．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.13．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.14．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为2π3，当x∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y＝|cos x＋sin x|.(1)画出函数在x∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x在R上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x是△ABC的一个内角，且y2＝1，试判断△ABC的形状．。

2020高考数学专题测试《三角函数解三角形与平面向量和数列》含解析

《三角函数解三角形与平面向量和数列》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2π B．π C．π2 D ．4π答案 A解析 f (x )＝1－2sin 2x2＝cos x ，最小正周期T ＝2π，故选A ．2．已知sin θ<0，tan θ>0，则 1－sin 2θ 化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对答案 B解析由已知可判断出θ是第三象限角，所以1－sin 2θ＝|cos θ|＝－cos θ．故选B ．3．(2018·福建4月质检)已知向量AB →＝(1,1)，AC →＝(2,3)，则下列向量与BC →垂直的是( )A ．a ＝(3,6)B ．b ＝(8，－6)C ．c ＝(6,8)D ．d ＝(－6,3) 答案 D解析 BC →＝AC →－AB →＝(1,2)，因为(1,2)·(－6,3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故选D ． 4．(2018·长沙统考)已知a ，b 为单位向量，且a ⊥(a ＋2b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C解析由题意，a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°．故选C ．5．(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案 B解析 ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B ．6．(2018·广东广州调研)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A ．911B ．511C ．311D ．211 答案 B解析因为N ，P ，B 三点共线，所以AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511．故选B ． 7．(2018·湖南长郡中学调研)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( )A ．2B ．3C ． 2D ． 3 答案 A解析由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理，得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2．故选A ．8．(2018·江西九校联考)已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23B ．13C ．35D ．23答案 B解析由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tanα2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13．9．(2018·东北三省四市二联)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在0，π2上的最小值为( )A ．32 B ．12 C ．－12 D ．－32答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin2x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，可得φ＝－π3，所以f (x )＝sin2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin －π3＝－32．故选D ． 10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．127 答案 A解析因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215，故选A ．11．(2018·河北石家庄一模)已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[2－1,1] 答案 A解析由题意不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)．则a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， |a ＋b －c |＝(1－cos θ)2＋(1－sin θ)2＝3－22sin θ＋π4，令t ＝3－22sin θ＋π4，则3－22≤t ≤3＋22，故|a ＋b －c |∈[2－1，2＋1]．12．(2018·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点π12，0对称D ．关于点5π12，0对称答案 C解析由题意T ＝2πω＝π，得ω＝2，把g (x )＝cos2x 的图象向右平移π3个单位长度得f (x )＝cos2x －π3＝cos2x －2π3＝sin π2－2x ＋2π3＝sin －2x ＋7π6＝sin2x －π6的图象，f π12＝0，f 5π12＝32，因此函数f (x )的图象关于点π12，0对称．故选C ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·合肥质检一)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．答案－12解析依题意，有|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×2cos〈a ，b 〉＋4＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝－12，则a 在b 方向上的投影等于|a |cos 〈a ，b 〉＝－12．14．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．答案 75° 解析由正弦定理得3sin60°＝6sin B ，∴sin B ＝22．又∵c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝75°．15．(2018·河北石家庄质检)已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB→＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．答案 14解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB →＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，即x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14．16．(2018·广州调研) 如图所示，某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 处和D 处，已知CD ＝6000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是________ m ．(结果保留根号)答案 100042解析在△ACD 中，∵∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°， ∴∠CAD ＝60°，由正弦定理可得AD sin45°＝CDsin60°，∴AD ＝6000×2232＝20006(m)．在△BCD 中，由正弦定理得BD sin30°＝CDsin135°，∴BD ＝12×600022＝30002(m)，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴AB ＝ (30002)2＋(20006)2＝100042(m)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55．(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010． (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α ＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310．18．(2018·浙江温州统考)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．列表如下：画出图象如图所示：(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．19．(2018·河南洛阳二模)(本小题满分12分)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π3，半径为42，若点C 是AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)．(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC 的长； (2)求四边形OACB 面积的最大值．解 (1)在△OBC 中，BC ＝4(3－1)，OB ＝OC ＝42，所以由余弦定理得cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝32，所以∠BOC ＝π6，于是BC 的长为π6×42＝22π3．(2)设∠AOC ＝θ，θ∈0，2π3，则∠BOC ＝2π3－θ，S 四边形OACB ＝S △AOC ＋S △BOC＝12×42×42sin θ＋12×42×42sin 2π3－θ＝24sin θ＋83cos θ＝163sin θ＋π6，由于θ∈0，2π3，所以θ＋π6∈π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB 的面积取得最大值163．20．(2018·河南濮阳三模)(本小题满分12分)△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3．(1)求角A 的大小；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积．解 (1)因为2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，所以2R sin B sin B －2R sin A sin A ＝(b －c )sin C ，所以b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝60°．(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝19，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos120°，即19＝9＋BE 2－2×3×BE ×－12，解得BE ＝2(负值舍去)，所以AC ＝2．故S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC＝12×3×2×32＝332． 21．(2018·荆门调研)(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(－cos x ，3cos x )，f (x )＝m ·n －32． (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n －32＝－3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝－32sin2x ＋32(1＋cos2x )－32＝－32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6．当2x ＋5π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值3．(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6．而函数g (x )＝3sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，3π2上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6上单调递增．又g ⎝⎛⎭⎪⎫11π6＝－32，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝32．结合图象(如图)，所以方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根时，a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－3，－32．22．(2018·广东茂名二模)(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＝2sin C,2b ＝3c ．(1)求cos C ；(2)若∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且△ABC 的面积为3154，求BD 的长．解 (1)∵sin A ＝2sin C ，∴a ＝2c ．于是，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(2c )2＋32c 2－c 22×2c ×32c＝78．(2)由(1)知cos C ＝78，∴sin C ＝158．∵S △ABC ＝12·2c ·32c ·158＝3154，∴c 2＝4，c ＝2，则a ＝4，b ＝3． ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴a c ＝CD AD＝2，∴CD ＝2AD ．又CD ＋AD ＝3，∴CD ＝2，AD ＝1．在△BCD 中，由余弦定理可得BD 2＝42＋22－2×4×2×78＝6，∴BD＝6．专题测试二一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 答案 D解析由S 3＝6，知a 1＋d ＝2；由a 3＝0，知a 1＋2d ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝0，解得d ＝－2．故选D ．2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198 D ．297 答案 B解析由等差数列的性质得2a 6＝27－a 6，所以a 6＝9，又S 11＝11a 6＝99．故选B ． 3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝12，若a k ＝2－5，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．10 答案 D解析设该数列的公比为q ，则由等比数列的通项公式可得，q 3＝a 4a 1＝14，∴q ＝2－23，∴a k ＝a 1qk －1＝2·qk －1＝2－5，∴qk －1＝2－6，∴2(k －1)3＝6，∴k ＝10．4．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2018＝( ) A ．－1 B ．－12 C ．12 D ．1答案 B解析将x 1＝1代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 3＝1，所以数列{x n }的周期为2，故x 2018＝x 2＝－12．故选B ．5．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10＝S 4，则S 8a 9＝( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 A解析由a 10＝S 4得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0．所以S 8＝8a 1＋8×72d＝8a 1＋28d ＝36d ，所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d9d＝4．故选A ．6．(2018·甘肃天水检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．12n －1C ．23n －1D ．32n －1 答案 D解析因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝32n －1．故选D ．7．数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝( ) A ．－495 B ．765 C ．1080 D ．3105 答案 B解析由a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3可得a n ＝3n －63，则a 21＝0，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝765．故选B ．8．(2018·安徽淮南模拟)已知{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C ．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞) 答案 C解析 ∵{a n }是递增数列，∴∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，化简得λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3．故选C ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0 D ．S 15>0 答案 C解析因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大，即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见A 错误；易知a 16<a 15<0，S 16＝S 15＋a 16<S 15，B 错误；S 15＝152(a 1＋a 15)＝15a 8<0，D 错误；S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7>0．故C正确．10．(2018·福建漳州调研)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )A ．一鹿、三分鹿之一B ．一鹿C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一答案 B解析由题意可知，五人按等差数列分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且a 1＝1＋23＝53，公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝5，解得d ＝－13，所以a 3＝a 1＋2d ＝53＋2×－13＝1，所以簪裹得一鹿，故选B ．11．(2018·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ．则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A ．n 24 B ．(n －1)24C ．n (n －1)4D ．n (n ＋1)4答案 C解析依题意可得新数列为n 2，n 4，n6，…，1n ×n 2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 2411×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝n 241－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 24·n －1n ＝n (n －1)4．故选C ． 12．(2018·河南六市第一次联考)若正项递增等比数列{a n }满足1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0(λ∈R )，则a 6＋λa 7的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．2D ．4 答案 D解析 ∵{a n }是正项递增的等比数列，∴a 1>0，q >1，由1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0，得1＋(a 2－a 4)＋λq (a 2－a 4)＝0，∴1＋λq ＝1a 4－a 2，∴a 6＋λa 7＝a 6(1＋λq )＝a 6a 4－a 2＝q 4q 2－1＝[(q 2－1)＋1]2q 2－1＝(q 2－1)＋2＋1q 2－1≥2(q 2－1)·1q 2－1＋2＝4(q 2－1>0)，当且仅当q ＝2时取等号，∴a 6＋λa 7的最小值为4．故选D ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________．答案152解析 S 4a 2＝a 1·1－q 41－q a 1q ＝1－q 4q (1－q )＝1－242×(1－2)＝152．14．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________．答案 6解析由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，得a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，所以S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6．15．(2018·江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考)若{a n }，{b n }满足a n b n＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前2018项和为________．答案10092020解析 ∵a n b n ＝1，且a n ＝n 2＋3n ＋2，∴b n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋2)(n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2，∴{b n }的前2018项和为12－13＋13－14＋14－15＋…＋12019－12020＝12－12020＝1010－12020＝10092020．16．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________．答案 2n ＋2＋n (n ＋1)－4解析由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1－2，又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n2－2，所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(2018·云南统测)(本小题满分10分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3，∴q ≠1．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝26，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝728.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.∴a n ＝2×3n －1．(2)证明：由(1)可得S n ＝2×(1－3n)1－3＝3n－1．∴S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1．∴S 2n ＋1－S n S n ＋2＝(3n ＋1－1)2－(3n－1)(3n ＋2－1)＝4×3n．18．(2018·南昌一模)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1．(1)求{a n }的通项公式； (2)记b n ＝log 216S n ＋1，求b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值．解 (1)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4，得 2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2．又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1．所以a n ＝2n －1．(2)由(1)知，S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，所以b n ＝log 216S n ＋1＝2log 224－n＝8－2n ，b n ＋1－b n ＝－2，b 1＝8－2＝6，所以数列{b n }是首项为6，公差为－2的等差数列，所以b 2＝4，b 3＝2，b 4＝0，当n >5时b n <0，所以当n ＝3或n ＝4时，b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值为12．19．(2018·湖南长沙模拟)(本小题满分12分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，S n ＝2－2a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)nlog 12a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解 (1)∵S n ＝2－2a n ＋1，a 1＝1， ∴当n ＝1时，S 1＝2－2a 2，得a 2＝1－S 12＝1－a 12＝12；当n ≥2时，S n －1＝2－2a n ，∴当n ≥2时，a n ＝2a n －2a n ＋1，即a n ＋1＝12a n ，2∴{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1．(2)由(1)知b n ＝(－1)n(n －1)， ∴T n ＝0＋1－2＋3－…＋(－1)n(n －1)，当n 为偶数时，T n ＝(－0＋1)＋(－2＋3)＋…＋[－(n －2)＋n －1]＝n2；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝n ＋12－n ＝1－n2， ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧1－n 2，n 为奇数，n2，n 为偶数.20．(2018·太原三模)(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1．(1)求证：数列1a n是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝12n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解 (1)证明：因为a n ＋1＝a n2a n ＋1，且可知a n ≠0，所以1a n ＋1－1a n＝2，所以数列1a n是等差数列．所以1a n ＝1a 1＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝12n ．(2)因为b n ＝2n 2n ＝n 2n －1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，则12S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，两式相减得 12S n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n22所以S n ＝4－n ＋22n －1．21．(2018·东北三校联考)(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n＋1－b n )(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5．(2)因为b n ＝2n，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1．当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n＋2n －1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2；当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2．由λa n >2n＋n ＋2λ，得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n2n ＋1．又n ＋12n ＋2－n2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取得最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞．22．(2018·河北唐山一模)(本小题满分12分)已知数列{a n }为单调递增数列，S n 为其前n 项和，2S n ＝a 2n ＋n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，证明：T n <12．解 (1)当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，则2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．(2)证明：b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1，所以T n ＝11×21－12×22＋12×22－13×23＋…＋1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1＝12－1(n ＋1)·2n ＋1<12．。

高考数学复习专题过关测评—三角函数与解三角形(含答案及解析)

高考数学复习专题过关测评—三角函数与解三角形一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·江西临川期中)已知角θ的终边经过点P(√2,a),若θ=-π3,则a=()A.√6B.√63C.-√6 D.-√632.(2021·北京房山区一模)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的图象的一条对称轴方程为()A.x=-π6B.x=-π12C.x=π12D.x=π63.(2021·北京西城区一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=()A.√35B.√31C.6D.54.(2021·山西吕梁一模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示,则f(π3)=()A.√32B.12C.-√3D.√35.(2021·北京海淀区模拟)已知sin(π6-α)=13+cos α,则sin(2α+5π6)=()A.-79B.-4√39C.4√39D.796.(2021·福建福州期末)疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理,某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC=2π3,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角∠DCE=π3,已知AB=2,BC=1,则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为()A.5√2-5B.5√2C.5√33D.5√37.(2021·浙江宁波模拟)在△ABC中,“tan A tan B>1”是“△ABC为钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2021·安徽淮北一模)函数f(x)=2sin x+π4+cos 2x的最大值为()A.1+√2B.3√32C.2√2D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R为8√7710.(2021·江苏苏州月考)已知函数f(x)=(sin x+√3cos x)2,则()A.f(x)在区间[0,π6]上单调递增B.f(x)的图象关于点(-π3,0)对称C.f(x)的最小正周期为πD.f(x)的值域为[0,4]11.(2021·辽宁沈阳二模)关于f(x)=sin x·cos 2x的说法正确的为()A.∀x∈R,f(-x)-f(x)=0B.∃T≠0,使得f(x+T)=f(x)C.f(x)在定义域内有偶数个零点D.∀x∈R,f(π-x)-f(x)=012.(2021·山东潍坊统考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1tanA ,1tanB,1tanC依次成等差数列,则下列结论不一定成立的是()A.a,b,c依次成等差数列B.√a,√b,√c依次成等差数列C.a2,b2,c2依次成等差数列D.a3,b3,c3依次成等差数列三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·安徽合肥期中)已知cos(α+5π4)=-√63,则sin 2α=.14.(2021·北京东城区一模)已知函数f(x)=A sin(2x+φ)(A>0,|φ|<π2),其中x和f(x)部分对应值如下表所示:则A=.15.(2021·广东茂名二模)在矩形ABCD内(包括边界)有E,F两点,其中AB=120 cm,AE=100√3cm,EF=80√3 cm,FC=60√3 cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该矩形ABCD的面积为cm2.(答案如有根号可保留)16.(2021·湖南长郡中学二模)如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为m2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021·江西上饶一模)已知f(x)=2cos x·sin x+π3-√3sin2x+sin x cos x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若x∈(-π4,π6),求y=f(x)的值域.18.(12分)(2021·河北石家庄一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a-b=2c cos B.(1)求角C;(2)若a=2,D是AC的中点,BD=√3,求边c.19.(12分)(2021·广东韶关一模)在①cos C+(cos A-√3sin A)cos B=0;②cos 2B-3cos(A+C)=1;③b cosC+√33c sin B=a这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+c=1,,求角B和b的最小值. 20.(12分)(2021·山东枣庄二模)已知函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,f (0)=12,f (5π12)=0. (1)求f (x )的解析式;(2)在锐角△ABC 中,若A>B ,f (A -B 2-π12)=35,求cosA -B2,并证明sin A>2√55.21.(12分)(2021·福建宁德期末)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:若建立平面直角坐标系Oxy 如图所示,则股价y (单位:元)和时间x (单位:天)的关系在ABC 段可近似地用函数y=a sin(ωx+φ)+b (0<φ<π)来描述,从C 点走到今天的D 点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D 点和C 点正好关于直线l :x=34对称.老张预计这只股票未来的走势可用曲线DE 描述,这里DE 段与ABC 段关于直线l 对称,EF 段是股价延续DE 段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.现在老张决定取点A (0,22),点B (12,19),点D (44,16)来确定函数解析式中的常数a ,b ,ω,φ,并且求得ω=π72.(1)请你帮老张算出a ,b ,φ,并回答股价什么时候见顶(即求点F 的横坐标);(2)老张如能在今天以点D 处的价格买入该股票3 000股,到见顶处点F 的价格全部卖出,不计其他费用,这次操作他能赚多少元?22.(12分)(2021·深圳实验学校月考)已知函数f (x )=√3sin(ωx+φ)+2sin 2(ωx+φ2)-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2. (1)当x ∈[-π2,π4]时,求f (x )的单调递减区间;(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度,再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g (x )的图象,当x ∈[-π12,π6]时,求函数g (x )的值域;(3)对于第(2)问中的函数g (x ),记方程g (x )=43在区间[π6,4π3]上的根从小到大依次为x 1,x 2,…,x n ,试确定n 的值,并求x 1+2x 2+2x 3+…+2x n-1+x n 的值.答案及解析1.C解析由题意,角θ的终边经过点P(√2,a),可得|OP|=√2+a2(O为坐标原点),又由θ=-π3,根据三角函数的定义,可得cos(-π3)=√2√2+a2=12,且a<0,解得a=-√6.2.C解析将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度,得到y=g(x)=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3),令2x+π3=kπ+π2,k∈Z,解得x=kπ2+π12,k∈Z,结合四个选项可知,函数g(x)的图象的一条对称轴方程为x=π12 .3.B解析因为sin A=6sin B,所以a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以c2=a2+b2-2ab cos C,即c2=62+12-2×6×1×12,解得c=√31.4.D解析由题中函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象知,A=2,34T=11π3−2π3=3π,所以T=4π=2πω,所以ω=12.又f(2π3)=2sin(12×2π3+φ)=2,可得12×2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π6,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π6,∴f(x)=2sin(12x+π6).故f(π3)=2sin(12×π3+π6)=2sinπ3=√3.5.D解析由sin(π6-α)=13+cos α可得sinπ6·cos α-cosπ6·sin α=13+cos α,∴12cos α-√32sinα=13+cos α,∴√32sin α+12cos α=-13,∴sin(α+π6)=-13,∴sin(2α+5π6)=sin[π2+(2α+π3)]=cos(2α+π3)=1-2sin2(α+π6)=79.6.C解析在△CDE中,设定点C到底边DE的距离为h,则h=2+1·sin(2π3-π2)=52,又S△CDE=12DE·h=12CD·CE sinπ3,即5DE=√3CD·CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-2CD·CE cosπ3=CD2+CE2-CD·CE≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,当且仅当CD=CE时,等号成立,故DE 2≥CD·CE ,而5DE=√3CD·CE ,所以DE 2≥5√33DE ,则DE ≥5√33,故DE 的最小值为5√33. 7.D 解析因为tan A tan B>1,所以sinAsinBcosAcosB >1,因为0<A<π,0<B<π,所以sin A sin B>0,cos A cos B>0,故A ,B 同为锐角,因为sin A sin B>cos A cos B ,所以cos A cos B-sin A sin B<0,即cos(A+B )<0,所以π2<A+B<π,因此0<C<π2,所以△ABC 是锐角三角形,不是钝角三角形,所以充分性不满足.反之,若△ABC 是钝角三角形,也推不出“tan A tan B>1”,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件.8.B 解析因为f (x )=2sin (x +π4)+cos 2x ,所以f (x )=2sin (x +π4)+sin [2(x +π4)]=2sin x+π4+2sin (x +π4)cos (x +π4). 令θ=x+π4,g (θ)=2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin 2θ,则g'(θ)=2cos θ+2cos 2θ=2(2cos 2θ-1)+2cos θ=4cos 2θ+2cos θ-2,令g'(θ)=0,得cos θ=-1或cos θ=12,当-1≤cos θ≤12时,g'(θ)≤0;当12≤cos θ≤1时,g'(θ)≥0,所以当θ∈[-5π3+2kπ,-π3+2kπ](k ∈Z )时,g (θ)单调递减;当θ∈[-π3+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )时,g (θ)单调递增,所以当θ=π3+2k π(k ∈Z )时,g (θ)取得最大值,此时sin θ=√32,所以f (x )max =2×√32+2×√32×12=3√32.9.ACD 解析因为(a+b )∶(a+c )∶(b+c )=9∶10∶11,所以可设a+b=9x ,a+c=10x ,b+c=11x (其中x>0),解得a=4x ,b=5x ,c=6x ,所以sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=4∶5∶6,所以A 中结论正确;由以上解答可知c 边最大,所以三角形中角C 最大,又cos C=a 2+b 2-c 22ab=(4x )2+(5x )2-(6x )22×4x×5x=18>0,所以C 为锐角,所以B 中结论错误;由以上解答可知a 边最小,所以三角形中角A 最小, 又cos A=c 2+b 2-a 22cb=(6x )2+(5x )2-(4x )22×6x×5x=34,所以cos 2A=2cos2A-1=18,所以cos 2A=cos C.由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A∈(0,π),C∈(0,π2),所以2A=C,所以C中结论正确;由正弦定理,得2R=csinC(R为△ABC外接圆半径),又sin C=√1-cos2C=3√78,所以2R=3√78,解得R=8√77,所以D中结论正确.10.ACD解析f(x)=(sinx+√3cosx)2=sin2x+3cos2x+2√3sin x cos x=2+cos 2x+√3sin2x=2sin2x+π6+2;对于A选项:∵x∈[0,π6],∴2x+π6∈[π6,π2],∴f(x)=2sin(2x+π6)+2在区间[0,π6]上单调递增,故A正确;对于B选项:f(-π3)=2sin[2×(-π3)+π6]+2=0,由函数f(x)的图象(图略)可知-π3是f(x)的一个极小值点,故B错误;对于C选项:由f(x)=2sin(2x+π6)+2可知,函数的最小正周期T=2π2=π,故C正确;对于D选项,∵sin(2x+π6)∈[-1,1],∴f(x)=2sin(2x+π6)+2∈[0,4],故D正确.11.BD解析对于A,当x=π3时,f(-π3)-f(π3)=sin(-π3)cos2π3-sinπ3cos2π3=-√32×(-12)−√32×(-1 2)=√32≠0,故A错误.对于B,因为f(x+2π)=sin(2π+x)cos[2(x+2π)]=sin x cos 2x,所以∃T=2π≠0,使得f(x+T)=f(x),故B正确.对于C,因为f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin x cos 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.对于D,f(π-x)-f(x)=sin(π-x)cos[2(π-x)]-sin x cos 2x=sin x cos 2x-sin x cos 2x=0,故D正确.12.ABD 解析因为1tanA ,1tanB ,1tanC 依次成等差数列,所以2tanB =1tanA +1tanC ,整理得2cosB sinB=cosC sinC +cosAsinA ,所以2·a 2+c 2-b 22abc=a 2+b 2-c 22abc+b 2+c 2-a 22abc ,整理得2b 2=a 2+c 2,即a 2,b 2,c 2依次成等差数列.但数列a ,b ,c 或√a,√b,√c 或a 3,b 3,c 3不一定是等差数列,除非a=b=c ,但题目没有说△ABC 是等边三角形.13.-13 解析由cos (α+5π4)=-√63可得cos (α+π4)=√63,所以√22(cos α-sin α)=√63,即cos α-sin α=2√33,两边平方可得1-sin 2α=43,故sin 2α=-13.14.4 解析由题意可得{f (0)=-2√3,f (π4)=2,即{Asinφ=-2√3,Asin (π2+φ)=2,所以{Asinφ=-2√3,Acosφ=2,所以tan φ=-√3,又因为|φ|<π2, 所以φ=-π3,所以A=√3-√32=4. 15.14 400√3 解析连接AC 交EF 于点O (图略),由∠AEF=∠CFE=60°,得AE ∥FC ,所以△AEO 与△CFO 相似,所以OEOF =AECF =53,所以EO=50√3 cm,FO=30√3 cm,在△AEO 中,由余弦定理得,AO 2=AE 2+EO 2-2AE·EO·cos ∠AEO=(100√3)2+(50√3)2-2×100√3×50√3cos 60°=22 500,所以AO=150 cm,同理CO=90 cm,所以AC=240 cm,从而BC=√AC 2-AB 2=120√3 cm,所以矩形ABCD 的面积为14 400√3 cm 2.16.(10 000√5+25 000) 解析在△OAB 中,∵∠AOB=θ,OB=100 m,OA=200 m,∴AB 2=OB 2+OA 2-2OB·OA·cos ∠AOB ,即AB=100√5-4cosθ,∴S 四边形OACB =S △OAB +S △ABC =12·OA·OB·sin θ+12AB 2,于是S 四边形OACB =1002(sinθ-2cosθ+52)=1002√5sin(θ-φ)+52(其中tan φ=2),所以当sin(θ-φ)=1时,S 四边形OACB 取最大值10 000(√5+52)=10 000√5+25 000,即“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 000√5+25 000)m 2.17.解 (1)f (x )=2cos x sin (x +π3)−√32(1-cos 2x )+12sin 2x=2cos x (12sinx +√32cosx)−√32+√32cos 2x+12sin 2x=12sin 2x+√32(2cos 2x-1)+√32cos 2x+12sin 2x=sin 2x+√3cos 2x=2sin (2x +π3), 令2k π-π2≤2x+π3≤π2+2k π,k ∈Z , 解得k π-5π12≤x ≤k π+π12,k ∈Z ,因此,函数f (x )的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k ∈Z .(2)∵x ∈(-π4,π6),∴-π6<2x+π3<2π3,∴-12<sin (2x +π3)≤1,∴-1<f (x )≤2, 因此当x ∈(-π4,π6)时,y=f (x )的值域为(-1,2].18.解 (1)因为2a-b=2c cos B ,由正弦定理得2sin A-sin B=2sin C cos B ,因为sin A=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin C ,代入上式得,2sin B cos C+2cos B sin C-sin B=2sin C cos B ,即2sin B cos C-sin B=0,即sin B (2cos C-1)=0.因为B ∈(0,π),所以sin B ≠0,所以2cos C=1,即cos C=12,又0<C<π,所以C=π3. (2)依题意,在△CBD 中,CB=2,CD=12b ,BD=√3,C=π3, 利用余弦定理的推论可得,cos C=cos π3=12=4+(12b )2-32×2×12b,即b 2-4b+4=0,解得b=2.在△ABC 中,b=a=2,C=π3,故△ABC 是等边三角形,故c=2.19.解若选择①:在△ABC 中,有A+B+C=π,则由题意可得cos[π-(A+B )]+(cos A-√3sinA )cos B=0,即-cos(A+B )+cos A cos B-√3sin A cos B=0, sin A sin B-cos A cos B+cos A cos B-√3sin A cos B=0, sin A sin B=√3sin A cos B ,又sin A ≠0,所以sin B=√3cos B ,则tan B=√3. 又B ∈(0,π),所以B=π3.因为a+c=1,所以c=1-a ,a ∈(0,1).所以b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-ac=a 2+(1-a )2-a (1-a )=3a2-3a+1=3(a -12)2+14,因为a ∈(0,1),所以当a=12时,b 2取得最小值,且(b 2)min =14,即b 的最小值为12. 若选择②:在△ABC 中,有A+B+C=π,则由题意可得2cos 2B-1-3cos(π-B )=2cos 2B+3cos B-1=1,解得cos B=12或cos B=-2(舍去),又B ∈(0,π),所以B=π3.因为a+c=1,所以c=1-a ,a ∈(0,1).所以b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-ac=a 2+(1-a )2-a (1-a )=3a2-3a+1=3(a -12)2+14,因为a ∈(0,1),所以当a=12时,b 2取得最小值,且(b 2)min =14,即b 的最小值为12. 若选择③:由正弦定理可将已知条件转化为sin B cos C+√33sin C sin B=sin A , 又sin A=sin[π-(B+C )]=sin(B+C )=sin B cos C+sin C cos B ,所以√33sin C sin B=sin C cos B ,又sin C ≠0,所以sin B=√3cos B ,所以tan B=√3. 又B ∈(0,π),所以B=π3.因为a+c=1,所以c=1-a ,a ∈(0,1).所以b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-ac=a 2+(1-a )2-a (1-a )=3a2-3a+1=3(a -12)2+14,因为a ∈(0,1),所以当a=12时,b 2取得最小值,且(b 2)min =14,即b 的最小值为12. 20.解 (1)由f (0)=12,得sin φ=12,又0<φ<π2,所以φ=π6.由f (5π12)=0,得sin (ω·5π12+π6)=0,所以ω·5π12+π6=k π,k ∈Z ,即ω=25(6k-1),k ∈Z . 由ω>0,结合题中函数f (x )的图象可知12·2πω>5π12, 所以0<ω<125,所以有0<25(6k-1)<125,即16<k<76, 又k ∈Z ,所以k=1,从而ω=25×(6×1-1)=2,因此,f (x )=sin (2x +π6). (2)由f (A -B2-π12)=35,得sin(A-B )=35,又由题意可知0<A-B<π2,故cos(A-B )=45,于是cos A -B2=√1+cos (A -B )2=√10,sin A -B2=√10, 又A+B>π2,所以A=A+B 2+A -B 2>π4+A -B2,又因为函数y=sin x 在区间(0,π2)上单调递增,A ∈(0,π2),π4+A -B 2∈(0,π2),所以sin A>sin π4+A -B2=√22×(3√10+1√10)=2√55.21.解 (1)∵点C ,D 关于直线l 对称,∴点C 坐标为(2×34-44,16),即(24,16). 把点A ,B ,C 的坐标分别代入函数解析式,得{22=asinφ+b , ①19=asin (π6+φ)+b ,②16=asin (π3+φ)+b ,③②-①,得a [sin (π6+φ)-sinφ]=-3, ③-①,得a [sin (π3+φ)-sinφ]=-6,∴2sin (π6+φ)-2sin φ=sin (π3+φ)-sin φ, ∴cos φ+√3sin φ=√32cos φ+32sin φ,∴(1-√32)cos φ=(32-√3)sin φ=√3(√32-1)sin φ,∴tan φ=-√33.∵0<φ<π,∴φ=5π6,代入②,得b=19. 将φ=5π6,b=19代入①得,a=6.于是ABC 段对应的函数解析式为y=6sin (π72x +5π6)+19,由对称性得DEF 段对应的函数解析式为y=6sin π72(68-x )+5π6+19.设点F 的坐标为(x F ,y F ),则由π72(68-x F )+5π6=π2,解得x F =92. 因此可知,当x=92时,股价见顶.(2)由(1)可知,y F =6sin [π72×(68-92)+5π6]+19=6sin π2+19=25,故这次操作老张能赚3 000×(25-16)=27 000(元).22.解 (1)由题意,函数f (x )=√3sin(ωx+φ)+2sin 2(ωx+φ2)-1=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin (ωx +φ-π6),因为函数f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2, 所以T=π,可得ω=2.又f (x )为奇函数,且f (x )在x=0处有定义,可得f (0)=2sin (φ-π6)=0, 所以φ-π6=k π,k ∈Z ,因为0<φ<π,所以φ=π6, 因此f (x )=2sin 2x.令π2+2k π≤2x ≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得π4+k π≤x ≤3π4+k π,k ∈Z , 所以f (x )的单调递减区间为[π4+kπ,3π4+kπ],k ∈Z , 又因为x ∈[-π2,π4],故函数f (x )的单调递减区间为[-π2,-π4].(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度,可得y=2sin (2x -π3)的图象,再把横坐标缩小为原来的12,得到函数y=g (x )=2sin 4x-π3的图象,当x ∈[-π12,π6]时,4x-π3∈[-2π3,π3],当4x-π3=-π2时,函数g (x )取得最小值,且最小值为-2,当4x-π3=π3时,函数g (x )取得最大值,且最大值为√3,故函数g (x )的值域为[-2,√3].(3)由方程g (x )=43,即2sin (4x -π3)=43,即sin 4x-π3=23.(*)因为x ∈[π6,4π3],可得4x-π3∈[π3,5π],设θ=4x-π3,其中θ∈[π3,5π],则方程(*)可转化为sin θ=23,结合正弦函数y=sin θ的图象,如图,可得方程sin θ=23在区间[π3,5π]上有5个解,设这5个解分别为θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,所以n=5,其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,即4x 1-π3+4x 2-π3=3π,4x 2-π3+4x 3-π3=5π,4x 3-π3+4x 4-π3=7π,4x 4-π3+4x 5-π3=9π, 解得x 1+x 2=11π12,x 2+x 3=17π12,x 3+x 4=23π12,x 4+x 5=29π12,所以x 1+2x 2+2x 3+2x 4+x 5=(x 1+x 2)+(x 2+x 3)+(x 3+x 4)+(x 4+x 5)=20π3.。

三角函数和向量测试试卷(含答案)

三角函数和向量测试试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．02120sin 等于（） A ．23±B ．23C ．23- D ．212．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）A ．34B ．34-C ．34±D ．3 3．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12 C．2- D．24．若,24παπ<<则（）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ．αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（）A ．52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （）A ．7B ．10C ．13D ．49．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（） A .1925 B .1625 C .1425 D .72510．向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于A ．2-B ．2C ．21D ．12-11．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0 12.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上13．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________。

三角函数综合测试题(附答案)

三角函数综合测试题学生：用时：分数一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共18小题，每题3分，共54分〕1.〔08全国一6〕2(sin cos )1y x x =--是〔〕 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.〔08全国一9〕为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像〔〕A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)假设sin 0α<且tan 0α>是，那么α是〔〕A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4.〔08全国二10〕．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为〔〕 A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.〔08安徽卷8〕函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是〔〕A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.〔08福建卷7〕函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，那么g(x )的解析式为( )xxxx7.〔08广东卷5〕函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，那么()f x 是〔〕 A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数C 、最小正周期为π的偶函数D 、最小正周期为2π的偶函数 8.〔08海南卷11〕函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为〔〕A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.〔08湖北卷7〕将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，假设F ′的一条对称轴是直线,1x π=那么θ的一个可能取值是〔〕A.512π B.512π- C.1112π D.1112π- 10.〔08江西卷6〕函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是〔〕A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，那么MN 的最大值为〔〕 A ．1BCD ．212.〔08山东卷10〕πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是〔〕A． BC ．45-D ．4513.〔08陕西卷1〕sin 330︒等于〔〕 A．2-B ．12-C ．12D．214.〔08四川卷4〕()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.〔08天津卷6〕把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数是〔〕 A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.〔08天津卷9〕设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么〔〕 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.〔08浙江卷2〕函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是〔〕A.2π B .π C.32πD.2π 18.〔08浙江卷7〕在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是〔〕1-18题答案：二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题3分，共 15分〕.19.〔08北京卷9〕假设角α的终边经过点(12)P -，，那么tan 2α的值为． 20.〔08江苏卷1〕()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，那么ω= ．21.〔08辽宁卷16〕设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，那么函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为．22.〔08浙江卷12〕假设3sin()25πθ+=，那么cos 2θ=_________。

三角函数、解三角形综合测评试题(含答案)

高中数学阶段综合测评试题测试范围：三角函数、解三角形 (时间：120分钟满分：150分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为120分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．终边与单位圆交点的横坐标是－22的钝角为( ) A.2π3 B.3π4 C.5π6 D.5π42．(改编题)点A (sin2 013°，cos2 013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(改编题)已知α∈(2 013π，2 014π)，且sin(α＋2 013π)＝33，则cos(α－2 014π)等于( )A ．±63B ．－63 C.33D ．－334．函数y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)]是( ) A ．周期为π4的奇函数B ．周期为π4的偶函数C ．周期为π2的奇函数 D ．周期为π2的偶函数5．(2013·东北三校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 6．(2013·东北四校联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象如图所示，AB →·BD →＝( ) A ．8 B ．－8 C.π28－8D ．－π28＋87．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或5258．(2013·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．无法确定10．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°11．(2013·石家庄一模)若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( )A ．f (x －2)一定是奇函数B ．f (x ＋1)一定是偶函数C ．f (x ＋3)一定是偶函数D ．f (x －3)一定是奇函数12．(2013·长春调研)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aP A →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为 ( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 14．(2013·山西名校联考)已知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为________．15．(2013·东北三校第一次联考)在△ABC 中，2sin 2A2＝3sin A ，sin(B －C )＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________.16．(2013·唐山统考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求sin α. 18．(12分)(2013·石家庄质检二)已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．19．(12分)(2013·石家庄一模)如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF ，用卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF ＝α，∠AFE ＝β，∠CEF ＝θ，∠CFE ＝φ，∠AEC ＝γ.请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果．20．(12分)(2013·安徽联谊中学联考)设函数f (x )＝sin x －3cos x ＋x ＋1. (1)求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，f ′(B )＝3且a ＋c ＝2，求边长b 的最小值．21．(12分)(2013·湖北八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积．(1)若4S ＝a 2＋b 2－c 2，求角C ；(2)若43S ＝a 2＋b 2＋c 2，试判断△ABC 的形状．22．(12分)如图，点A ，B 是单位圆O 上的动点，且A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形，记∠COA ＝α.(1)若点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC →|的取值范围．阶段综合测评详解答案1．B 所求角为钝角，终边必落在第二象限，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，该角为3π4，故选B.2．C 由于2 013°＝5×360°＋213°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin2 013°<0，cos2 013°<0，从而A 点在第三象限，选C.3．A 由α∈(2 013π，2 014π)，知α为第三、四象限的角，而sin(α＋2 013π)＝－sin α＝33，∴sin α＝－33，于是cos(α－2 014π)＝cos α ＝±1－sin 2α＝±63，故选A.4．C y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)] ＝2·(－sin2x )·cos2x ＝－22sin4x ，因此周期T ＝2π4＝π2，且f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，选C.5．D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2，由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4，由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 6．C T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝⎛⎭⎪⎫712π，－2，∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π4×π2＋2×(－4)＝π28－8.7．A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，选A.8．B 注意到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin2x ，又函数y ＝1＋sin2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin2x 的图象(如图所示)可知，|P 1P 5→|＝2π，选B.9．C 根据分析可得函数的半周期为3，即12×2πω＝3，得ω＝π3. 函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝A ，即sin φ＝－1，取φ＝－π2.所以函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2. 令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间是[6k,6k ＋3]，k ∈Z ，故选C.10．B ∵tan ∠ADC ＝tan ∠DAB ＝6020＝3，tan ∠DCA ＝6050－20＝2，∴tan ∠DAC ＝tan(π－∠ADC －∠DCA )＝－tan(∠ADC ＋∠DCA )＝－tan ∠ADC ＋tan ∠DCA1－tan ∠ADC ·tan ∠DCA＝－2＋31－2×3＝1，∴∠DAC ＝45°.11．D 由f (1)＝0得，A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝0即π2＋φ＝k π(k ∈Z )φ＝k π－π2(k ∈Z )故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋k π－π2＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为偶函数，f (x －3)＝±A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x －3)＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －32π＝±A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为奇函数．故选D.12．C 依题意得，cAC →＋aP A →＋bPB → ＝cAC →－12a (AB →＋AC →)＋12b (AB →－AC →)＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2AC →－a －b 2AB →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2·AC →＝a －b 2AB →，又AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧a －b2＝0，c －a ＋b2＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，选C.13.17解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin α＝35 得cos α＝－1－sin 2α＝－45，故tan α＝－34，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.14．12解析：由题意知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，∴x 1，x 2，x 3，x 4是sinπx ＝1x －3在(0，＋∞)上的实数根．显然x 1，x 2，x 3，x 4均大于0.分别绘出sinπx 和1x －3在(0，＋∞)上的函数图象如图所示，显然，sinπx 和1x －3均关于点(3,0)中心对称．要使x 1＋x 2＋x 3＋x 4最小，x 1，x 2，x 3，x 4应为图象上的前四个交点的横坐标．显然x 1，x 4与x 2，x 3亦关于点(3,0)对称．∴x 1＋x 42＝3，x 1＋x 4＝6，同理x 2＋x 3＝6，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为12. 15.1＋132解析：由2sin 2A 2＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又0<A <π，π6<A ＋π6<7π6，故A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，由sin(B －C )＝2cos B sin C ，可得sin B cos C ＝3cos B sin C .设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2＋bc ，由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3cos B ，从而b (a 2＋b 2－c 2)2ab ＝3c (c 2＋a 2－b 2)2ca，故可得b 2－bc －3c 2＝0，从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －3＝0，从而b c ＝1＋132. 16.11解析：∵S △ABC ＝12AB ×43＝12AC ·BC sin60°，∴12×3×43＝12AC ·BC sin60°，∴AC ·BC ＝83.由余弦定理可知cos60°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC， ∴cos60°＝AC 2＋BC 2－32×83，∴AC 2＋BC 2＝173.又(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝173＋163＝11，∴AC ＋BC ＝11. 17．解：(1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos2α. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，得4cos2α＝125， ∴cos2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos2α)＝15， ∴sin α＝±55.18．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －2 ＝3sin2x ＋2cos 2x －2＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，所以f (x ) 的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－2.19．解：第一步：在△AEF 中，利用正弦定理，AE sin β＝EF sin (180°－α－β)，解得AE ＝αsin βsin (α＋β)；第二步：在△CEF 中，同理可得CE ＝αsin φsin (θ＋φ)；第三步：在△ACE 中，利用余弦定理，AC ＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos γ ＝ a 2sin 2βsin 2(α＋β)＋a 2sin 2φsin 2(θ＋φ)－2a 2sin βsin φcos γsin (α＋β)sin (θ＋φ) 20．解：(1)当x ＝0时，f (0)＝1－3，则切点(0,1－3)，∵f ′(x )＝cos x ＋3sin x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1， ∴k ＝f ′(0)＝2sin π6＋1＝2. ∴切线方程l ：y －(1－3)＝2(x －0)，即y ＝2x ＋(1－3)．(2)由(1)可知f ′(B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋1＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，∴B ＝π3.由余弦定理可知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ≥4－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝4－3＝1，当且仅当a ＝c ＝1时取“＝”， ∴b 2≥1，由b >0可知b ≥1，∴b min ＝1.21．解：(1)由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以4S ＝a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝4×12ab sin C ，即tan C ＝1. 而C ∈(0，π)，故C ＝π4.(2)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，于是43S ＝43×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C ) 即3ab sin C ＋ab cos C ＝a 2＋b 2，所以2ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝a 2＋b 2≥2ab ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，而C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，所以C ＋π6＝π2，即C ＝π3，将C ＝π3代入条件得2ab ＝a 2＋b 2，即a ＝b ，故△ABC 为正三角形．22．解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，所以0<α<π2，sin α＝45，cos α＝35，所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝20. (2)因为三角形AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos(α＋60°)， sin ∠COB ＝sin(∠COA ＋60°)＝sin(α＋60°)，所以B 点坐标为(cos(α＋60°)，sin(α＋60°))．所以|BC →|＝[cos (α＋60°)－1]2＋sin 2(α＋60°) ＝2－2cos (α＋60°).因为点A 、B 分别在第一、二象限，所以30°<α<90°， ∴－32<cos(α＋60°)<0，所以2<|BC →|<2＋ 3.。

三角函数、向量、解三角形、数列练习题

《三角函数》练习题1.在0360 到内，与2120 角终边相同的角是 .2.若tan 2α=，则22222sin cos sin 2cos αααα-=+ .3.已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+= .4.不等式[]cos 0,0,2x x π<∈的解集为 .5.函数3tan()6y x πω=+的周期为2π，则ω= .6.函数2sin(4)4y x π=-的图像向左平移3π个单位所得图像的解析式为 .7.cos81cos 21sin81cos69+= .8.已知tan 2,tan 3αβ==,且,αβ是锐角，则αβ+= .9.已知1sin cos ,3αα+=则sin 2α= .10.函数()sin cos f x x x =-的最大值为 .11.（1）若12sin(),cos(2)633ππαα-=+求.（2）若2(0,),sin cos ,cos 222πθθθθ∈-=求.12.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；（2）求函数()f x 的单调递增区间.13.已知函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,),()2,22f πααα∈=求的值.《平面向量》练习题1.△ABC 中，D 在BC 上，且=2BD DC ，把AC 表成AB AD和的线性组合 .2.等边△ABC 中，AB BC与的夹角为 .3.已知向量12e e与不共线，若1212ke e e ke k ++= 和共线，则 .4.已知13(1,1),(1,1),22a b a b ==--=则 .5.已知4,6,,60,a b a b a b ==<>=则在方向上的投影为 .6.若(4,2),(6,),a b m a b ==⊥且，则m 的值为 .7.已知(1,2),(2,1),22a b a b a b =-=--++则与的夹角的余弦值为 .8.已知,120,a b <>=1,3a b == ，则5-a b = .9.与(1,2)a =-垂直的单位向量b = . 10.已知(4,3),a =1,b = 且=5a b ⋅ ，则b = .11.已知(1,2),(,1)a b x ==.（1）若(2)(2)a b a b +-∥，求x 的值；（2）若(2)(2)a b a b +⊥-，求x 的值.12.已知(sin ,1cos ),(1,0),3m B B n π=-= 且与向量的夹角为其中,,A B C 是△ABC 的内角，求角B 的大小.13.已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===-.（1）求b c +的最大值；（2）设,(),cos 4a b c παβ=⊥+ 且求的值.《解三角形》练习题1.一个三角形的两内角分别为4560 和，如果45 角所对的边长为6，那么60 角所对的边长为 .2.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状为 . 3.在△ABC 中，若4,2,120b a C === ，则c = . 4.在△ABC 中，4,6,62,=ABC a b S C ===△则角 . 5.在△ABC 中，222,a c b ab -+=则=C 角 . 6.在△ABC 中，:1:2,:1:3,=A B a b A ==则 .7.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60 ，另两边之比为8:5，则这个三角形的面积为 .8.在△ABC 中，sin :sin :sin 4:3:2,cos A B C C ==那么 . 9.在△ABC 中，2,3,4,ABC a b c S ====△则 .10.在△ABC 中，60,A = 且最大边长与最小边长是方程2327320x x -+=的两实根，那么BC = .11.在锐角△ABC 中，32sin 0a b A -=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5,,7,cos a c a c b A +=>=且求.12.在△ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin(2)4A π-的值.13. 在△ABC 中，已知3cos()16cos cos B C B C --=. （Ⅰ）求cos A ；（Ⅱ）若3,a =△ABC 的面积为22，求,b c .《数列》练习题1.已知数列{}n a 的通项公式为11(1),2n n a +--=则该数列的前四项依次为 . 2.等差数列1,1,3,,89--- 的项数是 .3.等差数列{}n a 中，若1472589,0,a a a a a a ++=++=则369a a a ++= .4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45812,a a S =-=则 .5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若111,2,23,k k a d S S k +==-==则 .6.已知数列{}n a 满足231n S n n =-+，则{}n a 的通项公式为n a = .7.等差数列{}n a 中，39156a a a ++=-，则17S = .8.等差数列{}n a 中，3930,210,S S ==则6S = .9.等差数列{}n a 中，132013242012a a a a a a ++=++ .10.若三个数成等差数列，且这三个数的和为9，平方和为59，则这三个数按从小到大的顺序排列为 .11.已知数列{}n a 为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式. （Ⅰ）598070,112a a ==.（Ⅱ）前三项分别为1,23,25a a a +--.12.设数列{}n a 满足11220,111n na a a +=-=++且,求{}n a 的通项公式.13.设数列{}n a 满足210,n S n n n N +=-+∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当n S 取得最大值时，求序号n 的值.。

三角函数综合测试题(含详细标准答案)

C．最小正周期为 π地偶函数
B．最小正周期为 2 π地奇函数
D．最小正周期为 π地奇函数
2. （ 08 全国一 9）为得到函数 y cos x π 地图象，只需将函数 y sin x 地图像（） 3
A．向左平移 C．向左平移
π
个长度单位
6 5π个长度单位 6
3.(08 全国二 1) 若 sin 0且 tan
2
sin 2x
22. （ 08 浙江卷 12）若 sin( 2
3 ) ，则 cos 2
5
_________.
23. （ 08 上海卷 6）函数 f ( x) ＝ 3sin x +sin( 2+x) 地最大值是 xHAQX74J0X
19-23 题答案：
4
19. 20. 10 21.
3
3 22.
7
23.2
1
倍（纵坐标不变），得到地图象所表示地函
2
数是（
） jLBHrnAILg
A． y sin 2x
x ， x R B． y sin
，x R
3
26
C． y sin 2x ， x R D． y sin 2x
，x R
3
3
2/9
个人收集整理仅供参考学习
16. （ 08 天津卷 9）设 a sin 5 ， b cos 2 ， c tan 2 1
B． 2 C． 3 D． 2
12. （ 08 山东卷 10）已知 cos
π sin
6
4 3 ，则 sin
5
7π 地值是（） 6
A． 2 3
2
B．
3 C．
44
D．
5
5

数学数学三角函数与解三角形多选题试题含答案

数学数学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（）A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin C ==，设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤，要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.2．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3)M ，23(,)32N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径221331()()32r =+=，则圆的面积为3136π；综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.3．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（）A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确；当12x =时，函数sin y x =π取得最大值1，此时21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x ≤=，选项A 正确；若()5f x x ≤，则32sin 555x x x x π≤-+，令()32555g x x x x =-+，则()()221510553210g x x x x x '=-+=-+>恒成立，则()g x 在R 上递增，又()00g =，所以当0x <时，()00g <；当0x >时，()0g x >；作出sin x π和32555x x x -+的图象如图所示：由图象可知32sin 555x x x x π≤-+成立，即()5f x x ≤，选项B 正确；对于D 选项，若存在一点(),a b 使得()f x 关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b -++=，通过分析发现()()f a x f a x -++不可能为常数，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.4．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=，整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+，即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.5．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心【答案】BCD 【分析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误；因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确；由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确；由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.6．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（） A ．若sin sin a bB A=，则ABC 为等腰三角形B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】ACD 【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断；对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角形；对于C ：利用三角函数化简得tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断；对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=， ∴若cos cos a bB A=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ：∵A+B+C=π，∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，， ∴tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A CA B C ++sin sin =cos cos cos C CA B C+11=sin cos cos cos C A B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin sin =cos cos cos A B CA B C.∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，∴ABC 为钝角三角形. 故C 正确；对于D ：∵sin cos a b C c B =+，∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4C π.故D 正确. 故选：ACD 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．7．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.8．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.9．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f xC ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()2g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 2222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 22222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D. ()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.10．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称 D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BCD【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心.【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56xπ=代入可得552sin0633fπππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x图象的一个对称中心，D项正确.故选：BCD.【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.。

三角函数、解三角形质量检测(含答案)

第三章三角函数、解三角形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．cos(－17π4)－sin(－17π4)的值是 ( ) A.2 B ．－ 2 C ．0 D.22解析：原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案：A 2．已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－mm ＋1，且α为第二象限角，则m 的允许值为( ) A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝32 解析：由sin 2α＋cos 2α＝1得，(2m －5m ＋1)2＋(－m m ＋1)2＝1，∴m ＝4或32，又sin α＞0，cos α＜0，把m 的值代入检验得，m ＝4. 答案：C3．已知sin(x ＋π4)＝－35，则sin2x 的值等于 ( )A ．－725 B.725 C ．－1825 D.1825解析：sin(x ＋π4)＝22(sin x ＋cos x )＝－35，所以sin x ＋cos x ＝－325，所以(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－725.答案：A4．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是 ( ) A ．a ＜a 2＋b 22＜b B ．a ＜b ＜a 2＋b 22C ．b ＜a 2＋b 22＜aD ．b ＜a ＜a 2＋b 22解析：a ＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°， b ＝2sin(17°＋45°)＝2sin62°，b ＞a .a 2＋b 22＝sin 260°＋sin 262°＞2sin60°sin62°＝3sin62°， ∴a 2＋b 22＞b ＞a .答案：B5．(2010·惠州模拟)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于 ( )A.π6B.11π6C.7π6D.5π6解析：依题意得y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)，将y ＝sin x 的图象向左平移11π6个单位后得到y ＝sin(x ＋11π6)的图象，即y ＝sin(x －π6)的图象．答案：B6．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：cos A ＝sin(π2－A )＞sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A ＞B ，A ＋B ＜π2，C ＞π2.答案：C7．(理)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( ) A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin|x |D ．y ＝sin(2x －π6)解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.对于选项D ，又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为对称轴．答案：D8．(文)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )A.518B.34C.32D.78解析：设等腰三角形的底边为a ，顶角为θ，则腰长为2a . 由余弦定理得cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.答案：D(理)△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2解析：由余弦定理得：三角形第三边长为22＋32－2×2×3×13＝3，且第三边所对角的正弦值为＝223，所以2R ＝3223⇒R ＝928. 答案：C9．在△ABC 中，角A ，B 所对的边长为a ，b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：a ＝b ⇒A ＝B ⇒a cos A ＝b cos B ，条件是充分的；a cos A ＝b cos B ⇒sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B ⇒2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故条件是不必要的．答案：A10．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R)图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为( )A.12B. 3C.33D ．2 解析：函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝kπ＋π2，k ∈Z ，f (x )＝a 2＋1sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝1a ，故函数f (x ) 的对称轴方程为2x ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，而x ＝π12是其一条对称轴方程，所以2×π12＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，解得φ＝kπ＋π3，k ∈Z ，故tan φ＝1a ＝tan(kπ＋π3)＝3，所以a ＝33. 答案：C11．已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可能为 ( ) A ．f (x )＝2cos(x 2－π3)B ．f (x )＝2cos(4x ＋π4)C ．f (x )＝2sin(x 2－π6)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π4)解析：设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，由函数的最大值为2知A ＝2，又由函数图象知该函数的周期T ＝4×(5π3－2π3)＝4π，所以ω＝12，将点(0,1)代入得φ＝π6，所以f (x )＝2sin(12x ＋π6)＝2cos(12x －π3)．答案：A12．(2010·抚顺模拟)当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为 ( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3解析：f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x sin x ＝4sin x cos x ，即tan x ＝12时，取“＝”，∵0＜x ＜π2，∴存在x 使tan x ＝12，这时f (x )min ＝4. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上) 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，C ＝75°，a ＝4，则b ＝________.解析：易知A ＝45°，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得4sin45°＝b sin60°，解得b ＝2 6. 答案：2 6 14．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案：215．在△ABC 中，已知tan A ＝3tan B ，则tan(A －B )的最大值为________，此时角A 的大小为________．解析：由于tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝3tan B －tan B 1＋3tan B ·tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ≤33.当且仅当1＝3tan B 时取“＝”号，则tan B ＝33⇒tan A ＝3⇒A ＝60°. 答案：3360° 16．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________． ①函数f (x )的最小正周期为π2；②函数f (x )的振幅为23； ③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝7π12； ④函数f (x )的单调递增区间为[π12，7π12]；⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －2π3)．解析：由图象可知，函数f (x )的最小正周期为(5π6－π3)×2＝π，故①不正确；函数f (x )的振幅为3，故②不正确；函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝5π6＋π32＝7π12，故③正确；④不全面，函数f (x )的单调递增区间应为[π12＋2kπ，7π12＋2kπ]，k ∈Z ；由3sin(2×7π12＋φ)＝3得2×7π12＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z ，即φ＝2kπ－2π3，k ∈Z ，∵－π＜φ＜π，故k 取0，从而φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π3)．答案：③⑤三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知tan(α＋π4)＝－3，α∈(0，π2)．(1)求tan α的值； (2)求sin(2α－π3)的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝－3可得tan α＋11－tan α＝－3.解得tan α＝2.(2)由tan α＝2，α∈(0，π2)，可得sin α＝255，cos α＝55.因此sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，sin(2α－π3)＝sin2αcos π3－cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 18．(文)(本小题满分12分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)．(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间．解：∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35.(1)sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425. (2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x＝22sin(2x －π4)．令2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－π8≤x ≤kπ＋38π，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递增区间为[kπ－π8，kπ＋38π]，k ∈Z.(理)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)．(1)将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的形式，填写下表，并画出函数f (x )在区间[－16π，56π]上的图象；(2)求函数f (x )的单调减区间．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1) ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3).图．(2)由2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2(k ∈Z)得kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12(k ∈Z)，故函数f (x )的单调减区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12](k ∈Z)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos(π2－x )－3sin(π＋x )cos x ＋sin(π2＋x )cos x .(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和最值；(2)指出y ＝f (x )图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称．解：(1)f (x )＝2sin 2x ＋3sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋3sin x cos x ＝1＋1－cos2x 2＋32sin2x＝sin(2x －π6)＋32，y ＝f (x )最小正周期T ＝π.y ＝f (x )的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.(2)∵y ＝32＋sin(2x －π6)的图象1232π−−−−−→左移个单位下移个单位y ＝sin2x 的图象． 20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＋C 2＝33.(1)求cos B 的值；(2)若BC BA ·BC＝2，b ＝22，求a 和c 的值．解：(1)∵cos A ＋C 2＝33，∴sin B 2＝sin(π2－A ＋C 2)＝33，∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝13.(2)由BA ·BC ＝2可得a ·c ·cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得a 2＋c 2＝12， ∴(a －c )2＝0，故a ＝c ，∴a ＝c ＝ 6.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ(tan θ＝12)的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧x 1＝152t cos45°＝15t y 1＝x 1＝15t，由tan θ＝12可得，cos θ＝255，sin θ＝55，故⎩⎨⎧x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40.(1)令t ＝3，P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)， |PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534. 即出发后3小时两船相距534海里． (2)由(1)的解法过程易知： |PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2 ＝50t 2－400t ＋1 600 ＝50(t －4)2＋800≥202，∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.即两船出发后4小时时，相距202海里为两船的最近距离．22．(文)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin(x ＋π4)cos(x －π4)－cos 2x － 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f (x )在[－π12，2536π]上的最大值和最小值，并指出此时相应的x 的值． (理)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cos B 的取值范围，并确定此时f (B )的最大值．解：(1)f (x )＝2cos x ·sin(x ＋π3)－32＝2cos x (sin x cos π3＋cos x sin π3)－32＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－32＝sin x cos x ＋3·cos 2x －32＝12sin2x ＋3· 1＋cos2x 2－32 ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac＝a 2＋c 22ac －12≥2ac 2ac －12＝12，∴12≤cos B ＜1，而0＜B ＜π，∴0＜B ≤π3.函数f (B )＝sin(2B ＋π3)，∵π3＜2B ＋π3≤π，当2B ＋π3＝π2，即B ＝π12时，f (B )max ＝1.。

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三角函数、向量、解三角形、数列综合测试（含答案）
大冶一中孙雷一、选择题(每题只有一个正确选项，共60分)
1.若向量===BAC ∠),0,1-(),2
3,21(则( ) ° ° C. 120° D. 150°
2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ，)(+•的最小值是( )
B. -14
3.已知在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为CB 上靠近点B 的三等分点，O 为AC 与BD 的交点，则=DB ( )
@ A.51858-+ B.74718-+ C.58518-+ D. 7
1874-+ 4.已知）2π-απ-(523-
αsin -αcos <<=，则=+αααtan -1)tan 1(2sin ( ) A.7528- B.7528 C.7556- D. 75
56 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3，则实数=m ( )
A.6-
B.5-
C.3-
D.2-
6.已知α为锐角，且2)8
π
-α(tan =，则=α2sin ( ) A.102 B.1023 C.1027 D. 4
23
7.已知向量)sin 41-(α，=a ，)4πα0)(1-α(cos <<=，，且//，则=)4π-αcos(( )
) A.21- B.2
1 C.23- D.23 8.在ABC △中，3:2:1::=A B C ,则=a b c ::( ) :2:3 :2:1 :3:
2 D. 2: 3:1
9.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若B A C sin sin sin 3+=，
5
3cos =C ，且4=ABC S △，则=c ( ) A.364 C.3
62 10.在ABC △中，°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上，且772sin =∠
BAD ，则CD =( )
A. 334
B.4
3 C.33 D.332 …
11.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布
31
35尺，则这位女子织布的天数是( )
12.数列}{n a 中，01=a ，且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ，则数列})1-(1{2
n a 前2019项和为( ) A.20194036 B.10102019 C.20194037 D.2020
4039 二、填空题（共20分）
13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，且1-2019
2020<a a ，则当0<n S 时n 的最小值为_____________. 14.已知数列}{n a 满足2
321)2(+=n a a a a n ，则该数列的通项公式为______________.
15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+，且121==a a ，则数列}{n a 的前2020项的和为_______________.
…
16.ABC △中，A
b B a B A
c C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+，若1=+b a ，则c 的取值范围是___________.
三、解答题（共70分）
17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，81=a ，10-10=S
(1)求n a ，n S ；
(2)设||||||21n n a a a T +++= ，求n T .
^
"
18.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且5
52sin =B ，6=• (1)求ABC △的面积；
(2)若8=+c a ，求b 的值.
`
19.已知函数)(|2||-|)(R a x a x x f ∈++=
(1)当1=a 时，求不等式5≥)(x f 的解集；
(2)当]1,0[∈x 时，不等式|4|≤)(+x x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
【
20.已知函数)0(2
3-sin 3cos sin )(2>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π，将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位长度，再向下平移2
1个单位长度，得到函数=y )(x g 的图象 (1)求函数)(x f 的单调递减区间；
#
(2)在锐角ABC △中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若2,0)2
(==a A g ，求ABC △面积的最大值.
；
21.已知关于x 的函数1-2-2
π3cos(cos 2)(2）x x x f += (1)求不等式0)(>x f 的解集;
(2)若关于x 的不等式x a x x f sin ≥|2sin )(|+在区间]4
π3,3π[上有解，求实数a 的取值范围.
(
22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3
1-34n n a S =，等差数列}{n b 各项均为正数，223b a =，4246b b a += (1)求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；
(2)设数列}{n c 的前n 项和为n T ，对一切*N n ∈有n n
n b na c a c a c =++ 22112成立，求n T .。

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