2017高考数学一轮复习 限时集训(七十四)参 数 方 程 理 新人教A版

限时集训(七十四) 参 数 方 程

(限时：40分钟 满分：50分)

1．(满分10分)直线⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－2＋t ，

y ＝1－t (t 为参数)被圆⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3＋5cos θ，

y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，

求θ∈[0,2π))所截得的弦长．

2．(满分10分)(2012·福州模拟)已知点P (x ，y )在曲线x 2a 2＋y 2b

2＝1，且a 2＋b 2

≤3，求x

＋y 的最小值．

3．(满分10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝sin α，y ＝cos 2

α，

α∈[0,2π)，曲线D 的极坐

标方程为ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2.

(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．

4．(满分10分)(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝

⎛⎭⎪⎫

233

，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝2＋2cos θ，

y ＝－3＋2sin θ

(θ为参数)．

(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．

5．(满分10分)(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝2cos φ，y ＝3sin φ

(φ

为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为

⎝

⎛⎭⎪⎫2，π3.

(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；

(2)设P 为C 1上任意一点，求PA 2

＋PB 2

＋PC 2

＋PD 2

的取值范围．

答 案

限时集训(七十四) 参 数 方 程

1．解：把直线的参数方程和圆的参数方程分别化为普通方程为x ＋y ＋1＝0和(x －3)2

＋(y ＋1)2

＝25，于是弦心距d ＝322

，弦长l ＝2

25－9

2

＝82.

2．解：设x ＝a cos t ，y ＝b sin t (0≤t ≤2π)， 则x ＋y ＝a cos t ＋b sin t ＝

a 2＋

b 2cos(t －α)，

因此，当a 2

＋b 2

＝3，cos(t －α)＝－1时，x ＋y 取得最小值－ 3.

3．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝sin α，

y ＝cos 2

α，

α∈[0,2π)得

x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．

(2)由ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＋2＝0，

x 2

＋y ＝1，得x 2

－x －3＝0.

解得x ＝1±132∉[－1,1]，

故曲线C 与曲线D 无公共点．

4．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝

⎛⎭⎪⎫

0，233，又P 为线段MN

的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

1，

33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝

⎛⎭⎪⎫

0，233，

所以直线l 的平面直角坐标方程为

x ＋3y －2＝0.

又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，

圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|1＋3＝3

2

5．解：(1)由已知可得 A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2cos π3

，2sin π3，

B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3

＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，

C ⎝

⎛⎭

⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π

3

＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

3

＋π，

D ⎝

⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

3＋3π2，2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，

即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝PA 2

＋PB 2

＋PC 2

＋PD 2

，则

S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16

＝32＋20sin 2

φ.

因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．