建筑工程之结构力学讲义单自由度受迫振动(参考)
结构力学课件之单自由度体系的振动
2.2 单自由度体系的强迫振动
单自由度体系的强迫振动的微分方程： y m ky P(t) y k P(t) 2 P(t) y 可写成： y m y 2. 当荷载为简谐荷载时： P(t) F sin t 2 m P(t) ky y F sin t y m 3. 微分方程的解为： m y m受力图 y F 2 1 2 (sint sin t) yst (sint sin t) m 1 2 1 2 为动力系数。 F yst 2 为静荷载F作用下的振幅。 1 2 m 时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。
tg
1
y0 0 v
2.1 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期 y 从微分方程的解： (t) a sin(t ) 知位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间； T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数； f 1 T 2 圆频率或角频率：2 时间内的振动次数； 2 2 2f k 1 T m m 自振周期的性质：
2 k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
11 5
EI
0.5l
1 EI
0.5l
0.25l 2n 2 500 52.36 / s 2. 荷载频率： 60 60 M 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。 2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。 3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩 为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不 计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期。 解：解题的依据 T 2 2 m 2 m m k
振动力学4单自由度受迫
F0
= H (ω ) F0
k − mω + icω = re
2 2 2
iϕ
• 有： r = (k − mω ) + (cω )
x = xe
_ iωt
cω ϕ = arctan k − mω 2
F0 i (ωt −ϕ ) F0 e i (ωt −ϕ ) = e = r (k − mω 2 ) 2 + (cω ) 2
X = X 0ω 0
2 2
(ω 0 − ω 2 ) 2 + ( 2ζω 0ω ) 2
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
tan ϕ =
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s 2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
• 相频特性曲线
• 当频率比s等于1时，相角为 2 。 • 利用相位判断共振：共振相位法。 • 利用振幅判断共振：共振幅值法。
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s 2
2ζs 1− s2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
• 结论 （1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同
于激振频率）线性系统对简谐激励的稳态响应是 频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐 振动 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物 理性质（m, , k, , c）和激振力的频率及力幅，而 与系统进入运动的方式（即初始条件）无关
H v (ω ) ：速度导纳 H a (ω ) ：加速度导纳
k − mω 2 + icω ：速度阻抗 Z v (ω ) = iω k − mω 2 + icω ：加速度阻抗 Z a (ω ) = − 2
17-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动
单自由度系统的无阻尼受迫振动工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止 实际上又存在大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入补 充阻尼的消耗，例如外加激振力。
在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
k m 交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统； 弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动。
)sin(ϕω+=t H F 简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力： H ：激振力力幅；ω：激振力的圆频率；φ：激振力初相位简谐激振力 F 在坐标轴上投影为： )sin(ϕω+=t H F)sin(22ϕω++−=t H kx dt x d m m k n =2ωm H h =kxF k −=1.振动微分方程 m k F F k m x O x图示振动系统，物块质量m 。
取平衡位置为原点，向下为正.)sin(222ϕωω+=+t h x dtx d n 恢复力F k 在坐标轴上投影： 两端除以m ，并设： 物块受恢复力F k 和激振力F 。
质点运动微分方程为：则得： 该式为 无阻尼受迫振动微分方程的标准形式)sin(222ϕωω+=+t h dtx d n 二阶常系数非齐次线性微分方程21x x x +=)sin(1θω+=t A x n )sin(2ϕω+=t b x 解由两部分组成： 齐次方程的通解为: 将x 2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：)sin()sin()sin(22ϕωϕωωϕωω+=+++−t h t b t b n 22ωω−=n h b )sin()sin(22ϕωωωθω+−++=t h t A x n n b 为待定常数设特解为： 得无阻尼受迫振动微分方程的全解：解得：表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
实际振动系统存在阻尼，自由振动部分会很快衰减掉，我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态振动。
结构力学单自由度体系强迫振动
只能用“万能”解法的情况 1）动载不作用在质点上时的动内力 2）动载不作用在质点上时非质点处的动位移
FP sin t
m
y
FP sin t
m (m 2 A) sin t
(FP m 2 A)sin t
m ( FP )sin t
FP
m
FP sin t
m
y
FP sin t
(m 2 A)sin t
和差化积
sin
sin
2sin
2
cos
2
cos
cos
2cos
2
cos
2
cos
cos
2sin
2
sin
2
三、一般动荷载作用
1. FP (t)是一般动力荷载，特解不易找出。
2.
••
微分方程为：y(t) 2 y
FP t
m
3. 特解可利用瞬时冲量作用下的振动导出。
动量 K mv
m
u
0 FPo sin (t )d
t
0 sin (t )d ]
u
FPo [cos(t u) cost] m 2
yst
2 sin
u
2
sin (t
u) 2
阶段Ⅱ：(13（1t9)≥ u ）
FP(t)
FP0
u
阶段Ⅱ： （ t ≥u ）
yt
2
yst
s
in
u
2
s
in
t
u 2
yt
m a x
2
FI
3 40
FP
sin
t
FP sinθt
A
EI
建筑工程之结构力学讲义两个自由度体系的自由振动(参考2)
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
整理得： (12 22 )(m1Y11Y12 m2Y21Y22 ) 0
因 1 2 ，则存在：
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0 (15.51)
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。3
由功的互等定理：
(m112Y11)Y12 (m212Y21)Y22 (m122Y12 )Y11 (m222Y22 )Y21
D
11m1
1
2
21m1
12m2
22m2
1
2
0
令
1
2
2 (11m1 22m2 ) (11 22m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 2
1 2
(11m1
22m2 )
1
1
1
(11m1 22m2 )2 4(11 22 12 21)m1m2
2
0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
q m
x
2l 5 120EI
q 24EI
2
31 630
l
9
9.87 l2
EI m
第1讲 单自由度振动
k
0 x
/ n
t
t T
t
1.3 有阻尼单自由度体系的自由振动 2 (t ) 2 n x (t ) n x x(t ) 0 运动方程： c c 阻尼比： 2 n m cr (t ) t 0 x 0 初始条件： x(t ) t 0 x0 , x 1 为过阻尼及临界阻尼情况；无振动解 1 c cr 为欠阻尼情况、有振动解 自由振动响应：
x x x(t ) e nt x0 cos d t 0 0 n sin d t Ae nt sin( d t ) d
x 0 x0 n d x0 , tg x 0 x0 n d n t 2 对数衰减率： ln xi ln Ae nTd 2 xi 1 Ae n (t Td ) 1 2
tg
ห้องสมุดไป่ตู้
F0 k
1 (1 2 ) 2 (2 ) 2
x st
n
2 n 2 2 n 2 1 2
称为频率比
•
简谐激励下单自由度系统运动方程全解：
x x1 x2 e nt C1 cos d t C2 sin d t A sin(t )
• 式中，x st 静位移， 相位： arctg 1 2 共振频率：
max
1 2
n
，频率比
2
d 0 d
共振 n 1 2 2
共振 n
共振时，强迫振动滞后相位 90 0
n
1.4.2 稳态响应的振幅和相位
A x st 1 (1 ) (2 )
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的无阻尼受迫振动
单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。
简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。
（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。
物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。
F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。
第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。
0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。
单自由度系统受迫振动
x(0) x0
x(0) x0
x
2 0
x
B
2 0
sin
t
B F0 k
s 0
通解：
x(t)
c1
cos 0 t
c2
sin
0t
B 1 s
2
sin
t
齐次通解
非齐次特解
c1、c2 初始条件决定
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(t)
c1
cos0t
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
1
Bs s
2
sin 0t
1
B s
2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(0) x0
x(t)
x1 (t )
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
（2）当s>>1（ 0 ）
位移与激振力反相
（3）当 s 1
0
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： 0 1
外部作用力规律：
F (t) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
sinx00 0stin10Bt s21cBosss2 stin
结构力学BⅡ 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
10-5 单自由度结构在简谐荷载作 用下的强迫振动结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动。
1my + cy + ky = P (t )P(t ) = P0 sin θt无阻尼的强迫振动k ω = m2P0 sin θ t y+ω y = m2微分方程的解设特解为y (t ) = y c ( t ) + y p (t )2y p (t ) = A sin θt y p (t ) = Aθ cos θty p (t ) = Aθ sin θt2代入P0 sin θt y+ω y = m2 2 2P0 sin θt Aθ sin θt + ω A sin θt = m P0 整理后得 A= 2 2 m ω θ()微分方程的特解将A代入 因此特解为3y p (t ) = A sin θtP0 y p (t ) = mω2 1 sin θ t 2 θ (1 2 ) ω mδ11 y st = P0 = P0 δ11 mP0 令 yst = mω2δ11 ——为单位力所产生的质点处的位移；yst = P δ11——为最大静位移， 0即把荷载幅值 P0 当 作静荷载时结构所 产生的质点处的位移。
1 ω = m δ 112yst = P δ11 0微分方程的特解及通解4积分常数A1和A2应按初始条件求出。
设在 t = 0 时 1 sin θt y p (t ) = y st 2 初位移和初速度均为零，则得 θ 1 2 θ ω ω A1 = 0 , A 2 = y st 2故通解为y (t ) = yc (t ) + y P (t ) θ1ω2θ 1 sin + st sin sintθt ω yy= = 1 y st ωt + A2 sin ωt θ ty A cos 2 2 θ ω θ 1μω121ω2θ = y st μ sinθt sinω t ω 式中各项的意义：θ y = y st μ sinθt sinωt ω 5y st ——静位移，亦即将荷载幅 P0 值静止地作用在体系上所产生的质点处的位移；1 μ= θ2 1 2 ω——表示简谐荷载下，动力位移的放大系数；sin θt ——按动荷载频率 θ 振动的响应分量。
结构力学-单自由度体系的强迫振动
⑵
荷载频率Force Frequency
2n 2 500 52.36s 1 60 60 ⑶ 动力系数magnification factor
1 1
2
3.866
3.866
⑷ 最大位移与最大弯矩
W
P(t)＝10sinθt
ymax yW yP yW yst
突加荷载 短时荷载 线性递增荷载
（1）突加荷载 （Suddenly Applied Constant Load）
0 1 t y (t ) y0 cos t sin t Fp ( )sin (t )d 0 m
FP(t)
0, Fp (t ) FP 0 ,
12-3 单自由度体系的强迫振动
1. 强迫振动微分方程
强迫振动（ Forced-vibration ）： 结构在动荷载作用下的振动。
y
ky FP (t ) m y
k m
k
m
FP(t) ky
m y
y FP(t)
FP (t ) y y m
2
2. 简谐荷载下强迫振动微分方程的解
由叠加原理得静止开始一般荷载 作用下强迫振动位移为：
FP(t)
1 t y (t ) Fp ( )sin (t )d 0 m
杜哈梅(Duhamel)积分
t
d
t
具有初始速度和位移一般荷载作用下强迫振动位移为：
0 1 t y (t ) y0 cos t sin t Fp ( )sin (t )d m 0
有瞬时冲量S作用。
S Pt
结构动力学之单自由度体系简谐荷载作用下的受迫振动
由初始条件确定 振动由两部分组成： 第一部分按荷载频率 θ 振动，为纯粹的强迫振动； 第二部分按自振频率 ω 振动，为外力引起的自由振动。
变换得： y 2 y
。
即把非直接作用于质体的荷载按照静力位移 等效的条件转换成直接作用于质体的荷载。
等效 12 F (t ) F( t ) 11
2013/12/10
课后练习
F 则运动方程的解为：y 0.6875 2 m 1 1
48 EI ml 3
b）当2 1.2
ymax
F 1 F ml 3 Fl 3 0.6875 0.6875 (2.2727) 0.0326 2 m 1 1.44 m 48EI EI
2013/12/10
有阻尼受迫振动方程解
在外力 p( t ) P sin t 作用下，并且考虑阻尼
2013/12/10
动力系数β
sin t P 即特解部分： y (t ) m 2 (1 2 2 )
令：
p y st p 2 m k
p
1 1Байду номын сангаас 2 / 2
yst为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷 载作用时结构所产生的位移；
β为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移 [y(t)]max 与最大静位移yst 的比值。
课后练习
例2：
F (t ) F sin t 图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷载
作用在距离左端l/4处，若
振动力学第二章第二节单自由度系统的受迫振动
x B sin(t )
1. 激振力 FS H sin t
周期 T 2π
WH
T
0
FS
dx dt
(t ) d t
T
0
H
sintB cos(t
)dt
HB
2
T
0
[s
in
(2t
)
s in ]d t
π BH
s in
在系统发生共振的情况下，相位差 π ，激振力在
一周期内做功为 WH π BH，做功最多。2
3. 弹性力 FE kx 做的功
WE
T
dx
0
FE
(t)
dt
dt
T
Bk sin(t )B cos(t ) d t
0
kB2
2
T
0
sin
2(t
)d
t
0
表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。
能量曲线
在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量
WH WR
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
已知简谐激振力 FS H sin t
稳态受迫振动的响应为 x B sin(t )
dx dt
B
cos(t
),
d2 x dt2
B
2
sin(t
)
应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成
m
d2 dt
x
2
c
dx dt阻尼力 弹性力 激振力
现将各力分别用 B、kB、cB、H、m 2 B 的旋转矢量表示。
d2 x dt2
2n
dx dt
pn2 x
h sin t
x(0) x0和v(0) v0
单自由度系统受迫振动(b)讲诉
2s 1 tg 1 s2
1
2018年8月2日
s c c s c 2s 2 2 0 0 0 m m 0 k
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
x(t )
D (1 s 2 ) 2 (2s) 2
D 1 (2s) 2 (1 s ) (2s)
令： sin 2
2s 1 (2s) 2
cos 2
1 1 (2s) 2
2 tg 1 2s
令： 1 2
2018年8月2日
1 (2s ) 2 (1 s 2 ) 2 (2s ) 2
和前述支承运动中 的绝对位移法结果 相同
10
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
2 2 2
(
D
2
2 0
)
k
c
s0
s 0
0
1
机器外壳
lim A1
2 0
( D 2 )
D 2 ：被测物体的加速度幅值
当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值 A1与外壳加速度的幅值成正比 高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计
2018年8月2日 7
cx kx cx f kx f kD sin t cD cos t m x
叠加原理，解为右端两项解之和 ：
kD 1 cD 1 x(t ) sin(t 1 ) cos(t 1 ) 2 2 2 2 2 2 k (1 s ) (2s) k (1 s ) (2s)
2018年8月2日
1 tg 1
2s 1 s2
8
振动理论讲义第4章 单自由度系统受迫振动
(4.6)
前面两项是无阻尼自由振动，第三项是无阻尼受迫振动。 方程(4.6)的前两项是具有固有频率 的正弦波，而第三项受迫振动的正弦波的频率 是外来激励的频率 。显然，这两个频率是相互完全独立的。(4.6)是由两个正弦波叠加 而成，合成之后的波不再是简谐运动。 进一步分析(4.5)式表示的含义。显然， 波，该振幅取决于频率比 。 是一个具有振幅为 的正弦
第4章 单自由 由度系统 统受迫振动 4.1 前 前言
前面 面讨论的是 是在外界初始 始干扰下依 依靠系统本身 身的弹性恢 恢复力维持的 的振动。下 下面将讨 论系统由外界持续 续激振引起的振动。 强迫振动从外 强 外界不断获 获取能量来补 补偿阻尼所 所消耗的 能量，使系统得以 以维持持续的等幅振动 动。 响应：外界激振引 引起的系统 统的振动状态 态。对于不 不同的外界激 激励，系统 统具有不同的 的响应， 一般以位 位移形式表 表达，有时也以速度或 或加速度的形式来表达 达。
4.2 无 无阻尼受迫 迫振动
首先 先研究简单 单的情况，使 使单自由度 度振动方程的 的阻尼项为 为零，得到如 如下方程 kx P0 sin mx n t 观察可知函数 x x0 sin t 可以满足这个方程 程，代入上式，有
2
(4.1)
(4.2)
振动理论
x0 k m 2 P0
北京大学力学系 陈永强
或者
x0 P0 P0 / k P0 / k 2 2 k m 1 m / k 1 2 / n2
代回(4.2)，有
x P0 / k sin t 1 2 / n2
(4.3)
即为所求的位移响应。上面方程中的 P0 / k 具有简单的物理意义：荷载 P0 作用下的弹簧 的静变形。如果记
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能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其
自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
w =对面于的g 本梁s例既t =，可4采避8E用免Ig较共Q小振l的，3 =截又482.1104 7345780980 354003 =5379..471S
能=获2得n 较60好=2的3经.1济4效50益0 。60=52.3
1 S
2）求动力系数β
= 1 =
1
=5.88
1 2 w 2 152.32 3597..742 1.35
二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导
1、瞬时冲量的动力反应
P(t)
瞬时冲量S引起的振动可视为
P
由设初体始系条在件t=0引时起静的止自，由振动。 由然动后量有定瞬理时：冲量S作用。
v0m0=S = Pt
v0
=
S m
=
Pt m
y0 =0
Δt τ
Δt
t' t
t t'
yk+1
wr
如 0.2 则 wr 1, = 1 wr ln yk = 1 ln yk
w
2 w yk+1 2 yk+1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
= 1 ln yk 2n yk+n
工程中常用此 方法测定阻尼
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
w=
1=
m
192 EI 5ml 3
= 134 .16 s1
= 1 =1.552
1 2 w 2
3)求ymax， Mmax
ymax
=
P
=
P 5l3
192EI
1.55220103 543 = 19290105
5.75103
m
M
m
a
x
=
1 4
(
P)l
=
1 4
1.552204
二、单自由度体系自由振动微分方程的解
m&y&+ky =0L L (a) &y&+w 2 y =0 (w = k )
m
y(t )=C1sinwt +C2 coswt
y(t)
y0
T
y&(0) = v0
C1
=
v0
w
t
y(0) = y0
C2 = y0
－y0
y(t )
y(t
)=
y0
coswt
+
v0
w
c =2mw = 2mw 2 = 2k ww
= 20.0355196104 =33220Ns/m=332.2Ns/cm 4.189
9.8kN
2)ξ=1（临界阻尼）情况 l =w( ± 2 1) l =w
y+ 2wy+ w2 y = 0 (15.16) y =(C1 +C2t)ewt y =[ y0 (1+wt)+v0t]ewt
y tg0 =v0
θ0
y0
这条曲线仍具有衰减性，
但不具有波动性。
t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
= c 2mw cr = 2mw = 2 mk = c cr 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
§14-3 单自由度体系的受迫振动
粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=－Cy ).
其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
振动模型 有阻尼的自由振动，动平衡方程：
my+ cy+ ky = 0 (15.14)
令 w=
k m
,
= c 2mw ( 阻尼比）
y+ 2w y+ w2 y = 0 (15.16)
y
=
e w
t
y0
cosw
r
t
+
v0
+w wr
y0
sin
w
r
t
y =ewt asin(wrt +a )
y
a=
y02
+
(v0
+w
w
2 r
y0
)
2
tga = y0wr v0 +wy0
①阻尼对自振频率的影响.
wr =w 1 2 w, 随 而 y
当ξ<0.2，则存 在0.96<ωr/ω<1。在 工程结构问题中， 若0.01<ξ<0.1，可近 似取:
=
[
y]max yst
=
1
1
2
w
2
当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得 很慢，可当作静荷载处理。 当0< θ/ω <1时,β>1，并且随θ/ω 3
的增大而增大。 当θ/ω →1时,β→∞。即当荷载频 2
率接近于自振频率时，振幅会无 1
限增大。称为“共振”。通常把
0.75< θ/ω <1.25称为共振区。
k
c
m
y y
cy ky
my
设解为：y(t) =Celt 特征方程为：l2 +2wl +w 2 =0
1)ξ<1（低阻尼）情况
l =w( ± 2 1)
l =w iwr 其中 wr =w 1 2
y =ewt C1 coswrt +C2 sinwrt
低阻尼体系的自振圆频率
= F
最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生
的位移）。
特解可写为：
y
=
yst
1
1
2
w
2
sint
通解可写为：
y =C1sinwt +C2
coswt +
yst
1
1
2
w
2
sint
设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：
w C1 = yst 1 2 w 2 , C2 =0
sin
wt
v0/ω
t
y(t )=a sin(wt +a )
－v0a/ω
T
α/ω
t
－a
自振周期计算公式： T = 2 m = 2 st
k
g
圆频率计算公式： w = k = 1 = g = g m m W st
一些重要性质：
（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与
点上外其沿界中振的δ—动干—方扰是向因沿加素质单无点位关振荷。动载干方使扰向质力的点只结沿影构振响柔动振度方幅系向a。数所，产它生表的示位在移质。
按自振频率振动
y=
yst
1
1
2
w
2
(sint w
sinwt)
按荷载频率振动
过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；
平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
平稳阶段：
y=
yst
1
1
2
w2
sint
最大动位移（振幅）为：
[ y]max =
yst
1
1
2
w
2
动力系数β为： 重要的特性：
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。
•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
一端铰结的杆的侧移刚度为：
3EI l3
五、阻尼对自由振动的影响
忽略阻尼影响时所得结果 大能体不上能 反映实际结构的振动规律。
（2）自k—振—周使期质与点质沿量振的动平方方向根发成生正单比位，位质移量时越，大须，在周质期点越上 大沿（振频动率方越向小施）加；的自力振。周期与刚度的平方根成反比，刚度越 大Δs，t=W周δ期—越—小在（质频点率上越沿大振）动；方要向改施变加数结值构为的自W振的周荷期载，时只质有 点沿从振改动变方结向构所的产质生量的或位刚移度。着手。
my
&y&+w
2
y
=
F m
sin
t
特解：y = Asin t
2(Asi2n+wt+2w)A2 Asisnint =t=FFsisnint t
mm
A
=
m(
F
2 +w
2
)
y
=
mw
2
F
(1
2
w 2 ) sint = yst
(1
1
2
w
2)
sint
yst
=
F
mw 2
受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。
弹性力－ky、惯性力 my
和荷载P(t)之间的平衡方程为:
y(t)
k
m
m
P(t ) P(t )
my+ky=P(t) (a)
y+ w2 y = P(t) (15.24)