【高中】2018-2019学年度最新北师大版数学必修2课时跟踪检测：(六)平行关系的判定

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【最新】2018-2019学年度高中北师大版数学必修2课时跟踪检测：模块综合检测

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－23B ．0 C. 3 D ．2 3解析：选B 易知k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.2．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12解析：选D 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12. 3．在空间直角坐标系中，点B 是点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( ) A.14 B.13 C ．2 3 D.11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 5．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面DCC 1D 1，因此平面。

【高中数学】2018-2019学年度最新北师大版数学必修2课时跟踪检测：(十四)直线的倾斜角和斜率

课时跟踪检测（十四）直线的倾斜角和斜率层级一学业水平达标1．给出下列说法，正确的个数是()①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；②一条直线的倾斜角为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．A．0B．1C．2 D．3解析：选A若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为()A．－ 3 B. 3C．1 D．－2 2解析：选A由题意可知，k＝tan 120°＝－ 3.3．过点A(－3，2)与B(－2，3)的直线的倾斜角为() A．45°B．135°C．45°或135°D．60°解析：选A k AB＝3－2－2－(－3)＝3－23－2＝1.4．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)解析：选A由l的倾斜角为锐角，可知k AB＝m－11－2＞0，即m＜1.5．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是() A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在解析：选C由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜。

2018-2019学年度最新北师大版数学必修2课时跟踪检测：(六)平行关系的判定

课时跟踪检测（六）平行关系的判定层级一学业水平达标1．能保证直线a 与平面α平行的条件是( )A ．b α，a ∥bB ．b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BDD ．a α，b α，a ∥b解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．2．如果两直线a ∥b ，且a ∥α，则b 与α的位置关系是( )A ．相交B ．b ∥αC ．b αD ．b ∥α或b α解析：选D 由a ∥b ，且a ∥α，知b 与α平行或b α.3．已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )A ．l ∥α，l ∥β，且l ∥γB ．l γ，且l ∥α，l ∥βC ．α∥γ，且β∥γD ．α∩γ＝l ，且l ∥β解析：选C ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ⇒α与γ无公共点β∥γ⇒β与γ无公共点⇒α与β无公共点⇒α∥β. 4．如图，在四面体ABCD 中，若M ，N ，P 分别为线段AB ，BC ，CD 的中点，则直线BD 与平面MNP 的位置关系为( )A ．平行B ．可能相交C ．相交或BD 平面MNPD ．以上都不对解析：选A 因为N ，P 分别为线段BC ，CD 的中点，所以NP ∥BD ，又BD平面MPN ，NP 平面MPN ，所以BD ∥平面MNP .5．如图，下列正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“lα”．答案：lα7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN平面ADE，DE平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE 平面ADE ，而BF平面ADE ，∴BF ∥平面ADE . 10．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC的中点，G 为DD 1上一点，且D 1G ∶GD ＝1∶2，AC ∩BD ＝O ，求证：平面AGO ∥平面D 1EF .证明：设EF ∩BD ＝H ，连接D 1H ，在△DD 1H 中，因为DO DH ＝23＝DG DD 1，所以GO ∥D 1H ，又GO 平面D 1EF ，D 1H 平面D 1EF ，所以GO ∥平面D 1EF .在△BAO 中，因为BE ＝EA ，BH ＝HO ，所以EH ∥AO .又AO 平面D 1EF ，EH 平面D 1EF ，所以AO ∥平面D 1EF ，又GO ∩AO ＝O ，所以平面AGO ∥平面D 1EF .层级二应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行解析：选B 如图，MC 1平面DD 1C 1C ，而平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故MC 1∥平面AA 1B 1B .2．平面α与△ABC 的两边AB ，AC 分别交于D ，E ，且AD ∶DB ＝AE ∶EC ，如图所示，则BC 与α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．BC ⊂α。

北师大版2018-2019学年高中数学必修2全册习题含解析

北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。

2019-2020学年高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(一) 简单几何体 Word版含解析

课时跟踪检测（一）简单几何体层级一学业水平达标1．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下面有关棱台说法中，正确的是( )A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．3．下列说法正确的是( )A．圆锥的母线长一定等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心解析：选D由圆锥、圆柱、圆台的概念可知A、B、C均不正确，只有D正确．4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱台B．②是棱锥C．③是棱锥D．④不是棱柱解析：选C①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是棱柱．故选C.6．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)8．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．层级二应试能力达标1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.3．下列命题：①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是( )A．①②B．②③C．①③D．③解析：选C②所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．①③符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．4．给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④5．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．解析：将展开图还原为正方体，当第六个正方形在①④⑤的位置时，满足题意．答案：①④⑤6．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得(3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得(1)，只要是过球心就不可能截出截面(4)．答案：(1)(2)(3)7．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＜BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x .又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，所以x ＝7.所以圆台的高OO1＝14(cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.。

北京师范大学附中2018～2019学年度高一国际班第2学期期末考试数学试题及参考答案解析

北京师大附中2018－2019学年下学期高一年级期末考试数学试卷AP一、选择题:在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,请将答案填在答题纸上。

1.一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积是( ) A.10B.20C.30D.40【参考答案】B 【试题分析】分析：要求圆柱的轴截面的面积,需先知道圆柱的轴截面是什么图形,圆柱的轴截面是矩形,由题意知该矩形的长、宽分别为5,4,根据矩形面积公式可得结果. 详解：因为圆柱的轴截面是矩形, 由题意知该矩形的长是母线长5, 宽为底面圆的直径4,所以轴截面的面积为4520⨯=,故选B.：本题主要考查圆柱的性质以及圆柱轴截面的面积,属于简单题.2.经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作 ( ) A.1个或2个 B.0个或1个 C.1个 D.0个【参考答案】B 【试题分析】若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行,则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交,则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在;故选B.3.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )B. C. D.【参考答案】A 【试题分析】三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和,故241)4S =⨯表面=A 。

4.已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,下列四个命题中正确的是( ).(1)l m αβ⇒⊥P (2)l m αβ⊥⇒P (3)l m αβ⇒⊥P (4)l m αβ⊥⇒P A.(1)与(2) B.(3)与(4)C.(2)与(4)D.(1)与(3)【参考答案】D 【试题分析】∵直线l ⊥平面α,若α∥β,则直线l ⊥平面β,又∵直线m ⊂平面β,∴l ⊥m ,即(1)正确； ∵直线l ⊥平面α,若α⊥β,则l 与m 可能平行、异面也可能相交,故(2)错误； ∵直线l ⊥平面α,若l ∥m ,则m ⊥平面α,∵直线m ⊂平面β,∴α⊥β；故(3)正确； ∵直线l ⊥平面α,若l ⊥m ,则m ∥α或m ⊂α,则α与β平行或相交,故(4)错误；故选D.5.若平面α∥平面β,直线a ∥平面α,则直线a 与平面β的关系为( ) A.a ∥β B.a ⊂βC.a ∥β或a ⊂βD.a A β⋂=【参考答案】C 【试题分析】利用空间几何体,发挥直观想象,易得直线a 与平面β的位置关系. 设平面α为长方体的上底面,平面β为长方体的下底面,因为直线a ∥平面α,所以直线a 通过平移后,可能与平面β平行,也可能平移到平面β内,所以a ∥β或a ⊂β.空间中点、线、面位置关系问题,常可以借助长方体进行研究,考查直观想象能力.6.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A.1个B.2个C.无数个D.1个或无数个【参考答案】D 【试题分析】讨论平面α外一点和平面α内一点连线,与平面α垂直和不垂直两种情况.(1)设平面ABCD为平面α,点1A为平面α外一点,点A为平面α内一点,此时,直线1AA垂直底面,过直线1AA的平面有无数多个与底面垂直；(2)设平面ABCD为平面α,点1B为平面α外一点,点A为平面α内一点,此时,直线1AB与底面不垂直,过直线1AB的平面,只有平面11ABB A垂直底面.综上,过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有1个或无数个,故选D.借助长方体研究空间中线、面位置关系问题,能使问题直观化,降低问题的抽象性.7.如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内( )A.不存在与l垂直的直线 B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条与l垂直的直线 D.任意一条都与l垂直【参考答案】C【试题分析】因为直线l与平面α不垂直,必然会有一条直线与其垂直,而所有与该直线平行直线也与其垂直,因此选C8.正四棱柱的高为3cm,17,则正四棱柱的侧面积为( )A.10B.24C.36D.40【参考答案】B【试题分析】设正四棱柱1111ABCD A B C D-,设底面边长为x,由正四棱柱体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱的平方和,可得关于x的方程.如图,正四棱柱1111ABCD A B C D-,设底面边长为x,则22223(17)x x ++=,解得：2x =,所以正四棱柱的侧面积24(23)24S cm =⨯⨯=.本题考查正棱柱的概念,即底面为正方形且侧棱垂直于底面的几何体,考查几何体的侧面积计算.二、填空题:请将答案填在答题纸上。

北师大2019年高中数学必修2课时跟踪检测(二) 直观图2_含解析

课时跟踪检测（二）直观图层级一学业水平达标1．下列关于直观图的说法不正确的是( )A ．原图形中平行于y 轴的线段，对应线段平行于直观图中y ′轴，长度不变B ．原图形中平行于x 轴的线段，对应线段平行于直观图中x ′轴，长度不变C ．画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y 可以画成45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同解析：选A 平行于y 轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A 错．2．若把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则圆柱的高应画成( )A ．平行于z ′轴且大小为10 cmB ．平行于z ′轴且大小为5 cmC ．与z ′轴成45°且大小为10 cmD ．与z ′轴成45°且大小为5 cm解析：选A 平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( ) A.732 B.73C ．5 D.52 解析：选A 由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB ＝73，AB 边上的中线长度为732.故选A. 4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m, 10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm, 1 cm, 2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图特征，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.5．水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．6.水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E⊥x ′轴于点E ，在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝B ′C ′sin 45°＝2×22＝ 2. 答案： 27．已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________．解析：由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.∴S △ABC ＝12×6×3＝9. 答案：98．在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 的形状为______，面积为______cm 2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy 坐标系中，四边形ABCO 是个长为4 cm ，宽为2 cm 的矩形，所以四边形ABCO 的面积为8 cm 2.答案：矩形 89．画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图．解：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x ′轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴上取一点D ，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC . (3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图．10．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，作出其原图形．解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；(2)在图①中，过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在图②中，在x 轴上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′.(3)连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′原来的图形，如图②.层级二应试能力达标1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．2．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2解析：选D 由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图，得12×OB ×h＝22×12×2×O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2. 3．如图△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A ．ABB ．AC C ．BCD ．AD解析：选B 由直观图可知△ABC 是以∠B 为直角的三角形，所以斜边AC 最长．4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．解析：由斜二测直观图画法的规则画出原图形，如图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S梯形ABCD ＝2＋ 2.答案：2＋ 27．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．解：在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.8.如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．由作法可知，OABC为平行四边形，OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为S＝1×22＝2 2 cm2.。

【高中】2018-2019学年度最新北师大版数学必修2课时跟踪检测：(十)垂直关系的性质

课时跟踪检测（十）垂直关系的性质
层级一学业水平达标
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()
A．相交B．平行
C．异面D．相交或平行
解析：选B由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．
2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则()
A．a⊥βB．a∥β
C．a与β相交D．以上都有可能
解析：选D因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．故选D.
3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，则()
A．存在aα，a⊥γB．存在aα，a∥γ
C．任意bβ，b⊥γD．任意bβ，b∥γ
解析：选B因为三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与β相交但不垂直，则可知存在aα，a∥γ，选B.
4．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，lα，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β
解析：选D选项A缺少了条件：lα；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的条件．
5．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1的位置关系为()
A．平行B．共面
C．垂直D．不垂直
解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴
BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD。

2018-2019学年度北师大版数学必修2课时跟踪检测：(十一)柱、锥、台的侧面展开与面积

课时跟踪检测（十一）柱、锥、台的侧面展开与面积层级一学业水平达标1．棱长都是1的三棱锥的表面积为( ) A.3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选A S 表＝4S 正△＝4×34＝ 3. 2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，∴S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45°角，则这个圆台的侧面积是( )A ．27πB ．272πC ．9 2 πD ．362π解析：选B ∵由题意r ′＝3，r ＝6，l ＝32，∴S 侧＝π(r ′＋r )l ＝π(3＋6)×32 ＝272π.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，所以S 表＝2πr 2＋2πr ·h＝2πr 2(1＋2π)，又S 侧＝h 2＝4π2r 2，所以S 表S 侧＝1＋2π2π.6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.答案：27．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为22－(3)2＝1，所以圆锥的侧面积为S 侧＝πrl＝π×1×2＝2π.答案：2π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成．其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积S 1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38；圆柱的侧面积S 2＝2π×1×1＝2π；圆柱的上下底面面积S 3＝2×π×12＝2π.故该几何体的表面积S ＝S 1＋S 2－S 3＝38.答案：389．已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm 2)．解：如图所示，正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE .∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝2OE ＝4(cm)，因此，S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．10．圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体对角线长是102cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的底面半径和高．解：设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则：⎩⎪⎨⎪⎧ (2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm.层级二应试能力达标1．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πB ．18πC ．24πD ．36π解析：选C 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C.2．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为( )A ．5 B. 3 C.3＋12D.3＋1解析：选B 设底面边长为a ，则由底面周长为4，得a ＝1，SE ＝ 1－14＝32.∴S 侧＝12×4×32＝ 3. 3．三视图如图所示的几何体的表面积是( )A ．7＋ 2 B.112＋ 2 C ．7＋ 3D.32解析：选A 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋ 2.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1-AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶2解析：选C 如图，三棱锥D 1-AB 1C 的各面均是正三角形．其边长为正方体侧面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥＝4×12(2a )2×32＝23a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.5．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x 2－9x ＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．解析：方程x 2－9x ＋18＝0的两个根为x 1＝3，x 2＝6，设侧面梯形的高为h ，则由题意得12×(3＋6)·h ×4＝32＋62，解得h ＝52. 答案：526．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．已知一正三棱台ABC -A 1B 1C 1的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．解：如图，在正三棱台ABC -A 1B 1C 1中，O ，O 1为两底面中心，D ，D 1是BC ，B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高．由A 1B 1＝20，AB ＝30，得OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下得12×(60＋90)·DD 1＝34×(202＋302)．所以DD 1＝133 3.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝4 3. 即棱台的高为4 3 cm.8．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 29，设这条上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短距离为最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)此棱柱的表面积．解：(1)正三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 移动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，即P 1C ＝x ，在Rt △MAP 1中，由勾股定理得(3＋x )2＋22＝29，求得x ＝2，∴PC ＝P 1C ＝2. ∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45. (3)棱柱的表面积：S ＝S 侧＋2S 底＝9×4＋2×12×32×32＝72＋932.。

高中数学北师大必修2课时跟踪检测(九) 平面与平面垂直的判定 Word版含解析

课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定层级一学业水平达标．设，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．若∥，∥α，则∥α．若α⊥β，∥α，则⊥β．若α⊥β，⊥β，则∥α．若⊥，⊥α，⊥β，则α⊥β解析：选错，可能α；错；错，可能α.只有正确．．已知直线，与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )．α⊥γ，β⊥γ．α∩β＝，⊥，⊂β．∥β，∥α．∥α，⊥β解析：选由∥α，知α内必有直线与平行．而⊥β，∴⊥β，∴α⊥β.．从空间一点向二面角α--β的两个面α，β分别作垂线，，，为垂足，若∠＝°，则二面角α--β的平面角的大小是( )．°．°．°或°．不确定解析：选若点在二面角内，则二面角的平面角为°；若点在二面角外，则二面角的平面角为°.．如图，四边形中，∥，＝，∠＝°，∠＝°，将△沿折起，使平面⊥平面，构成几何体-，则在几何体-中，下列结论正确的是( )．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面解析：选由已知得⊥，⊥，又平面⊥平面，∴⊥平面，从而⊥，故⊥平面.又平面，∴平面⊥平面..如图，已知⊥矩形所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )．对．对．对．对解析：选∵⊥，⊥，∴⊥平面.同理⊥平面，又⊥平面，∴⊥平面，∴平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，共对．．如果规定：＝，＝，则＝，叫作，，关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行．如图，平面⊥平面，∠＝∠＝°，且＝＝，则＝.解析：取中点，则⊥，由题意得⊥平面，△为直角三角形，∴＝.∴＝×＝.＝答案：是等腰直角三角形，∠＝°，＝＝，将△．如图，△沿斜边上的高折叠，使平面⊥平面，则折叠后＝.解析：由题意知，⊥，由于平面⊥平面.∴⊥平面.又平面，∴⊥.连接，则＝＝＝.答案：．如图所示，四边形是平行四边形，直线⊥平面，是的中点，求证：平面⊥平面.证明：连接，交于点，连接，位线，∴是△的中∴∥.∵⊥平面，∴⊥平面.又平面.∴平面⊥平面.．如图，四边形为菱形，∠＝°，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，＝，⊥.求证：平面⊥平面.证明：如图，连接，设∩于点，连接，，.在菱形中，不妨设＝.由∠＝°，。

北师大高中数学必修二课时跟踪检测：第二章解析几何初步 §2 232 含解析

第二章解析几何初步§2圆与圆的方程2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(2)课时跟踪检测一、选择题1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－6y＝0的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．内含解析：原方程可转化为O1：(x－1)2＋y2＝1，O2：x2＋(y－3)2＝9，∴O1(1,0)，O2(0,3)，r1＝1，r2＝3.|O1O2|＝10.∵3－1＜10＜3＋1，∴r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2.∴两圆相交．答案：A2．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为()A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定解析：由题意得|C1C2|＝3＋2，即(m＋1)2＋(－2－m)2＝5.整理得m2＋3m －10＝0，解得m＝2或m＝－5.答案：C3．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴|C1C2|＝32＋22＝13＜r1＋r2，且|C1C2|＞|r1－r2|∴两圆相交，公切线有两条．答案：B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：由题意知，所求圆圆心的轨迹是以(5，－7)为圆心，以4－1或4＋1为半径的圆，即(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9.答案：D5．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析：圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：A6．以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45 解析：C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，直线C 1C 2的方程为x ＋y ＋2＝0.公共弦所在直线方程为x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋2＝0，x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，故圆心为(－1，－1)，综合选项知选B. 答案：B 二、填空题7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________________．解析：设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝(a －0)2＋(0－5)2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝98．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：公共弦所在直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线y ＝1a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ，由⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 2＝22，解得a ＝1. 答案：19．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则Q 点的坐标为________．解析：圆心分别为(－1,1)、(2，－2)，过圆心的直线方程为y －(－2)1－(－2)＝x －2－1－2，即y ＝－x .由题意知两圆交点关于直线y ＝－x 对称，∴Q (－2，－1)．答案：(－2，－1) 三、解答题10．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0.作O 1H ⊥AB ，则|AH |＝12|AB |＝2，所以圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|r 22－12|42＝22－(2)2＝2，解得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.11．求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．将x 2＋y 2－2x ＝0化为标准方程(x －1)2＋y 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3＝3，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－43，r ＝6.故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.12．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．解：设圆B 的半径为r ，∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① ∵圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0.② 由②－①，得两圆的公共弦方程 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③又∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③，并整理得：r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋352＋215≥215，∴t ＝－35时，r min ＝215.此时，圆B 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝215.13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x ＋3＝0，求y －2x －1的最大值与最小值．解：如图所示，设M (x ，y )，则点M 在圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝1上．令Q (1,2)，则设k ＝k MQ ＝y －2x －1，即kx －y －k ＋2＝0.过Q 作圆O 1的两条切线QA ，QB ，则直线QM 夹在两切线QA ，QB 之间， ∴k QA ≤k QM ≤k QB .又由O 1到直线kx －y －k ＋2＝0的距离为1，得|－2k －k ＋2|k 2＋1＝1，即k ＝3±34. ∴y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－34.。

同步北师大高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测九平面与平面垂直的判定含解析

课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定一、基本能力达标1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.3．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面BCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.解析：取BC中点M，则AM⊥BC，由题意得AM⊥平面BDC，∴△AMD为直角三角形，AM＝MD＝22a.∴AD＝22a×2＝a.答案：a8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC 上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.解析：由题意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，∴BD⊥DC.连接BC，则BC＝BD2＋DC2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1.答案：19.如图，在圆锥VO中，AB是底面圆的一条直径，且点C是弧AB的中点，点D是AC的中点．已知AB＝2，VA＝2.求证：平面VAC⊥平面VOD.证明：连接BC，由圆锥的性质，知VO⊥平面ABC，∴VO⊥AC.又D是AC的中点，∴OD∥BC.又AB是底面圆的一条直径，∴AC⊥BC，∴AC⊥OD.又VO∩OD＝O，VO平面VOD，OD平面VOD，∴AC⊥平面VOD.又AC平面VAC，∴平面VAC⊥平面VOD.10．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.求证：平面AEC⊥平面AFC.证明：如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝2，2可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.二、综合能力提升1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，nαC．m∥n，n⊥β，mαD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D如图，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．4．如图，∠C＝90°，AC＝BC，M，N分别是BC，AB的中点，沿直线MN将△BMN 折起至△B′MN位置，使二面角B′-MN-B的大小为60°，则B′A与平面ABC所成角的正切值为()A.25 B.45 C.35 D.35解析：选C 设BC ＝2.过B ′作B ′D ⊥BC ，垂足为D ，则B ′D ⊥平面ABC ，连接AD ，则∠B ′AD 是B ′A 与平面ABC 所成的角．由题意，知∠B ′MB ＝60°，MB ′＝MB ＝1，则MD ＝12，B ′D ＝32，AD ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋22＝52，∴tan ∠B ′AD ＝B ′D AD ＝3252＝35. 5.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PAE ； ③BC ∥平面PAE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.解析：由于AD 与AB 不垂直，因此得不到PB ⊥AD ，①不正确；由PA ⊥AB ，AE ⊥AB ，PA ∩AE ＝A ，得AB ⊥平面PAE ，因为AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAE ，②正确；延长BC ，EA ，两者相交，因此BC 与平面PAE 相交，③不正确；由于PA ⊥平面ABC ，所以∠PDA 就是直线PD 与平面ABC 所成的角，由PA ＝2AB ，AD ＝2AB ，得PA ＝AD ，所以∠PDA ＝45°，④正确．答案：②④6．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．解析：如图所示，因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OBβ，OC β，且OB ∩OC＝O ，根据线面垂直的判定定理，可得OA ⊥β，又OA α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7.如图，在四面体P -ABC 中，△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，PA ＝3，D 为PA 的中点，求二面角D -BC -A 的大小．解：取BC 的中点E ，连接EA ，ED ，EP .∵△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，∴BC ⊥AE ，BC ⊥PE ，又AE ∩PE ＝E ，AE 平面PAE ，PE 平面PAE ， ∴BC ⊥平面PAE .而DE 平面PAE ，所以BC ⊥DE ， ∴∠AED 即为二面角D -BC -A 的平面角．又由条件，知AE ＝PE ＝32AB ＝3，AD ＝12PA ＝32， ∴DE ⊥PA ，∴sin ∠AED ＝AD AE ＝32，显然∠AED 为锐角，∴∠AED ＝60°，即二面角D -BC -A 的大小为60°. 探究应用题8．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.又A′N平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.。

高中数学课时跟踪检测(七)平行关系的性质北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题

课时跟踪检测（七）平行关系的性质一、基本能力达标1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面 D．不确定解析：选A 由面面平行的性质定理可知选项A正确．2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.3．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，点E为线段AB上异于A，B的点，点F为线段CD上异于C，D的点，且EF∥DA，沿EF将面EBCF折起，如图2，则下列结论正确的是( )A．AB∥CDB．AB∥平面DFCC．A，B，C，D四点共面D．CE与DF所成的角为直角解析：选B 在图2中，∵BE∥CF，B E⃘平面DFC，CF平面DFC，∴BE∥平面DFC，同理AE∥平面DFC.又BE∩AE＝E，∴平面ABE∥平面DFC.又AB平面ABE，∴AB∥平面DFC.故选B.4．已知平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a，b的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a α，b β，∴直线a ，b 没有公共点，∴直线a ，b 的位置关系是平行或异面．5.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25解析：选D ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB ∩α＝A ′B ′，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB .又∵PA ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝PA ′∶PA ＝2∶5.同理B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴△A ′B ′C ′与△ABC 相似，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25.6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案： 27．过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析：记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：68．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ； ②若平面α∥平面β，直线a 与α相交，则a 与β相交； ③若平面α∥平面β，P ∈α，PQ ∥β，则PQ α； ④若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a ∥b . 其中正确说法的序号是________．解析：①中平面α与γ也可能重合，故①不正确．假设直线a与平面β平行或直线aβ，则由平面α∥平面β，知aα或a∥α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交，②正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β，得a∥b.因为PQ∥β，PQγ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为aα，所以PQα，③正确．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交或异面都有可能，④不正确．答案：②③9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，因为AD平面PAD，B C⃘平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四边形BCFE是梯形．10．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．证明：∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．二、综合能力提升1.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE解析：选B ∵在平行四边形AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM 綊BN ，∴MN 綊AB .又M N ⃘平面ABC ，AB 平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN 平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B.2．如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能解析：选B 因为A 1B 1∥AB ，AB 平面ABC ，A 1B 1⃘平面ABC ，所以A 1B 1∥平面ABC .又A 1B 1平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，所以DE ∥A 1B 1.又AB ∥A 1B 1，所以DE ∥AB .3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若经过D 1B 的平面分别交AA 1和CC 1于点E ，F ，则四边形D 1EBF 的形状是( )A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．正方形解析：选C 因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED 1，BF ，所以ED 1∥BF ，同理D 1F ∥EB ，所以四边形D 1EBF 是平行四边形．4．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选D 由于BD ∥平面EFGH ，由线面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .5.如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.解析：∵AB ∥平面α，AB 平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝12(AB ＋CD )＝5.答案：56．如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________. 解析：因为AC ∥平面EFGH ，所以EF ∥AC ，HG ∥AC . 因为BD ∥平面EFGH ，所以EH ∥BD ，FG ∥BD .所以EF ＝HG ＝BE BA ·m ，EH ＝FG ＝AE AB ·n .因为四边形EFGH 是菱形，所以BE AB ·m ＝AE AB·n ，所以AE ∶EB ＝m ∶n .答案：m ∶n7.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平面ABC 外一点，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．证明：直线l ∥平面PAC ，证明如下：因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC .又E F⃘平面ABC，且AC平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⃘平面PAC，EF平面PAC，所以l∥平面PAC.探究应用题8．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.因为AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1.又DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.。

北师大高中数学选修课时跟踪检测六归纳推理含解析

课时跟踪检测（六）归纳推理1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( )A ．10B ．13C ．14D ．100解析：选C ∵13×(1＋13)2＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C. 2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )A ．■C ．□D ．○ 解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.5．已知x ∈(0，＋∞)，有下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x ＋a x 4≥5，则正数a ＝________. 解析：观察给出的各个不等式，不难得到x ＋11x ≥2，x ＋22x 2≥3，x ＋33x3≥4，从而第4个不等式为x ＋44x 4≥5，所以当x ＋a x4≥5时，正数a ＝44. 答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －b a x 与l 2：y ＝b a x 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b a x 交于点P n (x n ，y n )．(1)求P 1，P 2的坐标；(2)猜想P n 的坐标(n ∈N ＋)．解：(1)解方程组⎩⎨⎧ y ＝b －b a x ，y ＝b a x ，得P 1⎝⎛⎭⎫a 2，b 2.过(0，b )，⎝⎛⎭⎫a 2，0两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b ax 联立解得P 2⎝⎛⎭⎫a 3，b 3. (2)由(1)可猜想P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1，b n ＋1.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式；(3)猜想f (n )的表达式，并写出推导过程．解：(1)图①中只有一个小正方形，得f (1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f (2)＝5；图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f (3)＝13；图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f (4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f (5)＝41.(2)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，f (5)＝41，∴f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…，∴f (n )－f (n －1)＝4×(n －1)＝4n －4.∴f (n ＋1)与f (n )的关系式为f (n ＋1)－f (n )＝4n .(3)猜想f (n )的表达式为f (n )＝2n 2－2n ＋1.由(2)可知f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.。