考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题5 数列、推理与证明第22练

合集下载

2021全国甲卷理科数学解析

2021全国甲卷理科数学解析一、概述2021年全国普通高等学校招生全国统一考试（简称全国“高考”）于近日举行，其中理科数学卷是许多考生所关注的焦点。

本文将对2021年全国甲卷理科数学试题进行深入解析，帮助考生和教师更好地理解试题背后的思想，掌握解题技巧。

二、试题分析1. 分析题型2021年全国甲卷理科数学试卷的题型主要包括选择题、填空题、解答题和证明题。

其中解答题和证明题涉及的知识点较多，需要考生具备较高的数学思维和解题能力。

2. 知识点分布试题涵盖的知识点主要包括函数与导数、平面向量、立体几何、数列和数学归纳法、概率统计等内容。

这些知识点是高中数学的重点和难点，考生需要熟练掌握相关概念和解题方法。

三、试题解析1. 选择题解析选择题主要考查了考生对基本概念和定理的理解和掌握情况，有一定的难度。

有一道关于函数和导数的选择题，考查了函数定义域和单调性的应用，需要考生对函数概念的理解和导数的计算方法有较为深入的掌握。

2. 填空题解析填空题主要考查了学生对数学公式和定理的应用能力，要求考生熟练掌握数学知识并能在一定时间内准确地应用到具体问题中。

有一道关于平面向量的填空题，考查了向量共线和垂直的性质，考生需要根据向量的性质进行运算和推导。

3. 解答题解析解答题主要考查了考生对数学概念的理解和运用能力，要求考生能够深入分析问题、独立解答并给出合理的解题思路。

有一道关于数列和数学归纳法的解答题，考查了考生对数列的性质和规律的理解，以及数学归纳法的应用能力，需要考生结合实际情况分析问题、提出解决方法并进行证明。

4. 证明题解析证明题主要考查了考生的逻辑思维和推理能力，要求考生能够通过严密的推导和论证得出结论。

有一道关于概率统计的证明题，考查了考生对概率计算和统计规律的理解和运用能力，需要考生运用数学知识和逻辑推理得出正确的结论。

四、备考建议1. 系统复习考生在备考期间应该系统复习，重点复习高中数学的各个知识点，特别是考试的重点和难点知识，比如函数与导数、平面向量、立体几何、数列和数学归纳法、概率统计等内容。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣10含答案

回扣10 复数、算法、推理与证明1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0. ②z 是虚数⇔b ≠0.③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ). (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ；其中a ，b ，c ，d ∈R . 2.复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )； (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示. (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示.程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.4.推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论5.证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.推理模式：框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.推理模式：框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).(3)反证法在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定命题结论成立的方法叫反证法.1.复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.用数学归纳法证明时，易盲目以为n 0的起始值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设.6.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.1.复数z ＝1＋i1－2i 的虚部为( )A.－15B.15C.－35D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ，所以其虚部为35.2.复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A.－1－3i B.－1＋3i C.1＋3i D.1－3i 答案 A解析 z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.3.阅读如图所示的程序框图，若m ＝8，n ＝10，则输出的S 的值等于( )A.28B.36C.45D.120 答案 C解析第一次循环：S ＝10，k ＝1；第二次循环：S ＝10×92＝45，k ＝2；第三次循环：S ＝45×83＝120，k ＝3；第四次循环：S ＝120×74＝210，k ＝4；第五次循环：S ＝210×65＝252，k ＝5；第六次循环：S ＝252×56＝210，k ＝6；第七次循环：S ＝210×47＝120，k ＝7；第八次循环：S ＝120×38＝45，k ＝8＝m ；结束循环，输出S ＝45.4.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋ax n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则a 等于( ) A.n B.2n C.n 2 D.n n 答案 D解析第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a＝n n.5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.6.用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不能被5整除D.a不能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法.8.执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为()A.15B.16C.31D.32 答案 B解析列表分析如下是否继续循环 S n 循环前 0 1 第一圈是 1 2 第二圈是 3 3 第三圈是 7 4 第四圈是 15 5 第五圈是 31 6 第六圈否故当S 值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p 的最小正整数值为16. 9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.10.若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________. 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb2＝1.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

高考数学总复习第五章数列、推理与证明第7讲直接证明与间接证明课件文

考点 3 反证法例 3：(2014 年广东广州一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 p，q，r 是三个互不相等的正整数，且 p，q，r 成等差数列，试判断 ap－1，aq－1，ar－1 是否成等比数列？并说明理由．
证明：当 a，b>0 时，a＋2 b≥ ab>0，当且仅当 a＝b 时取等号．
两边取对数，得 lga＋2 b≥lg ab. 又 lg ab＝lg2ab＝lga＋2 lgb， ∴当 a，b>0 时，lga＋2 b≥lga＋2 lgb.
考点 2 分析法
例 2：已知 a＞0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
—反证法；了解反证法的思考过决的问题的类型，同时也要加强
程、特点.
训练，达到熟能生巧，有效运用
它们的目的.
1．直接证明 (1)综合法． ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．
1．要证明 3＋ 7＜2 5，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( B )
A．反证法 B．分析法 C．综合法 D．前面三种方法都不合适
2．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于 60°”时，应假设( B )
A．三个内角都不大于 60° B．三个内角都大于 60° C．三个内角中至多有一个大于 60° D．三个内角中至多有两个大于 60°

四川新高考考前三个月数学理二轮专题复习4.3推理与证明(含答案详析)

第三讲推理与证明(1)概括推理的一般步骤：①经过察看某些个别状况发现某些同样性质；②从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想 )．(3)综合法的特色是：从“已知”看“可知”，逐渐推向“未知”，要求逐渐推理，实际上是找寻它的必需条件．(4)剖析法的特色是：从“未知”看“需知”，逐渐聚拢“已知”，即从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，即把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件为止．(5)适适用反证法证明的四类数学命题：①独一性命题；②结论波及“至多”“起码”“无穷”的命题；③否认性命题；④直接证明较繁琐或困难的命题．(6)数学概括法数学概括法证明的步骤①证明当 n 取第一个值 n0 0∈N*)时结论建立；(n②假定 n＝ k(k∈N*，且 k≥ n0)时结论建立，证明n＝ k＋1 时结论也建立．由①②可知，对随意n≥n0，且 n∈N*时，结论都建立．1． (2013 ·建福 )设 S， T 是R的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y＝ f(x)知足：(1)T＝{ f(x)|x∈ S} ；(2) 对随意 x1，x2∈S，当 x1<x2时，恒有 f(x1)<f(x2)．那么称这两个会合“保序同构”．以下会合对不是“保序同构”的是() A． A＝N*，B＝NB． A＝ { x|－ 1≤ x≤3} ， B＝ { x|x＝－ 8 或 0<x≤ 10}C． A＝ { x|0<x<1} ， B＝RD． A＝Z，B＝Q答案D分析关于 A，取 f(x)＝ x＋ 1，知足题意．－ 8， x＝－ 1，关于 B ，取 f(x)＝x＋ 1，－ 1< x<0，知足题意 .2x ＋ 1， 0≤ x≤ 3，1关于 C，取 f(x)＝ tan[ π(x－2)] ，知足题意．清除法，选 D.2． (2013 陕·西 )察看以下等式12＝ 112－ 22＝－ 312－ 22＋ 32＝ 612－ 22＋ 32－ 42＝－ 10,,照此规律，第n 个等式可为 ________．答案2222n＋1 2n＋1n n＋ 1 1 － 2＋3 －4＋, ＋ (－1)n ＝ (－ 1)·2分析察看等式左侧的式子，每次增添一项，故第n 个等式左侧有 n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左侧的通项为(－ 1)n＋1n2.等式右侧的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21 ， ,.设此数列为 { a n} ，则 a2－ a1＝ 2， a3－a2＝3， a4－ a3＝ 4，a5－ a4＝ 5，,， a n－ a n－1＝ n，各式相加得a n－ a1＝2＋ 3＋ 4＋ ,＋ n，即 a n＝ 1＋2＋3＋ ,＋ n ＝n n＋ 1.所以第n个等式为22＋ 32－ 42＋, ＋(－ 1)n＋1 21)n＋2 1 － 2n ＝ (－1n n＋12.3． (2013 湖·北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数，如三角形数1,3,6,10，, ，第 n 个三角形数为n n＋1＝121n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥ 3)，22n ＋2以以下出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数121N(n,3)＝ n＋ n，22正方形数N(n,4)＝n2，五边形数321N(n,5)＝ n－ n，22六边形数N(n,6)＝2n2－ n ,,,,,,,,,,,,,,,能够推测 N( n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝ ___________.答案 1 000分析22k － 224－ k由 N( n,4)＝ n ，N( n,6)＝ 2n － n ，能够推测：当 k 为偶数时， N(n ，k)＝2n ＋2n ，∴ N(10,24) ＝24－ 2× 100＋4－ 24× 1022＝ 1 100－ 100＝1 000.4． (2012 陕·西 )察看以下不等式：1 3 1＋22<2，1 1 51＋22＋ 32<3，1 1 1 71＋22＋ 32＋42<4，,,照此规律，第五个不等式为 ________．．．．答案11 111 111＋ 22222< 62 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6分析概括察看法．察看每行不等式的特色，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子组成等差数列．∴ 第五个不等式为 1＋ 1 1 1 1 1 112 ＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2< 6 .2 3 4 5 62ab为 a ，b 的调解均匀数．如图，C 为线段 AB 上的点， 5． (2010 湖·北 )设 a ＞0，b ＞ 0，称 a ＋ b且 AC ＝a ， CB ＝ b ，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆．过点C 作 AB 的垂线交半圆于 D ，连接 OD ，AD ，BD.过点 C 作 OD 的垂线，垂足为E.则图中线段 OD 的长度是 a ，b 的算术均匀数，线段 ________的长度是 a ，b 的几何均匀数，线段 ________的长度是 a ，b 的调解均匀数．答案CD DE分析在 Rt △ ABD 中， CD 是斜边 AB 上的高，所以 CD 2 ＝AC ·CB ，所以 CD ＝ AC ·CB ＝ ab ，所以线段 CD 的长度是 a ， b 的几何均匀数．在 Rt △OCD 中，由于 CE ⊥ OD ，所以DE ＝ CD，CD OD 2CDab2ab所以线段 DE 的长度＝＝＝ .2所以线段 DE 的长度是 a ，b 的调解均匀数．题型一合情推理 1 x － a n 例 1(1)设数列 { a n 是首项为 0 * ，f nsin ，x ∈ n ， a n ＋1 ]，} 的递加数列， n ∈ N (x)＝ n[a知足：关于随意的b ∈ [0,1) ，f n (x)＝ b 总有两个不一样的根，则{ a n } 的通项公式为 _______．x 2 y 2(2)若 P 0(x 0，y 0)在椭圆 a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) 外，则过 P 0 作椭圆的两条切线的切点为 P 1，P 2，则切点弦 P 1P 2 所在直线方程是 x 0 x y 0y＝ 1.那么关于双曲线则有以下命题：若 P 0(x 0，y 0)a 2 ＋ 2 在双曲线 x 22 b 2 y 2P 0 作双曲线的两条切线的切点为 P ，P ，则切a －b ＝ 1(a>0， b>0)外，则过1 2点弦 P 1P 2 所在的直线方程是 ________．审题破题(1) 先求数列 { a n } 的前几项，概括项的规律，作出猜想； (2) 双曲线和椭圆方程对比，形式近似，只需注意到椭圆的切线方程中x 2，y 2 分别换成了 x 0x ， y 0y 即可．答案 (1) a ＝n n － 1 π(2)x 0x － y 0 yn 2a 2 2 ＝1b分析 (1) ∵a 1＝ 0，当 n ＝ 1 时， f 1(x) ＝|sin(x － a 1)|＝ |sin x|，x ∈ [0， a 2] ，又 ∵ 对随意的 b ∈ [0,1) ， f 1(x)＝ b 总有两个不一样的根，∴ a 2＝ π；2sin 1 x － a 2 ＝ sin 1 x － πf ( x)＝ 2 2＝ cos x ， x ∈ [ π， a 3]，2∵ 对随意的 b ∈[0,1) ，f 2(x)＝ b 总有两个不一样的根，1 ∴ a 3＝ 3π； f 3 (x)＝ sin 3 x － a 31 1＝ sin 3 x － 3π ＝ sin 3x ， x ∈ [3 π， a 4]，∵ 对随意的 b ∈[0,1) ，f 3(x)＝ b 总有两个不一样的根，∴ a 4＝ 6π.由此可得 a n ＋ 1－ a n ＝ n π， ∴a n ＝ n n － 1 π2.x 2 y 2x 0x y 0y所在直线方程 22 →yy2 2 P 1P 2 2 2 ＝ 1，x→ xx ，y0.类比，(2)关于椭圆 a ＋ b ＝ 1，切点弦 a ＋bx 2 y 2 x 0x y 0 y双曲线 a 2－ b 2＝ 1 的切点弦 P 1P 2 所在直线方程为 a2－ b 2 ＝1.反省概括应用合情推理应注意的问题：(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们合适变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象性质的推理过程，而后类比推导类比对象的性质．注意：概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．变式训练 1(1) 若从点 O 所作的两条射线OM 、 ON 上分别有点 M 1、 M 2 与点 N 1、 N 2，则三S 角形面积之比SOM 1N 1＝OM 1 ON 1O 所作的不在同一平面内的三条射线· .如图，若从点OM 2 ON 2OM 2N 2OP 、OQ 和 OR 上分别有点 P 1、P 2，点 Q 1、Q 2 和点 R 1、R 2，则近似的结论为 ________．答案 V O P 1Q 1 R 1＝ OP 1 OQ 1 OR 1· ·VO P 2Q 2 R 2OP 2 OQ 2 OR 2分析考察类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1 及三棱锥 P 2－ OR 2Q 2 的底面面积之比为 OQ 1 OR 1 ，又过极点分别向底面作垂线，获得高的比为 OP 1，故体积之比为OQ 2 ·OP 2 OR 2VO P 1Q 1R 1＝ OP 1 OQ 1 OR 1V O P 2 Q 2R 2 · · .OP 2 OQ 2 OR 2(2)已知命题：若数列 { a n } 为等差数列，且 a m ＝ a ， a n ＝ b (m ≠ n ， m 、 n ∈ N *)，则 a m ＋n ＝ bn － am；现已知等比数列 { b n } ( b ≠0， n ∈N * )， b m ＝ a ，b n ＝ b (m ≠n ， m 、 n ∈ N * )，若类n －m比上述结论，则可获得b m ＋ n ＝ __________.答案 n － m b na m分析等差数列中的 bn 和 am 能够类比等比数列中的b n 和 a m ，等差数列中的 bn － amb nbn － amn － m b n能够类比等比数列中的am，等差数列中的 n － m 能够类比等比数列中的am，故 b m ＋ n ＝ n －m b na m . 题型二直接证明与间接证明例 2设实数数列 { a n } 的前 n 项和 S n 知足 S n ＋ 1＝ a n ＋1S n (n ∈ N * )． (1)若 a 1， S 2，－ 2a 2 成等比数列，求 S 2 和 a 3；(2)求证：对 k ≥ 3 4有 0≤ a k ＋ 1≤ a k ≤ .3审题破题 (1) 依据 S 22＝－ 2a 1a 2 及 S 2＝ a 2a 1 从方程的角度求出 S 2.再由 S 3＝ a 3S 2＝ S 2＋ a 3，求出 a 3.(2)依据 S n ＋ 1＝ a n ＋1S n (n ∈ N * )的关系，找寻 a n ＋ 1 与 a n 的递推关系，再用不等式放缩法、剖析法、反证法的思想方法求解．(1)解 S 22＝－ 2a 1a 2 ，由题意得 S 22＝－ 2S 2，S 2＝ a 2S 1＝ a 1a 2，由 S 2 是等比中项知 S 2≠ 0.所以 S 2＝－ 2.由 S 2＋ a 3＝S 3＝a 3S 2 解得 a 3＝S 2－ 222－1＝－ 2－1＝3.S(2)证明由题设条件有 S n ＋ a n ＋1＝ a n ＋1S n ，Sa n ＋1n故 S n ≠ 1， a n ＋1≠ 1 且 a n ＋1＝S n － 1， S n ＝ a n ＋ 1－ 1，进而对 k ≥ 3 有S k － 1＝ a k － 1＋S k － 2a k ＝S k －1－ 1 a k － 1＋ S k － 2－ 1a k －1＋ a k － 1 2a k －1－ 1＝ a k －1a k 1＝ 2 －a －＋ 1.①－－a k －1＋ a k 1k 1a k －1－－ 1121 2 3 2因 a k －1 －a k － 1＋1＝ a k － 1－＋ >0 且 a k － 1≥ 0，2 4由 ①得 a k ≥0.2要证 a ≤ 4，由 ① 只需证 2≤ 4，a k － 1k3k －1－ a k－1＋ 1 3a即证 3a k 2－ 1≤ 4(a k 2 －1－ a k －1＋ 1)，即 (a k － 1－ 2)2≥ 0，此式明显建立．所以a k ≤ 4(k ≥ 3)．a k 23>a k ，最后证 a k ＋ 1≤ a k ，若否则 a k ＋ 1＝ 2a k － a k ＋1又因 a k ≥ 0，故 2 a k >1，即 ( a k － 1)2<0. 矛盾．a k － a k ＋1 所以 a k ＋ 1≤ a k (k ≥ 3)．综上，当 k ≥ 3 时有 0≤ a k ＋ 1≤a k ≤ 4.3反省概括综合法与剖析法是直接证明中的“ 姊妹证明 ” 方法．往常状况下，运用剖析法，由果索因，找到一个正确的结论或已知条件，而后运用综合法正确推理书写．在进行立体几何证明中，我们常从结论出发找寻问题的打破口，但在逆推时也可能遇到阻碍，这时再从已知出发顺推搜寻中间细节，问题即可得以解决．自然，若所证命题从正面难以下手时，不如使用反证法．变式训练 2 (2013 ·陕西 )设 { a n } 是公比为 q 的等比数列．(1)推导 { a n } 的前 n 项和公式；(2)设 q ≠ 1，证明：数列 { a n ＋1} 不是等比数列． (1)解设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，当 q ＝1 时， S n ＝a 1＋a 1＋, ＋ a 1＝ na 1；2n － 1①当 q ≠1 时， S n ＝a 1＋a 1q ＋ a 1q ＋ , ＋ a 1q .qS n ＝ a 1q ＋a 1 q 2＋a 1q 3＋ , ＋ a 1q n ，②① － ②得， (1－ q)S n ＝ a 1－ a 1 q n ，n∴ S n ＝a 1 1－ q ，1－ qna 1， q ＝ 1，n∴ S n ＝ a 1 1－ q，q ≠ 1.1－q(2)证明假定 { a n ＋ 1} 是等比数列，则对随意的k ∈ N * ，(a k ＋1＋ 1)2＝ (a k ＋ 1)(a k ＋ 2＋ 1)，2a k ＋ 1＋ 2a k ＋ 1＋1＝ a k a k ＋ 2＋a k ＋ a k ＋2 ＋1，a 21q 2k ＋ 2a 1 q k ＝ a 1q k － 1·a 1q k ＋1＋ a 1q k －1＋ a 1q k ＋1，kk － 1k ＋ 1∵ a 1≠ 0， ∴ 2q ＝ q ＋ q .∵ q ≠0， ∴ q 2－ 2q ＋ 1＝ 0， ∴ q ＝1，这与已知矛盾．∴ 假定不建立，故 { a n ＋1} 不是等比数列．题型三数学概括法例 3已知数列 { a n } 知足关系式 a n ＋1＝ n＋ 2， n ∈ N * ，且 a 1＝ 2.a n(1)求 a 2， a 3， a 4；(2)求证： n ＋ 1≤ a n < n ＋ 1＋ 1；(3)求证：n ＋ 1－ 1< 1 ＋ 1 ＋, ＋ 1<2( n ＋ 3－ 3)．a 1 a 2 a na ＋＝ n审题破题(1) 依据递推式和初始值求解即可； (2)依据已知的递推式＋ 2，使用n 1 a n数学概括法进行证明；(3)依据 (2) 的结果进行证明．(1)解由题意，知 a 2＝5， a 3＝ 14，a 4＝ 43.25 14(2)证明由 a n ＋ 1＝ n＋2 及 a 1＝ 2，知 a n >0.a n下边用数学概括法证明：① 当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2 知足 1＋ 1≤ a 1< 1＋1＋ 1，建立． ② 假定当 n ＝ k (k ∈N * )时，k ＋ 1≤ a k < k ＋1＋ 1 建立，则当 n ＝ k ＋ 1 时， a ＋＝ k＋ 2> k ＋ 2＝ k ＋ 1＋ 1.k 1 a kk ＋ 1＋ 1a k ＋ 1＝ k＋ 2≤ k ＋ 2.a k k ＋ 1下边用剖析法证明： k＋ 2< k ＋ 2＋ 1.k ＋ 1欲证k ＋ 2<k ＋2＋ 1，k ＋1只需证 k ＋ k ＋ 1<( k ＋ 1) k ＋ 2，只需证 (k ＋ k ＋ 1)2 <[( k ＋ 1) k ＋ 2] 2，只需证 2 k ＋ 1>0 ，此式明显建立．所以 k ＋ 2< k ＋2＋ 1 建立．k ＋1进而 a ＋＝ k＋ 2≤ k ＋ 2< k ＋ 2＋ 1.k 1a kk ＋ 1由 ①② 可知，对全部 k ∈N *， n ＋ 1≤a n < n ＋ 1＋1 建立．(3)证明由(2) 知 1 < 1 ≤1 ，n n ＋ 1 n ＋ 1＋1 a而 1 ≥ 1 ＝ n ＋1－ n ，n ＋ 1＋ 1 n ＋ 1＋ n 1 ＝2<2n ＋1n ＋1 ＋n ＋ 3＋ n ＋ 2n ＋ 1＝ 2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，所以 n ＋ 1－ n< 1<2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，a n所以 ( 2－ 1)＋, ＋(n ＋ 1－ n)< 1 ＋ 1 ＋ , ＋ 1a 1 a 2 a n <2( 4－ 3)＋ ,＋ 2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，所以 n ＋ 1－ 1< 1 ＋ 1＋, ＋ 1 <2( n ＋ 3－ 3)．a 1 a 2 a n反省概括在递推数列问题中，假如给出的是形如 a n ＋ 1＝ f(a n )的递推式，则能够考虑用数学概括法进行证明，这是由于在设出 a k 知足的结论后，能够依据 a n ＋ 1＝ f(a n )获得 a k ＋1知足的结论．在使用数学概括法证明问题时，在概括假定后，概括假定就是证明n ＝ k＋ 1 时的已知条件，把概括假定当已知条件证明后续结论时，能够使用综合法、剖析法、反证法，也能够再次使用数学概括法．变式训练 1 1 1 1 3 1 *3 已知 f(n)＝ 1＋ 3 3 3 3 ， g(n)＝－ 2n 22 ＋3 ＋4 ＋ , ＋ n 2 ， n ∈ N . (1)当 n ＝ 1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明．解 (1)当 n ＝ 1 时， f(1)＝ 1， g(1)＝ 1，所以 f(1)＝ g(1)；当 n ＝2 时， f(2) ＝98， g(2)＝ 118，所以 f(2)< g(2) ；当 n ＝3 时， f(3) ＝ 251， g(3) ＝312，所以 f(3)< g(3)．216216(2)由 (1)，猜想 f(n)≤ g(n)，下边用数学概括法给出证明：① 当 n ＝ 1,2,3 时，不等式明显建立．② 假定当 n ＝ k(k ≥ 3， k ∈ N * )时，不等式建立，1 1 1 1 3 1 即 1＋23＋ 33＋ 43＋ , ＋k 3<2－2k 2，那么，当 n ＝ k ＋1 时， f(k ＋ 1)＝ f(k)＋13<3－ 12＋ 1 1 3，k ＋1 2 2k k ＋1 1 1 k ＋ 3 1 － 3k － 1 由于2 k ＋1 2 － 2k 2－ k ＋ 13 ＝2 k ＋ 1 3－ 2k 2＝ 2 k ＋ 1 3k 2<0，所以 f(k ＋ 1)<3－ 1 2＝ g(k ＋ 1)．2 2 k ＋ 1∴ 当 n ＝ k ＋ 1 时 f(n)≤ g(n)建立．由 ①② 可知对全部 n ∈N * ，都有 f(n)≤ g(n)建立．典例 (1)(2012·江西 )察看以下各式： a ＋ b ＝ 1， a 2 ＋ b 2 ＝ 3， a 3＋ b 3＝ 4， a 4＋ b 4＝ 7， a 5＋ b 5＝ 11，, ，则 a 10＋ b 10 等于()A ． 28B ．76C ．123D ．199分析察看规律，概括推理．从给出的式子特色察看可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前方两个式子右端值的和，照此规律，则 a 10＋ b 10＝ 123.答案C(2)记等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，利用倒序乞降的方法，可将S n 表示成首项 a 1、末项 a n 与项数 n 的一个关系式，即公式 S n ＝ n a 1＋ a n；近似地，记等比数列 { b n } 的前 n 项2积为 T n ，且 b n >0 (n ∈ N * )，试类比等差数列乞降的方法，可将 T n 表示成首项 b 1、末项b n 与项数 n 的一个关系式，即公式 T n ＝ ________.分析利用等比数列的性质：若m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 b m ·b n ＝ b p ·b q ，利用倒序求积方法有T n ＝b 1b 2·, ·b n ，n两式相乘得 T n 2＝ ( b 1 b n )n ，即 T n ＝ (b 1b n ) 2 .T n ＝b n b n － 1·, ·b 1，n答案(b 1b n )2得分技巧合情推理的重点是追求规律，明确已知结论的性质或特色．高考取此类问题的指向性很强，要获得正确结论的概括或类比．阅卷老师提示(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们合适变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象性质的推理过程，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．1．已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2a n ( n ≥2)，而 a 1＝ 1，经过计算a 2， a 3，a 4，猜想 a n 等于()22A. n ＋ 1 2B.n n ＋ 122 C.2n－ 1D.2n － 1答案 B分析a n ＝ S n － S n － 1＝n 2a n －( n －1) 2a n －1，∴ (n － 1)2n － 1a n － 1＝ ( n －1)( n ＋ 1)a n .∴ a n ＝a n －1.n ＋ 1由 a 1＝1 知： a 2＝ 1，a 3＝1.3 6∴ 猜想 a n ＝ 2，应选 B.n n ＋ 12．以下四个图形中，着色三角形的个数挨次组成一个数列的前4 项，则这个数列的一个通项公式为()A ． a n ＝ n －1B ．a n ＝ 3 n3C ． a n ＝ 3n － 2nD ． a n ＝ 3n －1＋2n － 3答案 A分析a 1＝ 1， a 2＝ 3，a 3＝ 9， a 4＝ 27，故猜 a n ＝ 3n －1.3．以下推理中属于概括推理且结论正确的选项是()A ．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，由 a n ＝ 2n － 1，求出 S 1＝ 12， S 2＝ 22， S 3＝ 32，, ，推断： S n ＝ n 2B ．由 f(x) ＝ xcos x 知足 f(－ x)＝－ f(x)对 ?x ∈ R 都建立，推测： f(x)＝ xcos x 为奇函数2222x 2 y 2C ．由圆 x ＋ y ＝ r 的面积 S ＝ πr ，推测：椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的面积 S ＝ πabD ．由 (1＋ 1)2>21， (2＋ 1)2>2 2， (3＋ 1)2>23，, ，推测：对全部 n ∈N * ， (n ＋ 1)2>2n 答案 A分析注意到，选项 A 由一些特别案例得出一般性结论，且注意到数列 { a n } 是等差数列，其前 n 项和等于 S n ＝ n 1＋ 2n － 1＝ n 2，选项 D 中的推理属于概括推理，但结论不正确．因2 此选 A.2Sa 、b 、c ，△ ABC 的面积为 S ，内切圆半径为 r ，则 r ＝；a ＋ b ＋ c类比这个结论可知：四周体S — ABC 的四个面的面积分别为S 1 、S 2 、S 3、 S 4，内切球的半径为 R ，四周体 P — ABC 的体积为 V ，则 R 等于()V2VA. ＋S ＋S ＋SB.＋S ＋S ＋SS 12 3 4 S 1 2343V4VC.＋S ＋S ＋SD.＋S ＋S ＋SS 1 234S 1234答案 C分析此题考察类比推理，用体积切割的方法，能够得出3VR ＝＋S ＋S ＋S.S 1 2345．察看等式： 1＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝4，根1×2 2×3 31× 2 2×3 3× 44 1× 22×3 3×4 4×55据以上规律，第四个等式为________．答案1 ＋1× 212× 3＋1 ＋ 3× 41 ＋ 4× 51 ＝5 5×6 66．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为S n ，则 S 4， S 8－ S 4 ， S 12－ S 8， S 16－ S 12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，________，________，T 16成等比数T 12列．答案T 8 T 12T 4 T 8分析等差数列类比于等比数列，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，T 8， T 12，T 16成等比数列．T 4 T 8 T 12专题限时规范训练一、选择题1．察看以下各式： 72＝ 49,73＝ 343,74＝ 2 401，, ，则 72 014 的末两位数字为()A ． 01B ．43C ．07D ． 49答案 D分析由于 71＝ 7,72 ＝49,73＝ 343,74＝ 2 401,7 5＝ 16 807,76＝ 117 649， , ，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期 T ＝ 4.又由于 2 014＝ 4× 503＋ 2，所以 72 014 的末两位数字与 72 的末两位数字同样，应选D.2．定义一种运算“ * ”：关于自然数n 知足以下运算性质： (ⅰ )1*1=1,( ⅱ )(n+1)*1= n*1+1,则 n*1 等于()A ． nB ．n ＋ 1C ．n － 1D ． n 2答案 A分析由 (n ＋ 1)*1 ＝ n*1 ＋ 1，得 n*1 ＝ (n － 1)*1 ＋ 1＝ (n － 2)*1 ＋ 2＝ , ＝ 1]3．定义 A* B ，B*C ，C*D ，D * A 的运算分别对应以下图中的 (1)(2)(3)(4) ，那么以下图中的(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B*D ，A* DB ．B*D ， A*C C ．B*C ，A*D D ．C*D ，A*D答案 B分析由 (1)(2)(3)(4) 图得 A 表示 |，B 表示 □ ，C 表示 — ，D 表示 ○，故图 (A)(B) 表示 B* D和 A*C.1，2， 1， 3，2， 1， 4， 3，2， 1，, ，依它的前10 项的规律，这个数列的4．已知数列： 1 1 21 2 3 1 2 3 4第 2 013 项 a2 013知足()11≤ a2 013<1A． 0<a2 013< B.1010C． 1≤ a2 013≤ 10D． a2 013>10答案A分析数列中项的规律：分母每一组中从小到大摆列：(1) ， (1,2) ，(1,2,3) ，(1,2,3,4) ， ,；分子每一组中从大到小摆列(1)， (2,1)， (3,2,1) ， (4,3,2,1) ，, ，由上规律4 1知 a2 013＝60＝15.5．给出若干数字按以下图排成倒三角形，此中第一行各数挨次是1,2,3， , ， 2 011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M 是()2 009A． 2 012 2·2 010B． 2 011 2·2 011C． 2 010 2·2 007D． 2 010 2·答案A分析第一行公差为1；第二行公差为2；,,；第 2010 行公差为22 009，第 2011 行只有 M，发现规律，得M＝ (1＋ 2 011)2 0092·.或从第一行为 1,2,3 及 1,2,3,4,5 的两个“小三角形”联合选项概括得结果为 (3＋1及 (5＋ 1)×3n－ 2.1)×2 2 ，猜一般规律为 (n＋ 1) ·2＋，若 a＋ d＝ b＋ c且 |a－ d|<|b－c|，则有() 6．设 a，b， c， d∈RA． ad＝ bc B ．ad<bc C．ad>bc D． ad≤ bc答案C分析|a － d|<|b－ c|?( a－d)2<(b－ c)2?a2＋ d2－2ad<b2＋ c2－ 2bc，又∵a＋ d＝ b＋ c? (a ＋d)2＝ (b＋ c)2? a2＋ d2＋ 2ad＝ b2＋ c2＋ 2bc，∴－ 4ad<－ 4bc，∴ ad>bc.a2＋ b2127．已知 a>b>0，且 ab＝ 1，若 0<c<1， p＝ log c， q＝ log c() ，则 p， q 的大小2a＋ b关系是()A． p>q B ．p<qC． p＝ q D． p≥ q答案 Ba 2＋b 2a 2＋b 2分析∵>ab ＝ 1， ∴ p ＝ log c 22<0.12111又 q ＝log c () ＝ log c>log c＝ log c >0， ∴q>p.a ＋ ba ＋b ＋ 2 ab4 ab4378．对大于1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23， 3 3 9，511134315，, .仿此，若 m 3 的“分裂数”中有一个是59，则 m 的值为()17 19A ． 5B ．6C ．7D ． 8答案 D分析由已知可察看出m 3 可分裂为 m 个连续奇数，最小的一个为 (m － 1)m ＋ 1.当 m ＝8时，最小的数为 57，第二个即是59.∴ m ＝ 8.二、填空题9．察看以下等式1＝ 12＋ 3＋ 4＝ 9 3＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49,,照此规律，第 n 个等式为 ________．答案n ＋ (n ＋ 1)＋ (n ＋ 2)＋, ＋ (3n － 2)＝ (2n － 1)2分析第 n 个等式是首项为n ，公差为 1，项数为 2n － 1 的等差数列，即 n ＋ (n ＋ 1)＋ (n＋ 2)＋, ＋ (3n － 2)＝ (2n － 1) 2.110．若数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ n ＋ 1 2，记 f(n)＝ 2(1－a 1 ) ·(1－ a 2), (1－ a n )，试经过计算f(1)，f(2) ，f(3)的值，推测出 f(n)＝ ________.n ＋ 2答案n ＋ 13 1＋ 2分析 f(1) ＝ 2(1－a 1)＝2＝ 1＋ 1，1 1f(2) ＝2(1－ a 1)(1 －a 2)＝ 2 1－ 4 1－ 9＝4＝2＋ 2，3 2＋1f(3) ＝2(1－ a 1)(1 －a 2)(1 － a 3)＝2 1－ 1 1－1 1－ 1＝5＝ 3＋2，4 9 16 4 3＋1n ＋ 2可猜想 f(n)＝n ＋ 1.11．二维空间中圆的一维测度(周长 )l ＝ 2πr ，二维测度 (面积 )S ＝ πr 2，察看发现 S ′＝ l ；三维空间中球的二维测度 (表面积 )S ＝ 4πr 2，三维测度 (体积 )V ＝43，察看发现 V ′＝ S.则四3πr维空间中“超球”的四维测度 W ＝ 2πr 4，猜想其三维测度 V ＝ ________.答案 8πr 3分析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论， “ 超球 ”的三维测度是四维测度的导函数，即 V ＝ W ′ ＝ (2πr 4)′＝ 8πr 3.12．函数 f(x)的定义域为 A ，若 x 1，x 2∈ A ，且 f(x 1 )＝ f(x 2)时总有 x 1＝ x 2，则称 f(x)为单函数．例如 f(x)＝ 2x ＋ 1 (x ∈ R )是单函数，以下命题：①函数f(x)＝ x 2 (x ∈ R )是单函数；②指数函数 f(x)＝ 2x (x ∈ R )是单函数，③若 f(x)为单函数， x 1， x 2∈ A 且 x 1≠ x 2，则 f(x 1)≠ f(x 2)；④在定义域上拥有单一性的函数必定是单函数．此中的真命题是 __________( 写出全部真命题的编号 )．答案 ②③④分析由 x 12＝ x 22，未必有 x 1＝ x 2，故 ① 不正确；关于 f(x)＝ 2x ，当 f(x 1)＝ f(x 2 )时必定有 x 1＝ x 2，故 ② 正确；当 f(x)为单函数时，有 f(x 1)＝ f( x 2)? x 1＝ x 2，则其逆否命题 f(x)为单函数时，x 1≠ x 2? f(x 1)≠ f(x 2) 为真命题，故 ③ 正确；当函数在其定义域上单一时，必定有 f(x 1)＝ f(x 2) ? x 1＝ x 2，故 ④ 正确．三、解答题13． (2012 ·建福 )某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：① sin 213°＋ cos 217°－ sin 13 cos ° 17 ；°2 2 °－ sin 15 cos ° 15 ；°② sin 15 °＋ cos 15 22°－ sin 18 cos ° 12 ；°③ sin 18 °＋ cos 12④ sin 2(－ 18°)＋cos 248°－sin(－ 18°)cos 48 ；°⑤ sin 2(－ 25°)＋cos 255°－sin(－ 25°)cos 55 . °(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．解方法一 (1)选择 ② 式，计算以下：sin 215°＋ cos 215°－ sin 15 cos ° 15 °1 sin 30 ＝°1－ 1 3＝ 1－ 4 ＝ .2 4 (2)三角恒等式为322sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4.证明以下：sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ sin 2α＋(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)2－ sin α(cos 30 °cos α＋ sin 30 sin ° α)23231 23 1 23 2323.＝ sin α＋ cos α＋2 sin αcos α＋ sin α－2sin αcos α－ sin α＝ sin α＋ cos α＝ 442 4 4 4方法二 (1)同解法一．223 (2)三角恒等式为 sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4. 证明以下：22sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 1－cos 2α 1＋ cos 60°－ 2αα(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)2＋2－ sin＝ 1－1 1＋ 1 312α2 2cos 2α＋ 2 2(cos 60 cos ° 2α＋ sin 60 sin ° 2α)－ 2 sin αcos α－ 2sin1 1 cos 2α＋ 1 ＋ 1 3 sin 2α－ 3＝－ 2 2 cos 2α＋ 4 4sin 2α－2 41 1 1 1 3(1 －cos 2α)＝ 1－ cos 2α－＋ cos 2α＝ .44 4 4414．设会合 W 是知足以下两个条件的无量数列 { a n } 的会合．① a n ＋ a n ＋2≤ a n ＋1；② a n ≤ M ，此中 n ∈ N * ， M 是与 n 没关的常数．2(1)若 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项的和， a 3＝ 4， S 3＝ 18，尝试究 { S n } 与会合 W 之间的关系；(2)若数列 { b n } 的通项为 b n ＝ 5n － 2n ，且 { b n } ∈ W ， M 的最小值为 m ，求 m 的值；(3)在 (2)的条件下，设 1 nc n ＝ [ b n ＋ (m － 5) ] ＋ 2，求证：数列 { c n } 中随意不一样的三项都不5 能成为等比数列． (1)解 ∵ a 3＝ 4， S 3＝ 18，∴ a 1＝ 8， d ＝－ 2，2 S n ＋ S n ＋ 2∴ S n ＝－ n ＋ 9n ， 2 <S n ＋ 1 知足条件 ① ，9S n ＝－ n － 2 ＋ 81，当 n ＝ 4 或 5 时， S n 取最大值 20.2 4 ∴ S n ≤ 20 知足条件 ② ，∴ { S n } ∈ W.(2)解b n ＋ 1－ b n ＝ 5－ 2n 可知 { b n } 中最大项是 b 3＝ 7，∴M ≥7， M 的最小值为 7.(3)证明由(2) 知 c n ＝n ＋ 2，假定 { c n } 中存在三项 c p 、c q 、 c r (p 、 q 、 r 互不相等 )成等比数列，则 c 2q ＝ c p ·c r ，∴ (q ＋ 2)2＝ (p ＋ 2)(r ＋ 2)，∴ (q 2－ pr)＋ (2q － p － r ) 2＝ 0.q 2 ＝ pr ，∵ p 、q 、 r ∈ N * ， ∴2q － p － r ＝ 0，消去 q 得 (p－ r )2＝ 0，∴p＝r ，与 p≠ r 矛盾．∴{ c n} 中随意不一样的三项都不可以成为等比数列．。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用,理科)知识·方法篇专题5 数列、推理与证明专题5 第25练

解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8.对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：
[ 1]＋[ 2]＋[ 3]＝3，
[ 4]＋[ 5]＋[ 6]＋[ 7]＋[ 8]＝10，
[ 9]＋[ 10]＋[ 11]＋[ 12]＋[ 13]＋[ 14]＋[ 15]＝21. … 按照此规律，第n个等式的等号右边的结果为_2_n_2_＋__n__.
V C.2K
V D.3K
解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝a1＋a2＋n …＋an)也为等差数列.
类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，
则 dn 的表达式应为( )
A.dn＝c1＋c2＋n …＋cn
解析
答案
123
2.(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__1_和__3__.
专题5 数列、推理与证明
第 25 练归纳推理与类比推理
题型分析高考展望
归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以选择题、填空题的形式考查.题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决.
栏目索引
体验高考高考必会题型高考题型精练
体验高考
123
1.(2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此，规律，第n个等式可为_1_－__12_＋_13_－__14_＋__…__＋_2_n_1－__1_－__21_n_＝_n_＋_1_1_＋__n_＋1__2_＋_…__＋__21_n_.

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣1

考前回扣回扣1集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.2.四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假.3.含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真.(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真.(3)命题綈p与命题p真假相反.4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0).(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x).5.充分条件和必要条件(1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件.1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.2.易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A ＝∅的情况.5.区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”.6.在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.7.对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.1.已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3答案 B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1，3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案 A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()A.{x|－3<x<5}B.{x|－5<x<5}C.{x|x<－5或x>－3}D.{x|x<－3或x>5}答案 C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.4.满足条件{a }⊆A ⊆{a ，b ，c }的所有集合A 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析满足题意的集合A 可以为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }，共4个.5.已知集合U ＝R (R 是实数集)，A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁U B )等于( ) A.[－1，0] B.[1，2] C.[0，1] D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析 B ＝{x |x 2－2x <0}＝(0，2)，A ∪(∁UB )＝[－1，1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D. 6.下列命题正确的是( )(1)命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x ≤0”；(2)l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α； (3)给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则綈p 是假命题； (4)“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件.A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4) 答案 C解析命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x ≤0”；l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α；给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”；则p 且q 是真命题，綈p 且綈q 是假命题；“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真，选C.7.设命题p ：∃x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋a ＝0(a ∈R )，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a >－2B.a <2C.a ≤1D.a <0 答案 D解析设f (x )＝x 2＋2x ＋a ，则p 为真命题⇔f (x )在R 内有零点⇔Δ≥0⇔a ≤1.8.已知命题p ：在△ABC 中，若AB <BC ，则sin C <sin A ；命题q ：已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的必要不充分条件.在命题p ∧q ，p ∨ q ，(綈p )∨q ，(綈p )∧q 中，真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A解析由题意得，在△ABC 中，若AB <BC ，即c <a ，由正弦定理可得sin C <sin A ，所以p 真，又已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，所以q 假，只有p ∨q 为真命题，故选A.9.已知命题p ：∀m ∈[0，1]，x ＋1x ≥2m ，则綈p 为( )A.∀m ∈[0，1]，x ＋1x <2mB.∃m 0∈[0，1]，x ＋1x≥20mC.∃m 0∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1x ≥20mD.∃m 0∈[0，1]，x ＋1x <20m答案 D解析根据全称命题与特称命题的关系，可知命题p ：∀m ∈[0，1]，x ＋1x ≥2m ，则綈p 为“∃m 0∈[0，1]，x ＋1x <20m”，故选D.10.下列结论正确的是________.(1)f (x )＝a x －1＋2(a >0，且a ≠1)的图象经过定点(1，3)； (2)已知x ＝log 23，4y ＝83，则x ＋2y 的值为3；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则f (2)＝18； (4)f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数； (5)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为1或－1. 答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝a 0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1，3)，故(1)正确；(2)已知x ＝log 23，4y ＝83，则22y ＝83，2y ＝log 283，则x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 2(83×3)＝log 28＝3，故(2)正确；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则(－2)3－2a －6＝6，即a ＝－10，则f (2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， f (x )＝x (11－2x －12)＝x ·1＋2x 2(1－2x )，则f (－x )＝－x ·1＋2－x 2(1－2－x )＝－x ·2x ＋12(2x －1)＝x ·1＋2x2(1－2x )＝f (x )，即有f (x )为偶函数，则f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数，故(4)正确；(5)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，当m ＝0时，B ＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4).11.已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________.答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)解析若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5，∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.12.若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________. 答案 2 012 1 006解析因为a ＝－2b ，c ＝4b ，若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c且a ＋c ＝2b ，故满足条件的“好集”为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，P 中元素的最大值为4b ＝4×503＝2 012.符合条件的b 值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006.13.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－4]解析由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件， ∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4].14.已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0 ⇔1－m <x <1＋m ， ∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1，3]是(1－m ，1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3，解得m >2.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题5 数列、推理与证明第24练

第24练数列求和问题[题型分析·高考展望] 数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n 项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题.体验高考1.(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于______.答案 27解析由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列.∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.2.(2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝______，S 5＝______. 答案 1 121解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1， ① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列. ∴S n ＝12(3n －1).∴S 5＝121.3.(2015·课标全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， ① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3).4.(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，S n －1＝3n 2＋2n －5，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合{a n }通项公式，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n)1－2－(n ＋1)×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.高考必会题型题型一分组转化法求和例1 (2016·天津)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 与log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列.设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 点评分组求和常见的方法：(1)根据等差、等比数列分组，即分组后，每一组可能是等差数列或等比数列；(2)根据正号、负号分组；(3)根据数列的周期性分组；(4)根据奇数项、偶数项分组.变式训练1 (2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1，当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n ＋7)(n －2)2＝3n －n 2－5n ＋112，所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3，n ∈N *.题型二错位相减法求和例2 (2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.点评错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项“{a n ·b n }”型数列求和. (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比； ②把两个和的形式错位相减； ③整理结果形式.变式训练2 (2015·山东)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以，当n ＝1时，b 1＝13，所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n . 所以，当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n )，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n )，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n＝1312－6n ＋34×3n ，经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .题型三裂项相消法求和例3 若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 21a n ，求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34. (1)解 ∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18(14)n －1＝(12)2n ＋1.(2)证明由c n ＋1－c n ＝log 21a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1).∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＝122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1＝12×[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)] ＝12[(1＋12)－(1n ＋1n ＋1)] ＝34－12(1n ＋1n ＋1)<34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13，∴原式得证.点评 (1)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1a n ·a n ＋1的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n ·a n ＋1＝1d ·(1a n －1a n ＋1).其余还有公式法求和等.(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项.变式训练3 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n10(10－3n ).高考题型精练1.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A.n 2＋1－12nB.n 2＋2－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2＋2－12n －1答案 A解析因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .2.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1 B.4n n ＋1 C.3n n ＋1 D.5nn ＋1 答案 B解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200 B.－200 C.400 D.－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为奇数时，－n 2，当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A.0B.100C.－100D.10 200 答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B.5.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＋2)，则其前n 项和S n 为( )A.1－1n ＋2B.32－1n －1n ＋1 C.32－1n －1n ＋2 D.32－1n ＋1－1n ＋2答案 D解析因为a n ＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2.故选D.6.已知数列{a n }为等比数列，前三项为：a ，12a ＋12，13a ＋13，且S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A.9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n B.81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n C.815⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n D.81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n 答案 C解析由⎝⎛⎭⎫12a ＋122＝a ⎝⎛⎭⎫13a ＋13 解得a ＝3(a ＝－1舍去)， T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n＝a 21⎣⎡⎦⎤1－(49)n 1－49＝815⎣⎡⎦⎤1－(49)n . 7.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－n －2解析因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.8.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.9.数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________. 答案 1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830.10.在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 答案n n ＋1解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3. 所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)依题意得，S nn＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1.故T n ＝∑i ＝1nb n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－17＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1. 因此，使得12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1＜m 20(n ∈N *)成立的m 必须满足12≤m20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.12.在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2， a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n ). 令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1.两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1， ∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣3

x1x2＋ y1y2 x21＋ y21 x22＋ y22 .
15.三角形 “ 四心 ” 向量形式的充要条件设 O 为△ ABC 所在平面上一点，角 A，B， C 所对的边长分别为 a， b， c，则
→→→
a
(1) O 为△ ABC 的外心 ? |OA|＝ |OB|＝ |OC|＝ 2sin A.
(2) O 为△ ABC 的重心 ? O→A＋ O→B＋ O→C＝ 0.
(1) “五点法”作图：设 z＝ ωｘ＋ φ，令 z＝ 0，π2， π， 32π， 2π，求出相应的 x 的值与 y 的值，描点、连线可得 .
(2) 由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口
.
(3) 图象变换：
向左 φ>0 或向右 φ<0
y＝ sin x―――平―移―|φ―|个―单―位――→ y＝ sin(x＋ φ) ―横―坐―标―变―为纵―原坐―来标的不―变―ω1―ω―>0―倍→y＝ sin( ωｘ＋ φ)
.
6.要特别注意零向量带来的问题：量平行 .
回扣 3 三角函数、平面向量
1.准确记忆六组诱导公式
对于“
kπ 2 ±α， k∈ Z ”的三角函数值，与
α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，
符号看象限 .
2.同角三角函数的基本关系式
sin2α＋ cos2α＝ 1，
tan
α＝Βιβλιοθήκη sin cosα α(cos
α≠ 0).
3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
纵坐标变为原来的 A A>0 倍
―――――横―坐―标不―变――――→y＝ Asin(ωｘ＋ φ).
7.正弦定理及其变形 a ＝ b ＝ c ＝ 2R(2R 为△ ABC 外接圆的直径 ).

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣8

回扣8计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理).2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理).3.排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示.(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.4.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.5.二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C k n(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝C k n an －k b k. 6.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .7.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k <n ＋12时，二项式系数是递增的；当k >n ＋12时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大.当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112-+n T 和112++n T 的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n . 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1.关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.(2)混合问题一般是先分类再分步. (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. 2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数. 3.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件. 4.对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系. (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b .1.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A.36个 B.18个 C.9个 D.6个答案 B解析利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2⎩⎪⎨⎪⎧ 1⎩⎨⎧ 233⎩⎨⎧123⎩⎪⎨⎪⎧1⎩⎨⎧ 232⎩⎨⎧13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个，故选B.2.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男，女生人数为( ) A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2 答案 B解析设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男，女生人数为3，5，故选B.3.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( ) A.150种 B.180种 C.240种 D.540种答案 A解析先将5个人分成三组，(3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种).4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) A.210种 B.420种 C.630种 D.840种答案 B解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出的3位教师是1男2女则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方法，若选出的3位教师是2男1女则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.5.若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于( )A.2B.54 C.1 D.24答案 C解析二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T k ＋1＝C k 7(2x )7－k (a x )k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5.故展开式中1x 3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6.(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于( ) A.－1 B.1 C.(2x －1)4 D.(1－2x )5 答案 B解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.30种B.600种C.720种D.840种答案 C解析 A 47－A 45＝720(种).8.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( )A.180B.240C.360D.420 答案 D解析若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2，4两个花池栽同一种颜色的花，或3，5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种).9.(x ＋1ax )5的各项系数和是1 024，则由曲线y ＝x 2和y ＝x a 围成的封闭图形的面积为______.答案512解析设x ＝1，则各项系数和为(1＋1a )5＝1 024＝45，所以a ＝13，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 31可得交点坐标分别为(0，0)，(1，1)，所以曲线y ＝x 2和y ＝x 31围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x 31－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 34－13x 3⎪⎪⎪10＝34－13＝512.10.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______. 答案 120解析圆上任意三点都不共线，因此有三角形C 310＝120(个).11.一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种. 答案 36解析可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求可产生把6个空位分为1，1，2，2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6，所以不同的坐法共有6×6＝36(种).12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种. 答案 24解析先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种).13.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有______种. 答案 24解析依题意，当A在第一步时，共有A22A33＝12(种)；当A在最后一步时，共有A22A33＝12(种).所以实验的编排方法共有24种.14.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.答案288解析从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A23＝6(种)，先排3个奇数，有A33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A24＝12(种).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种).若1排在两端，1的排法有A12A22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A23＝6(种)，根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288(种).。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识方法篇专题5 数列、推理与证明第23练含答案精品

第23练常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望] 利用递推关系式求数列的通项公式及前n 项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键.一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决.体验高考1.(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.2.(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________. 答案－1n解析由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，因为S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.3.(2015·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________. 答案2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2.令b n ＝1a n，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.4.(2016·课标全国丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意，得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.高考必会题型题型一利用累加法解决递推问题例1 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)，则a n 等于( )A.2－1nB.1－1nC.1nD.2－1n －1答案 A解析 ∵a n －a n －1＝1n (n －1)，∴a 2－a 1＝11×2，a 3－a 2＝12×3，a 4－a 3＝13×4，…，a n －a n －1＝1n (n －1)(n >1)，以上各式左右两边分别相加得a n －a 1＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n ，∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，又a 1＝1适合上式， ∴a n ＝2－1n ，故选A.(2)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn (n ∈N *，常数c ≠0)，且a 1，a 2，a 3成等比数列. ①求c 的值；②求数列{a n }的通项公式.解 ①由题意知，a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， ∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴(2＋c )2＝2(2＋3c )，解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2.②当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn ，得a 2－a 1＝c ，a 3－a 2＝2c ，…，a n －a n －1＝(n －1)c ，以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c .又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2(n ≥2)，当n ＝1时，上式也成立，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2(n ∈N *).点评由已知递推关系式，若能转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )，或1a n ＋1－1a n ＝f (n )且f (n )的和可求，则可采用累加法.变式训练1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n )，则a n 等于( )A.1＋n ＋ln nB.1＋n ln nC.1＋(n －1)ln nD.1＋ln n 答案 D解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln(1＋1n －1)＋ln(1＋1n －2)＋…＋ln(1＋1)＋1＝ln(n n －1×n －1n －2×…×2)＋1＝1＋ln n . 题型二利用累乘法解决递推问题例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝2n ＋1 C.a n ＝n ＋12 D.a n ＝n(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a na n ＋1－a n＝n (n ∈N *)，则a 2 016＝________.答案 (1)B (2)2 016解析 (1)由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n，所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a na n ＋1－a n＝n (n ∈N *)，得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…， a n a n －1＝n n －1，各式相乘得a na 1＝n ，∴a n ＝n (n ＝1适合)，∴a 2 016＝2 016.点评若由已知递推关系能转化成a n ＋1a n ＝f (n )的形式，且f (n )的前n 项积能求，则可采用累乘法.注意验证首项是否符合通项公式.变式训练2 数列{a n }的前n 项和S n ＝n2a n (n ≥2)，且a 1＝1，a 2＝2，则{a n }的通项公式a n ＝______________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2解析 ∵S n －1＝n －12a n －1 (n ≥3)，∴S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，∴a n ＝n 2a n －n －12a n －1，∴a n a n －1＝n －1n －2.∴当n ≥3时，a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝2·32·43·…·n －1n －2，∴a na 2＝n －1，∴a n ＝(n －1)·a 2＝2(n －1)(n ≥3). ∵a 2＝2满足a n ＝2(n －1)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2.题型三构造法求通项公式例3 (1)数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝na n(n ＋1)(na n ＋2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1，则a n ＝________.答案 (1)1n (3·2n －1－1)(2)1n解析 (1)由已知可得(n ＋1)a n ＋1＝na nna n ＋2，设na n ＝b n ，则b n ＋1＝b nb n ＋2，所以1b n ＋1＝2b n＋1，两边都加1可得1b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(1b n ＋1)，即{1b n ＋1}是公比为2，首项为3的等比数列. 故1b n＋1＝3·2n －1，所以1b n ＝3·2n －1－1＝1na n，所以a n ＝1n (3·2n －1－1)(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝1n (3·2n －1－1). (2)由a n ＋1＝a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝1(常数)，又1a 1＝1，∴{1a n }为以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n ＝n ，从而a n ＝1n ，即所求通项公式为a n ＝1n. 点评构造法就是利用数列的递推关系灵活变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项.此类问题关键在于条件变形：在“a n ＝ca n －1＋b ”的条件下，可构造“a n ＋x ＝c (a n －1＋x )”在“a n ＝ma n －1ka n －1＋m”的条件下，可构造“1a n ＝1a n －1＋k m ”.变式训练3 已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝7a n －1－33a n －1＋1，求数列{a n }的通项公式.解因为当n ≥2时，a n －1＝4a n －1－43a n －1＋1，两边取倒数，得1a n －1＝1a n －1－1＋34.即1a n －1－1a n －1－1＝34，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝1，公差为34的等差数列.所以1a n －1＝1a 1－1＋34(n －1)＝3n ＋14.所以a n ＝3n ＋53n ＋1.又当n ＝1时，上式也成立，故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n ＋53n ＋1(n ∈N *). 高考题型精练1.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ≥2)，则a n 等于( )A.1n ＋1B.(23)n －1C.(23)nD.2n ＋1答案 D解析由题意知{1a n }是等差数列，又1a 1＝1，1a 2＝32， ∴公差为d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12， ∴a n ＝2n ＋1，故选D.2.已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 10等于( ) A.28 B.33 C.133 D.128答案 D解析由已知1a n ＋1－1a n＝3(n ∈N *)，所以数列{1a n }是以1为首项，3为公差的等差数列，即1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，解得a n ＝13n －2，a 10＝128，故选D.3.已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝n n ＋1C.a n ＝12＋n －1n 2＋n ＋2 D.a n ＝n ＋1n ＋2答案 B解析由a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2可得，a n ＋1－a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以a 2－a 1＝12－13，a 3－a 2＝13－14，a 4－a 3＝14－15，…，a n －a n －1＝1n －1n ＋1，累加可得a n －a 1＝12－1n ＋1，又a 1＝12，所以a n ＝nn ＋1，故选B.4.已知f (x )＝log 2x 1－x ＋1，a n ＝f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n －1n )，n 为正整数，则a 2 016等于( )A.2 015B.2 009C.1 005D.1 006 答案 A解析因为f (x )＝log 2x1－x＋1，所以f (x )＋f (1－x )＝log 2x1－x ＋1＋log 21－x x ＋1＝2.所以f (1n )＋f (n －1n )＝2，f (2n )＋f (n －2n )＝2，…， f (n －1n )＋f (1n)＝2，由倒序相加，得2a n ＝2(n －1)，a n ＝n －1，所以a 2 016＝2 016－1＝2 015，故选A.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋2n (n ∈N *)，则a n 为( )A.n (n －1)2＋2n －1－1B.n (n －1)2＋2n －1C.n (n ＋1)2＋2n ＋1－1D.n (n －1)2＋2n ＋1－1答案 B解析 ∵a n ＋1＝a n ＋n ＋2n ， ∴a n ＋1－a n ＝n ＋2n .∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋(1＋2)＋(2＋22)＋…＋[(n －1)＋2n －1]＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋(2＋22＋…＋2n －1)＝1＋(n －1)n 2＋2(1－2n －1)1－2＝n (n －1)2＋2n－1.6.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7等于( ) A.53 B.54 C.55 D.109 答案 C解析 ∵a n －a n －1＝2n (n ≥2)， ∴a 2－a 1＝4， a 3－a 2＝6， a 4－a 3＝8， …a 7－a 6＝14，以上各式两边分别相加得 a 7－a 1＝4＋6＋…＋14， a 7＝1＋(4＋14)×62＝55.7.数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2·3n －1＋a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.答案 3n －2解析因为a n ＝2·3n －1＋a n －1(n ≥2)，所以a n －a n －1＝2·3n －1(n ≥2)，由叠加原理知a n －a 1＝2(3＋32＋33＋…＋3n －1)(n ≥2)，所以a n ＝a 1＋23(1－3n －1)1－3＝1＋3n －3＝3n －2(n ≥2)，因为a 1＝1也符合上式，故a n ＝3n －2.8.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________________. 答案 2×3n －1－1解析设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1). ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.9.若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝4a n ＋2n ，则通项a n ＝________________. 答案 22n －1－2n －1解析 ∵a n ＋1＝4a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝2a n 2n ＋12，设b n ＝a n 2n ，则b n ＋1＝2b n ＋12，∴b n ＋1＋12＝2(b n ＋12)，即b n ＋1＋12b n ＋12＝2，又b 1＋12＝1，∴{b n ＋12}是等比数列，其中首项为1，公比为2， ∴b n ＋12＝2n －1，即b n ＝2n －1－12，即a n 2n ＝2n －1－12， ∴a n ＝2n (2n －1－12)＝22n －1－2n －1.10.设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________________. 答案 1n解析对原关系式进行等价变形可得(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)⇒[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，因为{a n }是正项数列，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，从而(n ＋1)a n ＋1na n＝1，即数列{na n }是首项为1，公比为1的等比数列，所以na n ＝1，即a n ＝1n.11.数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明由a n＋2＝2a n＋1－a n＋2，得b n＋1－b n＝a n＋2－2a n＋1＋a n＝2a n＋1－a n＋2－2a n＋1＋a n＝2，又b1＝a2－a1＝1，∴{b n}是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解由(1)得b n＝2n－1，于是a n＋1－a n＝2n－1，a n＝[(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)]＋a1＝[1＋3＋…＋(2n－3)]＋1＝(n－1)2＋1，而a1＝1也符合，∴{a n}的通项公式a n＝(n－1)2＋1.12.已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n＋n＋1(n∈N*).(1)证明数列{a n＋1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n＋n}的前n项和T n.解(1)由已知，S n＋1＝2S n＋n＋1(n∈N*)，当n≥2时，S n＝2S n－1＋n，两式相减得，a n＋1＝2a n＋1，于是a n＋1＋1＝2(a n＋1)(n≥2).当n＝1时，S2＝2S1＋1＋1，即a1＋a2＝2a1＋1＋1，所以a2＝3，此时a2＋1＝2(a1＋1)，且a1＋1＝2≠0，所以数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.所以a n＋1＝2·2n－1，即a n＝2n－1(n∈N*).(2)令c n＝na n＋n，则c n＝n·2n，于是T n＝1·21＋2·22＋…＋n·2n，2T n＝1·22＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，两式相减得，－T n＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2(2n－1)2－1－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以T n＝(n－1)·2n＋1＋2.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题1 集合与常用逻辑用语二第2练

第2练用好逻辑用语，突破充要条件[题型分析·高考展望] 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查.体验高考1.(2015·山东)若m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 答案 D解析原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”. ∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”. 2.(2015·天津)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 |x －2|＜1⇔－1＜x －2＜1⇔1＜x ＜3，x 2＋x －2＞0⇔x ＜－2或x ＞1，所以“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分不必要条件，故选A. 3.(2015·重庆)“x ＞1”是“log 21(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 log 21(x ＋2)＜0⇔x ＋2＞1⇔x ＞－1，因此选B.4.(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析由|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案D解析全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，n≥x2的否定是n＜x2，故选D.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假.例1(1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面(2)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A.p或qB.p且qC.qD.綈p答案(1)D(2)B解析(1)对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确.(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题.点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法.在解答时要有意识地去练习.变式训练1 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0，命题q ：∃α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β，则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∨(綈q ) C.(綈p )∧q D.p ∧(綈q )答案 C解析因为∀x ∈R ，x 2≥0，所以命题p 是假命题，因为当α＝－β时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β，所以命题q 是真命题，所以p ∧q 是假命题，p ∨(綈q )是假命题，(綈p )∧q 是真命题，p ∧(綈q )是假命题.题型二充分条件与必要条件例2 (1)(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇏α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，所以“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.(2)已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1＜0(m ＞－23)的解为条件q .①若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围； ②若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围. 解 ①设条件p 的解集为集合A ，则A ＝{x |－1≤x ≤2}，设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1＜x ＜m ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞2，－2m －1＜－1，m ＞－23，解得m ＞1.②若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m ＞－23.解得－23＜m ≤0.点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明.(3)准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件.变式训练2 (2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)·(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件答案 B解析若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B. 题型三与命题有关的综合问题例3 下列叙述正确的是( )A.命题：∃x 0∈R ，使x 30＋sin x 0＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2<0 B.命题：“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为：若x ≠1或x ≠－1，则x 2≠1 C.已知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n －7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1D.函数y ＝log 2x ＋m3－x 的图象关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m ＝±1答案 C解析 A ：命题：∃x 0∈R ，使x 30＋sin x 0＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2≥0，故A 错误； B ：命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1，故B 错误； C ：因为幂函数y ＝x 3n－7在x ∈(0，＋∞)上单调递减，所以3n －7<0，解得n <73，又n ∈N ，所以n ＝0，1或2；又y ＝x 3n－7为偶函数，所以，n ＝1，即幂函数y ＝x 3n－7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1，C 正确；D ：令y ＝f (x )＝log 2x ＋m3－x ，由其图象关于点(1，0)中心对称，得f (x )＋f (2－x )＝0，即log 2x ＋m 3－x ＋log 2(2－x )＋m 3－(2－x )＝log 2(x ＋m )(2＋m －x )(3－x )(1＋x )＝0，(x ＋m )(2＋m －x )(3－x )(1＋x )＝1.整理得：m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3，当m ＝－3时，x ＋m 3－x ＝－1<0，y ＝log 2x ＋m3－x 无意义，故m ＝1.所以，函数y ＝log 2x ＋m 3－x 图象关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m ＝1，故D 错误.点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件.若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一. 变式训练3 下列命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数.其中正确命题的序号是________.答案 ①③④解析对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0， ∴a ＞b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇏ 30°＝150°， ∴②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1， ∴③正确； ④显然正确.高考题型精练1.已知复数z ＝a ＋3ii (a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 z ＝a ＋3ii ＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a ＞0，反之也成立，所以“a＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.2.已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇏綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件.3.(2015·湖北)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( ) A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件答案 A解析两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.4.(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析由题意得，a 2n －1＋a 2n ＜0⇔a 1(q 2n －2＋q 2n －1)＜0⇔q 2(n －1)(q ＋1)＜0⇔q ∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件，故选C.5.设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分.综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件.6.已知命题p ：∀x ∈R ，x 3＜x 4；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝－2，则下列命题中为真命题的是( ) A.p ∧q B.(綈p )∧q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧(綈q )答案 B解析若x 3＜x 4，则x ＜0或x ＞1， ∴命题p 为假命题；若sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－2，则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题， ∴(綈p )∧q 为真命题.7.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析画出可行域(如图所示)，可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.8.下列5个命题中正确命题的个数是( )①“若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1，1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4；⑤命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价. A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 ①错，若log 2a ＞0＝log 21，则a ＞1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数； ②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1，1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2＜1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；⑤正确，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确. 9.已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即命题p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即命题q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.10.已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析由于f (x )是单调函数，在(0，1)上存在零点，应有f (0)·f (1)＜0，解不等式求出实数a 的取值范围. 由f (0)·f (1)＜0⇒(1－2a )(4|a |－2a ＋1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，(2a ＋1)(2a －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，(6a －1)(2a －1)＜0⇒a ＞12.11.下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12＞0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”.其中正确结论的序号为__________.(把你认为正确结论的序号都填上) 答案 ①③解析在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的.在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确.在③中，“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”正确. 12.已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x ＜a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________. 答案 [0，1]解析由4x －1≤－1，得－3≤x ＜1.由x 2－x ＜a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]＜0，当a ＞1－a ，即a ＞12时，不等式的解为1－a ＜x ＜a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a ＜1－a ，即a ＜12时，不等式的解为a ＜x ＜1－a .由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集. 当a ＞12时，由{x |1－a ＜x ＜a }{x |－3≤x ＜1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12＜a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a ＜12时，由{x |a ＜x ＜1－a }{x |－3≤x ＜1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a ＜12. 综上，a 的取值范围是[0，1].。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)技巧规范篇第一篇第2讲四种策略搞定填空题

第2讲四种策略搞定填空题[题型分析·高考展望] 填空题的基本特点是：(1)题目小巧灵活，结构简单；(2)答案简短明确，不反映过程，只要结果；(3)填空题根据填写内容，可分为定量型(填写数值，数集或数量关系)和定性型(填写某种性质或是有某种性质的对象).根据填空题的特点，在解答时要做到四个字——“快”“稳”“全”“细”.快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；细——审题要细，不能粗心大意.高考必会题型方法一直接法根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案.解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程.解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件.例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，则角B 的值为________. 答案2π3解析方法一由正弦定理，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C，即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0，所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0. 在△ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0，又sin A ≠0，所以cos B ＝－12.又角B 为△ABC 的内角，所以B ＝2π3.方法二由余弦定理，即cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入cos B cos C ＝－b2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ，整理，得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，又角B 为△ABC 的内角，所以B ＝2π3.点评直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.变式训练1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，则S 2 016＝____________. 答案 3·21 008－3解析由题意得a n ·a n ＋1＝2n ，a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1⇒a n ＋2a n＝2，因此a 1，a 3，a 5，…构成一个以1为首项，2为公比的等比数列； a 2，a 4，a 6，…构成一个以2为首项，2为公比的等比数列；从而S 2 016＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2×1－21 0081－2＝3(21 008－1).方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.例2 (1)若函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝________.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是________. 答案 (1)－1 (2)323解析 (1)由题意，对任意的x ∈R ，有f (－π8＋x )＝f (－π8－x )，令x ＝π8，得f (0)＝f (－π4)，得a ＝－1.(2)方法一 △ABC 为等边三角形时满足条件，则S △ABC ＝332. 方法二 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.点评求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.变式训练2 (1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.答案 (1)－32(2)2解析 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，又因为函数为偶函数，所以f (－13)－f (13)＝0，即ln(e －1＋1)－a 3－ln(e ＋1)－a 3＝0，ln e －1－23a ＝0，解得a ＝－32，将a ＝－32代入原函数，检验知f (x )是偶函数，故a ＝－32.(2)用特殊值法，可设AB ＝AC ＝BM ＝1，因为AB →＝mAM →，所以m ＝12，过点C 引AM 的平行线，并延长MN ，两线相交于点E ，则AE ＝BC ＝2OC ，易得AN ＝23AC ，因为AC →＝nAN →，所以n ＝32，可知m ＋n ＝12＋32＝2.方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确、规范地作出相应的图形.例3 (1)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是________________________________________________________________________. (2)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________. 答案 (1)[2，16] (2)[－1，＋∞)解析 (1)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3，0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，∴d 2min ＝[|3－0－1|12＋(－1)2]2＝(2)2＝2.最大值为点Q 到点A 的距离的平方， ∴d 2max ＝16.∴取值范围是[2，16].(2)函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞).点评数形结合在解答填空题中的应用，就是利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.变式训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，3x ， x ≤0且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析方程f (x )＋x －a ＝0的实根也就是函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数的图象，显然当a ≤1时，两个函数图象有两个交点，当a >1时，两个函数图象的交点只有一个.所以实数a 的取值范围是(1，＋∞). 方法四构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法. 例4 (1)若a ＝ln12 017－12 017，b ＝ln 12 016－12 016，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________.(2)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，△AED 、△EBF 、△FCD 分别沿着DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________.答案 (1)a <b <c (2)62解析 (1)令f (x )＝ln x －x (0<x <1)，则f ′(x )＝1x－1，∵0<x <1，∴f ′(x )>0，∴f (x )为增函数.又12 017<12 016<12 015，∴a <b <c . (2)由题意知DF ＝5，A ′E ＝A ′F ＝1，A ′D ＝2，以A ′E 、A ′F 、A ′D 为棱，建立一个长方体，则体对角线长为2R ＝12＋12＋22(R 为球的半径)，R ＝62. 点评构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.变式训练4 (1)若x ，y ∈[－π4，π4]，a ∈R ，且满足方程x 3＋sin x －2a ＝0和4y 3＋sin y cos y＋a ＝0，则cos(x ＋2y )＝________.(2)如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.答案 (1)1 (2)6π解析 (1)对第二个等式进行变形可得：(2y )3＋sin 2y ＋2a ＝0，对照两等式和所求的结论思考，可以找到x 和2y 的关系，构造函数f (x )＝x 3＋sin x ，则两个条件分别变为f (x )＝2a 和f (2y )＝－2a ，即f (x )＝－f (2y )，因为函数f (x )＝x 3＋sin x 是奇函数，所以有f (x )＝f (－2y )，又因为当x ，y ∈[－π4，π4]时，f (x )是单调递增的函数，所以有x ＝－2y ，即x ＋2y ＝0，因此cos(x ＋2y )＝1.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.高考题型精练1.设ln 3＝a ，ln 7＝b ，则e a ＋e b ＝______(其中e 为自然对数的底数). 答案 10解析 ∵e a ＝3，e b ＝7，∴e a ＋e b ＝10.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.答案 18解析把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 3.已知θ∈(0，π)，且sin(θ－π4)＝210，则tan 2θ＝________.答案－247解析由sin(θ－π4)＝210得，22(sin θ－cos θ)＝210，sin θ－cos θ＝15，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－(43)2＝－247.4.一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为________. 答案512解析一共有36种情况，其中甲掷得的向上的点数比乙大的有：(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(3，1)、(3，2)、(2，1)，共15种，所以所求概率为1536＝512.5.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 答案 2解析方法一如图所示，在△OAB 中，|OA →|＝|OB →|＝1，∠AOB ＝60°，延长BA 到C 使∠BOC ＝90°，则A 为BC 的中点，c ＝OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋BA →＝2a －b ，则t ＝2.方法二由已知b ·c ＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0， 12t ＋(1－t )＝0，因此t ＝2. 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝________. 答案 45解析令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝45＋01＋45×0＝45.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－33，33解析由题意，得圆心到直线的距离 d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝|2k |1＋k 2，若|MN |≥23，则4－d 2≥(3)2，解得－33≤k ≤33. 8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.答案 [－∞，2]解析 f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.9.已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是________.答案 13解析由平面向量基本定理及点P 为ABCD 内部或边界上任意一点，可知0≤x ≤1且0≤y ≤1，又满足条件的x ，y 满足0≤x ≤12，0≤y ≤23，所以P (A )＝23×121×1＝13.10.某程序框图如图所示，若a ＝3，则该程序运行后，输出的x 值为________.答案 31解析第一次循环，x ＝2×3＋1＝7，n ＝2；第二次循环，x ＝2×7＋1＝15，n ＝3；第三次循环，x ＝2×15＋1＝31，n ＝4，程序结束，故输出x ＝31.11.e 416，e 525，e 636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________. 答案 e 416<e 525<e 636解析由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝(e xx 2)′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x －2)x 3，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636. 12.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则yx －1的最小值是________. 答案 1解析作出变量x ，y 满足的平面区域，如图阴影部分所示，y x －1表示的几何意义是平面区域内的一点与点P (1，0)连线的斜率，结合图形可知，P A 的斜率最小，所以y x －1的最小值为23－1＝1. 13.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.答案 3解析不妨设A (2cos θ，3sin θ)，θ∈(0，π)，△F AB 的周长为2(|AF |＋3sin θ)＝2(2＋cos θ＋3sin θ)＝4＋4sin(θ＋π6). 当θ＝π3，即A (1，32)时，△F AB 的周长最大. 所以△F AB 的面积为S ＝12×2×3＝3. 14.三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14解析如图，设S △ABD ＝S 1，S △P AB ＝S 2，E 到平面ABD 的距离为h 1，C 到平面P AB 的距离为h 2，则S 2＝2S 1，h 2＝2h 1，V 1＝13S 1h 1，V 2＝13S 2h 2，所以V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝14. 15.已知函数f (x )＝2x －a ，g (x )＝x e x ，若对任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[－1，1]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为________.答案 [2－e ，1e] 解析 f (x )＝2x －a 为增函数，∵x 1∈[0，1]，∴f (x 1)的范围是[－a ，2－a ]，易知g (x )也为增函数，当x 2∈[－1，1]时，g (x 2)的范围是[－1e，e]，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－1e ，2－a ≤e.∴2－e ≤a ≤1e . 16.若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是a n ＝(－1)n ＋2 016a ，b n ＝2＋(－1)n＋2 017n ，且a n <b n ，对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 [－2，32) 解析由题意，当n 为偶数时，a <2－1n恒成立，可得a <32；当n 为奇数时，－a <2＋1n恒成立，可得a ≥－2，故－2≤a ＜32. 17.设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 [5，＋∞)解析由于T k ＋1＝C k 6⎝⎛⎭⎫12k x 12－3k ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3， f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5.18.设M ，N 分别是曲线f (x )＝－x 3＋x 2(x <e)与g (x )＝a ln x (x ≥e)上一点，△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________.答案 (0，2e －2e －1] 解析 ∵△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点恰好在y 轴上，∴M ，N 两点的横坐标互为相反数，设M (－t ，t 3＋t 2)，N (t ，a ln t )(t ≥e)，由题意知OM →·ON →＝0，有－t 2＋(t 2＋t 3)·a ln t ＝0，整理得1a ＝(t ＋1)ln t (t ≥e)，令h (x )＝(x ＋1)ln x (x ≥e)，则h ′(x )＝ln x ＋1＋1x＞0， ∴h (x )在[e ，＋∞)上是增函数，∴h (t )≥h (e)＝e ＋12， ∴1a ≥e ＋12，解得0＜a ≤2e －2e －1.。

高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题5 数列、推理与证明第22练含答案

2
×(－2)＝6.
4.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前 n 项
和等于________.
答案 2n－1
解析由等比数列的性质知 a2a3＝a1a4，又 a2a3＝8，a1＋a4＝9， ∴联立方程Error!
解得Error!或Error!
取得最小值
3
，
32 ∴数列{bn}中的最小的项为 3 .
点评等差(比)数列基本运算的关注点
(1)基本量：在等差(比)数列中，首项 a1 和公差 d(公比 q)是两个基本的元素. (2)解题思路：①设基本量 a1 和公差 d(公比 q)； ②列、解方程(组)：把条件转化为关于 a1 和 d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量.
第 22 练基本量法——破解等差、等比数列的法宝
[题型分析·高考展望] 等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数列的常用性质.
解 (1)∵a3＝a1＋2d，S3＝3a1＋ 2 d＝3a1＋3d，
∴Error!⇒Error!
∴an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2.
ann＋6 3n2＋20n＋12
(2)bn＝an＋1－5＝
3n
4 20
4 20 32
＝n＋＋ ≥2 n· ＋＝ .
n3
n3 3
4
32
当且仅当
n＝，即 n
n＝2
时，bn
1 即 3q2－4q＋1＝0，∴q＝1(舍)或 q＝ .

掌握高考数学数列与不等式证明五种策略.doc

掌握高考数学数列与不等式证明五种策略专题五数列与不等式证明问题
2018年高考数学数列合不等式常作为压轴题出现，而且相对来讲，难度较大，所以在高考数学一轮复习过程中，首先要掌握五种证明方法，在高考中常用的五种证明的方法如下：
l主干知识互联，提纲挈领
与数列有关的不等式的证明常用方法：
（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；
当然在使用比较法的时候要掌握一下的处理技巧
利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化
（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；
（3）数学归纳法；
（4）放缩法
应用放缩法证明不等式的关键．其一，选择适当的放缩因子（即放缩的对象），其二，放大或缩小的幅度，这时幅度要合适，且力求计算量不要太大．
（5）函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值
等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．
（1）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，利用函数的单调性、极值证明不等式，注意数列中相关限制条件的转化；
（2）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；
（3）证明零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性．
l重点难点突破，抓住核心。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣2

回扣2 函数与导数1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③在实际问题中应使实际问题有意义. (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ； ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b24a ，＋∞，a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}.2.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期.②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期.③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期.(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称. ③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.4.函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质. ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数.②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性.5.函数图象的基本变换 (1)平移变换：y ＝f (x )――――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换：y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x ). (3)对称变换： y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x ).6.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过(0，1)点； y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1，0)点.(2)单调性：当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减. 7.函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0，0)为f (x )的图象与x 轴的交点.(2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：即解方程f (x )＝0.②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点. ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解. 8.导数的几何意义(1)f ′(x 0)的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).(2)切点的两大特征：①在曲线y ＝f (x )上；②在切线上. 9.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f (x )的定义域；②求导函数f ′(x )；③由f ′(x )>0的解集确定函数f (x )的单调增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0 (x ∈M )恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集；③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，则I 是其单调区间的子集.10.利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f ′(x )＝0；③判断f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0两侧的符号变化：若左正右负，则x 0为极大值点；若左负右正，则x 0为极小值点；若不变号，则x 0不是极值点.(2)求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②比较函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.11.定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质： ①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x ；②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .③⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b ).(2)微积分基本定理：一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.2.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件.6.易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.7.已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )>0(＜0)的解集为(a ，b ).8.f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点.一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.1.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f (f (1))等于( )A.－10B.10C.－2D.2 答案 C解析由f (f (1))＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2，故选C.2.若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.[1，32)C.[1，2)D.[32，2)答案 B解析因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝2x －12x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得，⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32，故选B.3.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.(94，3)B.[94，3) C.(1，3) D.(2，3) 答案 D解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3且由f (7)<f (8)得，7(3－a )－3<a 2，解得a <－9或a >2，所以实数a 的取值范围是(2，3)，故选D.4.设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，且⎣⎡⎦⎤－π，－π2是函数F (x )的一个单调递增区间.将函数F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π，－π2 B.⎣⎡⎦⎤－π2，0 C.⎣⎡⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D解析 ∵F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，∴F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )，∴F (x )为偶函数，∴⎣⎡⎦⎤π2，π为函数F (x )的一个单调递减区间.将F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π2，2π.5.已知函数f (x )为偶函数，将f (x )的图象向右平移一个单位后得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)等于( ) A.1 B.0 C.－1 003 D.1 003 答案 B解析由条件知f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，在f (x ＋2)＝－f (x )中令x ＝－1，可得f (1)＝0，再令x ＝1可得f (3)＝－f (1)＝0，令x ＝2可得f (4)＝－f (2)＝1，因此f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0，故选B.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2 017)的值是( ) A.2 B.0 C.－1 D.－2 答案 D解析由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以T ＝4的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2，故选D.7.a 、b 、c 依次表示函数f (x )＝2x ＋x －2，g (x )＝3x ＋x －2，h (x )＝ln x ＋x －2的零点，则a 、b 、c 的大小顺序为( )A.c <b <aB.a <b <cC.a <c <bD.b <a <c 答案 D解析 a 、b 、c 为直线y ＝2－x 分别与曲线y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝ln x 的交点横坐标，从图象可知b <a <c ，故选D.8.设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b 答案 D解析易知log 23>1，log 32，log 52∈(0，1).在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图象，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式得log 32>log 52，即a ＞b .9.若函数f (x )定义域为[－2，2]，则函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为________. 答案 (－1，1]解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，x ＋1>0，∴－1<x ≤1，即函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为(－1，1].10.设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x ，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m的取值范围是__________. 答案 (－∞，e 2＋1e]解析令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln xx ＝0，∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln xx(x >0)，设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln xx ，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ，f 2(x )＝ln xx ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2，发现函数f 1(x )，f 2(x )在x ∈(0，e)上都是单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上都是单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln xx 在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max＝e 2＋1e ，∴函数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e.11.设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈[0，12]时f (x )＝－x 2，则f (3)＋f (－32)的值等于________.答案－14解析由于y ＝f (x )为奇函数，根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，可得f (－t )＝f (1＋t )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0， f (－32)＝f (12)＝－14，∴f (3)＋f (－32)＝－14.12.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________. 答案－7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.13.已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数).(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t的取值范围.解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.(2)存在x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1e x，∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0，1]上单调递减， ∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1；②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0，1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0；③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若t ∈(t ，1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max{1，3－t e}.(*)由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0，1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ， ∴不等式(*)无解.综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣4 Word版含答案

回扣4数列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n }的常用性质(2)判断等差数列的常用方法 ①定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数) (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.②通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ③中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)判断等比数列的三种常用方法①定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.②通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列. ③中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.(2)形如{a n·b n}(其中{a n}为等差数列，{b n}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.(3)通项公式形如a n＝c(an＋b1)(an＋b2)(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如a n＝(－1)n·n或a n＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n＝a n＋b n形式的数列求和问题的方法，其中{a n}与{b n}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n.1.已知数列的前n项和求a n，易忽视n＝1的情形，直接用S n－S n－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1.2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±ab.3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝n＋12n＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如1n(n＋2)≠1n－1n＋2，而是1n(n＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n－1n＋2.8.通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成分n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n－4(n∈N*)，则a n等于()A.2n＋1B.2nC.2n－1D.2n－2答案A解析a n＋1＝S n＋1－S n＝2a n＋1－4－(2a n－4)⇒a n＋1＝2a n，再令n＝1，∴S1＝2a1－4⇒a1＝4，∴数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝4·2n－1＝2n＋1，故选A.2.已知数列{a n}满足a n＋2＝a n＋1－a n，且a1＝2，a2＝3，S n为数列{a n}的前n项和，则S2016的值为()A.0B.2C.5D.6 答案A解析由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2016＝6·336，∴S 2016＝336S 6＝0，故选A. 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝14－a 6，则S 10等于() A.35B.70C.28D.14 答案B解析a 5＝14－a 6⇒a 5＋a 6＝14， S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6)2＝70.故选B.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则使S n ＋63a n 取得最小值时n 的值为()A.7B.7或8C.172D.8答案D解析a 2＝4，S 10＝110⇒a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110⇒a 1＝2，d ＝2，因此S n ＋63a n ＝2n ＋n (n －1)＋632n ＝n 2＋632n ＋12，又n ∈N *，所以当n ＝8时，S n ＋63a n 取得最小值. 5.等比数列{a n }中，a 3a 5＝64，则a 4等于() A.8B.－8C.8或－8D.16 答案C解析由等比数列的性质知，a 3a 5＝a 24，所以a 24＝64，所以a 4＝8或a 4＝－8.6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n 等于()A.4n －1B.4n －1C.2n －1D.2n －1答案D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2×(1－12n )1－122×(12)n －1＝2n－1.故选D. 7.设函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是()A.2936B.3144C.3655D.4366 答案C解析由题意得函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，即ax a －1＋a ＝2x ＋2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2＋2x ，1f (n )＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2).则S 9＝12(1＋12－110－111)＝3655，故选C.8.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为()A.4B.3C.23－2D.92答案A解析据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4.9.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于________. 答案4解析由等比数列的性质有a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5，所以T 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1a 2…a 8)＝lg(a 4a 5)4＝lg(10)4＝4.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n 且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________. 答案n 2－n ＋2 解析a n ＋1＝a n ＋2n ，∴a n ＋1－a n ＝2n ，采用累加法可得∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1，＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋2＝n 2－n ＋2.11.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________. 答案2×3n －1－1解析设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)， ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1， ∴a n ＝2×3n －1－1.12.数列113，219，3127，4181，51243，…的前n 项之和等于________________.答案n (n ＋1)2＋12[1－(13)n ]解析由数列各项可知通项公式为a n ＝n ＋13n ，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n 项和为S n ＝n (n ＋1)2＋12[1－(13)n ].13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，且λ≠－1)，且a 1，2a 2，a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和. 解(1)方法一∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，以λ＋1为公比的等比数列，∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 方法二∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1. ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴a n ＋1＝S n ＋1 (n ∈N *)， ∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2， ∴数列{a n }为以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)设数列{a n b n }的前n 项和为T n ， a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1.①∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n .②①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n .整理得T n ＝(3n －5)·2n ＋5.14.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2 (n ∈N *)，(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若λ≤T n 对于任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.(1)证明∵S n ＝a n (a n ＋1)2 (n ∈N *)，①∴S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2).②①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)， ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解由(1)得S n ＝n 2＋n2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴T n ＝2[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1，∵T n ＝21＋1n ，∴T n 单调递增，∴T n ≥T 1＝1，∴λ≤1.故λ的取值范围为(－∞，1].。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题1 集合与常用逻辑用语二第1练

第1练小集合，大功能[题型分析·高考展望]集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高，在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用.同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用.体验高考1.(2015·重庆)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A答案D解析由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1∉B，故A，B，C均错，D是正确的，选D.2.(2015·福建)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅答案C解析集合A＝{i，－1，1，－i}，B＝{1，－1}，A∩B＝{1，－1}，故选C.3.(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于()A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)答案C解析A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.4.(2015·四川)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B等于()A.{x|－1＜x＜3}B.{x|－1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}答案A解析∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}.5.(2016·北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B等于()A.{0，1}B.{0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－1，0，1，2}答案C解析由A＝{x|－2＜x＜2}，得A∩B＝{－1，0，1}.高考必会题型题型一单独命题独立考查常用的运算性质及重要结论：(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.例1(1)(2015·广东)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N等于()A.∅B.{－1，－4}C.{0}D.{1，4}(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.答案(1)A(2)4解析(1)因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M∩N＝∅，故选A.(2)由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝(－∞，a)，由A⊆B，如图所示，则a＞4，即c＝4.点评(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述.(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn图或列举实例.变式训练1(1)(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q等于()A.[0，1)B.(0，2]C.(1，2)D.[1，2] 答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}， ∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0≤ax ＋1≤3}，若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围.解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，又∵B ＝{x |0≤ax ＋1≤3}＝{x |－1≤ax ≤2}， ∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .①当a ＝0时，B ＝R ，满足题意. ②当a ＞0时，B ＝{x |－1a ≤x ≤2a }，∵A ⊆B ，∴2a ≥2，解得0＜a ≤1.③当a ＜0时，B ＝{x |2a ≤x ≤－1a }，∵A ⊆B ，∴－1a ≥2，解得－12≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 题型二集合与其他知识的综合考查集合常与不等式、向量、数列、解析几何等知识综合考查. 集合运算的常用方法：(1)若已知集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知集合是抽象集合，用Venn 图求解.例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( ) A.1<r <R <3 B.1<r <3≤R C.r ≤1<R <3 D.1<r <3<R答案 A解析 ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，又∵OQ →＝2(a ＋b )， ∴|OQ →|2＝2(a ＋b )2＝2(a 2＋b 2＋2a ·b )＝4，∴点Q 在以原点为圆心，半径为2的圆上.又OP →＝a cos θ＋b sin θ，∴|OP →|2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴曲线C 为单位圆.又∵Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，如图，可知1<r <R <3，其中图中两段分离的曲线是指»AB 与»CD.故选A. 点评以集合为载体的问题，一定要弄清集合中的元素是什么，范围如何.对于点集，一般利用数形结合，画出图形，更便于直观形象地展示集合之间的关系，使复杂问题简单化. 变式训练2 函数f (x )＝x 2＋2x ，集合A ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，B ＝{(x ，y )|f (x )≤f (y )}，则由A ∩B 的元素构成的图形的面积是________. 答案 2π解析集合A ＝{(x ，y )|x 2＋2x ＋y 2＋2y ≤2}，可得(x ＋1)2＋(y ＋1)2≤4，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋2x ≤y 2＋2y }，可得(x －y )·(x ＋y ＋2)≤0.在平面直角坐标系上画出A ，B 表示的图形可知A ∩B 的元素构成的图形的面积为2π. 题型三与集合有关的创新题与集合有关的创新题目，主要以新定义的形式呈现，考查对集合含义的深层次理解，在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等.例3 设S 为复数集C 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集.下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ①②解析 ①正确，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②正确，当x ＝y 时，0∈S ；③错误，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S＝{0}⊆T，T＝{0，1}，显然T不是封闭集，因此，真命题为①②.点评解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.变式训练3在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0，1，2，3，4}.给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”.其中，正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析对于①：2 016＝5×403＋1，∴2 016∈[1]，故①正确；对于②：－3＝5×(－1)＋2，∴－3∈[2]，故②不正确；对于③：∵整数集Z被5除，所得余数共分为五类.∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；对于④：若整数a，b属于同一类，则a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，∴a－b＝5n1＋k－(5n2＋k)＝5(n1－n2)＝5n，∴a－b∈[0]，若a－b＝[0]，则a－b＝5n，即a＝b＋5n，故a与b被5除的余数为同一个数，∴a与b属于同一类，∴“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确，∴正确结论的个数是3.高考题型精练1.(2015·天津)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁U B)等于()A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}答案A解析由题意知，∁U B ＝{2，5，8}，则A ∩(∁U B )＝{2，5}，选A. 2.(2015·陕西)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N 等于( ) A.[0，1] B.(0，1] C.[0，1) D.(－∞，1]答案 A解析由题意得M ＝{0，1}，N ＝(0，1]，故M ∪N ＝[0，1]，故选A.3.(2016·四川)集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则A ∩Z 中元素的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C解析由题意，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，故其中的元素个数为5，选C.4.设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的区间是( )A.[0，1]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1]∪[2，＋∞) 答案 C解析因为A ＝{x |0≤x ≤2}＝[0，2]，B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1，1]，所以A ∪B ＝[－1，2]，所以∁R (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).5.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪(∁R B )等于( ) A.[－1，0] B.[1，2]C.[0，1]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 D解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}，∴∁R B ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，∴A ∪(∁R B )＝(－∞，1]∪[2，＋∞).6.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{－1，0，12，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.31 答案 B解析具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{12，2}，{－1，12，2}.7.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x2－y，若关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( ) A.－2≤a ≤2 B.－1≤a ≤1 C.－2≤a ≤1 D.1≤a ≤2答案 C解析因为(x －a )⊗(x ＋1－a )>0，所以x －a1＋a －x >0，即a <x <a ＋1，则a ≥－2且a ＋1≤2，即－2≤a ≤1.8.已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016＜0}，B ＝{x |log 2x ＜m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是( )A.0B.1C.11D.12 答案 C解析由x 2－2 017x ＋2 016＜0，解得1＜x ＜2 016，故A ＝{x |1＜x ＜2 016}.由log 2x ＜m ，解得0＜x ＜2m ，故B ＝{x |0＜x ＜2m }.由A ⊆B ，可得2m ≥2 016，因为210＝1 024，211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.9.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i 两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A.{1，3，4}为“权集”B.{1，2，3，6}为“权集”C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1 答案 B解析由于3×4与43均不属于数集{1，3，4}，故A 不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1，2，3，6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a ja i 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C ，D 错误.10.已知a ，b 均为实数，设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋45}，B ＝{x |b －13≤x ≤b }，且A ，B 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集.如果把n －m 叫做集合{x |m ≤x ≤n }的“长度”，那么集合A ∩B 的“长度”的最小值是________. 答案215解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋45≤1，∴0≤a ≤15，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －13≥0，b ≤1，∴13≤b ≤1，利用数轴分类讨论可得集合A ∩B 的“长度”的最小值为13－15＝215. 11.设集合S n ＝{1，2，3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0).若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集，则S 4的所有奇子集的容量之和为________. 答案 7解析 ∵S 4＝{1，2，3，4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}.其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1，3}，其容量分别为1，3，3， ∴S 4的所有奇子集的容量之和为7.12.已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }. (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围.解 (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，则A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}. (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2].(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞).。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣9

回扣9 概率与统计1.牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式 P (A )＝事件A 包含的基本事件数m 基本事件总数n ；②互斥事件的概率计算公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③对立事件的概率计算公式 P (A )＝1－P (A )； ④几何概型的概率计算公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量. (3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数. ③平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…x n ).④方差与标准差方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质Ⅰ.p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；Ⅱ.p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②均值公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . ③均值的性质Ⅰ.E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； Ⅲ.若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差D X . ⑤方差的性质Ⅰ.D (aX ＋b )＝a 2D (X )；Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )； Ⅲ.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ). ⑥独立事件同时发生的概率计算公式 P (AB )＝P (A )P (B ).⑦独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k . ⑧条件概率公式 P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2.活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率. ②各小长方形的面积之和等于1.③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y ). (3)利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.(4)如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ2)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.1.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.2.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.4.要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生.(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB ).5.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.1.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法答案 D解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.2.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率是( ) A.13 B.14 C.16 D.112 答案 C解析投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，记作(m ，n )，共有6×6＝36(种)结果.(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，应满足m ＝n ，有6种情况，所以所求概率为636＝16，故选C.3.一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( ) A.35 B.310 C.12 D.625 答案 B解析设3个白球分别为a 1，a 2，a 3，2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种.其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元答案 B解析由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4， ∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).5.设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)( )A.6 038B.6 587C.7 028D.7 539 答案 B解析由题意知，P (0<X ≤1)＝1－12×0.682 6＝0.658 7，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.658 7＝6 587.故选B.6.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 答案 C解析由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 7.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为( )A.0B.3C.6D.9 答案 A解析设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，x <1，所以x ＝0.故选A.8.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－13x ＋2上，则这组样本数据的样本的相关系数为( )A.－1B.0C.－13 D.1答案 A解析数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－13x ＋2上，说明这组数据点完全负相关，其相关系数为－1，故选A.9.在区间[1，5]和[2，4]内分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________. 答案1532解析当方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，a 2<4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b . 又a ∈[1，5]，b ∈[2，4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故P ＝S 阴影2×4＝1532.10.将某班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________. 答案 13解析系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13. 11.某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a ，28，b ，52号学生在样本中，则a ＋b ＝________. 答案 56解析 ∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12， ∵编号为4，a ，28，b ，52号学生在样本中， ∴a ＝16，b ＝40， ∴a ＋b ＝56.12.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”. 其中属于互斥事件的是________.(把你认为正确的事件的序号都填上). 答案 ①③④解析 ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件.13.国内某知名大学有男生14 000人，女生10 000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3])男生平均每天运动的时间分布情况：女生平均每天运动的时间分布情况：(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1)；(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d参考数据：解(1)由分层抽样得：男生抽取的人数为120×14 00014 000＋10 000＝70，女生抽取的人数为120－70＝50，故x＝5，y＝2，则该校男生平均每天运动的时间为0.25×2＋0.75×12＋1.25×23＋1.75×18＋2.25×10＋2.75×570≈1.5.故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时.(2)①样本中“运动达人”所占比例是20120＝16，故估计该校“运动达人”有16×(14 000＋10 000)＝4 000(人). ②由表格可知：故K 2的观测值k ＝120×(15×45－5×55)220×100×50×70＝9635≈2.743<3.841，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 14.某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，求X 的分布列和均值. 解 (1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A 1、B 1，设事件E 表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，则P (E )＝P (A 1·B 1)＝0.6×0.6＝0.36.即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.4×0.5＝0.2， P (B )＝0.6×0.5＝0.3， P (C )＝0.4×0.5＝0.2，经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，则X 可能取0，1，2，3. P (X ＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，P (X ＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416， P (X ＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012， P (X ＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124. X 的分布列为均值为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.7.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第22练基本量法——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望] 等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质.体验高考1.(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D解析由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.3.(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝______. 答案 6解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.4.(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________. 答案 2n －1解析由等比数列的性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，∴联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.5.(2016·课标全国乙)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为__________. 答案 64解析设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)211749(7)()22241122⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n n n 当n ＝3或4时，12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494取到最小值－6，此时21749()22412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭n 取到最大值26，∴a 1a 2…a n 的最大值为64.高考必会题型题型一等差、等比数列的基本运算例1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝11，S 3＝24. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n (n ＋6)a n ＋1－5，求数列{b n }中的最小的项.解 (1)∵a 3＝a 1＋2d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝11，3a 1＋3d ＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2. (2)b n ＝a n (n ＋6)a n ＋1－5＝3n 2＋20n ＋123n＝n ＋4n ＋203≥2n ·4n ＋203＝323. 当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时，b n 取得最小值323，∴数列{b n }中的最小的项为323. 点评等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本的元素. (2)解题思路：①设基本量a 1和公差d (公比q )；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量.变式训练1 (1)等比数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________.(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 (1)13(2)B解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则当q ＝1时， S 1＝a 1，2S 2＝4a 1，3S 3＝9a 1，S 1，2S 2，3S 3不成等差数列；当q ≠1时，∵S 1，2S 2，3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4×a 1(1－q 2)1－q＝a 1＋3×a 1(1－q 3)1－q，即3q 2－4q ＋1＝0，∴q ＝1(舍)或q ＝13.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 题型二等差数列、等比数列的性质及应用例2 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝______. (2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________.答案 (1)10 (2)28解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得S 6＝a 1(1－36)1－3，S 3＝a 1(1－33)1－3，所以S 6S 3＝a 1(1－36)1－3·1－3a 1(1－33)＝28.点评等差(比)数列的性质盘点变式训练2 (1){a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( ) A.11 B.17 C.19 D.21(2)在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015等于( )A.3或－1B.9或1C.1D.9 答案 (1)C (2)D解析 (1)∵S n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10， ∴a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0， S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值. (2)设数列{a n }的公比为q (q >0)，依题意，a 3＝3a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，整理得：q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍)，∴a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015＝a 2 014·q 2－a 2 015·q 2a 2 014－a 2 015＝q 2＝9. 题型三等差、等比数列的综合应用例3 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .解 (1)∵3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0，∴3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0，即3q 2－10q ＋3＝0， ∵公比q >1，∴q ＝3.又∵首项a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n . (2)∵{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n ＋13a n ＝1＋2(n －1)，即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1.前n 项和S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 2.点评 (1)对数列{a n }，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定a n 、S n .(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法. 变式训练3 (2015·北京)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…). (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2，得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等.高考题型精练1.设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和.若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1等于( ) A.2 B.－2 C.12 D.－12答案 D解析因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6).解得a 1＝－12.2.已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6<S 7，且S 7>S 8，则( ) A.在数列{a n }中a 7最大 B.在数列{a n }中，a 3或a 4最大C.前三项之和S 3必与前10项之和S 10相等D.当n ≥8时，a n <0 答案 D解析由于S 6<S 7，S 7>S 8，所以S 7－S 6＝a 7>0，S 8－S 7＝a 8<0，所以数列{a n }是递减的等差数列，最大项为a 1，所以A ，B 均错，D 正确.S 10－S 3＝a 4＋a 5＋…＋a 10＝7a 7>0，故C 错误.3.已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A.－110 B.－90 C.90 D.110 答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12， a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项， ∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d <0；②S 11>0；③使S n >0的最大n 值为12；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|，其中正确命题的个数是( )A.5B.4C.3D.1 答案 B解析 ∵S 6>S 7>S 5，∴a 7<0，a 6>0，a 6＋a 7>0，因此|a 6|>|a 7|；d ＝a 7－a 6<0； S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，而S 13＝13a 7<0，因此满足S n >0的最大n 值为12；由于a 7<0，a 6>0，数列{S n }中的最大项为S 6， ∴④错，①②③⑤正确，故选B.5.在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A.125B.126C.127D.128 答案 C解析设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，且a 1＝1，由－a 3，a 2，a 4成等差数列，得2a 2＝a 4－a 3，即2a 1q ＝a 1q 3－a 1q 2. 因为q >0，所以q 2－q －2＝0. 解得q ＝－1(舍)或q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1·(1－27)1－2＝127.6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案 D解析由等差数列的前n 项和及等差中项，可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1 (n ∈N *)，故当n ＝1，2，3，5，11时，a nb n 为整数.即正整数n 的个数是5.7.(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 答案 20解析设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.8.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________. 答案 20解析等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋6d ＝105，3a 1＋9d ＝99，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝35，a 1＋3d ＝33， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝39，d ＝－2.∴S n ＝39n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，当n ＝20时，S n 取得最大值.9.公差不为0的等差数列{a n }的部分项123,,,k k k a a a …构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________. 答案 22解析根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒4k a ＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.10.若数列{a n }对任意的正整数n 和m 等式a 2n ＋m ＝a n ×a n ＋2m 都成立，则称数列{a n }为m 阶梯等比数列.若{a n }是3阶梯等比数列有a 1＝1，a 4＝2，则a 10＝________. 答案 8解析由题意有，当{a n }是3阶梯等比数列，a 2n ＋3＝a n a n ＋6，a 24＝a 1a 7，所以a 7＝4，由a 27＝a 4a 10，有a 10＝a 27a 4＝8.11.(2016·北京)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2 ＝2n －1(n ＝1，2，3，…). (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . ∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×(1－3n )1－3＝2×(n ＋1)n 2－n ＋3n －12＝n 2＋3n －12.即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n －12. 12.在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差是d ，∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6， ∴d ＝－3.∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1， ∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1) ＝n (3n －1)2＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)，故当q ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n2；当q ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－q n1－q.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第22练

2021全国甲卷理科数学解析

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣10含答案

高考数学总复习第五章数列、推理与证明第7讲直接证明与间接证明课件文

四川新高考考前三个月数学理二轮专题复习4.3推理与证明(含答案详析)

考前三个月高考数学(全国甲卷通用,理科)知识·方法篇 专题5 数列、推理与证明专题5 第25练

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 考前回扣 回扣1

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第24练

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣3

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 考前回扣 回扣8

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第23练 含答案 精品

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语二 第2练

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)技巧规范篇 第一篇 第2讲 四种策略搞定填空题

高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第22练 含答案