坐标系与参数方程全国高考新课程卷试题分析与启示

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高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)

高考数学-坐标系与参数方程（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标．【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0．联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0，所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0，化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)，对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α．【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-，设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍）所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值．【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决；（2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=，则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=，所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值．【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程；（2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=，所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程；（2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=，即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入圆C直角坐标方程整理得250t -=，设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=，设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹；（2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①，直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②，设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②，因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简，得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简，得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程，（2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。

《参数方程与极坐标》高考改革后试题变化的思考分析

福建考试说明
能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，了解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。
全国考试大纲要求
能在极坐标系中给出简单图形的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。
所以习惯了按福建卷的考试要求进行教学的老师一定要改变观念，按照全国课标卷的考试要求进行教学，使我们的学生适应全国课标卷. 《坐标系与参数方程》重点考查两种坐标的关系与互化，普通方程与参数方程的关系与互化，简单图形的极坐标，直线、圆和椭圆的参数方程的应用。复习中，一要能够选择参数写出直线、圆与椭圆的参数方程并了解参数的意义，会用直线、圆与椭圆的参数方程解决简单的问题；二要能够在极坐标系中用极坐标表示点的位置及有关曲线的方程，能进行极坐标和直角坐标的互化；三要关注参数方程和极坐标方程在某些情景下解题的优越性，会解决在普通方程下不易解决的问题（池新回语）.
2015年考试大纲与考试说明比较
内容福建考试说明
了解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，了解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
全国考试大纲要求
理解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
国家
能在极坐标系中给出简单图形的方程。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学是许多考生最担心的一门科目，而其中的坐标系与参数方程更是让许多人感到头疼。

这两个知识点涉及到的内容较多，而且给学生设置的考查题目也相对难度较大。

本文将针对坐标系与参数方程在高考中的考查情况进行分析，帮助考生更好地应对这一部分的考试内容。

首先来看坐标系的考查情况。

在高考试卷中，坐标系通常涉及到直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系。

对于直角坐标系来说，考生需要掌握平面直角坐标系的性质、方程和应用，在平面几何、函数和方程中经常会涉及到直角坐标系。

极坐标系则会涉及到平面向量、极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的相互转化等知识点。

而空间直角坐标系则会涉及到空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系等内容。

在高考试题中，通常会通过图形、空间位置关系、距离等方式考查考生对坐标系的掌握程度。

除了坐标系，参数方程也是高考数学的一个重要考查点。

参数方程是描述曲线的一种常见方法，它通过引入参数来表示曲线上的点的位置，常见的参数方程有直角坐标系、极坐标系和参数方程的相互转化等内容。

在高考试卷中，参数方程通常会涉及到曲线的方程、参数方程的性质、参数的确定和解释等内容。

考生需要掌握参数方程和一般方程、参数曲线与一般曲线的关系，以及参数曲线的对称性、单调性和渐近线等知识点。

坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要考查部分，它们不仅涉及到数学知识本身的掌握，还需要考生具备一定的数学建模和解题能力。

在备考过程中，考生可以通过多做习题，加强对知识点的理解和掌握。

还可以通过查阅相关资料和听取老师的指导，来提升自己对这一部分知识点的掌握程度。

而对于教师和学校来说，也可以针对坐标系与参数方程这一部分的知识点进行针对性的讲解和练习安排，帮助学生更好地掌握这部分知识。

在日常教学中也可以加强对数学建模和解题能力的培养，提升学生的数学素养和解题能力。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程是高考中数学考试的重要内容之一，涉及到平面直角坐标系和参数
方程的相关知识。

在高考数学试卷中，通常会出现与坐标系与参数方程有关的多个选择题
和一道分析题。

考查坐标系的部分通常会涉及到直角坐标系的构建和使用。

学生需要掌握如何在平面
上建立直角坐标系，即确定x轴和y轴的位置和方向，并确定单位长度。

在使用直角坐标
系进行计算时，学生需要掌握如何表示点的坐标，以及如何计算两点之间的距离和斜率，
这些都是常见的考点。

考查参数方程的部分通常会涉及到曲线的参数方程表示和性质的讨论。

学生需要掌握
如何从直角坐标方程得到参数方程，以及如何从参数方程得到直角坐标方程。

在讨论曲线
的性质时，学生需要掌握如何确定曲线的对称性、单调性、极值点等重要性质。

考查坐标系与参数方程的部分还可能涉及到几何问题的求解。

给定一个曲线和一点，
要求确定曲线上到该点最近和最远的点，这就需要用到两点之间的距离的性质和参数方程
的表达方式。

在高考中，考查坐标系与参数方程的题目形式多样，有些是纯计算题，有些是分析和
证明题。

对于纯计算题，学生需要熟练掌握相关的计算技巧和公式的应用。

对于分析和证
明题，学生需要灵活运用相关知识，结合已有的条件和性质进行推导和分析。

在备考和解题过程中，学生可以通过多做一些相关的习题和真题，加深对相关概念和
方法的理解和掌握。

还可以通过参考相关的教材和辅导书籍，了解更多的例题和解题思路，提升解题的能力。

全国卷坐标系与参数方程高考试题分析与备考建议

试题分析——解析
18
跳出思维的习惯区
试题分析——解析
19
3.轨迹方程的求解
解析几何的问题都离不开曲线的方程，因此求曲线的轨迹方程是解析几何中的一个重要问题，选择在哪种坐标系下，用哪种方法得到哪种方程也是重要的考查方向，它真正考察了学生分析数学问题、解决数学问题的能力，我们要引起重视.而得到轨迹方程后，变量范围的给出也是一个难点.
非熟知曲线、直线
2019年 2018年
全国1卷
全国2卷全国3卷全国1卷全国2卷全国3卷
椭圆、直线
直线、圆三段圆弧折线、圆椭圆、直线直线、圆
第（1）小题
说明参数方程表示的曲线
参化直
求曲线与坐标轴两交点的距离
曲线参化直，直线极化直
求极径及直线的极坐标方程
求点的极坐标
圆极化直
参化直
求倾斜角取值范围
4
第（2）小题已知参数方程，求两条曲线公共点的
直角坐标求过交点及极点的的圆的极坐标方程求直线的极坐标方
程求曲线到直线距离
的最小值
求轨迹方程
求点的极坐标折线与圆有3个交
点，求斜率k 求直线的斜率求中点轨迹的参数
方程
2015年-2020年全国卷考点统计
年份
试卷
考查曲线
第（1）小题
求面积的最大值求交点的极径
两圆及其公共弦的三种方程，求圆中参数
的值求直线的斜率
求长度的最值及点的坐标
2015年
全国1卷全国2卷
直线、圆直线、圆
曲线、直线直化极
求直线与圆相交时两
点与圆心形成的三角形的面积
求曲线交点的直角坐

【高考解读】2017年高考全国卷(坐标系与参数方程)分析与启示

2017年高考全国卷（坐标系与参数方程）分析与启示一、特色解读2017年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变，命题延续了以往对主干知识的考查，以直线、椭圆参数方程为背景，求曲线的交点坐标和最值问题，注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期.近6年的全国课标卷在本专题考查的知识点如下：根据（2012—2017）的考查统计，可以看出，高考课标卷对《坐标系与参数方程》的考查主要体现在平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线（直线、圆、椭圆、抛物线）的参数方程及参数方程的简单应用，以极坐标、参数方程与普通方程的互化，直线与曲线位置关系为主要考查形式.知识：极坐标方程⇔普通方程⇔参数方程之间转化；方程椭圆表示出椭圆上的点（ϕϕsin ,cos b a ）；离（最值）等问题；抛物线表示出抛物线上的点（22,2pt pt ）； 2．能力（1）通过不同坐标系或不同形式的方程之间转换，考查运算求解能力.（2）某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，因些，极坐标的几何意义，参数方程的应用是高考命题的频点.3．思想方法（1）通过极坐标或参数方程解决直线、圆、椭圆等问题，考查数形结合思想.（2）解决问题时采用何种形式的方程比较方便，考查化归与转化思想.二、亮点扫描【例题一】（2016课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【解析】（Ⅰ）C 的极坐标方程为2+12cos 110ρρα+=.（Ⅱ）【解法一】直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈∈；联立圆C 的极坐标方程；由 2+12cos 110θαρρθ=⎧⎨+=⎩ 得2+12cos 110ρρα+=,22121212()4144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-.【解法二】直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的普通方程22(6)25x y ++=，得2+12cos 110t t α+=,22121212()4144cos 44AB t t t t t t α=-=+-=-.【解法三】直线l 的普通方程为tan y kx α==,由22(6)25y kx x y =⎧⎨++=⎩ 得22(1)12110k x x +++=, 222121212214411()4441AB k x x k x x x x k=+-=++-=-+. 知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用. 方法：求过原点的直线与曲线相交距离问题.（1）把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与曲线的极坐标方程联立，两个交点距离为2121212()4ρρρρρρ-=+-.（2）把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为2121212()4t t t t t t -=+-.（3）把直线与曲线全部化为普通方程，两个交点距离为22212121211()4k x x k x x x x +-=++-.【例题二】（2017全国课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）设点P 的极坐标为(,)ρθ，点M 的极坐标为1(,)ρθ，OP ρ= 14cos OM ρθ==，||||16OM OP ⋅=，1.16ρρ=，点P 的轨迹2C 的极坐标方4cos ρθ=，从而2C 的普通方程；22(2)4x y -+=（Ⅱ）点B 在曲线2C 上，点B 的极坐标为2(,)ρθ，24cos ρθ=，OAB ∆面积 213.sin 4cos sin()2sin(2)2332S OA AOB ππρααα=∠=-=--. 知识：极坐标方程化普通方程，轨迹问题，极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用. 方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理. 【例题三】（2017全国课标III ）在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)写出C 的普通方程；(Ⅱ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )20l ρθθ+-=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(Ⅰ)直线1l 的普通方程为(2)y k x =-，直线2l 的普通方程为1(2)y x k=+，由(2)1(x 2)y k x y k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去k 得224(0)x y y -=≠.(Ⅱ) 【解法一】直线3l 的普通方程为20x y +=，曲线C 的普通方程为224x y -=，两曲线的交点322()22M 求得M 的极径. 【解法二】直线3l 的参数方程为22222y y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C 的普通方程224x y -=，得1t =-，322(,)M -求得M 的极径. 【解法二】曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=（02,θπθπ<<≠）直线3l 的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ+-=，联立2222cos sin 4(cos sin )20ρθρθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，5ρ=. 知识：直线参数方程化为普通方程，轨迹问题，极坐标方程和参数方程的应用，方法：求直线与曲线的交点坐标问题.（1）把直线与曲线分别化为普通方程，联立求交点坐标.（2）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标.（3）把直线与曲线分别化为极坐标方程，求交点极坐标，获得极径，【例题四】（2017江苏高考）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 参数方程为22,22x s y s ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ，点P 到直线l 的的距离2222|2428|2(2)45(1)(2)s s s d -+-+==-+-，知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用.方法：抛物线的普通方程为22y px =，参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数），抛物线上的点可以设为2(2,2)P pt pt ，转化为数形结合思想.三、佳题欣赏【例题一】（2017年厦门市第二次检测）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x （t 为参数），其中πα<≤0.在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C ：θρcos 4=.直线l 与曲线1C 相切.（Ⅰ）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值；（Ⅱ）已知点)02(，Q ，直线l 与2C ：1322=+y x 交于B A ，两点，求ABQ ∆面积. 【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为0422=-+x y x ，将直线l 参数方程代入曲线得0)cos 2sin 32(2=-+t t αα，0∆=6πα=∴（Ⅱ）将直线l 的参数方程为31132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线得063852=++t t21221214)(t t t t t t AB -+=-=.考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相切，直线与曲线相交的距离.【例题二】（2017年福州市第一次检测）在平面直角坐标系xOy 中，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线[]214cos 30,02:,C ρρθθπ-+=∈，曲线[]23,0,24sin()6:C ρθππθ=∈-．（Ⅰ）求1C 的一个参数方程；（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点,求AB 值．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)1x y -+=，从而1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）（Ⅱ）【解法一】曲线2C 的普通方程为22330x y --= 因为直线2C ：22330x y --=与曲线1C ：22(2)1x y -+=相交于A 、B 两点，所以圆心到直线的距离为14d =，222AB r d =- . 【解法二】直线2C 过点3(,0)2，倾斜角为6π，曲线2C 的参数方程为332212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入1C ：22(2)1x y -+=，得242330t t --=， 2121212()4t t t t t AB t -==+-.考查知识：将圆的极坐标化为普通方程，再把圆的普通方程转化为参数方程，直线与圆的位置关系，由于直线2C 没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难.【例题三】（2017年三明市第二次检测）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线2cos()204πρθ--=，曲线C 极坐标2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数）1C .（Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值．【解析】（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为222y x =-. （Ⅱ）直线l 的普通方程20x y +-=，(2,0)P 在l 上，l 参数方程为22222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）代入曲线1C 方程得22240t t +-=,120,0t t ><，212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-.考查知识：把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意义.212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-四、复习启示1. 重视基础知识的复习①写出点的极坐标，与直角坐标的互化；②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程；③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误. 2. 重视化归与转化思想方法较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如：①极坐标ρ的几何意义；②直线标准参数t 的几何意义；③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识.3. 重视知识的交汇联系①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；②三角恒等变换（辅助角公式）等知识；以横向联系和纵向联系为主线，对模块内容加以整合，优化认知结构，构建良序的知识网络.教学反思：对于极坐标和参数方程的题目，关键在于画图，利用数形结合，采用三种不同的方法，某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理.。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学考试一直是许多学生心中的一块痛，“坐标系与参数方程”是数学学科中的重要内容之一，也是考试中经常出现的题型之一。

本文即将对“坐标系与参数方程”在高考中的考查情况进行分析，帮助同学们更全面地了解和掌握这一部分知识。

一、考查形式在高考数学试卷中，“坐标系与参数方程”的考查形式主要表现在选择题和计算题两个方面。

在选择题中，往往会出现与坐标系和参数方程相关的定义、性质、定理等知识点，要求考生通过对知识的理解和掌握来进行判断和选择。

在计算题中，一般会出现与坐标系和参数方程相关的计算或证明题目，要求考生通过对知识的应用能力来进行解答。

二、考查内容1. 坐标系：高考中对坐标系的考查主要集中在直角坐标系和极坐标系两个方面。

对于直角坐标系，考生需要掌握点的坐标、斜率和距离的计算、直线和曲线的方程等内容；对于极坐标系，考生需要了解点的极坐标、曲线的方程、曲线的性质等内容。

2. 参数方程：在高考中，参数方程的考查主要包括曲线的参数方程、参数方程与直角坐标系之间的转化、参数方程的应用等内容。

考生需要掌握参数方程的基本概念，能够将曲线的参数方程与直角坐标系方程互相转化，并能够应用参数方程解决实际问题。

三、考查特点1. 知识面广：与其它数学知识相比，坐标系与参数方程的考查涉及的知识点相对较广，需要考生全面掌握与坐标系和参数方程相关的概念、性质、定理等内容。

2. 灵活应用：坐标系与参数方程的考查不仅仅是对知识的死记硬背，更注重考生对知识的理解和运用能力。

很多题目需要考生根据实际情况进行参数的选择和方程的建立，考查考生的灵活运用能力。

3. 融合性强：坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要知识点，同时也与解析几何、微积分等内容有着密切的联系。

考查坐标系与参数方程的题目往往具有一定的综合性和难度。

四、备考建议针对“坐标系与参数方程”这一部分知识，在备考高考数学时，考生可以根据以下建议进行针对性的复习和练习：1. 理清基本概念：在复习坐标系与参数方程知识时，首先要理清坐标系的概念和性质，了解直角坐标系和极坐标系的区别与联系；并且要掌握参数方程的基本概念和常见的参数方程形式。

高考解读年高考全国卷坐标系与参数方程分析与启示

高考解读年高考全国卷（坐标系与参数方程)分析与启示————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2017年高考全国卷(坐标系与参数方程）分析与启示一、特色解读２0１７年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变,命题延续了以往对主干知识的考查,以直线、椭圆参数方程为背景,求曲线的交点坐标和最值问题,注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期．近6年的全国课标卷在本专题考查的知识点如下: 年份全国卷全国卷涉及知识点2017I直线参数方程化为普通方程;椭圆的参数方程;点到直线距离; II 圆极坐标方程；极坐标化为直角坐标；点到直线的距离;方程互化; ＩI Ｉ直线参数方程;直线的极坐标方程;双曲线直角坐标方程互化； 2016I直线极坐标方程；圆的参数方程、极坐标方程；方程互化； I Ｉ圆的极坐标方程；直线的参数方程；方程互化;极坐标几何意义; III 椭圆的参数方程；直线的极坐标方程;方程互化；参数的应用；２015I直线、圆的极坐标方程；方程互化；极坐标的几何意义;ＩＩ直线的参数方程;圆极坐标方程；方程互化；极坐标几何意义； 2014I直线的参数方程;椭圆的参数方程;方程互化;三角参数的应用；I Ｉ圆的极坐标方程；参数方程;方程互化;三角参数的应用; 2０13I圆的参数方程;极坐标方程；方程互化;I Ｉ圆的参数方程；轨迹的参数方程;三角参数的应用;2012I点的极坐标；椭圆参数方程;圆极坐标方程；坐标互化,参数应用；根据(20１2—2０１7）的考查统计,可以看出，高考课标卷对《坐标系与参数方程》的考查主要体现在平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线(直线、圆、椭圆、抛物线）的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化,直线与曲线位置关系为主要考查形式.知识:极坐标方程⇔普通方程⇔参数方程之间转化；意义考查方向极坐标极径ρ 到极点的距离ρ=PO ；所在直线过极点的两点间的距离; 极坐标极角θ 与极轴的旋转角θ=∠Pox ; 表示点的极坐标；参数方程参数直线到定点所成的数量t P P =0; 直线上两点的距离（和、积、中点）等；圆表示出圆上的点（θθsin ,cos r r );轨迹、交点个数、距方程椭圆表示出椭圆上的点（ϕϕsin ,cos b a ）; 离(最值)等问题;抛物线表示出抛物线上的点（22,2pt pt ）;2．能力(1)通过不同坐标系或不同形式的方程之间转换,考查运算求解能力.（2）某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，因些,极坐标的几何意义，参数方程的应用是高考命题的频点.３．思想方法(1）通过极坐标或参数方程解决直线、圆、椭圆等问题，考查数形结合思想. （2）解决问题时采用何种形式的方程比较方便，考查化归与转化思想. 二、亮点扫描【例题一】（201６课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点,||10AB =，求l 的斜率.【解析】(Ⅰ)C 的极坐标方程为2+12cos 110ρρα+=．(Ⅱ)【解法一】直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈∈；联立圆C 的极坐标方程;由2+12cos 110θαρρθ=⎧⎨+=⎩ 得2+12cos 110ρρα+=,22121212()4144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-.【解法二】直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)代入圆C 的普通方程22(6)25x y ++=, 得2+12cos 110t t α+=，22121212()4144cos 44AB t t t t t t α=-=+-=-．【解法三】直线l 的普通方程为tan y kx α==，由22(6)25y kx x y =⎧⎨++=⎩ 得22(1)12110k x x +++=， 222121212214411()4441AB k x x k x x x x k=+-=++-=-+. 知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用. 方法:求过原点的直线与曲线相交距离问题.（1)把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与曲线的极坐标方程联立,两个交点距离为2121212()4ρρρρρρ-=+-.（2)把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为2121212()4t t t t t t -=+-．(３）把直线与曲线全部化为普通方程,两个交点距离为22212121211()4k x x k x x x x +-=++-.【例题二】（2017全国课标Ⅱ)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.【解析】（Ⅰ)设点P 的极坐标为(,)ρθ,点M 的极坐标为1(,)ρθ，OP ρ=14cos OM ρθ==,||||16OM OP ⋅=,1.16ρρ=,点P 的轨迹2C 的极坐标方4cos ρθ=,从而2C 的普通方程；22(2)4x y -+=（Ⅱ)点B 在曲线2C 上，点B 的极坐标为2(,)ρθ,24cos ρθ=,OAB ∆面积213.sin 4cos sin()2sin(2)2332S OA AOB ππρααα=∠=-=--. 知识：极坐标方程化普通方程,轨迹问题,极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用. 方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程,极坐标极角，极经的几何意义,而不是一味的转化为普通方程问题处理．【例题三】(２０１7全国课标I ＩI)在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩(ｔ为参数),直线2l 的参数方为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)写出C 的普通方程;（Ⅱ）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3:(cos sin )20l ρθθ+-=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】（Ⅰ)直线1l 的普通方程为(2)y k x =-,直线2l 的普通方程为1(2)y x k=+,由(2)1(x 2)y k x y k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去k 得224(0)x y y -=≠.（Ⅱ) 【解法一】直线3l 的普通方程为20x y +-=，曲线C 的普通方程为224x y -=，两曲线的交点322(,)22M - 求得M 的极径. 【解法二】直线3l 的参数方程为22222y t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C 的普通方程224x y -=，得1t =-，322(,)22M - 求得M 的极径.【解法二】曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=（02,θπθπ<<≠)直线3l 的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ+-=，联立2222cos sin 4(cos sin )20ρθρθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，5ρ=.知识:直线参数方程化为普通方程,轨迹问题,极坐标方程和参数方程的应用，方法：求直线与曲线的交点坐标问题.（1）把直线与曲线分别化为普通方程,联立求交点坐标．(２）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标. （3)把直线与曲线分别化为极坐标方程,求交点极坐标,获得极径，【例题四】（2０1７江苏高考）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s为参数）.设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C 上,设2(2,22)P s s ，点P 到直线l 的的距离2222|2428|2(2)45(1)(2)s s s d -+-+==-+-,知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用．方法：抛物线的普通方程为22y px =，参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数），抛物线上的点可以设为2(2,2)P pt pt ,转化为数形结合思想.三、佳题欣赏【例题一】(201７年厦门市第二次检测)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x （t 为参数)，其中πα<≤0．在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线1C :θρcos 4=.直线l 与曲线1C 相切.(Ⅰ）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并求α的值;（Ⅱ)已知点)02(，Q ,直线l 与2C ：1322=+y x 交于B A ，两点，求ABQ ∆面积. 【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为0422=-+x y x ，将直线l 参数方程代入曲线得0)cos 2sin 32(2=-+t t αα,0∆=6πα=∴（Ⅱ）将直线l 的参数方程为312132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线得063852=++t t 21221214)(t t t t t t AB -+=-=．考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程,直线与圆相切,直线与曲线相交的距离. 【例题二】（20１7年福州市第一次检测)在平面直角坐标系xOy 中,在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线[]214cos 30,02:,C ρρθθπ-+=∈，曲线[]23,0,24sin()6:C ρθππθ=∈-.(Ⅰ）求1C 的一个参数方程;（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点,求AB 值．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)1x y -+=，从而1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)（Ⅱ)【解法一】曲线2C 的普通方程为22330x y --=因为直线2C :22330x y --=与曲线1C :22(2)1x y -+=相交于A 、B 两点，所以圆心到直线的距离为14d =，222AB r d =- . 【解法二】直线2C 过点3(,0)2,倾斜角为6π,曲线2C 的参数方程为332212x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入1C :22(2)1x y -+=，得242330t t --=，2121212()4t t t t t AB t -==+-.考查知识:将圆的极坐标化为普通方程,再把圆的普通方程转化为参数方程,直线与圆的位置关系，由于直线2C 没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难.【例题三】(201７年三明市第二次检测）在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，若直线的极坐标方程为2cos()204πρθ--=,曲线C 极坐标2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数)1C .(Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程;（Ⅱ)已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点,点(2,0)P ，求PA PB +的值.【解析】（Ⅰ)1C 的直角坐标方程为222y x =-．（Ⅱ）直线l 的普通方程20x y +-=,(2,0)P 在l 上，l 参数方程为22222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入曲线1C 方程得22240t t +-=,120,0t t ><,212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-．考查知识:把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意义.212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-.四、复习启示１. 重视基础知识的复习①写出点的极坐标,与直角坐标的互化；②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程;③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误. 2. 重视化归与转化思想方法较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如: ①极坐标ρ的几何意义;②直线标准参数t 的几何意义;③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识. 3. 重视知识的交汇联系①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；②三角恒等变换（辅助角公式)等知识；以横向联系和纵向联系为主线,对模块内容加以整合,优化认知结构,构建良序的知识网络.教学反思：对于极坐标和参数方程的题目,关键在于画图,利用数形结合,采用三种不同的方法，某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程,极坐标极角,极经的几何意义,而不是一味的转化为普通方程问题处理.。

近三年全国卷高考坐标系与参数方程试题分析

近三年全国卷高考坐标系与参数方程试题分析(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--近三年全国卷高考坐标系与参数方程试题分析一、考试大纲及考试说明解读：1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．二、近3年高考全国卷数列真题分析1.（2019全国1）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标与直角坐标互化，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力、转化与化归思想，体现了逻辑推理和数学运算等核心素养。

2.（2019全国2理）在极坐标系中，O 为极点，点M (M 0,M 0)(M 0>0)在曲线M :M =4MMM M 上，直线l 过点M (4,0)且与MM 垂直，垂足为P .（1）当M 0=M 3时，求M 0及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=本题考查极径与直线的极坐标方程的求解、动点轨迹的极坐标方程，考查运算求解能力，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。

3.（2019全国3理）如图，在极坐标系Ox 中，M (2,0)，M (√2,M 4)，M (√2,3M 4)，M (2,M )，弧MM ⏜，MM ⏜，MM ⏜所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,M 2)，(1,M )，曲线M 1是弧MM ⏜，曲线M 2是弧MM ⏜，曲线M 3是弧MM ⏜.（1）分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；（2）曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点M 在M 上，且|MM |=√3，求P 的极坐标.本题以极坐标系为背景，考查圆的极坐标方程和点的极坐标求法，考查运算求解能力、函数与方程思想、数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。

选修4-4坐标系与参数方程(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)

x = 4 cos2 ，
2．（2020
年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知曲线
C1，C2
的参数方程分别为
C1：
y
=
4
sin
2
（θ
为参数），C2：
x y
= =
t t
+ −
1, t 1
（t
为参数）.
t
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
（2）设 C 上点的坐标为： (cos , 2sin )
则C
上的点到直线 l
的距离
d
=
2 cos + 2
3 sin
+11
=
4
sin
+
6
+ 11
7
7
当 sin
+
6
=
−1 时，
d
取最小值
则 dmin = 7
5．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在极坐标系中，O 为极点，点 M (0 ,0 )(0 0) 在
C1
表示以坐标原点为圆心，半径为
1
的圆；（2）
(
1 4
,
1 4
)
.
x = cos t
【分析】（1）当
k
= 1 时，曲线 C1
的参数方程为
y
=
sin
t
(t
为参数），
两式平方相加得 x2 + y2 = 1 ，
所以曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析【摘要】在高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个重要的考查内容。

本文首先对坐标系和参数方程的基本概念进行了介绍，然后分析了高考中常见的考点，包括坐标系相关考点和参数方程相关考点。

接着探讨了如何结合坐标系与参数方程进行考查。

通过解析典型考题，帮助读者更好地理解这一知识点。

最后总结了解题技巧，并对“坐标系与参数方程”在高考中的考查进行了概括。

通过本文的学习，读者可以更好地掌握和应对这一重要的数学考查内容。

【关键词】引言、坐标系与参数方程、高考考查、坐标系、参数方程、结合考查、典型考题、解析、解题技巧、总结。

1. 引言1.1 坐标系与参数方程高考考查概述坐标系与参数方程是高中数学中的重要内容，也是高考中经常考查的知识点。

在考试中，考生需要熟练掌握坐标系的基本知识和参数方程的应用，才能更好地解答相关的题目。

在高考中，关于坐标系的考查主要涉及直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系等内容。

考生需要理解坐标系的概念及特点，能够进行坐标变换和图形的平移、旋转等操作。

参数方程的考查也往往与坐标系密切相关，考生需要掌握参数方程的表示方法和求解技巧，能够正确地进行参数方程的应用分析。

2. 正文2.1 坐标系相关考点分析在高考中，坐标系是数学中的一个基础知识点，也是解决几何问题的重要工具。

学生需要掌握直角坐标系、极坐标系以及球坐标系等各种坐标系的基本概念和性质。

在考试中，常见的坐标系相关考点包括：1. 直角坐标系：学生需要了解直角坐标系的定义、性质以及表示点的坐标等基本知识。

在解题过程中，要能够灵活运用直角坐标系解决几何问题。

坐标系是解决数学中各种几何问题的基础工具，学生需要熟练掌握各种坐标系的概念和性质，并能够灵活运用于解答问题。

在备考高考时，建议多做相关的练习题，加深对坐标系的理解和掌握。

2.2 参数方程相关考点分析参数方程是解决平面上曲线方程的一种方法，通过参数方程可以描述一条曲线上的任意一点的位置。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析坐标系与参数方程是数学中的重要概念，在高考中经常被考查。

本文将从简单介绍坐标系和参数方程的基本概念开始，然后分析高考中可能会涉及到的相关考题，并给出解题方法和思路。

一、坐标系的概念坐标系是指由直角坐标轴和原点组成的平面或空间上的一个几何结构。

一般来说，二维坐标系由x轴和y轴组成，原点为坐标系的起点，x轴和y轴互相垂直。

三维坐标系由x 轴、y轴和z轴组成，原点为坐标系的起点，x轴和y轴在平面上互相垂直，z轴与平面垂直。

二、参数方程的概念参数方程是一种用参数表示的的函数方程。

通常将一个二元函数的两个自变量分别用两个参数表示，并用参数方程将它们联系起来。

在空间曲线方程中，我们常常用参数方程来表示曲线上的各个点的坐标。

对于平面上的一条直线，我们可以通过两个参数t和s来表示各个点的坐标。

三、高考考点与命题思路1. 坐标系的性质和计算高考中，常常会考察学生对坐标系性质的理解和计算能力。

考生可能需要根据已知条件绘制坐标系，并计算平面上的点的坐标。

此类题目主要要求考生对坐标系的性质有清晰的认识，能够正确运用计算方法。

2. 转动曲线方程和参数方程之间的转换高考中，经常会涉及到参数方程和曲线方程之间的转换。

考生可能会被给出一个曲线方程，然后要求将其转化为参数方程，或者反过来。

此类题目要求考生对参数方程和曲线方程之间的关系有较深入的理解，并能够找到相应的转换方法。

四、解题方法与思路1. 掌握基本知识考生需要牢固掌握坐标系和参数方程的基本概念和性质。

只有对基本知识有清晰的认识，才能够灵活运用。

2. 熟练计算能力在解决与坐标系和参数方程有关的题目时，熟练的计算能力是必不可少的。

考生需熟悉坐标系的性质，能够准确计算各个点的坐标。

3. 深入理解思考在解答参数方程和曲线方程之间的转换题目时，考生需要深入理解参数方程和曲线方程之间的关系，找到相应的转换方法。

可以通过观察坐标的变化规律，或者利用变量之间的相关关系来解决。

高考试题分析坐标系与参数方程

2013—2017新课标云南高考数学试题分析（选修4——4坐标系与参数方程）位置和权重坐标系与参数方程通常位于高考试题的第23题，选考题的第二题，删去几何证明选讲后位于第22题，选考题的第一题。

分值10分，占全卷总分的6.7％。

在高考中有着至关重要的作用。

知识点1.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点o ,叫做极点,自极点o 引一条射线ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M 是平面内一点,极点ο与点M 的距离OM 叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标,记为()θρ,M . 2.极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标为),(θρ,则它们之间的关系为θρcos =x ，θρsin =y .另一种关系为222y x +=ρ，)0(tan ≠=x xyθ. 3.直线的极坐标方程若直线过点),(00θρM ,且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:).sin()sin(00αθραθρ-=-几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:0θθ=和0θπθ+=;(2)直线过点)0,(a M ,且垂直于极轴:a =θρcos ; (3)直线过)2,(πb M ,且平行于极轴:b =θρsin .4.圆的极坐标方程若圆心为),(00θρM ,半径为r ,则圆的方程为0)cos(2220002=-+--r ρθθρρρ几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)圆心位于极点,半径为r :r =ρ; (2)圆心位于)0,(a M ,半径为a :θρcos 2a =; (3)圆心位于)2,(πa M ,半径为a :θρsin 2a =.5.曲线的参数方程在平面直角坐标系xoy 中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值,上式所确定的点),(y x M 都在这条曲线上,则称上式为该曲线的参数方程,其中变量t 称为参数 .6.一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0,y 0),且倾斜角为α的直线的参数方程为 x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α (t 为参数).(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程为 x =a +r cos θ ,y =b +r sin θ (θ为参数).(3)椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的参数方程为 x =a cos θ ,y =b sin θ(θ为参数).(4)抛物线方程y 2=2px(p>0)的参数方程为 x =2pt 2 ,y =2pt(t 为参数).方法与技巧1．在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P ′(x ′，y ′)是变换图形后的点的坐标，P (x ，y )是变换前图形的点的坐标．注意从三角函数的图像变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆．2．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．3．如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可．高考试题分析（2013年全国课标卷二）．(本小题满分10分)选修4－4；坐标系与参数方程已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． (中点坐标公式）(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．（两点间的距离公式）当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．（2014年全国课标卷二）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【思路方法】 (1)直接根据参数方程与普通方程的互化求解；（2）两直线垂直的斜率运用。

映日荷花别样红——对全国高考数学坐标系与参数方程试题的分析

２２ｘ=2+t，（ t 为参数）. 已知曲线 C1：ｘ＋ｙ＝１，直线 l： 4 9 ｙ＝2-2t， 2014 年新课标Ⅰ卷（1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 | PA | 的最大值与最小值．
选修 4-4：坐标系与参数方程（满分 10 分）已知直线 C1：ｘ=1+tcos琢，ｘ=cosθ， ( t 为参数)，圆 C ： φ (θ 为参数)． φ ｙ＝tsin琢，ｙ＝sinθ，
2
2010 年 (1) 当琢= 仔时，求 C1 与 C2 的交点坐标；３课标全国卷 (2) 过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A， P 为 OA 的中点，当琢变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为ｘ=2cos琢， OP =2O OM ， P 点（琢为参数）， M 是 C 上的动点， P 点满足O φ ｙ＝2+2sin琢，
从 2010 年～2016 年的高考试题看出，每年这一考点的试题都是依纲靠本，紧贴每年的考试说明，其中的 (2) 行考查．（三）坐标系中出现的直线与圆（或椭圆，以下同），不论是参数方程，还是极坐标方程，方程的形态基本可以从课本找到原形，其初始状态对考生来说都简单熟悉，创设的情景较为美好，考生下手较易．如 2010 年课标全国卷中的直线 C1：数)； 2014年新课标Ⅰ卷中的直线l：ｘ=1+tcos琢， ( t 为参ｙ＝tsin琢 (3) (5) 是近年来的考查重点，所以，这一考点一直是对核心知识进

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个经常被考查的知识点。

这部分内容一般在高二下学期学习，主要是介绍平面直角坐标系的性质、参数方程的定义与应用等。

接下来，本文将对“坐标系与参数方程”这一知识点进行详细的考查分析。

一、知识点概要1.平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面点的一种方法，它由两个互相垂直的坐标轴组成。

我们通常称横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。

坐标系的原点是两个坐标轴的交点。

在平面直角坐标系中，除了原点之外的点，均可表示为一个有序数对(x，y)，称为点的坐标。

坐标系具有以下性质：1）两个点的距离公式：$\large\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$2）平行于x轴或y轴的直线称为坐标轴上的直线；直线不与坐标轴平行或垂直则称为斜直线。

对于一般方程$ax+by+c=0$的直线，称其为隐式方程，也可以转化为$y=kx+b$的斜截式方程。

反之，斜截式方程可转化为隐式方程。

坐标系中，平面内任意两点坐标已知，就可确定它们所在的直线，反之，也可以通过直线方程，求出相应的点的坐标。

3）圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。

4）图形的相似性：在坐标系中，若两个图形中点的相对位置关系保持不变，则称这两个图形相似。

相似性质可以用来求解坐标变换等问题。

2.参数方程参数方程是一类常见的函数定义方式，它将自变量x,y表示成另一个变量t的函数，形式为$x=x(t)$，$y=y(t)$。

参数方程在数学、物理等领域具有广泛的应用，在分析曲线和图形变换上尤其有用。

在参数方程中，当参数t的取值范围确定时，对于不同的t值，所对应点的坐标(x,y)也就明确了。

二、考查形式1.单选题高考中涉及坐标系与参数方程的单选题，在形式上比较多样化，主要分为以下几种：（1）考察基础定义如2018年全国卷II第23题，考查了$x=\frac{y+2}{y-2}$的定义域，此题需要学生掌握函数的定义，促使其灵活运用数学知识。

高考数学最新真题专题解析—坐标系与参数方程(全国通用)

高考数学最新真题专题解析—坐标系与参数方程（全国通用）考向一极坐标与参数方程【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为26t x y t +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为26s x y s +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【试题解析】【小问1详解】因为26t x +=，y t =226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y s +=-=-262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义. 【得分要点】(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；真题汇总及解析1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)tan (1)1y x α=⋅-+；22240x y y +--=(2)±1 【解析】【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解2cos α=tan α. (1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩()tan 11y x α⇒=⋅-+，2222sin 40240x y y ρρθ--=⇒+--=；(2)将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22240x y y +--=得22cos 40t t α+-=，12122cos 4t t t t α+=-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆内，故,A B 在点P 两侧，由题意知，122t t =-，因此122152t t t t +=-，即21212()12t t t t +=-，故2(2cos )142α-=--，解得2cos α=tan 1k α==± 因此斜率为±1． 2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C ，2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为2ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，2C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．【答案】(1)2cos 2sin=+，1C ，2C 相交21【解析】【分析】（1）先求解1C 的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解1C 的极坐标方程，再根据2C 的直角坐标方程，分析1C ，2C 圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；（2）根据1C ，2C 均过极点，联立极坐标方程，求解tan θ即可(1)由题意，1C 的标准方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，故1C 的极坐标方程为22cos 2sin =+ρρθρθ，即2cos 2sin=+，又，2C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即222x y x +=，(2222x y +=.因为()()22122110422C C -+-- 1C ，2C 半径相等，半径和为22124224222C C -=<1C ，2C 相交.故1C 的极坐标方程2cos 2sin=+，1C ，2C 相交.(2)由（1）1C ：2cos 2sin=+，2C ：22ρθ=均经过极点且相交，联立2cos 2sin 22ρθθρθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩有2cos 2sin 22θθθ+=，显然cos 0θ≠，故22tan 22θ+=tan 21θ，即经过曲线1C ，2C 213．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且42AB =，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =；当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α-；22280x y x +--= (2)π6或π2【解析】【分析】（1）因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），讨论π2α=和π2α≠时，消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=即可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，()2232cos 50t t αα++-=．因为0∆>，可设该方程的两个根为2,l t t ，所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-可求出直线l 的倾斜角.(1)因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =．当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-．因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=． (2)曲线C 的直角坐标方程为22280x y x +--=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得()2232cos 50t t αα++-=．因为()2232cos 200αα∆=++>，可设该方程的两个根为2,l t t ，则()2232cos l t t αα+=-+，25l t t =-．所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-()2[23sin 2cos ]2042αα=-++整理得)23cos 3αα+=，故π2sin 36α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0πα≤<，所以ππ63α+=或π2π63α+=，解得或π6α=或π2α=，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为3x ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B ，已知)3,1P -，求PA PB ⋅. 【答案】(1)1:C πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈），2:C ρ＝4. (2)12 【解析】【分析】（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.(1)由曲线13:x t C y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得30x +=，化成极坐标方程得cos 3sin 0ρθρθ=.化简极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈）. 曲线24cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数θ得2216x y +=.化简极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P 在曲线1C 上，将曲线1C 化为标准参数方程33112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2C 的直角坐标方程2216x y +=，得223131162t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，即24120t t --=，即A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，所以121212PA PB t t t t ⋅===. 5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离； (2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 【答案】5(2)5151()---⋃ 【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设出曲线上点()2,A s s ±，求出直线方程230x y -+=，利用点到直线距离公式，得到曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；（2）直线l 的普通方程为：()11y k x -=+，与曲线C ：24y x =联立消去x 后用根的判别式得到不等式，求出斜率k 的取值范围. (1)2sin 4cos 0ρθθ-=两边同乘以ρ得：22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，所以曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设曲线上的一点坐标为()2,2A s s ±，当直线l 的斜率k =2时，直线方程为()121y x -=+，即230x y -+=，则A 点到直线距离为2215222223415s s s d ⎛⎫±+⎪±+⎝⎭=+ 当12s =±时，d 5，故曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 5；(2)直线l 的普通方程为：()()110y k x k -=+≠，与曲线C ：24y x =联立得：24440y y k k-++=，由0∆>得：115k+>1152k -<，解得：5151()k ---∈⋃ 6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=． (1)求C 的参数方程； (2)判断l 与C 的位置关系．【答案】(1)cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）(2)直线l 与圆C 相切.【解析】【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；（2）将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线l 与圆C 的位置关系即可.(1)解：因为圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，则其直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1, 则圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.(2)解：因为直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos cos sin sin 3066ππρθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭3cos sin 30ρθρθ+-=，所以直线l 330x y +-=，由（1）得圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆心(0,1)到直线l 22301131(3)1⨯+⨯-=+，故直线l 与圆C 相切.7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值. 【答案】(1)曲线2:2C y x =；直线:20+-=l x y 34 【解析】【分析】（1）消去参数t 即可得C 的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；（2）写出直线l 参数方程的标准形式，再与C 的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.(1)曲线C 的参数方程为2,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为22y x =，可得22y x =；直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=，转化为直角坐标方程为20x y +-=；(2)把直线l 的方程换成参数方程，得2,222x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22y x =.得2220t -=，∴121222t t t t +==-，显然12,t t 异号. 由22111211||,||22MP t t t MQ t =+==， ∴()212121212121212121841111342||||t t t t t t t t MP MQ t t t t t t t t ++-+-+=+=====8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为22222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C . (1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．【答案】(1)22(2)4x y -+=，22AB = (2)45【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出1C 的普通方程，求出2C 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出AB 的长度，（2）由伸缩变换可求出曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，求出点P 到直线AB 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出PAB △的面积的最小值(1)由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22(2)4x y -+=．由2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去参数得4x y -=， 1C 的圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线4x y -=的距离为2422d -==，所以()2222222AB =-=(2)曲线3C 经过伸缩变换22x x y y='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C ，则()()222224+-+=x y ，即曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，则点P 到直线AB 的距离为2555cos sin 4552cos sin 422d ϕϕϕϕ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==()5sin 44522αϕαϕ---==25sin α=5cos α=），故当()sin 1αϕ-=时，d 取得最小值，且min 452d -=，因此，当点P 到直线AB 的距离最小时，PAB △的面积也最小，所以PAB △的面积的最小值为min 11452245222AB d -⋅⋅=⨯= 9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11cos 221sin 2x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13()ρθρ=+∈R ．(1)求曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的异于极点O 的两点，且OA OB ⊥，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)()1,0，14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭31 【解析】【分析】（1）求出曲线1C 的普通方程，进而求出极坐标方程，与2C 的极坐标方程联立，求出曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标；（2）设出,A B 两点的极坐标方程，表达出OAB 的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.(1)曲线1C 的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化为极坐标方程为：()2211cos sin 24ρθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到：cos ρθ=，与13()ρθρ=+∈R 联立，得：cos 13θθ=+，即π1cos 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为02πθ≤<，所以ππ7π333θ≤+<，所以π5π33θ+=，或ππ33θ+=，解得：14π3θ=或20θ=，当4π3θ=时，此时4π1cos 32ρ==-，当0θ=时，此时cos01ρ==所以曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标为()1,0与14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)因为OA OB ⊥，①设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos α=⎭因为[]cos 1,1α∈-，所以当cos 1α=时，OAB 31；②设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13sin cos 13cos 3cos cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，因为[]cos 1,1α∈-，所以当3cos 6α=时，OAB 面积取得最大值，最大值为312；因为33112+>，所以OAB 面积最大值为31+. 10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为32112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求PQ 的极坐标方程和OQ 所在圆2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为()0,1-，曲线1C 和圆2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -．【答案】(1)ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭；222:(3)(1)4++=C x y (2)3 【解析】【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出PQ 的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P 的直角坐标，写出OQ 所在圆的直角坐标方程即可；（2）由已知，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程带入圆2C ，并根据根与系数关系，求解11||||MA MB -即可. (1)因为π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以PQ 的极坐标方程：ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，因为点P 的直角坐标是(3,1)-，所以OQ 所在圆的直角坐标方程为222:(3)(1)4++=C x y ．（注：PQ 的极坐标方程不标明θ的取值范围或写错扣1分）(2)设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将3112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)(1)4x y ++=得：2310,0--=∆>t t 所以12123,1+==-t t t t因为120t t <，由t 的几何意义得： 121212121111113||||+-=-=+==t t MA MB t t t t t t。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析廖福辉叶东辉“坐标系与参数方程”属于全国卷一中的选做内容，体现了数学中转化与化归的思想，是沟通代数与几何的桥梁。

本文将结合近年全国卷一中“坐标系与参数方程”这一部分知识点的考查，对2019年全国卷一中此部分的试题进行探究分析。

一、“坐标系与参数方程”考纲分析“坐标系与参数方程”为人教版高中教材选修4-4的内容，一般安排在高二下学期进行教学。

这一部分内容既是解析几何、平面向量与三角函数等内容的综合应用，也是对这些内容进一步的延伸和拓展，在教材中有着重要的地位。

2019年《考试大纲》对此部分内容的要求如下：1.坐标系（1）理解坐标系的作用;（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化;（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程。

学生通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

2.参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义;（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。

《考纲》中主要强调了对于极坐标、参数方程基本概念的理解，曲线的极坐标方程和参数方程的建立，及极坐标和直角坐标的相互转化。

二、“坐标系与参数方程”试题简析在全国卷一中，“坐标系与参数方程”为选做题二选一中的一道，中等难度，分数为10分。

最近几年的高考试题对“坐标系与参数方程”这一部分内容的考查方式越来越灵活新颖，愈来愈注重学生对于极坐标中ρ，θ几何意义的理解和应用，同时，也越来越侧重考查学生对于此类问题的理解和分析，以及运用合理的方法来解决相应问题的能力。

下面来具体分析2019年全国卷一中对于“极坐标与参数方程”的考查。

【點睛】极坐标方程与直角坐标方程的互化、将参数最值问题转化为三角函数的最值求解问题，消元化、化归思想的应用是解题关键。