考点25 直线和直线方程学生版(2021年高考艺体生基础生考点培优讲义)2020年11月(

直线与方程专题复习讲义高三数学二轮专题复习

第三章直线与方程(一)直线的倾斜角1.定义：在平面直角坐标系中，当直线与x 轴相交时，取x 轴非负半轴作为基准，把x 轴的正方向按逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角.当直线平行于 x 轴或与x 轴重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.2. 范围: 0°≤α<180° 倾斜角[0°,180°) 二面角[0°,180°]线面角[0°,90°] 异面直线成角(0°,90°](二)直线的斜率1.定义：倾斜角α不是90°的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k=tanα，当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.2.倾斜角α与斜率k 的范围之间的对应关系 (三)斜率公式经过两点P ₁(x ₁,y ₁),P ₂(x ₂,y ₂)的直线的斜率是： k =y 2−y1x 2−x 1注:(1)斜率公式适用范围x ₁≠ x ₂ (2)斜率公式变形. y₂−y₁=k (x₂−x₁)例1 (1)过 P(-1,-1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点,若 P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角.k =-1,α = 135°(2)若经过点A(1-t ，1+t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，求实数t 的取值范围.(-2,1)(3)若直线l 的倾斜角是连接(-3，5)，(0，9)两点的直线倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 −247.k =tanα=43k ′=tan2α=−247(4)直线l 的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则倾斜角的范围为 [π4,3π4].tanα=−1cosθ∈(−∞,+∞)(5)已知两点A(2,3)和B(-1,2),过点 P(1,-1)的直线l 与线段AB 有交点,则直线l 斜率k 的取值范围为 (−∞,−32]U [4,+∞).名称方程适用条件参数几何意义斜截式 y=kx+b α≠90° k:斜率b ：纵截距(可正，可负)点斜式y-y ₀=k(x-x ₀)α≠90°k:斜率点(x ₀,y ₀)例2 (1)过P(-2，2)点引一条直线l，使其与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，求直线 l的方程.解析{b−a=12abab=8或−8∴{a=2+2√3b=−2+2√3 j{a=−2−2√3b=2−2√3(2)直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点,若 P恰为线段AB 的中点,求直线l的方程.3x-2y+12 = 0(3)若直线((2m²+m-3)x+(2-m)y=4m-1在 x轴上的截距为1，则实数 m是(D)A.1B.2C.−12 D.2 或−12(4)①在x轴，y轴上截距分别是-2，3的直线方程是3x-2y+6=0②求过点 P(2，3)，并且在两轴上截距相等的直线方程y=32x或.x+y-5 =0例3 (1)直线l的方程为.Ax+By+C=0(A、B不同时为零),根据下列各位置特征,写出A,B,C应满足的关系：①l与两坐标轴都相交A≠0;B≠0 ;②l过原点 C=0 ;③l只与x轴相交 B=0 ;④l是y轴所在直线 B=0,C=0 ;⑤l在x,y轴上的截距互为相反数①C=0. A≠0,B≠0②C≠0且A= B≠0 .(2)①直线kx+y+1=0(k∈ R)恒过定点 (0,-1) .②直线kx+k+3k²x+k²y=0(k∈R)恒过定点 (-1,3) .(3)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l₁:2x−y−2=0与l₂:x+y+3=0之间的线段恰被点 P平分，求直线l的方程。

期末仿真模拟卷【考点培优尖子生专用】2021-2022学年六年级下册数学专题训练(沪教版)

期末仿真模拟卷（解析版）一、单选题1．如图是由5个同样大小的小正方体摆成的几何体，现将第6个小正方体摆放在①、②、③哪个正方体前面，新几何体从正面看到的形状不发生变化（）A．放在①前面，从正面看到的形状图不变B．放在②前面，从正面看到的形状图不变C．放在③前面，从正面看到的形状图不变D．放在①、②、③前面，从正面看到的形状图都不变【答案】D【分析】根据正面所看到的图形为主视图，原来是底层都是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，保证从前面图形不变即可得出答案．【详解】解：将第6个小正方体摆放在①、②、③三个正方体前面，新几何体从前面看不发生变化，底层都是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，注意主视图即为从正面所看到的图形．2．钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】A【分析】时针走一分钟是0.5°，分针走一分钟是6°，利用角度之间数量关系进行求解即可．【详解】解：由题意，得（6-0.5）×20°-90°=110°-90°=20°，故选：A．【点睛】本题考查钟面角问题，熟知时针和分针所走的度数，找出角度之间的关系是解决问题的关键．3．我们知道过平面上两点可以画一条直线，过平面上3点最多可以画3条直线，过平面上4点最多可以画6条直线，过平面上5点最多可以画10条直线．如果平面上有6个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以画多少条直线？（）A．15B．21C．30D．35【答案】A【分析】根据图示的规律用代数式表示即可．【详解】根据图形得：第①组最多可以画3条直线；第②组最多可以画6条直线；第③组最多可以画10条直线．如果平面上有n （n ≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1+2+3+…+n -1=()12n n -条直线．当n =6时，65=152´=15．即：最多可以画15条直线．故选：A ．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律．4．在不等式63x ->的两边同时除以-6，得到的不等式为（）A ．12x <-B ．12x >-C ．2x <-D ．2x >-【答案】A【分析】根据不等式的性质3判断即可．【详解】∵-6是负数，∴不等式63x ->的两边同时除以-6，得到的不等式为12x <-，故选A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质，灵活选择选择是解题的关键．5．已知关于x ，y 的方程组35225x y a x y a -=ìí-=-î，下列结论中正确的个数有（）①当5a =时，方程组的解是105x y =ìí=î；②当x ，y 的值互为相反数时，20a =；③不存在一个实数a 使得x y =；④若23722a y -=，则2a =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】把5a =代入方程组进行求解即可判断①，用含a 的代数式表示出方程组的解，然后可判断②③④，进而问题可求解．【详解】解：35225x y a x y a -=ìí-=-î①②，①-②×3得：15y a =-，把15y a =-代入②得：()2155x a a --=-，解得：25x a =-，∴原方程组的解为2515x a y a =-ìí=-î，①当5a =时，方程组的解是2010x y =ìí=î，故①错误；②当x ，y 的值互为相反数时，则25150a a -+-=，解得：20a =，故②正确；③当x y =时，即2515a a -=-，无解，所以③说法正确；④因为23722a y -=，所以237a y -=，即()23157a a --=，解得：525a =，故④错误；综上所述：结论正确的有2个；故选B ．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．6．如果x 是最大的负整数，y 绝对值最小的整数，则2016x - +y 的值是（）A ．-2000B ．-1C ．1D ．2016【答案】B【分析】由于x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的整数，由此可以分别确定x =-1，y =0，把它们代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：∵x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的整数，∴x =-1，y =0，∴- x 2016+y = -(-1)2016+0=-1．故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据最大的负整数，绝对值最小的整数的性质确定x 、y 的值，然后代入所求代数式即可解决问题．另外需注意− x 2016有两个符号，除了算式中的负号，x = -1也有一个负号．二、填空题7．已知关于x 的一元一次方程2019x ＋5＝2019x ＋m 的解为x ＝2021，那么关于y 的一元一次方程52019y - ＋5＝2019（5﹣y ）＋m 的解为___．【答案】y =-2016【分析】方程2019x +5=2019x +m 可整理得：2019x -2019x =m -5，则该方程的解为x =2021，方程52019y -+5=2019（5-y ）+m 可整理得：52019y --2019（5-y ）=m -5，令n =5-y ，则原方程可整理得：2019n -2019n =m -5，则n =2021，得到关于y 的一元一次方程，解之即可．【详解】解：根据题意得：方程2019x +5=2019x +m 可整理得：2019x -2019x =m -5，则该方程的解为x =2021，方程52019y -+5=2019（5-y ）+m 可整理得：52019y --2019（5-y ）=m -5，令n =5-y ，则原方程可整理得：2019n -2019n =m -5，则n =2021，即5-y =2021，解得：y =-2016，故答案为：-2016．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．8．定义一种新运算“Å”：2x y x y x -Å=．如：()()32273233-´-Å-==，则()248ÅÅ=______．【答案】4【分析】根据2x y x y x-Å=，可以计算出()248ÅÅ的值．【详解】解：∵2x y x y x-Å=，∴()248ÅÅ=42822(3)2()2(3)442-´-´-Å=Å-==．故答案为：4．【点睛】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．9．有理数a ，b ，c 在数轴上表示的点如图所示，则化简22b c a b c a +----=______．【答案】4a-b【分析】根据数轴可以判断a 、b 、c 的正负和它们的绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．【详解】解：由数轴可得，a ＜b ＜c ，|b |＜|c |＜|a |，∴|b +c |﹣2|a ﹣b |﹣|c ﹣2a |＝b +c ﹣2（b ﹣a ）﹣（c ﹣2a ）＝b +c ﹣2b +2a ﹣c +2a＝4a-b ．【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中，他赔了___________元．【答案】18【分析】要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解即可．【详解】解：设在这次买卖中原价都是x元，则可列方程：（1+25%）x＝135，解得：x＝108，∴第一件赚了13510827-=（元）；第二件可列方程：（1﹣25%）x＝135，解得：x＝180，第二件亏了18013545-=（元），两件相比则一共亏了45﹣27＝18（元）．故答案为：18．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明白盈利与亏本的含义，准确列出方程，计算出原价，难度一般．11．关于y的不等式组253()22y y ty tt-£-ìïí-<ïî的整数解是﹣3，﹣2，﹣1，0，1．则t的取值范围是_____．【答案】11 32t<£【分析】不等式组整理后，根据整数解确定出t的范围即可．【详解】解：不等式组整理得：354y ty t³-ìí<î，解得：3t-5≤y＜4t，∵不等式组的整数解为-3，-2，-1，0，1，∴4353142tt-<-£-ìí<£î，解得：11 32t<£．故答案为：11 32t<£．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．12．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（即空白区域），则图中阴影部分的面积是______．【答案】72cm2【分析】设长方形的长为a cm，宽为b cm，由题意得，31628a ba b b+=ìí+-=î，求出,a b的值，根据()16826S b a b=´+-´´阴影，计算求解即可．【详解】解：设长方形的长为a cm，宽为b cm，由题意得，31628a ba b b+=ìí+-=î，解得102a b =ìí=î，∴()16826S b a b=´+-´´阴影()168226102=´+´-´´72=∴阴影部分的面积为722cm ；故答案为：722cm ．【点睛】本题考查了几何图形中二元一次方程组的应用．解题的关键在于求出长方形的长和宽．13．如图，已知线段AB =8cm ，点M 是AB 的中点，P 是线段MB 上一点，N 为PB 的中点，NB =1.5cm ，则线段MP =__________cm ．【答案】1【分析】根据中点的定义可求解BM 及PB 的长，进而可求解．【详解】解：∵M 是AB 的中点，AB =8cm ，∴AM =BM =4cm ，∵N 为PB 的中点，NB =1.5cm ，∴PB =2NB =3cm ，∴MP =BM -PB =4-3=1cm ．故答案为：1．【点睛】此题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段中点定义．14．计算：4927524¢¢¢°¸=______．【答案】12°21′58″【分析】根据度分秒的除法，从大的单位开始除，把余数化成下一单位，可得答案．【详解】解：4927524¢¢¢°¸=48°84′232″÷4=12°21′58″．【点睛】本题考查了度分秒的换算，利用了度分秒的除法，从大的单位开始除，把余数化成下一单位．15．如图，把一个长方体的礼品盒用丝带打上包装，打蝴蝶结部分需丝带48cm ，那么打好整个包装所用丝带总长为________ cm ．【答案】146【分析】根据长方体的特征可得所用丝带的长度等于长方体的两条长、两条宽、四条高的总和加上打蝴蝶结部分的长度，由此即可得出答案．【详解】由图可知，15210212448146()cm ´+´+´+=，故答案为：146．【点睛】本题考查了长方体的棱长总和的实际应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．16．将一个长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米的长方体切成两个长方体，则表面积最多可增加____________平方厘米．【答案】40【分析】把一个长方体切成两个长方体，只切一次，增加两个横切面的表面积，则最多增加的应是平行于54´面切割，这样就增加2个54´面，即可得出答案．【详解】解：把一个长方体切成两个长方体，要使表面积增加最多则应应是平行于54´面切割最多可增加54240´´=平方厘米故答案为：40．【点睛】本题考查长方体表面积的计算，熟练掌握长方体表面积的计算方法即可，属于一般题型．17．如图，在长方体ABCD ﹣EFGH 中，与棱AD 异面的棱有___条．【答案】4【分析】异面指不在同一个平面内，AD 可看作在下面和左面两个平面内，只要不在下面和左面内的棱即可．【详解】解：棱AD异面的棱：BF、CG、EF、HG，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了认识立体图形，解决本题的关键是理解异面的含意，难点在于先找到AD所在的是哪两个平面，除去这两个面所包含的棱即可．18．如图，在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=20°，∠COD=50°，∠BOD﹥45°，则∠BOD的度数为______．【答案】60°或120°或160°【分析】分当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，三种情况画出图形求解即可．【详解】解：如图1所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，∵∠AOC=20°，∠COD=50°，∴∠AOD=30°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=60°；如图2所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，∵∠AOC=20°，∠COD=50°，∴∠AOD=70°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=160°；如图3所示，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，∵∠AOC=20°，∠COD=50°，∴∠AOD=30°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=120°；综上所述，∠BOD的度数为60°或120°或160°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，画出对应图形是解题的关键．三、解答题19．薛老师坚持跑步锻炼身体，他以30min 为基准，超过30min 的部分计为“+”，不足30min 的部分计为“-”，将连续7天的跑步时间（单位：min ）记录如下：星期一二三四五六日与30分钟差值10+8-12+6-11+14+3-(1)薛老师跑步时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？(2)若薛老师跑步的平均速度为0.1km/min ，请计算这七天他共跑了多少km ？【答案】(1)22min(2)24km【分析】（1）用最大数减去最小数即可求解；（2）求出这七天的跑步时间，再乘速度即可求解．(1)解：（1）14(8)22(min)--=答：薛老师跑步时间最长的一天比最短的一天多跑22min ．(2)（2）307(10812611143)240(min)´+-+-++-=2400.124(km)´=答：所以薛老师这七天一共跑了24km ．【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．20．计算：(1)40(18)(26)(19)---+---(2)()231110.526(3)3éù---¸´---ëû【答案】(1)-29(2)-5.5(1)解：40(18)(26)(19)---+---222619=--+4819=-+29=-(2)2311(10.5)2[6(3)]3---¸´---312114=--´1 4.5=--5.5=-【点睛】本题考查了有理数的混合运算，把握好运算顺序和正确的计算是解题的关键．21．已知四个互不相等的整数a 、b 、c 、M 满足：757676M a b c M a b c=++ìí=++î(1)求M 与b 的关系式；(2)若381400M <<，求98a b c ++的值；【答案】(1)19M b=(2)2100【分析】（1）观察方程组，,a c 系数一致，利用加减消元法求解即可；（2）根据b 为整数，求得不等式组的整数解，即可求得b 的值，根据方程组可得2b a c =+，进而即可求解．(1)解：757676M a b c M a b c =++ìí=++î①②②×7-①×6得，19M b=(2)Q 19M b =，381400M <<，\1120211919b <<，b Q 为整数，则21b =，757676M a b c M a b c =++ìí=++î①②，①-②得，2b a c =+，98100a b c b \++=2100=，982100a b c \++=【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，求得19M b =是解题的关键．22．备解二元一次方程组4*8x y x y -=ìí+=î，现系数“*”印刷不清楚．(1)李宁同学把“*”当成3，请你帮助李宁解二元一次方程组438x y x y -=ìí+=î；(2)数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x 、y 是一对相反数，你知道原题中“*”是．【答案】(1)31x y ==-ìíî(2)5【分析】（1）将方程组中的两个方程相加消掉未知数y ，得到x 的一元一次方程，求出x 的值，把x 的值代入第一个方程，求出y 的值，即得方程组的解；（2）用x -y =4与x +y =0组成方程组，求出x 、y 的值，把x 、y 的值代入*x +y =8，求出*的值．(1)438x y x y -=ìí+=î①②，①+②得，4x =12，∴x =3，把x =3代入①，得，3-y =4，∴y =-1，∴31x y ==-ìíî；(2)04x y x y +=ìí-=î①②，①+②，得，2x =4，∴x =2，把x =2代入①，得，2+y =0，∴y =-2，∴22x y =ìí=-î，∴228*-=，∴5*=．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义，运用加减消元法解二元一次方程组，是解决问题的关键．23．如图直线L 上有A 、B 两点，线段12AB cm =，(1)若在线段AB 上有一点C ，且满足8AC cm =，点P 为线段BC 的中点，求线段BP 的长．(2)若点C 在直线L 上，且满足6AC cm =，点P 为线段BC 的中点，求线段BP 的长．【答案】(1)2BP cm =(2)6BP cm =或3BP cm=【分析】（1）利用线段的和差求得BC ，根据线段中点定义即可求解；（2）分点C 在点A 的左侧和点C 在点A 的右侧两种情况进行讨论．(1)如图：∵12AB cm =，8AC cm =，∴4BC AB AC cm =-=，∵点P 为线段BC 的中点，∴122BP BC cm ==；(2)①当点C 在点A 的左侧时，如图：∵12AB cm =，6AC cm =，∴18BC AB AC cm =+=，∵点P 为线段BC 的中点，∴192BP BC cm ==，②当点C 在点A 的右侧时1，如图所示：∵12AB cm =，6AC cm =，∴6BC AB AC cm =-=，∵点P 为线段BC 的中点，∴132BP BC cm ==综上所述，6BP cm =或3BP cm =．【点睛】本题考查两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，注意利用分类讨论．24．如图，直线AB 与EF 相交于点O ，∠AOE =60°，射线OC 平分∠BOE ．(1)求∠COF 的度数；(2)将射线OC 以每秒2°的速度绕点O 顺时针旋转，同时直线EF 以每秒6°的速度绕点O 顺时针旋转，设运动时间为t 秒（0＜t ≤60)．①当射线OE 与射线OC 重合时，求∠AOE 的度数；②旋转过程中，若直线EF 平分∠BOC 或平分∠AOC ，求t 的值.【答案】(1)∠COF =120°(2)①∠AOE =150°；②18或36或54【分析】（1）根据角平分线的定义，可得∠BOC =60°，再由∠COF =∠BOC +∠BOF =∠BOC +∠AOE 即可求解；（2）①OC 运动形成的角度为2t °，OE 运动形成的角度6t °，由题意可知，60°+2t °=6t °，求解即可；②见解析图，分三种情况分析，按照先表示出角的度数，再根据角平分线的定义列出方程求解即可．(1)解：∵∠AOE=60°，射线OC平分∠BOE∴∠BOC=∠COE=111(180)(18060)60 222BOE AOEÐ=°-Ð=°-°=°∴∠COF=∠BOC+∠BOF=∠BOC+∠AOE=60°+60°=120°．(2)解：①当射线OE运动到射线OE¢，与射线OC运动到射线OC¢重合，如图则OC运动形成的角度为2t°，OE运动形成的角度6t°，∴60°+2t°=6t°解得t=15°，∴此时∠AOE=60°+6t°=150°；②由题意可知，EF平分∠AOC，此时t=0时，不符合题意，因0＜t≤60，故EF旋转分三种情况：Ⅰ．当EF旋转到E F¢¢，OC旋转到OC¢时，E F¢¢平分BOC¢Ð，如图，则(606)(1202)460C OE AOE AOC t t t ¢¢¢¢Ð=Ð-Ð=°+°-+°=°-° ，180180(1202)602BOC AOC t t ¢¢Ð=°-Ð=°-°+°=°-°∵E F ¢¢平分BOC ¢Ð∴12C OE BOC ¢¢¢Ð=Ð 即1460(602)2t t °-°=°-°解得t =18；Ⅱ．当EF 旋转到E F ¢¢，OC 旋转到OC ¢ 时，E F ¢¢平分AOC ¢Ð，如图，则360(606)3006AOE t t ¢Ð=°-+°=°-° ，360(1202)2402AOC t t ¢Ð=°-°+°=°-°∵E F ¢¢平分AOC ¢Ð∴12AOE AOC ¢¢Ð=Ð 即13006(2402)2t t °-°=°-°解得t =36；Ⅲ．当EF 旋转到E F ¢¢，OC 旋转到OC ¢ 时，E F ¢¢平分BOC ¢Ð，如图，则(606)3606300BOF AOE t t ¢¢Ð=Ð=+°-°=°-° ，(1202)180260BOC t t ¢Ð=°+°-°=°-°∵E F ¢¢平分BOC ¢Ð∴12BOF BOC ¢¢Ð=Ð 即16300(260)2t t °-°=°-°解得t =54；故t 的值为18或36或54．【点睛】本题考查了角平分线的定义，旋转的速度、角度、时间的关系，应用方程思想是解题的关键．解题中要先初步估计旋转的位置并画图，注意分类讨论．25．如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．（1）设原大正方体的表面积为a ，图2中几何体的表面积为b ，那么a 与b 的大小关系是；A ．a ＞b ；B ．a ＜b ；C ．a ＝b ；D ．无法判断．（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．【答案】（1）C；（2）不正确，理由见解析；（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形见解析【分析】（1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等；（2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案；（3）根据展开图判断即可．【详解】解：（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即a＝b故答案为：a＝b；（2）如图④红颜色的棱是多出来的，共6条，当且仅当每一条棱都等于原来正方体的棱长的一半，n比m正好多出大正方体的3条棱的长度，故小明的说法是不正确的；图④ 图⑤（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形，如图⑤所示．【点睛】本题考查几何体表面积的意义、棱长之和、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量．。

2023年新高考数学一轮复习9-1 直线与直线方程(知识点讲解)含详解

专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．【知识点展示】知识点1．直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, , .②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点2．直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，2121y y k x x --＝α[0,)2πα∈0,k α>(,)2παπ∈0,k α<l 000(,)P x y k l )(00x x k y y -=-l ),0(b l b kx y +=l ),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠l ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y=l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x ya b+=3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 知识点3．两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有. 知识点4．距离问题 1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.知识点5．两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B=-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222(,),(,)P x y P xy 12PP =000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=d =11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=12210A B A B -≠11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩若方程组有无数组解，则重合．知识点6．对称问题 1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【常考题型剖析】题型一：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高三专题练习）过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（） A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-例2.（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k << D ．321k k k <<例3.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.12,l l 12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【规律方法】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用. 题型二：直线的方程例4.（2015·山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A．330x y --= B ．3230x y --=C 310y --=D ．10x -=例5.（2022·全国·高三专题练习）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【规律方法】求直线方程的常用方法：tan k α=1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查. 题型三：两条直线平行与垂直例6.（2023·全国·高三专题练习）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例7.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l //，则sin2α=_________若12l l ⊥，则sin2α=________ 【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．题型四：距离问题例8.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 例9.（2016·上海·高考真题（文））已知平行直线，则12l l 与的距离是_______________.【规律方法】两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．题型五：两条直线的交点例10.（2022·全国·高三专题练习）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤.(1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标； (2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.例11.（2021·全国高三专题练习）求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ，且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【规律方法】 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征. 题型六：对称问题例12.（2020·山东高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=例13.（浙江·高考真题（理））直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（） A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-=例14.（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（） A ． BC ．D【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.P l 40x y +-=(2,0)A -()2,0B ||||PA PB +00(,)P x y :0l Ax By C ++=00(,)Q x y ''PQ l PQ l ⊥0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩00,x y ''2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程． 4.中心对称问题的两种类型及求解方法5.轴对称问题的两种类型及求解方法:0l Ax By C ++=00(,)P x y :0l Ax By C ++=0:0l Ax By C '++=,l l 'P :0l Ax By C ++=2=0C 0C l ':0l Ax By C ++=0000:0l A x B y C ++=:0l Ax By C ++=0l l 0l专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．【知识点展示】知识点1．直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, , .②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点2．直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，2121y y k x x --＝α[0,)2πα∈0,k α>(,)2παπ∈0,k α<l 000(,)P x y k l )(00x x k y y -=-l ),0(b l b kx y +=l ),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠l ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y=l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x ya b+=截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 知识点3．两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有. 知识点4．距离问题1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.知识点5．两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B =-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222(,),(,)P x y P xy 12PP =000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=d =11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=12210A B A B -≠11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．知识点6．对称问题1.中点坐标公式2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【常考题型剖析】题型一：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高三专题练习）过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1- 【答案】A【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．例2.（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（） A ．123k k k << B ．132k k k <<C ．213k k k << D ．321k k k <<11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩12,l l 12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=【答案】A【解析】【分析】直接由斜率的定义判断即可.【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．例3.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【规律方法】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用.题型二：直线的方程例4.（2015·山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A ．330x y --=B ．3230x y --=C ．3310x y --=D ．310x y --=【答案】D【解析】【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.tan k α=【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D例5.（2022·全国·高三专题练习）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -=B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-= 【答案】B【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解.【详解】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-，所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=.故选：B.【规律方法】求直线方程的常用方法：1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查.题型三：两条直线平行与垂直例6.（2023·全国·高三专题练习）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直,则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件.故选：B.例7.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l //，则sin2α=_________若12l l ⊥，则sin2α=________ 【答案】23- 35 【分析】根据直线平行和垂直得到sin ,cos αα的关系，再结合二倍角公式及弦化切得到答案.【详解】若12l l //，则()12sin 3cos 10sin cos sin 22sin cos 33ααααααα--=⇒=-⇒==-，此时113cos α≠，则两条直线不重合，故2sin 23α=-；若12l l ⊥，则sin 3cos 0tan 3ααα-=⇒=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++. 故答案为：23-，35. 【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．题型四：距离问题例8.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】当直线x +y =0平移到与曲线y =x +4x 相切位置时，切点Q 即为点P 到直线x +y =0的距离最小. 由y ′=1−4x 2=−1，得x =√2(−√2舍)，y =3√2，即切点Q(√2,3√2)，则切点Q 到直线x +y =0的距离为√2+3√2|√12+12=4，故答案为：4．例9.（2016·上海·高考真题（文））已知平行直线，则12l l 与的距离是_______________.【解析】利用两平行线间的距离公式得d == 【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.【规律方法】两种距离的求解思路(1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．题型五：两条直线的交点例10.（2022·全国·高三专题练习）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤.(1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标；(2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)证明见解析，()0,1A ，()10B , (2)0m =时，S 取得最大值12【解析】【分析】（1）在直线1l 的方程中令0x =可得出定点A 的坐标，在直线2l 的方程中令0y =可得出定点B 的坐标，由此可得出结论；（2）联立直线1l 、2l 的方程，可求得两直线的交点P 的坐标，计算出AP 和BP ，利用三角形的面积公式可计算出S 的表达式，由S 的表达式可求得S 的最大值及其对应的m 的值.（1）在直线1l 的方程中，令0x =可得1y =，则直线1l 过定点()0,1A ，在直线2l 的方程中，令0y =可得1x =，则直线2l 过定点()10B ,；（2）联立直线1l 、2l 的方程11y mx x my =+⎧⎨=-+⎩，解得221111m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即点2211,11m m P m m -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭.AP ==BP ，11m -≤≤，所以，()()222211111212212121m m m S AP BP m m m -⋅+-⎛⎫=⋅===- ⎪+++⎝⎭；212121S m ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭且11m -≤≤，因此，当0m =时，S 取得最大值，即max 12S =.例11.（2021·全国高三专题练习）求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ，且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【答案】450x y --=【分析】解法一：先取得两直线的交点，再根据与直线470x y +-=垂直求解；解法二：根据直线l 垂直于直线470x y +-=，设直线l 的方程为40x y c -+=，再将.1l 与2l 的交点代入求解；解法三：根据直线l 过1l 与2l 的交点，设直线l 的方程为(523)(358)0x y x y λ+-+--=，再根据l 与直线470x y +-=垂直求解.【详解】解法一：由5230,3580x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得(1,1). - 直线470x y +-=的斜率为14-， ∴直线l 的斜率为4.因此满足条件的直线l 的方程为：14(1)y x +=-，即450x y --=. 解法二：直线l 垂直于直线470x y +-=.∴设直线l 的方程为40x y c -+=.1l 与2l 的交点为(1,1)P -，41(1)0c ∴⨯--+=，解得从而5c =-.所以直线l 的方程为450x y --=.解法三：因为直线l 过1l 与2l 的交点，∴设直线l 的方程为(523)(358)0x y x y λ+-+--=，即(53)(25)380x y λλλ++---=， l 与直线470x y +-=垂直，53425l k λλ+∴=-=-，解得1317λ=. ∴直线l 的方程为450x y --=.【规律方法】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.题型六：对称问题例12.（2020·山东高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，，则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上，所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=.故选：D.例13.（浙江·高考真题（理））直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-= 【答案】D【解析】【分析】设所求直线上任一点（x ，y ），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【详解】设所求直线上任一点（x y ，），则它关于1x =对称点为()2,x y -在直线210x y -+=上，∴2210x y --+=化简得230x y +-=故选答案D ．故选D ．例14.（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（）A ．BC ．D【答案】A【解析】 P l 40x y +-=(2,0)A -()2,0B ||||PA PB +依据题意作出图像如下：设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为：，且由对称性可得：，解得：，所以因为，所以当三点共线时，最大此时最大值为故选：A【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标. 2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．()2,0B l ()1,B a b 2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭1PB PB =()011224022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩4a =2b =()14,2B 1||||||||PA PB PA PB +=+1,,A P B ||||PA PB +1AB ==00(,)P x y :0l Ax By C ++=00(,)Q x y ''PQ l PQ l ⊥0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩00,x y '':0l Ax By C ++=00(,)P x y :0l Ax By C ++=0:0l Ax By C '++=,l l 'P :0l Ax By C ++=2=0C 0C l '3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．4.中心对称问题的两种类型及求解方法5.轴对称问题的两种类型及求解方法:0l Ax By C ++=0000:0l A x B y C ++=:0l Ax By C ++=0l l 0l。

2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)

直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。

考点25 直线和直线方程学生版(2021年高考艺体生基础生考点培优讲义)2020年11月(

考点25 直线和直线方程[玩前必备]1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.(3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同．[玩转典例]题型一直线的倾斜角和斜率例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π6D ．56π例2 （2020·广东高三期末）直线310x +-=的倾斜角α为（）． A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒[玩转跟踪]1．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A. －1B. －3C. 0D. 2 2.直线y 2-的倾斜角是（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．56π 题型二直线方程的求解例3 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[玩转跟踪]1．根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.题型三两直线平行与垂直的判定例4 （2020·四川达州.高三其他）直线12:0l ax y a ++=与直线20:2l x ay a +-=互相平行，则实数a =（） A ．4-B ．4C ．2-D ．2例5 已知直线12:(2)10,:20l ax a y l x ay +++=++=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（） A ．-3 B ．-3或0C ．2或-1D ．0或-1[玩转跟踪]1．若直线1:320l x my +-=,2:280l x y ++=互相平行,则实数m 的值为（） A ．6-B ．6C ．32D ．32-2.（2020·昆明市官渡区第一中学高三开学考试）“3k =”是“两直线320kx y --=和2670kx y +-=互相垂直”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型三距离公式的应用例6 （1）（2020·巴楚县第一中学高三期末）已知点(),5A a -，(0,10)B 的距离是17 ，则a 的值是（） A ．8B ．6C ．±8D ．±6（2）（2020·福建高三期末）原点到直线250x y +-=的距离为（） A ．1BC ．2D（3）（2020·湖南张家界.高三期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为（） A ．65B ．32C ．125D ．2[玩转跟踪]1．到直线210x y ++=的直线方程为( ) A ．20x y += B ．220x y +-=C ．20x y +=或220x y +-=D ．20x y +=或220x y ++=2．（2020·全国高三课时练习（理））过直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=的交点，且到点()0,4P 距离为2的直线方程为__________________.[玩转练习]1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B.32C ．3D ．－32．已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或23．已知A (3,4)，B (－1,0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是( ) A. 3x －y ＋2－3＝0 B. 3x －y ＋1－23＝0 C. 3x ＋y －2－3＝0D. 3x ＋3y －6－3＝04．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0 5．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或46．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋37．“λ＝3”是“直线λx ＋2y ＋3λ＝0与直线3x ＋(λ－1)y ＝λ－7平行”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．29．若l 1：x ＋(1＋m )y ＋(m －2)＝0，l 2：mx ＋2y ＋6＝0平行，则实数m 的值是( ) A ．m ＝1或m ＝－2 B ．m ＝1 C ．m ＝－2 D ．m 的值不存在10．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 11．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．12B ．32C ．22D ．32212．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则两平行线间的距离是( ) A ．131313 B ．5513 C ．5135 D ．135513．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．0 B ．2 C. 13D ．414．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 等于( ) A ．－13B. 79 C ．－79D ．－79或－1315．对任意实数a ，直线y ＝ax －3a ＋2所经过的定点是( ) A ．(2,3) B ．(3,2) C ．(－2,3) D ．(3，－2)。

直线与方程知识点总结和练习

必修二第三章直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线与x 轴相交时，我们把x 轴方向与直线向方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角. 直线的倾斜角α的范围是 .2. 斜率：①倾斜角为α，则 k= （条件：）②已知直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有k= （条件：）特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴，斜率k 注意：当090α︒<<︒时，斜率，随着α的增大，斜率；当90180α︒<<︒时，斜率，随着α的增大，斜率。

两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）平行（2）垂直2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则它们垂直。

直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为 .2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为 .3. 点斜式和斜截式不能表示的直线.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为，2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为 .3. 两点式不能表示的直线；截距式不能表示的直线4. 线段12P P 中点坐标公式直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程，斜率为，y 轴上截距为 .2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为 . 3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）平行（2）垂直 .两条直线的交点坐标1. 求交点：解方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为： .点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为 .2.两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式，对称问题1、关于点的对称：实质考察：2、关于线的对称：要点：一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A. 0 B. -8 C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足（）A. a+b=1B. a-b=1C. a+b=0D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（）A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）9. 已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 10、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（） A 、K 1﹤K 2﹤K3 B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 13. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是。

2021届高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与直线方程学案理含解析.doc

第一节直线与直线方程[最新考纲][考情分析][核心素养] 1.在平面直角坐标系中，能结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.直线方程的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题、解答题，分值为5～12分.数学运算‖知识梳理‖1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x2平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l3[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k4tan_α.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k5y2－y1x2－x1．►常用结论1．直线倾斜角的范围是[0，π)，包括0不包括π.当直线与x轴平行或重合时，易错误地认为倾斜角为π，事实上为0.2．由直线的斜率k，求倾斜角的范围时，要注意在[0，π)上，k＝tan α的图象是不连续的．如由－3≤k≤3，得α∈⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎭⎫23π，π.3．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.3．直线方程的五种形式1．截距不是距离，它可正可负也可为零．2．使用点斜式、斜截式时一定要注意判断斜率是否存在．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、走进教材2．(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为____________．答案：12x－y－18＝03．(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________．答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0三、易错自纠4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1 B．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2；当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.5．(2019届西安质检)直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．解析：直线l 的方程可变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．答案：(2，－2)6．(2019届泰安模拟)过点(5，10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为34x －y ＋10＝154，即3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点直线的倾斜角与斜率|题组突破|1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又－sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2．已知直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)3．若过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝________．解析：由题意，得k ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.答案：1 ►名师点津斜率取值范围的2种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可考点直线方程【例】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． [解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意，得k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，所以所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，得－52a ＋2a ＝1，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，将(－5，2)代入所设方程，得2＝－5k ，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. ►名师点津直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．|跟踪训练|设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)∵当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为零，∴a ＝2，∴方程为3x ＋y ＝0；当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，解得a ＝0，∴方程为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，解得a ≤－1. 综上可知，a 的取值范围是{a |a ≤－1}．考点直线方程的创新交汇应用问题直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．【例】 (2019届重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2x x －1在点P (2，4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0[解析] y ′＝2（x －1）－2x （x －1）2＝－2（x －1）2，当x ＝2时，y ′＝－2（2－1）2＝－2，因此k l＝－2.设直线l 的方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意知|2×2＋4－b |5＝25，解得b＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B ．[答案] B ►名师点津处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．|跟踪训练|(2019届沈阳模拟)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：∵直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，∴1a ＋2b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当且仅当b ＝2a 时等号成立．∴直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 2。

高考数学直线方程知识点总结（2篇）

高考数学直线方程知识点总结1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.(即是垂直的充要条件)4.直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5.过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)____点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1.两点P1(____1,y1)、P2(____2,y2)的距离公式：.特例：点P(____,y)到原点O的距离：2.定比分点坐标分式。

高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程212第2课时直线方程的两点式和一般式课件北师大版必

【解析】直线AB的方程可由两点式得
y－0 －3－0
3x－－即((－－355x))， +8y+15=0.
直线BC的方程由斜截式得y=-5 x+2，即5x+3y-
3
6=0.
x y －5 2
AC的方程由截距式方程得 =1，即2x-5y+10=0.
【补偿训练】直线3x-2y+6=0的斜率为_________，在y轴上的截距为_________.
答案：[3，+∞)
【补偿训练】1.求证，不论m取何值，直线(2m-1)x(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求此点的坐标.
【解析】原方程可化为：(2m-1)x-(m+3)y+(3m+9)(4m-2)=0，
即(m+3)y-(3m+9)=(2m-1)x-(4m-2). 即(m+3)(y-3)=(2m-1)(x-2). 当m≠-3时，y-3=2 m 1(x-2)，
又是什么呢？
提示：当a≠0且b≠0时，直线l的两点式方程为
y 0 = x a ,化简得 x + y = 1 .
b0 0a
ab
结论：直线方程的两点式和截距式
名称
已知条件
两点式
截距式
P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，其中x1≠x2， y1≠y2
在x，y轴上的截距分别为a，b且ab≠0
示意图
【方法总结】求直线恒过定点的三种方法方法一：直接法：将已知的方程转化为点斜式方程，进而得定点. 方法二：特例法：取出直线系中两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点.
方法三：方程法：将方程变形，把x，y作为参数的系数，此式子对任意参数值都成立，故需系数为0，解方程组可得x，y值即定点(x，y).

数学高考复习：直线与方程知识点

数学高考复习：直线与方程知识点高考各科复习资料
高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了高考复习，高考一轮复习，高考二轮复习，高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。

(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α180°
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

2021艺体生高考数学一轮复习专题21 直线的方程以及关系(解析版)

专题21 直线的方程以及关系1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)如果x 1≠x 2，那么直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).2.直线方程的五种形式3.过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0. 4.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式. 5.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 6.三种距离公式(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离： AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.例1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．【答案】：x ＋y ＋1＝0.【解析】直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 变式1、直线cos x α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________. 【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 【解析】由cos x α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α.∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.变式2、经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________________. 【答案】 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)【解析】如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时， α＝0，k >0时，α为锐角. 又k P A ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π).例2、根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.变式：过点A(3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC|＝2|AB|，求直线l 的方程． [解析] 当k 不存在时B(3,0)，C(3,6) 此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为：y ＋1＝k(x －3)，令y ＝0得B(3＋1k，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＋1＝k x －3得C 点横坐标x c ＝1＋3kk －2若|BC|＝2|AB|则|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴|1＋3k k －2－1k －3|＝2|1k |，∴1＋3k k －2－1k－3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k ，解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.例3、(2018镇江期末）已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空)．【答案】充分必要【解析】直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ay ＋1＝0的斜率都存在且相等时，a ＝±1，当 a ＝1时，两直线平行，当a ＝－1时，两直线重合，所以“a ＝1”是“直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ ay ＋1＝0 平行”的充分必要条件．．变式1、.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________. 【答案】 35【解析】由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.变式2、.设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin x A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________. 【答案】垂直【解析】由a sin A ＝b sin B ，所以b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直.例4、(2015宿迁一模）已知光线通过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线通过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程是________．【答案】 y ＝6x －6【解析】由题意得反射光线经过点M (－3,4)关于直线l 的对称点Q (x ，y )与点N (2,6)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋3＝－1，x －32－y ＋42＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以Q (1,0)，所以反射光线所在直线的方程为y －0x －1＝6－02－1，即y ＝6x －6.变式1、．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．【答案】x －2y ＋3＝0.【解析】设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)… 由00002022()x x y y x x y y ++⎧-+=⎪⎨⎪-=--⎩得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上. ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.变式2、光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.解方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1,2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5. 而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32x 0－5－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.方法二设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x＝－23，3×x ＋x2－y ＋y 0＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为 x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.例5：直线()()220m n x m n y m n ++--+= （,m n R ∈ 且,m n 不同时为0）经过定点____ 【答案】：()1,1-【解析】已知直线进行变形，()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让,m n “失去作用”，则21020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即定点为()1,1-1、(2019扬州期末）若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________．【答案】：.52【解析】因为两直线平行，所以m 1＝－4－2≠34，解得m ＝2.解法1(转化为点到直线的距离) 在直线l 1：x －2y ＋4＝0上取一点P(0，2)，P 到直线l 2：2x －4y ＋3＝0的距离为d ＝|0－8＋3|22＋42＝52.解法2(平行线距离公式) 由l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x －2y ＋32＝0，根据平行线间的距离公式得d ＝|4－32|12＋22＝52. 2．（2019·扬州期中）已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为_______．【答案】：12【解析】∵x ，y ∈R ，直线（a ﹣1）x+y ﹣1=0与直线x+ay+2=0垂直， ∴（a ﹣1）×1+1×a=0，解得a=12. ∴实数a 的值为12． 3．（2019·如皋教学质量调研）已知直线l 1：210ax y a -+-=和l 2：3(2)50x a y --+=平行，则实数a 的值为_______．【答案】：：1-.【解析】当两直线平行时，有(2)353(21)a a a a --=-⎧⎨≠-⎩，解得1a =-，4、已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则l 1与l 2的距离为________．【答案】： 3或5[解析] 由(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k)＝0，且－2×1－(4－k)×3≠0，∴k ＝3或5. 当k ＝3时，l 1：y ＋1＝0，l 2：－2y ＋3＝0，此时l 1与l 2距离为：52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0，此时l 1与l 2的距离为|3－2|42＋－22＝510. 5、点关于直线的对称点是【答案】：（－6，－8）(4,0)P 54210x y ++=【解析】：设点关于直线的对称点为，由轴对称概念的中点在对称轴上，且与对称轴垂直，则有解得，6、不论为什么实数，直线都通过一定点为【答案】：(9，－４）【解析】解法一：取＝1，得直线方程＝－４；再取＝，得直线方程为x ＝9 从而得两条直线的交点为(9，－４），又当＝9，＝－４时，有即点(9，－４）在直线上，故直线都通过定点(9，－４）解法二：∵，∴（x ＋2－1）－（x ＋－5）＝0，则直线都通过直线＋2－1＝0与＋－5＝0的交点.由方程组，解得＝9，＝－４，即过点(9，－４）所以直线经过定点(9，－４).7、(2018镇江期末）已知点P(1，0)，直线l ：y ＝x ＋t 与函数y ＝x 2的图像交于A ，B 两点，当PA →·PB →最小时，直线l 的方程为________．【答案】：. 2x －2y ＋1＝0【解析】思路分析将PA →·PB →用A ，B 坐标表示，而A ，B 坐标又是直线与抛物线方程联立得到方程组的解，可借助一元二次方程根与系数的关系将PA →·PB →表示为t 的函数，求PA →·PB →最小值，但要注意t 的取值范围，进而求出直线l 的方程．(4,0)P 54210x y ++=111(,)P x y 1PP 1140(,)22x y M ++54210x y ++=1PP 111145421022445x y y x +⋅+⋅+==-⎧⎪⎨⎪⎩116,8,x y =-=-∴1(6,8)P --m 5)12()1(-=-+-m y m x m m y m 21x y 5)12)(4()1(9-=--+-m y m m 5)12()1(-=-+-m y m x m 5)12()1(-=-+-m y m x m 5)12()1(-=-+-m y m x m m y y 5)12()1(-=-+-m y m x m x y x y ⎩⎨⎧=-+=-+05012y x y x x y 5)12()1(-=-+-m y m x m设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线方程与抛物线方程联立消去y 得，x 2－x －t ＝0，其中t>－14，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－t ，所以PA →·PB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋(x 1x 2)2＝⎝⎛⎭⎫t －122－14≥－14，当且仅当t ＝12时取等号，此时直线l 的方程为2x －2y ＋1＝0.。

高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程211直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2(2)

【解题指南】利用斜率公式求出直线PA，PB的斜率，根据l与线段AB有公共点，求出l的斜率k的取值范围.
【解析】如图所示：因为点A(-1，2)，B(3，0)，
P(-2，-3)，
所以 kP A 2 3 2 15,kP B 3 2 0 35 3，
由图可知kPB≤k≤kPA，所以 3 ≤k≤5.
【方法总结】直线斜率公式的应用技巧求直线斜率的取值范围，当斜率恒正或恒负时，可直接得出直线斜率的范围；当斜率有正有负时，一般借助于图形判断，斜率的取值范围一般是小于(或等于) 负的，或大于(或等于)正的.
【跟踪训练】已知点A(-1，2)，B(3，0)，P(-2，-3)，经过点P的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
03 73, x2 52
解得x= 1
10
，所以P的坐标为 (
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
直线AB的倾斜角为 ( )
A.0°
B.45° C.90° D.180°
【解析】选A.因为A，B两点纵坐标相等，所以直线AB
平行于x轴，倾斜角为0°.
类型二直线的斜率
【典例2】(1)(2018·天津高二检测)过两点A(m，
4)，B(0，3)的直线的倾斜角为60°，则实数m的值
为( )
A . 23 3
A . 2 2
B .1 C .1 D . 3
2
2
()
【解析】选C.k=tan α=tan 45°=1.
3.若直线x=0的倾斜角为α，则α ( )
A.等于0°
B.等于180°

高考数学25个必考点专题17直线方程课件

解析
∴a＋3b－12＝0.① 即3a－b－6＝0.②
分析：
A、B显然在直线l的异侧，
B(0,4)
P'
Pl
A
B' (a,b)
即2x＋y－9＝0.
12/11/2021
变式:在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q,使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
解析
12/11/2021
分析：
A、C显然在直线l的同侧，
C'(a,b) Q
l
C(3,4) A(4,1)
QA+QC＝QA+QC′ ＝AC′
由两点之间线段最短, 可知点Q即为所求．
12/11/2021
法二 ∵l1∥l2 ∴4＝2k(k+1) 得k＝－2或k＝1. 又k＝－2时两直线重合. ∴ k＝1.
例2.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0, 若l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)，求满足条件的a,b的值.
解析
≠0(不合题意)，
a2－4a＋4＝0
另解：
∵l1⊥l2 ∴a(a－1) －b＝0 又l1过点(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0. 解得a＝2，b＝2.
解析
(0, 2－3k)
12/11/2021
=12
例2 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解法二 ∵l过点P(3,2)，即ab≥24.
b a
12/11/2021
即2x＋3y－12＝0.
变已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程．

直线与方程讲义

直线与方程讲义(总9页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除直线与方程【考点审视】关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，也有解答题，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点。

考查通常分为三个层次：层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；层次二：考查不同条件下的直线方程的求法；层次三：考查直线与其它知识的综合。

解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。

【疑难点拔】直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，【知识网络】一、回顾与复习：思考1：倾斜角（0°≤α＜180°），斜率（α=90°时不存在），截距（注意为0的情形，曲线与x、y轴的交点（a，0），（0，b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。

截距和距离不同，截距的值有正、负、零。

距离的值是非负数。

截距是实数，不是“距离”，可正可负）。

知识点梳理：1.倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。

001800<≤α 2. 斜率：αtan =k 1212x x y y k --=斜率k 与倾斜角 α之间的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a不存在不存在例1 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A -13B 3- C13D 3变式训练1直线x=3的倾斜角是（）B.2πC.πD.不存在2、直线x y 3 = 0的倾斜角是（）（A ）30° （B ）45° （C ）60°（D ）90°直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

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此文档下载后即可编辑直线与方程专题复习一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠︒的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-.知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k ．知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-注意：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.2.直线的方程知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意：⑴x 轴所在直线的方程是，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 .⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为1=+bya x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线（2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C += 3、直线的交点坐标与距离知识点11：两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.知识点12：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y与原点的距离为OP =知识点13：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：d =.知识点14：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l的距离为d知识点15：巧妙假设直线方程：（1）与10Ax By C ++=平行的直线可以假设成：20Ax By C ++=（C 1和C 2不相等）（2）与0Ax By C ++=垂直的直线可以假设成：Bx -Ay+m=0 （3）过1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线可以假设成A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（该方程不包括直线2:l ) 知识点16：1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0垂直等价于：A 1A 2+B 1B 2=0(A 1和B 1不全为零；A 2和B 2不全为零；) 知识点17：中点坐标公式:1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.例题解析例1. 在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例2.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-例3. 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线例5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值； ⑵若12l l ⊥，试求a 的值例6 .已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例7. 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.例8点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为多少？一、基础巩固练习：1．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（）.A ．B ．C ． D2．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .3．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .4．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围。

2023年新高考数学一轮复习9-1 直线与直线方程(知识点讲解)解析版

专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．【知识点展示】知识点1．直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, , .②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点2．直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，2121y y k x x --＝α[0,)2πα∈0,k α>(,)2παπ∈0,k α<l 000(,)P x y k l )(00x x k y y -=-l ),0(b l b kx y +=l ),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠l ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y=l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x ya b+=3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 知识点3．两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有. 知识点4．距离问题 1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.知识点5．两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B=-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222(,),(,)P x y P xy 12PP =000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=d =11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=12210A B A B -≠11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩若方程组有无数组解，则重合．知识点6．对称问题 1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【常考题型剖析】题型一：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高三专题练习）过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（） A ．45︒ B ．135︒C ．1D ．1-【答案】A 【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．例2.（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k << D ．321k k k <<【答案】A 【解析】12,l l 12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=【分析】直接由斜率的定义判断即可. 【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<. 故选：A ．例3.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③ 【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】 ()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③ 【规律方法】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用. 题型二：直线的方程例4.（2015·山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A ．330x y --=B ．3230x y --=C ．3310x y --=D ．310x y --=【答案】D 【解析】【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，tan k α=所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D例5.（2022·全国·高三专题练习）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-= 【答案】B 【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解. 【详解】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-，所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B. 【规律方法】求直线方程的常用方法：1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查. 题型三：两条直线平行与垂直例6.（2023·全国·高三专题练习）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直, 则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件. 故选：B.例7.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l //，则sin2α=_________若12l l ⊥，则sin2α=________ 【答案】23- 35【分析】根据直线平行和垂直得到sin ,cos αα的关系，再结合二倍角公式及弦化切得到答案. 【详解】若12l l //，则()12sin 3cos 10sin cos sin 22sin cos 33ααααααα--=⇒=-⇒==-，此时113cos α≠，则两条直线不重合，故2sin 23α=-；若12l l ⊥，则sin 3cos 0tan 3ααα-=⇒=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++.故答案为：23-，35.【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．题型四：距离问题例8.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】当直线x +y =0平移到与曲线y =x +4x 相切位置时，切点Q 即为点P 到直线x +y =0的距离最小.由y ′=1−4x 2=−1，得x =√2(−√2舍)，y =3√2，即切点Q(√2,3√2)，则切点Q 到直线x +y =0的距离为√2+3√2|√12+12=4，故答案为：4．例9.（2016·上海·高考真题（文））已知平行直线，则12l l 与的距离是_______________.【解析】利用两平行线间的距离公式得d ==【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力. 【规律方法】两种距离的求解思路(1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．题型五：两条直线的交点例10.（2022·全国·高三专题练习）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤. (1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标； (2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)证明见解析，()0,1A ，()10B , (2)0m =时，S 取得最大值12 【解析】【分析】（1）在直线1l 的方程中令0x =可得出定点A 的坐标，在直线2l 的方程中令0y =可得出定点B 的坐标，由此可得出结论；（2）联立直线1l 、2l 的方程，可求得两直线的交点P 的坐标，计算出AP 和BP ，利用三角形的面积公式可计算出S 的表达式，由S 的表达式可求得S 的最大值及其对应的m 的值.（1）在直线1l 的方程中，令0x =可得1y =，则直线1l 过定点()0,1A ，在直线2l 的方程中，令0y =可得1x =，则直线2l 过定点()10B ,；（2）联立直线1l 、2l 的方程11y mx x my =+⎧⎨=-+⎩，解得221111mx m m y m -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即点2211,11m m P m m -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭.AP ==BP ，11m -≤≤，所以，()()222211111212212121m m m S AP BP m m m -⋅+-⎛⎫=⋅===- ⎪+++⎝⎭；212121S m ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭且11m -≤≤，因此，当0m =时，S 取得最大值，即max 12S =.例11.（2021·全国高三专题练习）求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ，且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【答案】450x y --= 【分析】解法一：先取得两直线的交点，再根据与直线470x y +-=垂直求解；解法二：根据直线l 垂直于直线470x y +-=，设直线l 的方程为40x y c -+=，再将.1l 与2l 的交点代入求解；解法三：根据直线l 过1l 与2l 的交点，设直线l 的方程为(523)(358)0x y x y λ+-+--=，再根据l 与直线470x y +-=垂直求解. 【详解】解法一：由5230,3580x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得(1,1). -直线470x y +-=的斜率为14-， ∴直线l 的斜率为4.因此满足条件的直线l 的方程为：14(1)y x +=-，即450x y --=. 解法二：直线l 垂直于直线470x y +-=.∴设直线l 的方程为40x y c -+=.1l 与2l 的交点为(1,1)P -，41(1)0c ∴⨯--+=，解得从而5c =-.所以直线l 的方程为450x y --=.解法三：因为直线l 过1l 与2l 的交点，∴设直线l 的方程为(523)(358)0x y x y λ+-+--=，即(53)(25)380x y λλλ++---=， l 与直线470x y +-=垂直，53425l k λλ+∴=-=-，解得1317λ=. ∴直线l 的方程为450x y --=.【规律方法】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.题型六：对称问题例12.（2020·山东高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，，则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上，所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=.故选：D.例13.（浙江·高考真题（理））直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-= 【答案】D【解析】【分析】设所求直线上任一点（x ，y ），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【详解】设所求直线上任一点（x y ，），则它关于1x =对称点为()2,x y -在直线210x y -+=上，∴2210x y --+=化简得230x y +-=故选答案D ．故选D ．例14.（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（）A ．BC ．D【答案】A【解析】依据题意作出图像如下： P l 40x y +-=(2,0)A -()2,0B ||||PA PB +设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为：，且由对称性可得：，解得：，所以因为，所以当三点共线时，最大此时最大值为故选：A【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标. 2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．3．若直线关于直线对称，则在直线上取两()2,0B l ()1,B a b 2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭1PB PB =()011224022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩4a =2b =()14,2B 1||||||||PA PB PA PB +=+1,,A P B ||||PA PB +1AB ==00(,)P x y :0l Ax By C ++=00(,)Q x y ''PQ l PQ l ⊥0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩00,x y '':0l Ax By C ++=00(,)P x y :0l Ax By C ++=0:0l Ax By C '++=,l l 'P :0l Ax By C ++=2=0C 0C l ':0l Ax By C ++=0000:0l A x B y C ++=:0l Ax By C ++=点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．4.中心对称问题的两种类型及求解方法5.轴对称问题的两种类型及求解方法若两点P (x ，y )与P (x ，y )关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组0l l 0l。

2021年高考总复习《直线与方程》讲义

直线与方程第1课：倾斜角与斜率一．学习目标二．知识梳理：（1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3）过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 三．典例分析与练习题1．在直角坐标系中，直线30x +-=的倾斜角是（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若直线过点(1,1)，(2,1+则此直线的倾斜角是（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°310y +-=的倾斜角是（）． A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．若三点()()()1,,5,7,10,12A b B C 在同一直线上，则实数b 等于（） A ．11-B ．11C ．3-D ．35．直线cos sin 10x y αα++=，(0,)2πα∈的倾斜角是（）A ．αB ．2πα-C ．2πα+D ．πα-第2课：直线与方程一．学习目标二．知识梳理：直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数. 三．典例分析与练习例1．根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.例2．ABC ∆中，顶点(3,4),(5,2)B C ，AC 边所在直线方程为430x y -+=，AB 边上的高所在直线方程为23160x y +-=．（1）求AB 边所在直线的方程；（2）求AC 边的中线所在直线的方程．四．练习题1．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（） A ．2x y +=B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．过点(3,4)A 且与直线l ：210x y --=平行的直线的方程是（） A ．2110x y +-= B ．2100x y +-= C ．250x y -+=D ．250x y --=4．已知ABC ∆中有()1,3B ，(5,1)C ，且AB AC =，则BC 边上的中线所在直线方程为()A ．1322y x =-+ B ．1722y x =-+ C ．24y x =+ D ．24y x =-5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-7．过点()3,1A -且在两坐标轴上截距相等的直线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是（） A ．230x y --= B ．250x y +-= C ．20x y -=D ．240x y +-=9．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为A ．BC ．2D ．10．已知直线l ：()120kx y k k R -++=∈. （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程.第3课：直线与直线位置关系一．学习目标二．知识梳理 1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定（1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直. （2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 三．典例分析与练习1．若直线()1120a x y a +-+-=与()()211150a x a y -+--=平行,则a 的值为（）A ．-1B ．1C ．-1或2D ．±12．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线1l ：230mx y m --+=，2l ：0x my m -+=，若12l l //，则m =（） A ．±1B ．1C ．-1D ．不存在4．已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）. A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或25．已知直线1l ：210x y +-=，2l ：250x ny ++=，3l ：310mx y ++=，若12//l l 且13l l ⊥，则m n +的值为( ) A ．10-B ．10C ．2-D ．26．已知直线()1:1310l a x y ++-=，直线2:210l x ay ++=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若12//l l ，求实数a 的值．7．已知直线1:210l ax y +-=，与直线()21:102l x a y +++=．（1）若12l l ⊥，求a 的值；（2）若12l l //，求a 的值.8．已知ABC ∆的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程.9．已知ABC △中，(2,2)A ，(4,0)B -，(3,1)C -，AD BC ⊥，垂足为D ．（1）求直线AD 的方程；（2）求过点D 且平行于边AC 的直线方程．10．已知直线l ：310kx y k --+=，k ∈R ．（1）证明：直线l 恒过定点；（2）设O 是坐标原点，()1,1A --，若OA l ⊥，求k 的值．第4课：距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题（1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --.②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程.(2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -.②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行.三．典例分析与练习题1．点(39)，关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（） A ．(13)--， B ．(179)-， C ．(13)-， D ．(179)-，2．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )AB ．4 C．D3．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )A ．(0,0)B ．(17，27)C ．(27，17)D ．(17，114) 4．已知直线:20l kx y -+=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（）A B C D ．5．平行线3410x y -+=与3440x y -+=之间的距离等于（）．A ．23B ．14C ．35D ．16．若点(3,)P a 到直线40x -=的距离为1，则a 的值为（）A B ．3-C ．3或D 3- 7．已知方程（2＋λ）x －（1＋λ）y －2（3＋2λ）＝0与点P （－2，2）.（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；（2）证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于8．已知直线l ：x ＋2y －2＝0.（1）求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；（2）求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．9．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．本章知识结构直线的倾斜角和斜率两条直线平行和垂直的判定直线与方程两条直线的位置关系两条平行线间的距离点到直线的距离两点间的距离相交求交点平行求距离直线的斜截式方程直角坐标系中画图直线的截距式方程方程之间互化直线的方程直线的两点式方程应用直线的点斜式方程直线的一般式方程。

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