平方根

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平方根ppt课件

在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。因此，斜边的平方根是直角边的长度与另一条直角边的长度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数，因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从负无穷增加到正无穷时，y的值也从负无穷增加到正无穷，因此该函数是单调递增的。

平方根的计算方法

平方根的计算方法导言：平方根（square root）是数学中常见的运算，用于求一个数的平方根。

计算平方根可以帮助我们解决很多实际问题，例如在几何学、物理学和工程学中的应用。

本文将介绍几种计算平方根的方法，并探讨它们的优缺点。

一、牛顿法（Newton's Method）牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近平方根的值来得到更加精确的结果。

该方法基于牛顿-拉夫逊法则，其迭代公式如下：x_(x+1) = x_x - (x_x^2 - x)/(2x_x)其中，x为需要求平方根的数，x为迭代次数，x_x为迭代过程中的近似值。

通过迭代计算，x_x将逐渐逼近平方根。

牛顿法的优点是收敛速度快、迭代次数较少，适用于求解大部分整数和实数的平方根。

但是，牛顿法需要选择一个合适的初始值，否则可能导致结果偏离真实值。

二、二分法（Bisection Method）二分法是一种基于区间划分的方法，通过不断将区间缩小，逐渐逼近平方根的值。

该方法的思路是，如果一个数的平方大于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数左侧；反之，如果一个数的平方小于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数右侧。

通过不断将区间一分为二，可以逐步缩小范围。

二分法的优点是简单易实现，并且收敛性较好。

然而，与牛顿法相比，二分法的收敛速度较慢，需要更多的迭代次数。

三、连分数（Continued Fraction）法连分数法是一种将平方根表示为连分数的方法，通过截断连分数的展开式，可以近似计算平方根的值。

以求解正整数的平方根为例，设平方根为一个无限连分数：√x = x_0 + 1/(x_1 + 1/(x_2 + 1/(x_3 + 1/(x_4 + ...))))其中，x_x为连分数的系数。

通过不断截断、逼近连分数的展开，可以得到近似的平方根。

连分数法的优点是可以提供较为准确的结果，并且在计算机实现时能够保持高精度。

然而，连分数法的计算步骤繁琐，对于非整数的平方根计算较为复杂。

数学中的平方根性质解析

数学中的平方根性质解析一、引言数学作为一门精确的科学，有着丰富的性质和规律。

其中，平方根是一个重要的概念，广泛应用于各个领域。

本文将从数学的角度对平方根的性质进行解析，探讨其在数学中的重要性和应用。

二、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。

例如，数学中常见的平方根有√2、√3、√5等。

平方根可以用符号√来表示，例如√2表示2的平方根。

三、平方根的基本性质1. 平方根的非负性：任何一个非负实数的平方根都是非负数。

这是因为平方根的定义要求解是正数。

2. 平方根的唯一性：对于一个非负实数，它的平方根是唯一确定的。

例如，2的平方根只有一个值，即√2。

3. 平方根的乘法性：对于两个非负实数a和b，(ab)的平方根等于a的平方根乘以b的平方根。

例如，(2×3)的平方根等于2的平方根乘以3的平方根，即√6=√2×√3。

4. 平方根的除法性：对于两个非负实数a和b，a除以b的平方根等于a的平方根除以b的平方根。

例如，(6÷2)的平方根等于6的平方根除以2的平方根，即√3=√6÷√2。

四、平方根的应用1. 平方根在几何中的应用：平方根广泛应用于几何中的长度和面积计算。

例如，一个正方形的边长为a，则它的面积为a的平方，即a²。

如果已知正方形的面积为S，那么它的边长可以通过计算S的平方根得到。

2. 平方根在物理中的应用：平方根在物理中的应用非常广泛，例如在力学中，根据牛顿第二定律可以得到物体的加速度与力的关系为a=F/m，其中F为物体所受的力，m为物体的质量。

如果已知物体的质量和受力大小，可以通过计算平方根得到物体的加速度。

3. 平方根在金融中的应用：平方根在金融领域中的应用较为复杂，例如在期权定价模型中，布莱克-斯科尔斯模型使用了平方根来计算期权的价格。

这个模型的核心思想是，期权的价格与标的资产价格的波动率有关，而波动率可以通过计算标的资产价格的历史波动率的平方根得到。

平方根

解：(1)正确；(2)错误；(3)错误；(4)错误．
知2－练
（来自教材）
2 下列说法正确的有（ A ）
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的一个平方根；
④4的平方根是－2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知2－练
知2－练
3 下列关于“0”的说法中，正确的是（ C ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
2 计算下列各式的值： (1) 9 ； (2) 0.49 ；
(3) 64 . 81
知3－练
解：(1) 9 3 ;
(2) 0.49 0.7 ;
(3)因为
8 2 9
64 81
，所以
64 81
8 9
.
（来自教材）
3 81 的平方根是（ C ） 16
A．± 9
B. 9
4
4
C．± 3 2
D. 3 2
2 易错小结
下列说法不正确的是（ D ） A．21的平方根是± 21 B． 21 是21的一个平方根 C． 21 是21的算术平方根 D．21的平方根是 21
1、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序渐进，逐步实现目标，才能避免许多无谓的挫折。
(2)因为0.92=0.81，所以 0.81 0.9 ；
(3)因为 ( 7 )2 49 ，所以 49 7 .
39
93
（来自教材）
总结
知2－讲
求一个式子的值，先分析式子的意义，特别是看清它表示的是算术平方根还是平方根，就是看清符号，最后的结果不改变它的正负性．

平方根的运算

平方根的运算平方根是数学中的一种运算，用于求解一个数（被称为被开方数）的平方根。

平方根可以用数学符号√来表示，即√被开方数。

求解平方根的操作被称为开方运算，它是数学领域中非常重要的一个概念。

在本文中，我们将深入探讨平方根的运算方法和相关概念。

一、开方运算基本概念开方运算是指对一个数进行平方根的求解操作。

在数学中，开方运算可以分为两种情况：正数的开方和负数的开方。

1. 正数的开方对于一个正数x，求解其平方根可以使用根号运算√x，结果是一个非负数。

例如，√9 = 3，表示9的平方根是3。

当被开方数是完全平方数时，其平方根是一个整数；当被开方数不是完全平方数时，其平方根是一个无理数，不能精确表示。

例如，√2是一个无理数，不能被有理数表示为分数或小数的形式。

2. 负数的开方对于一个负数x，求解其平方根需要引入虚数单位i。

虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。

因此，对于一个负数x，其平方根可以表示为±i乘以一个正数。

例如，√(-9) = ±3i，表示-9的平方根是±3i。

二、平方根的运算方法在进行平方根的运算时，常见的方法有以下几种：试除法、二分法和牛顿迭代法。

1. 试除法试除法是一种简单且直观的求平方根的方法。

该方法的原理是从一个猜测值开始，依次试除并逼近最终的平方根。

具体步骤如下：（1）选择一个初始猜测值，例如1。

（2）将被开方数除以猜测值，并计算商。

（3）将猜测值与商的平均值作为新的猜测值。

（4）重复步骤2和步骤3，直到猜测值的平方与被开方数的差小于所设置的误差范围。

试除法是一种较为原始的方法，计算过程中可能需要多次迭代才能得到较为准确的结果。

2. 二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它通过不断缩小平方根的取值范围来逼近最终的结果。

具体步骤如下：（1）确定被开方数的上下界，例如0和被开方数本身。

（2）计算上下界的中间值。

（3）判断中间值的平方与被开方数的大小关系，如果刚好等于，则中间值即为所求的平方根；如果大于被开方数，则新的上界变为中间值；如果小于被开方数，则新的下界变为中间值。

平方根

试一试
求下列各式的值：
⑵
9 25
⑴
1
⑶
2
2
⑷
1 - 3
2
跟我练
3 ⑴３的算术平方根是＿＿＿．
⑵ 81 的算术平方根是＿＿＿． 3
⑷若 , 则 2
⑶＿＿＿算术平方根等于它本身． 0和1
x
4 x ＿＿＿．
⑸若则
x
3 x 3
6 ＿＿＿．
⑹若则
x 36
100 - x 8
正数a的算术平方根记作： a 它的另一个平方根是它的相反数，记作：- a 因此一个正数a的平方根表示为： a 0的平方根还是0 0 0 那么求一个正数的平方根，只要求出它的算术平方根后，就可以写出它的平方根了。
跟我练
★ 一个正数有为算术平方根个平方根，它们互个。一个正数有
49
• (3)
x² =15
(4) 4x² =81
一个正数 a 的平方根，用符号 + 2 a 表示，
正数a的正的平方根，用符号 + 正数a的负的平方根，用符号 2
a 表示。
2
a 表示。
这两个平方根合在起来就是a的平方 2 + a 。根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。记作 a 读作“根号a”；
练
习
• 1、一个数的平方等于它本身，这个数是。一个数的平方根等于它本身， • 这个数是。 • 2、若3a+1没有平方根，那么a一定 -------• 3、若4a+1的平方根是±5，则a= 。 • 4、一个数x的平方根等于m+1和m-3，则m= 。x= 。
检
测
• 若|a-9|+（b-4）² =0，则 a 的平方根 b 是------------• 求下列各式中的x: 25 • (1) x² =16 (2) x² =

平方根的计算

测试案例和结果分析
测试案例设计
设计覆盖各种情况的测试案例，包括正常输入、边界情况、异常输入等。
结果分析
对测试结果进行详细分析，包括计算精度、计算速度、稳定性等方面，以评估程序的性能和可靠性。
05
平方根在数学中应用
几何学中距离和面积计算
距离公式
在二维平面或三维空间中，两点之间的距离计算经常涉及到平方根运算，如勾股定理。
统计学应用
在统计学中，平方根常用于计算标准差和方差等统计量。
金融学应用
在金融学中，平方根常用于计算波动率和风险价值等金融指
标。
02
手工计算方法
逐位试探法原理及步骤
原理
从最高位开始，逐位确定平方根的各个数位上的数字，使得该数位的平方不超过原数对应位置的数。
步骤
首先确定最高位数字，然后依次确定次高位、次次高位等，直到达到所需的精度或无法继续确定下一位数字为止。
平方根的计算
汇报人：XX 20XX-01-31
contents
目录
• 平方根概念及性质 • 手工计算方法 • 数值迭代算法 • 程序设计实现 • 平方根在数学中应用 • 总结与展望
01
平方根概念及性质
平方根定义与表示方法
平方根定义
若一个数的平方等于另一个给定的数，则这个数称为给定数的平方根。
THANK YOU
感谢观看
非负性
对于任意实数a，若a≥0，则其平方根√a总是非负的。
唯一性
对于给定的非负数a，其平方根√a是唯一的。
运算性质
平方根运算满足一些基本的运算性质，如 √(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）等。
实际应用举例
几何应用

平方根公式计算公式

平方根公式计算公式1.正平方根公式：正平方根公式可以表示为：√a=b，其中a是被开方数，b是正的平方根。

计算一个正数的平方根的一种方法是使用二分法。

首先，确定一个区间[a,b]，其中a是0，b是这个正数。

然后计算区间的中点c，如果c的平方等于这个数，那么c就是这个数的平方根；如果c的平方小于这个数，那么新的区间为[c,b]；如果c的平方大于这个数，那么新的区间为[a,c]。

然后继续重复这个步骤，直到找到满足条件的平方根。

另一种常见的计算正平方根的方法是使用牛顿法。

牛顿法的思想是通过不断逼近函数的零点来计算一个函数的根。

对于计算平方根，可以将问题转化为求解方程x^2-a=0。

然后使用牛顿法的迭代公式：x_n+1=x_n-(f(x_n)/f'(x_n))，其中x_n是前一次的迭代结果，x_n+1是下一次的迭代结果，f(x_n)是函数在x_n处的值，f'(x_n)是函数在x_n处的导数值。

重复使用这个迭代公式直到满足精度要求。

2.负平方根公式：负平方根公式可以表示为：√a=-b，其中a是被开方数，b是正的平方根。

负平方根可以通过正平方根乘以虚数单位i来表示。

虚数单位i是一个虚数，定义为i^2=-1、所以负平方根可以表示为：√a=√(a*-1)=i*√(-a)。

因此，计算负平方根可以先计算被开方数的绝对值的正平方根，然后乘以虚数单位i即可。

例如，计算-9的平方根：首先计算9的正平方根：√9=3然后乘以虚数单位i：√-9=3i。

计算平方根的公式有很多应用，例如在几何学中可以用来计算三角形的边长或者求解圆的半径；在物理学中可以用来计算物体的速度或者求解方程等。

不同的方法和公式可以根据具体的问题和需求来选择使用。

平方根

1 1 256 的算术平方根是 16
；
；
0 的算术平方根是 0
10－4的算术平方根是
10 2 ；
（2）100的算术平方根是 10 2 的算术平方根是
10
1 10
49 ；的算术平方根是； 64 0.9 ；0.81的算术平方根是；
7 8
1 （3） 2 的算术平方根是 2
81 13 49表示49的算术平方根，49＝7 温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写
49
2
0.0009
出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法 2 2 2 写出对应的值．例如 13 表示13（或169）的算术平方根, 13 13 16 16 16 4 25 表示25的算术平方根。表示的算术平方根，＝
非负数
a ≥0
（a≥0）
算术平方根具有双重非负性
• 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系（1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。（2）存在条件相同：平方根和算术平方根的被开方数都具有非负性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
•平方根与算术平方根的联系与区别：区别（1）定义不同： “如果一个数X的平方等于a，那么这个数X叫做a的平方根”，“我们把一个正数a的正的平方根，叫做这个数a的算术平方根”。（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个。（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为√a，而正数a的平方根表示为±√ a. （4）取值不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根一定是正数。
2
（2）
∵ 10 10 6 ∴10 的平方根是 10 3 即 10 6 10 3

平方根与算术平方根

平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3.2.算数平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.2、区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。

练习1．9的平方根是（）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．下列说法中正确的是（）A ．任何数都有平方根B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身C ．只有正数才有算术平方根D ．不是正数没有平方根3．下列各式正确的是（）A ．1691=45B ．414=221 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（）A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5．下列各式无意义的是（）A ．－5B ．25-C ．51- D ．2)5(- 6．3－2的算术平方根是（） A ．61 B ．31C ．3D ．6 7．（－23）2的平方根是（） A ．±8 B ．8 C ．－8D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（）A ．正数B ．负数C ．0D ．非正数9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（）A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：（1）∵42=16，∴16的算术平方根是，用符号表示出来为；（2）∵94)32(2=，∴94的算术平方根是；用符号表示出来为；（3）∵( )2=6，∴6的算术平方根是 .11．若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.12．8116的平方根是____________，（21-）2的算术平方根是____________． 13．y =x x -+-33+2，则x =__________，y =__________．14．一个数的算术平方根是它本身，这个数是______________．15．252－242的平方根是__________，0.04的负的平方根是____________．16．若2-a +|b －3|=0，则a +b －5=____________．17．若4x 2=9，则x =____________．18．81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19． (－π)2的算术平方根为_____.20．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.1)2； (2)(－3.5)2； (4)241.21、求各式的值－01.0 2)5(- 610-22、计算32÷（－3）2+|－61|×（－6）+49．23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2－36=0； (2) (x +1)2－81=0；24、12-x +（y +2）2=0，求x －3+y 3的值．25、 |2a －5|与2+b 互为相反数，求ab 的值．26、已知x ，y 满足x x y 211121-+-=+3，求x y27、请你在数轴上画出表示5的点，并简要说出你的画法．。

平方根的概念与性质

平方根的概念与性质平方根是数学中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域。

在数学中，平方根是求一个数的平方的逆运算，可以将平方根定义为满足平方等于该数的非负数。

在讨论平方根的性质前，先来了解一下平方根的符号表示和计算方法。

在数学中，平方根通常用符号√来表示。

例如，√4表示4的平方根，它的值为2，因为2的平方等于4。

而√9则表示9的平方根，它的值为3。

在实际计算中，我们可以利用平方根的定义和公式进行求解。

在数学中，平方根具有以下几个重要的性质。

1. 非负性：平方根是非负数。

根据平方根的定义，如果一个数的平方根存在，则其平方根一定是非负的。

因为任意实数的平方都大于等于0，所以平方根的值不能是负数。

2. 唯一性：每个正数都有唯一的正平方根。

对于任意一个正数，它的平方根是唯一确定的。

例如，4的平方根是2，不存在其他正数的平方等于4。

3. 无理性：大多数数的平方根是无理数。

一个数的平方根如果不是整数，且不能表示为两个整数的比值，那么它就是一个无理数。

例如，2的平方根√2是一个无理数，它无限不循环地连续小数。

4. 代数性：平方根具有代数性质。

对于一个非负实数a和b，有以下代数性质成立：- 任意非负实数a，它的平方根可以表示为±√a。

- 平方根运算具有乘法运算的结合律，即√(ab) = √a * √b。

- 平方根运算具有除法运算的性质，即√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。

除了这些基本性质外，平方根还有一些其他的特性。

在几何学中，平方根的概念与求解直角三角形的边长密切相关。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。

因此，通过求解平方根可以得到直角三角形的边长。

在物理学中，平方根的概念与速度和加速度的关系密切相关。

加速度是速度对时间的变化率，而速度是位移对时间的变化率。

通过平方根运算，可以求解速度和加速度之间的关系。

在工程学和科学研究中，平方根还被广泛应用于信号处理和图像处理等领域。

平方根

《平方根》【知识要点】1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），2、算术平方根：3、平方根的性质：（1）一个正数有个平方根，它们；（2）0平方根，它是；（3）没有平方根． 4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表：【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根；⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个例2、36的平方根是（） A 、6 B 、6±C 、6D 、6± 例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 例5、求下列各式中的x ：（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0 【巩固练习】一、选择题1． 9的算术平方根是（）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 2．下列计算正确的是（）A±2 B C.636=± D.992-=- 3．下列说法中正确的是（）A ．9的平方根是3 B22 4． 64的平方根是（）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 7．以下语句及写成式子正确的是（） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7±是49的平方根，即749±= 8．下列语句中正确的是（）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（） A 、任意算术平方根是正数 B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根 11．下列说法正确的是（）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ± 12．下列叙述中正确的是（） A ．（-11）2的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数 13．25的平方根是（） A 、5B 、5-C 、5±D 、5± 14．36的平方根是（） A 、6 B 、6±C 、6D 、6± 15．当≥m 0时，m 表示（） A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数16．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是（）A ．43169±= B ．43169±=±C ．43169= D ．43169-=-17．算术平方根等于它本身的数是（） A 、1和0B 、0C 、1D 、1±和0 18．0196.0的算术平方根是（）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0± 19．2)6(-的平方根是（）A 、－6B 、36C 、±6D 、±620．下列各数有平方根的个数是（）（1）5；（2）（-4）2；（3）-22；（4）0；（5）-a 2；（6）π；（7）-a 2-1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个21．2)5(-的平方根是（）A 、5±B 、 5C 、5-D 、5± 22．下列说法错误的是（）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根23．下列命题正确的是（） A ．49.0的平方根是0.7 B ．0.7是49.0的平方根C ．0.7是49.0的算术平方根D ．0.7是49.0的运算结果24．若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（） A ．a B ．a -C ．2a - D ．3a25．3612892=x ，那么x 的值为（） A ．1917±=x B ．1917=xC ．1817=x D ．1817±=x26．下列各式中，正确的是（） A.2)2(2-=- B.9)3(2=-C.39±=±D.393-=- 27．下列各式中正确的是（） A ．12)12(2-=- B ．6218=⨯ C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±28.若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（）(A) 1± (B) 4 (C) 3或5 (D) 529.若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为（）(A) 2- (B) 5± (C) 5 (D) 5-30．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是；31.满足x 是32．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（） A.a S =B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=33. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（） A.0≥a B.0≤a C.0=a D.0≠a34.22)4(+x 的算术平方根是（）A 、42)4(+xB 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x35．2)5(-的平方根是（）A 、5±B 、5C 、5-D 、5± 36.下列各式中，正确的是（）A. 2)2(2-=- B.9)3(2=-C.39±=±D.393-=-37．下列各式中正确的是（）A ．12)12(2-=- B ．6218=⨯C ．12)12(2±=- D ．12)12(2=-±38.下列各组数中互为相反数的是（）A 、2)2(2--与 B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与-二、填空题：1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的，所以的平方根是 2．非负数a 的平方根表示为3．因为没有什么数的平方会等于，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是4_______；9的平方根是_______．525的平方根记作，结果是 6．非负的平方根叫平方根 7．2)8(-=8．9的算术平方根是，16的算术平方根是；9．210-的算术平方根是，0)5(-的平方根是；10．一个正数有个平方根，0有个平方根，负数平方根. 11．一个数的平方等于49，则这个数是12．化简：=-2)3(π。

平方根公式计算方法

平方根公式计算方法
平方根公式是一种用于计算一个数的平方根的方法。

它是根据二次方程的求根公式推导而来。

平方根公式的一般形式为：x = (±√(b²-4ac))/2a
其中，a、b和c为方程ax²+bx+c=0的系数。

使用平方根公式计算一个数的平方根的步骤如下：
1. 确定方程的系数a、b和c。

2. 将系数代入平方根公式。

3. 计算平方根公式中的b²-4ac的值。

4. 计算平方根公式的两个解，即(±√(b²-4ac))/2a。

5. 根据实际问题，选取适合的解。

需要注意的是，平方根公式只适用于二次方程。

对于其他类型的方程，需要使用相应的求根公式进行计算。

平方根定律公式

平方根定律公式
平方根定律（鲍莫尔 - 托宾模型）公式：
1. 公式形式。

- 设：M = (1)/(2)√(frac{2bY){r}}
- 其中M表示最优货币持有量（交易性货币需求）；Y表示名义收入；r表示利率；b表示每次债券交易的手续费等成本。

2. 公式推导的经济含义理解。

- 交易性货币需求与收入和利率相关。

- 从公式看，收入Y越高，货币需求M越大，这是因为随着收入增加，人们的交易规模扩大，需要更多的货币来进行交易。

例如，一个高收入者相比低收入者，日常的消费、投资等交易规模更大，所以需要持有更多的货币。

- 利率r越高，货币需求M越小。

因为利率是持有货币的机会成本，当利率高时，人们更倾向于将资金投资于债券等有息资产，而减少货币持有量。

例如，当银行存款利率很高时，人们会把更多的钱存入银行获取利息，而不是以现金形式持有。

- 每次债券交易成本b越高，货币需求M越大。

因为较高的交易成本会使人们减少债券交易的频率，从而需要持有更多的货币以满足交易需求。

证券交易手续费很高时，投资者会减少买卖证券的次数，为了保证日常交易，就会多持有一些货币。

平方根基础知识

平方根基础知识【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点诠释：有意义时，≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为＝0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2．（）（3）的平方根是．（） ()20a a =≥250=25= 2.5=0.25=()24-9-4=±21()10-110±（4）是的算术平方根．（）【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2；（4）是的算术平方根． 2、填空：（1）是的负平方根．（2表示的算术平方根，．（3的算术平方根为．（4，则，若，则．【思路点拨】（3就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)(3) (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）（225--4254=254254-=3=x =3=x =181191911;164138-（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4） 3的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.举一反三：【变式】（2020春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0，∴，解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x 值（1）169x 2=144（2）（x ﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x ﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】655x x 1-x x 1-a a解：（1）169x 2=144，两边同时除以169，得开平方，得x=（2）（x ﹣2）2﹣36=0，移项，得（x ﹣2）2=36开平方，得 x ﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3，由题意得，·3＝13233＝1323＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.2144169x =x x x x 2x 21x =±x。