第二章 几何组成分析
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结构力学第2章平面几何组成分析
几何组成作业题
2-3, 2-5 2-7, 2-8 2-10, 2-12 2-16, 2-21 交作业时间:周 3
§2. 几何组成分析
补充作业:（不做） 2-1 (b)试计算图示体系的计算自由度
解:
或:
W 8 3 11 2 3 1 W 1 3 5 2 2 2 10 1
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分 析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.
例4: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为瞬变体系. 方法3: 将只有两个铰与其它 部分相连的刚片看成链杆. 书上例题2-1、2-3同。
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分 析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
计算自由度大于零一定可变; 若等于零则一定不变吗? 五. 计算自由度 六. 多余约束 必要约束 计算自由度小于零一定不变吗? 计算自由度小于零一定有多余约束
§2.1 基本概念
§2-1 基本概念 一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 三. 自由度 四. 约束(联系) 链杆 单铰 复铰 虚铰 实铰 五. 计算自由度 六. 多余约束 必要约束
练习: 对图示体系作几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分 析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
练习: 对图示体系作几何组成分析
无多余约束的几何不变体系。
三杆不平行不变 平行且等长常变 平行不等长瞬变
§1. 几何组成分析
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
结构力学第二章
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第二章 几何组成分析
分析图何组成。
解：如图所示去除二元体后，中间两竖向链杆 如图所示去除二元体后， 各缺一个约束，为几何常变体系。 各缺一个约束，为几何常变体系。
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第二章 几何组成分析
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第二章 几何组成分析
分析图示体系的几何组成。 例2-14 分析图示体系的几何组成。
Ⅲ
[Ⅰ, Ⅲ]
Ⅰ
[Ⅰ, Ⅱ]
Ⅱ
[Ⅱ, Ⅲ]
解：取图示三刚片，三铰共线，不符合三刚片 取图示三刚片，三铰共线， 规则，为几何瞬变体系。 规则，为几何瞬变体系。
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第二章 几何组成分析
分析图示体系的几何组成。 例2-11 分析图示体系的几何组成。
[Ⅰ, Ⅱ] Ⅰ Ⅱ
[Ⅰ, Ⅲ] Ⅲ
[Ⅱ, Ⅲ]
解：先分析外框，如右 先分析外框， 上图，符合三刚片规则， 上图，符合三刚片规则， 视作地基扩展。 视作地基扩展。在分析内 三铰共线， 部，三铰共线，不符合三 刚片规则，几何瞬变。 刚片规则，几何瞬变。
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第二章 几何组成分析
分析图示体系的几何组成。 例2-16 分析图示体系的几何组成。
Ⅰ
[Ⅰ, Ⅱ] Ⅱ [Ⅱ, Ⅲ] Ⅲ
[Ⅰ, Ⅲ]
解：取图示三刚片，符合三刚片规则，因此为 取图示三刚片，符合三刚片规则， 无多余约束的几何不变体系。 无多余约束的几何不变体系。
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体系的几何组成分析-结构力学
结论：无多余约束的几何不变体系
（3）平面内三个刚片的连接
刚片Ⅱ B
铰A 刚片Ⅲ 链杆2
C
刚片Ⅰ
规律3 三个刚片用三个 铰两两相连，且三个铰 不在一直线上，则组成 无多余约束的几何不变 体系。
对象：刚片I、Ⅱ和Ⅲ 联系：铰A(Ⅱ和Ⅲ )、B ( I和Ⅱ)、C(I和Ⅲ )，三铰不共线 结论：无多余约束的几何不变体系
• 体温低于 35 ℃为体温过低： 危重患 者、 极度衰弱的患者失去产生足够热 量的能力 ，导致体温
• 低温治疗： 临床上由于病情需要，常 采用人工冬眠或物理降温作为治疗措 施
作业
、发热的类型有哪几种 、发热常用的处置方法有哪些
➢ 杆件与杆件之间的连接—结点
单铰结点 2个约束
链杆 1个约束
单刚结点 3个约束
2.2 自由度和约束
2.2 自由度和约束
教学目标：
掌握自由度的基本概念 掌握约束的定义与分类
教学内容：
自由度 约束
知识点
自由度
✓等于体系的独立运动方式。
✓等于体系运动时可以独立改
y
变的坐标数目。
B
y
A
x x
一个点在平面内有两个自由度。
工程结构的自由度等于零
y
y
x x
一个刚片在平面内有三个自由度。
解：三角形法则，得刚片Ⅰ 、Ⅱ 对象：刚片Ⅰ、Ⅱ 联系：铰A，链杆1，不共线 结论：几何不变，无多余约束
例5： 分析体系的几何组成。
B
C
A
ⅠⅡ
解：去二元体，得
对象：刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 联系：铰A，B、C，不共线 结论：几何不变，无多余约束
Ⅲ
例6： 分析体系的几何组成。
第2章几何组成分析
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ Ⅱ Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
体系是无多余约束的几何不变体系
三、进一步举例
例题1
结论:
无多余约束的几何不变体系
A
A
相交在∞点
6 多余约束与必要约束 不减少体系自由度的约束称为多余约束。反之为必要约束。
▽注意：多余约束不改变体系的自由度，但将影响结构的受力与Байду номын сангаас形。
几何组成分析
二、 几何不变体系的基本组成规则
1、两个刚片之间的联结（规则一）： 两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无 多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不 全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
几何组成分析
2.4 几何组成分析举例
一、思路 1可先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几 何可变，不必进行几何组成分析；若W<0，则应进行几何 组成分析（辅助）。 2若体系可视为两个或三个刚片时，则直接应用三规则 分析。 3若体系不能直接视为两个或三个刚片时，可先把其中 已分析出的几何不变部分视为一个刚片或撤去“二元体”， 使原体系简化。
一、几何可变体系 一般无静力解答。
实饺
虚饺
三饺共线 （瞬变）
几何组成分析 3、一个刚片与一个结点之间的联结（规则三）： 在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成 无多余约束的几何不变体系（或：在一个刚片上增加二元体）。
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
第二章 几何组成分析
2. 正确区分静定结构与超静定结构。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
结构的几何组成分析
掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理的结构。 固定结构（不可移动结构）cmin=n 运动学方法适用于简单结构，静力学方法则可适用于复杂结构。 约束(constraint):减少自由度的装置，称为约束，用c表示。 满足内力唯一解的充分必要条件是静定结构，此结构是几何不变且不可移动的。 自由结构（可移动结构）cmin=n-3 若3刚片用有限远或无限远共线（平行）的3个实（虚）铰相连，则系统瞬变 自由结构（可移动结构）cmin=n-6 自由度（dof）：决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目，称为物体的自由度，用n表示。 如果约束数多于自由度数，即未知力数少于平衡方程数，无内力解，系统为几何可变或移动的，如果约束数多于自由度数，即未知力 数多于平衡方程数，有无穷多解，为超静定系统，建立附加条件后可获得内力唯一解。 一个刚片与一个点用两根不在同一直线上的连杆相连，则组成无多余约束的几何不变体。 f=3×3-2×1-2×2=3 例5：计算多余约束并判断几何可变性
不合理系统
2.2 几何不变性的判断
• 几何不变体的组成规律
三刚片规则：三个刚片之间用不在同一直线上的铰（实铰或虚铰）两两相连 ，组成无多余约束的几何不变体。
• 推论1（两刚片规则）
两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的连杆相连，或者两个刚片用3根不全 平行也不交于一点的连杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。
• 推论2（二元体规则）
一个刚片与一个点用两根不在同一直线上的连杆相连，则组成无多余约束的 几何不变体。
8
2.2 几何不变性的判断
• 瞬变体系的分析
若3刚片用有限远或无限远共线（平行）的3个实（虚）铰相连，则 系统瞬变
可变系统
瞬变系统
瞬变系统
9
不合理系统
2.2 几何不变性的判断
• 几何不变体的组成规律
三刚片规则：三个刚片之间用不在同一直线上的铰（实铰或虚铰）两两相连 ，组成无多余约束的几何不变体。
• 推论1（两刚片规则）
两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的连杆相连，或者两个刚片用3根不全 平行也不交于一点的连杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。
• 推论2（二元体规则）
一个刚片与一个点用两根不在同一直线上的连杆相连，则组成无多余约束的 几何不变体。
8
2.2 几何不变性的判断
• 瞬变体系的分析
若3刚片用有限远或无限远共线（平行）的3个实（虚）铰相连，则 系统瞬变
可变系统
瞬变系统
瞬变系统
9
2 几何组成分析
n=2
刚 片
定义：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。
一根杆件（一根梁、一个柱）、地基基础或体系中已经 肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
刚片形状可以任意替换
每个自由刚片有 多少个 自由度呢？
平面刚体——刚片
B
刚片 自由度数
x
A
y
n=3
几何不变体系的自由度一定等于零 S=0 几何可变体系的自由度一定大于零 S>0
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
◆在计算自由度的式子中，部件可以是点，也可以是
刚片。但刚片必须是内部没有多余约束的刚片，如果
遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多 余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束
总数时应当考虑进去。
无多余 约 束的刚片
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
例4：求下列图示体系的计算自由度
2 2
有 几 个 单 铰？
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1
3
1
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
例5：求图 示体系的计 算自由度
上部 具有多 余联系
W=2j-b-r
其中： j--结点数 b--链杆数 r-支座链杆
应用上述公式时注意：
（1）复铰要换算成单铰。 一个复铰相当于（n-1)个单铰， 其中，n：复铰联接的杆件数。 如下图所示：
（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。
第二章 平面体系的几何组成分析
(6) 复刚结点（P.15）
联结n个刚片间的刚结点相当于（n-1）个单刚结点 （P.16） (7) 复链杆
一般来说，联结n个点的复链杆相当于（2n-3） 个单链杆（P.16）
五、不同的装置对自由度的影响
1．一个支杆（或链杆）、可动铰支座→减少一个自由度。 2．两个相交的支杆、固定铰支座→ 减少两个自由度。 3．单铰（中间铰）：一个单铰减少两个自由度。 4．固定支座或刚结点：减少三个自由度。
几何不变体系的要求：杆件和支承数量要足够，组成方式 要合理。
可变
不变
可变
可变
可变
不变
二、二元体规则：一个点与一个刚片之间的连接方式。 1.约束：一个平面内的点有两个自由度，采用两个联系， 可使其几何不变。 2.规律I：一个刚片与一个点用不在同一直线上的两根 链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变体系。
三、刚片与自由度
刚片：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球
或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作 一个平面刚片。
四、约束（联系）： 减少自由度的装置或连接。
常见的约束：
(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
y
O
x
进行几何组成分析时，应注意：
1）体系中的每根杆件和约束都不能遗漏，也不能 重复使用。 2）当分析无法进行下去时，一般是使用的刚片或 约束不恰当，应重新选择刚片或约束再试。 3）对于某一体系，可能有多种分析途径，但结论 是唯一的。
练习：分析图示体系的几何组成。
D
C
ED
C
E
D
C
E
A
B
A
B
第二章 结构的几何组成分析
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3
=0
注意：1、W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系 必须的约束数够不够。即： W>0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。 W=0 实际约束数等于体系必须的约束数 W<0 体系有多余约束
不能断定体系 是否几何不变
由此可见:W≤0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而不是 充分条件。
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
例5: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为常变体系. 方法4: 去掉二元体.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
例7: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系.
谢谢大家
（2）有两对平行链杆（有两个虚铰在无穷远处）：
结论：
这两对平行链杆互相平行——几何可变； 这两虚铰的两对 链不平行则几何不变；否则几何可变；
（3）有三对平行链杆（有三个虚铰在无穷远处）：
结论：
几何可变
虚铰
§2.3 几何组成分析方法
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
常见才约束有：铰、链杆、刚性支座等。
1.铰
①、单铰： 联结两个刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度 单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
1 C 2
x
y
②、虚铰（瞬铰）
联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单 铰即瞬铰。 瞬铰
第2章体系几何组成分析
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
10
4、刚性连接：刚结点、固定端支座
将两刚片联结成一个整体的结点 图示两刚片有六个自由度, 加刚性联结后有三个自由度
一个单刚结点可减少三个自由 度相当于三个约束。 刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余 约束,若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
A
B
A
4、由一基本刚片开始，逐步增 加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个 刚片相连，再用规则判定。
E C A D
F
B
25
(2,3)
(1,3)
Ⅱ Ⅲ
(1,2)
Ⅰ
三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。26
5、当体系杆件数较多 时，将刚片选得分散些， 用链杆相连，而不用单 铰相连。
因此，静定结构的几何组成特征是几何不变且无多 余约束，超静定结构也为几何不变但有多余约束。通过 几何组成分析可以判定结构是静定的还是超静定的。
绝大部分的建筑结构都是超静定结构。
38
§2-5 静定结构和超静定结构
从受力特征看： 凡只需利用静力平衡条件就能确定全部支座反力和内 力的结构称为静定结构。 全部支座反力或内力不能只由静力平衡条件来确定的 结构称为超静定结构。
6、刚片的等效代换：在不改变刚片 与周围的连结方式的前提下，可以改变 它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
如：链杆即刚片，刚片可化为链杆， 折杆与直杆等效，实铰与虚铰等效， 几何不变体可看为刚片 Ⅰ Ⅱ
.
几何瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系 29
结构力学第二章几何组成分析
所以：W≤0是体系几何不变的必要条件，而不是充分条件。 实际自由度=各刚片自由度总数-非多余联系数 由此可见：当体系上没有多余联系时，计算自由度就是体系的 实际自由度。
C
计算体系的自由度
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
A
F
G B
=3×7－2×9－3
=0
D
E
计算图示体系的自由度
F
①
E ②
§2-1 概述
在忽略材料应变的前提下，体系可分为两类：
(1)几何不变体系：
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下， 若能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何不变 体系。 如图2-1任意荷载作用下，都能维持几何形状和位置不变。
(2)几何可变系：
即使受到很小的外力，也能引起其几何形状或位置的改变，这 类体系称为几何可变体系。如图2-2在外力作用下，其形状或 位置会改变。
如刚片数m，单铰数n，支承链杆数r，则
应用时注意：
W=3m －（2n+r）（2—1）
（1）复铰要换算成单铰，如图2-5。
图2-5 （2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。 （3）对于铰结链杆体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系。计算体系自 由度的公式为：
W=2j－b－r
§2-1 体系的计算自由度
2.2.1 自由度： 体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参 数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
在平面内确定一个自由点的位置需要两个独立坐标， 如图2-3（a），所以，平面内一个自由点有两个自由度。 在平面内确定一个自由刚片的位置需要三个独立坐标，如 图2-3（b）， 所以，平面内一个自由刚片有三个自由度。
C
计算体系的自由度
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
A
F
G B
=3×7－2×9－3
=0
D
E
计算图示体系的自由度
F
①
E ②
§2-1 概述
在忽略材料应变的前提下，体系可分为两类：
(1)几何不变体系：
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下， 若能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何不变 体系。 如图2-1任意荷载作用下，都能维持几何形状和位置不变。
(2)几何可变系：
即使受到很小的外力，也能引起其几何形状或位置的改变，这 类体系称为几何可变体系。如图2-2在外力作用下，其形状或 位置会改变。
如刚片数m，单铰数n，支承链杆数r，则
应用时注意：
W=3m －（2n+r）（2—1）
（1）复铰要换算成单铰，如图2-5。
图2-5 （2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。 （3）对于铰结链杆体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系。计算体系自 由度的公式为：
W=2j－b－r
§2-1 体系的计算自由度
2.2.1 自由度： 体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参 数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
在平面内确定一个自由点的位置需要两个独立坐标， 如图2-3（a），所以，平面内一个自由点有两个自由度。 在平面内确定一个自由刚片的位置需要三个独立坐标，如 图2-3（b）， 所以，平面内一个自由刚片有三个自由度。
第二章 几何组成分析
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩 下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有 一个自由度的几何可变体系。
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
O13 O23
O12
形状可任意替换
3、自由度
自由度-- 确定物体位置所需要的独立坐标数目 体系运动时可独立改变的几何参数数目
平面内一点
x y
w=2
平面内j 个点， w=2j
平面内一刚片
B
x
A
w=3
y
4、 约束
约束（联系）--减少自由度的装置。
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不 论其形状和铰的位置如何
在平面内两个点自由度 等于4 加入一根链杆后自由度 等于3，减少了一个自 由度
n-1个
5、多余约束和非多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
链杆1和2能减少点 A 的两
个自由度，因此链杆1和2
都是非多余约束。
链杆1、2和3共减少点 A 的两个
自由度，因此三根链杆中只有两 根是非多余约束，有一个是多余 约束。
每个自由刚片有 多少个
一根链杆减少了一个自由度=一个联系（约束）
用一链杆将一刚片与地面相联
两刚片用一链杆相联
Ⅰ
15 6
3
4
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
5、6不是链杆。
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰 一个单铰相当于几个约束呢？
在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
O13 O23
O12
形状可任意替换
3、自由度
自由度-- 确定物体位置所需要的独立坐标数目 体系运动时可独立改变的几何参数数目
平面内一点
x y
w=2
平面内j 个点， w=2j
平面内一刚片
B
x
A
w=3
y
4、 约束
约束（联系）--减少自由度的装置。
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不 论其形状和铰的位置如何
在平面内两个点自由度 等于4 加入一根链杆后自由度 等于3，减少了一个自 由度
n-1个
5、多余约束和非多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
链杆1和2能减少点 A 的两
个自由度，因此链杆1和2
都是非多余约束。
链杆1、2和3共减少点 A 的两个
自由度，因此三根链杆中只有两 根是非多余约束，有一个是多余 约束。
每个自由刚片有 多少个
一根链杆减少了一个自由度=一个联系（约束）
用一链杆将一刚片与地面相联
两刚片用一链杆相联
Ⅰ
15 6
3
4
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
5、6不是链杆。
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰 一个单铰相当于几个约束呢？
在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
第二章 几何组成分析
在两刚片之间至少应该加入3个约束，才可能将这 两个刚片组成一个几何不变的体系。
下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。
一、两刚片法则
首先回顾一下铰结点的特点。
实铰
(a）
虚铰 O
刚片I
①
②
刚片II
(b）
图(b)中，刚片I和Ⅱ用两根不平行的链杆①、②联结。 若刚片I固定不动，那么刚片Ⅱ可绕两杆延长线的交点O转 动；反之，若设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片I也可绕O点转 动。
三、二元体法则
二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点（特指 铰结点）的装置。
二元体
二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不 会改变原体系的几何组成性质。即： 1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何可变体系； 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何不变体系。
4、总结：静定结构、超静定结构的两种定义
• 用静力平衡条件叙述 全部反力和内力是否可以由静力平衡条件全部求得。
• 用几何组成规则叙述 静定结构：几何不变、无多余约束； 超静定结构：几何不变、有多余约束。
作业：书P.17 2-1、2-2、2-7、2-9、2-11、2-12
（a）
（b）
3、从几何组成上定义
1）静定结构：几何不变、无多余约束的体系。
凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构； 反之，静定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
2）超静定结构：几何不变、有多余约束的体系。
凡是有多余约束的几何不变体系一定是超静定结构； 反之，超静定结构一定是几何不变且有多余约束的体系。
球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看 作一个刚片。
下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。
一、两刚片法则
首先回顾一下铰结点的特点。
实铰
(a）
虚铰 O
刚片I
①
②
刚片II
(b）
图(b)中，刚片I和Ⅱ用两根不平行的链杆①、②联结。 若刚片I固定不动，那么刚片Ⅱ可绕两杆延长线的交点O转 动；反之，若设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片I也可绕O点转 动。
三、二元体法则
二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点（特指 铰结点）的装置。
二元体
二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不 会改变原体系的几何组成性质。即： 1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何可变体系； 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何不变体系。
4、总结：静定结构、超静定结构的两种定义
• 用静力平衡条件叙述 全部反力和内力是否可以由静力平衡条件全部求得。
• 用几何组成规则叙述 静定结构：几何不变、无多余约束； 超静定结构：几何不变、有多余约束。
作业：书P.17 2-1、2-2、2-7、2-9、2-11、2-12
（a）
（b）
3、从几何组成上定义
1）静定结构：几何不变、无多余约束的体系。
凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构； 反之，静定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
2）超静定结构：几何不变、有多余约束的体系。
凡是有多余约束的几何不变体系一定是超静定结构； 反之，超静定结构一定是几何不变且有多余约束的体系。
球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看 作一个刚片。
几何组成分析
3
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
第2章-结构的几何组成分析
平面刚体——刚片
B
x
n=3
A
y
注:基础为不动刚片，其自由度为零。
2021/4/614:46
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 1退0 出
2.2.2 约束（或联系）
1、定义：
物体的自由度，将会因加入限制运动的装置而 减少，凡减少自由度的装置称为约束（联系）
2、常见约束装置对自由度的影响：
瞬变体系和常变体系
瞬变体系
常变体系
2021/4/614:46
思考题：瞬变体系能 否作为结构？为什么？
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 退4 出
2、几何不变体系
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的变形）
2021/4/614:46
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 退5 出
W=3m-(2n+r) = 3*4-(2*4+6) =-2 <0
2021/4/614:46
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 1退6 出
小结
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求
的最少联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
W> 0 W≤ 0
2021/4/614:46
： 元朱 、占 李元 静、李静朱占元、李静朱上占一张 下一张 主 页 2退1 出
2.3.2 三刚片规则
规则： 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相 连，组成的体系是几何不变的，且无多余约束。
应用条件：不在同一直线上的三个铰两两相连，若在 同一直线上则为瞬变体系。
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二、简单规则应用要点
简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、 约束方式、结论。 应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是： 紧扣规则。即，将体系简化或分步取为两个或三个 刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则 中的四个要素均要明确表达，缺一不可。
三、对体系作几何组成分析的一般途径
１、恰当灵活地确定体系中的刚片和约束 体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何 不变体系，一般视为刚片。 ２、如果上部体系与大地的连接符合两个刚片的规 则，则可去掉与大地的约束，只分析上部体系。 ３、通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、 基本三角形）加二元体的方法，简化体系后再作分 析。
第二章
结构的几何组成分析
构造分析的目的
•研究几何不变体系的组成规律； •判定体系是否几何可变； 对于结构区分静定和超静定的组成。
前提：不考虑材料的变形
即把组成结构的每根杆件都看作完 全不变形的刚性杆件。
§2.1构造分析的几个基本概念
1、几何不变体系：在任何外力作用下，其形状 和位置都不会改变。 2、几何可变体系：在外力作用下，其形状或位置 会改变。
瞬变体系
A
P
C
C1
B
不能平衡
1
A
2
瞬变体系--原为几何可变，经微小位
移后即转化为 几何不变的体系。
瞬变体系
瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
（a）
（b）
（c）
四个规 则可归 结为一 个三角 形法则。
（e）
（d）
有二元 有 体吗？
是什么 体系？
O是虚 O不是 铰吗？
O
无多不变 II
试分析图示体系的几何组成。 是什么 体系？ 有二元 体吗？
例如三铰拱
大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰 无多余几何不变
加二元体组成结构 减二元体简化分析
如何减二元体？
找虚铰 无多几何不变
无多几何不变
Ⅱ
O12
找 刚 片 O 、 找 虚 铰
23
Ⅲ
Ⅰ
O13
行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
F
G
E
D
找刚片 无多几何不变
F
G E
D
如何变静定？ 唯一吗？
A
C
E D D E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如何才能不变？
B
可变吗？ 有多余吗？
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
(a) 一铰无穷远情况
几何不变体系
不平行
平行
几何瞬变体系
第二章
小
结
一、本章要求 １、了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体 系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束 的概念； ２、重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组 成规则，并能应用到对体系的分析中；
m2 j2 h 1 b 8
W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
计算自由度小结
W>0, 缺少足够联系，体系 几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系要求的最少 联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
W> 0
体系几何可变
W< 0
体系几何不变
当计算自由度W >0 时，体系一定是可变的。 但W≤0仅是体系几何不变的必要条件。
β
Ⅰ
1 5 3 6 4
1、2、3、4是链杆， 5、6不是链杆。
α
加链杆前3个自由度
加链杆后2个自由度
2）、单铰： 联结 两个 刚片的铰
复铰：N-1个单铰
1 C
单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
3）、虚铰（瞬铰）
x
2
y
联结两刚片的两根不共线的链杆相当于 一个单铰即瞬铰 瞬铰
O
单铰
A 定轴转动 平面运动！
2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有g个 无铰封闭框，约束数应加 3g 个。 3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆， 固定端相当于三个支承链杆。！
几何组成分析
三、自由度的计算方法
1、平面刚片系统：
2、平面铰结系统： W＝2j－b W＝3m－3g－2h－b 式中： 式中：Ｗ—自由度数 Ｗ—自由度数 m —刚片数 j —结点数 g —刚性联结数 b —链杆数 h —简单铰数 b —链杆数
图a
图b
3.刚片——平面刚体。假想的一个在平面内
完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系 中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且 由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。
形状可替换
4、自由度：是指体系运动时确定体系位置所需
独立坐标的数目。 2 1）、平面内一点＿＿个自由度；
3 2）、平面内一刚片＿＿个自由度；
§2.3体系的计算自由度
一个平面体系由若干部件加入一些约束组成。
体系的计算自由度W。 W=（各部件自由度总数）－（全部约束总数） W=3m －（ 3g+2j+b） m刚片数， g 刚节点数，j单铰数， b支承链杆数， 注意： 1、复连接要换算成单连接。
连四刚片 n=3
连三刚片 n=2
连两刚片 n=1
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
四、自由度与几何体系构造特点
W 0 W 0 W 0
体系几何可变； 无多余约束时，体系几何不变； 体系有多余约束。
4）、单刚结点：将两刚片联结成一个整体的结点
图示两刚片有六个自由度 加刚联结后有三个自由度 一个单刚结点可减少三个自 由度相当于三个约束。
刚结点将刚片连成整体（新刚片）。 若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
两个多余约束
一个多余约束
§2.2几何不变体系的组成规则
一、一点与一刚片之间的连接方式 （二元体规则）
一点与一刚片用两根不共线 的链杆相联，组成无多余约束的几何 A 不变体系。
B
C
两根不共线的链杆联结一点 称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的 几何不变性。
1 A 2
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
二.两刚片之间的连接方式
两刚片以一铰及不通过 该铰的一根链杆相联组成无多余 约束的几何不变体系 。
y
x y
图a
y x
X o
图b
y x
5.约束（联系）：在体系内部加入的减少自由度的装置
多余约束：不减少体系自 由度的约束称为多余约束。 注意：多余约束将影响结构的 受力与变形。 A
a
1）、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其 状和铰的位置如何。
一根链杆可以减少 体系一个自由度，相 当于一个约束。！
规律二（两刚片一鉸一链杆）法则； 规律四（两刚片三链杆）法则； 规律三（三角形）法则；
4.结论：几何不变（可变）体系、有（无） 多余约束。
说明：
分析一个体系可变性时，应注意刚体形状 可任意改换。按照找大刚体（或刚片）、 减二元体、去支座分析内部可变性等，使 体系得到最大限度简化后，再应用三角形 规则分析。 不能重复分析某刚片或联系，也不能遗忘 某刚片或联系；
图a
B
A a
两刚片之间的连接方式
两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆 相联，组成无多余约束的几何不变体系。
图b
B 瞬 变 体 系 瞬 变 体 系 常 变 体 系
三.三刚片之间的连接方式
三刚片以不在一条直线上的三铰 相联，组成无多余约束的几何不 C 变体系。
A
图a
B
三铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联 瞬变体系 两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
瞬变体系的其它几种情况：
瞬 变 体 系 常变体系
加减二元体
小结
几何不变体系 静定结构 可作为结构 有多余联系
无多余联系
超静定结构
体系
几何可变体系 不可作结构 瞬变
常变
组成分析步骤与讨论
1.确定第一个刚片； （三角形、简支梁、悬臂梁、外伸梁）、 确定第二个刚片或第三个刚片； 2.确定刚片之间的联系；（链杆、铰链、刚节点）； 3.根据： 规律一（二元体）法则；