高中数学第一章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率__导数教学案苏教版选修2_2
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2
1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学第1章导数及其应用1_1_2瞬时变化率——导数互动课堂苏教版选修2-2
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x 0处的导数(变化率)是f′(x 0)或y′0|x x =，即 f′(x 0)=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x 0处不可导.疑难疏引 (1)函数应在点x 0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，Δx 趋近于0可正、可负，但不为0，而Δy 可能为0. (3)xy∆∆是函数y=f(x)对自变量x 在Δx 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))及点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))的割线斜率. (4)导数f′(x 0)= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x 0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y-f(x 0)=f′(x 0)(x-x 0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x 0及其附近的函数值有关，与Δx 无关. (6)在定义式中，设x=x 0+Δx，则Δx=x -x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写成f′(x 0)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim x x →∆00)()(x x x f x f --. (7)若极限0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00不存在，则称函数y=f(x)在点x 0处不可导.(8)若f(x)在x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)有切线，函数y=f(x)在x 0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在x o 不可导，曲线在点(x 0，f(x 0))也可能有切线，如切线平行与y 轴时. 一般地，0lim →∆x (a+bΔx)=a，其中a ，b 为常数.特别地，0lim →∆x a=a.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即 f′(x)=y′=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.函数y=f(x)在x 0处的导数y′0|x x =就是函数y=f(x)在开区间(a ，b)上导函数f′(x)在x 0处的函数值，即y′0|x x ==f′(x 0).所以函数y=f(x)在x 0处的导数也记作f′(x 0). 二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a ，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x 0处的导数就是导函数f′(x)在点x 0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x 0换成x 即可，即f′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).(2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(. (3)取极限，得导数y′=0lim →∆x xy∆∆.三、导数与切线的理解 导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x 0，f(x 0))到另一点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))函数值增量与自变量增量的比值，当Δx 无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率.用运动变化的观念分析曲线C:y=f(x)上某点(x 0，y 0)的切线，从点(x 0，y 0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x 0,y 0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x 0,y 0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为Δx→0时，k=x y∆∆=f′(x 0)，或x→x 0时，k=00x x y y --=f′(x 0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x 0.四、导数的物理意义瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数. 活学巧用1.如果一个质点从定点A 开始沿直线运动的位移函数为y=f(t)=t 3+3. (1)当t 0=4且Δt=0.01时，求Δy 和ty ∆∆; (2)当t 0=4时，求0lim →∆t ty∆∆的值; (3)说明0lim →∆t ty∆∆的几何意义. 解析：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201， ∴t y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. (2)当Δt=0.001时，ty∆∆=48.012 01， 当Δt=0.000 1时，t y∆∆=48.001 201. 所以当Δt→0时，0lim →∆t ty∆∆=48.(3)Δy 是质点由固定点A 开始在Δt 这段时间内的位移，所以ty∆∆是质点A 在Δt 这段时间内的平均速度，而0lim →∆t ty∆∆是质点A 在时间t 0的瞬时速度. 2.已知y=f(x)=x2,求y′及y′|x=1.解析：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=xx ∆+2-x2=xx x x x x •∆+∆+-)(2,∴y′=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x x x x x x ∆••∆+∆+-)(2=0lim →∆x )()(2x x x x x x x x x x ∆++•∆••∆+∆--=0lim→∆x xx x x x x x x x 22)(2••-=∆++••∆+-=23--x.y′|x =1=f′(1)=23)1(--=-1.点评:函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念,在点x 0处的导数是函数的导数在x=x 0处的函数值.求函数的导数分三个步骤:(1)求函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x); (2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(; (3)取极限并求极限值,得导数f′(x)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.3.如果曲线y=x 2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程. 解析：∵切线与直线y=3x+4平行，∴斜率为3. 设切点坐标为(x 0,y 0),则y′0|x x ==3. 又y′0|x x ==0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim →∆x xx x x x x x ∆+---∆++∆+33)()(020020 =0lim →∆x (Δx+2x 0+1)=2x 0+1,∴2x 0+1=3,从而得⎩⎨⎧-==.1,100y x∴切点坐标为(1，-1)，切线方程为3x-y-4=0.4.在曲线y=x 2+3的图象上取一点P(1，4)及附近一点(1+Δx，4+Δy)，求(1)xy∆∆；(2)Δx→0时，求xy∆∆的值；(3)在点P(1，4)的切线方程. 解析：(1)x y ∆∆=xf x f ∆-∆+)1()1(=xx ∆+-+∆+)31(3)1(22=2+Δx.(2)Δx→0时，xy∆∆=2+Δx→2, 即0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx)=2. (3)由(2)知过点P(1,4)的切线的斜率为2，故在点P(1，4)的切线方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.5.(1)已知质点运动方程是s(t)=221gt +2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度，其中s 的单位是m ，t 的单位是s.(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t 2-2t+1,求质点在t=10时的瞬时速度和动能.(设物体的质量为m)分析:瞬时速度是路程对时间的变化率，而动能U=221mv . 解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为v (t=4)=0lim →∆t tt s t s ∆-∆+)()4(=0lim →∆t tg t t g ∆+⨯-•--∆++∆+1424211)4(2)4(2122=0lim →∆t ttt g t g ∆∆+∆+∆24212=0lim →∆t (21gΔt+4g+2)=4g+2, 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2 (m/s). (2)质点在t=10时的瞬时速度为v (t=10)=0lim→∆t ts t s ∆-∆+)10()10(=0lim →∆t t t t ∆-⨯+⨯-+∆+-∆+11021031)10(2)10(322 =0lim →∆t tt t ∆∆+∆5832=0lim →∆t (3Δt+58)=58, 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58 m/s ；质点在t=10时的动能为 U=m mv 21212=×(58)2=1 682m J.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念(第2课时)教案 新人教A版选修2-2(20
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念（第2课时）教案新人教A 版选修2-2的全部内容。
导数的概念(第2课时)一、教学目标:1．了解导数的概念．2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解．二、教学重点:求导数的方法及其几何意义;教学难点：导数概念的理解． 三、教学用具:投影仪或多媒体四、教学过程：1．导数的定义考虑函数)(x f y =,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，比值x y ∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，即xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00． 如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='．即.)()(lim lim )(00000xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆ 请学生先看书，自学导数定义，教师边复述边板书．说明：（1)函数)(x f 在点0x 处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限．如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点0x 处不可导，或说无导数．(2）x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，0≠∆x ，而y ∆是函数值的改变量，可以是零． 由导数的定义可知，求函数)(x f y =在0x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）:（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; （3）取极限，得导数x y x f x ∆∆='→∆00lim )(． 例1 求2x y =在1=x 处的导数．解：见教科书第113页～114页．例2 求函数24x y =的导数． 解：2222)()2(44)(4x x x x x x x x x y ∆+∆+∆=-∆+=∆ 32200228)(24lim lim )(24x x x x x x x y x x x x x x y x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆+⋅-=∆∆∴∆+∆+⋅-=∆∆→∆→∆ ∴.83xy -=' 引导学生分析这两例的异同,弄清“函数)(x f 在点0x 处的导数”、“导函数"、“导数”它们之间的区别和联系，学生思考后，教师归纳以下几点：(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．（2）如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点处都可导，就说)(x f 在开区间),(b a 内可导．这时对于开区间),(b a 内每一个确定的值0x 都对应着一个确定的导数)(0x f '，这样就在开区间),(b a 内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做)(x f 的导函数,记作)(x f '或y '．即.)()(lim lim )(00xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆='='→∆→∆ （3）函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '就是导函数)(x f '在0x x =处的函数值.)()(00x x x f x f ='='（4）求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值． 练习：已知x y =，求y '．解见教科书第114页例2．点评时应强调,求xx x x x y ∆-∆+=∆∆的极限，要作如下变形（分子有理化）：x x x x x x x +∆+=∆-∆+1 2．导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，也就是说,曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '．相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-例3 已知曲线331x y =上一点⎪⎭⎫ ⎝⎛38,2P ．求：（1)点P 处的切线的斜率;（2)点P 处的切线方程．解见教科书第114页~115页．例4 已知曲线512++=x x y 上一点⎪⎭⎫ ⎝⎛219,2P ，求点P 处的切线方程． 解见教科书第115页．由以上两例,归纳出求切线方程的两个步骤：（1）先求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '．（2）根据直线方程的点斜式，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-．3．课堂练习（1）求曲线42+=x y 在点M （1，3）处的切线方程．（2）求曲线xy 9=在点M （3，3）处的切线的斜率及倾斜角． 答:(1)012=+-y x ；（2）1-=k ，倾斜角＝135°．4．课堂小结（1）导数的定义．（2)求导数的一般步骤．（3）“函数的某一点的导数"、“导函数”、“导数”的区别和联系．（4）导数的几何意义．五、布置作业：1．求曲线x x y 42+-=在点A (4，0）和B （2,4）处的切线的斜率及切线的方程．2．求曲线x x y 23+-=在点(－1，－1）处的切线的倾斜角．答：1．4,0:.0164,4===-+-=y k B y x k ；2．.43πα=思考题：若在点))(,(00x f x 处切线PT 的倾斜角为2πα=，求切线的方程．解：因为这时切线平行于y 轴，而导数不存在，不能用上面方法求切线方程，根据切线定义可直接得切线方程0x x =．。
高中数学第一章1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数教学案苏教版选修
1．1.2 瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置． 问题2：割线PP n 斜率是什么？ 提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？ 提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率． 问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？ 提示：能．1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－31＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导 数1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[对应学生用书P5]求曲线上某一点处的切线[例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f 2＋Δx －f 2Δx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx 22＋Δx ＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx 2＋Δx ＋Δx Δx ＝－122＋Δx ＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－121＋Δx2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－121＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝2Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝31＋Δx2－1＋Δx －3×12－1Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.瞬时速度[例2] 一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． [精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔSΔt ＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎨⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2， 则ΔS Δt ＝S 1＋Δt －S 1Δt＝1＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝34＋Δt 2－184＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.导数及其应用[例3] 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2－3－22－3Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f a ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－3Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx 21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx ＝a 1＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f 6＋Δx －f 6Δx＝6＋Δx2－76＋Δx ＋15－62－7×6＋15Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同区别 联系f ′(x 0) f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________． 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－ 3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________．解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx＝121＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx 2＋ΔxΔx＝12Δx ＋1. ∴当Δx 无限趋近于0时，f 1＋Δx －f 1Δx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)．又Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx＝21＋Δx 2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数4，∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4.由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、 解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt ＝S 4＋Δt －S 4Δt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g 4＋Δt 2＋24＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt 2＋4g ·Δt ＋2·Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2.∵当Δt →0时，ΔS Δt→4g ＋2， ∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3×12－4×1＋2Δx ＝2Δx ＋3Δx 2Δx ＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝x 0＋Δx 3－2x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 20＋3Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0， 即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2. ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．。
部编版2020高中数学第1章导数及其应用1.1导数学案新人教B版选修2-2
1.1 导数1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率． 2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．Δx ，Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0.若函数f (x )为常数函数，则Δy ＝0.【做一做1－1】已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【做一做1－2】在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )．A ．④ B．③ C．② D．① 2．瞬时变化率与导数(1)设函数y ＝f (x )在x 0及其附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数f (x )在点x 0的__________．(2)“当Δx 趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →l ”，或记作“0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝l ”，符号“→”读作“趋近于”．函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率，通常称为f (x )在点x 0处的______，并记作f′(x 0)．这时又称f (x )在点x 0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →________”或“0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝________”．(3)如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )______．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的______，记为f′(x )或y′(或yx′)．导函数通常简称为______．(1)Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，Δx ≠0，而Δy 是函数值的改变量，可以是零． (2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：y′＝0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；y′＝0limx ∆→f (x )－f (x ＋Δx )－Δx ；y′＝0lim x ∆→f (x －Δx )－f (x )－Δx ；y′＝0lim x ∆→f (x )－f (x 0)x －x 0.【做一做2－1】若质点按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )． A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【做一做2－2】已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( )．A ．与Δx ，x 0都有关B ．仅与x 0有关而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关 3．导数的几何意义设函数y =f (x )的图象如图所示．AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0+Δx ，f (x 0+Δx ))的一条割线．由此割线的斜率是()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率趋近于在点A的切线AD 的斜率，即0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于________．【做一做3－1】曲线y ＝－3x 2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为( )． A ．－6 B ．6 C ．0 D ．不存在 【做一做3－2】下面说法正确的是( )．A ．若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在C ．若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在1．“函数f (x )在点x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？ 剖析：(1)函数在点x ＝x 0处的导数f′(x 0)是一个数值，不是变量． (2)导函数也简称导数，所以(3)函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f′(x 0)就是导函数f′(x )在点x ＝x 0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．2．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．观察图中的曲线C ，直线l 1虽然与曲线C 有唯一的公共点M ，但我们不能说直线l 1与曲线C 相切；而直线l 2尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线l 2是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．一般地，过曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)作曲线的割线PQ ，当点Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，若割线PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．在这里，要注意，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线：(1)与点P 的位置有关；(2)要依据割线PQ 是否存在极限位置来判定与求解．如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线．题型一 求瞬时速度【例题1】已知物体的运动方程如下：()223 1 (1<3),233 (3)t t s t t ⎧+≤⎪=⎨+-≥⎪⎩求此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度．(位移的单位：m ，时间的单位：s )分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)．反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度． 题型二 导数定义的应用【例题2】过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx ,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．分析：割线PQ 的斜率即为函数f (x )在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率ΔyΔx.反思：一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线上的定点，点Q (x 0＋Δx ，y 0＋Δy )是C 上与点P 邻近的点，有y 0＝f (x 0)，y 0＋Δy ＝f (x 0＋Δx )， Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)， 割线PQ 的斜率为tan β＝Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，曲线C 在点P 处的斜率为tan α＝0limx yx ∆→∆∆＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆.题型三 求切线方程【例题3】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数．反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：①求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求割线的斜率tan β＝ΔyΔx；③求极限0limx ∆→yx ∆∆＝0lim x ∆→00()()f x x f x x+∆-∆；④若极限存在，则切线的斜率0lim x yk x∆→∆=∆.(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤： ①先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f′(x 0)； ②根据点斜式得切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 题型四 易错辨析易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解．【例题4】试求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程．错解：Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx ＝3x (Δx )2＋3x 2Δx ＋(Δx )3Δx ＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2，0lim x ∆→Δy Δx＝3x 2，因此y ′＝3x 2，所以切线在x ＝1处的斜率k ＝3.故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.1一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为( )． A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －62设函数f (x )＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝( )．A ．－1B ．12C ．1D ．133设f(x)为可导函数且满足0(1)(12)lim=12x f f x x→---,则过曲线y ＝f (x )上的点(1，f (1))的切线的斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－24一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s (m)与时间t (s)之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为______ m/s.5已知函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线方程为____________________．答案：基础知识·梳理【做一做1－1】B ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝0.41.【做一做1－2】B 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－1013.2．(1)瞬时变化率 (2)导数 f′(x 0) f′(x 0) (3)可导 导函数 导数【做一做2－1】B 瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s 3＋Δt －s 3Δt ＝lim Δt →0(3Δt ＋18)＝18.【做一做2－2】B 由导数的定义，对给定的可导函数f (x )有limx ∆→∞f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝f′(x 0)．显然，f′(x 0)仅与x 0有关而与Δx 无关．3．f′(x 0)【做一做3－1】C f′(0)＝0lim x ∆→∞－30＋Δx2＋2－0＋2Δx＝0lim x ∆→∞(－3Δx )＝0.【做一做3－2】C 函数f (x )在一点x ＝x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是y ＝f (x )在这一点处切线的斜率，但f′(x 0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．所以函数f (x )在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．典型例题·领悟【例题1】解：当t ＝1时，s ＝3t 2＋1，v ＝0limt ∆→∞Δs Δt ＝0limt ∆→∞s t ＋Δt －s tΔt＝0limt ∆→∞31＋Δt2＋1－3×12－1Δt＝0limt ∆→∞6Δt ＋3Δt2Δt ＝6(m/s)．当t ＝3时，s ＝2＋3(t －3)2，v ＝0lim t ∆→∞s t ＋Δt －s t Δt ＝0limt ∆→∞2＋33＋Δt －32－2－33－32Δt＝0limt ∆→∞3Δt 2Δt＝0lim t ∆→∞3Δt ＝0 (m/s)．∴物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度分别为6 m/s 和0 m/s.【例题2】解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3. ∴割线PQ 的斜率 Δy Δx＝Δx3＋3Δx 2＋3ΔxΔx＝(Δx )2＋3Δx ＋3.当Δx ＝0.1时，设割线PQ 的斜率为k ， 则k ＝Δy Δx ＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.【例题3】解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程， 得y ＝1，所以切点为P (1,1)． 因为y′＝0lim x ∆→∞ΔyΔx ＝0limx ∆→∞x ＋Δx 3－x 3Δx ＝0limx ∆→∞3x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx ＝lim x ∆→∞[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，所以1'|3x y ==.所以过点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝3x －1，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝x 2＝1，x 3＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点．【例题4】错因分析：错解中将点M (1,1)当成了曲线y ＝x 3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解．正解：由错解可知y′＝3x 2，因为点M (1,1)不在曲线y ＝x 2＋1上，所以设过点M (1,1)的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，依据导数的几何意义，函数在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 2①，过点M (1,1)的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1②，由①＝②得，3x 20＝x 30x 0－1，解之得x 0＝0或x 0＝32，所以k ＝0或k ＝274，因此曲线y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两条，分别为y －1＝274(x －1)和y ＝1，即27x －4y －23＝0和y ＝1.随堂练习·巩固 1．D v ＝5－31＋Δt2－5－3×12Δt＝－3Δt －6.2．C ∵f′(－1)＝0lim x ∆→∞f －1＋Δx －f －1Δx ＝0lim x ∆→∞[a (Δx )2－3a Δx ＋3a ]＝3a ＝3，∴a ＝1.3．Blimx ∆→∞f 1－f 1－2x 2x＝limx ∆→∞f 1－2x －f 1－2x＝20limx -→f [1＋－2x ]－f 1－2x ＝f′(1)＝－1.4．12 t ＝2 s 时瞬时速度为lim Δt →0182＋Δt 2－18×22Δt ＝lim Δt →018(4＋Δt )＝12. 5．2x －y ＋2＝0和2x －y －2＝0 令x －1x＝0，得x ＝±1，∴曲线与x 轴的交点坐标为(±1,0)，又f′(x )＝1＋1x2，∴f′(±1)＝2，∴所求切线方程为y ＝2(x ±1)，即2x －y ±2＝0.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案(含解析)新人教A
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1。
1.1 变化率问题 1。
1.2 导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现，随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r（单位：dm)与体积V（单位:L)之间的函数关系是r（V)＝错误!，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r（1）－r(0)≈0.62 (dm），气球的平均膨胀率为错误!≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)－r（1）≈0.16 (dm),气球的平均膨胀率为r 2－r 12－1≈0.16(dm/L)．可以看出,随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引］1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率为错误!，简记作：错误!①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即错误!错误!＝错误!错误!.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度;②切线斜率2.0函数y＝f(x）在x＝x0处的瞬时变化率错误!错误!＝错误!错误!称为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′(x0）或y′｜x＝x0，即f′（x0)＝错误!错误!＝错误!错误!。
高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(二)222数学
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2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)”“导函数 f′(x)”“导数”之 间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f′(x0)，就是在该点处函数值的改变量与 自变量的改变量之比的无限趋近值，它是一个常数，不是变数． (2)函数的导数是对某一区间内任意点 x 而言的，就是函数 f(x)的 导函数 f′(x)． (3)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函 数值．这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一．
答案：x＋y－3＝0
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4．已知函数 y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线 3x－y－2＝0 平行， 则 f′(2)＝________． 解析：因为直线 3x－y－2＝0 的斜率为 3，所以由导数的几何意 义可知 f′(2)＝3. 答案：3
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所以曲线 y＝1x在 x＝x0 处的切线的斜率为－x120. 故所求直线方程为 y－y0＝－x120(x－x0)． 由点(2，0)在所求的直线上， 得 x20·y0＝2－x0，① 再由 P(x0，y0)在曲线 y＝1x上，得 x0y0＝1，② 联立①②可解得 x0＝1，y0＝1， 所以所求直线方程为 x＋y－2＝0. 【答案】 x＋y－2＝0
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导数的几何意义 (1)求曲线 y＝f(x)＝x3＋2x－1 在点 P(1，2)处的切线方程． (2)求曲线 y＝2x2－7 过点 P(3，9)的切线方程．
【解】 (1)易证得点 P(1，2)在曲线上， 由 y＝x3＋2x－1 得 Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1 ＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3，
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数(二)课件苏教版
3 ∴切线的倾斜角为4π.
解析答案
(－1， －1)或(1,1) (2)曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为_______________.
解析 设点 P 的坐标为(x0，x3 0)，
fx0＋Δx－fx0 ∵ Δx
2 3 3x2 Δ x ＋ 3 x Δ x ＋ Δ x 0 0 ＝ Δx
如图所示，当点Pn沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定
的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线 .
(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；
(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，
可以有多个，甚至可以有无穷多个.
思考 答案 有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的 不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与
解析答案
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8 2.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为____.
解析 Δy f2＋Δx－f2 因为Δx＝ Δx
2
22＋Δx －8 ＝ ＝ 8 ＋ 2Δ x ， Δx
当Δx→0时，其值趋近于8.即k＝8.
解析答案
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3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0， 1 1 ，b＝___. 则a＝___
故当Δx→0时，其值趋近于x，∴y′|x＝1＝1.
∴点
3 1 ，－ P 处切线的斜率为 2
1，则切线的倾斜角为 45° .
解析答案
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高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教学设计 新人教A版选修2-2-新人教A版高二
导数的概念一、教学内容及分析导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．二、教学目标及分析1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想，这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．三、教学问题诊断要使学生能通过观察发现运动的物体在某一时刻的平均速度的极限是一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度，一个非常难突破的问题就是大量平均速度的计算问题．为解决这个问题，在教学时为每个学生准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，利用这种计算器的CAS 功能，可以在较短的时间内解决计算问题，从而使学生有更多的时间用于观察与发现．另外，从具体的模型中提炼出一般的概念的困难在于具体模型的数量，因此，设计本节课的教学时，在教材的基础上增加了计算跳水运动员瞬时速度的数目，以此大大方便了学生归纳与概括．四、教法特点及预期效果本节课在教学方法的选择上，充分尊重学生认知事物的基本规律，强调教师的启发与学生的参与度，给学生操作感知、观察发现的时间充分．由于技术的介入，大大方便了学生获得导数概念的表象，因此学生通过表象抽象出导数概念的过程自然到位，并且能帮助学生更准确地理解导数的本质．。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.2 瞬时变化率——导数讲义(含解析)苏教
1．瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．问题1：当点P n→点P时，试想割线PP n如何变化？提示：当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置．问题2：割线PP n斜率是什么？提示：割线PP n的斜率是k n＝f(x n)－f(x0)x n－x0.问题3：割线PP n的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？提示：当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？提示：能．1．割线设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．2．切线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P 处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－3(1＋Δt )2－8＋3×12Δt ＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导 数1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[对应学生用书P5]求曲线上某一点处的切线[例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨]先计算f (2＋Δx )－f (2)Δx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析](1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋Δx Δx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通]根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________． 解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－12(1＋Δx )2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－12(1＋Δx )2－2＋52Δx ＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.瞬时速度[例2] 2m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨]先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． [精解详析]因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔSΔt＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通]要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2，所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.导数及其应用[例3] 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨]根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析](1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通]由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同区别 联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f ′(x ) f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________． 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________． 解析：∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝12(1＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12(Δx )2＋Δx Δx ＝12Δx ＋1.∴当Δx 无限趋近于0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)．又Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2＋1－2×12－1Δx ＝4＋2Δx . ∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数4， ∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4. 由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt ＝S (4＋Δt )－S (4)Δt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g (4＋Δt )2＋2(4＋Δt )－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g (Δt )2＋4g ·Δt ＋2·Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔSΔt →4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程． 解：∵3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－(3×12－4×1＋2)Δx＝2Δx ＋3(Δx )2Δx＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx ＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)，word11 / 11 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927；a ＝－5时，切点为(2,3)．。
高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(一)222数学
【解】 (1)因为物体在 t∈[3，5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， 物体在 t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在 t∈[3，5]上的平均速度为ΔΔst＝428＝24(m/s)．
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1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率
如图，设曲线 C 上一点 P(x，f(x))，过点 P 的一条割线交曲线 C
于另一点 Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线 PQ 的斜率为 kPQ＝ f((xx＋＋ΔΔxx))－－f(xx)＝__f(_x_＋__Δ_Δx_x)_－__f_(x_)_．
【解】 (1)－v ＝s(33)－－0s(0)＝(2×32＋32×3)－0＝8(m/s)， 所以该质点在前 3 s 内的平均速度为 8 m/s. (2)－v ＝s(33)－－2s(2)＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12(m/s)． 所以质点在 2 s 到 3 s 内的平均速度为 12 m/s. (3)因为s(3＋ΔΔt)t－s(3)＝2(3＋Δt)2＋2(3＋ΔΔtt)－(2×32＋2×3) ＝2Δt＋14. 当 Δt 趋于 0 时，2Δt＋14 无限趋近于 14. 所以质点在 3 s 时的瞬时速度为 14 m/s.
hù)
体在 t＝t0 时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 曲 线 上 给 定 一 点 P ， 过 点 P 可 以 作 该 曲 线 的 无 数 条 割 线． ( √ ) (2)过曲线上任一点一定可作出一条切线．( × ) (3)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线．( × ) (4)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬 时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度．( √ )
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念课件 新人教A版选修22
4.函数 y＝x2＋ax＋b 在 x＝1 处的导数为－3，则 a＝ _______.
解析：Δy＝[(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(1＋a＋b)＝(2 ＋a)Δx＋(Δx)2.
ΔΔxy＝2＋a＋Δx，f′(1)＝ ΔΔxy＝2＋a＝－3， 所以 a＝－5. 答案：－5
5．一物体的运动方程为 s＝7t2＋8，则其在 t＝
解：因为
Δs
＝
2[1
＋
(t0
＋
Δt)2]
－
2(1
＋
t
2 0
)
＝
4Δt·t0
＋
2(Δt)2，所以 s′|t＝t0＝ ΔΔst＝
(4t0＋2Δt)＝4t0，
所以此物体在 t0 时的瞬时速度为 4t0m/s.
[迁移探究 2] (改变问法)物体在哪一时刻的瞬时速
度为 12 m/s?
解：因为 s′|t＝t0 ＝ΔΔst＝
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1．1.2 导数的概念
[学习目标] 1.了解瞬时变化率、导数概念的实际背 景(重点)． 2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导 数(难点)． 3.会利用导数的定义求函数的导数(重点、难 点)．
1．瞬时速度
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的
所以 y′|x＝1＝
ΔΔxy＝
(6＋3Δx)＝6.
(2)因为Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1－
1＋1Δx＝Δx＋1＋ΔΔx x， 所以ΔΔxy＝Δx＋Δ1＋xΔΔx x＝1＋1＋1Δx，
所以 f′(1)＝
ΔΔxy＝
1＋1＋1Δx＝2.
归纳升华 用导数定义求函数 y＝f(x)在某一点 x0 处的导数的步 骤： (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）；
江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念(第1课时)教案新人教A版选修2-2
导数的概念 (1)一、教学目标：1．了解曲线的切线的概念．2．在了解瞬时速度的基础上,抽象出变化率的概念．3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础．二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念．教学难点:在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．三、教学用具:多媒体四、教学过程：1．曲线的切线如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ∆+∆+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ,当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线．问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识,只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ,即.)()(lim lim tan 0000xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆α例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ．解：x x x f x f x f x x f y ∆+∆=+-+∆+=-∆+=-∆+=∆2)11(1)1()1()1()()(2200222+∆=∆∆+∆=∆∆x x x x x y ∴2)2(lim lim 00=+∆=∆∆=→∆→∆x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数)(t s s =描述．下面以自由落体运动为例进行分析．已知221gt s =． （1）计算t 从3秒到3.1秒、3。
01秒、3.001秒、3.0001秒……各段内平均速度．（2）求3=t 秒时的瞬时速度．解：(1）[]t t ∆=-=∆,1.031.3,1.3,3指时间改变量．s g g s s s ∆=⋅-⋅=-=∆.3059.03211.321)3()1.3(22指位置改变量． .059.31.03059.0==∆∆=t s v 其余各段时间内的平均速度，事先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．(2）从（1）可见某段时间内的平均速度t s ∆∆随t ∆变化而变化，t ∆越小,ts ∆∆越接近于一个定值，由极限定义可知,这个值就是0→∆t 时，ts ∆∆的极限． tg t g t s t s t s v t t t ∆⋅-∆+⋅=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆22000321)3(21lim )3()3(lim lim 4.293)6(lim 210==∆+=→∆g t g t （米/秒） 问：非匀速直线运动的瞬时速度是怎样定义的？（当0→∆t 时,平均速度t s ∆∆的极限） 教师引导，学生进行归纳：求非匀速直线运动在时刻0t 的瞬时速度的方法如下：非匀速直线运动的规律)(t s s =时间改变量t ∆，位置改变量)()(00t s t t s s -+=∆ 平均速度t s v ∆∆=，瞬时速度t s v t ∆∆=→∆0lim ． 一般地，如果物体的运动规律是)(t s s =，物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t t ∆+这段时间内,当0→∆t 时，平均速度的极限,即tt s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim 00 例题 若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2( )3()3(329)1( )30( 2322t t t t s 求此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度．解：当1=t 时，232+=t s.6)36(lim 36lim 2132)1(3lim )()(lim 0202200=∆+=∆∆+∆=∆-⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆t tt t t t t t s t t s t s v t t t t 当3=t 时，2)3(329-+=t s.03lim )(3lim )33(329)33(329lim )()(lim 0202200=∆=∆∆=∆----∆++=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆t t t t t t t s t t s t s v t t t t所以,物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度分别是6和0．3．课堂练习（学生练习后教师再讲评）（1）求223+-=x x y 在2=x 处的切线的斜率．解：)()(00x f x x f y -∆+=∆3233)()(610)2222(2)2(2)2()2()2(x x x x x f x f ∆+∆+∆=+⨯--+∆+-∆+=-∆+=2)(610x x xy ∆+∆+=∆∆ ∴.10)610(lim lim 200=∆+∆+=∆∆=→∆→∆x x x y k x x（2）教科书第111页练习第1、2题． 4．课堂小结(1）曲线的切线．（2）瞬时速度．（3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．五、布置作业1．求下列曲线在指定点处的切线斜率．（1)2,23=+-=x x y 处， （2）0,11=+=x x y 处． 2．已知某质点按规律t t s 222+=（米)作直线运动．求：（1)该质点在运动前3秒内的平均速度；(2）质点在2秒到3秒内的平均速度;（3）质点在3秒时的瞬时速度．解：1．（1）12-=k ，（2)1-=k ；2．(1)8米/秒,（2）12米/秒，（3）14米/秒．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A版
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1.1。
3 导数的几何意义【学习目标】1、了解导函数的概念；理解导数的几何意义。
2、会求导函数。
3、根椐导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.重点难点重点：利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程。
易混点：准确理解在某点处与过某点的切线方程。
【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P6—9内容.并完成书本上练习题及导学案上的问题导学。
2。
独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑。
【问题导学】1．导数的几何意义(1）切线：如图,当点(,())(1,2,3,4)P x f x n 沿着曲线f（x)趋近于点P（x0，f（x0））时，n n n割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，显然割线PP n的斜率k n 趋当无限趋近于点P时,k n无限趋近于切线PT的斜率。
(2）几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x)在点P(x0,f(x0)）处的切线的，也就是曲线y=f（x）在点P（x0,f(x0））处的切线斜率k= = , 相应地，切线方程为。
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1．1.2 瞬时变化率——导数如图P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．问题1：当点P n→点P时，试想割线PP n如何变化？提示：当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置．问题2：割线PP n斜率是什么？提示：割线PP n的斜率是k n＝f x n－f x0x n－x0.问题3：割线PP n的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？提示：当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？提示：能．1．割线设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．2．切线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P 处的切线.一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？ 提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[对应学生用书P5][例1] 已知曲线y ＝x ＋x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f＋Δx －fΔx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx＋Δx＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx ＋Δx ＋Δx Δx＝－1＋Δx＋1.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________． 解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－12＋Δx2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－12＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.[例2] m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． [精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔSΔt＝4a ＋a Δt . 当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2，所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋t －2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2， 则ΔS Δt＝S＋Δt －SΔt＝＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝＋Δt2－＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.[例3] 已知f (x )(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－3－2－Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝fa ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f＋Δx －fΔx＝a＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx ＋15－2－7×6＋Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________． 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________． 解析：∵f＋Δx －fΔx＝12＋Δx2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx2＋ΔxΔx ＝12Δx ＋1.∴当Δx 无限趋近于0时，f＋Δx －fΔx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)． 又Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数4， ∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4. 由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、 解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt＝S ＋Δt －SΔt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g ＋Δt2＋＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt2＋4g ·Δt ＋2·ΔtΔt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔSΔt →4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程． 解：∵＋Δx2－＋Δx ＋2－2－4×1＋Δx＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵Δy Δx＝x 0＋Δx 3－x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 20＋Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)，11 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．。