n次独立重复实验与二项分布

2．P(A)· P(B) 5 填一填： 12
A
B
A
B
A
B
提示：恰有一个一等品的概率P＝P(A∩ B )＋P( A ∩B)＝ P(A)· P( B )＋P( A )· P(B) 2 1 1 3 5 ＝3×4＋3×4＝12.
k n－k 3. P(A1)P(A2)P(A3)„P(An) Ck p (1 － p ) n
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，
记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)． [审题视点] (1)利用二项分布的概率公式求解； (2)利用二 项分布和互斥事件的概率公式求解； (3)建立概率分布表，利用 期望的定义式求解数学期望．
[ 解]
依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率
动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏， 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参 加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2) 求这 4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的 人数的概率；
(2)由题意知得分X的可能取值为0,1,2,3,4,5， 1 1 1 1 P(X＝0)＝4×3×3＝36， 3 1 1 1 P(X＝1)＝4×3×3＝12， 1 2 1 1 P(X＝2)＝4×3×3×2＝9， 3 2 1 1 P(X＝3)＝4×3×3×2＝3， 1 2 2 1 P(X＝4)＝4×3×3＝9， 3 2 2 1 P(X＝5)＝ × × ＝ . 4 3 3 3
3. 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即
若用Ai(i＝1,2，„，n)表示第i次试验结果，则 P(A1A2A3„An)＝____________.
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为 X，在每次
试验中事件 A 发生的概率为 p ，那么在 n 次独立重复试验中，事 件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X ＝ k) ＝ ________(k ＝ 0,1,2 ，„， n)，此时称随机变量 X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p 为成功概率．
第8讲
n次独立重复实验与二项分布
泰安二中数学2014年3月7日星期五
课前自主导学
1. 条件概率及其性质 条件概率的定义 P(A)>0，称P(B|A)＝________为 条件概率的性质 (2)若B、C是两个互斥事 件，则P(B∪C|A)＝
一般地，设A、B为两个事件，且 (1)0≤P(B|A)≤1
在________发生的条件下，
[2011·湖南高考]如图，EFGH是以O为圆心，
半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在
扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝________； (2)P(B|A)＝________.
2 1 答案：(1)π (2)4
PAB (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝ .这是 PA 通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数 n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即 nAB n(AB)，得P(B|A)＝ . nA
[变式探究]
3. 能解决一些简单的实际问题.
第十章 第8讲
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1个必记区别 事件互斥是指事件不可能同时发生；事件相互独立是指一 个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．要注意两 者的区别，以免事件概型的判断错误．
件A与事件B相互独立．
(2) 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 ________ 与 ________ ， ________与________，________与________也都相互独立．
两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别 2 3 为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件 3 4 中恰有一个一等品的概率为________．
相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起 考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件
中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥
还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
[变式探究] [2013· 兰州模拟]某校为宣传教育局提出的 “教育发展，我的责任”教育实践活动，要举行一次以“我为 教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、 决赛三个阶段进行，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率 2 1 1 分别是3、3、4，且各阶段通过与否相互独立． (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； (2)设该选手在比赛中比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学 期望．
________发生的条件概率
________
若A、B相互独立，P(B|A)与P(B)有何关系？
有一批种子发芽率为 0.9 ，出芽后的幼苗成活率为 0.8 ，在 这 批 种 子中 随 机 取一 粒 ， 则这 粒 种 子能 长 成 幼苗 的 概 率为 ________．
2．事件的相互独立 (1) 设A、B为两个事件，如果P(AB) ＝________ ，那么称事
2 1 4 P(ξ＝2)＝P(A B )＝P(A)P( B )＝3×(1－3)＝9， 2 1 2 P(ξ＝3)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝3×3＝9. ξ的分布列为： ξ P 1 1 3 2 4 9 3 2 9
1 4 2 17 ξ的数学期望E(ξ)＝1×3＋2×9＋3×9＝ 9 .
例3
[2012·天津高考]现有4个人去参加某娱乐活动，该活
1 2 为 ，去参加乙游戏的概率为 . 3 3 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝ 0,1,2,3,4)，
i 1 i 2 4－i 则P(Ai)＝C4 .
3 3
2 1 2 2 (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C 4
因此随机变量X的分布列为 X P 0 1 36 1 1 12 2 1 9 3 1 3 4 1 9 5 1 3
1 1 1 1 1 1 所以E(X)＝0× 36 ＋1× 12 ＋2× 9 ＋3× 3 ＋4× 9 ＋5× 3 ＝ 41 12.
奇思妙想： 例题条件不变，求该射手恰好命中两次的概 率．
3 2 1 3 1 2 1 2 2 4 解：P＝4×3×3＋4×3×3＋4×3×3＝9.
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2种必会方法 1. 定义法求条件概率：求出P(A)、P(AB)，由P(B|A)＝ PAB 破解． PA 2. 转化法求条件概率：转化为古典概型求解，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含 nA· B 的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ . nA
3 3
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核心要点研究
例1
[2012·湖北高考 ]根据以往的经验，某工程施工期间
的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表： 降水量X 工期延误天数Y X<300 0 300≤X<700 700≤X<900 2 6 X≥900 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于 300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数Y的均值与方差；
二项分布与两点分布有何关系？
1 某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球5次，恰 2 好投进3个球的概率为________(用数值作答).
PAB 1. PA P(B)．
事件A 事件B P(B|A)＋P(C|A)
想一想：提示：若事件A、B是相互独立事件，则P(B|A)＝ 填一填：0.72 提示：记“这粒种子发芽”为事件A， “这粒种子长成幼苗”为事件B， 由题意：P(A)＝0.9，P(B|A)＝0.8， ∴P(AB)＝P(A)· P(B|A)＝0.8×0.9＝0.72.
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3点必须注意 PAB 1. 求P(B|A)＝ ，关键是求P(A)和P(AB)．注意P(B|A) PA 与P(A|B)不同． 2. 在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一 个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概 率求解． 3. 判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点： ①在同样的条件下重复，相互独立进行；②试验结果要么发 生，要么不发生
解析：该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为 π 2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为4. 1 2 PA∩B π 1 2 故P(A)＝ ，P(B|A)＝ ＝ ＝ . π 2 4 PA π
例2 [2012· 山东高考]现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶 3 射击一次，命中的概率为 4 ，命中得1分，没有命中得0分；向 2 乙靶射击两次，每次命中的概率为 3 ，每命中一次得2分，没有 命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完 成以上三次射击．
(2) 在降水量 X至少是300的条件下，工期延误不超过 6天的出离散型随机变量的 分布列，再根据期望、方差公式求出期望、方差；对于第(2)问 涉及的概率问题可利用概率性质求解．
[解] (1)由已知条件和概率的加法公式有： P(X<300) ＝ 0.3 ， P(300≤X<700) ＝ P(X<700) － P(X<300) ＝ 0.7－0.3＝0.4，