中考第一轮复习第08讲《一元二次方程及应用》专题训练

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江西中考数学一轮复习课件：第08课时-一元二次方程及其应用

2
2 b
ax +bx+c=0(a≠0)⇒x
c
+ x+ =0⇒
a a
b 2 b 2 -4ac
x+ = 2 ,开方求解.
2a
4a
配方法【温馨提示】配方过程中,注意加上一个数的同时减去这
个数
（续表）
当 b2-4ac≥0 时,由求根公式可得 ax2+bx+c=0(a≠0)的解为 x=
- ± -
S 阴影=⑨ (a-2x)(b-
2x)
循环问题
设参加游戏人数为
数=x(x-1)
S 阴影=⑩ (a-x)(b-x)
S 阴影=⑪
-
·x

1
x,单循环问题:游戏次数=2x(x-1);双循环问题:游戏次
对▶点▶演▶练
题组一必会题
1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是
2
方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分根据底面积是 24 cm 得一元二次方
1
)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁程:2(10-2x)(12-2x)=24,解得 x1=2,
快递业务收入是在2018年的基础上增加的,∴2019年的快递业务收入为
5000(1+x)(1+
x),即用5000(1+x)2表示,∴可列方程是5000(1+x)2=7500.
11.[2020·山西]如图8-1是一张长12 cm,宽
[答案]2
10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正
[解析]设剪去的正方形的边长为 x cm,
平均每天要盈利1200元,每件商品应降价多少元?为了满足降价要求,小明妈妈

中考数学第一轮考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组)第8讲一元一次不等式(组)及其应用(练本)课

4、享受阅读快乐，提高生活质量。下午12时36分6秒下午12时36分12:36:0622.3.11
谢谢观独具赏方为先
匠心可成锋 Y o u m a d e m y d a y !
我们，还在路上……
场最多能购买50个甲种奖品.
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共100个，且此次购买奖品的费用不超过2 000元.正逢商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在商场最多能购买多少个甲种奖品.
解：设学校在商场购买m个甲种奖品，则购买(100－m)个乙种奖品. 根据题意，得30×0.8m＋20×0.8(100－m)≤2 000，解得m≤50. 答：学校在商场最多能购买50个甲种奖品.
解：设购进电视机x台，则购进洗衣机(100－x)台.
根据题意，得
x
1 (100 x)， 2
1800x 1500(100 x) 161800，
解得 33 1 x 39 1 .
3
3
∵x为整数，
∴x可以取34，35，36，37，38，39，
∴商店共有6种进货方案.
11.学校准备为“趣味数学”比赛购买奖品.已知在商场购买3个甲种奖品和2 个乙种奖品共需130元，购买6个甲种奖品和5个乙种奖品共需280元.
3倍，购进A，B两种风扇的总金额不超过1 170元.根据以上信息，小丹共
有哪些进货方案？解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇(100－m)台.
根据题意，得
m 3(100 m),
10m
16(100
m)
解得71 2
1170，
3
m 75.
∵m为正整数，∴m可以取72，73，74，75，∴小丹共有4种进货方案：
12.(2020·德州)若关于x的不等式组

中考数学一轮复习《一元二次方程的应用》专题训练(附答案)

中考数学一轮复习《一元二次方程的应用》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数．2．一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2296，则这个两位数是多少？3．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？4．随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？5．某公司前年盈利200万元，若该公司今年与去年的年增长率相同，则今年可盈利242万．(1)求这两年中平均每年增长的百分率；(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？6．为建设宜居宜业美丽乡村，某县2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元，现假定2021年到2023年每年投入资金的增长率相同．(1)求该县投入资金的年平均增长率；(2)按照这个增长率，预计该县2024年投入资金为多少万元？7．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a米，时间都各自多走了10a分钟，结果两人又共走了6900米，求a的值．8．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达B地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．9．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时同时A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时求m的值．10．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A点平均每人采样720份，B点平均每人采样700份．(1)求A、B两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B点抽调部分医护人员到A点经调查发现，B点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B点抽调了多少名医护人员到A点？11．阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m．(2)如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．15．学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？16．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．(1)P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；(2)P、Q两点从出发开始到几秒时点P和点Q的距离是10cm．17．如图，在△ABC中∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时则同时停止运动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时△PBQ的面积等于4cm2(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时PQ的长度等于5cm?18．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；(2)当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润为1200元？19．今年入冬以来，支原体和流感病毒肆虐，侵袭着人们的健康．而佩戴口罩在一定程度上可以阻断病毒传播途径，有效防止感染．某药店将购进一批A、B两种类型口罩进行销售，A型口罩进价a元每盒，B型口罩进价30元每盒，若各购进a盒，成本为1375元．(1)求A型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x元（40≤x≤42），当A型口罩售价为30元时可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B型口罩的销量y（盒）与售价x之间的关系为y=300−5x；该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．20．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，作为今年我国举办的最为盛大的赛事，是向世界展示中国形象、传播中国文化的重要窗口．宁夏枸杞作为几千年来备受推崇、药食同源的滋补上品，小小的红果凝聚和传承着宁夏这片土地上，珍贵的历史记忆和宝贵的精神财富，已然成为宁夏独特的地域符号、主导产业和文化象征，不但为宁夏社会经济发展作出了积极贡献，也为助力“健康中国”跑出了“加速度”．在宁夏一特产专卖店销售某种枸杞，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种枸杞要想平均每天获利2240元，请回答：(1)为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克枸杞应降价多少元？(2)根据市场需求，该店将售价定为多少出售，每天可获取最大利润，最大利润是多少？参考答案1.解：设这个数为x由题意得：(x+3)2=2x+5整理得：x2+4x+4=0，即(x+2)2=0解得x=−2即这个数为−2．2.解：设原两位数个位数字为x，则十位数字为10−x根据题意得：[10(10−x)+x][10x+(10−x)]=2296解得：x=8或x=2∴这个两位数是28或82．3．解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x根据题意，可得1+x+x2=73整理得x2+x−72=0解得x1=8，x2=−9（不合题意，舍去）答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8．4．解：设平均一人传染了x人x+1+(x+1)x=81解得x1=8，x2=−10（不符合题意，舍去）经过三轮传染后患上流感的人数为：81+8×81=729（人）答：平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感．5．（1）解：设每年增长率为x，则200(1+x)2=242解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1（舍去）答：每年增长率为10%．（2）解：根据题意，得242×(1+10%)=266.2(万元)答：预计明年可盈利266.2万元．6．（1）解：设该县投入资金的年平均增长率为x依题得：1000(1+x)2=1440解得x1=20%，x2=−220%（不合题意，舍去）故该县投入资金的年平均增长率为20%．（2）解；由(1)得：该县投入资金的年平均增长率为20%∵2023年投入资金1440万元，增长率保持不变∴预计该县2024年投入资金为1440×(1+20%)=1728万元．答：该县2024年投入资金为1728万元．7．（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟x米，得5×1.2x+10x=800解得x=50∴1.2x=60（米）所以，张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米；（2）解：依题意，得60(10a+5)+(50+2a)(10a+10)=6900整理得a2+56a−305=0解得a1=−61（舍）答：a的值为5．8．（1）解：设小齐每分钟跑x米，则小明每分钟跑1.2x米由题意得：12000x −5=120001.2x解得：x=400经检验，x=400既是所列分式方程的解也符合题意则1.2x=1.2×400=480答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟由题意得：10×30+(y−30)(10+y−30)=2300解得：y1=70，y2=−20（不符合题意，舍去）答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．9．（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米根据题意得30x+30(2x+30)=3600解得：x=30则2x+30=90答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得30(30+m +25)+(90−3m )(30+m )=3600+750整理得解得：m 1=10，m 2=0（舍去）∴m 的值为10．10．（1）解：设A 检测队有x 人，B 检测队有y 人依题意得：{x +y =13720x +700y =9200，分解得：{x =6y =7 答：A 检测队有6人，B 检测队有7人；（2）解：设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队，则B 检测队人均采样(700+10m )人依题意得：720(6+m )+(700+10m )(7−m )=9360解得：m 2−9m +14=0，解得：m 1=2由于从B 对抽调部分人到A 检测队，则m <7故m =2答：从B 检测队中抽调了2人到A 检测队．11．解：设阔为x 步，则长为（x +12）步．根据题意，列方程得：x(x +12)=864解方程，得x 1=24，x 2=−36(不合题意，舍去)．答：矩形的阔为24步，长为36步．12．解：设人行道的宽应是x 米由题意得：(22−x )(17−x )=300解得：x 1=2,x 2=37（舍去）∴人行道的宽应是2米．13．（1）解：∴规定用电x 度∴用电90度超过了规定度数（90－x ）度∴超过部分按每度x 100元交电费∴超过部分应交的电费为1100x （90－x ）元．（2）解∴2月份用电量超过x 度，依题意得1100x （80－x ）＝25－10．整理得x 2－80x ＋1500＝0．解这个方程得x1＝30，x2＝50．根据题意得：3月份用电45度只交电费10元∴电厂规定的x≥45∴x1＝30不合题意，舍去．∴x＝50．答：电厂规定的x度为50度．14．（1）解：设垂直于墙的AB边长为xm，根据题意得BC=(24−2x)m则(24−2x)x=70解得x1=5当x1=5时BC=14；当x2=7时BC=10．墙可利用的最大长度为13m，BC=14舍去答：BC的长为10m．（2）不能围成这样的花圃．理由：依题意可知(24−3x)x=78，即x2−8x+26=0Δ=82−4×1×26=−40<0∴方程无实数根答：不能围成这样的花圃．15．解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为2x米，由题意得3x(2×2x+4)=144解得x=3∴3x=9米，2×2x+4=16米所以，比赛区域的长为16米，宽为9米．16．（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2则PB=(16−3x)cm(16−3x+2x)×6=33根据梯形的面积公式得12解之得x=5（2）设P，Q两点从出发经过t秒时点P，Q间的距离是10cm作QE⊥AB，垂足为E则QE＝AD＝6，PQ＝10∴PA=3t，CQ=BE=2t∴PE=AB−AP−BE=|16−5t|由勾股定理，得(16−5t)2+62=102解得t1=4.8，t2=1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时点P和点Q的距离是10cm．17．（1）解：设经过x秒以后，△PBQ的面积等于4cm2由题意可知：0≤x≤3.5此时AP=xcmBP⋅BQ=4由12(5−x)⋅2x=4得12整理得x2−5x+4=0解得x1=1,x2=4（舍）故经过1秒时△PBQ的面积等于4cm2；（2）解：设经过t秒之后，PQ的长度等于5cm由PQ2=BP2+BQ2得52=(5−t)2+(2t)2解得t1=0，t2=2．故经过2秒时PQ的长度等于5cm．18．解：（1）根据题意得：20+6×2=32（件）答：平均每天销售数量为32件；（2）设每件商品降价x元，则每件盈利(40−x)元，平均每天可售出(20+2x)元，依题意得：(40−x)(20+2x)=1200整理得：x2−30x+200=0解得：x1=10又要让顾客得到更大实惠∴x=20．答：当每件商品降价20元时该商店每天销售利润为1200元．19．（1）解：由题意得：a⋅a+30a=1375整理得：a2+30a=1375解得：a1=25，a2=−55（舍去）∴A型口罩的进价为25元．（2）解：设两种口罩的利润总和为w当A型口罩售价为x元时则销售量为60−5(x−30)盒由题意得：则w=(x−25)[60−5(x−30)]+(x−30)(300−5x)=−10x2+785x−14250∴对称轴为x=−785=39.252×(−10)∵−10<0∴当x>39.25时w随x的增大而减小又∵40≤x≤42∴当x=40时两种口罩的利润总和最高，即定价为40元时利润最高．20．（1）解：设每千克枸杞应降价x元×20)=2240根据题意，得(60−x−40)(100+x2化简，得x2−10x+24=0解得x1=4，x2=6．∵为尽可能让利于顾客，赢得市场∴x=6答：每千克枸杞应降价6元；（2）设每千克枸杞应降价x元，每天获得利润为y元×20)=−10x2+100x+2000=−10(x−5)2+根据题意得：y=(60−x−40)(100+x22250∵−10<0∴当x=5时y有最大值，最大值为2250此时售价为60−5=55(元)∴该店将售价定为55元出售，每天可获取最大利润，最大利润是2250元．。

中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用

中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用一、单选题1．（2022·全国九年级课时练习）下列方程是一元二次方程的是（） A ．20ax bx c ++=B ．()223232x x x -=-C ．213x x-=D ．242x x x -= 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A 、20ax bx c ++=，a ≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；B 、()223232x x x -=-，整理得：-2x +6=0，是一元一次方程，故此选项错误；C 、213x x-=，是分式方程，故此选项错误； D 、242x x x -=，是一元二次方程，故此选项正确；故选：D ．2．（2022·全国九年级课时练习）下列各数是方程212x x -=的根的是（） A ．3x = B ．4x =C ．5x =D ．10x =【答案】B 【分析】分别将3x =，4x =，5x =，10x =代入方程中，如果方程左右两边相等，那么此时的值即为方程的解．【详解】解：将3x =，4x =，5x =，10x =代入方程中，可得当4x =时，左边=右边，故4x =是方程212x x -=的根，故选B ．3．（2022·全国九年级课时练习）已知方程2(3)210k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（） A ．4k < B ．4k ≤C ．4k <且3k ≠D ．4k ≤且3k ≠【答案】D 【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b 2-4ac ≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】解：∵方程有两个实数根，∴30k -≠且22Δ4241(3)0b ac k =-=-⨯⨯-≥，解得4k ≤且3k ≠，故选D ．4．（2022·全国九年级课时练习）一元二次方程24410x x -+=的根的情况是（） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵2Δ(4)4410=--⨯⨯=，∴一元二次方程24410x x -+=有两个相等的实数根．故选C ．5．（2022·全国九年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（） A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【详解】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B6．（2022·珠海市九洲中学九年级一模）已知关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．1a = B ．1a >且0a ≠ C ．1a <且0a ≠ D ．1a ≤或0a ≠【答案】C由关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，即可得判别式△0>以及0a ≠，由此即可求得a 的范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，∴△224(2)41440b ac a a =-=--⨯⨯=->，解得：1a <，方程2210-+=ax x 是一元二次方程，0a ∴≠，a ∴的范围是：1a <且0a ≠．故选：C ．7．（2022·全国九年级课时练习）已知一个三角形的一边长为5，其他两边的长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（） A ．9 B ．11C ．11或13D ．9或11【答案】C 【分析】首先解一元二次方程，再根据三角形三边关系的性质，分三种情况分析，通过计算即可得到答案．【详解】∵(2)(4)0x x --=， ∴12x =，24x =当三角形的三边长分别为2，4，5时，其周长为11；当三角形的三边长分别为4，4，5时，其周长为13；当三角形的三边长分别为2，2，5时，无法构成三角形； ∴这个三角形的周长是11或13．故选：C ．8．（2022·全国九年级课时练习）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x 元，则有（） A ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭B ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭ C ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】设房价定为x 元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．【详解】解：设房价定为x 元，根据题意，得()18020501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭故选A ．9．（2022·全国九年级课时练习）如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】A 【分析】剩余部分可合成长为（30-x ）m ，宽为（20-x ）m 的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为551m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：根据题意，得(30)(20)551x x --=，整理，得250490x x -+=，解得121,49x x ==，∵当249x =时，20290x -=-<， ∴249x =舍去， ∴小路宽x 的值为1．故选A ．10．（2022·全国九年级课时练习）某市2012年有人口100万，2013年人口增长率为5%，“单独二胎”政策开放后，2014年人口增长率约为7%，若2013年、2014年人口年平均增长率为x ，则（） A ．6%x = B ．6%x >C ．6%x <D ．不能确定【答案】C【分析】根据题意可得等量关系为：2012年的人口数×（1+增长率）2=2014年的人口数，把相关数值代入即可列出方程．【详解】依题意列方程为2x+=++，100(1)100(15%)(17%)整理得2x+=++=，(1)(15%)(17%) 1.1235++=>，∵(16%)(16%) 1.1236 1.1235∴6%x<．故选：C二、填空题11．（2022·沭阳县怀文中学九年级月考）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x．则可列方程为________________．【答案】()2+=x500017500【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2=7500，故答案为：5000（1+x）2=7500．12．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）已知关于x的方程x2﹣14＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．【答案】k≥0【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．【详解】解：∵关于x的方程x2﹣14＝0有两个不相等的实数根，∴2﹣4×1×（﹣14）＞0且k≥0，k+1＞0且k≥0，解得k≥0，故答案为：k≥0．13．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）九年级（1）班部分学生去秋游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去秋游的人数是____人．【答案】9【分析】设同去春游的人数是x人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x人，依题意，得：12x （x ﹣1）＝36，解得：x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去）．故答案是：9．14．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0有一个解是0，则m 的值为_____．【答案】﹣2 【分析】把x ＝0代入方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0．【详解】解：把x ＝0代入方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0中，得 m 2﹣4＝0，解得m ＝﹣2或2，当m ＝2时，原方程二次项系数m ﹣2＝0，舍去，故答案是：﹣2．15．（2022·全国九年级课时练习）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当．（1）245x =，应选用________法；（2）2165x x +=，应选用_______法；（3）2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++，应选用__________法；（4）22330x x --=，应选用__________法．【答案】直接开平方配方因式分解公式【分析】（1）将方程的二次项系数化为1得到254x =，用直接开平方法求解；（2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法；（3）先移项，然后提出公因式(2)x +，用因式分解法；（4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法．【详解】解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法；（2）2165x x +=的两边都加上64，易配方得2(8)69x +=，故选配方法；（3）方程2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++，移项得2(2)(1)(2)(4)0x x x x +--++=，直接提公因式(2)x +求解即可，故选因式分解法；（4）22330x x --=，二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解．故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式三、解答题16．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）解方程：230x x +-=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可．【详解】解：1,1,3a b c ===-2411213b ac ∴∆=-=+=x ∴==12x x ∴=． 17．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）解方程：（1）3x 2﹣4x ＝1；（2）（3y ﹣2）2＝（2y ﹣3）2．【答案】（1）x 1x 2（2）y 1＝1，y 2＝﹣1 【分析】（1）由题意先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；（2）根据题意先移项得到（3y ﹣2）2﹣（2y ﹣3）2＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）3x 2﹣4x ﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，∴x 273，∴x 1x 2 （2）（3y ﹣2）2﹣（2y ﹣3）2＝0，（3y ﹣2＋2y ﹣3）（3y ﹣2﹣2y ＋3）＝0，3y ﹣2＋2y ﹣3＝0或3y ﹣2﹣2y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝﹣1．18．（2022·贵阳市第十九中学九年级月考）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计2022年该省将新增多少万个公共充电桩？【答案】（1）2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）预计2022年该省将新增0.576万个公共充电桩．【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据该省2022年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，依题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）2.88×20%=0.576（万个）．答：预计2022年该省将新增0.576万个公共充电桩．19．（2022·重庆市育才中学九年级开学考试）中秋来临之际，重百超市看准商机，连续两周进行节日大促销活动，该超市从厂家购进A，B两种月饼进行销售，每周都用25000元购进250盒A种月饼和150盒B种月饼．重百超市在第一周销售时，每盒A 种月饼的售价比每盒B 种月饼的售价的2倍少10元，且两种月饼在一周之内全部售完，总盈利为5000元．（1）求重百超市在第一周销售B 种月饼每盒多少元？（2）重百超市在第二周销售时，受到各种因素的影响，每盒A 种月饼的售价比第一周A 种月饼的售价每盒增加了53%m ，但A 种月饼的销售盒数比第一周A 种月饼的销售盒数下降了%m ；每盒B 种月饼的售价比第一周B 种月饼的售价每盒下降了%m ，但B 种月饼的销售盒数与第一周B 种月饼的销售盒数相同，结果第二周的总销售额为30000元，求m 的值．【答案】（1）重百超市在第一周销售B 种月饼每盒50元，则销售A 种月饼每盒为90元；（2）m =20【分析】（1）设重百超市在第一周销售B 种月饼每盒x 元，则销售A 种月饼每盒为（2x -10）元，然后根据题意可列方程求解；（2）由（1）及题意可知第二周A 种月饼销售价为%59013m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，销量为()2501m -％盒，而B 种月饼销售额为()150501m ⨯-％元，进而根据题意可列方程求解．【详解】解：（1）设重百超市在第一周销售B 种月饼每盒x 元，则销售A 种月饼每盒为（2x -10）元，由题意得：()250210150250005000x x -+-=，解得：50x =，∴销售A 种月饼每盒为2×50-10=90（元）；答：重百超市在第一周销售B 种月饼每盒50元，则销售A 种月饼每盒为90元；（2）由（1）及题意得：()()5901250115050130000%3m m m ⎛⎫+⨯-+⨯-= ⎪⎝⎭％％，化简得：2200m m -=，解得：1220,0m m ==（不符合题意，舍去），∴m =20．20．（2022·西安高新一中实验中学九年级开学考试）解方程：（1）24142x x x x +=-+ （2）22530x x +-=（3）2(2)36x x +=+【答案】（1）原方程无解；（2）112x =，23x =-；（3）12x =-，21x =．【分析】（1）方程两边都乘以公分母得()2424x x x x +-=-，解方程得2x =-检验分母为零即可；（2）因式分解得()()2310x x +-=分别解每一个一元一次方程即可；（3）先因式分解()()210x x +-=在分别解每一个一元一次方程即可．【详解】解：（1）24142x x x x +=-+ ，方程两边都乘以()()22x x +-得()2424x x x x +-=-，整理得24x =-，解得2x =-，当2x =-时，()()()()2222220x x +-=-+--=，∴2x =-时原方程的增根，∴原方程无解；（2）22530x x +-=，因式分解得()()2130x x -+=，当210x -=，解得112x =，当30x +=，解得23x =-；∴方程的解为112x =，23x =-；（3）2(2)36x x +=+，()2(2)320x x -++=， ()()2230x x ++-=，()()210x x +-=，当20x +=，解得12x =-，当10x -=，解得21x =．∴方程的解为12x =-，21x =．21．（2022·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学）已知：关于x 的方程()228440--+=x m x m 有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求实数m 的取值范围．（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求出符合条件的m 的值．【答案】（1）1m <；（2）2m =-【分析】（1）根据根的判别式大于零求解即可；（2）根据根与系数的关系及根的定义得出关于m 的方程求解即可；【详解】解：（1）由题意知，22(84)440m m ∆=--⨯>即64640m ->∴1m <；（2）由根与系数关系得：1284x x m +=-，2124x x m =，∵1212x x x x +=∴2844m m -=，∴220m m +-=，解得，12m =- ，21m =∵1m <，∴2m =-．22．（2022·陕西九年级月考）用一块长8dm ，宽6dm 的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．（1）若要做成的盒子的底面积为15dm 2时，求截去的小正方形的边长；（2）当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6时，求截去的小正方形的边长．【答案】（1）32dm；（2）1dm．【分析】（1）设截去的小正方形的边长为x dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，根据做成的盒子的底面积为215dm，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出截去的小正方形的边长；（2）设截去的小正方形的边长为y dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，根据这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出截去的小正方形的边长．【详解】解：（1）设截去的小正方形的边长为x dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，依题意得：（8﹣2x）（6﹣2x）＝15，整理得：4x2﹣28x+33＝0，解得：x1＝32，x2＝112，当x＝32时，6﹣2x＝6﹣2×32＝3，符合题意，当x＝112时，6﹣2x＝6﹣2×112＝﹣5，不合题意，舍去，答：截去的小正方形的边长为32 dm．（2）设截去的小正方形的边长为y dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，依题意得：2×[（8﹣2y）y+（6﹣2y）y]：（8﹣2y）（6﹣2y）＝5：6，整理得：17y2﹣77y+60＝0，解得：y1＝6017，y2＝1，当y＝6017时，6﹣2y＝6﹣2×6017＝﹣1817，不合题意，舍去，当y＝1时，6﹣2y＝6﹣2×1＝4，符合题意，答：截去的小正方形的边长为1dm．23．（2022·宁波市海曙外国语学校九年级开学考试）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量与销售单价基本满足一次函数关系，并且当销售单价为26元时，每天销售量28台；当销售单价为32元时，每天销售量16台，设台灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（台）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）若该商场每天想获得150元的利润，在保证销售量尽可能大的前提下，应将销售单价定为多少元？【答案】（1）y=-2x+80；（2）单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元；（3）25元【分析】（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案；（3）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案．【详解】解：（1）设y=kx+b，由题意2628 3216k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：280kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-2x+80．（2）设每天的利润为W，W=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，此时当x=30时，w最大=200，答：当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元．（3）根据题意得（x-20）（-2x+80）=150，整理得：x2-60x+875=0，（x-25）（x-35）=0，解得：x1=25，x2=35，∵销售量尽可能大，∴x=25答：每本纪念册的销售单价是25元．。

专题08一元二次方程及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案．解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解；配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。

中考一轮数学《一元二次方程及应用》专题复习(2)含答案

中考一轮数学专题复习：一元一次方程及应用测试题1．一元一次方程410x +=的解是（）A ．14B ． 14-C ． 4D ． 4-【答案】B ．试题分析：41x =-，所以14x =-．故选B ．2．方程2132x x -=+的解为（）A ．x=1B ．x=﹣1C ．x=3D ．x=﹣3 【答案】D ．试题分析：移项得：2x ﹣3x=2+1，合并得：﹣x=3．解得：x=﹣3，故选D ．3．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（）A ．25台B ．50台C ．75台D ．100台【答案】C ．4．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（）元． A ．140 B ．120 C ．160 D ．100 【答案】B ．试题分析：设商品的进价为每件x 元，售价为每件0.8×200元，由题意，得0.8×200=x+40，解得：x=120．故选B ．．5．永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明上景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为（） A ．10：00 B ．12：00 C ．13：00 D ．16：00 【答案】C ．试题分析：设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x 点，则（x ﹣8）×（1000﹣600）=2000，解得x=13．即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为13：00．故选C ．6．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A ．562.5元B ．875元C ．550元D ．750元【答案】B ．7．某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（）A ．880元B ．800元C ．720元D ．1080元【答案】A ．试题分析：设1月份每辆车售价为x 元，则2月份每辆车的售价为（x ﹣80）元，依题意得 100x=（x ﹣80）×100×（1+10%），解得x=880．即1月份每辆车售价为880元．故选A ．8．若代数式45x -与212x -的值相等，则x 的值是（） A ．1 B ．32 C ．23 D ．2【答案】B ．试题分析：根据题意得：21452x x --=，去分母得：8x ﹣10=2x ﹣1，解得：x=32，故选B ．9．某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x 公顷旱地改为林地，则可列方程（） A ．54﹣x=20%×108 B ．54﹣x=20%（108+x ） C ．54+x=20%×162 D ．108﹣x=20%（54+x ）【答案】B ．试题分析：设把x 公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54﹣x=20%（108+x ）．故选B ． 10．方程32(1)4x x +-=的解是（）A ．25x =B ．56x =C ．x=2D ．x=1【答案】C ．二、填空题11．4个数a 、b 、c 、d 排列成a bc d ，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为： a b ad bcc d=-．若3 3123 3x x x x +-=-+，则x=____．【答案】1．试题分析：根据规定可得：223 3(3)(3)12123 3x x x x x x x +-=+--==-+，整理得：1x =，故答案为：1．12．已知2x =是关于x 的方程1(1)2a x a x +=+的解，则a 的值是．【答案】45．试题分析：把2x =代入方程得：1322a a =+，解得：a=45．故答案为：45．13．）已知关于x 的方程332x a x -=+的解为2，则代数式221a a -+的值是．【答案】1．试题分析：∵关于x 的方程332x a x -=+的解为2，∴23232a -=+，解得a=2，∴原式=4﹣4+1=1．故答案为：1．14．某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 m3．【答案】28．试题分析：设该用户居民五月份实际用水x 立方米，故20×2+（x ﹣20）×3=64，故x=28．故答案为：28．15．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了千克．【答案】5．16．）已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：①若c≠0，则111a b +=；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8．其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）．【答案】①③④．试题分析：①∵a+b=ab≠0，∴111a b +=，此选项正确；②∵a=3，则3+b=3b，b=32，c=92，∴b+c=3922+=6，此选项错误；③∵a=b=c，则2a=2a=a，∴a=0，abc=0，此选项正确；④∵a、b、c中只有两个数相等，不妨a=b，则2a=2a，a=0，或a=2，a=0不合题意，a=2，则b=2，c=4，∴a+b+c=8，此选项正确．其中正确的是①③④．故答案为：①③④．17．关于x的方程22403kx x--=有实数根，则k的取值范围是．【答案】k≥﹣6．试题分析：当k=0时，2403x--=，解得x=16-，当k≠0时，方程22403kx x--=是一元二次方程，根据题意可得：△=2164()03k-⨯-≥，解得k≥﹣6，且k≠0，综上k≥﹣6，故答案为：k≥﹣6．18．湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4000元．那么当日售出成人票张．【答案】50．19．）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为元．【答案】100．试题分析：设该商品每件的进价为x元，则150×80%﹣10﹣x=x×10%，解得x=100．即该商品每件的进价为100元．故答案为：100．20．某超市“五一放价”优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物合并成一次性付款可节省元．【答案】18或46.8．21．（2015鄂尔多斯）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边上．【答案】AB．试题分析：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为3：1，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，甲行的路程为2a×113+=2a，乙行的路程为2a×313 +=32a，在AB边相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×113+=a，乙行的路程为4a×313+=3a，在CB边相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×113+=a，乙行的路程为4a×313+=3a，在DC边相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×113+=a，乙行的路程为4a×313+=3a，在AB边相遇；⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×113+=a，乙行的路程为4a×313+=3a，在AD边相遇；…因为2015=350344⨯，所以它们第2015次相遇在边AB 上．故答案为：AB ．22．）从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a ，则使关于x 的不等式组21162212x x a -⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩有解，且使关于x 的一元一次方程32123x a x a-++=的解为负数的概率为．【答案】35．对应练习一元一次方程与应用1、朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（ B ）A ．4个B ．5个C ．10个D ．12个解：（x 个朋友，3x-3=2x+2,x=5） 2、）一元一次方程2x=4的解是（） A ．x=1 B ． x =2 C ． x =3 D ． x =4 解：方程两边都除以2，系数化为1得，x=2．故选B ．3、服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（） A ．60元 B ．80元 C ．120元 D ．180元解：设这款服装的进价为x 元，由题意，得 300×0.8﹣x=60，解得：x=180．300﹣180=120，∴这款服装每件的标价比进价多120元．故选C．4、图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②）所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为8：3，图（②）纸片的面积为33，则图（①）纸片的面积为何？（）A．B．C．42 D．44解：设每一份为x，则图②中白色的面积为8x，灰色部分的面积为3x，由题意，得8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为：33+9=42．故选C．5、附表为服饰店贩卖的服饰与原价对照表．某日服饰店举办大拍卖，外套依原价打六折出售，衬衫和裤子依原价打八折出售，服饰共卖出200件，共得24000元．若外套卖出x件，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式？（）A．0.6×250x+0.8×125（200+x）=24000 B．0.6×250x+0.8×125（200﹣x）=24000 C．0.8×125x+0.6×250（200+x）=24000 D．0.8×125x+0.6×250（200﹣x）=24000 解：若外套卖出x件，则衬衫和裤子卖出（200﹣x）件，由题意得：0.6×250x+0.8×125（200﹣x）=24000，故选：B．6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%。

初三中考一轮复习(8)一元二次方程题型分类含答案(全面非常好)

7.某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。

（1）求平均每次下调的百分率。

【答案】10%
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【答案】
317520
316000
8．如图，邻边不等
．．的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是多少米（可利用的围墙长度超过6m）．
9.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217
+）cm(0)
x+）cm，正六边形的边长为（22
x x
其中.求这两段铁丝的总长.
x>
【答案】420
10.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？【答案】4或5
11。

2024长沙中考数学一轮复习第8课时一元二次方程及其应用(课件)

1 考点精讲 2 长沙10年真题及拓展 Βιβλιοθήκη 重难点分层练一元二次方程
一元二次方程一元二次方程的解法及其解法
变化率问题
根的判别式
一元二次方程
根的判别式及
根与系数的关系根与系数的关系
每每问题
一元二次方程及其应用
一元二次方程面积问题常见图形的实际应用
循环赛问题
考点精讲
【对接教材】人教：九上第二十一章P1～P26
解法
适用情况
注意事项/步骤
直接开平方法
(1)当方程缺少一次项时，即方程ax2
＋c＝0(a≠0，ac＜0)；
开方后所取值前记得加“±”号
(2)形如(x＋b)2＝a(a≥0)的方程
公式法
(1)使用求根公式时要先把一元适用于所有一元二次方程，求根公
二次方程化为一般形式，方程
－b± b2－4ac
的右边一定要化为0；
道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为 570 m2，道路的宽为 x m，则可列
方程为( D )
A. 32×20－2x2＝570
B. 32×20－3x2＝570
C. (32－x)(20－2x)＝570 D. (32－2x)(20－x)＝570
第6题图
7. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利 1250 元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了 x 元，则可列方程为_(_4_0_－__x_)_(_2_0_＋__2_x_)＝__1_2_5_0__． 8. 某班同学互送贺卡，全班共送了 600 张．设全班有 x 名同学，则可列方程为 ___x_(_x_－__1_)_＝__6_0_0_____．

中考一轮复习《课题8：一元二次方程及其应用》同步练习含答案

课题8 一元二次方程及其应用A组基础题组一、选择题1.(2017邯郸一模)一元二次方程x2+4x+c=0中,c<0,该方程根的情况是( )A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能确定2.(2017衡水模拟)某县为发展旅游产业,在2015年投入资金3.2亿元,预计2017年投入资金6亿元,设这两年投入旅游产业的资金的年平均增长率为x,则可列方程为( )A.3.2+x=6B.3.2x=6C.3.2(1+x)=6D.3.2(1+x)2=63.(2016河北中考)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为0m+3=0有两个不相等的实数根, 4.(2017石家庄长安一模)若关于x的一元二次方程x2-2x+14则m的最大整数值是( )A.-9B.-8C.-7D.-6二、填空题5.(2018唐山模拟)设x1,x2是方程x2-4x+3=0的两根,则x1+x2= .6.(2017山东德州中考)方程3x(x-1)=2(x-1)的解为.7.(2018承德模拟)已知关于x的方程x2-2√3x-k=0有实数根,则k的取值范围为.8.(2016江苏泰州中考)方程2x-4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值为.=0有实数根,则k的取值范围是. 9.(2018张家口模拟)关于x的方程kx2-4x-23三、解答题10.(2017北京中考)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.B组提升题组一、选择题1.(2018保定二模)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为( )A.1B.-1C.1或-1D.122.(2018石家庄模拟)某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时,每星期可卖出300件.现需降价处理,为占有市场份额,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出20件.现在要使利润为6 120元,每件商品应降价( )A.3元B.2.5元C.2元D.5元二、填空题3.(2018黔南州中考)三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的解,则此三角形周长是.的值为. 4.(2018四川达州中考)已知:m2-2m-1=0,n2+2n-1=0且mn≠1,则mn+n+1n三、解答题5.已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,(1)求证:无论k为何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?(3)k为何值时,△ABC是等腰三角形?求△ABC的周长.答案精解精析A 组基础题组一、选择题1.B ∵c<0,∴-c>0,∴Δ=16-4c>0,∴方程有两个不相等的实数根.2.D 这两年投入旅游产业的资金的年平均增长率为x,则2016年投入资金为3.2(1+x)亿元,2017年投入资金为3.2(1+x)(1+x)=3.2(1+x)2亿元,∴可列方程为3.2(1+x)2=6.3.B 由(a-c)2>a 2+c 2,得a 2-2ac+c 2>a 2+c 2,即-2ac>0,∴-4ac>0.又∵b 2≥0,∴Δ=b 2-4ac>0,∴原方程有两个不相等的实数根.4.A ∵关于x 的一元二次方程x 2-2x+14m+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(-2)2-4(14m +3)=-m-8>0,解得m<-8,∴m 的最大整数值是-9.二、填空题5.46.x 1=1,x 2=237.k≥-38.-39.答案 k≥-6解析当k=0时,原方程可变形为-4x-23=0,是一次方程且方程有解;当k≠0时,原方程为一元二次方程,当有实数根时,需(-4)2-4k·(-23)=16+83k≥0,解得k≥-6.综上所述,k 的取值范围是k≥-6.三、解答题10.解析 (1)证明:依题意,得Δ=[-(k+3)]2-4(2k+2)=(k-1)2.∵(k -1)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x=-[-(k+3)]±(k -1)2,∴x 1=2,x 2=k+1.∵方程有一个根小于1,∴k+1<1,∴k<0,即k 的取值范围是k<0.B 组提升题组一、选择题1.B 根据题意,得:a 2-1=0且a-1≠0,解得a=-1.故选B.2.A 设售价为x 元时,每星期盈利为6 120元,由题意得(x-40)[300+20(60-x)]=6 120,解得:x 1=57,x 2=58,由已知,要多占市场份额,故销售量要尽量大,即售价要低,故舍去x 2=58.∴每件商品应降价60-57=3元.故选A.二、填空题3.答案 13解析解方程x 2-6x+8=0,得x 1=2,x 2=4.当x=2时,2+3<6,不符合三角形的三边关系定理,∴x=2舍去;当x=4时,符合三角形的三边关系定理,三角形的周长是3+6+4=13.4.答案 3解析由n 2+2n-1=0可知n≠0.∴1+2n -1n 2=0,则1n 2-2n-1=0. 又m 2-2m-1=0,且mn≠1,即m≠1n. ∴m,1n是方程x 2-2x-1=0的两根, ∴m+1n =2.∴mn+n+1n =m+1+1n =(m +1n )+1=2+1=3.三、解答题5.解析 (1)证明:∵Δ=b 2-4ac=[-(2k+3)]2-4×1×(k 2+3k+2)=1>0,∴方程总有两个不相等的实数根.(2)根据根与系数的关系:AB+AC=2k+3,AB·AC=k2+3k+2,则AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB·AC=25,即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,解得k=2或k=-5.根据三角形的边长必须是正数,得k=2.(3)若AB=BC=5或AC=BC=5时,5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的实数根.把x=5代入原方程,得k=3或k=4.由(1)知,无论k取何值,Δ>0,∴AB≠AC,故k只能取3或4.根据一元二次方程根与系数的关系,得AB+AC=2k+3,当k=3时,AB+AC=9,则△ABC的周长是9+5=14;当k=4时,AB+AC=8+3=11,则△ABC的周长是11+5=16.。

2025年中考数学总复习第一部分考点培优训练第8课时一元二次方程及其应用

A.2
B.－2
C.2或－2
1
D.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.某开发公司2023年投入的科研资金为100亿元.为扩大产品的
竞争力，该公司不断增加科研投资，计划2025年投入的科研资
金为400亿元，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率
为x，则下列方程正确的是( D )
x2－60x＋864＝0
程化为一般形式).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
a －b(a≤0),
11.[2024 广州 ] 定义新运算： a⊗b ＝ ൝
例如：－
－a＋b(a＞0).
2 －4＝0，2⊗3＝－2＋3＝1.若x⊗1＝－ 3 ，则x的
2⊗4＝(－2)
1 7
4
－或
2 021
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.[2024三明一模4分]我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除
捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只
云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是
864平方步，其中长与宽的和为60步，问长与宽各多少步？若
设长为x步，则可列方程是____________________________(方
菱形两对角线长分别为( B )

中考数学专题特训第八讲：一元二次方程及应用(含详细参考答案)

中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回首】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，而且未知数最方程2、一元二次方程的一般形式：此中二次项是一次项是，是常数项【赵老师提示： 1、在一元二次方程的一般形式要特别注意重申 a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项摆列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：假如 a =b 则X= X 1 = X 2 =X 22 2、配方法：解法步骤： 1、化二次项系数为即方程两边都二次项系数2、移项：把项移到方程的边3、配方：方程两边都加上把左侧配成完整平方的形式4、解方程：若方程右侧是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：假如方程 a知足 b 2-4ac ≥0，则方程的求根公式 X 2 +bx+c=0(a ±0) 为 4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，假如左侧分解因式，即产生 A.B=0 的形式，则可将原方程化为两个方程，即进而方程的两根【赵老师提示：一元二次方程的四种解法应依据方程的特色灵巧采用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的鉴别式对于 X 的一元二次方程 a X2 +bx+c=0(a ±0)根的状况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的鉴别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根方程有两个实数跟，则 ②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根【赵老师提示：在使用根的鉴别式解决问题时，假如二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】一、一元二次方程根与系数的关系：对于 X 的一元二次方程 a X 2 +bx+c=0(a ±0)有两个根分别为 X 1X 2 则 X 1+X 2 =X 2=二、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程相同，仍依据审、设、列、解、验、答六步进行常有题型1、增添率问题：连续两率增添或降低的百分数X a （ 1+X ）2=b2、收益问题：总收益 =X或收益—3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【赵老师提示：因为往常状况下一元二次方程有两个根，因此解一元二次方程的应用题必定要验根，查验结果能否切合实质问题或能否知足题目中隐含的条件】【要点考点例析】考点一：一元二次方程的相关观点（意义、一般形式、根的观点等）例1 （ 2012?兰州）以下方程中是对于x 的一元二次方程的是（）2A．x+ 1x2=0 2B．ax+bx+c=0C．（ x-1 ）（ x+2） =1 D ． 3x2-2xy-5y 2=0思路剖析：一元二次方程一定知足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行考证，知足这四个条件者为正确答案．解： A 、原方程为分式方程；故本选项错误；2的二次项系数是0 时，该方程就不是一元二次方程；故本选B、当 a=0 时，即 ax +bx+c=0项错误；C、由原方程，得 x2+x-3=0 ，切合一元二次方程的要求；故本选项正确；D、方程 3x2-2xy-5y 2=0 中含有两个未知数；故本选项错误．应选 C．评论：本题考察了一元二次方程的观点，判断一个方程是不是一元二次方程，第一要看能否是整式方程，而后看化简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．对应训练1．（ 2012?惠山区）一元二次方程（a+1） x2-ax+a2-1=0 的一个根为 0，则 a= ．1． 1a+1） x2 2解：∵一元二次方程（-ax+a -1=0 的一个根为 0，∴a+1≠0且 a2-1=0，∴a=1．故答案为 1．评论：本题考察了一元二次方程的定义：含一个未知数，而且未知数的最高次数为 2 的整式方程叫一元二次方程，其一般式为 ax2+bx+c=0（ a≠0）．也考察了一元二次方程的解的定义．考点二：一元二次方程的解法例 2 （2012?安徽）解方程：2x -2x=2x+1 ．思路剖析：先移项，把 2x 移到等号的左侧，再归并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加前一次项系数一半的平方，左侧就是完整平方式，右侧就是常数，而后利用平方根的定义即可求解．解：∵ x2 -2x=2x+1 ，∴x2-4x=1 ，∴x2-4x+4=1+4 ，（x-2 ）2=5 ，∴x-2= ±5，∴x1=2+ 5， x2=2- 5．评论：本题考察了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右侧；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加前一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是 2的倍数．例 3 （2012?黔西南州）三角形的两边长分别为 2 和 6，第三边是方程x2-10x+21=0 的解，则第三边的长为（）A ． 7B ． 3 C．7或3 D ．没法确立思路剖析：将已知的方程x2-10x+21=0 左侧分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中起码有一个为0 转变成两个一元一次方程，求出一次方程的解获得原方程的解为 3 或 7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，获得知足题意的第三边的长．解： x2-10x+21=0 ，因式分解得：（ x-3 ）（ x-7 ） =0，解得： x1=3， x2=7，∵三角形的第三边是x2 -10x+21=0 的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为 3 时， 2+3 ＜6，不可以组成三角形，舍去；当三角形第三边为7 时，三角形三边分别为2， 6， 7，能组成三角形，则第三边的长为7．应选 A评论：本题考察了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，分解法解方程时，第一将方程右侧化为0，左侧分解因式，而后利用两数相乘积为式中起码有一个为0 转变两个一次方程来求解．利用因式0，两因对应训练2．（ 2012?台湾）若一元二次方程式x2-2x-3599=0 的两根为a、 b，且 a＞ b，则 2a-b 之值为何？（）A．-57B．63C．179D．1812． D2．解： x2-2x-3599=0 ，2移项得： x -2x=3599 ，2x -2x+1=3599+1 ，即（ x-1）2=3600，x-1=60 ， x-1=-60 ，解得： x=61， x=-59 ，∵一元二次方程式 x 2-2x-3599=0 的两根为 a 、 b ，且 a ＞ b ，∴ a =61， b=-59 ，∴ 2a-b=2×61-（ -59）=181，应选 D ．3．（ 2012?南充）方程 x （ x-2） +x-2=0 的解是（）A ． 2B ． -2，1C ． -1D ． 2， -13． D考点三：根的鉴别式的运用例 3 （ 2012?襄阳）假如对于 x 的一元二次方程 kx 2- 2k 1 x+1=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（）A ．k ＜ 1B ． k ＜ 1且 k ≠0C ． -1≤k＜ 1 D ．- 1 ≤k＜ 1且 k ≠0222222思路剖析：依据方程有两个不相等的实数根，则△＞ 0，由此成立对于 k 的不等式，而后就能够求出 k 的取值范围．解：由题意知： 2k+1≥0， k ≠0，△ =2k+1-4k ＞ 0， ∴-1≤k＜ 1且 k ≠0．22应选 D ．评论：本题考察了一元二次方程根的鉴别式，一元二次方程根的鉴别式△=b 2 -4ac ．一元二次方程根的状况与鉴别式△的关系为：（ 1）△＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（ 2）△ =0 ? 方程有两个相等的实数根；（ 3）△＜ 0? 方程没有实数根．例 4（ 2012?绵阳）已知对于 x 的方程 x 2-（ m+2） x+ （2m-1 ）=0．（ 1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（ 2）若此方程的一个根是 1，恳求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．思路剖析：（ 1）依据对于 x 的方程 x 2-（ m+2） x+ （ 2m-1）=0 的根的鉴别式的符号来证明结论；（2）依据一元二次方程的解的定义求得m 值，而后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类议论：①当该直角三角形的两直角边是1、 3 时，由勾股定理得斜边的长度为：10 ；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、 3 时，由勾股定理得该直角三角形的另向来角边为 2 2 ；再依据三角形的周长公式进行计算．解：（ 1）证明：∵△2 2=（ m+2）-4（ 2m-1） =（ m-2） +4 ，∴在实数范围内， m 不论取何值，（ m-2）2+4≥4，即△ ≥4，∴对于 x 的方程 x2-（ m+2） x+ （ 2m-1） =0 恒有两个不相等的实数根；（2）依据题意，得12-1 ×（m+2） +（ 2m-1） =0，解得， m=2，则方程的另一根为：3；①当该直角三角形的两直角边是1、 3 时，由勾股定理得斜边的长度为：10 ；该直角三角形的周长为1+3+ 10 =4+ 10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、 3 时，由勾股定理得该直角三角形的另向来角边为 2 2 ；则该直角三角形的周长为1+3+2 10 =4+2 10 ．评论：本题综合考察了勾股定理、根的鉴别式、一元二次方程解的定义．解答（用了“分类议论”的数学思想．2）时，采对应训练3．（ 2012?桂林）对于 x 的方程A ． k＜ 1B． k＞ 1 x2-2x+k=0 有两个不相等的实数根，C．k＜ -1 D ． k＞-1则 k 的取值范围是（）3．A ．4．（ 2012?珠海）已知对于x 的一元二次方程x2+2x+m=0 ．（1）当 m=3 时，判断方程的根的状况；（2）当 m=-3 时，求方程的根．4．解：（ 1）∵当 m=3 时，△=b 2-4ac=22-4 ×3=-8 ＜ 0，∴原方程无实数根；（2）当 m=-3 时，2原方程变成x +2x-3=0 ，∴x-1=0 ， x+3=0 ，∴x1=1， x2=-3．考点四：一元二次方程的应用例 5（2012?南京）某汽车销售企业 6 月份销售某厂家的汽车，在必定范围内，每部汽车的进价与销售量有以下关系：若当月仅售出 1 部汽车，则该部汽车的进价为27 万元，每多售出 1 部，全部售出的汽车的进价均降低0.1 万元 /部，月尾厂家依据销售量一次性返利给销售企业，销售量在10 部之内（含10 部），每部返利0.5 万元；销售量在10 部以上，每部返利 1 万元．（1）若该企业当月售出 3 部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）假如汽车的售价为 28 万元 /部，该企业计划当月返利12 万元，那么需要售出多少部汽车？（盈余 =销售收益 +返利）思路剖析：（ 1）依据若当月仅售出 1 部汽车，则该部汽车的进价为27 万元，每多售出 1 部，全部售出的汽车的进价均降低0.1 万元 /部，得出该企业当月售出 3 部汽车时，则每部汽车的进价为： 27-0.1 ×2，即可得出答案；（2）利用设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售收益，依据当0≤x≤10，以及当 x＞ 10 时，分别议论得出即可．解：（ 1）∵若当月仅售出 1 部汽车，则该部汽车的进价为27 万元，每多售出 1 部，全部售出的汽车的进价均降低0.1 万元 /部，∴若该企业当月售出 3 部汽车，则每部汽车的进价为：27-0.1 ×2=26.8 ，故答案为：；（2）设需要售出 x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售收益为：28-[27-0.1 （ x-1 ） ]= （ 0.1x+0.9 ）（万元），当 0≤x≤10，依据题意，得x?（ 0.1x+0.9 ） +0.5x=12 ，整理，得x2+14x-120=0 ，解这个方程，得x1=-20 （不合题意，舍去），x2=6，当 x＞ 10 时，依据题意，得x?（ 0.1x+0.9 ） +x=12 ，整理，得x2+19x-120=0 ，解这个方程，得x1=-24 （不合题意，舍去），x2=5，因为 5＜ 10，因此 x2=5 舍去，答：需要售出 6 部汽车．评论：本题考察了一元二次方程的应用．解题要点是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出适合的等量关系并进行分段议论是解题要点．对应训练5．（ 2012?乐山）菜农李伟栽种的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发销售，因为部分菜农盲目扩大栽种，造成该蔬菜滞销．李伟为了加速销售，减少损失，对价钱经过两次下调后，以每千克 3.2 元的单价对外批发销售．（1）求均匀每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购置 5 吨该蔬菜，因数目多，李伟决定再赐予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200 元．试问小华选择哪一种方案更优惠，请说明原因．5．解（1）设均匀每次下调的百分率为2由题意，得5（ 1-x ）．解这个方程，得x1，x2．因为降价的百分率不行能大于 1，因此切合题目要求的是 x1=0.2=20% ．x．x2=1.8 不切合题意，答：均匀每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购置更优惠．原因：方案一所需花费为： 3.2 ×0.9 ×5000=14400 （元），方案二所需花费为： 3.2 ×5000-200×5=15000（元）．∵14400＜ 15000，∴小华选择方案一购置更优惠．【聚焦山东中考】一、选择题1．（ 2012?日照）已知对于数根，则k 的取值范围是（x 的一元二次方程（）k-2 ）2x2+（ 2k+1）x+1=0 有两个不相等的实A ．k＞4且k≠2B． k≥4且k≠2C． k＞3且k≠2D． k≥3且k≠2 3 3 4 41． C1．解：∵方程为一元二次方程，∴k-2≠0，即 k≠2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞ 0，∴（ 2k+1 ）2 -4（ k-2）2＞ 0，∴（ 2k+1-2k+4 ）（ 2k+1+2k-4 ）＞ 0，∴5（ 4k-3 ）＞ 0，k＞3 ，4 故 k＞3且 k≠2．4应选 C．3．（ 2012?潍坊）如图是某月的日历表，在这天历表上能够用一个矩形圈出3×3 个地点相邻的 9 个数（如 6，7， 8， 13，14，15， 20， 21， 22）．若圈出的9 个数中，最大数与最小数的积为 192，则这9 个数的和为（）A．32 B ．126 C．135 D．1443． D3．解：依据图象能够得出，圈出的9 个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为： x，则最大数为 x+16 ，依据题意得出：x（ x+16 ） =192，解得： x1=8， x2=-24，（不合题意舍去），故最小的三个数为： 8， 9， 10，下边一行的数字分别比上边三个数大7，即为： 15， 16， 17，第 3 行三个数，比上一行三个数分别大 7，即为： 22， 23， 24，故这 9 个数的和为： 8+9+10+15+16+17+22+23+24=144 ．应选： D ．2 25．（ 2012?日照）已知对于x 的一元二次方程（ k ﹣ 2） x +（2k+1 ） x+1=0实数根，则 k 的取值范围是（）有两个不相等的A ． k ＞且k ≠2B ．k ≥ 且k ≠2C ． k ＞且 k ≠2D ． k ≥ 且k ≠2考点：根的鉴别式；一元二次方程的定义。

浙教版备考2021年中考数学一轮复习专题8——一元二次方程及其应用

浙教版备考2021年中考数学一轮复习专题8——一元二次方程及其应用一、单选题（共9题；共45分）1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c＝0B. x2+3＝0C. + ＝1D. x2+2－x(x－1)＝0【答案】B【解析】【解答】A. 若a＝0，则ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故A错误；B. x2+3＝0是一元二次方程，故B正确；C. + ＝1不是一元二次方程，故C错误；D. x2+2－x(x－1)＝0整理后，得x+2=0，不是一元二次方程，故D错误,故答案为：B【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

根据定义并结合各选项即可判断求解.2.方程5x2=4x的解是( )A. x=0B. x=C. x1=0，x2=D. x1=0，x2=【答案】C【解析】【解答】解：5x2=4x5x2-4x=0x（5x-4）=0∴x1=0，x2=故答案为：C.【分析】根据题意，利用直接开平方法，解一元二次方程即可。

3.用配方法解一元二次方程，下列变形中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【解答】故答案为：B.【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式”即可求解.4.如果关于的一元二次方程的两根分别为和，那么( )A. ﹣3B. 3C. ﹣7D. 7【答案】A【解析】【解答】∵关于的一元二次方程的两根分别为和，∴.故答案为：A.【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=”可求解.5.根据下表的对应值，一元二次方程ax2+bx+c=0 其中一个解的取值范围是（）A. 1.0＜x＜1.1B. 1.1＜x＜1.2C. 1.2＜x＜1.3D. 1.3＜x＜1.4【答案】B【解析】【解答】解：由表中数据可知：y=0在y=-0.59与y=0.84之间，∴对应的x的值在1.1与1.2之间，∴ 1.1＜x＜1.2 .故答案为：B.【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，由表格可发现y的值-0.59和0.84最接近0，再看对应的x的值即可得．6.已知两个整数，，有，则的最大值是（）A. 35B. 40C. 41D. 42【答案】B【解析】【解答】解：∵，∴，∴∴当时，ab取得最大值，为，又∵b为整数，且，∴当时，；当时，，∴的最大值为40，故答案为：B.【分析】由已知的等式把a用含b的代数式表示出来，再将a代入ab中整理并配成顶点式，根据平方的非负性可求解.7.某商场销售一批衬衣.平均每天可售出30件.每件衬衣盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利2000元.每件衬衣应降价（）元.A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】 D【解析】【解答】解：设每件衬衫应降价x元.根据题意，得：（50-x）（30+2x）=2000整理，得x2-35x+250=0解得x1=10，x2=25.∵“扩大销售量，减少库存”，∴x1=10应略去，∴x=25.故答案为：：D.【分析】设每件衬衫应降价x元.根据题中的相等关系“单个利润×每天的销售量=每天的总利润2000”可列关于x的方程，解方程即可求解.8.如图，在中，，D为边上一点，连接，，把沿直线翻折，得到，与延长线交于点E，则的长为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【解答】，，，由翻折的性质得：，，，设，则，，在中，，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），即，故答案为：D.【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得∠CDE的度数；由折叠的性质可得，AD=AD´，∠D=∠CDE，∠ACD=∠ACD´，结合图形由角的构成可求得∠BCD和∠DAE的度数，设DE=x，则AD=AD´=2x，则DE=AD+AE可用含x的代数式表示，在直角三角形CDE中，用勾股定理可将CE用含x的代数式表示，在直角三角形ACE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.9.对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；其中正确的（）A. 只有①②B. 只有①②④C. ①②③④D. 只有①②③【答案】B【解析】【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝∴故④正确.故答案为：B.【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.二、填空题（共6题；共30分）10.当x=________时，代数式x2+4x的值与代数式2x+3的值相等.【答案】1或-3【解析】【解答】x2＋4x＝2x＋3，整理得，x2＋2x−3＝0，解得，x1＝1，x2＝−3，∴当x＝−3或1时，代数式x2＋4x的值与代数式2x＋3的值相等.故答案为：1或-3.【分析】根据两个代数式的值相等可得关于x的方程，解方程即可求解.11.已知x1，x2是方程x2+3x+m＝0的两根，若x1=2，则x2的值为________.【答案】-5【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x+m＝0的两根∴x1+x2=- =-3∵x1=2∴x2=-5故答案为：-5.【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可求解.12.以m=________为反例，可以证明“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题(写出一个m的值即可)。

2024成都中考数学一轮复习专题一元二次方程及其应用 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题一元二次方程及其应用一、单选题A．5m B．70m5．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程A．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根二、填空题20．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．21．（2023·四川达州·统考中考真题）已知12,x x 是方程2220x kx +-=的两个实数根，且()()122210x x --=，则k 的值为___________．22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若A.b 是一元二次方程2310x x -+=的两个实数根，则代数式a b ab +-的值为_________．23．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程2340x x --=的根为12,x x ，则()()1222x x +⋅+的值为____________．24．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，则m 的值为__________，另一个根为__________．25．（2023·甘肃武威·统考中考真题）关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根，则c =________（写出一个满足条件的值）．26．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，那么a 的取值范围是________．27．（2023·湖南·统考中考真题）已知关于x 的方程2200x mx +-=的一个根是4-，则它的另一个根是________．28．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若3x =是关x 的方程26ax bx -=的解，则202362a b -+的值为___________．29．（2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程x 2﹣3x ＋1＝0有两个实数根x 1，x 2，则x 1＋x 2﹣x 1x 2的值等于_____．30．（2023·四川内江·统考中考真题）已知A.b 是方程2340x x +-=的两根，则243a a b ++-=___________．31．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，若1212221x x x x ++=，则实数k =_____________．32．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为__________．33．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．34．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根，且12122x x x x ++⋅=，则实数m =_________．三、解答题39．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的四组条件中选择其中一组．．,b c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①2,1b c ==；②3,1b c ==；③3,1b c ==-；④2,2b c ==．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．40．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过．．．．前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？41．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法．．．解方程．参考答案一、单选题二、填空题15．【答案】1k <【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式24>0b ac ∆=-，建立关于k 的不等式，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴()224240b ac k ∆=-=-->，解得1k <．故答案为：1k <．【点拨】此题考查了根的判别式．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ0<⇔方程没有实数根．16．【答案】1【详解】解：∵a ，b 是方程2340x x +-=的两根，∴23,340a b a a +=-+-=，∴234+=a a ，∴243a ab ++-233a a ab =+++-()433=+--2=-．故答案为：2-．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．31．【答案】5-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出12123,x x x x k +==，代入已知等式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，∴12123,x x x x k+==∵1212221x x x x ++=，∴61k +=，解得：5k =-，故答案为：5-．【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．32．【答案】()2100011440x +=【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为()2100011440x +=，故答案为：()2100011440x +=．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．33．【答案】k ＜1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0-⨯⨯>，解得：k 1<，故答案为：k 1<.【点拨】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠中，若方程有两个不相等的实数根，则△=2b 4ac 0->”是解答本题的关键.34．【答案】3【分析】利用一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根求出m 的取值范围，由根与系数关系得到212122,2x x m x x m m +=-=-+，代入12122x x x x ++⋅=，解得m 的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根，∴()()22242480m m m m ∆=--+=->，解得m>2，∵212122,2x x m x x m m +=-=-+，12122x x x x ++⋅=，∴2222m m m -+-+=，解得123,0m m ==（不合题意，舍去），∴3m =故答案为：3.【点拨】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．三、解答题35．【答案】11x =，22x =【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．【详解】解：2320x x -+=(1)(2)0x x --=∴10x -=或20x -=∴11x =，22x =．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．36．【答案】20%【分析】设20202022-年买书资金的平均增长率为x ，根据2022年买书资金=2020年买书资金()21x ⨯+建立方程，解方程即可得．【详解】解：设20202022-年买书资金的平均增长率为x ，由题意得：()2500017200x +=，解得0.220%x ==或 2.20x =-<（不符合题意，舍去），答：20202022-年买书资金的平均增长率为20%．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．37．【答案】(1)见解析；(2)m 的值为1或2-【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：∵()()22Δ21410m m m ⎡⎤=-+-⨯+=>⎣⎦，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵()22210x m x m m -+++=的两个实数根为,a b ，∴221,a b m ab m m +=+=+．∵()()2220a b a b ++=，∴2224220a ab b ab +++=，22()20a b ab ++=．∴222(21)20m m m +++=．即220m m +-=．解得1m =或2m =-．∴m 的值为1或2-．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．。

2024年中考数学复习(全国版)专题08 一元二次方程及其应用(原卷版)

专题08一元二次方程及其应用【九大题型】【题型1一元二次方程的解法】 (2)【题型2根据一元二次方程判断根的情况】 (2)【题型3根据根的情况判断字母的取值或范围】 (3)【题型4一元二次方程的应用之平均增长（下降）率问题】 (4)【题型5一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】 (4)【题型6一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】 (5)【题型7中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】 (6)【题型8中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根的判别式】 (7)【题型9中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】 (7)【知识点一元二次方程】1.定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。

其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项。

2.一元二次方程的解法(1)直接开方法。

适用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。

(2)配方法。

套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。

(3)公式法。

当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：a acbbx24 2的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。

这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

a acbbx24 21，aacbbx2422②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。

abx x 221 ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。