人教版初中数学讲义第7章锐角三角函数7.1 正切(1)
人教版初中数学《第7章三角函数》竞赛专题复习
第7章三角函数§7．1锐角三角函数7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan46︒，sin88︒和cot38︒．解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70︒化sin20︒，再与sin19︒比大小．因为()cos70cos9020sin20︒=︒-︒=︒，而sin19sin20︒<︒，所以sin19cos70︒<︒．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小．cot60cos45︒=<︒=，再将cot65︒，cos40︒分别与cot60︒，cos45︒比大小．因为cot65cot60︒<︒=，cos40cos45︒>︒>，所以cot60cos45︒<︒，所以cot65cos40︒<︒．（3）tan451︒=，显然cos1︒，sin88︒均小于1，而t a n46︒，cot38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒，以及tan46︒与cot38︒的大小即可．因为()cos38cot9052tan52︒=︒-︒=︒，所以tan52tan46tan451︒>︒>︒=．因为()cos1cos9089sin89︒=︒-︒=︒，所以sin88sin891︒<︒<，所以cot38tan46cos1sin88︒>︒>︒>︒．评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30︒，45︒，60︒的三角函数值．7．1．2 ★化简求值：（1）tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒；（2sin83︒；（3）2222tan sintan sinαααα⋅-；（4cos79sin79︒-︒；（5）若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．解析（1）原式=tan1tan 2tan 3tan 44tan 45cot 44cot 43cot 3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒1111=⋅⋅⋅=．（2）原式1cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒． （3）原式()22442242222sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos ααααααααααα⋅====--． （4）原式sin11cos11sin11cos11sin11cos110︒-︒=︒-︒-︒-︒=．（5）原式2222sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααααααα--==+++ 2222tan tan 336tan 13tan 313319αααα--===-++++⨯． 评注 同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．7．1．3★试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦． 解析 在锐角三角形里，显然有90A B ∠+∠=︒，所以有9090A B ︒>∠>︒-∠．由于在0︒~90︒范围内，当A ∠增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道()sin sin 90cos A B B >︒-=． 同理可以证明其他的五组．7．1．4★下列四个数中哪个最大： A ．tan 48cot 48︒+︒ B ．sin 48cos 48︒+︒ C ．tan 48cos 48︒+︒ D ．cot 48sin 48︒+︒ 解析 显然0sin 481<︒<，0cos 481<︒<0<cos48°<1．因此有：sin 48sin 48tan 48cos48︒︒<=︒︒，cos48cos48cot 48sin 48︒︒<=︒︒所以A 最大．7．1．5★设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ． 解析我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=，得到210cos 1x =，并且x 是锐角，因此cosx =所以sin x =因此3sin cos 10x x =． 7．1．6★★在ABC △中，3C A ∠=∠，27BC =，48AB =．证明：2A ∠是锐角，并计算cos 2A 的值． 解析 若290A ∠︒≥，则45A ∠︒≥，3135C A ∠=∠︒≥，于是180A B C ∠+∠+∠>︒，矛盾．为计算cos 2A ，必须构造出一个以2A ∠为其一锐角的直角三角形．如图，过C 作CD 交AB 于D ，使ACD A ∠=∠，则32BCD A A A ∠=∠-∠=∠．ABC DE又CDB A ACD ∠=∠+∠ =2A BCD ∠=∠ 所以27BD BC ==， 21AD AB BD =-=， 21DC AD ==．作BE CD 丄于E ，则212CE DE ==，故217cos2cos 5418CE A BCE BC =∠===． 7．1．7★已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值． 解析由sin cos αα+=两边平方得()22sin cos αα+=．又22sin cos 1αα+=，所以12sin cos 2αα+=， 得1sin cos 2αα=． 评注 （1）当已知sin α与cos α之间和或差的值时，常常考虑运用22sin cos 1αα+=转化问题． （2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题：已知a b +221a b +=，求ab 的值．这里用三角函数式sin α、cos α来替代a 、b ，变化了一下问题的形式．因此，在解题时，弄清问题的本质是非常重要的．7．1．8★已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值． 解析由根与系数的关系知1sin cos 3αα=．则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-=． 7．1．9★★设A 、B是一个直角三角形的两个锐角，满足sin sin A B -=sin A 及sin B 的值． 解析由于90A B +=︒，故由互余关系得()sin sin 90cos B A A =︒-=．因此条件即为sin cos A A -=， ①将上式平方，得221sin cos 2sin cos 2A A A A +-=， 由正、余弦的平方关系，即有12sin cos 2A A =，所以 ()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2A A A A A A A A +=++=+=， 因sin A 、cos A 均为正数，故sin cos 0A A +>．因此由上式得sin cos A A +=， ②由①、②得sin A =，cos A =sin B ． 评注本题也可如下解答：由①得sin cos A A =+， 两边平方，得221sin cos 2A A A =++， ③因22sin 1cos A A =-，代入上式并整理，得212cos 02A A -=，④解得cos A =cos 0A >，故只有cos A =sin A =． 7．1．10★若存在实数x 和y ，使得222225sin cos , 43cos sin ,4x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 求实数a 的所有可能值． 解析把两式相加，得2358a a +=，解得1a =，或83a =-（舍去）．当1a =时，π4x =，π6y =满足方程．故1a =． 7．1．11★★已知关于x 的一元二次方程 ()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．解析设方程的两个实根1x 、2x 分别是直角三角形ABC 的锐角A 、B 的正弦．则()22222212sin sin sin cos 190x x A B A A A B +=+=+=+=︒，又122112m x x m -+=+，12122x x m =+， 所以()2222111212211242122m x x x x x x m m -⎛⎫+=+-=-= ⎪++⎝⎭． 化简得224230m m -+=，解得1m =或23．检验，当1m =时，()()22114820m m =--+<△； 当23m =时，()()22114820m m =--+△≥． 所以23m =．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和22sin cos 1αα+=列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．7．1．12★★已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ． 解析根据韦达定理，有12125 , 4.4x x k x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22121x x +=．于是有()2222121212512244k x x x x x x ⎛⎫=+=+-=--⨯ ⎪⎝⎭．解得98k =． 7．1．13★★★若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根； （1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？ 解析 （1）设A 、B 是某个直角三角形两个锐角，sin A 、sin B 是方程20x px q ++=的两个根，则有240p q =-△≥．①由韦达定理，sin sin A B p +=-,sin sin A B q =．又sin 0A >，sin 0B >，于是0p <，0q >． 由于()sin sin 90cos B A A =︒-=．所以sin cos A A p +=-，sin cos A A q =， 所以()()22sin cos 1sin cos 12p A A A A q -=+=+=+，即221p q -=．由①得21240q p q -=-≥，则12q ≤．故所求条件是 0p <，102p <≤，221p q -=． ②（2）设条件②成立，则24120p q q -=-≥，故方程有两个实根：α==，β==．由②知p -p -，所以0p p <--0βα>≥． 又()2222221p q αβαβαβ+=+-=-=，故01αβ<<≤． 所以，α、β为直角三角形两个锐角的正弦． 评注一般地，有()s i n 90c o s αα︒-=，()cos 90sin αα︒-=．即在Rt ABC △中()90C ∠=︒，sin cos A B =，cos sin A B =．7．1．14★★已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．解析 设题中所述的两个锐角为A 及B ，由题设得 ()241160 , 1cos cos , 2cos cos .4m m m A B m A B ⎧=+-⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩△≥ 因为cos sin B A =，故()2, 1cos sin , 2cos sin , 410m A A m A m m A ++==⎧=-⇒⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩可△≥取任意实数①② ①式两边平方，并利用恒等式22sin cos 1A A +=，得()()221cos sin 12sin cos 4m A A A A ++=+=．再由②得()21124m m ++=，解得m =由cos 0A >，sin 0A >及②知0m >．所以m7．1．15★★不查表，求15︒的四种三角函数值．解析30︒、45︒、60︒这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15︒角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出． 如图所示．在ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则1152D BAD ABC ∠=∠=∠=︒．A BCD130°15°设1AC =，则2AB =，BC =2BD =，所以2CD CB BD =+=+ 所以)1AD ===所以sin15AC AD ︒===，cos15CD AD ︒===tan152AC CD ︒===-cot152CDAC︒== 评注 将15︒角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30︒角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75︒角的四种三角函数值． 7．1．16★★求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）． 解析4522.52︒︒=，所以设法构造一个含22.5︒角的直角三角形，用定义求值． 如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，45B ∠=︒，延长CB 到D ，使B D B A=，则12.52D B ∠=∠=︒．设A C b=，有AB =，)1DC DB BC b =+=．AB CD故tan 22.51ACDC︒=．7．1．17★★求sin18︒的值． 解析 构造一个顶角A 为36︒的等腰ABC △，AB AC =，如图，作内角平分线则36ABD DBC ∠=∠=︒，设1AC =，BC x =．AB CDH由于36DBA DAB ∠=∠=︒，72BDC BCD ∠=∠=︒，故C B B D D A ===，而C A B △∽CBD△（36CAB CBD ∠=∠=︒），故AC BC BC DC =，故11xx x=-，有x =（舍去）． 再作AH BC ⊥于H ，则18CAH ∠=︒，CH =．所以sin18︒=评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为R 的圆内接正十边形的边长．7．1．18★已知直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，sin sin A B m +=，求证：21sin sin 2m A B -=．解析 因为90A B ∠+∠=︒，所以sin cos B A =．从而2222sin sin sin cos 1A B A A +=+=． 又sin sin A B m +=，所以()22sin sin m A B =+22sin sin 2sin sin A B A B =++， 即()22222sin sin sin cos 1A B m A A m =-+=-．7．1．19★★在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且101511b c c a a b+++==，求sin :sin :sin A B C ．解析 依题意，可将边转化为角．设sin sin sin a b ck A B C===，则 sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =． 于是题中条件化为sin sin sin sin sin sin 101511B C C A A B+++==． 令上述比值为t ，那么 sin sin 10B C t +=， sin sin 15C A t +=， sin sin 11A B t +=．所以有sin 8A t =，sin 7C t =，sin 3B t =，从而得sin :sin :sin 8:3:7A B C =． 7．1．20★★★若θ为三角形的最小内角，试求关于x 的方程)543284cos 0x x x θ-+-=的所有实根．解析 原方程显然有根0x =，再求方程)43284cos 0x x x θ-+-+①的实根．θ为三角形最小内角，则060θ︒<︒≤，所以1cos 12θ<≤．方程①可整理变形为 22221122cos 022x x x θ⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212202x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，21cos 02x θ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥．令()2f x -由(240=--△知()f x 恒大于零，即不存在使方程①成立的实数x ．故原方程仅有一个实根0x =．7．1．21★★已知函数2cos 4sin 6y x x αα=-+对于任意实数x 都有0y >，且α是三角形的一个内角，求cos α的取值范围． 解析由于方程没有实数根，()24sin 24cos 0αα-<．并根据22sin cos 1αα+=，可以得到22cos 3cos 20αα+->．因此cos 0.5α>或cos 2α<-．由于1cos 0α>>，所以1cos 0.5α>>． 7．1．22★★已知α、β是钝角，求证： （1）关于x 的方程22cos 0x α-=①有两个不相等的实根；（2）若sin β是方程①的根，则cos β也是方程①的根． 解析（1）因α是钝角，故cos 0α<，于是()()41cos 8cos 41cos 0ααα=+-=->△，所以，方程①有两个不相等的实根．（2）设r 是方程①的另一根，则sin r β≠．由韦达定理，得sin r β+ ②cos sin 02r αβ=<．③ 由于sin 0β>，故0r <．由②、③两式得 ()()222sin sin 2sin 1cos cos 1r r r βββαα+=+-=+-=．所以cos r β=，即cos β也是①的根．7．1．23★★已知()()2cos 4sin 6y x x αα=-+，对于任意实数x ，都有0y >，且是三角形的一个内角，求α的取值范围． 解析因对任意实数x ，二次函数()()2cos 4sin 6y x x αα=-+y 恒大于0，所以cos 0α>，并且()24sin 24cos 0αα=-<△，所以()2161cos 24cos 0αα--<，整理得()()2cos 1cos 20αα-+>． 因cos 20α+>，故2cos 10α->,1cos 2α>． 所以060α︒<<︒．7．1．24★★若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1． 解析由221x y +=，22sin cos 1αα+=，得()()2222sin cos 1x y αα++=，即22222222sin cos cos sin 1x y x y αααα+++=，加一项减一项，得22222222sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 1x xy y x xy y αααααααα+++-+=．即()()2sin cos cos sin 1x y x y αααα2++-=， 因为()2cos sin 0x y αα-≥， 所以()2sin cos 1x y αα+≤， 故sin cos 1x y αα+≤．7．1．25★已知090αβ︒<<<︒，求证：（1）sin sin αβ<；（2）cos cos αβ>；（3）tan tan αβ<． 解析用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比，然后利用边的不等关系证明．作1AOB α∠=，2A OB β∠=，使121AO A O ==，作11A H OB ⊥于1H ，22A H OB ⊥于2H ． BCA 1A 2H 1H 2由21A OB AOB ∠>∠得射线1OA 与线段22A H 相交，设交于C ，则12OA OA OC =>，所以1A 在OC 的延长线上，所以1H 在2OH 的延长线上，得12OH OH >．又11A H22A H 1122A H A H <．因为11111sin A H A H OA α==，111cos OH OH OA α==，111tan A H OH α=，22222sin A H A H OA β==，222cos OH OH OA β==，222tan A H OH β=，所以sin sin αβ<，cos cos αβ>，tan tan αβ<． 7．1．26★★ 已知090α︒<<︒，求证：解析1 构造Rt ABC △，90C ∠=︒，1AB =，CAB α∠=，如图，则si n s i n B C A B αα==，cos cos AC AB αα==．（1）由+BC AC AB +>，得co si s 1n αα+>；（2）作高CH ，中线CD ，则CH CD ≤，1122CD AB ==，211112244ABC S AB CH AB CD AB =⋅⋅==△≤（ABC △以中线CD ，高线CH 重合为面积最大）． CABDHαcos αsin α而11sin cos 22ABC S BC AC αα=⋅=△，所以2sin cos 1αα≤． 有12sin cos 2αα+≤，即()2sin cos 2αα+≤． 又sin cos 0αα+>，所以sin cos αα+ 由（1），（2）知，1sin cos αα<+ 解析2()2sin cos 12sin cos 1αααα+=+>．又由()()222sin cos 12sin cos sin cos 0αααααα-+=-=-≥，得()22sin cos αα+≥， 故有()21sin cos 2αα<+≤，由sin cos 0αα+>，知1sin cos αα<+ 评注解析1同时也证明了“斜边给定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大”这一结论．7．1．27★★★证明：对于任何实数x 、y ，有()22sin sin sin sin sin sin 2x y x y ⎛⎫+⎪⎝⎭≥． 解析 因为对于任意x 、y ，都有1sin 1x -≤≤，1sin 1y -≤≤，所以22πsin sin π1sin sin 1222x y x y +-<-<≤≤≤．而函数sin x 在ππ22x -≤≤上的值是随着x 的增加而增加的，故()22sin sin sin sin sin sin 2x y x y ⎛⎫+⎪⎝⎭≥．7．1．28★★★若0a b >>，090α︒︒≤≤，试证明sin sin a b a b αα+-不能介于a b a b -+及a ba b+-之间．解析假设sin sin a b a b a b a b a b a b αα-++<<+--，则有sin sin a b a ba b a bαα++<--． 由题意知0sin 1α≤≤，0a >，则sin a a α≤，即 sin a b a b α--≤， 又0b >，从而 2211sin b ba b a bα++--≥， 即sin sin a b a ba b a bαα++--≥，所以假设不成立，即命题成立． 7．1．29★★★设221x y +=，且1x ≠-，1y ≠-，求证：()2111y x y x x yx y-=-++++． 解析本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件221x y +=，联想到22sin cos 1αα+=，因此可设sin x α=，cos y α=，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些． 设sin x α=，cos y α=，则11y x x y -++cos sin 1sin 1cos αααα=-++()()22cos cos sin sin 1sin 1cos αααααα+--=++ ()()cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+=+++()()2cos sin 1cos sin 22sin 2cos 2sin cos αααααααα-++=+++()()222cos sin 1cos sin 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos αααααααααα-++=+++++()()()22cos sin 1cos sin 1cos sin αααααα-++=++()()2cos 2sin 21cos sin 1y x x yαααα--==++++．评注在一些代数等式的证明中，如果已知条件221x y +=或()220x y a a +=>，则可设cos , sin ;x y αα=⎧⎨=⎩或 ,,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ 从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多，因此化为三角式后，运算化简常比较方便．§7．2解直角三角形7．2．1★★如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =DB =求ABC △的三边长．ABC DE解析由角平分线想到对称性，考虑过D 作DE AB ⊥，交AB 于E ，则由90C ∠=︒得CD DE ==．在直角三角形BDE 中，1sin 2DE B DB ===，则60B ∠=︒，所以tan AC BC B ===，2sin ACAB AC B===，BC CD DB =+=故ABC △的三边长分别为，．7．2．2 ★★在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．AB C DEFP QG解析 作DF AC ⊥于F ，EG AC ⊥于G ；DP BC ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ．令 BP PQ QC a ===，AG GF FC b ===． 则2DF a =，EG a =．在Rt CDF △和Rt CEG △中，由勾股定理，得()2222sin a b x +=，及()2222cos a b x +=， 两式相加得()2251a b +=，2215a b +=．所以3AB BD ===7．2．3★★如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．ABCD EH解析 已知Rt ABH △中，10AB =，要求BH ，可求出BAH ∠的正弦值，而BAH CAD ∠=∠，因而可先求出DC 的长．作DE AB ⊥于E ，有6AE AC ==，ED CD =． 设3DC k =，由三角形内角平分线性质有106BD DC =，则5BD k =． Rt BDE △中，222DE BE BD +=，即()()()22231065k k +-=，得1k =． 33CD k ==，AD =sin 10BHDAC ∠==，故BH = 7．2．4★已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值． 解析 如图，过B 、C 两点作BM AC ∥、CN AB ∥分别交AD 、AE 于M 、N ．易知AB CMN2AC BM =，2AB CN =，tan BM BAD AB ∠=，tan CNCAE AC∠=， 从而，1tan tan 4BAD CAE ∠∠=． 因为tan 1BAD ∠=，则1tan 4CAE ∠=． 7．2．5★★设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．ABCDEOF解析 设O 是矩形对角线AC 的中点．连结CF ，由折叠知CF AF =，故F O A C ⊥，即E F A C ⊥．由3AB =，4BC =，得5AC =，从而1522AO AC ==． 在Rt AOF △中，90AOF ∠=︒，故tan OF AO FAO =⋅∠．又由Rt ADC △得3tan tan 4DC FAO DAC AD ∠=∠==， 所以5315248OF =⋅=，1524EF OF ==． 7．2．6★★已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．解析由题意可设10a b +=，30α=︒，则125sin 24S ab α==△， 即1125224ab ⋅=， 得25ab =．于是，由10a b +=，25ab =，得a 、b 是方程210250x x -+=的两个根．而此方程有两个相等的根，所以5a b ==，即此三角形为等腰三角形． 评注也可以直接由()()2240a b a b ab -=+-=，得a b =．7．2．7★★在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为21．如果BC AC >，求tan A 的值． 解析 由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故2AB c ==．于是，由题设及勾股定理，得224. a b a b ⎧++==⎪⎨⎪⎩①② 把①式两边平方，得 2226a ab b ++=． 再由②得1ab =．③由①、③知，a 、b 分别是二次方程210u +=的两根，解得u =．因为BC AC >（即a b >），故12BC =，12AC =，所以tan 2BC A AC ===+ 7．2．8★★已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根． （1）判断ABC △的形状； （2）若3tan 4A =求a 、b 、c ． 解析（1）根据题意，尝试从边来判断．因为4a b c +=+，()42ab c =+，所以()2222a b a b ab +=+-()()224242c c c =+-⨯+=， 从而知ABC △是直角三角形，90C ∠=︒．（2）由90C ∠=︒，3tan 4A ∠=，得34a b =． 令3a =，()40b k k =>，则5c k =，于是754k k =+，得2k =，从而有 6a =，8b =，10c =．7．2．9★★在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值． 解析（1）由题设得 ,32.ab m a b m =⎧⎨+=⎩消去b ，得32m a a m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故实数a 满足二次方程2320x mx m -+=．①所以()224240m m m m =-=-△≥．因为0m >，所以24m ≥．（2）当24m =时，方程①只有一个实数根4a =，从而6b =．由b a >，知ABC △的最小内角为A ∠，其正切值2tanA 3a b ==． 7．2．10★★如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值． ABCDEF解析因为tan CECDE CD∠=，已知2AB CD =，因此，只需求出AB 与CE 的比值即可． 不妨设1CD =，则2AB =．在Rt ABF △中，90A ∠=︒，30ABF ∠=︒，所以cos30AB BF ===︒． 在Rt BEF △中，90BEF ∠=︒，45BFE ∠=︒，所以cos 45BE BF =︒==在Rt BEC △中，90EBC ∠=︒，60ECB ∠=︒，sin 60BE CE ===︒，所以tan CE CDE CD ∠==． 7．2．11★★如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC ．AB CD解析作AD BC ⊥于D ，设AD x =，在Rt ABD △中，因为4sin 5B =，所以3cos 5B =， 所以sin 4tan cos 3B B B ==，所以43AD BD =，34BD x =． 在Rt ADC △中，因为tan 2AD C DC ==，所以22AD x CD ==，所以35424x BC BD CD x x =+=+=． ① 因为1102ABC S BC AD =⨯=△，所以151024x x ⨯⋅=，所以4x =．由①知5454BC =⨯=．评注 在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法．7．2．12★★如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC ．B E C解析1 作CE AD ⊥于E ，设CE x =，BE y =，则有()2222225 , 37. x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩①②②-①得22697524y +=-=，所以52y =． 因为3x =，所以512cos 52BE CBE CB ∠===，所以60CBE ∠=︒，18060120CBD ∠=︒-︒=︒，所以sin 45CE AC ===︒．解析2 在CBD△中，5BC =，3BD =，7CD =，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠，所以2222227531cos 22532CD BC BD CBD BC BD ----∠===--⋅⋅-⨯⨯，所以120CBD ∠=︒，从而60CBA ∠=︒．在ABC △中，由正弦定理得sin sin AC BCCBA A=∠,所以5sin sin BC CBAAC A⨯∠===A ．7．2．13★★如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．ABCD E解析作BE AC ⊥B ，交AC 的延长线于E ，设B C x =．则s i n 4B E B C =⨯︒，cos45CE BC =⋅︒=由DC BE ∥，D 是AB的中点，知2AE EC ==．而222AE BE AB +=，得221+=．即x =，所以BC =．评注通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．7．2．14★★如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =． ABCDE F解析ADE ACD B ∠=∠=∠，而tan AE ADE DE ∠=，tan ED ACD EC ∠=，tan DFB BF=，所以tan AE ED DFB DE EC FB ===， 又DF EC =，所以3tan AE ED EC B DE EC BF ⋅⋅=，所以3tan AEB BF=． 又tan AC B BC =，所以33AE AC BF BC =． 评注 本题直角三角形较多，直接用相似三角形往往找不好关系，利用等角的三角函数作边的转化，使关系明确．7．2．15★★如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．AB CDF M求证：AMB CMD ∠=∠． 解析 作DF AC ⊥于F ，不妨设3AB =，因AD BM ⊥，90BAM ∠=︒，所以DAF ABM ∠=∠． 又112tan 2ACMA ABM AB AB ∠===．1tan 2DF DAF FA ∠==． 又90BAC ∠=︒，AB AC =，45C ∠=︒，而90DFC ∠=︒，故FC FD =． 由于12FC FA =，而3FC FA +=，1FC =，2FA =，而32MC =，31122FM =-=，1FD =， 即1tan 212FD CMD FM ∠===，又tan 2ABAMB AM ∠==，AM B ∠，CMD ∠是锐角． 因此AMB CMD ∠=∠． 评注 利用解三角形的知识把结论中有关的线段用常数或适当的参数表示，通过计算证明几何命题，这种方法称为几何题的三角证法．7．2．16★★在等腰直角三角形ABC 中，1AB =，90A ∠=︒，点E 为腰AC 上任意一点，AE a =，点F 在底边BC 上，且FE BE ⊥，求证：()()2121CEF a a S a -=+△．解析如图，过点F 作FD AC ⊥，垂足为D ．ABCDEF因为ABE BEA BEA DEF ∠+∠=∠+∠，所以ABE DEF ∠=∠，从而知ABE △∽DEF △，得AB AEDE DF=． 又因为FD CD =，则令FD x =，那么1DE a x =--．于是11aa x x =--，得()11a a x a -=+． 故()()()()21111122121CEFa a a a S EC FD a a a --=⋅=⋅-⋅=++△． 7．2．17★★★如图，在直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB a =，AC b =，E 是AC 上一动点，F 在BC 上，E 从点A 开始向C 运动且保持EF BE ⊥，试写出EFC S △与点E 运动时到点A 距离x 的关系式．ABCDEF解析如图，过点C 作CD EF ⊥，交直线EF 于D ，则ABE △∽DEC △，得AB BE AEED EC CD==． 由AE x =，得EC b x =-，则a xDECD ==，得a b x DE -=，b x x CD -=．又BEF △∽CDF △，则BE EFCD DF=，即B EE F E FB E CDE F F DE D==++，得(2a b x EF a bx -==+故()221122CEFax b x S EF CD a bx-=⋅=⋅+△．7．2．18★★如图（a ），正方形ABCD 的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．ABCDEFM N(a)CF B EN MDA(b)解析记正方形ABCD 的边长为2a ．由题设易知BFN △∽DAN △，则有21AD AN DN BF NF BN ===， 得2AN NF =，所以23ANAF =．在直角ABF △中，2AB a =，BF a =，则AF ，于是cos AB BAF AF ∠== 由题设可知A D △≌BAF △，所以A E D ∠=∠，18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒．于是cos AM AE BAF =⋅∠，23MN AN AM AF AM =-=-=，从而415MND AFD S MN S AF ==△△． 又()()212222AFD S a a a =⋅⋅=△，所以2481515MND AFD S S a ==△△．因a =8MND S =△．7．2．19★★已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的ABC △中最大角的度数．解析 由已知条件b a c >=可知，这是一个等腰三角形，且底边b 最长，则最大角为B ∠，求出ABC△中的底角A （或C ）即可．我们可以先求角A （或C ）的三角函数值，再确定角的大小，如图所示．由图知A BD abc2cos 2b AD bA AB c c===，则关键是求出b 与c 的比值．通过一元二次方程中的条件，可得到关于c 、b 的方程，则问题得到解决． 因为a c =，所以方程为20cx c -+=． 设1x 、2x为方程的两个根，则有12x x +=121x x =．因为12x x -()2122x x -=，即()2121242x x x x +-=，所以242-=⎝⎭=，bccos 2b A c ==， 所以30A ∠=︒，所以1803030120B ∠=︒-︒-︒=︒．评注 这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数，利用方程条件导出边的关系，由边的关系再进一步求角的大小． 7．2．20★★在ABC △中，90C ∠=︒，则cot 2A b c a +=；反过来，如果在ABC △中，cot 2A b ca+=，则ABC △是直角三角形． 解析（1）作角平分线AD （图略），则在Rt ACD △中，cot2A ACDC=． 由角平分线的比例性质，有DC ACBD AB=． 所以DC AC BD DC AB AC =++，即DC ba b c=+． 所以abDC b c=+．所以cot2A b ca+=． （2）我们证明：B ∠或C ∠是直角．设90C ∠≠︒，下证90B ∠=︒．如图，作ABC △的角平分线AD ，在直线AD 上取一点E ，使90ACE ∠=︒．由题设有 AB CD Fcot 2AC A b c EC a +==，所以abEC b c=+ 又由（1）中的计算，abDC b c=+，所以CD CE =，作CF DE ⊥于F ，则 22DCE FCE DAC BAC ∠=∠=∠=∠．所以180********ABC ACB BAC ACB DCE ACE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒．7．2．21★★如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．DC ABEθ解析由AB CD ∥，得CDE △∽ABE △．所以22::CDE ABE S S DE BE =△△．连结AD ，则90ADB ∠=︒．故由Rt ADE △，有cos DEAEθ=，又AE BE =，所以2:cos CDE ABE S S θ=△△．7．2．22★★★如图，延长锐角ABC △的高AD 、BE 、CF 分别交外接圆于L 、M 、N ．设垂心为外接圆半径为R ．求证：A（1）a b c a b cHA HB HC HL HM HN++=++； （2）sin sin sin 8sinA sin sin AL A BM B CN C R B C ++=．解析 （1）由于CBF △∽AHF △，所以a CFHA AF=． 在Rt AFC △中，tan CF A AF =，所以tan aA HA=． 同理tan b B HB =，tan cC HC=，于是左边tan tan tan A B C =++． 由于H 、D 、C 、E 共圆，所以BHD C ∠=∠．在直角三角形BHD 中，tan BD BHD HD =∠，所以tan BDC HD =． 同理tan CDB HD=． 相加得tan tan aC B HD=+． 由于H 是ABC △的垂心，易证HD DL =，所以12HD HL =，()1tan tan 2a C B HL =+． 同理()1tan tan 2b A C HM =+，()1tan tan 2c B A HN =+． 相加后得右边tan tan tan A B C =++．（2）由于H 是垂心，所以HD DL =，可得HBC △≌LBC △． 由于1sin 2ABLC S AL a R AL A =⋅=⨯⨯四边形， 所以sin ABC BCL ABC HBC R AL A S S S S ⋅⨯=+=+△△△△．同理可证sin ABC HCA R BM B S S ⨯⨯=+△，sin ABC HAB R CN C S S ⨯⨯=+△△．相加后得()1sin sin sin 44sin 2ABC R AL A BM B CN C S ab C ++==⋅△22sin 2sin sin R A R B C =⋅⋅⋅，所以sin sin sin 8sin sin sin AL A BM B CN C R A B C ++=．7．2．23★★如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD 与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．解析如图，延长AD 交地面于点E ，过点D 作DF CE ⊥于点F ．因为45DCF ∠=︒，60A ∠=︒，4CD =，所以sin 454CF DF CD ==︒==，tan 60EF DF =︒=因为tan 30AB BE =︒=，所以(()8.5m AB ===． 7．2．24★如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．SA B C解析若设船不改变航向，与小岛S 的最近距离为SC ．则有tan 60tan 45152SC SC ︒-︒=⨯，解得1542SC =<．因此需要改变航向，以免触礁． 7．2．25★★★如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？解析 要使造价最小，只需考虑AD DC CB ++最小，故首先设法用h 、S 、θ表示 AD DC CB ++．()()()1122cot cot 22S AB CD h CD h h CD h h θθ=+=+=+． 有cot S CD h h θ=-，则2AD DC CB AD CD ++=+2cot sin h S h θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2cos sin h S hθθ-=+． 因S 、h 为常数，则要求AD DC CB ++的最小值，只需求2cos sin m θθ-=的最小值． 设2cos sin m θθ-=，两边平方整理得 ()()2221cos 4cos 40m m θθ+---=，cos θ==．由上式知()2230m m -≥，解得m m =时，2cos sin θθ-有最小值．当m =时，221cos 12m θ==+，从而得60θ=︒，此时排污渠造价最小．。
正切的课件
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)
锐角三角函数与解直角三角形之邯郸勺丸创作【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及理解成sin与∠A，cos与∠A，tan 与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变更规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的罕见类型及解法已知条件解法步调Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指南方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东南方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西南方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边暗示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k暗示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己测验考试完成．举一反三：【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( )(A) (B)(C) (D)类型二、特殊角的三角函数值2．解答下列各题：(1)化简求值：；(2)在△ABC中，∠C＝90°，化简．．【总结升华】由第(2)题可得到今后经常使用的一个关系式：1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2．例如，若设sinα+cosα＝t，则．举一反三：【变式】若，，(2α，β为锐角)，求的值.3．(1)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝105°，∠A＝30°，AC＝8，求AB和BC的长；(2)在△ABC中，∠ABC＝135°，∠A＝30°，AC＝8，如何求AB和BC的长?(3)在△ABC中，AC＝17，AB＝26，锐角A满足，如何求BC的长及△ABC的面积？若AC＝3，其他条件不变呢?【思路点拨】第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B＝45°；过点C作CD⊥AB于D，则Rt△ACD是可解三角形，可求出CD的长，从而Rt△CDB可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，，，AC+CD＝18，求tanA的值和AB的长．专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )A．sin A＝ B．tan A＝C．cosB＝ D．tan B＝例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于 ( )A．B．C．D．专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4 计算|－3|＋2cos 45°－(－1)0．例5 计算－＋＋(－1)2007－cos 60°．例6 计算|－|＋(cos 60°－tan 30°)0＋．例7 计算－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－.专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC 边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sin C＝，BC＝12，求AD的长．例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30，求AB的长．专题4 用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各类应用问题时要注意掌控各类图形的特征及解法．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保存小数点后两位)例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD ＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据≈1.4，≈1.7)例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(≈1.73，结果保存整数)例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)二、规律方法专题专题5 公式法【专题解读】本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键．例19 当0°＜α＜90°时，求的值．三、思想方法专题专题6 类比思想【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，解这个直角三角形．．专题7 数形结合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题经常使用的方法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于 ( )A． B．C． D．专题8 分类讨论思想【专题解读】当结果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔挺的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保存根号)专题9 转化思想例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经丈量，森林呵护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林呵护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为什么?(参考数据：≈1.732，≈1.414)例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)例26 如图28－142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?。
人教版初中数学讲义第7章锐角三角函数7.1 正切(2)
例 2
如图 4，这是一个梯形大坝的横断面，根据图
中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度哪一 个更大一些？
1m
1.2m ( 单 位 ： m) 米)
2.5m
例3
如图 5，在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，AD 是
1 CD ∠CAB 的平分线，tanB＝ ，则 ＝ _______ ． 3 BD
解： （1）①依次按键 显示结果为 2.144506921，即 tan65°≈2.14； ②依次按键
所带来正切值变化的特点.
， 显示结果为 0.410129889， 即 tan22° 18′≈0.41； ③ 依 次 按 键
，显示 结果为 1.247311510，即 tan51°28′≈1.25． 注：因为 22 °18′ ＝ 22 ．3 °，所以也可以直接输入 22．3°． 例题 例1 如图 3，当光线与水平线的夹角为 32°时，测 通过例题教学，帮助学生 学生板演，并讲解，教师点拨． 参考答案： 例1
设置分层作业，尊重学生 的个体差异，为不同学生的发 展创造不同的条件．
B
A
图7
图2
学生思考并讲解方法． （ 1 ） 因 为 tan ＝
2.14 2.14 ； 1
的对边 ， 所 以 tan65 ° ＝ 的邻边
（2）观察图形，填写下表：
10° 20° 30° 45° 55° 65°
tan 0.18 0.36 0.58 1.00 1.43 2.14 通 过 引导 学生 正 确观察 图形，记录不同锐角的正确 值，并借助数形结合，感受锐 角 α 越来越大时，α 的正切值 也将越来越大（锐角 α 越来越 小时，α 的正切值也将越来越 小） ，便于学生的理解和记忆．
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解正切函数定义和计算公式时，还存在一定的困难。这说明对于基础概念和公式的讲解，还需要更加细致和生动。在今后的教学中，我可以尝试使用更多的教具和实物，帮助学生形象地理解正切函数的定义和计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的定义和计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，通过不同角度的正切值计算，让学生看到正切值随角度变化的规律。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题，如测量树的高度或建筑物的高度。
突破方法：总结记忆技巧，如“正切等于对边除邻边”，并通过大量练习巩固记忆。
（3）实际问题的解决：学生面对实际问题，不知如何运用正切函数建立数学模型。
突破方法：提供丰富的实际问题案例，引导学生学会分析问题、建立数学模型，并逐步解决问题。
（4）正切函数的性质：学生对正切函数随角度变化的规律理解不深，难以把握其性质。
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十一章“锐角三角函数”的第一课时，主要内容为正切函数的定义及应用。具体内容包括：
1.理解正切函数的概念：通过观察直角三角形的对边与邻边的比值，引出正切函数的定义。
2.掌握正切函数的表示方法：利用直角三角形的边长关系，推导出正切函数的计算公式，即tanα =对边/邻边。
第七章 锐角三角函数的简单应用(3)
苏科版九年级上 盐中网校第9课时 锐角三角函数的简单应用（3）班级 学号 姓名[学习目标]1、能把实际问题转化为数学（三角函数）问题，从而用三角函数的知识解决问题．2、坡度＝斜坡的水平距离斜坡的垂直高度，一般地，我们将坡度i 写成1:m 的形式．坡度i 与坡角α之间的关系为：i ＝tan α． [学习过程]问题1、 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6m ，测得斜坡的倾斜角是30°，求斜坡上相邻两树的坡面距离．问题2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．问题3、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=600，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动， 坡顶B 沿BC 削进到F 点处，问BF 至少是多少米？问题4、一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .⑴ 求整修后背水坡面的面积；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元， 那么种植花草至少需要多少元？问题5、 如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝1: 0.5，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。
(完整word版)苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案
课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能:1.理解正切的概念, 能通过画图求出一个角的正切的近似值。
能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。
过程与方法:1.经历探索表示物体倾斜程度, 形成正切的概念的过程, 练就创造性解决问题的能力。
1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。
学习重点理解并掌握正切的含义, 会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
学习难点计算一个锐角的正切值的方法。
教学流程预习导航观察回答: 如图某体育馆, 为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答: 图的台阶更陡, 理由合作探究一、新知探究:1.思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外, 还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度。
（思考: BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答: _________________. 讨论: 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答: ________________________. 2.思考与探索二:（1）如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1, RtAB2C2, RtAB3C3……, 那么有: Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质,得: ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。
3.正切的定义如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______, 记作______。
即: tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？ ）试试看.4．思考: 当锐角α越来越大时, α的正切值有什么变化？ 二. 例题分析:例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm, 一个台阶的高度为15cm, 求 楼梯倾斜角的正切值。
课件《锐角三角函数》优秀课件完美版_人教版1
3、如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E点，EC=1， sinB=5 /13 ，求四边形ABCD的周长和面积。
（3）SinA、cosA这一个完整的符号，不表示“sin”、“cos”和A相乘。 如图，（1）Rt△AB2C2和Rt△AB1C1有什么关系？ 2、 利用勾股定理求出各边的长度。 “一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦” （3）SinA、cosA这一个完整的符号，不表示“sin”、“cos”和A相乘。 “一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦” [环节四] 一个锐角的正弦与它余角的余弦的关系 结论：sinA值越大，梯子越陡，cosA值越小，梯子越陡。 [环节三] 梯子的倾斜程度与SinA、cosA的关系。 结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定. 2、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC （1）求证：AC=BD （2）若SinC=，BC=9，求AD。 结论：sinA值越大，梯子越陡，cosA值越小，梯子越陡。 [环节四] 一个锐角的正弦与它余角的余弦的关系 锐角三角函数 ---正弦与余弦 [环节四] 一个锐角的正弦与它余角的余弦的关系 如图，（1）Rt△AB2C2和Rt△AB1C1有什么关系？ （3）SinA、cosA这一个完整的符号，不表示“sin”、“cos”和A相乘。
人教版初中数学讲义第7章锐角三角函数01 三角学的历史
三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多（Aryabhata）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira，约505～587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Nasired-DinalTusi，1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（J·Regiomontanus，1436～1476）．雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（B·Pitiscus，1561～1613），他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（G·J·Rhetucus，1514～1574）．他1536年毕业于滕贝格（Wittenbery）大学，留校讲授算术和几何．1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．文艺复兴后期，法国数学家韦达（F·Vieta）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础，对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理．1722年英国数学家棣莫弗（A·De Meiver）得到以他的名字命名的三角学定理（cosθ±i sinθ）n＝cos nθ±i sin nθ，并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉（L．Euler）证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式eｉθ＝cosθ＋i sinθ，对三角学的发展起到了重要的推动作用．近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边，大写拉丁字母A、B、C表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论．。
人教版锐角三角函数
新知探索:30°角的三角函数值
sin30°= A的对边 1
斜边 2
3
cos30°= A的邻边 3
斜边
2
tan30°= A的对边 3
A的邻边 3
新知探索:45°角的三角函数值
sin45°= A的对边 2
2
斜边
2
cos45°= A的邻边 2
斜边
2
tan45°= A的对边 1 A的邻边
rldmm8989889
新知探索:60°角的三角函数值
sin60°= A的对边 3
斜边
2
2
3 cos60°= A的邻边 1
斜边 2
1
tan60°= A的对边 3
A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值 如下表：
锐角a 三角函数
30°
45°
60°
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
2
2
2
tan a
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切（tangent），记作tanA， 即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
注意
▪ cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A 的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”；
AC DC tan 42,
D 42°
C
1.6m
AB AC CB 20 tan 42 1.6. 少呢？
三角函数讲义(最新)
三角函数复习讲义一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=yx， 定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
单调区间：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。
九年级数学下册 第7章 锐角三角形 7.1 正切教学
（1）tan30º_____tan45º；
（2）tan55º_____tan40º.
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拓展提高
如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径(bànjìng)为1的⊙O的 圆心O在格点上，则∠AED的正切值=_____ 。
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自主探究
变式：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，
tanA=2，求AB的值。
A
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B
C
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自主探究 例2、如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，求tanC。
A
B
C
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练习反馈 1、如图所示，则 tan=_____。
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练习反馈
2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上(biān shànɡ)的高，
AC=3，AB=5，求∠ACD、∠BCD的正切值。
C
等角的正切(zhèngqiē)值 相等
3
B
5 DA
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练习反馈 3、如图，在△ABC中，∠C=90º，D是BC的中点(zhōnɡ
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总结反思
1、正切(zhèngqiē)的定义： 直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为
(chēnɡ wéi)∠A的正切，记作tanA。
2、正切函数的性质：
当锐角α越来越大时，α的正切值也越来越大。 3、结论(jiélùn)：
（1）等角的正切值相等；
初三下册数学第七章知识点整理：正切
初三下册数学第七章知识点整理：正切
正切函数
英文：tangent
简写：tan
中文:正切
概念
如图，把∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tan=∠A的对边/∠A的邻边=a/b
锐角三角函数
tan15°=2-√3
tan30°=√3/3
tan45°=1
tan60°=√3
正切函数的定义对于任意一个实数x，都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。
形式是f(x)=tanx
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,
它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性.
正切函数的性质
1、定义域：{x|x∈R且x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
2、值域：实数集R
3、奇偶性：奇函数
4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，(k∈Z)上是增函数
5、周期性：最小正周期π(可用T=π/|ω|来求)
6、最值：无最大值与最小值
7、零点：kπ, k∈Z
8、对称性：
轴对称：无对称轴
中心对称：关于点(kπ/2,0)对称(k∈Z)
9、图像
实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=(n/2)π点都是它的对称中心.
正切函数诱导公式
tan(2π+α)=tanα
tan(-α) =-tanα
tan(2π-α)=-tanα
tan(π-α) =-tanα
tan(π+α) =tanα
以上就是为大家整理的初三下册数学第七章知识点整
理：正切，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。
初三下册数学第七章正切知识点的归纳整理
初三下册数学第七章正切知识点的归纳整理初三下册数学第七章正切知识点的归纳整理在年少学习的日子里，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。
还在苦恼没有知识点总结吗？下面是店铺为大家整理的初三下册数学第七章正切知识点的归纳整理，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
初三下册数学第七章正切知识点的归纳整理 1正切函数英文：tangent简写：tan中文:正切概念把∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tan=∠A的对边/∠A的邻边=a/b锐角三角函数tan15°=2-√3tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3正切函数的定义对于任意一个实数x，都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。
形式是f(x)=tanx正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性正切函数的性质1、定义域：{x|x∈R且x≠(π/2)+kπ,k∈Z}2、值域：实数集R3、奇偶性：奇函数4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，(k∈Z)上是增函数5、周期性：最小正周期π(可用T=π/|ω|来求)6、最值：无最大值与最小值7、零点：kπ, k∈Z8、对称性：轴对称：无对称轴中心对称：关于点(kπ/2,0)对称(k∈Z)9、图像实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=(n/2)π点都是它的对称中心正切函数诱导公式tan(2π+α)=tanαtan(-α) =-tanαtan(2π-α)=-tanαtan(π-α) =-tanαtan(π+α) =tanα初三下册数学第七章正切知识点的归纳整理 2正切函数诱导公式tan(2π+α)=tanαtan(-α) =-tanαtan(2π-α)=-tanαtan(π-α) =-tanαtan(π+α) =tanα不管是正弦函数的诱导公式还是正切函数的诱导公式，他们都是函数的公式。
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③ 12
图2
平宽度（为 12） ，所以②比③陡． 综合 1，2 可得，②最陡．
问题 3：如图 3，在图 2 中的①、③两个 台阶，你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？
4
学生积极思考，寻找突破： 可以引导学生从相同的水平宽度或者相同 的高度来比较它们的倾斜程度． 始终围绕台阶的倾斜程度展开，问题环 环相扣，把新知识的特点不知不觉、一步一
小结 通过今天的学习，你学会了什么？你会正 确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受 呢，说出来告诉大家． 共同小结． 师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业 1．课本 P99 习题 7.1 第 1、2 题； 2．思考题（选做） ： 你能判断下面两个楼梯哪一个更陡吗？ 选做题解法较多，但又不规定必须用几 课后完成必做题，并根据自己的能力水平 种方法，学生可根据自己的能力去自主选 确定是否选做思考题．
tan45º＝1． 练习 1．如图 9，求下列图中各直角三角形中锐 角的正切值．
B
①
运用本节课所学数学知识解决问题． 参考答案： 1．解：①在 Rt△ABC 中，
A 15
③
检测学生对本节课知识的掌握程度，考 查了学生解决问题的综合能力．练习 1 让学 生体会不同位置摆放的直角三角形不会影响 锐角的正切值．其中的第三个图形的设计让 第三边 AC 的结果不是整数（为 2 6 ） ． 练习 2 是正切的逆用，进一步让学生体
BC 3 AC 4 ，tanB＝ ． AC 4 BC 3
师生互动，锻炼学生的口头表达能力， 培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行 简单的说理．在拓展环节，尽量让学生表达， 或是在互相交流的基础上发表自己的看法， 这样有利于学生对知识的进一步理解．
A
4
图7
C
从而发现 tanA 与 tanB 互为倒数，即 tanA · tanB ＝ 1 ．而且，根据定义，我们发现
教学过程（教师） 新课引入——情景导入 问题 1：人们在行走的过程中，自行车、 汽车在行驶的过程中免不了爬坡．如图 1，哪 个台阶更陡？
大多数学生会根据自己的生活经验来判断 第二个台阶更陡一些，学生的回答大多是建立 在倾斜的程度（实际上就是倾斜的角度） ．
较好地发挥了“情景导入”的作用，让 学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度 来判断和辨别，初步感受倾斜的角度越大， 台阶就越陡．
图1
问题 2：如图 2，哪个台阶最陡？你是如 何判断的？ 学生继续思考，寻找特点： 1．①、②两个水平宽度相同（都为 8） ，高
4 6 ② 8
度不同， ②中的高度 （为 6） 高于①中的高度 （为 4） ，所以②比①陡． 由角度逐步转化为边之间的比较，来实
①
8
2．②、③两个高度相同（都为 6） ，水平宽 现向新知识的自然过渡． 度不同，②中的水平宽度（为 8）小于③中的水
对边 a C
分别是 ∠B 的对边和邻边. 那么，tanB＝
B的对边 AC b ． ＝ B的邻边 BC a
A
邻边 b
图5
你能用同样的方法写出∠B 的正切吗？
例题 例 1 如图 7， 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°， AC＝4，AB＝5，求 tanA、tanB．
B 5
发表意见，表达观点，相互补充． 参考答案： 解：在 Rt△ABC 中，BC＝ 52 42 3 ， tanA＝
7.1 1．认识锐角的正切的概念； 教学目标
正切（1）
2．经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数 学知识解决实际问题的能力； 3．激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．
教学重点 教学难点
计算一个锐角的正切值的方法． 计算一个锐角的正切值的方法． 学生活动 设计思路
①
8 ③ 8 12
图3
比如： 如图 3， 在③中从左向右截取水平宽 步地呈现出来，正所谓“生其自然、成其必 度与①相同（为 8） ，利用三角形相似就可以求 然” ．
6
出此时所对应的高度，发现高度（为 6）与①中
所对应的问题 4：如图 4，一般地，如果锐角 A 的 大小确定，我们可以作出 Rt△AB1C1、 Rt△AB2C2、Rt△AB3C3„„ 那么，你有什么发现呢？ 观察、思考，并归纳、小结： 可以得到 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽ Rt△AB3C3„„ 根据相似三角形的性质，得 经过前三个问题的探究，学生似乎体会 到斜坡倾斜的程度与边角之间的关系，让学 生对所感悟的知识碎片进行整理，并结合图 形进行准确地符号表达．通过数形结合的思 维训练来探索数学规律，学习数学概念，有 利于提高教学的有效性．
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则 AD 在该角所在的直角三角形中实现，从而引导 ＝
1 学生去创造直角三角形培养学生分析问题的 AB 1 ． 在 Rt △ ACD 中 ， CD ＝ 2 能力． CD 2 2 3． 2 1 3 ，tanA＝ 适时的问题拓展，开放性的问题设计， AD
A
D
2
图8
B
从而发现 tan60º 3 ，而∠ACD＝30º， 拓展：
AD 3 3 ，即 tan30º ． 通过计算 tanA 的值， 你对 60º的正切值有 tan∠ACD＝ CD 3 3 什么认识？30º呢？你还能得到其他的吗？ 利用等腰直角三角形的特点， 还能求出
既综合整理、当堂复习了新课知识要点，又 留给了学生自由发挥的空间．
B1 A
B2
B3
B1C1 B2 C 2 B3C3 „„ AC1 AC2 AC3
也就是说，如果直角三角形的一个锐角的 大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值
C1 C2 C3
图4
也确定．
总结提升 如图 5，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、 b 分别是 ∠A 的对边和邻边．我们将∠A 的对 边 a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切（tangent） ，
A
②
C 7 5
图9
5 C
B
17
BC 5 AC 12 ，tanB＝ ． tan A＝ AC 12 BC 5
A 12
②在 Rt△ABC 中，AC＝ 172 152 8 ， tanA＝
BC 15 AC 8 ，tanB＝ ． AC 8 BC 15
2 2
B
C
2．如图 10，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
3 ． 4
导（比如：可以设 BC 为 3m 等） ．
设 BC 为 3m，则 AC 为 4m，所以 tanB＝
图 10
AC 4m 4 ． 又 因 为 AB ＝ 10 ， 所 以 BC 3m 3
(3m) 2 (4m) 2 102 ，所以 m 2(舍去 - 2) ，
所以 BC＝3m＝6，则 AC＝4m＝8．
3 ① 5 7 ② 5
做．这样就能实现“课程标准”中所要求的 “让不同层次的学生得到不同的发展” ．
3 AB＝10，tanA ，求 AC、BC 和 tanB． 4
B 10 A C
③在 Rt△ABC 中，AC＝ 7 5 2 6 ，
会正切的结果是一个比值 （tanA
3 ， 不代表 4
BC＝3，AC＝4） ．练习 2 的处理可以在学生 AC 2 BC 5 5 6 6． tanA＝ ，tanB＝ 充分讨论交流的基础上，教师给出适当的引 BC 5 AC 2 6 12 2．解：在 Rt△ABC 中，tanA＝
a b tanA·tanB＝ · ＝1，所以，我们能得到互 b a
拓展：
通过计算 tanA、tanB 的值，你有什么新的 余两个角的正切值互为倒数． 发现吗？ 例题 例 2 如图 8，在等边三角形 ABC 中，AB ＝2，求 tanA．
C
发表意见，表达观点，相互补充． 参考答案：
例 2 主要是针对角不在直角三角形中如 何处理，要让学生明白寻找对边或邻边时要
A的对边 BC a 记作 tanA，即 tanA＝ ＝ ＝ ． b A的邻边 AC
B
类比、归纳：
B 邻边 a
类似地，让学生类比出∠B 的正切的表
A 对边 b
图6
C
示方法．趁热打铁，让学生表示出∠B 的正 切，有利于学生深入认识正切的定义，初步 实现教学目标．
如图 6，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，b、a