高中数学必修1(人教A版)第一章集合与函数概念1-3

⎩⎨
0, x3
+
x
−
1,
x > 0, x = 0, x < 0.
如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最小值为 5 ，那么 f (x) 在区间
[−7, −3] 上是
A．增函数且最小值是 −5 B．增函数且最大值是 −5
C．减函数且最大值是 −5 D．减函数且最小值是 −5
例题：
求函数
y
= √−x−−−−−1 −
1 x
的最小值．
解：因为 x − 1 ⩾ 0 且 x ≠ 0，所以 x ⩾ 1 ，则函数 f(x) 的定义域为 [1, +∞)．
又
y = √−x−−−−−1 在
[1, +∞)
上单调递增，而
y=
1 x
在
[1, +∞)
上单调递减，所以
y
=
−
1 x
在
[1, +∞)
上单调递增．所以
解：B
因为奇函数 f(x) 在区间 [3, 7] 上是增函数，所以 f(x) 在[−7, −3] 上也是增函数，且奇函数
f f
(x) 在区间 (−3)max =
[3, 7] −f (3)
上 =
f(3)min = −5，故选
5，则 B．
f (x)
在区间
[−7, −3]
上有
定义 [−2, 2] 在上的偶函数 g(x)，当 x ⩾ 0 时，g(x) 单调递减，若 g(1 − m) < g(m) 成立， 求 m 的取值范围． 解：因为 g(x) 是偶函数，所以
y
=
√−x−−−−−1 −
1 x
在 [1, +∞)
上单调递增．
所以，当 x = 1 时，ymin = −1，故所求的最小值为 −1．
已知函数 f (x) = x2 − 2x + 3 在区间 那么实数 a 的取值范围是______． 解： [1, 2]
[0, a] (a > 0)
上的最大值为
3 ，最小值为
增函数，所以 f(x) 在[−1, 1]是减函数，同理，f(x) 在 [−3, −1] 上是增函数．
所以，f(x) 单调增区间是 [−3, −1]，单调减区间是 [−1, 1]．
2.函数的最大（小）值
描述： 函数的最大值 一般地，设函数 y = f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ① 对于任意的 x ∈ I ，都有 f(x) ⩽ M ； ② 存在 x0 ∈ I ，使得 f(x0 ) = M ． 那么，我们称 M 是函数 y = f(x) 的最大值（maximum value）． 函数的最小值 一般地，设函数 y = f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ① 对于任意的 x ∈ I ，都有 f(x) ⩾ M ； ② 存在 x0 ∈ I ，使得 f(x0 ) = M ． 那么，我们称 M 是函数 y = f(x) 的最小值（minimum value）．
之，如果一个函数的图象是以坐标原点为中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果 一个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数． （3）由于奇函数 f(x) 的图象关于原点对称，当 f(x) 的定义域包含原点时，必有 f(0) = 0． 函数的奇偶性与单调性间的关系 一般地，若 f(x) 为奇函数，则 f(x) 在 [a, b] 和 [−b, −a] 上具有相同的单调性；若 f(x) 为 偶函数，则 f(x) 在 [a, b] 和 [−b, −a] 上具有相反的单调性．
例题： 下列函数中，在区间 (0, 2) 上为增函数的是（
）
A．y = 3 − x
B．y = x2 + 1
C．y =
1 x
解：B
D．y = −|x|
根据函数的图象判断即可．
用定义法证明
f (x)
=
x+
1 x
在 (0, 1) 上是减函数．
证明：在 (0, 1) 上任取 x1 ，x2 ，且 x1 < x2 ．
已知函数 y = f(x) 是 (−∞, +∞) 上的增函数，且 f(2x − 3) > f(5x + 6)，求实数 x 的取值 范围． 解：函数 y = f(x) 是 (−∞, +∞) 上的增函数，且 f(2x − 3) > f(5x + 6)，所以
2x − 3 > 5x + 6,
解得 x < −3．所以 x的取值范围 {x | x < −3}．
偶函数 一般地，若函数 y = f(x) 的定义域 I 关于原点对称，且对定义域 I 内的任意一个自变量 x ，都有 f(−x) = f(x) ，那么函数 y = f(x) 称为偶函数（odd function）． 奇函数和偶函数的图象性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反
g(x) = g(−x) = g(|x|).
即
g(1 − m) = g(|1 − m|), g(m) = g(|m|)
因为当 0 ⩽ x ⩽ 2 时，g(x) 单调递减，所以当 −2 ⩽ x < 0 时，g(x) 单调递增． 由于 g(1 − m) < g(m)，则
⎧ |1 − m| > |m|,
若函数 y = (x + 1)(x − a) 为偶函数，则 a =（
）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
解：C
因为 f(x) 为偶函数，定义域为 R，所以 f(1) = f(−1)，即 (1 + 1)(1 − a) = (−1 + 1)(−1 − a)，所以 a = 1．
已知 f(x) 是定义 R 在上的奇函数，且当 x > 0 时，f(x) = x3 + x + 1，求 f(x) 的解析 式． 解：设 x < 0，则 −x > 0，用 −x 替换 f(x) = x3 + x + 1 中的 x，得
2，
因为 f(x) = x2 − 2x + 3 = (x − 1)2 + 2，又因为 f(1) = 2，f(0) = f(2) = 3，则 a ∈ [1, 2]．
3.函数的奇偶性 描述： 奇函数 一般地，若函数 y = f(x) 的定义域 I 关于原点对称，且对定义域 I 内的任意一个自变量 x ，都有 f(−x) = −f(x) ，那么函数 y = f(x) 称为奇函数（even function）．
减函数 一般地，设函数 y = f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1 , x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f(x1 ) > f(x2 ) ，那么就说函数 f(x) 在区间 D 上 是减函数（decreasing function）．
单调性与单调区间 如果函数 y = f(x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y = f(x) 在这一区间上具 有（严格的）单调性，区间 D 称为 y = f(x) 的单调区间． 函数单调性的证明
例题： 判断下列函数的奇偶性：
（1）f (x)
=
x−
1 x3
；
（2）f (x) （3）f (x) （4）f (x)
= = =
x(√12−1+−−−−x3−x)|−x√2 |+−+11−√−+−2−；−xxx−−2−；−−−1；
（5）f(x) =
⎧ x2 − 2x + 3,
⎩⎨
0, −x2
−
2x
−
3,
函数单调性的证明通常利用定义或计算函数的平均变化率
(
Δy Δx
=
f
(x1 ) x1
− −
f (x2 x2
)
)
进行．
复合函数的单调性判断 若函数 u = g(x) 在区间 (a, b) 上是单调函数，函数 y = f(u) 在区间 (g(a), g(b)) 或 (g(b), g(a)) 上也是单调函数，那么复合函数 y = f(g(x)) 在区间 (a, b) 上是单调 函数．当函数 u = g(x) 与函数 y = f(u) 的单调性一致时，函数 y = f(g(x)) 是单调递增函 数；函数 u = g(x) 与函数 y = f(u) 的单调性不一致时，函数 y = f(g(x)) 是单调递减函数． 复合函数的单调性判断法则可以简记为：“同增异减”．
高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质
一、学习任务
1. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的 概念及其几何意义．
2. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
二、知识清单
函数的单调性

函数的最大（小）值
f(x2 ) − f(x1 )
=(x2
+
1 x2
)−
(x1
+
1 x1
)
= =
(xx22−−xx11+) +x1x(1−xx1x22 2−
1 x1
)
=
(x2
− x1 ) (1 −
1 x1 x2
)
=
(x2 − x1 )(x1 x2 − 1) x1 x2
因为 0 < x1 < x2 < 1 ，所以 x2 − x1 > 0，0 < x1 x2 < 1，则 x1 x2 − 1 < 0．