理论力学课件 质点运动微分方程
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
理论力学 第11章 质点运动微分方程
必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
(完整版)理论力学_动力学课件
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e) x
py
p0 y
I
(e y
)
积 分 形
pz
p0 z
I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
§1.5 质点运动微分方程
§1.5质点运动微分方程a m F = ),,(t rr F F = ⇒质点动力学内容⎩⎨⎧）已知力求运动规律（）已知运动规律求力（21 或二者兼而有之1、自由质点运动微分方程自由质点 不受任何约束 三个自由度 三个独立变量 由r m F= 得⎪⎩⎪⎨⎧===),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(t z y xz y x F z m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x（※） （※）是二阶微分方程组，给出所有可能的运动，经两次积分，存在六个积分常数，满足（※）式的解有若干个；任何质点的实际运动，在任意时刻都有确定的位置和速度，通过0=t 时的000000,,;,,z y x z y x 确定积分常数，定出唯一解（满足初始条件），给出特定条件下的运动规律。
直线运动 ),,(t x x F xm = 平面运动 ⎩⎨⎧==),,;,(),,;,(t y x y x F y m t y x y x F x m y x ⎩⎨⎧=+=-),,;,()2(),,;,()(2t r r F rr m t rr F r r m r θθθθθθθθ2、非自由质点的运动微分方程（1）约束 质点运动所受的限制 受约束质点为非自由质点约束的数学表达式⇒约束方程 ，如0),,,(=t z y x f ；质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约束反作用力；约束⇒约束反作用力 非自由质点⇒自由质点约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所受的其它力和运动状态有关 例如 曲面约束⎩⎪⎨⎧+=+=+=z z y y x x R t z y x z y x F z m R t z y x z y x F y m R t z y x z y x F x m ),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(0),,,(=t z y x f （约束方程） 两个自由度 四个方程（2）内禀方程约束力处于法向平面内（,29p 图1.5.1），这时0=b a ，（)n b⨯=τa 在密切平面内 选用自然坐标系 对理性约束 0=τR ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+==)3(0)2()1(2b b n n R F R F vm F dt dv m ρτ注意：在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分开求！由（1）式求出运动规律 （),,,z y x v ⇒将v 代入（2）式，利用232)1(1y y '+''=ρnR ⇒；由（3）b R ⇒ 运动规律和约束反作用力全部求出！ 〖以平面约束为例证明232)1(1y y '+''=ρ)(x f y = dxy dydxds 2221'+=+=αtg y =' dxy y d '''+=232)1(1α ∴232)1(1y y '+''=ρ〗对非理想约束，即有摩擦存在时，切向方程中增加R f μ=一项，这时运动规律和约束反作用力不能分开求了！ 3、运动微分方程的解理论力学中，常见变力，)t ,r,r (F形式复杂；求解二阶微分方程组，则 （1）隔离物体，具体分析（受力，已知，未知）；（2）选取坐标系，建立微分方程组（力学问题⇒数学问题）； （3）根据初始条件求解方程组； （4）分析结果，阐明物理意义。
理论力学课件-动力学精选全文完整版
第一类问题-----已知质点的运动，求作用在质点上的力； 第二类问题-----已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
质点运动微分方程
x
ay
d2y dt 2
d 2
sin
t
2 y
2、求质点所受的力
由
d2x m dt 2
d2y Fxi , m dt 2
Fyi 得
Fx max m2x, Fy may m2 y
Fx max m2x, Fy may m2 y
讨论： 求质点的轨迹方程：
从运动方程中消去 t，得
x2 y2 b2 d 2 1
动力学的理论基础： 牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律
牛顿定律的适用范围（1）不适于微观物体；（2）物体的运动速 度不能太大。
动力学分为质点动力学和质点系动力学： 质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质 点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体 系统） 本课程重点放在质点系动力学。
§9-2 质点的运动微分方程
根据牛顿第二定律，若质点M的质量z 为m，受n个力F1 , F2 ,…., Fn作用，
则有
n
m a Fi 或 m a FR
i 1
k
Fi
F1
M Fn
FR
r
aa
而
d 2r a dt 2
i oj
y
x
则
d 2r
m dt 2
n i 1
Fi
矢量形式的质点运动微分方程。
1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
FR
dt
运动的起始条件为：t = 0时，v0 = 0，x0 = 0
v dv
t
dt
0 g bv 0
v g 1 ebt b
x dx
动-05质点运动微分方程
§ 10-2 质点的运动微分方程
质点系的质量中心 质点系由n个质点M1，M2，…，Mn组成，各质点的质量和矢
径分别为m1，m2，…，mn和r1，r2，…，rn。各质点质量的算
术和称为质点系的质量，用M表示，即
M
m
i 1
n
i
描述质点系质量分布的一 个特征量称为质量中心， 简称质心。
rc
物体作平移的时候；
当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽 略其大小对问题的性质无本质影响的时候。 刚体：有质量、不会变形的物体。
质点系：由若干个质点组成的、有内在联系的系统。
动力学主要研究以下两类基本问题
已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力； 已知作用于物体上的力，求此物体产生什么样的 运动。 即 动力学正问题－已知运动的原因，求运动的结果。 动力学反问题－已知运动的结果，求产生运动的原因。
§ 10-2 质点的运动微分方程
例8-1 质点M的质量为m，运动方程是，其中b、 d、为常量，求作用在此质点上的力。 解：这是典型的动力学第一类基本问题。从运动 方程中消去时间，得此质点的轨迹方程：
x b cos t y d sin t
Fx F Fy
x2 y2 2 1 2 b d
2
量纲与其单位是物理量的两个方面，物理量的量纲
是一定的，它的大小却可以用不同的单位来度量
§ 10-2 质点的运动微分方程
设一质量为m 的质点受到力F1，F2，…，Fn作用,沿某 曲线轨迹运动。根据牛顿第二定律，得三种形式的微分 方程
矢径形式 直 角 坐 标 形 式
d2x m 2 Fx dt 2 d y m 2 Fy dt 2 d z m 2 Fz dt
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
质点运动微分方程
ma= F
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
第十一章 质点运动微分方程理论力学
第十一章 质点运动微分方程 该定律表明：
14
1、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时 对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表 现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向 可以完全不同于作用力的方向。 2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点 上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越 大。 这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越 强，即质量越大，惯性也越大。因此，质量是质点惯 性大小的度量。
Fmax
2 v0 = P(1 + ) gl
第十一章 质点运动微分方程
25
※ 刚才介绍的是动力学第一类问题，其要点是运动方程的 建立，基本数学方法是求导 ※ 动力学第二类问题，是已知力求运动。基本数学方法是 积分。积分的难易取决于载荷的复杂程度。通常有： F=F（c、t、v、r） ※ 目前要求掌握： F=c F=F（v） F=F（t） F=F（r） 须将积分 变量作变换 dv dv dx m = m ⋅ = F ( x) dt dx dt
第十一章 质点运动微分方程 第二定律（力与加速度关系定律）
13
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作 用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速 度的方向与力的方向相同。 即：
F a= m
或
ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常 称上式为动力学基本方程。 当质点同时受几个力的作用时上式中的F 应理解 为这些力的合力。
α ω α B
l
M
F F N1 N2 an FN2 α mg M
a
a
l
第十一章 质点运动微分方程
A α ω α B l M a FN 1 sin α + FN 2 sin α ρ
48理论力学第10章质点运动微分方程PPT课件
质点系动力学第10章质点的运动微分方程内容丰富方法多样应用广质点动力学质点系动力学刚体动力学动力分析振动控制功率与效率构件动强度微分方程方动静法第10章质点的运动微分方程第一章静力学的基本概念和公理西安交通大学城市学院第10章质点的运动微分方程10第10章质点的运动微分方程f作用于质点上的合力m质点的质量质点惯性大小的度量动力学基本方程质点运动微分方程直角坐标形式适用范围
如速度、加速度、角速度、角加速度等； 4. 选择动力学定理进行分析求解。
第10章 质点的运动微分方程
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
可得 ma = FN W
M
将 m = W /g ，代入上式，得地板反力
FNWW gaW(1a g)
x
FN
Ma
W
动压力 静压力 附加动压力
第10章 质点的运动微分方程
例题 10-1
例题 10-1 设电梯以不变的加速度a 上升,求放在电梯
地板上重W 的物块M 对地板的压力。
FWWaW(1a)
g
g
讨论：
M
第10章 质点的运动微分方程
第10章 质点的运动微分方程
动力学基本方程
maF
m—质点的质量，质点惯性大小的度量 F—作用于质点上的合力
ma m dd2tr2 F — 矢量形式
m a x m x Fx
F z
MMMMMM
m a y m y F y —直角坐标形式
质点运动 m a z m z Fz
如速度、加速度、角速度、角加速度等； 4. 选择动力学定理进行分析求解。
第10章 质点的运动微分方程
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
可得 ma = FN W
M
将 m = W /g ，代入上式，得地板反力
FNWW gaW(1a g)
x
FN
Ma
W
动压力 静压力 附加动压力
第10章 质点的运动微分方程
例题 10-1
例题 10-1 设电梯以不变的加速度a 上升,求放在电梯
地板上重W 的物块M 对地板的压力。
FWWaW(1a)
g
g
讨论：
M
第10章 质点的运动微分方程
第10章 质点的运动微分方程
动力学基本方程
maF
m—质点的质量，质点惯性大小的度量 F—作用于质点上的合力
ma m dd2tr2 F — 矢量形式
m a x m x Fx
F z
MMMMMM
m a y m y F y —直角坐标形式
质点运动 m a z m z Fz
详细版《理论力学》第十章 质心运动定理.ppt
质心运动定理的表示方法
直角坐标表示法：
自然表示法：
maCx
m
d 2 xC dt 2
FixE
maCy
m
d 2 yC dt 2
FiyE
maCz
m
d 2zC dt 2
FizE
maC
m dvC dt
FiE
maCn
m vC2
FinE
maCb 0 FibE
︵。︵
10
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
练习1： 质量50kg，长度2 2m的均质杆A端搁在光滑水平面
上，另一端B与水平杆BD铰接并用铅直绳BE悬挂。已知系统
静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，B点的加速度为
7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对AB杆的反力。
BD杆质量不计。
解：1.
2.
受力分析； 运动分析；
y
以B为基点，分析A点加速度：
得：
FN
FN
mg
maCy
mg m aB 2 ︵。︵
例3: 质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，沿
水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度为
aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2）圆 轮所受摩擦力的大小。
解：
aO
3aA 2
2.受力分析
M
C aO mg
3.质心运动定理
maO F
FN F
F
3 2
ma
A
︵。︵
23
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
设电动机轴以匀角速ω转动，求螺栓和基础作用于电
10 质点的运动微分方程
于是有，x = v0 t cosα （3）
dy 1 2 = gt + c3 , y = gt + c3t + c4 dt 2
再积分式（2），有 v y =
理论力学电子教程
第十章 质点运动微分方程
当t=0时， y = y 0 = 0, v y = v0 y = v0 sin α 代入上式得：
1 2 于是有 y = v 0 t sin α gt （4） 2 式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。
2
b
an
Fn
n
a
M
F
aτ
Fτ
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
τ
理论力学电子教程
第十章 质点运动微分方程
§10－ 3质点动力学两类基本问题 10－
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解 题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅 用到微分运算，故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需 对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还 须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。
【思考题】
1．选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运 动，速度为v。试问下列各式是否正确？
理论力学电子教程
第十章 质点运动微分方程
dv dv a.m = Fτ , b.m = F dt dt
A．a、b都正确。 B．a、b都不正确。 C．a正确，b不正确。 D．a不正确，b正确。
第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式 1.直角坐标系的投影式 将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上：
dy 1 2 = gt + c3 , y = gt + c3t + c4 dt 2
再积分式（2），有 v y =
理论力学电子教程
第十章 质点运动微分方程
当t=0时， y = y 0 = 0, v y = v0 y = v0 sin α 代入上式得：
1 2 于是有 y = v 0 t sin α gt （4） 2 式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。
2
b
an
Fn
n
a
M
F
aτ
Fτ
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
τ
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第十章 质点运动微分方程
§10－ 3质点动力学两类基本问题 10－
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解 题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅 用到微分运算，故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需 对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还 须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。
【思考题】
1．选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运 动，速度为v。试问下列各式是否正确？
理论力学电子教程
第十章 质点运动微分方程
dv dv a.m = Fτ , b.m = F dt dt
A．a、b都正确。 B．a、b都不正确。 C．a正确，b不正确。 D．a不正确，b正确。
第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式 1.直角坐标系的投影式 将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上：
理论力学：质点运动微分方程
的
绳
由（1）式得： ld g sind
索
F
n
l 2 2g cos C
s
u
初始条件：
|t 0
u l
,
|t 0
0
C u2 2g l
0 u 2gl mg
2020/12/9
F mg(3cos 2) m u2
l 12
理论力学
§1-2 质点运动微分方程
分析小球的运动
（1）微幅摆动
l g sin 0
理论力学
作业：1-10、1-11、1-12
§1-2 质点运动微分方程
2020/12/9
1
理论力学
质点动力学的应用实例
2020/12/9
2
理论力学
上节课的主要内容
1、运动方程 r xi yj zk
x x(t) y y(t) z z(t)
z
r
v
o
a
x
y
2、点的速度 v r vxi vy j vzk set
图 当： 0
ma mg F FN
: mr mg cos F
(1)
: mr2 mg sin FN (2)
由（2）式解得： FN mr2 mg sin F f FN
代入（1）式得： mr mg cos f (mr2 mg sin ) 同理，当： 0 mr mg cos f (mr2 mg sin )
分方程），并写出相应的初始条件 5. 求解微分方程（积分或数值解） 6. 分析讨论数学结果的物理含义
2020/12/9
16
理论力学
§1-2 质点运动微分方程
例: 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为 r 为 1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。
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水流方向右岸冲刷的强度比左岸大，因此右岸比左岸陡
8-2 非惯性系质点动力学方程
O
θ
A
v mg
A
特点：质点在北半球运动时， 向其运行方向的右侧偏移
8-2 非惯性系质点动力学方程 4. 傅科摆证明地球自转
8-2 非惯性系质点动力学方程
ω y'
z'
o'
x'
φ
o' x' y' z' 固连在地球表面的坐标系
x' ：指向东 y' ：指向北
z' ：指向天
8-2 非惯性系质点动力学方程
1. 地球自转对重力的影响
mavr
=
v F真实
+
v Fe
+
v FC
ω
avr = 0,vvr = 0
y' FT α z'
v F
+
v FT
+
v Fe
=
0
F o' Fe
mavr
=
v F
+
v Fe
+
v FC
非惯性系
mava
=
v F
惯性系
a
Fe
FT
mg
a FT
mg
8-2 非惯性系质点动力学方程 例8-3 如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m，其悬挂点O 以加速度a0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。
a0 O
ϕ
m
8-2 非惯性系质点动力学方程
a0
O
arn
mavr
=
2
2
0
x0
质点动能定理的积分形式.
涉及积分的几种形式
力是速度的简单函数，分离变量积分
m&x& = F (x&)
∫ ∫ v
m
dv =
t
dt
v0 F (v)
0
8-1 质点运动微分方程
牛顿第二定律解题的基本步骤
1）取研究对象 2）运动分析（必须图示） 3）受力分析（必须图示） 4）利用牛顿第二定律（投影式）列方程
ϕ
z’/m
x’/m
8-2 非惯性系质点动力学方程
3. 地球自转对抛体运动的影响
ω
aC
y' z'
vr FC x'
o'
ϕ
ω vr
设：在北半球炮弹初始向正北方向运动
特点：质点在北半球运动时 向其运行方向的右侧偏移。
8-2 非惯性系质点动力学方程
8-2 非惯性系质点动力学方程
河水对堤岸的冲刷
长江三峡
FC v
v F
+
v Fe
+
v FC
ϕ
FT
Fe = ma0
art
m
art = lϕ&&
mg 切线方向投影得
Fe
mlϕ&& = −mg sin ϕ − ma0 sin ϕ
微幅摆动 sinϕ ≈ ϕ
ϕ&& + g + a0 ϕ = 0
l
ω02
=
g
+ a0 l
T = 2π = 2π l
ω0
g + a0
8-2 非惯性系质点动力学方程 地球自转（忽略公转）的影响
m gv
=
v F
+
v Fe
φ
z 结论：重力的大小和方向与纬度φ
mg
有关。
z 当φ=45°时α≈ 0.1°
F 为地球的引力 FT 为绳索的拉力
Fe 为牵连惯性力
z 结论：重力在两极最大，赤道最 小。
8-2 非惯性系质点动力学方程
2. 地球自转对自由落体运动的影响
ω y'
vr z' FC x'
mg
o'
大幅摆动
θ&&+ ω2 sinθ = 0
大
幅
摆
动
不
具
θ / rad
有 等
时
性
t/s
惠更斯摆
涉及积分的几种形式
力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
m&x& = F (x)
dv = dv dx =v dv dt dx dt dx
v
x
∫ ∫ mv d v = F (x)d x
v0
x0
∫ 1 mv2 − 1 mv2 = x F (x)dx
aC
ϕ
结论：自由落体偏东
问题：落体偏东多少？ 自由落体仅偏东吗？
mavr
=
v F
+
v Fe
+
v FC
mavr
=
mgv
+
v FC
8-2 非惯性系质点动力学方程
设：物体从 h = 1 km 的高度自由下落
x'0 = 0 y'0 = 0
z'0 = 1km ϕ = 450
z'
北
y'东h Nhomakorabea'
mavr
o='mgv
直角坐标法还是自然法？
5）有时需要列补充方程。运动方程或摩擦方程。 6）求解代数方程或微分方程。
8-2 非惯性系质点动力学方程
a
非惯性参考系中牛顿第二定律并不成立！！ 非惯性参考系的问题怎样解决？ 非惯性参考系的问题能否利用现有的理论提出解决方案？
8-2 非惯性系质点动力学方程
惯性参考系
Fv = mava
+
v FC
&x&′ = 2ω ( y&′ sin ϕ − z&′ cos ϕ ) &y&′ = −2x&′ω sin ϕ &z&′ = − g + 2x&′ω cos ϕ
mm/100
km cm
8-2 非惯性系质点动力学方程 问题：若物体铅垂上抛，质点运动情况又如何?
ω y'
z'
vr
aC
FC x
o'
a
非惯性参考系能否写成牛顿第二定律的形式？
v v *
F = ma FFFvvvava*−===mmavFavveave+e−−+avmmrm+aavvaveaCvrC−=+mmmavaavvCrC
r
牵连惯性力:
科氏惯性力:
mavr =
Fv
+
v Fve
FveF+C
= −mave
=
v
−mavC
FC
8-2 非惯性系质点动力学方程
8-2 非惯性系质点动力学方程
O
θ
A
v mg
A
特点：质点在北半球运动时， 向其运行方向的右侧偏移
8-2 非惯性系质点动力学方程 4. 傅科摆证明地球自转
8-2 非惯性系质点动力学方程
ω y'
z'
o'
x'
φ
o' x' y' z' 固连在地球表面的坐标系
x' ：指向东 y' ：指向北
z' ：指向天
8-2 非惯性系质点动力学方程
1. 地球自转对重力的影响
mavr
=
v F真实
+
v Fe
+
v FC
ω
avr = 0,vvr = 0
y' FT α z'
v F
+
v FT
+
v Fe
=
0
F o' Fe
mavr
=
v F
+
v Fe
+
v FC
非惯性系
mava
=
v F
惯性系
a
Fe
FT
mg
a FT
mg
8-2 非惯性系质点动力学方程 例8-3 如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m，其悬挂点O 以加速度a0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。
a0 O
ϕ
m
8-2 非惯性系质点动力学方程
a0
O
arn
mavr
=
2
2
0
x0
质点动能定理的积分形式.
涉及积分的几种形式
力是速度的简单函数，分离变量积分
m&x& = F (x&)
∫ ∫ v
m
dv =
t
dt
v0 F (v)
0
8-1 质点运动微分方程
牛顿第二定律解题的基本步骤
1）取研究对象 2）运动分析（必须图示） 3）受力分析（必须图示） 4）利用牛顿第二定律（投影式）列方程
ϕ
z’/m
x’/m
8-2 非惯性系质点动力学方程
3. 地球自转对抛体运动的影响
ω
aC
y' z'
vr FC x'
o'
ϕ
ω vr
设：在北半球炮弹初始向正北方向运动
特点：质点在北半球运动时 向其运行方向的右侧偏移。
8-2 非惯性系质点动力学方程
8-2 非惯性系质点动力学方程
河水对堤岸的冲刷
长江三峡
FC v
v F
+
v Fe
+
v FC
ϕ
FT
Fe = ma0
art
m
art = lϕ&&
mg 切线方向投影得
Fe
mlϕ&& = −mg sin ϕ − ma0 sin ϕ
微幅摆动 sinϕ ≈ ϕ
ϕ&& + g + a0 ϕ = 0
l
ω02
=
g
+ a0 l
T = 2π = 2π l
ω0
g + a0
8-2 非惯性系质点动力学方程 地球自转（忽略公转）的影响
m gv
=
v F
+
v Fe
φ
z 结论：重力的大小和方向与纬度φ
mg
有关。
z 当φ=45°时α≈ 0.1°
F 为地球的引力 FT 为绳索的拉力
Fe 为牵连惯性力
z 结论：重力在两极最大，赤道最 小。
8-2 非惯性系质点动力学方程
2. 地球自转对自由落体运动的影响
ω y'
vr z' FC x'
mg
o'
大幅摆动
θ&&+ ω2 sinθ = 0
大
幅
摆
动
不
具
θ / rad
有 等
时
性
t/s
惠更斯摆
涉及积分的几种形式
力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
m&x& = F (x)
dv = dv dx =v dv dt dx dt dx
v
x
∫ ∫ mv d v = F (x)d x
v0
x0
∫ 1 mv2 − 1 mv2 = x F (x)dx
aC
ϕ
结论：自由落体偏东
问题：落体偏东多少？ 自由落体仅偏东吗？
mavr
=
v F
+
v Fe
+
v FC
mavr
=
mgv
+
v FC
8-2 非惯性系质点动力学方程
设：物体从 h = 1 km 的高度自由下落
x'0 = 0 y'0 = 0
z'0 = 1km ϕ = 450
z'
北
y'东h Nhomakorabea'
mavr
o='mgv
直角坐标法还是自然法？
5）有时需要列补充方程。运动方程或摩擦方程。 6）求解代数方程或微分方程。
8-2 非惯性系质点动力学方程
a
非惯性参考系中牛顿第二定律并不成立！！ 非惯性参考系的问题怎样解决？ 非惯性参考系的问题能否利用现有的理论提出解决方案？
8-2 非惯性系质点动力学方程
惯性参考系
Fv = mava
+
v FC
&x&′ = 2ω ( y&′ sin ϕ − z&′ cos ϕ ) &y&′ = −2x&′ω sin ϕ &z&′ = − g + 2x&′ω cos ϕ
mm/100
km cm
8-2 非惯性系质点动力学方程 问题：若物体铅垂上抛，质点运动情况又如何?
ω y'
z'
vr
aC
FC x
o'
a
非惯性参考系能否写成牛顿第二定律的形式？
v v *
F = ma FFFvvvava*−===mmavFavveave+e−−+avmmrm+aavvaveaCvrC−=+mmmavaavvCrC
r
牵连惯性力:
科氏惯性力:
mavr =
Fv
+
v Fve
FveF+C
= −mave
=
v
−mavC
FC
8-2 非惯性系质点动力学方程