二次根式综合复习(提优)

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九年级数学知识点重点总结

九年级数学知识点重点总结九年级数学知识点重点总结一、二次根式1、二次根式：一般地，式子叫做二次根式。

注意：(1)若这个条件不成立，则不是二次根式。

(2)是一个重要的非负数，即;≥0。

2、积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

3、二次根式比较大小的方法：(1)利用近似值比大小。

(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小。

(3)分别平方，然后比大小。

4、商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

5、二次根式的除法法则：(1)分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。

6、最简二次根式：(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

①被开方数的因数是整数，因式是整式。

②被开方数中不含能开的尽的因数或因式。

(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母。

(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式。

(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。

7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

8、二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用。

(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等。

二、一元二次方程1、一元二次方程的一般形式：a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c;其中a 、 b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。

2、一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少。

数学二次根式教案【优秀8篇】

数学二次根式教案【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除(含答案)

初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除一．选择题（共6小题）1．（2022秋•南关区期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥32．（2022秋•南安市期末）当a＞0时，＝（）A．±a B．a C．﹣a D．03．（2022秋•香坊区期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2022秋•海口期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠35．（2022秋•开福区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．6．（2022秋•临淄区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）7．（2023春•拱墅区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是．9．（2022秋•射洪市期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2022秋•汉寿县期末）化简二次根式的结果为．11．（2022秋•思明区校级期末）计算下列各题：化简：①50＝；②3﹣2＝；③（﹣2a）2＝；④＝；⑤＝；⑥＝；⑦＝；⑧（x﹣1）（x+2）＝．12．（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•东平县期末）计算与求值：（1）（x﹣1）2＝25；（2）（x+3）3＝﹣27；（3）已知x、y都是实数，且，求y x的值．14．（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．15．（2022秋•丰城市校级期末）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．2022-2023学年下学期初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2022秋•南关区期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义得出x+3≥0，进而得出答案．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．2．（2022秋•南安市期末）当a＞0时，＝（）A．±a B．a C．﹣a D．0【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据即可求解．【解答】解：当a＞0时，．故选：B．【点评】本题考查二次根式的性质，掌握是解题的关键3．（2022秋•香坊区期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【答案】C【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A.＝2，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；B.＝4，被开方数是完全平方数，故不符合题意；C.是最简二次根式，故符合题意；D.＝，被开方数是小数，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4．（2022秋•海口期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6≥0，解得：x≥3，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．5．（2022秋•开福区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可．【解答】解：∵x2≥0，∴x2+2≥2，∴一定是二次根式，而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．6．（2022秋•临淄区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简；立方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性、二次根式的性质、立方根逐项判断即可．【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的性质、算术平方根的非负性、立方根等知识，掌握二次根式的性质、算术平方根的非负性是解本题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2023春•拱墅区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x ＜5．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】x＜5．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：5﹣x＞0，解得：x＜5，故答案为：x＜5．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．8．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是45．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】45．【分析】由，结合b是正整数，是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可得答案．【解答】解：∵，又∵b是正整数且是大于1的整数，∴当b＝15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，当b＝60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，∴b的最大值与最小值的差是60﹣15＝45．故答案为：45．【点评】本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．9．（2022秋•射洪市期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣3且x ≠0．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】分式；二次根式；运算能力．【答案】x≥﹣3且x≠0．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故答案为：x≥﹣3且x≠0．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．（2022秋•汉寿县期末）化简二次根式的结果为．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】根据二次根式的分母有理化计算即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的化简，熟记分母有理化方法是解题关键．11．（2022秋•思明区校级期末）计算下列各题：化简：①50＝1；②3﹣2＝；③（﹣2a）2＝4a2；④＝﹣1；⑤＝；⑥＝2；⑦＝；⑧（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；多项式乘多项式；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】实数；整式；分式；二次根式；运算能力．【答案】①1．②．③4a2.④﹣1．⑤．⑥2．⑦．⑧x2+x﹣2．【分析】①根据零指数幂的意义即可求出答案．②根据负整数指数幂的意义即可求出答案．③根据积的乘方运算即可求出答案．④根据分式的加减运算法则即可求出答案．⑤根据积的乘方运算即可求出答案．⑥根据二次根式的性质即可求出答案．⑦根据二次根式的性质即可求出答案．⑧根据多项式乘多项式法则即可求出答案．【解答】解：①原式＝1．②原式＝．③原式＝4a2．④原式＝＝﹣1．⑤原式＝．⑥原式＝2．⑦原式＝．⑧原式＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2．故答案为：①1．②．③4a2.④﹣1．⑤．⑥2．⑦．⑧x2+x﹣2．【点评】本题考查零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、积的乘方运算、二次根式的性质、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．12．（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】被开方数的分子分母乘以2，然后再开方即可．【解答】解：＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•东平县期末）计算与求值：（1）（x﹣1）2＝25；（2）（x+3）3＝﹣27；（3）已知x、y都是实数，且，求y x的值．【考点】二次根式有意义的条件；平方根；立方根；实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）x＝﹣4或x＝6；（2）x＝﹣6；（3）9．【分析】（1）根据平方根的概念计算；（2）根据立方根的概念计算；（3）根据二次根式有意义的条件求出x，进而求出y，根据有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝±5，∴x＝﹣4或x＝6；（2）∵（x+3）3＝﹣27，∴x+3＝﹣3，∴x＝﹣6；（3）由题意得：x﹣2≥0，x﹣2≤0，∴x＝2，∴y＝3，∴y x＝32＝9．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根、立方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．14．（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）；（2）2．【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．【解答】解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式，∴2a＝6，∴a＝＝，故答案为：；（2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，∴（4+）（8﹣m）＝26，∴8﹣m＝＝＝8﹣2，∴m＝2．【点评】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．15．（2022秋•丰城市校级期末）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．【考点】二次根式有意义的条件．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝，则y＝3，则3＝3×＝．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n＝a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝a n b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．5．多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．6．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．7．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．8．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由a m÷a m＝1，a m÷a m＝a m﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．9．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．10．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．11．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．12．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．13．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．。

二次根式综合复习提优

例1、• X 2 2,4八 4,5) i (-；)2,6) ,1 - a,7)a 2 -2a 1，其中是二次[来源：课题二次根式全章综合复习1、理解二次根式的概念，并利用Ja （a > 0）的意义解答具体题目学习目标2、理解府（a> 0）是一个非负数和（） 2=a （ a> 0）并利用它们进行计算和化简3、二次根式的运算与化简求值学习重点二次根式的性质及其运算知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如J 二二2 'll 的式子叫二次根式，其中」叫被开方数，只有当是一个非负数时，丄才9有意义. 【典型例题】題固一：二次報氏的鞘定根式的是 _____________ （填序号）. 练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、石B 、\ 帀C 、、、a 1D 、2、在 ^^^a 、、％ x 1、人1 x 、⑴3 中是二次根式的个数有 ________________________ 个1例2、若式子一—有意义，则x 的取值范围是J x —3练习：1、使代数式有意义的x 的取值范围是（）x -4A 、x>3B 、x > 3C x>4D 、x > 3 且 x 丰 4F 列各式1）2、如果代数式J-m + j—有意义，那么，直角坐标系中点P （m n）的位置在（）-m nA、第一象限B、第二象限C、第三象限 D第四象限2、若、17的整数部分为x,小数部分为y, 求的值.例3、若 y= I x -5 + , 5 -x +2009，则 x+y=练习：1、若x 一1 一1 一x = (x y)2，则x —y 的值为( )A.— 1 B . 1 C . 2 D . 32、当a取什么值时，代数式2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。

UB:丸划精血分例4、已知a是• 5整数部分，b是、5的小数部分，求a • 的值。

b+2练习:1、若、3的整数部分是a,小数部分是b,贝U 3a-b =a(a _0)-a(a ：：知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：「a(a_0)是一个非负数•注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. ( .a)2 =aa 0).方的形式： a = ( a)2 (a 亠0)注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平3.2、已知直角三角形两边已知x -3y ：|x2 _9x 32x +1=0,求—1的值。

人教版八年级数学下册优秀作业课件第十六章二次根式专题训练(一) 二次根式的运算与化简求值技巧

(2)利用所探索的结论找一组正整数 a，b，m，n 填空：__4__＋2___3_＝(_1___＋__3__)2；(答案不唯一)
(3)若 a＋4 3 ＝(m＋n 3 )2，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解：(3)根据题意，得a4＝＝m2m2＋n，3n2， ∵2mn＝4，且 m，n 为正整数， ∴m＝2，n＝1 或 m＝1，n＝2. 当 m＝2，n＝1 时，a＝22＋3×12＝7；当 m＝1，n＝2 时，a＝12＋3×22＝13， ∴a 的值为 7 或 13
数学八年级下册人教版
第十六章二次根式
专题训练(一) 二次根式的运算与化简求值技巧
1．已知 a－b ＋|b－1|＝0，求 a＋b 的值．
解：∵ a－b ＋|b－1|＝0，∴a－b＝0，b－1＝0，解得 a＝1，b＝1，∴ a＋b ＝ 2
2．已知 y＝ x－2 ＋ 2－x ＋38 ，求 xy 的值．
当 x＝ 5 －2，y＝ 5 ＋2 时，
原式＝（
1 5－2）－（
2－ 3 ，求代数式(7＋4 3 )x2＋(2＋ 3 )x＋ 3 的值．
解：当 x＝2－ 3 时，原式＝(7＋4 3 )(2－ 3 )2＋(2＋ 3 )(2－ 3 )＋ 3 ＝ (7＋4 3 )(7－4 3 )＋4－3＋ 3 ＝49－48＋1＋ 3 ＝2＋ 3
y (1)x
＋xy
－4＝（x＋yx）y 2－6xy
＝62－16×1
＝30
1 (2)(x
＋1y
1 )(x
－1y
)＝（x＋（y）xy（）y2－x）
＝－6×1 4
2
＝－24
2
14．小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2 2 ＝(1＋ 2 )2.善于思考的小明进行了以下探索：

二次根式教案优秀3篇

二次根式教案优秀3篇次根式教案篇一教学目的1.使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式；2.会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。

教学重点最简二次根式的定义。

教学难点一个二次根式化成最简二次根式的方法。

教学过程一、复习引入1.把下列各根式化简，并说出化简的根据：2.引导学生观察考虑：化简前后的根式，被开方数有什么不同？化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。

3.启发学生回答：二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？二、讲解新课1.总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。

第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2;特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。

2.练习：下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：3.例题：例1把下列各式化成最简二次根式：例2把下列各式化成最简二次根式：4.总结把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。

当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。

此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。

三、巩固练习1.把下列各式化成最简二次根式：2.判断下列各根式，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？如果不是，把它化成最简二次根式。

四、小结本节课学习了最简二次根式的定义及化简二次根式的方法。

二次根式教案(优秀5篇)

二次根式教案（优秀5篇）次根式教案篇一目标1．熟练地运用二次根式的性质化简二次根式；2．会运用二次根式解决简单的实际问题；3．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。

教学设想本节课的重点是：二次根式及其运算的实际应用；难点是：例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂。

教学程序与策略一、预习检测：1、解决节前问题：如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1 ：0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m。

你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？归纳：在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时经常用到二次根式及其运算。

二、合作交流：1、：如图，扶梯AB的坡比（BE与AE的长度之比）为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，AE= 米，BC= CD。

一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程（结果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米）让学生有充分的时间阅读问题，并结合图形分析问题：（1）所求的路程实际上是哪些线段的和？哪些线段的长是已知的？哪些线段的长是未知的？它们之间有什么关系？（2）列出的算式中有哪些运算？能化简吗？注意解题格式教学程序与策略三、巩固练习：完成课本P17、1，组长检查反馈；四、拓展提高：1：如图是一张等腰三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。

（1）分别求出3张长方形纸条的长度。

（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm。

师生共同分析解题思路，请学生写出解题过程。

五、课堂小结：1、谈一谈：本节课你有什么收获？2、运用二次根式解决简单的实际问题时应注意的的问题六、堂堂清1: 作业本（2）2：课本P17页：第4、5题选做。

次根式教案篇二一、教学目标1、使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式。

部编数学八年级下册专题2二次根式化简求值技巧(解析版)含答案

专题2 二次根式化简求值技巧（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一a|化简典例1（2022春•郯城县期末）化简二次根式―AB C．D．思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．解：由题意可知，x＜0，原式＝﹣x因此选项A是正确的，应选：A．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及化简方法是得出正确答案的前提．变式训练1．已知a=1，求思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．解：∵a====2―∴a﹣1＝2――1＝1―0，∴原式=＝|a﹣1|＝﹣（a﹣1）=―1．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．（1）当a＜0（2）实数a，b思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．解：（1）当a＜0a1aa(a1)=―1a；（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，+＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）＝0．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．类型二含有隐含条件的化简求值典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么+A．B．﹣C．±D．思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（2，代入xy＝3，最后再开方即可．解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，所以（2=x2⋅yx+y2⋅xy+2xy=xy+xy+2xy＝4xy，∵xy＝3，所以4xy＝12，即（+2＝12．∵x与y是同号，所以原式＝±故选：C．总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，解决这类问题一定要注意二次根式有意义的条件，在此条件下解答不会漏解．变式训练1．（2021春•阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式+思路引领：根据加法法则、乘法法则和已知条件得出x 、y 同号，并且都是负数，化简所求式子，代值即可．解：∵x +y ＝﹣6，xy ＝8，∴x 、y 同号，并且都是负数，∴=―＝﹣（y x +xy ）=―=―(6)22×88＝﹣总结提升：本题考查了解二元二次方程组和二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．2．（2021春•虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a ＝3时，求a +小红的答案是5．小明却认为：原式=a +a +(1―a )=1．即：无论a 取何值，a 1．你认为小明说得对么？为什么？思路引领：根据题意得到1﹣a ＜0，根据二次根式性质化简，判断即可．解：小明的解答是错误的，理由如下：∵a ＝3，∴1﹣a ＝﹣2＜0，∴原式＝a +a ﹣1＝2a ﹣1，当a ＝3时，原式＝2×3﹣1＝5，∴小明的解答是错误的．总结提升：=|a |是解题的关键．类型三利用整体思想进行求值典例3 已知x ＝5﹣y ＝3x 2+5xy +3y 2的值．思路引领：先计算出x +y 与xy 的值，再利用完全平方公式得到3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x ＝5﹣y ＝∴x +y ＝10，xy ＝25﹣24＝1，∴3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ＝3×102﹣1＝299．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．变式训练1．（2020秋•武侯区校级月考）已知x y （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x +xy +2．思路引领：先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加减运算得出x 2+y 2和xy 的值，（1）直接代入即可求得；（2）利用异分母分式加减法相加后直接代入即可．解：∵x y =∴xy 32，x ―y =―1，又∵（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ，∴x 2+y 2=(x ―y )2+2xy =1+2×32=4，（1）x 2﹣xy +y 2＝x 2+y 2﹣xy =4―32=52．（2）y x +x y +2=y 2x 2xy +2=432+2=83+2=143．总结提升：本题考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、减、乘运算，分式的加法．能结合二次根式的性质和乘法公式求得x 2+y 2和xy 的值是解题关键．2．（1）已知：x =1，y =1．求2x 2+2y 2﹣xy 的值；（2）已知x ，求x 3x 1x 3的值．思路引领：（1）分母有理化后，代入求解即可；（2）由x 2x =+1，可得2x ﹣1=4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，x +1＝x 2，利用整体代入的思想解决问题．解：（1）x2―y ＝2+所以原式＝2（2―2+2（2+2﹣（2―（2+＝14﹣―1＝27；（2）∵x =∴2x +1，∴2x ﹣1=∴4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，∴x +1＝x 2，∴原式=x 3x 2x 3=x 2(x 1)x 3=x 4x 3=x 总结提升：本题考查二次根式的化简求值，分母有理化等知识，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．类型四化简二次根式比较大小典例4（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．变式训练1．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题+1）1）＝1，+1，+1…（1）观察上面规律，计算下面的式子1+1+1+⋯+1（2）利用上面的规律思路引领：（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；（2―解：（1++⋯+=1)+++⋯+―=―1+―⋯=1＝10﹣1＝9；（2==1，=∴1＞1，――总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确题意，发现其规律，解答相关问题．第二部分专题提优训练1．（2021春•上城区校级期中）已知a=b=ab的值为．思路引领：a=b=ab＝1即可．解：a=b=∴ab+3﹣2＝1．故答案为：1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值．2．（2018春•沙坪坝区校级期末）如果一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），则|1﹣3m|+3化简求值的所有结果的和是．思路引领：直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简得出答案．解：∵一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），∴1＜m＜5，|1﹣3m|+3＝2m+1﹣（3m﹣1）+3＝﹣m+5，当m＝2时，﹣m+5＝3，当m＝3时，﹣m+5＝2，当m＝4时，﹣m+5＝1，故所有结果的和是：1+2+3＝6．故答案为：6．总结提升：此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确得出m 的取值范围是解题关键．3．（2021春•“＞”或“＝”或“＜”）．思路引领：根据分母有理化分别化简，即可得出答案．解：∵14=11+1，∴11，故答案为：＜．总结提升：本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．4．（2022春•　＞　12（填“＞”“＜”“＝”）．思路引领：决问题．1＞1，＞12．故填空结果为：＞．总结提升：此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n 次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．5．（2021秋•淮安区校级月考）已知实数a 满足|2020﹣a |a ，那么a ﹣20202+1的值是．思路引领：根据二次根式有意义的条件得出a ≥2021，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．解：由题意得：a ﹣2021≥0，解得：a ≥2021，则a ﹣2020a ，=2020，∴a ﹣2021＝20202，∴a ﹣20202＝2021，∴原式＝2021+1＝2022，故答案为：2022．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022春•宁武县期末）先化简再求值：当a ＝9时，求a +甲的解答为：原式＝a =a +（1﹣a ）＝1；乙的解答为：原式a =a +（a ﹣1）＝2a ﹣1＝17．两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是．思路引领：利用二次根式的性质化简即可；解：∵a ＝9，∴1﹣a ＜0，∴原式＝a +a +a ﹣1＝2a ﹣1＝17．∴甲错误，故答案为甲，没有注意到1﹣a ＜0．总结提升：本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本公式，注意公式的应用条件．7．（2010秋•=5―2；16请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出1的结果为．（2）利用上面所提供的解法，求值：1+1+1+⋯+1 ．思路引领：（1）直接利用分母有理化化简得出答案；（2）直接将原式化简，进而计算得出答案．解：（1）1（2）原式=―1+―...―=1．1．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2022春•彭州市校级月考）已知x=1，y=1，求值：（1）xy；（2）x2+3xy+y2．思路引领：（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．解：（1）xy=11=1 75=1 2；（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy2+122+122+12＝7+12＝712．总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2―b=1，求思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．解：∵b===2+a＝2―∴a ﹣b ＝2――（2+2―2――0，=总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．10．（2022秋•章丘区校级月考）已知a =，b =1．（1）求ab 的值；（2）求a 2+b 2的值．思路引领：（1）根据平方差公式计算即可；（2）根据二次根式的加法法则求出a +b ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．解：（1）∵a +1，b 1，∴ab 1）1）＝3﹣1＝2；（2）∵a =+1，b =―1，∴a +b 1）+1）＝∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（2﹣2×2＝8．总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．11．（2022•南京模拟）计算：（1）已知x =，y =1，试求x 2﹣xy +y 2的值．（2）先化简，再求值：a 21a 2a ÷(2+a 21a)，其中a 思路引领：（1）先计算出x ﹣y ＝2，xy ＝1，再将所求代数式变形为（x ﹣y ）2+xy ，然后整体代入计算即可；（2）先根据分式混合运算法则化简，再把x 值代入化简式计算即可．解：（1）∵x =，y =1，∴x ﹣y ＝2，xy ＝1，∴x 2﹣xy +y 2＝（x ﹣y ）2+xy ＝22+1＝5；（2）a 21a 2a ÷(2+a 21a )=(a 1)(a 1)a (a 1)÷a 22a 1a=(a1)(a1)a(a1)⋅a(a1)2=1a1，当a原式=―1．总结提升：本题考查代数式求值，逆用完全平方公式，分式化简求值，二次根式运算，熟练掌握完全平方公式与分式混合运算法则是解题的关键．12．（2022春•a=思路引领：先分母有理化，再利用二次根式的性质化简得到原式＝1）a﹣|a﹣1|，接着利用a=＞1去绝对值，合并得到原式+1，然后把a=+1）a+1）a﹣|a﹣1|，∵a1，+1）a﹣（a﹣1）=+1，当a=1＝3．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．13．已知a=b＝2―c=2，比较a，b，c的大小．思路引领：先求出a0.318，b＝2―0.268，c=2≈0.236，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．解：∵a=≈0.318，b＝2―≈0.268，c=2≈0.236，0.318＞0.268＞0.236，∴a＞b＞c．总结提升：考查了实数大小比较，关键是求出a，b，c的大小．14．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：先化简，再求值：|x﹣1|+x＝9．小明同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．小荣同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+10﹣x＝9．聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？思路引领：根据二次根式的性质判断即可．解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，错在去掉根号：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，|a|=a(a≥0)―a(a＜0)．15．（2021春•五华区期中）阅读下列简化过程：1=1―11（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律．（2）计算1+1+1+⋯⋯1．（3）设a=1，b=1，c=1比较a，b，c的大小关系．思路引领：（1）观察题目可得分母上的数相差1，即可得出结论；（2）利用（1）中的规律先化简，随后进行加减即可；（3）先将a，b，c按照题目中的形式化简，再进行比较即可．解：（1）∵分母上的每个数都含有根号，根号内的数相差为1，分子为1，==（2⋯⋯+⋯⋯=―1+⋯⋯+=1．（3）∵ab=c=∴ab 2c2，∴a ＜b ＜c ．总结提升：本题考查二次根式的化简，平方差公式，分母有理化，实数的大小比较，涉及的知识点比较多，本题的难点在于通过题干得出计算规律，运用规律即可解决问题．16．（2022春•福清市期中）阅读材料：像=3=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．==3+解答下列问题：（1（2（3）应用：当n ―思路引领：（1）根据有理化因式的定义求解；（2）把分子分母都乘以（3―，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（3）利用分母有理化得1，1，然后比较与1的大小即可．解：（1+（2）原式98﹣（31，=1，++0，总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．。

数学二次根式教案优秀10篇

数学二次根式教案优秀10篇次根式教案篇一课题：二次根式教学目标1、知识与技能理解a（a≥0）是一个非负数，（a≥0）2、过程与方法（1）数学思考：学会独立思考、体会数学的体验归纳、类比的思想方法（2）问题解决：能够利用性质进行二次根式的化简计算，能够互助交流合作，分析问题，总结反思3、情感、态度与价值观体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，培养严谨求实的科学态度教学重难点教学重点：二次根式的概念教学难点：二次根式中根号下必须为非负数教学过程一、课前回顾（2分钟）学生与老师共同回顾上节课所学内容，温故而知新。

什么是二次根式？二次根式中字母的取值范围：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。

③多个条件组合时，应用不等式组求解一、情境引入（3分钟）由生活中的'实例引入投影的概念，引起学生的学习兴趣已知下列各正方形的面积，求其边长。

二、探究1（10分钟）练习1：计算下列各式：三、探究2（10分钟）可以发现它们有如下规律：一般的，二次根式有下列性质：练习2：典型例题例1：计算：例2：计算：达标测试（5分钟）课堂测试，检验学习结果1、判断题2、若，则x的取值范围为（A ）（A）x≤1 （B）x≥1（C）0≤x≤1 （D）一切有理数3、计算4、化简5、已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别要应用好。

应用提高（5分钟）能力提升，学有余力的同学可以仔细研究如图，P是直角坐标系中一点。

（1）用二次根式表示点P到原点O的距离；（2）如果求点P到原点O的距离体验收获今天我们学习了哪些知识二次根式的两条性质。

布置作业教材8页习题第3、4题。

数学二次根式教案篇二一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的`基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．次根式教案篇三一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．2．能判断二次根式中的同类二次根式．3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．（二）能力训练点通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．（三）德育渗透点从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．（四）美育渗透点通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．二、学法引导1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的'计算方法．2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点二次根式的加减法运算．2．教学难点二次根式的化简．3．疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．七、教学步骤（一）明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．次根式教案篇四教案教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的`阅读习惯和规范的解题格式。

人教版八年级数学下册`期末提优复习：第16--17章附答案

第16章二次根式1．计算的结果为（）A．B．C．2 D．2．下列计算正确的是（）A．4﹣3＝1 B．+＝C．+＝3D．3+2＝53．下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．函数y＝++2，则x y的值为（）A．0 B．2 C．4 D．86.已知a=15 －2,b=15 +2，则a2+b2+7 的值为（）A、3B、4C、5D、67．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③8．下列说法正确的是（）A ．的倒数B ．C ．的相反数是D ．是分数9．把（2﹣x ）的根号外的（2﹣x ）移入根号内得（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣10．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．化简﹣＝．12.下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦(其中a ＜0)中，其中二次根式有________个．13．已知1＜x ＜2，，则的值是．14．若最简二次根式与的被开方数相同，则a 的值为．15.计算：＋－1＋(2＋1)(3－)＝__________.16．若3)3(-•=-m m m m ，则m 的取值范围是。

17．已知y＝+﹣4，计算x﹣y2的值．18．若x，y都是实数，且y＝+1，求+3y的值．19．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5＝0，求的值．20．阅读材料，请回答下列问题．材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程．21．已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值．（1）x2﹣xy+y2；（2）+．22．已知二次根式．（1）当x ＝3时，求的值．（2）若x 是正数，是整数，求x 的最小值．23．已知长方形的长为a ，宽为b ，且a ＝，b ＝．（1）求长方形的周长；（2）当S 长方形＝S 正方形时，求正方形的周长．24．已知：的值。

二次根式教案优秀6篇

二次根式教案优秀6篇次根式教案篇一【教学目标】1.运用法则进行二次根式的乘除运算；2.会用公式化简二次根式。

【教学重点】运用进行化简或计算【教学难点】经历二次根式的乘除法则的探究过程【教学过程】一、情境创设：1.复习旧知：什么是二次根式？已学过二次根式的哪些性质？2.计算：二、探索活动：1.学生计算；2.观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律？3.概括：得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。

将上面的公式逆向运用可得：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

三、例题讲解：1.计算：2.化简：小结：如何化简二次根式？1.(关键)将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“完全平方式”;2.P62结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。

四、课堂练习：(一).P62练习1、2其中2中(5)注意：不是积的形式，要因数分解为36×16=242.(二).P673计算(2)(4)补充练习：1.(x0,y0)2.拓展与提高：化简：1).(a0,b0)2).(y2.若，求m的取值范围。

☆3.已知：,求的值。

五、本课小结与作业：小结：二次根式的乘法法则作业：1).课课练P9-102).补充习题次根式教案篇二教材分析：本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。

本小节重点是二次根式的加减运算，教材从一个实际问题引出二次根式的加减运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是解决实际问题的需要。

通过探索二次根式加减运算，并用其解决一些实际问题，来提高我们用数学解决实际问题的意识和能力。

另外，通过本小节学习为后面学生熟练进行二次根式的加减运算以及加、减、乘、除混合运算打下了铺垫。

学生分析：本节课的内容是知识的延续和创新，学生积极主动的投入讨论、交流、建构中，自主探索、动手操作、协作交流，全班学生具有较扎实的知识和创新能力，通过自学、小组讨论大部分学生能够达到教学目标，少部分学生有困难，基础差、自学能力差，因此要提供赏识性评价教学策略，给予个别关照、心理暗示以及适当的精神激励，克服自卑心理，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务。

专题02 二次根式中规律探究问题(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题02二次根式中规律探究问题【典型例题】1==（1=（2）用字母表示思思发现的规律；（3）请你给出这个结论的一般性的证明．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【分析】（1）利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式；（2）写出第n+1个等式即可；（3）根据二次根式的性质进行证明．【详解】解：（1（2n≥2的整数）；（3n≥2的整数）．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【专题训练】一、解答题1=；…….（1）请写出第9个式子；（2）你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含n（n为正整数）的代数式表示出来并验证你所发现的规律．=+【答案】（1（2(n【分析】（1）根据已知的等式即可写出第9个式子；（2）根据已知的等式可用含n（n为正整数）的代数式表示规律，再根据二次根式的运算法则进行验证．【详解】（1）第9=+（2）用含n（n(n=+，证明：左边=(n左边=右边，所以规律正确．【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能根据已知得出规律，题目比较好．2===（1=（2）请用字母n 表示小明发现的规律．【答案】（1==；（2=2n ≥）. 【分析】（1）利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式；（2）根据题意，直接写出等式即可；【详解】解：（1）====；（2）根据（1）中的规律，可得：=2n ≥）. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3（1；（2）计算（写出计算过程）（3）请用含自然数n （n ≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2=；（3(1n =+ 【分析】（1）先通分，再根据积的算术平方根性质计算，即可得到答案；（2）结合题意和（1）的结论，以此类推计算，即可得到答案；（3）结合（1）和（2）的结论，可得到表示规律的代数式．【详解】（1===，===故答案为：（2===…=（3）结合（1）和（2）的结论，得：(1=+．n【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式计算、数字规律的性质，从而完成求解．4．根据要求，解答问题．（1）观察下列各式：1112+⨯1123=+⨯1134=+⨯，……= （n 为正整数）；（2）当5n = ，并验证5n =时结论的正确性；（3118++ 【答案】（1）1+()1n n 1⨯+；（2）3130，验证见详解；（3）889 【分析】(1）观察所给三个等式即可发现规律；(2)由(1)=1+()1551⨯+，等号两侧同时运算，验证等号是否成立即可；（3）根据以上规律可以进行原式变形，再进行计算即可得结果．【详解】解：（1）观察所给三个等式发现规律：=1+()1n n 1⨯+ （n 为正整数）；故答案为：1+()1n n 1⨯+．（2）由（1）规律可得当n =51+()1551⨯+=3130；左边3130= 右边=1+11311563030=+=⨯ ∵左边=右边，∵等号成立．（32118++=1+1112-+1+1231-+1+1341-+…+1+1189-=（1+1+1…+1）+(1112-+1231-+1341-+…+1189-) =8+1-19 =889．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据已知三个等式寻找规律，运用规律．5．观察下列各式及其变形过程：1231a a a ======．（1）按照此规律，写出第五个等式5a =_________．（2）按照此规律，若123n n S a a a a =++++，试用含n 的代数式表示n S ．（3）若21x =，试求代数式4322412413x x x x +--+的值．【答案】（1；（2）1；（3）3．【分析】（1）根据题目表达的规律续写即可；（2）用（1）中总结出的规律首先表示出n a ，然后计算n S 即可；（3）首先通过计算化简x ，再对原式进行配凑，分步代入计算．【详解】（1）121a a =-=，5a ∴= （2）用含字母n （n 为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为n a ==， 123n n S a a a a ∴=++++1n =+- 1=．（3）2111S a =-=2111x ∴=，4322412413x x x x ∴+--+2222(1)14413x x x x =+--+222211)14413x x x =+--+221214413x x x =--+224215x x =---+22(1)15x =-++211)15=-++1215=-+3=．【点睛】本题主要考查了分母有理化，属于规律型问题，解题关键是找准一般规律转却计算．6．观察下列各式：3111111122122====+=+-⨯71111111662323====+=+-⨯13111111112123434====+=+-⨯ 请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：（1=________；（1n ≥，且n 为整数）（直接写出结果）（212019++ 【答案】（1）1111n n +-+；（2）201920192020．【分析】（1）观察所给三个等式即可发现规律；（2）根据以上规律可以进行原式变形，再进行计算即可得结果．【详解】解：（1）观察所给三个等式发现规律：1111n n =+-+；(1n ，且n 为整数）故答案为：1111n n +-+；（2）根据以上规律可得：原式11111111(1)1()1()1()2233420192020=+-++-++-+⋯++- 1111111(1111)(1)2233420192020=+++⋯++-+-+-+⋯+- 12019(1)2020=+-201920192020=．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据已知三个等式寻找规律，运用规律．7．观察下列等式：===== ．．．．请解答下列问题：= ；（1（2）用含有n的代数式表示第n（3【答案】（1（2n为正整数）；（3）【分析】（1（2（3）根据提示与（1）（2）的计算方法可得答案．【详解】==解：（1==（2n为正整数）．（3==+2=【点睛】本题考查的是二次根式的除法，掌握分母有理化完成除法运算是解题的关键． 8．先观察下列等式，再回答问题：11111;1112=+-=+11111;2216=+-=+11111.33112=+-=+（1 （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n 的式子表示的等式：（3）对任何实数a 可[a ]表示不超过a 的最大整数，如[]44,1==，计算：...的值．【答案】（1）1120；（2）11(1)n n ++；（3）99．【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；（2）利用前面三个等式的规律求解；（3）根据（2）中结论得到111111119912233499100=⨯+-+-+-+⋯+-，然后再求出最大整数即可．【详解】解：（11111144120=+-=+；（2）第n 111111(1)n n n n =+-=+++；（3）...+=1111111126129900+++⋯+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ =111111119912233499100⨯+-+-+-+⎡⎤⎢⎥⎣⋯-⎦+ =1991100⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ =9999100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=99．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算．91=== （1=______. （2）从计算结果中找出规律，并将猜想到的规律用含有正整数a （1a ≥）的代数式表示出来.（3）利用这一规律计算下列式子的值：)1.【答案】（1;（2=a 是正整数，且1a ≥）;（3）2017 【分析】（1）根据所给式子找出规律解答即可；（2）根据（1）中规律解答即可；（3）根据（2）中规律解答即可．【详解】（1）1===，=（2）由（1=a是正整数，且1a≥）；（3）原式=)11⋅⋅⋅+=()11-+=2018-1=2017.【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．102111211-====--====--（1）从计算过程中找出规律，；用含有n（n是正整）的等式表示上述变化规律；（2）利用上述变化规律计算：...+++【答案】（1）21（2）9【分析】（1）按照题中给出的形式直接求解即可；（2）结合（1）中总结出的规律，逐项化简，再求和即可．【详解】解：（12 ===-=22=--故答案为：21（2）原式1)...=++++11019==-=【点睛】本题主要考查二次根式分母有理化，能够根据题目所给出的方法进行二次根式的分母有理化是解题关键．11．观察下列各式及其验证过程：====．====（1（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且2a≥）表示的等式，并进行验证；（3）用a（a为任意自然数，且2a≥）写出三次根式的类似规律，并进行验证．【答案】（1）（2）（3）a解析.【分析】（1）利用已知，======值；（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．【详解】解答：解：（1=== （2）由（1）中的规律可知3＝22−1，8＝32−1，15＝42−1，=== 正确；（3）a =a 为任意自然数，且a ≥2），验证：a ==【点睛】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．12．探索规律观察下列各式及验证过程：2n =时，有式①：2=；3n =时，有式②：3=式①验证：2====式②验证：3===()1针对上述式①、式②的规律，请写出4n =时的式子；()2请写出满足上述规律的用(n n 为任意自然数，且2)n ≥表示的等式，并加以验证．【答案】（1）4=（2）=【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．根据题意可看出【详解】()14∵4==()2=====【点睛】此题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.13．（1）研究规律：先观察几个具体的式子：32==-2173==-6213===12（2）寻找规律：=（1n≥且n为正整数）（3）请完成计算：【答案】（1）12；13；4134-；（2）111nn n+-+；（3）100110011002.【解析】【分析】（1）各式计算得到结果即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式各项利用得出的规律变形，计算即可求出值．【详解】解：（1321212 ===-；731623===-；13411234 ===-；（2111 nn n+=-+；（3）原式=21311002111001210001001 12231001100210021002 -+-+⋯+-=+-=.【点睛】此题考查了二次根式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n个等式：(n为正整数）．（2+⋯+（3的大小．【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.【详解】解：（1）根据题意得：第n个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019===-=；==（3<，∴【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.15．观察下列各式及验证过程：式①：2=验证：2====式②：3=验证：3====(1)针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子；∵ 请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证.【答案】（1）答案不唯一，如（2）=【解析】试题分析：（1）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，可得答案．试题解析：（1）4=（2）=====16．观察下列各式．====根据上述规律回答下列问题．（1）接着完成第⑤个等式：_____；n n≥的式子写出你发现的规律；（2）请用含(1)（3）证明（2）中的结论．=+（3）见解析【答案】（1=（2(n【分析】（1）当n=5==+（2(n（3）直接根据二次根式的化简即可证明．【详解】解：（1=（2(n =+（3=(n ==+ 【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．17===()1= ______ = ______ ；()2计算(写出计算过程)； ()3请用含自然数()n n 1≥的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2）；（311n n =+≥（）．【解析】试题分析：（1）按二次根式的运算法则计算即可求得本题答案；（2）按二次根式的运算法则计算即可；（3）观察、分析可得当n 为自然数且n 1≥(1)n n =+≥. 试题解析：（1）==；==（2）原式===（3(1)n n =+≥.18===…（1=________=________；（2）第2019个式子是：________．（3）请用含自然数()1n n ≥的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2=；（3(+1n = 【分析】（1）根据题意的规律可直接进行解答；（2）由（1）及题意可直接求解；（3）由题意易得当自然数为n 1）（2）的规律可进行求解．【详解】解：（1=====故答案为（2）由（1）可得：第2019=；=；（3=====…可知第n (+1n =【点睛】本题主要考查二次根式的规律应用，熟练掌握二次根式的性质及运算是解题的关键．19．观察下列各式，发现规律：==…（1＝，＝；（2）计算（写出计算过程）；（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2（3）（n+1n≥1）．【分析】（1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；（2）利用二次根式性质计算得到结果即可；（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．【详解】=解：（1）根据题意得：=故答案为（2====；（3）归纳总结得：(1n =+（自然数n ≥1）．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）发现规律：特例1特例2特例3 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的例子）；（2）归纳猜想：如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律为：______；（3）证明猜想：（4）应用规律：①；②=（m ，n 均为正整数），则m +n 的值为______．【答案】（1=（2(1n =+；（3）见解析；（4）①②m +n =38 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例4；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；（4）①②根据（2）中的规律即可求解．【详解】解：（1==（2(1n =+，(1n =+；（3）证明：∵左边== ∵n 为正整数，∵n +1＞0．∵左边=|n +1（n +1(1n =+，又∵右边=（n +1 ∵左边=右边．(1n =+；（4）故答案为：∵m +1=19，解得m =18，∵n =m +2=20，∵m +n =38．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．。

[数学]-专项4 二次根式的运算与应用(原版)

专题4 二次根式的运算与应用（原卷版）第一部分典例精析+变式训练类型一二次根式的计算典例1（2022秋•渠县校级期末）化简：（1）(√2−√6)×√18−3√13．（2）计算：√27+√48√3+(√2+√3)(√2−√3)．变式训练1．（2022秋•长安区期中）下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5√5B．2√3×3√2=6√6C．5√5−2√3=3√2D．√30÷（√5+√3）=√6+√102．（2022秋•市北区校级期末）计算式子（√3−2）2021（√3+2）2020的结果是（）A．﹣1B．√3−2C．2−√3D．1类型二与二次根式有关的化简求值例2 （2022秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+√a2−10a+25，其中a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．小宇的解答过程如下：解：2a+√a2−10a+25＝2a+√(a−5)2⋯⋯（第一步）＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）当a＝3时，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：2a+√a2−10a+25＝6+√32−10×3+25＝6+2＝8．由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．变式训练1．（2022春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2−√(a−2)2+(a+1)(a−1)，其中a=√2．2．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2−√3，b=2−√3，求√a2−2ab+b2的值．典例 3 （2022秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2√xy+yx−y÷x+2√xy+yx=13+2√2y=3−2√2．变式训练1．（2022秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b +√a+√bb√a−a√b+√a−√bb√a−a√b，其中a＝1，b＝2．典例4（2022春•邹城市校级月考）先化简，再求值：（1）2（a+√3）（a−√3）﹣a（a﹣6）+6，a=√2−1．（2）已知a＝2+√3，b＝2−√3，求ab−ba的值．变式训练1．已知x=2−√3，求代数式(7+4√3)x2+(2+√3)x+√3的值；类型三与二次根式有关的规律探究典例5（2022秋•新蔡县校级月考）发现①计算（√2）2＝，（√23）2＝；②计算：√22=；√(−23)2=；总结通过①②的计算，分别探索（√a）2（a≥0）与a、√a2与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；应用利用你总结的规律，结合图示计算√4(m+2)2+√(m−1)2+（√3−m）2的值．变式训练1．（2022秋•忻州月考）综合与实践小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．等式1：√1+13=2√13．等式2：√2+14=3√14．等式3：√3+15=4√15．等式4：．（2）观察、归纳，得出猜想．n为正整数，猜想等式n可表示为，并证明你的猜想．（3）应用运算规律．①化简：√99+1101×√199+1201×√402×√101．②小丽写出一个等式√m2−2m+1+1n=10√1n（n＞0），若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为．典例6（2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：（1）由(√2+1)(√2−1)=1，√2+1=√2−1（2）由(√3+√2)(√3−√2)=1，√3+√2=√3−√2……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：(1√2+11√3+√21√4+√3+⋯1√2018+√20171√2019+√2018)(√2019+1)．变式训练1．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：√3+2√2=√1+2×1×√2+2=√12+2×1×√2+(√2)2=√(1+√2)2=1+√2．解决问题：（1）在括号内填上适当的数：√14+6√5=√9+2×3×√5+①=√(3+②)2=③①：，②：，③．（2）根据上述思路，化简并求出√28−10√3√7+4√3的值．类型四二次根式的应用典例1（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√2cm．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．变式训练1．（2022秋•洛宁县月考）如图，有一张长为16√2cm，宽为8√2cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．（1）若小正方形的边长为√2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？（2）求这个长方体盒子的侧面积．典例2 （2022春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a ＞0，b ＞0时，有(√a −√b)2=a ﹣2√ab +b ≥0，∴a +b ≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x ＞0时，x +1x 的最小值为；当x ＜0时，x +1x 的最大值为．（2）当x ＞0时，求y =x 2+3x+25x的最小值．（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为12和27，求四边形ABCD 面积的最小值．针对训练1．（2021秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时，∵(√a −√b)2=a −2√ab +b ≥0，∴a +b ≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x ＞0时，x +1x 的最小值为．（2）当m ＞0时，求m 2+5m+12m 的最小值．（3）请解答以下问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x 米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？第二部分专题提优训练1．下列计算正确的是（） A ．√2÷√16=√3B ．√24√6=4 C ．√3÷√25=√35D ．√5=√52．（2022春•江岸区校级月考）先化简，再求值：√25xy +x√yx −4y √xy −1y √xy 3，其中x =13，y ＝4．3．（2022春•呼和浩特期末）（1）计算：√18−√92√3+√6√3(√3−2)0；（2）先化简，再求值：(3−2x+1)÷3x 2+xx+1，其中x =√3+1．4．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：先化简，再求值：|x ﹣1|+√(x −10)2，其中x ＝9．小明同学是这样计算的：解：|x ﹣1|+√(x −10)2=x ﹣1+x ﹣10＝2x ﹣11．当x ＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．小荣同学是这样计算的：解：|x ﹣1|+√(x −10)2=x ﹣1+10﹣x ＝9．聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？5．（2022春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x =3+2√2，求(1−x)2x−1+√x 2+1−2x x 2−x的值．6．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①2√23=√2+23；②3√38=√3+38；③4√415=√4+415．式①验证：2√23=√233=√(23−2)+222−1=√2(22−1)+222−1=√2+23；式②验证：3√38=√338=√(33−3)+332−1=√3(32−1)+332−1=√3+38．（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；（2）猜想5√524=；（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．7．（2021秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．√13=√12=1；√13+23=√32=3；√13+23+33=√62=6；√13+23+33+43=√102= 10；…根据上面的规律，解决问题：（1）√13+23+33+43+53+63=＝；（2）求√13+23+33+⋯+n3（用含n的代数式表示）．8．（2022秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释√8=2√2吗？小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8，则它的边长为√8；小正方形的面积为2，则小正方形的边长为√2．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即√8= 2√2．”老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释√12=√22吗？请你画出相应的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．9．（2022春•周至县期末）在一个长为4√5，宽为3√5的矩形内部挖去一个边长为（2√15−√5）的正方形，求剩余部分的面积．10．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．11．（2022春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+32√4×3，1+1 62√1×16，5+52√5×5．（2）由（1）中各式猜想m+n与2√mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要m．。

八年级二次根式

教学内容二次根式一、课本回顾（要求熟练掌握！）1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2） 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、课前小测1、如图,在如图△ABC 中,∠C=90°,BC=3,△ABC 的面积为3,求AC 及AB 的长. AC=3×2÷3=23 由勾股定理得AB 2=AC 2＋BC 2 所以AB=15ab a b b ba a=a （a ＞0）==a a 2a -（a ＜0） 0 （a =0）；2、已知a=12+1,b=13+2,求(a+b) 2的值.a=12+1=2-1b=13+2=3-2(a+b)2= 2（3-1）=4-23三、典例分析题型一二次根式的概念例1（2009秋•重庆校级期中）已知x，y满足，求xy的平方根．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】首先根据分式的分母不为0及二次根式的性质求出x、y的值，再代值计算即可．【解答】解：依题意，得：，8﹣2x≠0；即x2﹣16=0，8﹣2x≠0；由x2﹣16=0，得：x=±4；由8﹣2x≠0，得x≠4；综上知：x=﹣4；y==﹣；故xy=﹣4×（﹣）=．其平方根为±【点评】此题涉及到：二次根式的性质、分式的意义、平方根的定义等知识；二次根式的性质：≥0，a≥0（二次根式的双重非负性）．变式训练1（2008秋•汉阳区期中）若a、b为实数，且，求的值．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据式子中二次根式有意义的条件求得a的值，同时注意分母不得为0，则a≠﹣2，然后求得b的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵有意义，∴，∴，∴，∴a=2，b=7．∴==3．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．题型二二次根式的性质例 2 （2013秋•青羊区校级月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简：．【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．【分析】运用二次根式的性质结合数轴进行化简求解．【解答】解：原式=|a|﹣|a+b|+|c﹣a+b|﹣|b﹣c|+b=﹣a+a+b+c﹣a+b+b﹣c+b=﹣a+4b．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简和实数与数轴，解题的关键是根据数轴确定符号．变式训练2 （2010秋•青白江区校级月考）化简求值如图，化简：（1）；（2）先化简，再求值：（﹣）÷其中x=+1，y=﹣1．【考点】二次根式的性质与化简；数轴；绝对值；有理数大小比较；分式的乘除法；分式的加减法；分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）根据数轴得出b＜a＜0，c＞0，|c|＞|b|＞|a|，推出a+b＜0c﹣a＞0，c+b＞0，去掉根号和绝对值符号后得出﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+c+b，进行化简即可；（2）根据分式的加减法则先算括号里面的，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，把x、y的值代入求出即可．【解答】解：（1）根据数轴可知，b＜a＜0，c＞0，|c|＞|b|＞|a|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，c+b＞0，原式=﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+c+b，=﹣a+a+b+c﹣a+c+b，=2b+2c﹣a．解：（2）当x=+1，y=﹣1时，原式=×，=×，=，=，=2．【点评】本题考查了有理数的大小比较，分式的加减、乘除，二次根式的性质，绝对值，数轴等知识点的运用，解（1）小题的关键是得出﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+c+b，解（2）小题的关键是根据分式的运算法则进行化简，题目较好，但是一定比较容易出错的题目．题型三二次根式的运算例3（2012•潘集区模拟）观察下列等式：①；②；③；…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：；（2）计算：．【考点】分母有理化．【专题】阅读型．【分析】认真观察，发现：实质是利用平方差公式，把分母有理化．【解答】解：（1）原式==2；（2）原式=+…+=﹣1．【点评】此题的关键是分母有理化，要将中的根号去掉，要用（）（）=a﹣b．变式训练3（2012•鼓楼区校级模拟）阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）的值；（3）（n为正整数）的值．【考点】分母有理化．【专题】阅读型．【分析】观察问题中的三个式子，不难发现规律：用平方差公式完成分母有理化．【解答】解：（1）原式==；（2）原式==；（3）原式==．【点评】要将中的根号去掉，要用平方差公式（）（）=a﹣b．一、形如（）的式子叫做二次根式。

二次根式的加减法优秀教案

学生解答
其他组补充作答
学生总结
复习二次根式乘除，引出本节所学。
引导学生自行归纳,锻炼概括能力
鼓励学生探究解答，锻炼团队合作意识和分析问题解决问题能力
锻炼分析问题和语言表达能力
深入理解
培养学生独立解决问题能力
锻炼归纳总结和语言表达能力
拓展提升
板
书
设
二次根式的加减法
一、最简二次根式三、二次根式加减法法则
二、同类二次根式
二次根式的加减法课堂小卷
1．化简下列各组里的二次根式，并判断是不是同类二次根式?
（1），;
（2)，；；
(3）；
（4）．
（5），;
（6)，．
3．计算：
（1）；
（2）；
（3)；
（4)；
(5）．
练习2、将下列二次根式化成最简二次根式：
（1)；(2）；
(3）
练习3、（1)判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：
(2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：
（3)将下列各二次根式化成最简二次根式：
观察上一列最简二次根式，它们有什么共同点么？联想合并同类项知识，说出你的想法.
课题：二次根式的加减法
授课时间
教
学
目
标
知识
与技能
1、理解最简二次根式和同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则
2、会化简二次根式并进行简单的二次根式的加减运算
过程与方法
经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。
情感态度与价值观
类比思想探索新知，感受成功体验,增强数学学习的信心
A. B。C.(2）合并下列各式中同类二次根式：A. B。

26 二次根式加减

八年级数学·同步提高第二十六讲二次根式的加减日期等第【知识回顾】1．同类二次根式的概念比较下列三组二次根式：--我们发现：(1)、(2)两组有点像七年级时学习过的_______，每个二次根式的_______相同；第(3)组经过_______之后，每个二次根式的_______也相同．经过化简后，被开方数_______的二次根式，称为同类二次根式．_______、_______、_______是同类二次根式．2．同类二次根式的相关法则(1)合并同类二次根式时，把同类二次根式的_______相加减，作为结果的系数，根号及根号下的被开方数_______．(2)可以知道：二次根式相加减和合并同类项类似．一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后_______．如：＝_______＝_______．因此，我们可以看出二次根式相加减的实质是_______．2.二次根式的四则混合运算在七年级的时候，我们曾经学习了“从面积到乘法公式”，还记得整式的乘法公式吗？多项式乘法公式：________________________；完全平方公式：__________________________；平方差公式：____________________________；【经典例题】例1a的值可以是 ( )A．5 B．6 C．7 D．8例2 已知m＝1n＝1 ( )A．9 B．±3 C．3 D．5例3 计算：(1)(2)(15(3)((22-【提优训练】1( )ABC D2．下列计算中正确的是 ( )A B1=C．3+=D3 ( )A．B C D．4．计算 ( )A．B．5C．5D5．已知＝12，则x等于（）A．3 B．±3 C．9 D．±9 61 ( )A．3 B．－3 C D 7．计算(22-的结果为 ( )A．1 B．－1 C．7－D．7－8．下列式子运算正确的是 ( )A1BC=D4+=9 ( )A．3 B．C＋3 D10．计算)211的结果是 ( )A1 B．1)C．1D．－111a＋b＝_______．12．（2013_______．13=_______．140_______．15．如果a＋b＝5，那么a＋2b＝_______．16．计算：(1)(2)(-(3)()24 (4)(5)((2111-+-+ (6)(【拓展提升】17． (2013．德州)先化简，再求值：222142442a a aa a a a a---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭，其中a－1．18．已知a＝3＋，b＝3－，求a2b－ab2的值．19．已知a＝2b＝2a bb a-的值．【走进中考】20．先化简，再求值：222x y xyx y y x++--，其中x＝3y＝321.先化简，再求值；222142442a a aa a a a a---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭，其中a－1．22．已知：4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求253y x⎛⎛-⎝⎝的值．。

[数学]-专题1 二次根式非负性的应用(原版)

专题1 二次根式非负性的应用（原卷版）第一部分典例精析及变式训练类型一（a≥0）求值典例1（2021•长沙模拟）已知y=2√−x，那么，点P（x，y）应在直角坐标平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限变式训练1．（温州校级自主招生）已知y=−√1x−2，则在直角坐标系中，点P（x，y）所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限类型二a（a≥0）求值典例2（2019春•蜀山区期末）若x−√y+√−y=1，则x﹣y的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1变式训练1．（2012•安徽模拟）已知点P（x，y）满足y=√x−2011+√2011−x+12011，则经过点P的反比例函数y=mx的图象经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限2．（2021春•临淄区期中）设x、y均为实数，且y=√x2−3+√3−x2√1−x+2，求yx+xy的值．类型三a≥0）求值典例3（涪城区校级自主招生）已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）√1−x=0，则x2+x+1的值为（）A．13B．7C．3D．13或7或3变式训练1．（2020秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且√1+a−(b−1)√1−b=0，求a2020﹣b2021的值．类型四（a≥00）求最值典例4（2020•河北模拟）若代数式√a−5+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为（）A．0B．5C．4D．﹣5变式训练1．（2022春•莱州市期末）若√12n是整数，则正整数n的最小值是（）A．1B．3C．6D．122．（2021春•凤凰县月考）代数式√x+√x−1+√x−2的最小值是（）A．0B．1+√2C．1D．不存在的3．（2022春•西华县期中）二次根式√13x−2中x的最小整数值是．4．（2021春•睢县期中）√a+3+2的最小值是，此时a的值是．类型五化简形如a的范围）的式子典例5化简：√20a2b（a≥0）．变式训练15．当a＜12且a≠0时，化简：√4a2−4a+12a2−a=．类型六化简形如a的范围）的式子典例6（2021•越秀区校级二模）化简√1−4x+4x2−(√2x−3)2=．变式训练1．若x、y都为实数，且满足y＞√x−2−√2−x+3，则化简√(3−y)2=．2．化简：√a−b•√a−b−√(b−a)2=0．3．（2021秋•高州市校级月考）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：√(a+1)2+2√(b−1)2−|a−b|．类型七a小于0或等于0）的式子典例7已知a为实数，化简：√−a3−a√−1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答过程．解：√−a3−a√−1a=a×√−a−a×1a√a=（a﹣1）√a．变式训练1．化简：||√−x2−1|﹣2|＝．类型八 |a|，典例8（2022秋•灞桥区校级月考）（1）已知非零实数a，b满足|a﹣4|+（b+3）2+√a−4+4＝a，求a+b 的值．（2）已知非负实数a，b满足a+b+|√c−1−1|＝4√a−2+2√b+1−4，求a+2b﹣2c的值．针对训练1．已知△ABC的三边a，b，c满足关系a+b+c﹣2√a−5−4√b−4−6√c−1+4＝0，试求△ABC的周长．第二部分专题提优训练1．（2021秋•石鼓区期末）若a＜0，则化简|a﹣3|−√a2的结果为（）A．3﹣2a B．3C．﹣3D．2a﹣32．（2022春•宁陵县期末）在二次根式√a−2中，a能取到的最小值为（）A．0B．1C．2D．2.53．（2021秋•泊头市期末）若实数x，y满足y=√x−5+√5−x−1，则x﹣y的值是（）A．1B．﹣6C．4D．64．化简√1−4x+4x2−（√2x−3）2得（）A．2B．﹣4x+4C．﹣2D．4x﹣45．（2022•槐荫区校级模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b6．（2021春•花山区校级月考）已知a满足|2020﹣a|+√a−2021=a，则a﹣20202＝（）A．0B．1C．2021D．20207．（2017秋•徐汇区校级月考）将(a−3)√a23−a(a＜0)化简的结果是．8．（2022•渌口区一模）已知y=√(x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是．9．（2021春•新县期末）已知|2019﹣a|+√a−2020=a，求a﹣20192的值是．10．（2021秋•金东区校级月考）设a、b、c为三角形的三边长，则化简|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|+|a+b﹣c|等于．11．设m=√a+2√a−1√a−2√a−1(1≤a≤2)，求m10+m9+m8+…+m﹣47的值．12．（2018•薛城区校级自主招生）已知非零实数a，b满足√a2−8a+16+|b﹣3|+√(a−5)(b2+1)+4＝a，求a b﹣1的值。