知难而“退”彰显数学大智慧
高考数学：以退为进解综合题
高考数学：以退为进解综合题专门多考生关于解答数学综合题往往感到无从下手，而在高考数学中，综合题占了半壁江山。
因此高考数学考得是否成功，专门大程度上取决于综合题。
数学综合题分为知识型综合题和能力型综合题两大类。
市一中数学教师杨元亮分析说，知识型综合题的题目本身或解题过程，涉及数学几个分支的多个知识点，且各个知识点之间是互相补充、制约和渗透的，要紧考查考生对差不多知识点的把握、明白得及运用；能力型综合题则题设条件内涵丰富，对解题过程中的转化、变换、联想、类比、归纳等技巧要求高，题目的结论还能够是开放性的，要紧考查考生思维的发散性和独创性，这些差不多上高考的热点。
审题要慢要细，切忌漏掉某个条件，导致“会而做不对”。
明确题目考查的知识点，要解决的问题是什么，已知条件和哪些条件等价，题目中有没有隐含条件。
数学综合题题设内涵丰富，常常许多条件不直截了当告诉考生，而是隐含在题设中，让考生去挖掘去发觉。
假如考生能挖掘出题目中的隐含条件，问题会迎刃而解。
这需要考生认真审题，向深处挖掘，找出其隐含条件。
审题不要怕慢，事实上慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，是提高解题速度和准确性的前提和保证。
解题要善于顺藤摸瓜。
有些题难度不大，用熟练的基础知识方法说明题目条件，发觉问题成立的充分必要条件，查找它们的相互联系。
高考是按步骤给分的，因此要大题化小，分步解答。
分步的题目，尽可能完成前面的小问题。
不能完全解答的题目可分成若干小问题，能完成的部分要准确解答。
也有第一问可不能，但用第一问的结论能解后一问的可直截了当用。
注重等价转化与非等价转化的利用，完成生疏与熟悉、未知与已知、复杂与简单、抽象与直观的转化，从而找到解决问题的熟知的数学模型。
以退为进，将问题具体化、简单化，以简单的、专门的情形查找解题突破口。
若不能解这道题，那么先试着去解决一个更容易着手的简单问题、一个更专门的问题、一个类似的问题。
简单专门的情形常常是解决问题的起点，也往往是解决问题的纽带。
'智慧数学'的追梦人——记江苏省数学特级教师任卫兵
“智慧数学”的追梦人——记江苏省数学特级教师任卫兵一、探索智慧：“珠心算”算出“数学智慧”，小数学创造大奇迹1990年7月任卫兵老师从南通师范学校大专班毕业后，一直在通州区实验小学任教。
工作第一年，他就承担了江苏省珠算式心算的实验。
六年来他几乎放弃了所有的节假日进行珠算、心算训练以及实验的推广，所辅导的学生几乎囊括了南通市、通州市所有珠心算比赛的冠军，近80%的学生通过了珠算等级的鉴定，10名学生达到了珠算能手级的水平；多次带队为日本丰桥市、羽咋市教育代表团作现场汇报表演；多次在江苏省农村工作会议、通州市人民代表大会上作汇报……实验的成功引起了省财政厅、市财政局等有关领导的高度重视，决定在实验小学投资兴建省内第一所珠算培训基地，于是，实验小学从此多了一座建筑——九九宫。
一轮实验后，他通过“跟踪”发现一部分学生在小学阶段数学成绩比较理想，但到了中学后成绩一般。
他开始冷静地思考：作为一名数学教师，除了授予学生知识，培养超强的计算能力、解题能力外，还应当给予学生什么，教师该如何为他们的终身学习、长效发展奠定基础？通过多年的学习、思考，最终他确立了自己的主打课题“奠基智慧的人生——基于儿童智慧发展的小学数学教案实践研究”，该课题被确定为江苏省教育科学“十五”规划青年专项课题。
从此他走上了一条探寻智慧发展秘笈的研究之路。
二、积淀智慧：“省课题”点燃“智慧数学”，小课堂创建新流派“智慧是什么？”“如何在小学数学教案中促进儿童的智慧发展？”在阅读中，在学习中，在交流中，在研究中，他渐渐探索出了小学数学教案中促进儿童智慧发展的内涵，认为“只有超越知识，让儿童看到更广阔的前景，才能生发出闪光的智慧”；他形成了基于儿童智慧发展的小学数学教案的实施途径和范式，其中“孕伏思想——催生个性——澎湃精神”成为他独特的教案风格和鲜明的教案特色，据此设计的二十多篇教案在省级以上刊物上发表；他建立了基于儿童智慧发展的小学数学教案资源的开发策略，其中对数学小工具资源、数学课外读物资源、数学故事资源的开发，尤为成功。
高中数学解题中的 以退为进 思想 学法指导 不分本 试题
谈谈高中数学解题中的 以退为进 思想王锡宁著名数学家华罗庚指出：“擅长‘退’，足够的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个窍门。
〞又云：“先足够的退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。
〞这就是以退为进的思想。
这种思想也是我们解证数学问题时的唯物辨证思想的一种表达。
一、从抽象退到详细“抽象〞是透过事物现象，深化内部，抽取事物本质的过程的一种认识方法。
“详细〞是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联络起来，从而更详细的理解概念的一种认识方法，抽象与详细是对立的统一。
高度的抽象是数学的一个根本特点，要解决数学问题或者解数学题，有时问题较抽象，不易发现其内在的联络和规律，因此往往要从“抽象〞后退到“详细〞的几何图形上来考虑，使问题更易理解，更好解决。
例1 x ，y 是实数，求证：29)5y ()2x (y x 2222≥-++++分析：要证的不等式左边有根号，它们的数量关系较抽象，直接证明难以入手。
因此不由|OA | 而|OB |=因此29)5y ()2x (y x 2222≥-++++例2 对于R a ∈，确定1a a 1a a 22+--++的所有可能值。
分析：仔细观察上述代数式的构造，容易联想起两点的间隔 之差。
事实上，1a a 1a a y 22+--++=2222)230()21a ()230()]21(a [-+---+--=这表示x 轴上的点P 〔a ，0〕到两定点A 〔2321，-〕和B 〔2321，〕的间隔 之差〔如图2〕。
图2由于线段AB 平行于y 轴，不管P 〔a ，0〕在x 轴什么位置，始终可构成△PAB ，由“三角形任意两边之差小于第三边〞，得1|AB ||PB PA |=<-即1a a 1a a y 22+--++=的值在〔－1，1〕内。
二、从一般退到特殊所谓“一般〞是指人们追求普遍性认识的一种方式。
而“特殊〞是指人们深化个别认识的一种方式。
“以退为进”,点亮数学课堂
“以退为进”，点亮数学课堂摘要：以推进素质教育为宗旨的教育改革，要求课堂教学以发展学生的主体性为目标。
而新课程倡导的“以人为本”理念已经深入人心，但反观平时的教学，教师依然是为了完成课前的教学设计而教。
这样的课堂，成了教师展示自我的舞台，却把学生作为精彩演出的配角。
如何让“每一个学生都得到发展”这一理念落在实处？我想，教学中教师可以主动地“退”，适时地“退”，有效地“退”，点亮数学课堂。
那么怎样才是有效地“退”，可以从以下三方面实现。
一、把握学生的学习起点，从复杂退到简单。
二、根据学生的思维特点，从抽象退到具体。
三、激发学生的学习兴趣，从静态退到动态。
关键词：以退为进数学课堂正文：“以退为进”的本质是“以生为本”。
“以生为本”是新一轮课改的核心理念，它是推进课改的起点。
叶澜教授指出：我们的课堂存在着一个突出问题，就是缺乏对学生生命价值的尊重。
长期以来，课堂上教师讲解多，学生思考少；一问一答多，交流合作少；记忆结论多，探索过程少；强求一致多，发展个性少；完成任务多，体验过程少。
这样的课堂学生难以体验到学习的快乐，更谈不上品味生命的价值。
要改变这样的状况，就应该把《数学课程标准》中“以学生的发展为本”作为基本理念，尊重学生的主体存在，在教学中教师可以采取“以退为进”的教学方法，点亮数学课堂。
华罗庚教授指出，善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要的地方，是学好数学的一个诀窍。
那么怎样才是有效地“退”，可以从以下三方面实现。
一、把握学生的学习起点，从复杂退到简单。
《数学课程标准》中指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
尊重学生的生活经验和知识基础，意味着数学教学活动必须把握好学生的学习起点，在学生原有的认知水平上组织及展开学习活动。
学习起点，是指学生学习新内容所必须具备的知识及能力储备。
学习起点可分为逻辑起点与现实起点，即学生已有的知识基础与生活经验。
合理把握学生的学习起点，实现教学从复杂退到简单，使学生的学习更有效。
以智慧为话题的作文(以智慧为话题的议论文800字)
以智慧为话题的作文(以智慧为话题的议论文800字)隐者智，道者慧，谓之智慧者，世尚稀矣。
智慧二字，世人晓闻而皆未知。
古人曰以智，破尘世隐者，眼前清水背后山，不秽不为，自乐谛；而谓于慧，则乃是道，清净无为，藏玄妙之机而入高境。
鬼谷子冠智，老子冠慧。
此二人清修脱俗，皆古之集智慧大成者。
鬼谷子虽隐，生孙、庞、苏、张，于战国乱世立绩，操持天下，凭其默，直隐。
老子亦德名道祖，讲道，书道，统乾坤于册。
孔丘尝问学于聃，又言：朝闻道，夕死可矣。
老子为时形仙，悠然紫气驾青牛，出函谷无所终。
其当乃始道也。
自古来，人间污浊甚多，不致斯人犹清明。
若屈平、朱熹、王守仁诸辈，忽忽中已安自得智。
寥寥智士，称慧者亦孤然无几。
元隐道名家，有出才者，亦有庸士。
纵观古今，可称谓智慧者，况尚无哉！大智大慧，行成莫为难！茫茫人间，方行者稀，欲行者空空数人。
朱子道：胜日寻芳泗水滨，无边光景一时新。
然其平素毕生从未至鲁，却存此名句，何也？斯地为昔孔子讲学处也！然华夏之智慧，乃道儒二家并成耳，道质缘何？为儒文化之滋养哉！智慧，并未定诸事切实而确优。
何谓高？通达明理，未可定误即不必也，无非须确者确，误者误，糊涂几遭未尝不可？人常道：难得糊涂。
时误判亦能为正，智慧也。
小聪明，大智慧。
聪者拘节，智者察体；聪者认理，智者应通；聪者行事成准，智者行事善稳；聪者聪惠，智者智慧；聪者乐动而彰显己才，智者好静而伸延己能。
同观澜起江河，智者眼见为澎湃之汪洋而置若溪涧，聪者反之。
自庸才始，大读典籍，洗净心灵脱垢而善其性，若悟若修，行以智慧者本德行，遂可清修，欠者德名有成，善者超凡入圣。
弘观以四方，智慧者缺，则文儒揽贤者未少，同家出，修身养性各有门道，大智贤皆修文而出，却不虚。
仁、义、礼、智、信，居以智，此乃文化，必修耳，然推智慧修身即扬中华文化！有一只老虎，长得非常威猛，尤其是它那头上的“王”字，更透出一种统领的英气。
它打败了森林中所有的动物，在此称王。
但是有一只水牛把它打败了，它输得心服口服，认水牛当它的师父，水牛摇摇头走了。
以退为进解题策略例举
以退为进解题策略例举作者：王庆明邢富元来源：《小学教学参考(数学)》2008年第09期著名数学家华罗庚说过，关于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
这句话道出了解决数学问题的一个重要策略——以退为进，退是为了更好地进。
运用这一解题策略，从复杂退到简单、从一般退到特殊、从抽象退到具体、从整体退到部分、从正面退到反面，就能使许多复杂的问题得以解决。
现举例如下：1.从复杂退到简单。
例1 修一条公路，第一天修好全长的一半多10米，第二天修好余下的1/3少3米，还剩125米没修。
这条公路有多长?分析与解答：此题比较复杂，我们不妨先退一步想：要是第二天修的正好是余下的1/3，那么剩下未修的就是125-3=122(米)，相当于第一天余下的1-1/3=2/3，则余下的就是122÷2/3=183(米)。
再继续这样想：要是第一天修的正好是全长的一半，那么第一天后余下的就是183+10=193(米)，相当于全长的1-1/2=1/2。
所以，这条路的全长是193÷1/2=386(米)。
2.从一般退到特殊。
例2 求图中阴影部分的面积。
(单位：厘米)分析与解答：此题解法不止一种，按照一般的解题思路来解答比较繁琐，如果采用特殊的方法——“翻折法”，问题则会得到迅速解决。
沿着半径对称轴把左边的1/4圆翻折到右边，与右边的1/4圆重叠(如上图)。
这样，左边的阴影部分就和右边的阴影部分拼凑成一个底为6厘米、高为3厘米的三角形，所以阴影部分的面积为6×3÷2=9(平方厘米)。
3.从抽象退到具体。
例3 某商品因滞销而降价1/10，后来该商品又成畅销物品，因而又提价1/10，问提价后与原价相比其价格是升了还是降了?分析与解答：此题比较抽象，加之标准量在变化，更增加了解题的难度。
如果把它们从抽象退到具体的问题上来讨论，问题就会迎刃而解。
假设这件商品原价为1元，那么降价1/10后应卖1元×(1-1/10)=0.90(元)；成畅销物品后，又提价1/10，这时应卖0.90元×(1+1/10)=0.99(元)。
正难则反的智慧——浅谈逆向思维在解题中的体现
正难则反的智慧——浅谈逆向思维在解题中的体现浙江省宁海县知恩中学 王丽亚（315600）数学问题的解决，有许多是可以从条件出发，进行正面的、顺向的思考而获得结论，这种思考在思维方式上具有定向性、聚合性，强化这种思维定势，在数学解题中有着决定性的作用，这是我们首先应该承认的. 然而，任何事物都有正反两个方面，也有许多问题正面入手困难重重，若改由反面入手却常常能出奇制胜. 千古传诵的“草船借箭”与“司马光砸缸”的历史故事都充分说明了逆向思维的巨大威力，正难则反易，数学问题的解决也是这样.下面就几个方面谈谈我对正难则反思想的体会.一．集合中体现为补集思想当题目直接求解较繁、较杂甚至不能求解时，通过先求得问题的反面进而求其补集以达到解决问题之目的.例1. 三个方程x 2＋4mx －4m ＋3=0，x 2＋(m －1)x ＋m 2=0，x 2＋2mx －2m=0中至少有一个方程有实根，试求m 的范围.分析：本题从正面入手应分类求解，繁不堪言，若从反面“三个方程均无实数根”思考，在实数范围内除去反面求得的解即为m 的取值范围.解：若三个方程都没有实根，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<--<+--08404)1(0)34(4162222m m m m m m 解得123-<<-m ∴三个方程至少有一个方程有实根m 的取值范围是23-≤m 或1-≥m . 二. 命题中体现为逆否命题 逻辑学认为原命题与它的逆否命题是等价的，也就是原命题真，则它的逆否命题也真。
在一些命题的真假性或条件与结论的充分必要性的判断中，正面判断比较难或者不容易理解，那么不妨跳出思维框架，转化为考虑逆否命题的真假性或者利用逆否命题判断充分必要性.例2. 0)2()2(22≠-+-b ab 的充要条件是 .分析：从正面入手2-ab 与2-b 中至少有一个不等于0， 即02≠-ab 或02≠-b ， 2≠ab 或2≠b ，得到1≠a 或2≠b ，这对很多同学而言都有一定的理解障碍，但如果从反面来看，0)2()2(22=-+-b ab 的充要条件是：2=ab 且2=b 能得到1=a 且2=b . 那么利用逆否命题即能得到0)2()2(22≠-+-b ab 的充要条件是1≠a 或2≠b .从逆否命题来处理确有茅塞顿开、恍然大悟的感觉.三．证明中体现为反证法反证法也是逆否命题的一个应用，即在证明若p 则q 中转化为证明若非q 则非p ，通过否定结论后再作为条件推出与题设的矛盾. 特别对于一些有否定词的命题或“至多”“至少”型的命题尤为适宜.例3. 如图：已知在△ABC 中，∠BAC=60°，线段AD ⊥平面ABC ，AH ⊥平面DBC ，H 为垂足，求证：H 不可能是△DBC 的垂心.分析：对于一个不是垂心的点，感觉无从下手，对于垂心，则可以应用它的一些垂直关系。
退一步海阔天空——漫谈高中数学中“退”的艺术
导积极主动勇于探索的学习方式 ，让学生体验数学发 现和创造 的历程 ， 发展他们 的创新思维； 注重提高学生 的数学思维能力 ；强调数学 的本质 ，注重适 当的形式 化。 同时认 知理论也表 明 ： 学习过程是一个主动建构 的 过程 ，是根据先 前的认知结构 主动地 和有选择地 知觉 外在信息。 数 学知识尽 管表 现为形式化 的符号 ， 但 它可 视为具体生活经验和常识 的系统化 。它 可以在学生 的 生活背景中找到实体模 型。因此 ， 我认 为 ， 在教学 中能 “ 退” 到学生原有 的认 知结构 ， 是 学好 新知识 、 解决新 问 题 的重要保证 ，也是让学生实现新课程标准 中提 出的
啪
囊 辫
漫 谈 高 中数 学 中 ¨ 退” 的 艺 术
福州第七中学 林俊能
古谚有云 ： “ 忍一时风平 浪静 ， 退道 ， 实际上 ， 数学 的学 习与研究 的图象和性质 …。我们在 教学 中只要珍 惜这些教学资 源， 对教材体 现的理念 予以认 同 ， 给足学生时 间 ， 让学
想能力及创新 意识 ，这也是普遍联系 的哲学观点的具 体体现。
过程都遵循着从简单到复杂 ， 从 具体到抽象 的过程 ， 所
以思维过程的起点应该由简单、 具体开始， 我们的教学
也应该 以此为起点。
落实到数学教学 中 ， 要多给学生类 比的机会。 原因
还是在于应 尽可能地退到学生思维 和知识 的最近发展
教学 中， 首先利用教材 ， 让 学生动手列表作 出￣ ｙ ＝ ｘ ２ 的图象 ， 并作出初步 的描述 ； 其 次考虑到学生抽象能力 不高 ， 为了能顺 利地得出ｉ ￥ ｉ ￣ｙ ＝ ｘ 及一般 函数单调性的 定义 ， 补充 了在 两个 区间（ 一 Ｏ ０ ， ０ ） 和［ ０ ， ＋ ∞） 中任意写 出几组具体 的 自 变量 和对 应的函数值 ；然后让学生观 察数据 ， 发现特征 ， 从 而顺 利地完 成一般定义 的探究 。
精设教学环节 感悟数学价值
精设教学环节感悟数学价值发表时间：2011-12-28T13:34:29.077Z 来源：《数学大世界——教学导向》2011年第7期供稿作者：李红梅[导读] 决定一个学生数学素养的高低，最为重要的标志是看他如何看待数学。
河北省石家庄市桥西区宫尹小学李红梅数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，它可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现实世界做出恰当的选择与判断。
决定一个学生数学素养的高低，最为重要的标志是看他如何看待数学，能否运用数学的思维方式去观察、分析日常生活现象，去解决现实生活中可能遇到的实际问题，这正是新一轮课程改革追求的数学教育的价值。
作为新课改实践者和开发者的一线教师，更应通过创造性的劳动，使课堂成为学生学习与生活的策划中心，让学生在有效的数学活动中体验生活、享受乐趣、感悟价值。
一、重视过程教学，感悟数学价值由于种种原因在现实的教学中，数学知识的形成过程往往被简化，只保留了精炼的、本质的逻辑结论，学生的数学学习就是“学结论”、“用结论”的过程，很难从中感受数学的价值所在。
因此，教师必须通过创造性的设计，将数学还原成“未完成的数学”来展开教学，让每个学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，体会数学学习的价值，促进学生的个性发展。
如：我在教学“容积和容积单位”时，没有直接给出物体容积的概念和计算方法，而是腾出时间，让学生动手做实验：测量长方体盒子的体积以及盒中黄沙的体积，然后通过学生自主比较、概括、思辨、讨论，理解容积的概念，探究得出容积的计算方法。
接着通过对“饮料为什么不装满瓶”“饮料盒上为什么写的是净含量”等问题的讨论引导学生将数学知识和生活经验相结合，去解释生活中的实际问题。
在这堂课上，从实验的方法、工具的选择到最后结论的得出以及知识的实际应用，老师没有一丝一毫的灌输，而是给学生提供充分从事数学活动的机会，让他们亲身经历、主动探索，在“提出问题——解决问题——发现问题”的循环学习活动中自主建构知识意义，感受“数学源于生活又用于生活”的实用价值。
大道至简悟者天成——兼评《数学慧眼》对问题解决的教育价值
（本文刊发于《中国数学教育》2014年第12期头版）编者按：问题解决（或数学建模）是中小学数学教学最为困惑的模块之一.《数学慧眼》介绍的代数应用情境学习策略（简称：DYQ学习策略）以教育数学思想为指导、以情境学习为策略、以揭示数学情境本质为目标，从独特的视角、用数学的眼光、打破了传统思维的方式，突破了数学认知封闭的屏障，系统地介绍了代数应用题审题方法和程序.在着眼于中小学代数应用题模块教学和学习新结构、新方法、新体系建设的同时，对已有的研究成果进行改造，提供了更简单的逻辑结构，更有力的解题方法，更平易近人的数学概念.诠释了《标准》问题解决的“基本方法”.它将成为我国第一本系统论述数学建模基本技能训练的教程，对于学生数学建模能力提升意义深远.大道至简悟者天成——兼评《数学慧眼》对问题解决的教育价值田献增山东省日照市新营中学 276826李忠海沈阳航空航天大学自动化学院 110136摘要：《标准》强调：使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型的过程. 构建数学模型是中小学教学的难点.《数学慧眼》借生活情境独辟蹊径，从数学语句的理解到数量关系的再认识，从示意图的画法到表格的设计，系统地给出了“DYQ学习策略”，这一普适性方法.用教育数学的思想，诠释了课程标准中问题解决的基本方法.关键词：问题解决、数学建模、基本数量关系、教育数学、基本方法、国家课程校本化国内首次提出“问题解决[1]”是在2011年版《义务教育数学课程标准》（简称：《标准》）中，问题解决是数学的核心问题.[2]中小学问题解决主流题型是代数应用题，它是公认的中小学数学教育难点.一、代数应用题教学面临的问题代数应用题学习的难点是理解题意，即，“审题”.它是国内外数学研究的一个盲点.1. 国内外对审题的研究（1）国外. 对于问题解决的研究，Mayer等人（1984）提出代数应用题解决的四个阶段：转译（transltion）、整合（integration）、计划（planning）和执行（execution）.Sebrechts 等人（1996）对已有解决代数应用题的认知模型加以完善.将问题解决分为：问题转译、问题整合、解题计划和解题执行.[3]“问题转译与问题整合构成了个体的对问题的理解过程，即传统意义上的审题阶段.” [4]显然，对于这一关键阶段，国外没有给出具体实施方法.（2）国内.中小学数学建模的文献大多集中在用摸上.罗增儒教授根据G·波利亚的“怎样解题”表[5]研究的“怎样解应用题”表，[6]可以说是国外内公开文献中，最为系统完整的代数应用题审题方法了. 但对“关键词”的认识，“基本关系”概念的理解、“相等关系”的寻找、“列个表、画张图”的方法等等也没有给出系统说明.2.教科书对审题过程没有系统介绍教科书对代数应用题审题的指导大多是“弄清题意，找出数量关系”.至于怎样弄清题意、怎样找出数量关系没有介绍.即使例题的“分析”，也没有明确统一的思想.这可以理解为《标准》中“从不同角度寻求分析问题的方法”的要求.但也从另一方面反映了目前对应用题审题，缺少思想统领.二、对代数应用题建模过程的思考数学题可分：“已完成数学抽象和加工的‘成品’问题”和非数学领域且用数学工具来解决的实际问题.[7]即，传统意义上的模型为算式、方程、不等式或函数等应用题.它来源于生活情境的抽象或有目的地设计如图1过程1.解应用题先要建立数学模型如图1过程2，然后用数学知识解模，如图1过程3.图11.建模障碍分析目前学习或解答代数应用题难点在于图1中的过程2.结合“怎样解应用题”表知，过程2中至少还存在以下几方面有待研究，即：与“关键词”有关数学语句的理解；与“相等关系”对应的数量关系的认识，与“基本关系”对应的“基本数量关系”的认识，与“画张图”对应的图示法的应用范围和画法，以及与“列个表”过程中的分类和表格的设计.2. 代数应用题建模必备条件建立应用题数学模型需要“找出所有等量关系”. [8]建立简单应用题模型（模型只含一步运算）只需一个数量关系，复杂应用题模型（模型包含多步运算）需若干个独立的数量关系，并且缺一不可（变形的除外）.3. 数学建模重在把握生活情境的数学本质数学建模重在抓住生活情境的数学本质.举例如下：某商场把一个双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可盈利8元.这种书包的进价是多少？（北京教育科学院、北京出版传媒集团义务教育教科书数学7年级上册，2013年6月，第120页例4）教科书给出的审题过程是“分析：……在这个问题中的相等关系是：实际售价-进价=利润①…….”事实上，解答上述问题还必须利用下面的数量关系：进价×（1+50%）=标价➁；标价×80%=实际售价➂.（若细分涉及的数量关系个数目还可增加）笔者认为教科书中的分析有欠缺，相等关系①不是该情境数学本质的全部.原因是：若去掉例题中的问题可得数学情境：“某商场把一个双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可盈利8元……”与原题比较：（1）数学情境的本质没有改变，即，仍包含数学量关系➀➁➂；（2）还可设计问题：这种书包的标价是多少？这种书包的实际售价是多少？等等；（3）解答（2）中问题的数学模型还是利用数量关系➀➁➂.因此说数量关系➀➁➂是该情境数学本质的全部，它不随具体问题的变化而变化。
巧把计算关,直入智慧门
巧把计算关，直入智慧门一浅谈小学数学计算能力的培养“枯燥的数学”一说得益于数学计算的“功劳”，无休止的计算让数学背负了无趣无味的学科“罪名”以至于抑制了学生的兴趣求知欲和探究心。
如何让学生在计算学习中也觉得“数学好玩J并让计算成为他们数学思维发展的有效手段，至关重要。
一、知其重，才能学其精一计算地位说如果说“数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠”，那么计算就是托起这颗明珠的载体。
日常生活中，小到买东西算价格，大到金融、税务等行业，哪里少得了计算的身影。
只会算不行，还需要算到精、算到准。
那么我们从小就要重视计算能力的培养，把好“计算”这一关。
教学要求中也强调“使学生能够正确的进行整数、小数、分数四则运算，对于其中一些基本的计算，要达到一定的熟练程度，并逐步做到计算方法合理灵活”。
计算教学贯穿着数学教学的全过程，计算能力的好坏直接关系到学生学习数学的兴趣和数学思维的发展。
因此培养学生正确、迅速、合理的计算能力是小学数学的一项重要任务，培养学生良好的计算能力也需要长期、多方面的工作。
二、知其不足，才能对症下药一计算学习现状析在高呼课改的今天，数学课堂上重视了学生动手实践、合作学习等能力的培养，却忽视了计算基本功的研究或者说在此方面花费的功夫还不够，学生对计算部分的学习存在着或多或少的问题。
主要表现在以下几方面：1.基本口算能力不扎实对于低年级的“20以内加减法”“乘法口诀”等只求“会”不求“对”，达不到脱口而出的效果。
一是平时计算时不细心养成了出错的习惯，只求速度不求正确率；二是平时计算只是为了完成而完成，，没有达到速度和正确率练习的效果。
大大影响了以后大数的进、退位计算和多位数的乘除法计算。
2.机械计算，不懂算理一些学生不理解其中蕴含的算理，只是一味的模仿计算，虽然当时通过大量的练习“记住了”，可是遇到特殊情况时便不知所措或不明优化，如计算因数中间有“0”的多位数相乘时，小小的“0”便成了他们计算的绊脚石。
数学教学中的“退、悟、进”
数学教学中的“退、悟、进”作者：杨莉来源：《教学与管理(理论版)》2007年第07期早在上世纪八十年代，我们曾总结出“以退为进，退中悟理，执理为进”的教学方法，简述为：“退—悟—进”。
新课程标准公布并实施后为探究法教学提供了更广阔的天地，如何有效地实现新课程标准，真正达到为基础教育服务的目的，我们对“探究法”的基本程序和方法，作了进一步的探索。
一、“退”法研究的基本程序：“退、悟、进”１．为进学退。
“为进”—一开始就提出新课题，激发学生的求知欲和好奇心，让学生明确学习目的，同时教师要退到学生的认知水平，和学生一起探索“退”路，就是分析矛盾，用比较、类比、特例、分解、简化等方法。
退未知为已知，退一般为特殊，退抽象为形象，退综合为单一。
这里的已知、特殊、形象、单一正是学生主动思维的条件，为达到“进”的目的而形成概念、导出规律，进而解决问题的基础。
经过“学退”逐步达到“会退”，学生的探究能力与日俱增，创造能力会充分发挥。
２．退中悟理。
“退”的目的在于“进”，能否由退转化为进，关键在于“悟理”，就是要尝试从直观的、特殊的事例中归纳抽象出一般的本质属性和普遍规律，从已知的简单现象中总结概括出新的概念和基本原理。
“悟理”就是要学习运用抽象、归纳、演绎、类比等逻辑方法，尝试找出已知的特殊事例中所包含的一般道理和解决问题的方法。
当然这时找到的道理和方法还是一种假说，有待于在“进”中论证和检验。
３．执理而进。
通过“悟理”，找到了一种道理或方法，就可以运用这个道理或方法去解决新课题，“进”的过程是从已知到未知的推理或求解的过程。
能否解决问题，需要实践去检验，如果“悟理”找到的道理和方法不能解决问题，就必须再从“退”中悟理。
二“退”的探究方法：析、例、形、分１．“析”。
退未知为已知。
这是“退”的基本方法。
因为学习新知识的过程就是从已知的知识“生长”出新知识的过程，就是逐步完善认知结构的过程。
传统教学主要是传授的过程，相当于教师是发信人，学生是收信人，教学过程类似于信息传输过程，也可以把教学过程看作是控制系统，教师是控制者，学生是被控制者。
让数学教学彰显数学的本色
天早 早就在教 室等我 了。一个小 小的手拉钩 ， 能让他 做个 守时 的孩 子 ， 我何乐而不 为呢？ 当孩子 们考试有 进 步或者考 了很高分时 ，我会 拍一拍他们 的屁股 、 抱 抱他们 的身 体 。这些是孩 子们 得到我 的奖 励时 ， 我 经 常附加 的动 作 。它拉近 了我和孩子们 的关 系 ， 使我 成 为他们 的朋友 。他们也会 主动来 拉我 的手 ， 帮我捶 捶背 ， 告诉 我许多小秘密 。 于是 乎 ， 我既是孩子们忠实 的听众 ， 又是为其排忧解难 的导师 和朋友 。
一
的荣 誉感 ， 保护其 自尊心 ， 促进其心理健康 发展 ， 同时 也 要真诚 地 、 贴切地提 出其不 足之处 ， 帮助他 们一 并 起不断提高 ， 以达到 自我完善 的 目的。教育的核心是 培养人 ， 培养对 象得到充分 的发展。从 某种意义 并使 上说 ， 教师是 成人派往 儿童世 界 的友好使 者 ， 须认 必 真 学 习那 些被 自己早 已遗忘 了的儿 童时期 的心 情和 体验 ， 真诚地关爱学 生 ， 深人地 了解学生 ， 自觉地与 自 己的教育对象 “ 相似 ”， 永葆一颗天真烂漫 的童心 ， 做 不管是从语言还 是到动作 ， 不要吝啬你 的奖 孩子 的知心朋友 。这样 ， 你都 学生才能 “ 安其学而亲其师 ， 励， 要让 孩子们 感受得 到你对 他 的表扬 ， 以满足 他们 乐其 友而信 其道”。
一
２ ． 捕捉生 活素材。捕 捉生活素材实际上就是强调 学生 的间接体验 。 程标准把数学看成是一系列数学 课 地组 织现实 世界 的人类 活动 ，即用数 学 的思想 与方 法 ， 断把 与实际 问题有关 的材料进行整理 和组 织起 不 来 的活动。组织学生去捕 捉生活 中的资源 ， 数学 也是
概括论点
例文5的优化修改二、
引论部分：提出论点在第一段加上总论点：其中，我最欣赏的是以退为进。
正面论证：面对失败，需要以退为进论据：朱彦夫，刘伟……
面对成功，需要以退为进论据：鲍叔牙、范蠡……
本论部分：论证结构
反面论证：不退的后果论据：“非洲大山”穆托姆博
结论部分：以退为进是大智慧
正面分论点：退可再进论据：李密、韩信……
本论部分：论证结构反面分论点：只退不进论据：慈禧误国、方仲永不思进取
结论部分：总结：以退为进是大智慧。
反面论据：希特勒只进不退，导致德国大败。
结论部分：在适当的时候退一步，就是海阔天空。
例文3、
引论部分：提出论点处事知进退，则人生之天地便豁然开朗
第一层：双赢的智慧不在于永远向前，而在于以退为进。面对失败，需要以退为进。论 Nhomakorabea：朱彦夫
面对成功，同样也要以退为进。论据：鲍叔牙、黄雅莉
本论部分：论证结构
第二层：那么，我们又该怎样做到以退为进呢？
形象说理
结论部分：这就是进与退的智慧。
例文4、
引论部分：提出论点人生之路，该进则进，该退则退。
第一层：一味的“进”与“退”是不理智的。
一味的进，容易耗尽有限的精力，往往得不到预期的结果。
论据：拿破仑
一味的退，容易做事畏首畏尾。
论据：宋时的几代君王
本论部分：论证结构第二层：我们该分清的是何时改进，何时该退。
例文2的优化修改一、
引论部分：提出论点以退为进
退可避其锋芒，反败为胜。论据：退避三舍、田忌赛马……
本论部分：论证结构退可保全自身、保存实力。论据：李密、韩信、克洛普登顶……
退可有新选择、可开辟新天地。乔丹、邓亚萍、克林顿……
退一步海阔天空，进一步主动参与
退一步海阔天空，进一步主动参与作者：陈瑞华于漫来源：《云南教育·小学教师》2021年第05期課前思考：著名数学家华罗庚指出：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
”在小学数学教学中，以“退”为进，“退”的策略在问题解决中有较为广泛的应用。
小学数学五年级上册的数学好玩中的内容“图形中的规律”就是一个很好的素材，为了引导学生有效地探索“摆三角形”中隐含的规律，通过让学生独立去探索、归纳、猜想、解释、验证得到结果。
通过合作、分享，呈现出学生从不同角度分析、归纳三角形个数与小棒根数之间的关系，运用“退”的策略，可以更好地发现图形中隐藏的规律，让学生在主动参与学习中形成一定方法模型。
教学过程：一、谈话导入，主动明确问题师：用小棒摆三角形会吗？摆1个三角形需要几根小棒？生：3根。
（请学生到黑板展示摆的方法）师：摆2个三角形呢？谁来试试？一学生用6根小棒摆了2个三角形。
师：还有不同的方法吗？学生摆出：师：像这样摆下去，摆3个三角形要多少根小棒？师：像这样摆下去，摆10个三角形需要几根小棒？二、操作探究，主动探索规律师：像这样摆10个三角形需要多少根小棒？请你猜一猜。
师：有这么多不同的想法，我们能不能去验证一下呢？（为了让学生充分体验：操作、探究的过程，教师提供了学具小棒，让学生同桌一起摆一摆，完成作业单）图形中的规律学习单1学生完成后，教师让学生展示学习单，并要求学生小组讨论：回想刚刚摆的过程，观察学习单，你们有什么发现？生1：我发现从第二个三角形开始，每增加一个三角形，就增加2根小棒。
师：你们有同样的发现吗？请学生利用教具，在黑板展示。
生2：我发现摆10个三角形可以用算式：3+2×（10-1）=21（根）师：你能用算式计算出结果，真厉害，你能跟大家讲一讲你是怎么观察得到这个算式的吗？能到黑板上用学具摆一摆，说出你的发现过程吗？生2：大家看，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形就要增加2根小棒，就是3+2得到5根，摆3个三角形就要3+2+2，也就是要加上2个2就是7根，摆4个三角形就要3加上3个2根，这样摆下去，10个三角形就要3+9个2根，所以就这样列式了。
浅谈如何让学生快乐地学习数学
数学前沿今天浅谈如何让学生快乐地学习数学李昌海（黑龙江省大庆市靓湖学校 黑龙江 大庆 １６３０００）中图分类号：Ｇ６２３．５ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１００２－３９１７（２０２１）０４－０１６７－０１ 作为一名从事一线教学的老师，我个人一直认为，学生自身保持愉悦的心情，对学习有着至关重要的作用，保持良好的心态有助于主动学习及积极探索。
数学教学本身的目的重在培养学生对数学学习的兴趣，孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
”充分说明兴趣是最好的老师。
学生一旦对某个事物有了浓厚的兴趣，就会主动去求知、去探索、去实践，并在求知、探索、实践中产生愉快的情绪和体验，所以古今中外的教育家无不重视兴趣在智力开发中的作用。
教学是教与学的双边活动，因此要上好一堂数学课就必须使教与学紧密结合起来。
如何与学生进行很好的沟通，让课堂生动有趣，如何让学生对学习数学产生兴趣，只有教师充分发挥主导作用才能使学生的学带有积极性，，教师在课堂教学中的引导具有十分重要的作用。
为了激发学生学习数学的兴趣，在日常教学中可以采取哪些有效措施让越来越多的学生对学习数学产生浓厚的兴趣呢？我在教学实践中不断地进行着尝试。
那么，在课堂教学中如何调动学生的学习积极性呢？我在这里谈几点自己的看法。
１．重视教师与学生的关系，良好的师生关系能激发学习兴趣随着教育制度的改革，我们老师的观念也应当随之转变，陈旧的教育方式已不能被广大学生所接受，“师道尊严”那一套更是一点也行不通了。
有句名言曾说过：“师也者，教之以事而喻诸德也”。
教师对学生来说是一个引路人似的朋友，更是是心灵、智慧的双重引路人。
在日常教学中，教师应对每一个学生尊重、理解、爱护。
我们要主动亲近他们，主动找他们谈心，了解他们的思想动态，努力成为他们的良师益友，站在学生的角度和这个年龄的对事物的认知之上，把自己也当作一名“学生”与他们打成一片，参加他们的学习活动，真诚、坦率地与学生相处、交流，用行动为学生创造一种真诚、理解的气氛，在这样的自由毫无压力的学习氛围中，每个学生都会对学习产生兴趣。
有效点拨：数学课堂生成智慧的金钥匙
有效点拨：数学课堂生成智慧的金钥匙作者：石高安来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第08期[摘要] 学生在课堂上学习数学过程中，常常会出现这样的情况：由于思维受阻，一时难以下手. 这样，需要教师用简练、精辟的语言启迪思维，促使学生产生“顿悟”，谓之“点拨”. 有效的“点拨”必须做到适时、适度、灵活且富有启迪. 如何实行有效“点拨”呢？笔者的思考是点拨难点，引导学生攻克疑难；点拨方法，引导学生举一反三；点拨思路，引导学生反思探究，由此启动学生思维，促进学生在数学课堂中生成智慧.[关键词] 点拨；难点；方法；思路；智慧岂知灌顶有醍醐，能使清凉头不热.——唐·顾况《行路难》学生在数学课堂的学习过程中，经常会遇到这样的情况：解答一个数学题，由于各种各样的原因导致思维受阻，一时难以下手. 有的问题对于有的学生可能会突发灵感，产生“顿悟”，使得问题得以迅速解决，但更多的问题对于更多的学生，需要数学教师用简练、精辟的语言来启迪思维，促使学生产生“顿悟”，这个过程就是数学教学中常讲的“点拨”. “点拨”是教师让学生走出学习数学困惑的有效手段，也是数学课堂教学的一种艺术. 一个数学教师行之有效的“点拨”，既要做到适时、适度，同时也要做到灵活且富有启迪. 然而，在我们数学教师中，有一部分教师追求方法的新颖，但不注意实际成效，如有的教师采用提问法的，有问有答，上下呼应；有的教师采用讨论法的，学生发言争先恐后，课堂热热闹闹，气氛十分活跃. 由于学生之间交流的信息零碎并且量大，将教师向学生输入的系统的信息淹没了，因此，多数学生收获甚少. 如何实行有效“点拨”呢？笔者所思考的是点拨难点，引导学生攻克疑难；点拨方法，引导学生举一反三；点拨思路，引导学生反思探究. 由此启动学生的思维，促进学生在数学课堂中生成智慧.[⇩] 有效点拨难点，引导学生攻克疑难，促进数学课堂生成智慧数学教学的难点是学生学习数学难于掌握的数学知识点，也包括数学思想方法等，这是学生数学认识水平与抽象复杂的数学知识之间的矛盾. 数学教师分析学习数学的难点在何处，研究其形成的原因，从而有针对性地进行点拨，可以起到化难为易的作用.案例1：一位教师关于求与一元二次方程有关的最值题的点拨.已知m，n是关于x的一元二次方程4x2+4kx+k+2=0的两个实根，若m2+n2能够取得最小值，求实数k的值，并求此时的最小值.教师首先给学生自主解答，然后让学生展示.生：由一元二次方程根与系数的关系得：m+n=-k，mn=，所以m2+n2=（m+n）2-2mn=（-k）2-=k-2-. 当k=时，m2+n2取得最小值-.师：这个结果错了.生（很惊呀地）：在哪里发生错误呢？面对一个个学生的惊奇，这位教师并没有及时去挑明，而是想方设法引导学生自我反思、自我发现.师：m2+n2的值与k的取值是否有关系？k的不同取值对这个一元二次方程是否有实根产生怎样的影响？学生经教师这一点拨，茅塞顿开，马上发现了自己错误的原因是没有考虑m，n是方程实数根这一隐含条件，必须有Δ≥0，从而得16k2-16（k+2）≥0，即k≤-1或k≥2，因此k≠. 正确的结果是当k=-1时，m2+n2的最小值为.[⇩] 有效点拨方法，引导学生举一反三，促进数学课堂生成智慧《普通高中数学课程标准》指出，数学教学要坚持以人为本，以学生的发展为本，让不同的学生在数学上得到不同的发展. 不同的学生，其接收、领悟能力有强有弱，数学教师在点拨时必须做到“四性”：一是点拨要循序渐进，应由浅入深，体现渐进性；二是点拨既要照顾到全体，又要照顾到个别，让优等生“吃饱”，让中差生“吃好”，体现层次性；三是点拨要让学生积极思维，而不是生硬说教，体现启发性；四是点拨要简明准确，让它起到画龙点睛的作用，体现明确性. 点拨恰当，学生才能学得生动，教师教得轻松，教学质量大面积提高.案例2：一位教师关于一道数列题的求解点拨.已知等差数列{an}中，a3=5，a8=20，求a20.一部分学生特别是一部分女学生往往根据等差数列的通项公式求解：根据题意，得a1+2d=5，a1+7d=20，解得a1=-1，d=3，所以a20=a1+19d=-1+19×3=56.这一部分学生解完后，挺有成就感，就等待数学教师出下一题. 因此，数学教师适时点拨：师：刚才在下面巡视时，有同学告诉我此解法有些繁，请同学们再思考一下，有没有简单方法解这道题？一石激起千层浪，学生们一个个探究起来，有的合作学习小组窃窃私语，可是还有一些学生想不出更好的方法，教师进一步点拨.师：我们能不能用函数方程的思想来观察、研究等差数列的通项公式？生：噢！我知道了，等差数列的通项公式一般是关于项数的一次函数……于是，学生得到解法2：设an=αn+β. 依题意，得3α+β=5，8α+β=20.解得α=3，β=20.所以an=3n-4，所以a20=3×20-4=56.对于学生得到的解法2，教师给予了肯定与激励. 此时，另一位学生提出，解法2与前面一种方法比较，未见得简单多少，为此，教师继续点拨.师：在研究等差数列性质时，得到一个求等差数列公差的公式d=，请大家再思考一下，能不能从这里入手，探讨一下解法3.许多学生经过一番讨论，探究得到下面的解法：d==3，所以a20=a8+（20-8）d=56.其实，解法3，对心算能力强的学生来说，不用笔算也可以得到答案.最后，数学教师作评价性点拨：师：第一种解法虽然有些繁，但这是通法，属于基本能力要求；第二种解法的思维较灵活，体现的是函数思想求解，体现了对数学思想方法的掌握与应用；第三种解法必须对等差数列的性质掌握得比较好，此种解法，对心算能力强的学生不用笔算也可以得到答案，属于对数学知识的融会贯通.案例3：已知点M在抛物线y2=px上，且M到A（4，2）的距离与M到x轴的距离之和最小，求点M的坐标.不少学生易设点M的坐标为（a，b），再做下去一部分学生感到茫然，一些合作小组也解决不了. 这时教师可点拨：透过“点M到x轴的距离”这个现象，看到“点M到准线的距离”这个本质，由抛物线的定义，可知M到准线的距离等于M到焦点的距离，到此学生茅塞顿开.[⇩] 有效点拨思路，引导学生反思探究，促进数学课堂生成智慧很多时候，面对一个个数学问题，不少学生只会简单地通过模仿例题来运用定理、法则与公式，而当问题的条件发生变化时，就不懂得变通. 故在数学课堂上，教师可在引申变换（变式）、数学思想、方法、技巧上加以点拨，通过借题发挥，由此及彼，由表及里，举一反三，就会事半功倍，这样能起到促进学生思维发散、创新的作用.案例4：一位教师关于恒成立及有解问题的教学变式点拨.已知函数f（x）=8x2+16x+p，g（x）=2x3+5x2+4x（其中p∈R）.对∀x∈[-3，3]，都有f （x）≤f（x）成立，求p的取值范围.师生讨论分析得到解法：令h（x）=g（x）- f（x）=2x3-3x2-12x-p，问题转换为x∈[-3，3]时，h（x）≥0恒成立，故h（x）min≥0，m≤-45.平时，不少学生做这一类恒成立题，常常与存在类问题和最大值、最小值混淆不清，为此，这位教师对题目作了这样的变式点拨：师：若“对∀x∈[-3，3]”改成“∃x∈[-3，3]”，其余不变，如何求p的取值范围？师生再讨论分析得到解法：转化为x∈[-3，3]时，h（x）≥0有解，故h（x）max≥0，m≤7.师：若“对∀x∈[-3，3]”改成“对∀x1，x2∈[-3，3]”，其余条件不变，如何求p的取值范围？师生讨论分析得到解法：转化为x∈[-3，3]时， f（x）max≤g（x）min⇔120+p≤-21⇔p≤-141.数学教师在以上数学问题的设计点拨中，针对一些似是而非的问题，编拟变式题组进行专项训练，让学生真正弄懂这些形同质异、形异质同题的解答思路与方法，唤醒那些学困生的创造思维与求知欲，以发挥变式题组的教育功效.“点拨”，“点”就要一“点”就通，就是要点石成金；“拨”就要拨除故障，拨暗为明，拨云见日. 点拨既是一种方法、一种策略，更是一种理念、一门艺术. 在数学教学过程中，教师智慧的点拨引导，可以激发学生的学习兴趣，使学生疑窦大开、智慧闪烁，让数学课堂充满生机与活力.。
2023进退的议论文
2023进退的议论文2023进退的议论文1人生并不是非对即错，所有的，都能相互制衡转化，世界充满了复杂，但是愿你能在人生纵横捭阖，进退自如。
——题记百家争鸣时，老子就已经提出了辩证法思想。
“祸兮福所倚，福兮祸所伏。
”便能证明。
世界便是如此，复杂到了极致，也单纯到了极致。
人生也不是非黑即白，从不同的角度可以得出不同的答案。
就像是一杯饮料，喝了，觉得开心舒爽，补充了水分。
但同时你失去了你的时间，又对健康起到了一定的损害。
高档的小车，自然有舒适的环境，平缓安静，松软的靠垫，是休憩的好地方，但司机就知道，开过于平缓的车并不安全，过于舒适的环境，特别容易让人放松，很容易产生困意，在开车时，这样的状态无疑是危险的。
人生不可能皆如意，若得，必有失。
若失，必有得。
在人际交往中，也时常会遇到进退两难的情况，进也不是，退也不是。
在这种情况下，我们特别需要明白，什么才是我们应该选择的，不是论性价比，而是对我们的用处，不用的，即使免费也如图空设。
有用的，贵又如何，它值得。
人生是由无数个选择组成的，大大小小的选择组成了一个独一无二的人生。
在很多事情面前，我们注定要舍去。
有道是“千金难买一笑”，人生总是要恣睢肆意几回，反正进也失，退也失不是吗。
不如做自己。
把自己从非黑即白的观念中拯救出来，会发现，你的视野，决定了你的世界的大小。
做人生的纵横家吧，纵横捭阖，进退自如。
2023进退的议论文2人的一生要面对许多难题，对此采取何种态度和应对方略，效果是不同的。
处置得当便有了天堂之阶，处置失错如敲地狱之门。
如果你态度是积极的，则必然关心人生之成败，除非你是佛界或老庄的信徒。
有关成功的书籍和方法汗牛充栋，颇让人无所适从。
其实我们完全可以把它简单化，攸关人生成功与失败的无非是四个字：攻、守、进、退。
如果你把何时当“进”、当“攻”，何时当“退”、当“守”，即如果你掌握了“攻守进退”的学问，也就把握了事关人生成功的窍要。
在中国传统的智谋文化中，关于攻守进退的学问，恰是它的精华所在。
教学体会-知难而“退”彰显数学大智慧
知难而“退”彰显数学大智慧我国著名数学家华罗庚先生曾说过这样一句话：“当我们遇到一个较复杂的数学问题时，我们要知难而退，退到事物最简单的情况去观察去思考以找到规律。
”在这里涉及到我们解决数学问题的一个重要思想，那就是知难而退，以退为进，这既是解决数学问题的一个好方法，也是处理人生问题的一个好建议，正所谓“忍一时风平浪静，退一步海阔天空”。
退是为了更好的进，在退进之中，彰显出了数学的大智慧。
一、退到起点，化复杂为简单数学的教学要教会学生方法与解题的技巧，让学生在学习中提炼出规律，利用规律实现对复杂问题的解决。
知难而退，就是指在学习中遇到困难时，不是一昧的向前冲，而是往后退，退到最简单而不失其本质属性时，发现其蕴含的规律，从而再利用规律来解决问题。
这是学习的智慧，也是解决问题的有效方法，化繁为简，才能让学生对于学习更有兴趣，也才能在不断收获成功的同时喜欢上数学，感受数学的神奇与魅力。
如在教学《解决问题的策略》时，教师为学生设计了这样一个探究过程：师：我手上有一张纸，我撕两下可以撕成几片？生：四片。
师：还有其他答案吗？生：还可能是3片，6片等。
（并用动作表示）师：很好，可见结论很多，只有是能自圆其说的就是对的。
那么大家看我这样撕，将一张纸片撕成了四片，如果我再把每一张撕成四片，那么能否撕成3000片、3001片、3002片？（学生猜测，有的动手要试一试）师：有的学生开始试了，可是等你撕不几次，你就会迷糊了，已经撕了多少片了；小的已经没法撕了；一节课怎么这么短，还没撕完呢。
这就不是学数学了，而成了犯神经。
生：那该怎么办呀？师：精彩继续，让我们接着看，一片撕成4片，从中拿一片再撕成4片，现在是几片？继续……生：7片、10片、13片……（师板书：1、4、7、10、13……）生：不用接着写了，我们可以找出规律，要不就不是数学了，也成犯神经了。
师：你发现了什么？说出来大家听听。
生：我发现撕成的片数是3的倍数加1。
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江苏灌南县第二实验小学（２２２５００）朱晓林［摘要］知难而退，就是指在学习中遇到困难时，不是一味地向前冲，而是往后退，退到最简单而不失其本质属性时，发现其蕴含的规律，从而再利用规律来解决问题。
这是学习的智慧，也是解决问题的有效方法。
［关键词］知难而退数学智慧［中图分类号］g623.5 ［文献标识码］ a ［文章编号］1007-9068（201５）１１-087华罗庚先生曾说：“当我们遇到一个较复杂的数学问题时，我们要知难而退，退到事物最简单的情况去观察、去思考，以找到规律。
”退是为了更好的进，在退进之中，彰显出了数学的大智慧。
一、退到起点，化复杂为简单知难而退，就是指在学习中遇到困难时，不是向前冲，而是往后退，退到最简单而不失其本质属性时，再来解决问题。
如“解决问题的策略”教学片段。
师：我手上有一张纸，撕两下可以撕成几片？生１：四片。
师：还有其他答案吗？生２：还可能是３片，６片等。
师：大家看我这样撕，将一张纸片撕成了四片，如果我再把这四片中的一片撕成四片，一直这么操作下去，能否撕成３０００片、３００１片、３００２片？（学生猜测，有的动手要试一试）师：可是撕不了几次，你就会搞不清楚已经撕了多少片。
生３：那该怎么办呀？师：精彩继续，让我们接着看，一片撕成４片，从中拿一片再撕成４片，现在是几片？继续……生４：７片、１０片、１３片……（师板书：１、４、７、１０、１３……）生５：不用接着写了，我们可以找出规律。
师：你发现了什么？说出来听听。
生５：我发现撕成的片数是３的倍数加１。
师：天啊，这么难的问题都被你们解决了，真是太了不起了。
生５：我还知道３０００不能，３００１能，３００２不能。
在教学过程中，教师要让学生在玩中学，体会数学的有趣，同时学生也学会了当解决问题受阻时，可以回头看，退到起点重新审视，这样就将复杂问题转化成了简单问题，从而找出规律，轻松解决问题。
二、以退为进，发现本质规律知难而“退”中的退不是放弃，不是无原则的退，而是要以退为进，发现问题的本质。
如在教学“找规律”时，教师为学生创设了一个宴会握手的情境：某公司在新年前夕举办了一场“迎新春，铸辉煌”企业年会，共１００人参加。
在宴会上为了介绍自己和加深交流，每两个人都会握手一次。
师：同学们，你知道在本次宴会中，共握手多少次吗？（学生有的陷入迷茫中不知所措，也有的又画又算煞是忙碌，但是都没有得出结果）我们为什么不从简单处着手，退回到最初的状态呢？当一个人时不需左手握右手，也就是０次；两个人时，需握手１次；三个人呢？需握手几次？大家可以表演一下。
生：３次，除自己之外，都需和另外两人握手１次，同时握手不用你与我握完，我再与你握，所以共计３次。
师：“除自己之外，不用重复再握”，说得很好，那么你现在能得出答案了吗？生：１００人中每一人都会与其他９９人握手，又不需要重复握，所以可以列式为１００×（１００－１）÷２＝４９５０，所以本次宴会共握手４９５０次。
师：真厉害，那要是用ｎ来表示人数，你能用一个关系式表示出来吗？生：。
该教学片断体现出了由特殊到一般的过程，当数字比较大时，就退到了最简单的情况，让学生逐渐深入发现规律，再应用规律，从而更好地解决问题。
三、进退之中，尽显数学智慧遇挫时后退，在退到起点后寻找规律，在应用规律时前进，并不要忘了回头看，这看似很简单，但却是好多教师在教学时做不到的。
如在学习“用计算器探索积的变化规律”时，我让学生用计算器计算“５８×９００００００００”的结果。
有的学生说：“老师，我的计算器坏了，出了５．２２ｅ１０，这是怎么回事？”这时我想学生还没有学习科学记数法，只能说：“没事，那是你的计算器显示不出这么长的数位，这不是坏了，等以后你就知道这样表示的意义了。
”学生又问：“那现在怎么办？”带着这个问题，我让学生进行了探究。
先将这一计算退回到起点，计算５８×９＝？５８×９０＝？５８×９００＝？让学生观察积的变化，学生很快就得出了结论：当一个因数不变，另一个因数扩大多少倍，得到的积也就扩大多少倍。
由此不用计算器也可以得出“５８×９００００００００＝５２２００００００００”，这样学生也就能对于积的变化规律有了更深的认识。
总之，以退为进，在退与进的有效结合中提高学生的发现与提出问题、分析与解决问题的能力，才是教学的智慧。
（责编金铃）。