高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3_1 数系的扩充和复数的概念教材习题点拨 新人教A版1
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思复数的概念是复数这一章内容的基础，高中阶段复数的有关概念都是围绕着复数的代数表达式展开。
因此理解虚数单位、实部虚部对后续的学习至关重要。
而复数这个概念对学生而言是一个新的概念，如果开门见山的直接介绍“为了解复数开方，而扩充数系“，从而引入复数会显得枯燥无味，更没法体现数作为数学的一个基本概念的发展历程。
新课程标准中要求让学生体验数的发展历程，体会人类社会发展需要与数学内部矛盾是推动数学发展的动力。
可以说，数的发展历程作为数学文化中的一部分内容，我觉得很有必要让学生体验，因此，我将数的发展历程作为本节课的第一个教学任务，让学生从最初的自然数发展到复数，直到今天的四元数，多元数，然后展望社会在发展，需要在提高，数学也需要不断的完善、发展、永不止境。
在体验数的发展历程后，本节课从“认识虚数单位、复数的代数形式、复数的分类以及复数的相等”几部分展开，每一部分学习后，都有相应的练习及时地帮助学生理解概念、巩固新知。
整节课上完，自我感觉思路清晰，整体而言较顺畅，但其中还是存在很多问题：1、上课前期，过于紧张，将4x=5中x=5÷4解写成了x=4÷5.2、在许多细节的处理上仍有问题，仍需更近一步完善。
例如：“带i的是虚数，不带i的是实数”这种口头上的表示不够严谨。
还有，对，这个过程需要解释复数上的规定：。
3、由于学生学习能力有所差异，经过后续的作业情况反馈，大部分学生都能掌握本节课的内容，但是仍有一部同学在判断实部、虚部上存在问题。
针对这一情况，课后也通过练习进行巩固；4、时间安排上还不够好。
整节课的节奏过快。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数
(【2)精已彩知点z1拨，】z2∈C(1，)先|z1写|＝出|z点2|＝A1，，B|z，1＋Cz的2|＝坐标3，，求利|z用1－向z量2|. A→B＝D→C 列方程求
解．
(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决． 【自主解答】 (1)设 D(x，y)，类比向量的运算知 A→B ＝D→C ，所以有复数
对应的复数为
3－4i，则向量
Z→1Z2对应的复数为__________．
【解析】 Z→1Z2＝O→Z 2－O→Z 1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 【答案】 1－i
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
阶
阶
段
段
一
三
3.2 复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几
何意义
学
第三章数系的扩充与复数的引入教材分析
第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析广州市黄埔区教育局教研室肖凌戆数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2 的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充．《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．本章内容分为2节，教学时间约4 课时．第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．•教学目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．•教学重点（1）数系的扩充过程．（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．（3）复数的几何意义．•教学难点（1）虚数单位i 的引进．（2）复数的几何意义．•教学时数本节教学，建议用2 课时．第1 课时处理数系的扩充和复数的概念；第 2 课时研究复数的几何意义．•课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．(3)在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”.从这上点上看，《课标》要求降低了.•教学建议1 •关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议(1)课题的引入•教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：①在自然数集N中，方程x= 0有解吗？②在整数集Z中，方程2x =1有解吗？③在有理数集Q中，方程x2= 2有解吗？④在实数集R中，方程•有解吗？(2)回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程•帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征•可让学生思考如下问题：①从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？②每一次扩充的主要原因是什么？③每一次扩充的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要. 扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展.(3)提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程x2T=0在新的数集中的解？(4)引入虚数单位i .(5)学习复数的概念.(6 )规定复数相等的意义.(7)研究复数的分类.(8)告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由：①a，bi=c，di=a=c, b = d ；在a=c b c两式中，只要有一个不成立，则a bi = c di .②如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小.③“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“v”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a , b来说，a ::: b , a = b , b . a这种情况有且只有一种成立；如果a ： b, b c，那么a c ；女口果a :: b，那么a c ：： b c ；如果a ： b, 0 ：：：c，那么ac ::: bc.2 •关于“复数的几何意义”的教学建议(1 )帮助学生认识复数的几何表示.复数的几何表示就是指用复平面内的点Z ( a,b)来表示复数z = a bi .①明确“复平面”的概念.②建立复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的—对应关系，即J一一对应、复数z=a，bi = "复平面内的点Z ( a,b).(2 )帮助学生认识复数的向量表示•复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z = a bi •①认识复平面内的点Z ( a,b )与向量OZ 的■对应关系.② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z = a bi——对应戸' .兀、——对应点 Z ( a,b —— 对应 > 向量OZ(3 )用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识.在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点(原点除外)一一对应，非纯虚数的 虚数与象限内的点一一对应•可通过一组练习题来强化这一认识.第二节 复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算. •教学目标(1 )掌握复数代数形式的加减运算法则. (2 )了解复数代数形式的加减运算的几何意义. (3 )理解复数代数形式的乘除运算法则. (4)体验复数问题实数化的思想方法. •教学重点(1) 复数代数形式的加减运算及其几何意义. (2) 复数代数形式的乘除运算.(3) 复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用. •教学难点(1) 复数代数形式的加减运算的规定.(2) 复数代数形式的加减运算的几何意义的理解. (3) 复数代数形式的乘除运算法则的运用. •教学时数本节教学，建议用 2课时•第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第 2课时研究复数代数形式的乘除运算.•课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算， 《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：(1) 《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了 数形结合思想方法； (2) 《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法. •教学建议1 •复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性•这种合理性应从数 系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在 这里仍然成立.2 •复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数 减法和除法的运算法则. 3•复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用i 2二-1，将它们归结为实数的四则运算•在具体运算情境中，弓I 入共轭复的概念，明确公式(a - bi)(a_bi)二a 2 • b 2是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆复数除法法则•从而让学生体验复数问题实数 化的思想方法.4 •要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加 减运算的几何意义.附录一:《数系的扩充与复数的引入》章末复习学案一、本章复习要求：(1)复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义•(2)复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识回顾：1 •虚数单位“ i ”的两条规定：①i2=-1, ②i与实数在一起，可以进行通常的四则运算。
人教版2017高中数学选修1-2第三章《 数系的扩充与复数的概念》课件PPT
复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部 其中 i 称为虚数单位.
讨论？
复数集C和实数集R之间有 什么关系？
R C
实数b 0 纯虚数a 0，b 0, 复数a+bi 虚数b 0 非纯虚数a 0，b 0.
若a, b, c, d R,
a c, a bi c di b d .
，其中
x, y R 求
例2
已知 (2 x 1) i y (3 y )i
x与y.
解：更具复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y， 5 解得 x , y 4. 2 1 (3 y)，
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即
m 1时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． （3）当 m 1 0 即 m 1时，复数z 是 纯虚数． m 1 0
（数） y
（形）
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(a,b)
a b
o
x
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点
位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
m 2 m 6 0， 3 m 2， 解：由 2 得 m m 2 0， m 2 或 m 1，
3.1.1《熟悉的扩充和复数的概念》教案
课题：《数系的扩充和复数的概念》教案
一、教材分析
本课选自普通高中课程标准实验教科书选修2-2第三章第一节《数系的扩充和复数的概念》。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本节课的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性。
二、教学目标
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i.
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
三、教学重点、难点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
教学难点：虚数单位i的引进、复数的概念及复数相等是本节课的教学难点.
四、教学方法：
根据上述分析，贯彻启发性教学原则，结合本校学生实际水平，确定本节课主要使用两种教学方法：1、情景探究式教学；2、讲练结合教学。
五、教学过程：
六、板书设计：。
数系的扩充与复数的引入
知识精要
复 数 ： 我 们 把 集 合 C = { a + b i a , b ∈ R }中 的 数 ， 即 形 如 a + b i（ a , b ∈ R ） 的 数 叫 做 复 数 ， 其 中 i叫 做 虚 数 单 位 ， 全 体 复 数 的 集 合 C叫 做 复 数 集 合 。 (1)i2 = −1, 复数集C和实数集R 之间有 (2)i可以与实数一起进行四则运算， (2)i可以与实数一起进行四则运算， 什么关系？ 并且加乘运算律不变。 答：R ⊆ C，即R是C的真子集。
欢迎指导！ 欢迎指导！ 谢谢！ 谢谢！
例 3 如果（x + y ) + ( y − 1)i = (2 x + 3 y ) + (2 y + 1)i， 求实数x, y的值.
解：由复数相等的定义（条件），得 x + y = 2x + 3 y, x = 4, 解得 y −1 = 2 y +1, y = −2.
练习： 练习：P52，1，2. ， ， P55，1，2. ， ，
三、本章知识结构框图
数系扩充 复数引入 复数的概念
复数代数形式的 四则运算
四、课时安排
3.1 数系的扩充和复数的概念 约2课时 3.2 复数代数形式的四则运算 约2课时
§3.1 数系的扩充与复数的概念 本节要点
数系的扩充 复数的概念 复数的代数表示及复数相等的定义 复数的几何意义
教学情境设计
方程
x 2 + 1 = 0 在实数集中有解么？
答 ：无解
你能设想 一种方法， 使这个方 程有解么？
联系从自然数系到实数系的扩充过程，我们可以考虑将实数系扩大。
数系的每一次扩充过程都与实际需求密切相关。简要讲述数系扩 充的历史，人们为了计数，创造了自然数，1，2，3，…我们看到的自然 界中事物的个数都是自然数，如一支钢笔，三本书，后来人们为了方便将 0归入自然数。为了公平分配物质，引入了分数，如一个苹果平均分给三 个人，每个人得到多少苹果？为了表示各种具有相反意义的量以及满足记 数法的需要，人类引进了负数．如今天最低温度为零下3度，最高温度为8 度，就用到了负数。边长为1的正方形对角线之长不是分数，5开方开不尽， 不能用分数来表示，于是无理数出现了。数系扩充发展到了实数集了，这 是我们以前学到的非常熟悉的数集。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1 新人教A版选修1-2
【变式1】 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路探索] 只需根据复数的有关概念判断即可． 解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符
合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时， x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． 因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1
题型二
复数相等的充要条件的应用
【例 2】 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y 的值． a (2)关于 x 的方程 3x － x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 2
2
a 的值． [思路探索] 先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方 程组求解．
解
(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2x－1＝－b， ∴ 1＝b－3，
3 3 x＝－ ， x＝－ ， 2 2 解得 ∴ b＝4. y＝4i.
题型三 复数的分类 m2＋m－6 【例 3】 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m2－2m)i 为 m (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[规范解答]
规律方法
(1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问
题来解决．
(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题．
【变式 2】 求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i 的 x、y 值．其中 x ∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得
高中数学_复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.2复数的概念教学设计§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1.知识与技能：理解并掌握虚数单位i；理解复数的基本概念及复数相等的充要条件；2.过程与方法：在问题情境中了解数系的扩充过程及引入复数的必要性；3.情感、态度与价值观：通过数系的扩充过程体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
教学重点：虚数单位i、复数及其相关概念、复数的分类(实数、虚数、纯虚数)、复数相等的充要条件。
教学难点：虚数单位i的引进及复数概念的理解。
教学过程：x+=在实数集中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你一、创设情景：方程210能设想一种方法，使得这个方程有解吗？（意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大致方向）二、探究新知：1.学生回顾从自然数系到实数系的扩充过程：（教师可以通过提问的方式帮助学生回顾数系的扩充过程）（意图：使学生能够通过从自然数系到实数系的扩充过程体会体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用。
）2.学生探究，引入虚数单位i：x-=在有理数集中无解的问题，怎么解决方程问题1：就可以解决方程220210x+=在实数集中无解的问题？（意图：通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始，引导学生引入虚数单位i）3.对虚数单位i 的理解：（1）虚数单位i 的平方等于-1，即 21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.（3）i 的周期性：41n ii +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41()n i n Z =∈ 4.复数的引入：问题2：把实数和新引入的虚数单位i 像实数那样进行加法、乘法运算，并希望运算时有关的加法、乘法算律仍然成立，你能得到怎样的数？（意图：1.使学生感受为什么把集合{}|,a bi a b R +∈作为实数集扩充后的新数集） （方法：由学生自己动手试做，然后讨论，最后统一认识）（1）定义：把集合{}|,C a bi a b R =+∈中的数，即形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的相关概
2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念检测新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念检测新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1 数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．在2＋错误!，错误!i，0，8＋5i，（1－错误!）i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为（）A．0 B．1C．2 D．3解析：错误!i,(1－错误!)i是纯虚数,2＋错误!，0,0.618是实数,8＋5i是虚数．答案：C2．复数z＝a2－b2＋(a＋｜a|）i（a，b∈R)为实数的充要条件是（）A．|a|＝|b｜B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠b D．a≤0解析：因为z＝a2－b2＋（a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，所以a＋｜a|＝0，因此a≤0。
答案：D3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( ）A．－2＋i B．2＋iC． 1－2i D．1＋2i解析：由i2＝－1,得x i－i2＝1＋x i,则由题意得1＋x i＝y＋2i，所以由复数相等的充要条件得x＝2,y＝1，故x＋y i＝2＋i.答案：B4．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数;②若z2，1＋z错误!＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3解析：在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制,故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z错误!＋z错误!＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误;在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案：A5．已知集合M＝{1，2，（m2－3m－1)＋（m2－5m－6)i｝，N＝{－1，3},且M∩N＝｛3}，则实数m的值为( ）A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6解析:由于M∩N＝{3｝,故3∈M,必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z＝m2(1－i)－m（m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z＝m2＋m2i－m2－m i＝（m2－m）i，所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.答案：0或17．已知x2－x－6x＋1＝（x2－2x－3)i（x∈R)，则x＝________．解析:因为x∈R，所以错误!∈R，由复数相等的条件得：错误!解得x＝3.答案：38．若复数m－3＋（m2－9)i≥0，则实数m的值为________．解析：依题意知错误!解得错误!即m＝3.答案：3三、解答题9．已知关于实数x,y的方程组错误!有实数解，求实数a，b的值．解：对①,根据2x－1＋i＝y－（3－y)i（x，y∈R）,得错误!解得错误!③把③代入②，得5＋4a－（6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，所以错误!解得错误!10．已知m∈R,复数z＝错误!＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，（1）z∈R；（2)z是虚数;(3)z 是纯虚数．解：（1）复数z＝错误!＋（m2＋2m－3)i是实数，则错误!解得m＝－3，所以当m＝－3时，z∈R。
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湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新人教A版选修2-2的全部内容。
3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．了解复数的代数表示方法及几何意义；3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件.【重点难点】重点：复数的有关概念以及符号表示。
难点：了解复数的代数表示方法及几何意义,复数的分类及复数相等的充要条件．【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P102-104内容。
并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。
2.独立思考，认真限时完成，规范书写。
课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1．如何引入数i？我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：(1）i2= —1 ;（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立．根据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是．2．复数的概念?根据虚数单位i的第（2)条性质,i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi 。
形如a+bi的数，我们把它们叫做复数．复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
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2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
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解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
人教课标版高中数学选修2-2《数系的扩充与复数的概念》名师教案
第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养：通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点：复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点：复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务x+=在实数集中无解.联系从自然数系任务1、阅读教材P102，思考：方程210到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2、阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3、阅读教材P104-P105,思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案：C解析：略2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1答案：C解析：略3、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1答案：B解析：略（二）课堂设计1.知识回顾（1）对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一：数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，对于实系数一元二次方程210使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一：回顾旧知，回顾数集的扩充过程对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二：类比旧知，探究数系的扩充.对于实系数一元二次方程210x +=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？我们说，实系数一元二次方程210x +=没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？最根本的问题是要解决－1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于－1.我们引入一个新数i ，它的平方等于－1 ●活动三：类比探究，研究新数i 的运算性质把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： ①虚数单位i 的平方等于-1，即21i =-②i 的周期性：41n ii +=,421n i +=-43n +4n ③实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（1-可以开平方，而且1-的平方根是i ±）.问题探究二：复数的概念 ●活动一：理解概念，复数的代数形式 怎样表示一个复数？根据虚数单位i 的第③条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加.由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a bi +这样，数的范围又扩充了，出现了形如(,)a bi a b R +∈的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi ，(其中a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？ 对于复数a +bi (a,b ∈R ),当且仅当b =0时,它是实数; 当且仅当a =0且b =0时,它是实数0; 当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时，叫做纯虚数; ●活动二：剖析概念复数m ＋ni 的实部、虚部一定是m 、n 吗？不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部. 对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.） 任意两个实数可以比较大小，复数呢？如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小. ●活动三：完善知识体系复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？复数z =(,)a bi a b R +∈包括：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b●活动四：复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用 例1、实数m 为什么值时()11z m m i=++-是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数答案：见解析解析：（1）当10m -=，即1m =时，复数z 是实数； (2)当10m -≠即1m ≠时，复数z 是虚数；(3)当10,10m m +=-≠即m 1=-时，复数z 是纯虚数.点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考察.因为m R ∈,所以()()1,1m R m R +∈-∈.由z a bi =+是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m 的值.例2、已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i (x ∈R )，求x 的值.答案：见解析解析：由复数相等的定义得⎩⎨⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求.点拨：本题考察复数相等的充要条件.对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )当且仅当a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等例3、设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1＜z 2，求实数m 的取值范围. 答案：见解析解析：由于z 1＜z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0， m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1＜z 2. ∴z 1＜z 2时，实数m 的取值为m ＝1.点拨：本题考察对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.●活动一 类比实数的几何意义，探究复数的几何意义若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a +bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系） 实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应实数轴上的点（几何模型）任何一个复数z =a +bi,都可以由一个有序实数对（a,b ）唯一确定.因为有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )；如图：复数z =a +bi 可以用点Z （a,b ）（复数的几何形式）来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数例4、实数m 取什么值时，复平面内表示复数()()22815514m m m m i -++--的点（1）位于第四象限；（2）位于y =x 上. 答案：见解析解析：(1)由()22815,514m m m m -+--位于第四象限，得2281505140m m m m ⎧-+>⎨--<⎩，解得，2357m m -<<<<或(2)由()22815,514m m m m -+--位于直线y =x 上，得22815=514m m m m -+--即293m =点拨：本题考察复数的几何意义即复数z =a +bi,与点Z （a,b ）一一对应.复数z a bi =+表示的点坐标为(),a b ，分别由条件，点()22815,514m m m m -+--位于第四象限、y =x 上可得●活动二：类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！ 设复平面内的点Z （相对于原点来说）也可以由向量OZ 唯一确定.反之，也成立.因此，复数z =a +bi 与OZ 也是一一对应的（实数0与零向量对应），这是复数的另一种几何意义.复数z ，点Z (a,b ),OZ 三者关系如下：复数z a bi =+复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 复数的向量形式.以原点O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数. ●活动三：探究复数的模的几何意义向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +. 由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈例5、已知复数z ＝3＋ai ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：方法一：∵z ＝3＋ai (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7).方法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合. 由图可知：－7<a <7点拨：本题考察复数的几何意义即复数的模及考察数形结合思想.例6、设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形.(1)|z |＝2；(2)1≤|z |≤2. 答案：见解析解析：(1)方法一：|z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2， 这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二：设z ＝a ＋bi ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决 3.课堂总结 【知识梳理】(1)复数的分类：复数(z =a ＋bi ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋bi ＝c ＋di ⇔ a ＝c 且b ＝d . (3)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,平面向量OZ →＝(a ，b ).(4)复数的模复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2. 【重难点突破】（1）对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等式）的方法求出相应参数的取值(或取值范围)（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等.（3）对于复数的向量表示，一定先准确找出复数所表示的向量是关键. 4.随堂检测1.若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i (a ∈R )不是纯虚数，则( ) A.a ＝－1 B.a ≠－1且a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠2 答案：C.解析：若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a ≠－1且a ≠2；当a 2－a －2＝0且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a ＝2.综上所述，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数.点拨：纯虚数的概念、复数的代数形式2.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1 D.－1或1 答案：B解析：由题意知⎩⎨⎧m （m ＋1）＝0m 2－1≠0∴m ＝0.点拨：复数的概念、复数的代数形式3.在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案：B解析：∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限点拨：复数几何意义4.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i 答案：B解析：∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i点拨：复数几何意义 （三）课后作业 基础型自主突破1.说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部.答案：见解析解析： 复数2+3i 的实部是2，虚部是3；-5的实部是-5，虚部是0；i 31-的实部是0，虚部是31-点拨：复数的概念、复数的代数形式2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-实数： 虚数： 纯虚数： 答案：实数有：72+，618.0，0，2i虚数有：i 72，i ，85+i ，i 293-纯虚数有：i 72，i 解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式3.设O 是原点，向量,OA OB →→对应的复数分别为23,32i i --+，那么向量BA →对应的复数是（ ）.55A i -+.55B i --.55C i +.55D i -答案：B解析：BA OA OB →→→=-(23)(32)i i =---+55i =-点拨：复数的概念、复数的几何意义4.下列n 的取值中，使n i =1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n =2B .n =3C .n =4D .n =5答案：C.解析：因为41i =,点拨：复数的概念、复数的代数形式5.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（）A.8B.6C.4D.2答案：C解析：()a i =1=n i ，则最小正整数n 为4，点拨：复数的概念、复数的代数形式6.若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值.答案：见解析解析：若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，则⎪⎩⎪⎨⎧≠-=+-0306522m m m m ∴2=m 点拨：复数的概念、复数的代数形式能力型师生共研7.若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B.解析：∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.点拨：复数的几何意义8.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ）.0A a ≠.2B a ≠.02C a a ≠≠且.1D a =-答案：C 解析：需要110a --≠，即02a a ≠≠且.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.集合｛Z ︱Z ＝Z n i i n n ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A.｛0，2，－2｝B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2i｝D.｛0，2，－2，2i，－2i｝答案：A解析：略点拨：根据n i成周期性变化可知.10.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：略点拨：复数的几何意义探究型多维突破11、复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A､B､C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围.答案：见解析解析：在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得AB AC<0,且B､A､C不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB==-,三点共线,故c≠9.∴c的取值范围是c>4911且c≠9.点拨：复数的几何意义，代数形式12、在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？（1）|z-1-i|=|z+2+i|（2）|z+i|+|z-i|=4（3）|z+2|-|z-2|=1（4）若将（2）中的等于改为小于呢？答案：（1）直线；（2）椭圆；（3）双曲线延伸：（4）椭圆及其内部解析：略点拨；复数四则运算及复数几何意义自助餐1.已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A.0B.﹣1C.1D.﹣i答案：D解析：略点拨：复数的乘法运算2.设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A.﹣2﹣6iB.﹣2+2iC.4+2iD.4﹣6i答案：B解析：略点拨：复数的乘法运算3.实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）A.2B.1C.﹣1D.﹣2答案：B解析：略点拨：复数的运算、复数相等的概念4.设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A.B.C.±1D.答案：D解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式、复数的模5.2＋7，27i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：C.解析：27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i是虚数.点拨：复数的概念、复数的代数形式6.已知复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )A.1或－1B.1C.－1D.0或－1 答案：C.解析：因为复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则⎩⎨⎧a2－1＝0，a－1≠0，解得a ＝－1点拨：复数的概念、复数的代数形式7.复数z ＝i cos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A.虚轴B.虚轴除去原点C.线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D.C 中线段PQ ，但应除去原点答案：C解析：略点拨：复数的几何意义8.已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.答案：－10解析：根据复数相等的充要条件可知：⎩⎨⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎨⎧m ＝－8，n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足________.答案：m ≠－1且m ≠6解析：m ≠－1且m ≠6. 因为m 2－3m －4＋(m 2－5m －6)i 是虚数，所以m 2－5m －6≠0，所以m ≠－1且m ≠6.点拨：复数的概念、复数的代数形式10、如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，如何求自然数m ，n 的值？答案：m ＝0，n ＝1 解析：因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数， 从而有21230log (m n)1m m ⎧-=⎪⎨+>-⎪⎩ 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.点拨：复数的概念、复数的代数形式11.设复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，(1)当实数m 为何值时，z 是纯虚数？(2)当实数m 为何值时，z 是实数？答案：见解析解析：(1)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ m 2－2m －3＞0，lg(m 2－2m －3)＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝1±5，所以当m ＝1±5时，z 是纯虚数.(2)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是实数，所以⎩⎨⎧m 2－2m －3＞0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2，所以当m ＝－2时，z 是实数.点拨：复数的概念、复数的代数形式12.已知复数|z |＝1，求复数3＋4i ＋z 的模的最大值及最小值.答案：见解析解析：令ω＝3＋4i ＋z ，则z ＝ω－(3＋4i ).∵|z |＝1，∴|ω－(3＋4i )|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆， 如图，容易看出，圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大，为＋1＝6；圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小，为－1＝4，∴复数3＋4i ＋z 的模的最大值和最小值分别为6和4.点拨：复数的几何意义数学视野自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数..从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数,这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0，这是数的概念的第二次扩充.以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的.例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano，1855～1939)、康托尔(G.Cantor，1845～1918)、戴德金(R.Dedekind，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是N--------→Z--------→Q--------→R--------→C(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法,即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数) →有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z 对减法具有封闭性，但失去N的良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素.又如，由实数系R扩充到复数系C后，C是代数闭域，即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性，C中元素已无大小可言.数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的.比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系
= =
1, 1
C.
������ ������
= =
0, 2
D.
������ = -1, ������ = -1
解析:由
������ + ������ = 2, 得 ������-������ = 0,
������ ������
= =
1, 1.
故选B.
答案:B
知识梳理
3.复数的分类 (1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时, 它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数. 这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下: 复数������ 实数(������ = 0)
我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,且b=d .
温馨提示应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两
边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解. 【做一做2】 满足x+y+(x-y)i=2的实数x,y的值为 ( )
A.
������ ������
= =
2, 0
B.
������ ������
要条件;但若a=0,且b=0,则a+bi=0为实数,即不是充分条件.故选B.
答案:B
重难聚焦
1.数系扩充的一般原则是什么? 剖析数系扩充的脉络是:自然数系→整数系→有理数系→实数系 →复数系,用集合符号表示为N→Z→Q→R→C. 从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩 充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加 法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换律和结 合律,乘法对加法满足分配律. 一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则: (1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集; (2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性 质(如运算定律)依然适用; (3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变; (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念(第2课时)课堂探究 新人教
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念（第2课时)课堂探究新人教A版选修2—2 探究一复数与复平面内点的关系1．复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．2．已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件,通过解方程(组）或不等式（组）求解．【典型例题1】（1)复数z＝sin 错误!＋icos 错误!对应的点在复平面内的( ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2）若复数z＝a2－3＋2a i对应的点在直线y＝－x上，则实数a的值为________．解析：（1）∵z＝sin 2π3＋icos 错误!＝错误!－错误!i，∴复数对应的点为错误!,此点在第四象限．(2）已知复数对应的点为(a2－3,2a），代入y＝－x，有2a＝－（a2－3),解得a＝－3或a ＝1.答案：（1)D (2）－3或1探究二复数与平面内向量的关系1．复数z＝a＋b i(a,b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量OZ一一对应的．2．一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．【典型例题2】（1）向量OA对应的复数为1＋4i,向量OB对应的复数为－3＋6i，则向量OA OB对应的复数为（）A．－3＋2i B．－2＋10iC．4－2i D．－12i（2）复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是________．解析：（1）向量OA对应的复数为1＋4i，向量OB对应的复数为－3＋6i，所以OA＝（1,4），OB＝(－3，6)，所以OA＋OB＝(1，4）＋（－3，6）＝(－2,10),所以向量OA＋OB对应的复数为－2＋10i.(2）因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA与OB，所以OA＝（4,3），OB＝(－2，－5)，又OA＝OB－OA＝(－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量AB表示的复数是－6－8i.答案：(1)B （2)－6－8i探究三复数的模1．计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部,然后代入公式进行计算．2．若两个复数相等，它们的模一定相等;反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等．3．求解这类问题通常有以下两种方法:方法一：根据｜z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．方法二：利用模的定义,把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．【典型例题3】（1)设z为纯虚数,且｜z－1｜＝｜－1＋i|，求复数z.（2）设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？①|z|＝错误!；②|z|≤3.思路分析：（1)设z＝a i(a∈R,且a≠0），利用模长公式来求解．（2)通过利用模的定义，转化为实数x，y满足的条件来求解．解：(1)∵z为纯虚数，∴设z＝a i(a∈R，且a≠0),则|z－1|＝｜a i－1｜＝错误!。
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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数
的概念教材习题点拨 新人教A 版选修2-2
练习1
1．解：实部分别是－2，2，22，0,0,0；虚部分别是13
，1,0，－3，1,0. 点拨：根据复数的标准形式，求复数的实部与虚部．
2．解：2＋7，0.618,0，i 2是实数；27
i ，i,5i ＋8,3－92i ，i(1－3)，2－2i 是虚数；27
i ，i ，i(1－3)是纯虚数． 点拨：本题主要考查复数的有关概念，明确复数的形式是关键．
3．解：由⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，得⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝4，y ＝－2.
点拨：利用复数相等的条件，建立关于x ，y 的方程组进行求解．
练习2
1．解：A ：4＋3i ，B ：3－3i ，C ：－3＋2i ，D ：－52－3i ，E ：112
，F ：－2，G ：5i ，H ：－5i.
点拨：根据复数的几何意义，任何一个复数都与复平面内的一点构成一一对应关系．复数的实部和虚部分别是这个点的横、纵坐标．
2．解：如图所示(每个小方格的边长为1)．
3．解：如图所示(每个小方格的边长为1)．
习题3.1
A 组
1．解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝17，5x －y ＝－2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x －4＝0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝4，y ＝－1.
2．解：(1)当m 2－3m ＝0，即m ＝0或m ＝3时，所给复数是实数．
(2)当m 2－3m ≠0，即m ≠0且m ≠3时，所给复数是虚数．
(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m ≠0，
即m ＝2时，所给复数是纯虚数．
3．解：(1)存在，例如－2＋i ，－2－3i ，等等．
(2)存在，例如1－2i ，－12－2i ，等等． (3)存在，只能是－2i.
4．解：(1)∵a ＞0，b ＞0，∴点P 在第一象限．
(2)∵a ＜0，b ＞0，∴点P 在第二象限．
(3)∵a ＝0，b ≤0，∴点P 位于原点或虚轴的下半轴上．
(4)∵b ＜0，∴点P 位于实轴下方．
5．解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0，m 2－5m －14<0，即－2＜m ＜3或5＜m ＜7时，复数z 对应的点位于第
四象限．
(2)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0，m 2－5m －14>0或⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0，m 2－5m －14<0，即m ＜－2或3＜m ＜5或m ＞7时，复数
z 对应的点位于第一、三象限．
(3)当m 2－8m ＋15＝m 2－5m －14，即m ＝293
时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上． 6．解：(1)∵点A (2,1)关于实轴的对称点为B (2，－1)，
∴向量OB →对应的复数为2－i ；
(2)∵点B (2，－1)关于虚轴的对称点为(－2，－1)，
∴C 点对应的复数为－2－i.
点拨：复数与坐标平面内的点构成一一对应关系．明确对称的规律是解决此题的关键．
B 组
1．解：复数z 对应的点位于如图所示的图形上．
2．解：由已知，设z ＝a ＋3i(a ∈R )，
则a 2＋(3)2＝4.解得a ＝±1.所以z ＝±1＋3i.
3．解：对应的点为Z 1(1,2)，Z 2(2，3)，Z 3(3，－2)，Z 4(－2,1)．
证明：∵|z 1|＝
12＋22＝5，|z 2|＝22＋32＝5，|z 3|＝32＋22＝5，|z 4|＝－2＋12
＝5， ∴Z 1，Z 2，Z 3，Z 4对应的点在以原点为圆心，半径为5的圆上．。