11-(5)对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分
二、第二类曲面积分的概念与性质
(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块 的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量 为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为
z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.
解 设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则
三、第二类曲面积分的计算
易得 设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则
称为函数Px,y,z在 称为函数Q（ x,y,z ）在 称为函数Rx,y,z在有向
二、第二类曲面积分的概念与性质
根据上述定义，某流体以速度 流过有向曲面Σ指定侧的流量
在单位时间内
第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质. 例如：
（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则
二、第二类曲面积分的概念与性质
连续性，
也在Dxy上连续.由二重积分的定义
因此
三、第二类曲面积分的计算
类似地，当P（ x,y,z ）在光滑曲面 上连续时，有 这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（ x,y,z ）在光滑曲面
上连续时，有 这里取积分曲面Σ的右侧.
三、第二类曲面积分的计算
【例1】
求 f(x,y,z)分别为
其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，
在ΔSi上任
取一点
如果当各小块曲面的直径的最大值
λ→0时，
二、第二类曲面积分的概念与性质
总存在，则称此极限为函数 在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为
中国大学mooc《高等数学(五)(国防科技大学)》满分章节测试答案
title高等数学（五）(国防科技大学)中国大学mooc答案100分最新版content第一周第一讲对弧长的曲线积分的概念与计算1、设有点和，为线段组成的闭曲线，则曲线积分的值为( )．答案:2、设为曲线段，则的值为( )．答案:3、设半圆形状的曲线在处的密度为，则曲线关于轴的转动惯量为( )．答案:4、设是圆周在第一象限内的部分，则的值为( )．答案: 55、设为星形线，则的值为 ( )．答案:6、空间曲线上从点到点的弧长为( )．答案: 57、设为圆周，则的值为 ( )．答案:8、设曲线为球面与平面的交线，则的值为( )．答案:9、若被积函数，则表示曲线的弧长.答案: 正确10、答案: 错误11、对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.答案: 正确12、若被积函数，则关于弧长的曲线积分表示线密度为的曲线型构件的质量.答案: 正确13、如果曲线的方程为，则.答案: 错误14、如果曲线的方程为，则.答案: 正确15、设曲线由两段曲线组成，若函数在曲线上的积分存在，则有.答案: 正确第一周第二讲对坐标的曲线积分的概念与计算1、设为由到的直线段，则( )．答案:2、设为圆周上对应从0到的一段弧，则( )．答案: 03、为圆周(方向取逆时针)，则( )．答案:4、设为从点到点的直线段，则（）．答案: 135、设是由直线所围成的按逆时针绕行的矩形回路，则 ( )．答案: -86、设为平面内直线上的一段，则( )．答案: 07、设为上从到的一段弧，则( )．答案:8、设C为依逆时针方向沿椭圆一周的路径，则=( )．答案:9、设为从点到点的一直线段，则( )．答案: 1110、为先沿直线从点到点,然后再沿直线到点的折线，则( )．答案:11、曲线上从点到点的一段弧，则( )．答案:12、第二类型曲线积分与积分曲线的方向无关.答案: 错误13、当改变积分曲线方向时，第二类型曲线积分将改变符号.答案: 正确14、设是有向曲线弧, 是与方向相反的有向曲线弧，则.答案: 正确15、设由和两段光滑曲线组成，则有.答案: 错误16、如果曲线的方程为起点对应, 终点对应，则答案: 正确17、答案: 错误18、在对坐标的曲线积分定义中，定义，其中，且式中极限与积分曲线的分法和点的取法无关.答案: 正确19、设曲线起点A对应的参数为，终点B对应的参数为，则.答案: 错误20、设曲线为有向光滑曲线，则一定有.答案: 错误21、在将曲线积分化为定积分时，第一类曲线积分和第二类曲线积分对定积分上下限的要求是一致的.答案: 错误第一周第三讲格林公式1、设为一条不过原点且不包含原点的光滑闭曲线，则的值为（）．答案: 02、设为一条不过原点且包含原点在内的光滑闭曲线，则的值为（）．答案:3、设L为圆周上由到的一段弧，则的值为（）．答案:4、设是单位圆从点到点的上半圆周，则的值为（）．答案:5、使格林公式成立的闭区域D（）．答案: 为单连通或多连通区域6、设是圆周，方向为逆时针方向，则用格林公式计算可化为（）．答案:7、设是圆周,方向取顺时针方向，则的值为（）．答案:8、设为圆周上从到再到的曲线段，则的值为（）．答案: 09、设闭区域是由分段光滑的闭曲线所围成, 函数在上有一阶连续偏导数，则．答案: 正确10、设为正向星形线，则由格林公式有．答案: 正确11、设是椭圆的正向，则由格林公式可知．答案: 错误12、若区域内存在一条简单闭曲线，其所围的部分均在区域内，则称为平面单连通区域．答案: 错误13、设D是由曲线所围成的闭区域，函数. 因为，所以由格林公式有．答案: 错误14、设为平面的有界闭区域，其边界为光滑或分段光滑曲线，则区域的面积.答案: 错误第二周第四讲积分与路径无关条件1、下列平面上的力场中，为保守力场的是（）.答案:2、设是以为起点、为终点的曲线段, 则等于（）.答案:3、沿以为起点、为终点的路径所作的功可表示为（）.答案:4、设是从点到点的直线段，则的值为（）.答案:5、向量场的势函数为（）.答案:6、微分方程的通解为（）.答案:7、设是上半圆周上从点到点的圆弧，则曲线积分的值为（）．答案:8、若为保守力场，则它沿场中任何一条封闭的光滑曲线所作的功均为零.答案: 正确9、只要在区域上有成立，则向量场必为区域上的保守场.答案: 错误10、曲线积分的值只与起点和终点的位置有关，而与积分的路径无关.答案: 正确11、方程是全微分方程.答案: 错误12、是整个平面区域上的保守向量场.答案: 错误13、若函数为的原函数，则.答案: 正确14、设函数，其中积分路径是从到的某一条光滑曲线，则有.答案: 错误第二周第五讲对面积的曲面积分的概念与计算1、设为圆柱面夹在平面之间的部分,则曲面面积为（）．答案:2、设是锥面，则等于（）．答案:3、设为曲面，则的值为（）.答案:4、设是曲面，则下列各式正确的是（）．答案:5、设为曲面在平面上方的部分,则（）．答案:6、设为上半球面，则（）．答案:7、设为平面在第一卦限部分，则的值为（）．答案:8、若存在一阶连续偏导数，则曲面一定存在有限面积.答案: 错误9、设函数在光滑曲面上连续，且，则.答案: 正确10、设函数在光滑曲面上连续，为曲面的面积，若存在常数使得，则有.答案: 正确11、设为平面上的有界闭区域，函数在上连续，则二重积分等于对面积的曲面积分.答案: 正确12、设为球面，为在面上的投影区域, 函数在上连续，则有.答案: 错误13、设是球面，则曲面积分.答案: 错误第二周第六讲对坐标的曲面积分的概念与计算1、设有曲面，其外法线与正向夹角成锐角, 则等于（）．答案:2、设为旋转抛物面介于和之间部分的下侧，则等于（）．答案:3、设是由平面,,,所围成的四面体的边界，外法线为其正向，则曲面积分等于（）．答案: 04、设曲面为球面，其法向指向外侧，则等于（）．答案:5、设为曲面，其法向指向上侧，则对坐标的曲面积分.答案: 错误6、曲面积分在数值上等于流速场穿过曲面的流量.答案: 正确7、设为球面, 其法向量指向外侧，则.答案: 错误8、设为球面的外侧，为球面在上的投影区域，则.答案: 错误9、如果光滑曲面在平面上的投影是一条曲线，函数在上连续，则.答案: 正确。
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分 ㈠本课的基本要求了解对坐标的曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握对坐标的曲面积分的计算方法㈡本课的重点、难点对面积的曲面积分的概念为重点，其计算方法为难点 ㈢教学内容一．对坐标的曲面积分的概念与性质 这里假定曲面是光滑的。
通常我们遇到的曲面都是双侧的。
例如由方程),(y x z z =表示的曲面，有上侧与下侧之分（假定z 轴铅直向上）；又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧与内侧之分。
以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。
在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。
我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧。
例如，对于曲面),(y x z z =，如果取它的法向量n 的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。
这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就你为有向曲面。
设∑是有向曲面。
在∑上取一小块曲面s ∆，把s ∆投影到xoy 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为xy )(σ∆。
假定s ∆上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦γcos 有相同的符号（即γcos 都是正的或都是负的）。
我们规定s ∆在xoy 面上的投影xy s )(∆为⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆=∆0cos ,00cos ,)(0cos ,)()(γγσγσxy xy xys 其中0cos ≡γ也就是0)(=∆xy σ的情形。
s ∆在xoy 面上的投影xy s )(∆实际就是s ∆在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号。
类似地可以定义s ∆在yoz 面及zox 面的投影yz s )(∆及zx s )(∆。
1．引例：流向曲面一侧的流量问题 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++=给出，∑是速度场中一片有向曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 都在∑上连续，求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。
对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分
对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分曲面积分是多元函数的积分扩展，用于计算曲面上某个量的总和。
它分为对面积和对坐标的曲面积分。
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分是通过将曲面分割成小面元，并对每个小面元的贡献进行求和得到的。
每个小面元的贡献取决于曲面上某个标量场的值以及该面元的面积。
计算对面积的曲面积分的一般步骤如下：
1.将曲面分割成小面元，可以使用直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标
系。
2.计算每个小面元的面积。
3.计算每个小面元上标量场的值。
4.将每个小面元的贡献相加，并对所有小面元求和。
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分是通过将曲面分割成小面元，并对每个小面元的贡献进行求和得到的。
每个小面元的贡献取决于曲面上某个向量场的分量以及该面元的面积。
计算对坐标的曲面积分的一般步骤如下：
1.将曲面分割成小面元，可以使用直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标
系。
2.计算每个小面元的面积。
3.计算每个小面元上向量场的分量。
4.将每个小面元的贡献相加，并对所有小面元求和。
通过对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分，我们可以计算曲面上各种量的总和，这在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对坐标的曲面积分
1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20
曲线与曲面积分习题参考答案
十 曲线积分及曲面积分习题(一) 对弧长的曲线积分1. 计算ds y x L ⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 32032222202222222cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L πππ==++=+⎰⎰⎰.2. 计算ds x L ⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 )12655(12141210210-+=++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L . 3．计算⎰L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解⎰L yds ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+202202421)2(1 4．计算⎰+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ⎰+L ds y x )(＝23211)(10=++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线2321,232,t z t y t x ===)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰L xyzds ＝⎰⎰+=++13102223)1(232)2(121232dt t t t dt t t t t t6．计算22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界. 解22x y Leds +⎰＝⎰1L ＋⎰2L ＋⎰3L7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y .解 〔1〕⎰=L x dS y I 2μ ⎰=L y dS x I 2μ〔2〕⎰⎰=LL dSy x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=LL dSy x dS y x y y ),(),(μμ (二) 对坐标的曲线积分1．计算⎰+L xdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧. 解⎰+Lxdy ydx ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π2．计算⎰+L ydx xdy ，其中L 分别为〔1〕沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； 〔2〕沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； 〔3〕沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B . 解 〔1〕⎰=+=1022)24(dx x x x I .〔2〕2)22(1=+=⎰dx x x I .〔3〕⎰+L ydx xdy ＝⎰⎰⎰++BO AB OA3．计算⎰-+++L dz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.解 直线方程为312111-=-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0变到1.4．计算2()L xydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-•=π22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分. 解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(2y x t t dt dz dt dy dt dx ==，故229411cos yx ++=α，229412cos yx x ++=β，229413cos yx y ++=γ.(三) 格林公式及应用1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向. 解⎰-Lydy x dx xy 22＝0)22(=--⎰⎰Ddxdy xy xy2．计算⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1( 的一段弧.解 y x P -=2,)sin (2y x Q +-=3. 计算(1)()xxL ye dx x e dy +++⎰，其中L 为椭圆22221x y a b+=的上半周由点(,0)A a 到(,0)B a -的弧段.解 x ye P +=1,x e x Q +=4. 计算3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧．解 322cos P xy y x =-，2212sin 3Q y x x y =-+5. 计算⎰+-L y x xdy ydx )(222，其中L 为圆周2)1(22=+-y x ，L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=，当022≠+y x 时， L 所围区域为D ，由于D ∈)0,0(0>r ，作位于D 内的小圆周222:r y x l =+.记L 及l 所围区域为1D ，在1D 上应用格林公式，得⎰+-L y x xdyydx )(222－⎰+-l y x xdy ydx )(222＝0其中l6. 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==，)20(π≤≤t 所围成区域的面积.解 ⎰-=L ydx xdy A 21＝2024224283)cos sin 3sin cos 3(a dt t t a t t a ππ=+⎰7. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内及路径无关，并计算积分值.解 〔1〕42y xy P -=，324xy x Q -=xQ y x y P ∂∂=-=∂∂342在整个xoy 面上成立 故曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内及路径无关.〔2〕⎰⎰+=21L L I ＝8．验证dy x xydx 22+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u . 解 〔1〕验证略；〔2〕y x dy x y x u yABOA2020),(=+=+=⎰⎰⎰9．试用曲线积分求dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数. 解 y x P sin 2+=，y x Q cos =，xQ y y P ∂∂==∂∂cos 在整个xoy 面上成立 所以 ⎰++=),()0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x u(四) 对面积的曲面积分1．计算⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解⎰⎰∑+dS y x )(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+212. 计算⎰⎰∑++dS z y x )223(，其中∑为平面1432=++z y x在第一卦限的局部.解 dxdy y x y x I xyD ⎰⎰-+-+--++=22)34()2(1))321(223(，3．计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为球面2222a z y x =++.解⎰⎰∑dS z 2＝⎰⎰⎰⎰--=++--xyxy D D y x dxdy y x a a dxdy z z y x a 2222222221)(2 4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，∑是球面0,222≥=++z a z y x .有问题解 ⎰⎰----++=xyD dxdy y x a y x a y x I 222222)(5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.解 ⎰⎰∑=zdS M ＝dxdy y x y x xyD 22221)(21+++⎰⎰＝2012d d πρ⎰(五) 对坐标的曲面积分1．计算⎰⎰∑zdxdy y x 22，其中∑是球面2222R z y x =++的下半局部的下侧.解⎰⎰∑zdxdy y x 22＝dxdy y x R y x xyD ⎰⎰--2222 2．计算⎰⎰∑++yzdzdxxydydz xzdxdy ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 4321∑+∑+∑+∑=∑3．计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，其中h g f ,,为连续函数，∑为平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:外表的外侧. 解 654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑ 所以321I I I I ++=4．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为半球面222y x a z --=的上侧. 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21222dydz x dydz x dydz x同理：02=⎰⎰∑dzdx y故⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222＝42a π.5．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是柱面122=+y x 被0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的局部的前侧. 解⎰⎰∑=0zdxdy同理：π43=⎰⎰∑ydzdx故⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝π23.6．设∑为平面x z a +=在柱面222x y a +=内那一局部的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法. 〔1〕3()()x z dS a dS a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积；〔2〕3()()x z dxdy a dxdy a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积.解 〔1〕正确；〔2〕错误.正确解法是：(六) 高斯公式利用高斯公式计算:1．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x =++的内侧.解 2223()I x y z dv Ω=-++⎰⎰⎰ 240003sin Rd d r dr ππθϕϕ=-⎰⎰⎰5125R π=-2．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面22y x z +=在第一卦限中10≤≤z 局部的下侧.解 补充曲面：)0,0,1(,1:221≥≥≤+=∑y x y x z ，取上侧； )1,10(,0:22≤≤≤≤=∑z x x y ，取左侧；)1,10(,0:23≤≤≤≤=∑z y y x ，取后侧.∑，1∑，2∑与3∑构成闭曲面，所围的空间闭区域记为Ω，由高斯公式，得3．计算⎰⎰∑+++-dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，∑为正方体Ω的外表并取外侧,其中解 ()I y x dv Ω=+⎰⎰⎰＝4000)(a dz y x dy dx aa a =+⎰⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα，其中∑是由222z y x =+及)0(>=h h z 所围成的闭曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是此曲面的外法线的方向余弦.解 2()2()2I x y z dxdydz x y dxdydz zdxdydz ΩΩΩ=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(七) 斯托克斯公式1．计算⎰-+-++L dz z y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 及各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得 ＝1.2．计算⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 与),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形.解 由斯托克斯公式，得(八) 曲线积分及曲面积分自测题1．计算曲线积分 (1)ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22；解 :cos (-)22L r a ππθθ=≤≤(2) ⎰L zds ，其中Γ为曲线)0(,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ≤≤===； 解ds == (3)⎰+-Lxdy dx y a )2(，其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；解⎰+-Lxdy dx y a )2(=20{[(2(1cos ))](1cos )(sin )sin }a a t a t a t t a t dt π---+-⎰(4)⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由01=t 到12=t 的一段弧；解⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)((5)⎰-+-Lx xdy y e dx y y e)2cos ()2sin (，其中L 为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x 沿逆时针方向；解 补充积分路径1:0L y =，x从0到2a.sin 2,cos 2x x P e y y Q e yy =-=-2．计算曲面积分 (1)⎰⎰∑++222z y x dS，其中∑是介于平面0=z 及H z =之间的圆柱面222R y x =+；解x =dS ==(2)⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y)()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧；解 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰(3) ⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面22y x R z --=的上侧；解11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰(4)⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面)0(9)1(16)2(5122≥-+-=-z y x z 的上侧； 解 0I = 〔利用高斯公式〕(5) ⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑为球面)0,0(1222≥≥=++y x z y x 外侧. 解⎰⎰∑xyzdxdy =12xyzdxdy xyzdxdy ∑∑+⎰⎰⎰⎰3．证明：22yx ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数. 解 在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G G 内， 所以存在(,)u x y ，使22xdx ydydu x y+=+. 取积分路径：(1,0)(,0)(,)x x y →→ 4．计算其中Γ为平面1=++z y x 及各坐标面的交线，从z 轴正向看取逆时针方向.解 由斯托克斯公式，得 ＝1.5．求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标. 解 设面密度为ρ，重心(,,)x y z 由对称性：0x y == 故重心的坐标为(0,0,)2a.。
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
高等数学对坐标的曲面积分
cos
1 1 x2 y2
(z2 x)( x)dxdy
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
dxdy
cos
对坐标的曲面积分
(z2 x)dydz (z2 x)( x)dxdy
(z2 x)由dy对dz称性zdxdy
z 1(x2 y2)
[(z2 x14)x((xx2 )yz2 )]d2dxxddyy 0
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)cos dS
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )dS
其中cos、cos 、cos 是有向曲面Σ在点 ( x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 不论哪一侧都成立.
对坐标的曲面积分
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
对坐标的曲面积分
Dxy : x2 y2 1( x 0, y 0)
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环
行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以
爬到任何一点去.
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为 有向曲面.
i 1
2. 存在条件
当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在有向光滑
_高等数学2第十一章答案(DOC)
习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ds ad ϕϕ==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()Lxy dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
高等数学对坐标的曲面积分教案
n
大值 0 时
lim
0
i1
R(i
,i,
i
)(Si
讲练结合
教 学过 程
教法运用及 板书要点
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程 zz(x y) 表示
的曲面分为上侧与下侧 设 n(cos cos cos)为曲面上的法向量 在曲面
的上侧 cos0 在曲面的下侧 cos0 闭曲面有内侧与外侧之分
类似地 如果曲面的方程为 yy(z x)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的
把曲面 分成 n 小块 S1 S2 Sn(Si 同时也代表第 i 小块曲面的 面积) 在 是光滑的和 v 是连续的前提下 只要Si 的直径很小 我们就可以 用Si 上任一点(i, i, i )处的流速
viv(i, i, i )P(i, i, i )iQ(i, i, i )jR(i, i, i )k 代替Si 上其它各点处的流速 以该点(i, i, i )处曲面 的单位法向量
nicosi icosi j cosi k 代替Si 上其它各点处的单位法向量 从而得到通过Si 流向指定侧的流量的近 似值为 viniS i (i1, 2, ,n) 于是 通过 流向指定侧的流量
n
vi niSi
i1
n
[P(i,i,i)cosi Q(i,i,i)cosi R(i,i,i)cos i]Si
时间
---------月---------日 星期-----------------
教学课件第五节对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
进阶习题2
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第
一卦限的部分。
综合习题
综合习题1
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在 第一卦限的部分，并给出其几何意义。
03
第二类曲面积分的几何意义
几何意义的解释
1 2
3
曲面积分
第二类曲面积分是针对曲面侧的正向或负向的积分，其几何 意义表现为对曲面侧的“净流量”或“净通量”的度量。
净流量
当积分号前的函数表示某种物理量（如力、速度、密度等） 时，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲 面侧的净流量，即流入与流出的差值。
第二类曲面积分的计算方法概述
计算步骤
计算第二类曲面积分需要确定定向曲面、选择适当的坐标系、计算面积分范围、 选择合适的方向场，并利用微元法或高斯公式等工具进行计算。
注意事项
在计算过程中，需要注意坐标系的选取要便于计算和简化问题，同时要准确理 解和应用方向场的定义和性质。
02
第二类曲面积分的计算公式
净通量
在某些物理或工程问题中，第二类曲面积分的几何意义可以 解释为通过被积分的曲面侧的净通量，即流入与流出的通量 之差。
几何意义的应用场景
流体动力学
在流体动力学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述流体通过某一曲面的流量或通量。
电磁学
在电磁学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述电场或磁场通过某一曲面的通量或流量。
公式推导与理解
公式推导
通过引入向量场、定向曲面等概念，利用散度定理和微积分基本定理推导得出第 二类曲面积分的计算公式。
对坐标的曲面积分的计算方法(一)
对坐标的曲面积分的计算方法(一)对坐标的曲面积分的计算方法1. 引言曲面积分是微积分中的一种重要计算方法，用来求解三维空间中曲面上的某种量的总量。
其中，对坐标的曲面积分是其中一种常见的计算方法。
本文将详细介绍对坐标的曲面积分的计算方法。
2. 曲面积分的定义对坐标的曲面积分是指将一个函数在曲面上的每一点上的值乘以一个微小面积后进行累加得到的总量。
数学上，对坐标的曲面积分的公式如下：[曲面积分公式](其中，[f(x, y, z)]( 是定义在曲面上的函数，[dS]( 表示微小面积。
3. 计算方法对坐标的曲面积分的计算方法可以分为以下几种：3.1 参数化曲面法参数化曲面法是最常用的计算方法之一。
它将曲面上的点表示为二维参数域上的点，然后通过将参数域上的点映射到三维空间，从而得到曲面上的点坐标。
根据参数化曲面的定义，可以将对坐标的曲面积分转化为对参数域上的曲面积分的计算。
3.2 曲面积分的直接计算法对于某些特定的曲面，可以直接计算对坐标的曲面积分。
例如，球面、平面等特殊曲面具有简单的几何形状，可以直接进行计算。
3.3 曲面积分的换元计算法曲面积分的换元计算法是通过选择适当的变量替换来简化计算。
例如，对于某些问题，可以通过使用球坐标、柱坐标或其他坐标系来简化计算。
3.4 曲面积分的参数消去法对于某些特殊的曲面，可以通过参数消去法来简化计算。
参数消去法通过选择适当的参数变换，将曲面的方程转化为简化形式，从而简化对坐标的曲面积分的计算。
4. 结论对坐标的曲面积分的计算方法有很多种，可以根据具体的曲面和问题选择合适的方法。
参数化曲面法、直接计算法、换元计算法和参数消去法都是常用的计算方法。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解对坐标的曲面积分。
以上是对坐标的曲面积分的计算方法的一些简要介绍，希望对读者有所帮助。
（以上内容仅供参考，具体计算方法以教材和相关资料为准。
）5. 参数化曲面法详解参数化曲面法是计算对坐标的曲面积分最常用的方法之一，下面将详细介绍该方法的步骤：5.1 确定参数域首先，需要确定参数域，即一个二维参数空间。
对坐标曲面积分理解
对坐标曲面积分理解坐标曲面积分是数学中一个重要的概念，它在多元微积分以及物理学中有着广泛的应用。
本文将从什么是坐标曲面积分、怎样计算坐标曲面积分、应用示例以及相关注意事项等方面进行详细介绍，帮助读者更好地理解和应用坐标曲面积分。
一、什么是坐标曲面积分坐标曲面积分是对曲面上的某个量进行求和的操作，表示在一个曲面上某个量在曲面上的总体分布情况。
曲面可以是平面上的曲线、三维空间中的曲线、曲面或者更高维度的情况。
二、怎样计算坐标曲面积分1. 参数化表示法一种常用的计算坐标曲面积分的方法是使用参数化表示法。
即将曲面上的每个点都用参数$t$表示，形如$(x(t), y(t), z(t))$。
然后根据具体的问题，可以将曲面的面积分解成曲线的积分或参数的积分，进而求得坐标曲面积分的值。
2. 利用面积元素法面积元素法是另一种常用的计算坐标曲面积分的方法。
它基于曲面上的微小面元$dS$，通过积分对微小面元进行求和，得到坐标曲面积分的结果。
具体可以根据曲面的形状选择不同的坐标系，如直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等。
三、应用示例坐标曲面积分在物理学等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 电场的计算在电磁学中，电场可以通过坐标曲面积分计算得到。
曲面上每个微小的面元$dS$周围的电场按照一定的数学关系进行积分，最终可以得到电场在整个曲面上的分布情况。
2. 流体的流量计算在流体力学中，流体的流量可以通过坐标曲面积分进行计算。
通过对曲面上每个微小的面元$dS$周围的流速进行积分，可以得到流体通过整个曲面的总流量。
3. 质量、能量等的分布计算在物理学和工程学等领域，坐标曲面积分可以应用于计算质量、能量等量在曲面上的分布情况。
通过对曲面上每个微小的面元$dS$周围的质量或能量进行积分，可以得到它们在整个曲面上的总量或分布情况。
四、注意事项在进行坐标曲面积分时，需要注意以下几点：1. 曲面的参数化表示应该合理选择，以便于计算和理解。
高等数学对坐标的曲面积分
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用对称性.
O
y
原式 3 (z x) d x d y
x
的顶部
1
:
z
a 2
(x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
的底部
2
:
z
a 2
(x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
2 (z x) d x d y
( a x)d x dy Dxy 2
3a d x d y
2012.4
Dx y
lim
0
P(i
i 1
, i
,
i
) Si
y
z
Q(i , i , i ) Si z x
R(i , i , i ) Si x y
2012.4
22
性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d z d x R d x d y
向量形式 A d S A n d S
An A n ( A 在 n 上的投影)
An dS
2012.4
16
例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为
求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .
解: E d S
q。
E n d S
q r3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r
r r
d
S
q r2
dS
联系: P d y d z Q d z d x R d xdy P cos Q cos R cos dS
思考:
两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
第十一章 曲线积分与曲面积分(题库)答案
解： P x, y y e x , Q x, y 3 x e y ，
P Q 1, 3 y x
dxdy 2dxdy 2 ab y e dx 3x e dy = x y
x y C
Q
P
D
D
29.(11-3)计算曲线积分
2 xy 2 y dx x
L
2
4 x dy ，其中 L 取正向的圆周 x 2 y 2 9 .
解：设 P 2 xy 2 y, Q
x2 4x ，
Q P 2x 4 2 x 2, x y
2
B. 6S
C. 12S
D.
24S
L
x 上自点 A 1,1 到点 B 1, 1 之间的一段弧，则 I yds （
C. 1
2 2
D. 1
设 C 为沿 x y R 逆时针方向一周的闭合曲线，则曲线积分
2 2 I x ydx xy dy 应用格林公式计算得（ A ） C
2
0 x 2 ，计算
2
L
x 1 x ds .
解：直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得
L
xds
2
0
x 1 y2 dx
0
x 1 4 x 2 dx
1 1 2 2 2 1 4 x d 1 4 x 2 8 0 3 1 2 2 2 1 4 x 8 3 2 0
L
x 2 ds
2 . 3
2.
7. (11-1)设 L 为连接 (1,0) 及 (0,1) 两点的直线段,则 8. (11-1)计算曲线积分
一,对坐标的曲面积分的概念与性质
的柱体的体积：V·n t S ，这里n {cosa , cosb , cosg}是s上的单 位法向量，S表示s的面积．所以单位时间内流向s 指定侧的流
体的流量近似于
V·n S {P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg }S ．
1 r 2 sin cos
1 r 2 rdr 2
0
0
Dxy
15
2． 15
三、两类曲面积分之间的联系
由对坐标的曲面积分的定义，有
P(x, y, z) dydzQ(x, y, z) dzdxR(x, y, z) dxdy
S
{P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg }dS S
除S3、S4外，其余四片曲面在 yO z 面上的投影为零，因此
类似地可得
y2dzdxb 2ac，
S
z2dxdyc 2ab．
S
于是所求曲面积分为 (abc)abc．
x2dydz x2dydz x2dydz a2dydz 0dydz a 2bc．
例11 计算曲面积分 x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中S是长方体 S
W的整个表面的外侧，W{(x, y, z) |0xa，0yb，0zc }．
解 把有向曲面S分成以下六部分：
S1：zc (0xa, 0yb)的上侧； S2：z0 (0xa, 0yb)的下侧； S3：xa (0yb, 0zc)的前侧； S4：x0 (0yb, 0zc)的后侧； S5：yb (0xa, 0zc)的右侧； S6：y0 (0xa, 0zc)的左侧．
(|V|t)cos(V,^n)V·n t
对坐标的曲面积分的计算方法
对坐标的曲面积分的计算方法对坐标的曲面积分的计算引言曲面积分是数学中的重要概念之一，在物理学、工程学等应用中也有广泛的应用。
对于曲面积分的计算，有多种方法可以使用。
本文将详细介绍几种常见的方法。
方法一：参数化计算1.选择适当的参数化表达式，将曲面分解为小面元。
2.对每个小面元进行积分计算，得到结果。
3.将所有小面元的积分结果相加，即得到曲面积分的最终结果。
方法二：高斯公式计算1.利用高斯公式，将曲面积分转化为三重积分。
2.将曲面和其所围成的体积一起考虑，对三重积分进行计算。
3.得到的三重积分结果即为曲面积分的值。
方法三：斯托克斯公式计算1.利用斯托克斯公式，将曲面积分转化为曲线积分。
2.对曲线积分进行计算，得到结果。
3.曲线积分的结果即为曲面积分的值。
方法四：直接计算法向量与积分项的乘积1.对于给定的曲面和积分项，直接计算法向量与积分项的乘积。
2.将所有小面元的乘积结果相加，即得到曲面积分的最终结果。
方法五：利用变量替换简化计算1.对于复杂的曲面积分，可以通过合适的变量替换来简化计算。
2.选择适当的变量替换后，重新计算曲面积分。
3.得到的结果是变量替换后的曲面积分值。
结论通过本文的介绍，我们可以看到，对于坐标的曲面积分的计算，有多种方法可以使用。
选择合适的方法，可以使计算更加简便和高效。
在具体的问题中，可以根据情况选择适合的方法来计算曲面积分，以得到准确的结果。
参考文献•高等数学第七版上册，同济大学数学系编著•《多元函数积分学第二版》，丘维声编著•《数学物理方程丛书第二卷积分方程》，谷超豪编著。
高数同济第六版下高等数学2第十一章答案[1]
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⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼗⼀章答案[1]习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +?，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第⼀象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ，其中Γ为折线ABCD ，这⾥A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ?，其中L 为摆线的⼀拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有⼀段铁丝成半圆形y =，其上任⼀点处的线密度的⼤⼩等于该点的纵坐标，求其质量。
解曲线L 的参数⽅程为()cos ,sin 0x a y a π==≤≤ds ad ??==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a π===?? 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的⼀段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+?，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针⽅向绕⾏）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-?，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的⼀段直线；（4）dx dy ydz Γ-+?，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这⾥A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧。
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n
i1 Q(i ,i , i )(Si )zx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
Pdy d z Qd z d x Rdx dy
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
播放
2019年10月9日
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
z
z
z f (x, y) a
o
y
O
y
x
Higher- mathematics ( IxI )
Pdy d z Qd z d x Rdx dy
Higher- mathematics ( II )
24 - 11
2019年10月9日
4、性质:
1. Pdydz Qdzdx Rdxdy 1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
24 - 12
2019年10月9日
z
二、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面
是 上的连续函数, 则
z f (x, y)
取上侧,
证:
R
(
x, y, R(
z) x,
dxd y y, z)d xd
y
Dx
R(x,
y
lim x
0
yo, z
n
i 1
(
xD,xyy
S
Higher- mathematics ( II )
24 - 7
2019年10月9日
2. 引例 设稳定流动的不可压缩流体（密度为1）的 速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量 .
（1）分割 在si上任取一点(i ,i , i ),
则该点流速为
Si z
ni
vi （P(i ,i
))
d
x
d
y
(s
)
y
xy
∵ 取上侧, (Si )xy ( i )xy
i z(i , i )
n
lim
0
i 1
R(i ,i ,
) ( i )xy
R(x, y, z(x,y))d x d y
Dxy
Higher- mathematics ( II )
Higher- mathematics ( II )
24 - 10
2019年10月9日
P d y d z称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分;
R d x d y 称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
z f (x, y)
o Higher- mathematics ( IxI )
Dxy
24 - 6
y (s)xy
2019年10月9日
2. 引例 设稳定流动的不可压缩流体（密度为1）的 速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量 .
分析: (1) 若 是面积为S 的平面, n
v
法向量:
流速为常向量: 则流量
24 - 5
2019年10月9日
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xOy 面上的投影记为
(S )xy ,
的面积为
则规定
(S)xy
( )xy , ( )xy ,
0,
当cos 0时
当cos 0时 当cos 0时
类似可规定
(S) yz , (S)zx
z
法向量为
,
ni ).i，Q(
i
,i
,
i
)，R(i,i Nhomakorabea,
i )）,
单位法向量
ni0
cos ii
cos
i
j
cos
ik ,
o
通过si 流向指定侧的流量的近x似值为
Higher- mathematics ( II ) vi n2i 4 -S8 i (i 20119,年21,0月9日, n).
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
24 - 2
2019年10月9日
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型
双 侧
n
曲
面
Higher- mathematics ( II )
24 - 3
2019年10月9日
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
Higher- mathematics ( II )
24 - 4
Chapter 11
第五节 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
一、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1、有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面
• 曲面分类 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
Higher- mathematics ( II )
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
（3）.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
Higher- mathematics ( II ) vi n2i 4 -S9 i (i 20119,年21,0月9日, n).
3. 定义：设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 向量场 A (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), 若对 的任
vi
(i ,i , i )
y
（2）.求和 通过Σ流向指定侧的流量
n
vi niSi
i 1 n
[P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i
i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
1
2
2. P( x, y, z)dydz P( x, y, z)dydz
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx
R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)dxdy
Higher- mathematics ( II )