山东省青岛市2010届高三上学期期中考试(数学理)

青岛市高三教学质量检测高中数学 (理科) 2009.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若全集R U =，集合{}|22M x x =-≤≤，{}2|30N x x x =-≤，则()U M N ð＝A.[2,0]-B. [2,0)-C.[0,2]D. (0,2]2. 已知sin 0α<且tan 0α>，则α是A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角3. 有下列四个命题 ①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④4．设111222,,,,,a b c a b c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++<和22220a x b x c ++<的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b ca b c ==”是“M N =” A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5. 函数21()221xx f x +=+-的值域是A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(1,)+∞ Ｄ．(2,)+∞6. 函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值、最小值分别是A ．1,1-B ．3,17-C ．1,17-D ．9,19-7. 设1232,2()log (1) 2.x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，,则((2))f f 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8．已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为 A ．1925 B ．1625 C ．1425 D ．7259．设0,0a b >>,则以下不等式中不．一定成立的是 A.2a bb a +≥ B. ln(1)0ab +> C. 22222a b a b ++≥+ D. 3322a b ab+≥10.函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 A ．1,0a b >< B ．1,0a b >> C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<11．某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg 20.3010=） A. 10 B. 11 C. 12D. 1312．数列{}n a 满足15a =，22211n n n n aa a a +=++ (*N n ∈)，则{}n a 的前10项和为 A ．50 B ．100 C ．150 D ．200第10题图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知2{|log (1)(1)}M x y x x ==-+,3{|,N y y x x ==+[0,1]}x ∈,则M N = ;14.20(2)x x e dx -=⎰;15.设n S 是各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且387,k S S S S ==，则k的值为 ；16.已知函数()f x =⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式()20f x +>的解集是____________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，3,4cos 2cos 23BC AC A C ==-=． （Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求sin(2)4A π-的值．18. （本小题满分12分）已知2(),Z f x x x k k =-+∈，若方程()2f x =在3(1,)2-上有两个不相等的实数根.(Ⅰ)确定k 的值；(Ⅱ)求2[()]4()f x f x +的最小值及对应的x 值.19. （本小题满分12分） 设函数2()sin(2)2cos 16f x x x πωω=--+，若()f x 的最小正周期为8。

(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当[0,2]x ∈时()y g x =的最小值． 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1(1)(N )3n n S a n *=-∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求证：13n S <；(Ⅲ)设函数2()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++，求1231111nb b b b ++++. 21. （本小题满分12分）据调查，某地区300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有)0(>x x 万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高%x ,而进入企业工作的农民的人均年收入为6000a 元(2)a ≥.(Ⅰ) 在建立加工企业后，要使从事传统农业的所有农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这300万农民的人均年收入达到最大. 22. （本小题满分14分）已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈． (Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，对于任意的]2,1[∈t ，函数]2)('[)(23mx f x x x g ++=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； (Ⅲ)求证：ln 2ln 3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n*⨯⨯⨯⨯<≥∈．青岛市高三教学质量检测高中数学 (理科)答案 2009.11一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分BCCDB BCDDD BA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. )1,0[; 14. 25e -; 15.4或7; 16.(2,2)- 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，4cos2cos23A C -=224(12sin )(12sin )3A C ---=………………2分224sin sin A C =2sin sin A C =………………4分根据正弦定理，ABCC AB sin sin = 于是AB =522sin sin ==BC BC AC………………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，根据余弦定理，得cos A =2222AB AC BC AB AC +-=⋅…8分于是 sin A =55cos 12=-A 从而4sin 22sin cos 5A A A ==223cos 2cos sin 5A A A =-=……………10分所以 sin(2)sin 2coscos 2sin44410A A A πππ-=-=……………12分 18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设2()()22g x f x x x k =-=-+-由题设有(1)035()02494013(1,)22g k g k k -=>⎧⎪⎪=->⎪⎨∆=->⎪⎪--∈-⎪⎩-------------4分5944k ⇒<<，又Z k ∈∴2k =--------------------6分 (Ⅱ)∵2k =，∴2217()2()024f x x x x =-+=-+>--------------------8分∴2[()]4()()f x f x f x +=+4()f x≥4=当且仅当()f x =4()f x ，即2[()]4f x =时取等号. ---------------------10分 ∵()0f x >，∴()2f x =时取等号.即222x x -+=，解得x =0或1.当x =0或1时，2[()]4()f x f x +取最小值4. ---------12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()f x =sin 2coscos 2sincos 266x x x ππωωω--32cos 22x x ωω-)3x πω----------------------4分()f x 的最小正周期为282T πω==，故8πω=--------------------6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin()43f x x ππ=- 在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - . 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而 ()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--)43x ππ+-------------------8分当02x ≤≤时，53436x ππππ≤+≤， 因此当2x =时，()y g x =在区间[0,2]上取得最小值为：m i n 53()62g x π==----------------------12分 20. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时111111(1)(1)3333n n n n n a a a a a --=---=-+，13n n n a a a -=-+∴114n n a a -=---------------------2分 由1111(1)3S a a ==-得114a = ∴数列{}n a 是首项114a =、公比为14的等比数列，∴1111()()444n nn a -=⨯=---4分(Ⅱ) 由1(1)3n n S a =-得11[1()]34nn S =---------------------5分11()14n -<，∴111[1()]343n -<∴13n S <-------------------------8分(Ⅲ)2()log f x x =21222log log log n n b a a a ∴=+++＝212log ()n a a a＝1221log ()2(12)(1)4nn n n +++=-+++=-+-------------------10分∵1111(1)1n b n n n n=-=-++ ∴12111n b b b +++=11111(1)()()2321n n -+-++-+1nn =-+-----12分 21. （本小题满分12分）解：（I ）由题意得(300)6000(1%)3006000x x -⨯⨯+≥⨯……………3分 即22000x x -≤解得0200x ≤≤又∵0>x ，∴0200x <≤……………………………………………………5分 (II) 设这300万农民的人均年收入为y 元则(300)6000(1%)6000300x x axy -⨯⨯++=……………………8分20.220(2)6000x a x =-+++………………………………10分20(2)2,50(2)2002(0.2)a a a +≥∴-=+≥⨯-所以函数20.220(2)6000y x a x =-+++在(0,200]上是增函数.∴当200x =时，2max 0.220020(2)2006000y a =-⨯++⨯+60004000a =+万元…………………………………12分22. （本小题满分14分）(Ⅰ))0()1()('>-=x xx a x f --------------------2分 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1； 当0=a 时，)(x f 不是单调函数--------------------4分(Ⅱ)12)2('=-=af 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x f ∴x x m x xg 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g -------------------6分∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g ----------8分由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴9337-<<-m -------------------10分(Ⅲ)令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由(Ⅰ)知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，-----------------12分 ∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴nn n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈…………………14分。